Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը

Կրճատման բանաձևերը գործակիցներ են, որոնք թույլ են տալիս անցնել սինուսից, կոսինուսից, շոշափողից և կոտանգենսից՝ «\frac (\pi)2 \pm \alpha», «\pi \pm \alpha», «\frac (3\pi) անկյուններով: 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` «\alpha» անկյան նույն ֆունկցիաներին, որը միավոր շրջանագծի առաջին քառորդում է: Այսպիսով, կրճատման բանաձեւերը մեզ «տանում են» աշխատելու 0-ից 90 աստիճանի տիրույթում գտնվող անկյունների հետ, ինչը շատ հարմար է։

Բոլորը միասին կան 32 կրճատման բանաձևեր: Դրանք, անկասկած, օգտակար կլինեն քննությանը, քննություններին, թեստերին։ Բայց մենք անմիջապես կզգուշացնենք, որ դրանք անգիր անելու կարիք չկա։ Դուք պետք է մի քիչ ժամանակ ծախսեք և հասկանաք դրանց կիրառման ալգորիթմը, այնուհետև ձեզ համար դժվար չի լինի ճիշտ ժամանակին անհրաժեշտ հավասարություն ստանալ:

Նախ, եկեք գրենք բոլոր կրճատման բանաձևերը.

Անկյունի համար (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) կամ (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \\alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;`` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \ալֆա)=ctg \\ալֆա;` ` tg(\frac (\pi)2 + \ալֆա)=-ctg \ \ալֆա`
`ctg(\frac (\pi)2 - \ալֆա)=tg \ \ալֆա;`` ctg(\frac (\pi)2 + \ալֆա)=-tg \ \ալֆա`

Անկյունի համար (`\pi \pm \alpha`) կամ (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \ալֆա)=-cos \ \ալֆա;`` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \ալֆա`
`tg(\pi - \ալֆա)=-tg \ \ալֆա;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \ալֆա`
`ctg(\pi - \ալֆա)=-ctg \\ալֆա;`` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \ալֆա`

Անկյունի համար (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) կամ (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;`` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \ալֆա)=ctg \\ալֆա;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \ալֆա)=-ctg \ \ալֆա`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \ալֆա)=tg \\ալֆա;`` ctg(\frac (3\pi)2 + \ալֆա)=-tg \ \ալֆա`

Անկյունի համար (`2\pi \pm \alpha`) կամ (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;`` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \ալֆա`
`ctg(2\pi - \ալֆա)=-ctg \ \ալֆա;` ` ctg(2\pi + \ալֆա)=ctg \ \ալֆա`

Հաճախ կարելի է կրճատման բանաձևեր գտնել աղյուսակի տեսքով, որտեղ անկյունները գրված են ռադիաններով.

Այն օգտագործելու համար պետք է ընտրել մեզ անհրաժեշտ ֆունկցիայով տողը, իսկ ցանկալի արգումենտով սյունակը: Օրինակ՝ աղյուսակից օգտվելու համար պարզելու համար, թե որն է լինելու «sin(\pi + \alpha)»-ը, բավական է պատասխանը գտնել «sin \beta» տողի և «\pi + \» սյունակի հատման կետում։ ալֆա՝. Մենք ստանում ենք `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`:

Եվ երկրորդ՝ նմանատիպ աղյուսակը, որտեղ անկյունները գրված են աստիճաններով.

Ձուլման բանաձևերի մնեմոնիկ կանոն կամ ինչպես հիշել դրանք

Ինչպես արդեն նշեցինք, պարտադիր չէ անգիր անել վերը նշված բոլոր գործակիցները։ Եթե ​​ուշադիր նայեիք դրանց, հավանաբար նկատեցիք որոշ նախշեր։ Նրանք մեզ թույլ են տալիս ձևակերպել մնեմոնիկ կանոն (mnemonic - անգիր), որով հեշտությամբ կարող եք ստանալ կրճատման ցանկացած բանաձև:

Անմիջապես նշում ենք, որ այս կանոնը կիրառելու համար պետք է լավ որոշել (կամ հիշել) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները միավորի շրջանագծի տարբեր հատվածներում։
Փոխպատվաստումն ինքնին պարունակում է 3 փուլ.

1. 1. Ֆունկցիայի արգումենտը պետք է լինի `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi: \ pm \alpha`, որտեղ «\alpha»-ն միշտ սուր անկյուն է (0-ից 90 աստիճան):
   2. Արգումենտների համար `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` եռանկյունաչափական ֆունկցիափոխակերպված արտահայտությունը փոխվում է համակցվածի, այսինքն՝ հակառակի (սինուսը կոսինուսին, շոշափողը կոտանգենսին և հակառակը): «\pi \pm \alpha», «2\pi \pm \alpha» արգումենտների համար ֆունկցիան չի փոխվում:
   3. Որոշվում է սկզբնական ֆունկցիայի նշանը. Ստացված ֆունկցիան աջ կողմում կունենա նույն նշանը։

Տեսնելու համար, թե ինչպես կարող է այս կանոնը կիրառվել գործնականում, եկեք փոխակերպենք մի քանի արտահայտություն.

1. «cos(\pi + \alpha)»:

Ֆունկցիան հակադարձված չէ: «\pi + \alpha» անկյունը գտնվում է երրորդ քառորդում, կոսինուսը այս քառորդում ունի «-» նշան, ուստի փոխարկված ֆունկցիան կունենա նաև «-» նշան:

Պատասխան՝ ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`:

Համաձայն մնեմոնիկ կանոնգործառույթը կփոխվի: «\frac (3\pi)2 - \alpha» անկյունը գտնվում է երրորդ քառորդում, սինուսն այստեղ ունի «-» նշան, հետևաբար արդյունքը կլինի նաև «-» նշանով:

Պատասխան՝ `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. «cos(\frac (7\pi)2 - \ալֆա)»:

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\ալֆա))`. Եկեք «3\pi»-ն ներկայացնենք որպես «2\pi+\pi»: «2\pi»-ը ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

Կարևոր է. «cos \alpha» և «sin \alpha» ֆունկցիաները ունեն «2\pi» կամ «360^\circ» ժամանակաշրջան, դրանց արժեքները չեն փոխվի, եթե արգումենտը մեծացվի կամ նվազեցվի այս արժեքներով:

Ելնելով դրանից՝ մեր արտահայտությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ «cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)»: Երկու անգամ կիրառելով մնեմոնիկ կանոնը՝ ստանում ենք՝ «cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Պատասխան՝ «cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha»:

ձիու կանոն

Վերոնշյալ մնեմոնիկ կանոնի երկրորդ կետը կոչվում է նաև կրճատման բանաձևերի ձիու կանոն։ Հետաքրքիր է, ինչու՞ ձիեր:

Այսպիսով, մենք ունենք գործառույթներ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm արգումենտներով: \alpha`, կետերը `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` առանցքային կետեր են, դրանք գտնվում են կոորդինատային առանցքների վրա: «\pi» և «2\pi» հորիզոնական x առանցքի վրա են, իսկ «\frac (\pi)2» և «\frac (3\pi)2» ուղղահայաց y առանցքի վրա:

Մենք ինքներս մեզ հարց ենք տալիս. «Արդյո՞ք ֆունկցիան փոխվում է համաֆունկցիայի»: Այս հարցին պատասխանելու համար դուք պետք է ձեր գլուխը շարժեք այն առանցքի երկայնքով, որի վրա գտնվում է առանցքային կետը:

Այսինքն՝ հորիզոնական առանցքի վրա գտնվող առանցքային կետերով վեճերի համար մենք պատասխանում ենք «ոչ»՝ գլուխները կողքերով թափահարելով։ Իսկ ուղղահայաց առանցքի վրա գտնվող առանցքային կետեր ունեցող անկյունների համար մենք պատասխանում ենք «այո»՝ ձիու պես գլուխները վերևից ներքև գլխով անելով։

Խորհուրդ ենք տալիս դիտել վիդեո ձեռնարկ, որտեղ հեղինակը մանրամասն բացատրում է, թե ինչպես անգիր անել կրճատման բանաձևերը՝ առանց դրանք անգիր անելու:

Ձուլման բանաձևերի կիրառման գործնական օրինակներ

Կրճատման բանաձևերի կիրառումը սկսվում է 9-րդ և 10-րդ դասարաններից: Քննությանը հանձնվում են բազմաթիվ առաջադրանքներ դրանց կիրառմամբ։ Ահա մի քանի առաջադրանքներ, որտեղ ձեզ անհրաժեշտ կլինի կիրառել այս բանաձևերը.

• ուղղանկյուն եռանկյունի լուծելու առաջադրանքներ;
• թվային և այբբենական եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում, դրանց արժեքների հաշվարկ.
• ստերեոմետրիկ խնդիրներ.

Օրինակ 1. Օգտագործեք կրճատման բանաձևերը՝ հաշվարկելու համար՝ ա) «sin 600^\circ», բ) «tg 480^\circ», գ) «cos 330^\circ», դ) «sin 240^\circ»:

Լուծում` ա) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

բ) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

գ) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

դ) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Օրինակ 2. Կոսինուսը սինուսի միջոցով արտահայտելով կրճատման բանաձևերով, համեմատե՛ք թվերը. 2) `sin \frac (\pi)8` և `cos \frac (3\pi)10`:

Լուծում. 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`:

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Մենք նախ ապացուցում ենք «\frac (\pi)2 + \alpha» արգումենտի սինուսի և կոսինուսի երկու բանաձև. \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`: Մնացածը դրանցից են բխում։

Վերցրեք միավոր շրջանագիծը և վրան A կետը կոորդինատներով (1,0): Միացնելուց հետո թողեք անկյուն `\alpha` այն կգնա դեպի «A_1(x, y)» կետը, իսկ «\frac (\pi)2 + \alpha» անկյունը շրջելուց հետո դեպի «A_2(-y,x)» կետը: . Այս կետերից ուղղահայացները գցելով OX ուղիղ՝ տեսնում ենք, որ «OA_1H_1» և «OA_2H_2» եռանկյունները հավասար են, քանի որ դրանց հիպոթենուսները և հարակից անկյունները հավասար են: Այնուհետև, ելնելով սինուսի և կոսինուսի սահմանումներից, կարող ենք գրել՝ sin \alpha=y, cos \alpha=x, sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x, cos: (\frac (\ pi)2 + \ալֆա)=-y`: Ինչպե՞ս կարելի է գրել, որ `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` և `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, որն ապացուցում է կրճատումը: «\frac (\pi)2 + \alpha» անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևեր:

Տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումից մենք ստանում ենք tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \ալֆա))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` and `ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \ալֆա))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, որն ապացուցում է կրճատումը «\frac (\pi)2 + \alpha» անկյան շոշափողի և կոտանգենսի բանաձևերը:

«\frac (\pi)2 - \alpha» արգումենտով բանաձևերն ապացուցելու համար բավական է այն ներկայացնել որպես «\frac (\pi)2 + (-\alpha)» և գնալ նույն ճանապարհով, ինչ վերը նշված է: Օրինակ՝ «cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)»:

«\pi + \alpha» և «\pi - \alpha» անկյունները կարող են ներկայացվել որպես «\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)» և «\frac (\pi): ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` համապատասխանաբար:

Եվ `\frac (3\pi)2 + \alpha` և `\frac (3\pi)2 - \alpha` որպես `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` և `\pi +(\frac (\pi)2-\ալֆա)`:

Այս հոդվածում մենք համակողմանիորեն կանդրադառնանք: Հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները հավասարություններ են, որոնք կապ են հաստատում մի անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև և թույլ են տալիս գտնել այս եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից որևէ մեկը հայտնի մյուսի միջոցով:

Մենք անմիջապես թվարկում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները, որոնք մենք կվերլուծենք այս հոդվածում: Մենք դրանք գրում ենք աղյուսակում, իսկ ներքևում տալիս ենք այս բանաձևերի ածանցումը և տալիս անհրաժեշտ բացատրությունները։

Էջի նավարկություն.

Մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի կապը

Երբեմն նրանք խոսում են ոչ թե վերը նշված աղյուսակում թվարկված հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունների, այլ մեկ սինգլի մասին հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունըբարի . Այս փաստի բացատրությունը բավականին պարզ է. հավասարությունները ստացվում են հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից՝ դրա երկու մասերը և համապատասխանաբար և հավասարությունների վրա բաժանելուց հետո։ և հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Այս մասին ավելի մանրամասն կքննարկենք հաջորդ պարբերություններում:

Այսինքն, դա այն հավասարությունն է, որն առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում, որին տրվել է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության անվանումը։

Նախքան հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունն ապացուցելը, մենք տալիս ենք դրա ձևակերպումը. մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը նույնականորեն հավասար է մեկի: Հիմա եկեք ապացուցենք.

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը շատ հաճախ օգտագործվում է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում. Այն թույլ է տալիս մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը փոխարինել մեկով: Ոչ պակաս հաճախ, հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը օգտագործվում է հակառակ հերթականությամբ. միավորը փոխարինվում է ցանկացած անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարով:

Շոշափող և կոտանգենս սինուսի և կոսինուսի միջոցով

Ձևի մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի հետ շոշափողն ու կոտանգենսը կապող նույնականություն և անմիջապես հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Իսկապես, ըստ սահմանման, սինուսը y-ի օրդինատն է, կոսինուսը՝ x-ի աբսցիսա, շոշափողը օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերությունն է, այսինքն. , իսկ կոտանգենսը աբսցիսայի հարաբերակցությունն է օրդինատին, այսինքն. .

Ինքնությունների այս ակնհայտության պատճառով և հաճախ շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները տրվում են ոչ թե աբսցիսայի և օրդինատի, այլ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցության միջոցով։ Այսպիսով, անկյան շոշափողը սինուսի և այս անկյան կոսինուսի հարաբերությունն է, իսկ կոտանգենսը կոսինուսի և սինուսի հարաբերությունն է:

Այս բաժինը եզրափակելու համար պետք է նշել, որ ինքնությունները և պահեք բոլոր այն անկյունները, որոնց համար դրանցում եռանկյունաչափական ֆունկցիաները իմաստ ունեն: Այսպիսով, բանաձևը վավեր է ցանկացած այլ բանի համար, քան (հակառակ դեպքում հայտարարը կլինի զրո, և մենք չենք սահմանել բաժանումը զրոյի), և բանաձևը. - բոլորի համար, տարբեր, որտեղ z-ը ցանկացած է:

Կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջև

Նույնիսկ ավելի ակնհայտ եռանկյունաչափական նույնականությունը, քան երկու նախորդները, ձևի մեկ անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը կապող նույնությունն է։ . Հասկանալի է, որ այն տեղի է ունենում ցանկացած այլ անկյունի համար, քան , հակառակ դեպքում կամ շոշափողը կամ կոտանգենսը սահմանված չեն:

Բանաձևի ապացույց Շատ պարզ. Ըստ սահմանման և որտեղից . Ապացույցը կարող էր իրականացվել մի փոքր այլ կերպ։ Քանի որ և , ապա .

Այսպիսով, մեկ անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը, որով դրանք իմաստ ունեն, է:

Տրված են հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հարաբերությունները. եռանկյունաչափական բանաձևեր. Եվ քանի որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև բավականին շատ կապեր կան, սա բացատրում է նաև եռանկյունաչափական բանաձևերի առատությունը։ Որոշ բանաձևեր կապում են նույն անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, մյուսները՝ բազմակի անկյան ֆունկցիաները, մյուսները՝ թույլ են տալիս իջեցնել աստիճանը, չորրորդը՝ արտահայտել բոլոր ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով և այլն։

Այս հոդվածում մենք հերթականությամբ թվարկում ենք բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, որոնք բավարար են եռանկյունաչափության խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը լուծելու համար: Անգիր սովորելու և օգտագործելու համար մենք դրանք կխմբավորենք ըստ իրենց նպատակի և մուտքագրենք աղյուսակների մեջ:

Էջի նավարկություն.

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններսահմանել հարաբերությունները մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև: Դրանք բխում են սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումից, ինչպես նաև միավոր շրջանագծի հասկացությունից։ Նրանք թույլ են տալիս արտահայտել մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա ցանկացած մյուսի միջոցով:

Այս եռանկյունաչափության բանաձևերի մանրամասն նկարագրության, դրանց ստացման և կիրառման օրինակների համար տե՛ս հոդվածը:

Ձուլման բանաձևեր

Ձուլման բանաձևերհետևում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հատկություններին, այսինքն՝ արտացոլում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականության հատկությունը, համաչափության հատկությունը, ինչպես նաև տվյալ անկյան տակ տեղաշարժվելու հատկությունը։ Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը թույլ են տալիս կամայական անկյուններով աշխատելուց անցնել զրոյից մինչև 90 աստիճան անկյունների հետ աշխատելու:

Այս բանաձևերի հիմնավորումը, դրանք անգիր անելու մնեմոնիկ կանոնը և դրանց կիրառման օրինակները կարելի է ուսումնասիրել հոդվածում:

Հավելման բանաձևեր

Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են երկու անկյունների գումարի կամ տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտվում այս անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով։ Այս բանաձևերը հիմք են հանդիսանում հետևյալ եռանկյունաչափական բանաձևերի ստացման համար.

Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյուն

Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյունը (դրանք կոչվում են նաև բազմակի անկյան բանաձևեր) ցույց են տալիս, թե ինչպես են կրկնակի, եռակի և այլնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։ անկյունները () արտահայտվում են մեկ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով: Նրանց ածանցումը հիմնված է գումարման բանաձևերի վրա:

Ավելի մանրամասն տեղեկատվություն հավաքագրված է հոդվածի բանաձևերում կրկնակի, եռակի և այլնի համար: անկյուն .

Կես անկյունային բանաձևեր

Կես անկյունային բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են կիսանկյան եռանկյունու եռանկյունաչափական ֆունկցիաները արտահայտվում ամբողջ թվի անկյան կոսինուսով: Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը հետևում են կրկնակի անկյունային բանաձևերին:

Նրանց եզրակացությունը և կիրառման օրինակները կարելի է գտնել հոդվածում:

Կրճատման բանաձևեր

Աստիճանների նվազման եռանկյունաչափական բանաձևերնախագծված են հեշտացնելու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բնական հզորություններից անցումը առաջին աստիճանի սինուսներին և կոսինուսներին, բայց բազմաթիվ անկյուններին: Այլ կերպ ասած, դրանք թույլ են տալիս նվազեցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուժերը մինչև առաջինը:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևեր

Հիմնական նպատակը Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևերըբաղկացած է ֆունկցիաների արտադրյալին անցումից, ինչը շատ օգտակար է եռանկյունաչափական արտահայտությունները պարզեցնելիս։ Այս բանաձևերը լայնորեն կիրառվում են նաև եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, քանի որ դրանք թույլ են տալիս գործոնավորել սինուսների և կոսինուսների գումարն ու տարբերությունը։

Սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալից անցումը գումարին կամ տարբերությանը կատարվում է սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուս արտադրյալի բանաձևերի միջոցով։

Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։

Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:

Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: www.site-ի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերը և արտաքին դիզայնը, չի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:

Եռանկյունաչափական ինքնություններհավասարություններ են, որոնք կապ են հաստատում մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև, ինչը թույլ է տալիս գտնել այս ֆունկցիաներից որևէ մեկը, պայմանով, որ մյուսը հայտնի է:

tg \ալֆա = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \ալֆա = \frac(\cos \ալֆա)(\sin \alpha)

tg \ալֆա \cdot ctg \ալֆա = 1

Այս նույնությունը ասում է, որ մեկ անկյան սինուսի և մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսու գումարը հավասար է մեկի, ինչը գործնականում հնարավորություն է տալիս հաշվարկել մեկ անկյան սինուսը, երբ հայտնի է նրա կոսինուսը և հակառակը։ .

Եռանկյունաչափական արտահայտությունները փոխակերպելիս շատ հաճախ օգտագործվում է այս նույնականությունը, որը թույլ է տալիս մեկ անկյան կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գումարը փոխարինել մեկով, ինչպես նաև կատարել փոխարինման գործողությունը հակառակ հերթականությամբ:

Սինուսի և կոսինուսի միջոցով գտնել տանգենս և կոտանգենս

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Այս ինքնությունները ձևավորվում են սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս սահմանումներից: Ի վերջո, եթե նայեք, ապա ըստ սահմանման y-ի օրդինատը սինուսն է, իսկ x-ի աբսցիսան՝ կոսինուսը։ Այդ դեպքում շոշափողը հավասար կլինի հարաբերությանը \frac(y)(x)=\frac(\sin \ալֆա)(\cos \ալֆա), և հարաբերակցությունը \frac(x)(y)=\frac(\cos \ալֆա)(\sin \ալֆա)- կլինի կոտանգենս:

Ավելացնում ենք, որ միայն այնպիսի անկյունների համար, որոնց համար ընդգրկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաները իմաստ ունեն, նույնությունները տեղի կունենան, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Օրինակ: tg \ալֆա = \frac(\sin \ալֆա)(\cos \ալֆա)վավեր է \ալֆա անկյունների համար, որոնք տարբերվում են \frac(\pi)(2)+\pi z, ա ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ից տարբերվող \ալֆա անկյան համար z-ն ամբողջ թիվ է:

Կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջև

tg \ալֆա \cdot ctg \ալֆա=1

Այս նույնականությունը վավեր է միայն \alpha անկյունների համար, որոնք տարբերվում են \frac(\pi)(2) z. Հակառակ դեպքում կամ կոտանգենսը կամ տանգենսը չեն որոշվի:

Ելնելով վերը նշված կետերից, մենք ստանում ենք դա tg \ալֆա = \frac(y)(x), ա ctg\alpha=\frac(x)(y). Այստեղից հետևում է, որ tg \ալֆա \cdot ctg \ալֆա = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Այսպիսով, մեկ անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը, որտեղ դրանք իմաստ ունեն, փոխադարձ փոխադարձ թվեր են:

Հարաբերությունները շոշափողի և կոսինուսի, կոտանգենսի և սինուսի միջև

tg^(2) \ալֆա + 1=\frac(1)(\cos^(2) \ալֆա)- \ալֆա անկյան շոշափողի և 1-ի քառակուսու գումարը հավասար է այս անկյան կոսինուսի հակադարձ քառակուսուին: Այս ինքնությունը վավեր է բոլոր \alpha-ի համար, բացի \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \ալֆա=\frac(1)(\sin^(2)\ալֆա)- 1-ի և \ալֆա անկյան կոտանգենսի քառակուսու գումարը հավասար է տվյալ անկյան սինուսի հակադարձ քառակուսուին: Այս նույնականացումը վավեր է ցանկացած \alpha-ի համար, բացի \pi z-ից:

Օրինակներ՝ եռանկյունաչափական նույնականության օգտագործմամբ խնդիրների լուծումներով

Օրինակ 1

Գտեք \sin \alpha և tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12և \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Ցույց տալ լուծումը

Որոշում

\sin \alpha և \cos \alpha ֆունկցիաները կապված են բանաձևով \sin^(2)\ալֆա + \cos^(2) \ալֆա = 1. Փոխարինելով այս բանաձեւով \cos \ալֆա = -\frac12, ստանում ենք.

\sin^(2)\ալֆա + \ձախ (-\frac12 \աջ)^2 = 1

Այս հավասարումն ունի 2 լուծում.

\sin \ալֆա = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Ըստ պայմանի \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Երկրորդ եռամսյակում սինուսը դրական է, ուստի \sin \ալֆա = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha-ն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը tg \ալֆա = \frac(\sin \ալֆա)(\cos \ալֆա)

tg \ալֆա = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3

Օրինակ 2

Գտեք \cos \alpha և ctg \alpha, եթե և \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Ցույց տալ լուծումը

Որոշում

Փոխարինելով բանաձևի մեջ \sin^(2)\ալֆա + \cos^(2) \ալֆա = 1պայմանական համարը \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ստանում ենք \ձախ (\frac(\sqrt3)(2)\աջ)^(2) + \cos^(2) \ալֆա = 1. Այս հավասարումն ունի երկու լուծում \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Ըստ պայմանի \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Երկրորդ եռամսյակում կոսինուսը բացասական է, ուստի \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha-ն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը ctg \ալֆա = \frac(\cos \ալֆա)(\sin \ալֆա). Մենք գիտենք համապատասխան արժեքները։

ctg \ալֆա = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Սա վերջին և ամենակարևոր դասն է, որն անհրաժեշտ է B11 խնդիրները լուծելու համար: Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է անկյունները վերածել ռադիանի չափման աստիճանի չափման (տես «Անկյան ռադիանի և աստիճանի չափումը» դասը), ինչպես նաև գիտենք, թե ինչպես կարելի է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը՝ կենտրոնանալով կոորդինատային քառորդների վրա (տես դաս «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշաններ»):

Հարցը մնում է փոքր՝ հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքը հենց այն թիվը, որը գրված է պատասխանում։ Այստեղ օգնության է հասնում հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը:

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը. Ցանկացած α անկյան համար պնդումը ճշմարիտ է.

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Այս բանաձևը կապում է մեկ անկյան սինուսը և կոսինուսը: Այժմ, իմանալով սինուսը, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել կոսինուսը և հակառակը: Բավական է վերցնել քառակուսի արմատը.

Ուշադրություն դարձրեք «±» նշանը արմատների դիմաց: Փաստն այն է, որ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից պարզ չէ, թե որոնք են եղել սկզբնական սինուսը և կոսինուսը՝ դրական, թե բացասական: Չէ՞ որ քառակուսին հավասարաչափ ֆունկցիա է, որը «այրում է» բոլոր մինուսները (եթե այդպիսիք կան):

Ահա թե ինչու բոլոր B11 առաջադրանքներում, որոնք հայտնաբերված են մաթեմատիկայի USE-ում, անպայման կան լրացուցիչ պայմաններ, որոնք օգնում են ազատվել նշաններով անորոշությունից: Սովորաբար սա կոորդինատային եռամսյակի ցուցիչ է, որով կարելի է որոշել նշանը:

Ուշադիր ընթերցողը անպայման կհարցնի. «Ի՞նչ կասեք շոշափողի և կոտանգենսի մասին»: Անհնար է ուղղակիորեն հաշվարկել այդ գործառույթները վերը նշված բանաձևերից: Այնուամենայնիվ, հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից կարևոր հետևություններ կան, որոնք արդեն պարունակում են շոշափողներ և կոտանգենսներ: Այսինքն:

Կարևոր հետևություն. α ցանկացած անկյան համար հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

Այս հավասարումները հեշտությամբ կարելի է եզրակացնել հիմնական նույնականությունից. բավական է երկու կողմերը բաժանել cos 2 α-ի (շոշափում ստանալու համար) կամ sin 2 α-ով (կոտանգենսի համար):

Այս ամենին նայենք կոնկրետ օրինակներով։ Ստորև բերված են B11-ի իրական խնդիրները, որոնք վերցված են 2012 թվականի Mathematics USE-ի փորձարկումներից:

Մենք գիտենք կոսինուսը, բայց չգիտենք սինուսը: Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը (իր «մաքուր» ձևով) կապում է հենց այս գործառույթները, ուստի մենք կաշխատենք դրա հետ: Մենք ունենք:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.

Խնդիրը լուծելու համար մնում է գտնել սինուսի նշանը։ Քանի որ α ∈ անկյունը (π /2; π ), ապա աստիճանի չափման մեջ այն գրվում է հետևյալ կերպ. α ∈ (90°; 180°):

Հետևաբար, α անկյունը գտնվում է II կոորդինատային քառորդում. այնտեղ բոլոր սինուսները դրական են: Հետեւաբար sin α = 0.1:

Այսպիսով, մենք գիտենք սինուսը, բայց մենք պետք է գտնենք կոսինուսը: Այս երկու գործառույթներն էլ գտնվում են հիմնական եռանկյունաչափական նույնության մեջ: Մենք փոխարինում ենք.

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

Մնում է զբաղվել կոտորակի դիմացի նշանով։ Ի՞նչ ընտրել՝ գումարած կամ մինուս: Ըստ պայմանի՝ α անկյունը պատկանում է միջակայքին (π 3π /2)։ Անկյունները փոխարկենք ռադիանի չափման աստիճանի չափման - ստանում ենք՝ α ∈ (180°; 270°):

Ակնհայտ է, որ սա III կոորդինատային քառորդն է, որտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են: Հետևաբար cosα = −0,5:

Առաջադրանք. Գտեք tg α, եթե գիտեք հետևյալը.

Տանգենսը և կոսինուսը կապված են հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունից բխող հավասարմամբ.

Ստանում ենք tg α = ±3: Շոշափողի նշանը որոշվում է α անկյան տակ։ Հայտնի է, որ α ∈ (3π /2; 2π ). Անկյունները ռադիանի չափից փոխարկենք աստիճանի չափման. ստանում ենք α ∈ (270°; 360°):

Ակնհայտ է, որ սա IV կոորդինատային քառորդն է, որտեղ բոլոր շոշափողները բացասական են: Հետևաբար, tgα = −3:

Առաջադրանք. Գտեք cos α-ն, եթե գիտեք հետևյալը.

Կրկին սինուսը հայտնի է, իսկ կոսինուսը՝ անհայտ: Մենք գրում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Նշանը որոշվում է անկյունով: Մենք ունենք՝ α ∈ (3π /2; 2π ). Անկյունները աստիճաններից վերածենք ռադիանիների՝ α ∈ (270°; 360°) IV կոորդինատային քառորդն է, կոսինուսներն այնտեղ դրական են։ Հետևաբար, cos α = 0,6:

Առաջադրանք. Գտեք sin α, եթե գիտեք հետևյալը.

Եկեք գրենք բանաձև, որը բխում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից և ուղղակիորեն միացնում է սինուսն ու կոտանգենսը.

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ մեղքը 2 α = 1/25, այսինքն. sin α = ±1/5 = ±0.2. Հայտնի է, որ α ∈ անկյունը (0; π /2). Աստիճաններով սա գրվում է հետևյալ կերպ. α ∈ (0°; 90°) - կոորդինացնում եմ քառորդը:

Այսպիսով, անկյունը գտնվում է I կոորդինատային քառորդում. բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները այնտեղ դրական են, հետևաբար sin α \u003d 0.2: