A valószínűség klasszikus meghatározása megoldja a vizsgát. Valószínűségszámítás a matematika vizsgán

Egy $A$ esemény valószínűsége a $A$ számára kedvező kimenetelek számának és az egyenlően lehetséges kimenetelek számának az aránya

$P(A)=(m)/(n)$, ahol $n$ a lehetséges kimenetelek száma, $m$ pedig az $A$-t előnyben részesítő kimenetelek száma.

Az esemény valószínűsége a $$ szegmensből származó szám

Taxi cég elérhető 50 dollárért autók. 35 dollár fekete, a többi sárga. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy autó véletlenszerű hívásra érkezik sárga szín.

Keresse meg a sárga autók számát:

Összesen 50 dolláros autók vannak, vagyis ötvenből egy jön a hívásra. 15 $ sárga autók vannak, ezért a sárga autó érkezésének valószínűsége $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$

Válasz: 0,3 USD

Ellentétes események

Két eseményt ellentétesnek mondanak, ha ezt a tesztetösszeegyeztethetetlenek, és egyikük megtörténik. Az ellentétes események valószínűsége 1-et ad. A $A$ eseménnyel ellentétes eseményt $((A))↖(-)$ írjuk.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Független események

Két eseményt ($A$ és $B$) függetlennek nevezünk, ha mindegyik előfordulási valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezett-e vagy sem. Egyébként az eseményeket függőnek nevezzük.

Két független esemény $A$ és $B$ szorzatának valószínűsége egyenlő ezen valószínűségek szorzatával:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovics két különböző sorsjegyet vásárolt. Annak a valószínűsége, hogy az első nyer sorsjegy, egyenlő 0,15 dollárral. Annak a valószínűsége, hogy a második lottószelvény nyer, 0,12 dollár. Ivan Ivanovics mindkét sorsoláson részt vesz. Feltételezve, hogy a sorsolásokat egymástól függetlenül tartják meg, határozza meg annak valószínűségét, hogy Ivan Ivanovics mindkét sorsolásnál nyer.

Valószínűség $P(A)$ - megnyeri az első jegyet.

$P(B)$ valószínűség - megnyeri a második jegyet.

A $A$ és a $B$ események független események. Vagyis ahhoz, hogy megtaláljuk mindkét esemény bekövetkezésének valószínűségét, meg kell találni a valószínűségek szorzatát

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P = 0,15 0,12 = 0,018 $

Válasz: 0,018 dollár

Összeférhetetlen események

Két $A$ és $B$ esemény összeegyeztethetetlen, ha nincs olyan eredmény, amely a $A$ és a $B$ eseményt egyaránt kedvezné. (Események, amelyek nem történhetnek meg egyszerre)

Két összeférhetetlen $A$ és $B$ esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Az algebra vizsgán a hallgató az összes vizsgából egy kérdést kap. Annak a valószínűsége, hogy ez a kérdés a témához tartozik " Másodfokú egyenletek", egyenlő 0,3 dollárral. Annak a valószínűsége, hogy ez a kérdés a témához tartozik " Irracionális egyenletek", egyenlő 0,18 dollárral. Ezzel a két témával egyszerre nincs kérdés. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hallgató a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

Ezeket az eseményeket összeegyeztethetetlennek nevezzük, mivel a tanuló VAGY a „Négyszögegyenletek”, VAGY az „Irracionális egyenletek” témában kap egy kérdést. A témákat nem lehet egyszerre fogni. Két összeférhetetlen $A$ és $B$ esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

P $ \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Válasz: 0,48 dollár

Közös rendezvények

Két eseményt akkor nevezünk együttesnek, ha az egyik előfordulása nem zárja ki a másik előfordulását ugyanabban a vizsgálatban. Ellenkező esetben az eseményeket inkompatibilisnek nevezzük.

Két közös esemény ($A$ és $B$) összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével mínusz szorzatuk valószínűsége:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

A mozi előterében két egyforma kávéfőző található. 0,6 dollár annak a valószínűsége, hogy a gépből a nap végére kifogy a kávé. 0,32 dollár annak a valószínűsége, hogy mindkét gépből kifogy a kávé. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a nap végére legalább az egyik automatából kifogy a kávé.

Jelöljük az eseményeket, legyen:

$A$ = a kávé az első gépben ér véget,

$B$ = a kávé a második gépben ér véget.

$A B =$ mindkét automatából kifogy a kávé,

$A + B =$ a kávé legalább egy automatából kifogy.

Megállapodás szerint $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = 0,32 USD.

A $A$ és a $B$ események együttesek, két közös esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, csökkentve a szorzatuk valószínűségével:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 - 0,32 = 0,88 $

A mai napig a matematikai USE problémák nyílt bankjában (mathege.ru) került bemutatásra, amelynek megoldása egyetlen képletre épül, amely a valószínűség klasszikus definíciója.

A képlet megértésének legegyszerűbb módja a példák segítségével.
1. példa 9 piros és 3 kék golyó van a kosárban. A golyók csak színükben különböznek egymástól. Véletlenszerűen (nézegetés nélkül) kapunk egyet belőlük. Mennyi a valószínűsége, hogy az így kiválasztott labda kék lesz?

Megjegyzés. Valószínűségi problémák esetén történik valami (jelen esetben a labda elhúzása), aminek lehet eltérő eredmény- eredmény. Meg kell jegyezni, hogy az eredmény többféleképpen is megtekinthető. "Kihúztunk egy labdát" is eredmény. „Kihúztuk a kék labdát” – ez az eredmény. „Az összes lehetséges golyó közül ezt a bizonyos labdát húztuk ki” – az eredménynek ezt a legkevésbé általánosított nézetét nevezzük elemi eredménynek. A valószínűségszámítási képletben az elemi eredményeket értjük.

Döntés. Most kiszámítjuk a kék golyó kiválasztásának valószínűségét.
A esemény: "a kiválasztott labda kék lett"
Az összes lehetséges kimenetel száma: 9+3=12 (az összes húzható labda száma)
Az A eseményre kedvező kimenetelek száma: 3 (azoknak a kimeneteleknek a száma, amelyeknél az A esemény bekövetkezett – vagyis a kék golyók száma)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Válasz: 0,25

Számítsuk ki ugyanerre a feladatra a piros golyó kiválasztásának valószínűségét.
A lehetséges kimenetelek száma változatlan marad, 12. A kedvező kimenetelek száma: 9. A kívánt valószínűség: 9/12=3/4=0,75

Bármely esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van.
Néha a mindennapi beszédben (de a valószínűségszámításban nem!) az események valószínűségét százalékban becsülik. A matematikai és a társalgási értékelés közötti átmenet 100%-kal való szorzással (vagy osztással) történik.
Így,
Ebben az esetben a valószínűsége nulla azoknak az eseményeknek, amelyek nem történhetnek meg – valószínűtlen. Például a mi példánkban ez annak a valószínűsége lenne, hogy zöldlabdát húzzunk a kosárból. (A kedvező kimenetelek száma 0, P(A)=0/12=0, ha a képlet szerint számoljuk)
Az 1. valószínűségnek vannak olyan eseményei, amelyek teljesen biztosan meg fognak történni, opciók nélkül. Például annak a valószínűsége, hogy "a kiválasztott labda piros vagy kék lesz" a mi problémánk. (Kedvező eredmények száma: 12, P(A)=12/12=1)

Megnéztünk egy klasszikus példát, amely illusztrálja a valószínűség meghatározását. Mindegyik hasonló HASZNÁLJON feladatokat a valószínűségszámítás szerint ennek a képletnek az alkalmazásával oldjuk meg.
Piros és kék golyók helyett lehetnek alma és körte, fiúk és lányok, tanult és nem tanult jegyek, adott témában kérdést tartalmazó és nem tartalmazó jegyek (prototípusok , ), hibás és jó minőségű táskák vagy kerti szivattyúk (prototípusok) , ) - az elv ugyanaz marad.

Kissé eltér az elméleti probléma megfogalmazásában HASZNÁLJA a valószínűségeket, ahol ki kell számolnia egy esemény bekövetkezésének valószínűségét egy adott napon. ( , ) Az előző feladatokhoz hasonlóan itt is meg kell határozni, hogy mi az elemi eredmény, majd alkalmazni kell ugyanazt a képletet.

2. példa A konferencia három napig tart. Az első és a második napon 15-15 előadó, a harmadik napon - 20. Mennyi a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolója a harmadik napra esik, ha sorsolással határozzák meg a beszámolók sorrendjét?

Mi itt az elemi eredmény? - Professzori jelentés hozzárendelése egy beszéd lehetséges sorszámához. A sorsoláson 15+15+20=50 fő vesz részt. Így M. professzor jelentése az 50 szám egyikét kaphatja. Ez azt jelenti, hogy csak 50 elemi eredmény létezik.
Mik a kedvező eredmények? - Azok, amelyekben kiderül, hogy a professzor harmadnap fog megszólalni. Azaz az utolsó 20 szám.
A képlet szerint a valószínűség P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Válasz: 0.4

A sorsolás itt véletlenszerű levelezés létrehozása az emberek és a megrendelt helyek között. A 2. példában az egyeztetést abból a szempontból vettük figyelembe, hogy egy adott személy mely helyek közül kerülhet ki. Ugyanezt a helyzetet meg lehet közelíteni a másik oldalról is: az emberek közül ki milyen valószínűséggel juthat el egy adott helyre (prototípusok , , , ):

3. példa A sorsoláson 5 német, 8 francia és 3 észt vesz részt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első (/második/hetedik/utolsó - mindegy) francia lesz.

Az elemi eredmények száma az összes száma lehetséges emberek akik sorsolás útján bekerülhettek adott hely. 5+8+3=16 fő.
Kedvező eredmények - a franciák. 8 fő.
Kívánt valószínűség: 8/16=1/2=0,5
Válasz: 0,5

A prototípus kicsit más. Vannak az érmékkel () és a kockákkal () kapcsolatos feladatok, amelyek valamivel kreatívabbak. Ezekre a problémákra megoldások találhatók a prototípus oldalakon.

Íme néhány példa az érme- vagy kockafeldobásra.

4. példa Amikor feldobunk egy érmét, mekkora a valószínűsége annak, hogy farkat kapunk?
2. eredmény – fej vagy farok. (Úgy tartják, hogy az érme soha nem esik a szélére) Kedvező eredmény - farok, 1.
Valószínűség 1/2=0,5
Válasz: 0,5.

5. példa Mi van, ha kétszer feldobunk egy érmét? Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkét alkalommal előkerül?
A lényeg az, hogy meghatározzuk, hogy két érme feldobásakor milyen alapvető eredményeket vesszük figyelembe. Két érme feldobása után a következő eredmények egyike következhet be:
1) PP - mindkét alkalommal feljött a farok
2) PO – először farok, másodszor fejek
3) OP - első alkalommal fejek, másodszor farok
4) OO – mindkétszer fejjel
Nincs más lehetőség. Ez azt jelenti, hogy 4 elemi kimenetel van, csak az első kedvező, 1.
Valószínűség: 1/4=0,25
Válasz: 0,25

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy érme két feldobása a farokra esik?
Az elemi kimenetek száma megegyezik, 4. Kedvező eredmény a második és a harmadik, 2.
Egy farok megszerzésének valószínűsége: 2/4=0,5

Ilyen problémák esetén egy másik képlet jól jöhet.
Ha egy pénzfeldobással lehetőségek 2 eredményünk van, akkor két dobásnál 2 2=2 2 =4 lesz az eredmény (mint az 5. példában), három dobásnál 2 2 2=2 3 =8, négynél: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N dobásra 2·2·...·2=2 N lehetséges kimenetel van.

Tehát megtalálhatja annak valószínűségét, hogy 5 érmefeldobásból 5 farokot kap.
Az elemi eredmények száma összesen: 2 5 =32.
Kedvező eredmények: 1. (RRRRRR - mind az 5-ször farok)
Valószínűség: 1/32=0,03125

Ugyanez igaz a kockákra is. Egy dobással 6 eredmény lehetséges, tehát két dobásnál: 6 6=36, háromnál 6 6 6=216 stb.

6. példa Dobunk egy kockát. Mennyi a valószínűsége annak, hogy páros számot kapunk?

Összes eredmény: 6, az arcok számától függően.
Kedvező: 3 eredmény. (2, 4, 6)
Valószínűség: 3/6=0,5

7. példa Dobj két kockát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 10-et dobnak? (kerekek századokig)

6 kimenetel lehetséges egy kockának. Így kettőre a fenti szabály szerint 6·6=36.
Milyen kimenetelek lesznek kedvezőek ahhoz, hogy összesen 10 kiessen?
A 10-et két szám összegére kell bontani 1-től 6-ig. Ezt kétféleképpen lehet megtenni: 10=6+4 és 10=5+5. Tehát a kockák esetében a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:
(6 az elsőn és 4 a másodikon)
(4 az elsőn és 6 a másodikon)
(5 az elsőn és 5 a másodikon)
Összesen 3 lehetőség. Kívánt valószínűség: 3/36=1/12=0,08
Válasz: 0,08

A B6-problémák egyéb típusairól a következő „Hogyan lehet megoldás” című cikkben lesz szó.

V-6-2014 (mind az 56 prototípus az USE banktól)

Legyen képes építeni és felfedezni a legegyszerűbbet matematikai modellek(Valószínűségi elmélet)

1. Egy véletlenszerű kísérletben két kockát dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy összesen 8 pontot kap. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Döntés: Azon kimenetelek száma, amelyekben 8 pont esik ki egy kockadobás eredményeként: 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Mindegyik kocka hatféleképpen eshet ki, így az összes kimenetel száma 6 6 = 36. Így annak a valószínűsége, hogy összesen 8 pont esik ki, 5: 36=0,138…=0,14

2. Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek pontosan egyszer jelennek meg. Megoldás: A kísérletnek 4 lehetséges eredménye van: fej-fej, fej-farok, farok-fej, farok-farok. A fejek pontosan egyszer jönnek fel két esetben: fej-farok és farok-fej. Ezért annak a valószínűsége, hogy a fejek pontosan 1 alkalommal esnek ki, 2: 4 = 0,5.

3. A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 USA-ból, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az elsőként versenyző sportoló Kínából származik. Megoldás: Részt vesz a bajnokságbansportolók Kínából. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az elsőként teljesítő sportoló Kínából származik, 5: 20 = 0,25

4. Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 5 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog. Megoldás: Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 1000-5 = 995 nem szivárog. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog, 995:1000 = 0,995

5. A gyár zacskókat gyárt. Átlagosan minden 100 minőségi zacskó jut nyolc rejtett hibás zacskóba. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt táska jó minőségű lesz. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Megoldás: A feltétel szerint minden 100 + 8 = 108 zsákra 100 minőségi zacskó jut. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy a megvásárolt táska jó minőségű lesz, 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. Finnországból 4, Dániából 7, Svédországból 9, Norvégiából 5 sportoló vesz részt a súlylökő versenyen. A versenyzők versenyzési sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az utolsó versenyző Svédországból származik.. Megoldás: Összesen 4 + 7 + 9 + 5 = 25 sportoló vesz részt a versenyen. Tehát annak a valószínűsége, hogy az utolsóként versenyző sportoló Svédországból lesz, 9: 25 = 0,36

7. Tudományos konferencia 5 nap múlva kerül megrendezésre. Összesen 75 bejelentést terveznek - az első három napon, egyenként 17-et, a többit egyenlő arányban osztják el a negyedik és az ötödik nap között. A beszámolók sorrendjét sorsolás határozza meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolóját a konferencia utolsó napjára időzítik? Megoldás: Az első három napban 51 beszámolót olvasnak fel, az utolsó két napra 24 jelentést terveznek. Ezért az utolsó napra 12 jelentés készül. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolója a konferencia utolsó napjára kerül beütemezésre, 12: 75 = 0,16

8. Az előadók vetélkedője 5 napon belül kerül megrendezésre. Összesen 80 előadást hirdettek meg – minden országból egyet. Az első napon 8 előadás van, a többi egyenlő arányban oszlik el a hátralévő napok között. Az előadások sorrendjét sorsolás határozza meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Oroszország képviselőjének fellépése a harmadik versenynapon lesz? Megoldás: Harmadik napra tervezettbeszédeket. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy oroszországi képviselő előadását a verseny harmadik napjára tervezik, 18: 80 = 0,225

9. A szemináriumra 3 tudós Norvégiából, 3 Oroszországból és 4 Spanyolországból érkezett. A beszámolók sorrendjét sorsolás határozza meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a nyolcadik egy orosz tudós jelentése lesz. Megoldás: Összesen 3 + 3 + 4 = 10 tudós vesz részt a szemináriumon, ami azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy a nyolcadik tudós Oroszországból lesz, 3:10 = 0,3.

10. A tollaslabda bajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket sorsolás útján véletlenszerűen játékpárokba osztják. Összesen 26 tollaslabdázó vesz részt a bajnokságban, köztük 10 oroszországi résztvevő, köztük Ruslan Orlov. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első körben Ruslan Orlov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval fog játszani? Megoldás: Az első körben Ruslan Orlov 26 − 1 = 25 tollaslabdázóval játszhat, ebből 10 − 1 = 9 oroszországi. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az első körben Ruslan Orlov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval játszik, 9: 25 = 0,36

11. A biológia jegyek gyűjteményében mindössze 55 jegy található, ebből 11 tartalmaz botanikai kérdést. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy diák egy véletlenszerűen kiválasztott vizsgajegyben botanikai kérdést kap. Megoldás: 11: 55 = 0,2

12. A búvárbajnokságon 25 sportoló indul, köztük 8 oroszországi és 9 paraguayi ugró. Az előadások sorrendjét sorsolás határozza meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hatodik ugró Paraguayból lesz.

13. Két gyár ugyanazt az üveget gyártja az autók fényszóróihoz. Az első gyár a poharak 30% -át, a második 70% -át gyártja. Az első gyár a hibás üvegek 3% -át, a második pedig 4% -át állítja elő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a boltban véletlenül vásárolt pohár hibás lesz.

Döntés. %% átalakítása törtté.

A esemény – "Vásárolt szemüveget az első gyárból." P(A)=0,3

B esemény - "A második gyár szemüvegét megvásároltuk." P(B)=0,7

X esemény – "A Windows hibás".

P(A és X) = 0,3*0,03=0,009

P(B és X) = 0,7*0,04=0,028 A teljes valószínűségi képlet szerint: P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Ha A. nagymester fehéren játszik, akkor B. nagymestert nyer 0,52-es valószínűséggel. Ha A. feketén játszik, akkor A. 0,3 valószínűséggel veri B.-t. A. és B. nagymesterek két játékot játszanak, a másodikban pedig megváltoztatják a figurák színét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy A. mindkét alkalommal nyer! Döntés: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya és Lyosha sorsoltak - ki kezdje a játékot. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Petya elkezdi a játékot.

Megoldás: Véletlenszerű kísérlet - sorsolás.
Ebben a kísérletben az elemi esemény az a résztvevő, aki nyer.
Felsoroljuk a lehetséges elemi eseményeket:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
4 db lesz belőle, i.e. N=4. A tételből következik, hogy minden elemi esemény egyformán lehetséges.
Az A= eseménynek (Petya nyert) csak egy elemi esemény (Petya) kedvez. Ezért N(A)=1.
Ekkor P(A)=0,25 Válasz: 0,25.

16. A világbajnokságon 16 csapat vesz részt. Sorshúzással négy, egyenként négy csapatból álló csoportba kell őket osztani. A dobozban kártyák vannak keverve a következő csoportszámokkal: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. A csapatkapitányok egyszerre egy lapot húznak. . Mennyi annak a valószínűsége, hogy az orosz csapat a második csoportba kerül? Döntés: Összesen 16 eredmény van. 2-es számmal 4 lesz. Tehát 4: 16=0,25

17. A geometria vizsgán a hallgató egy kérdést kap a vizsgakérdések listájából. Annak a valószínűsége, hogy ez egy beírt körkérdés, 0,2. Annak a valószínűsége, hogy ez egy párhuzamos kérdés, 0,15. Ezzel a két témával egyszerre nincs kérdés. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hallgató a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

= (kérdés a "Beírt kör" témában),
= (egy kérdés a "Paralelogramma" témában).
Eseményekés összeegyeztethetetlenek, mivel feltétel szerint nincs a listában egyszerre ehhez a két témához kapcsolódó kérdés.
Esemény= (kérdés e két téma egyikében) a szövetségük:.
Az inkompatibilis események valószínűségének összeadásához a következő képletet alkalmazzuk:
.

18.B pláza két egyforma automata kávét árul. 0,3 annak a valószínűsége, hogy a gépből a nap végére kifogy a kávé. 0,12 annak a valószínűsége, hogy mindkét gépből kifogy a kávé. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a nap végére mindkét automatában marad kávé.

Határozzuk meg az eseményeket
= (a kávé az első gépben ér véget),
= (a kávé a második gépben fog véget érni).
A feladatnak megfelelőenés .
A valószínűségek összeadására szolgáló képlet segítségével megtaláljuk egy esemény valószínűségét
és = (legalább az egyik gépben elfogy a kávé):

.
Ezért az ellenkező esemény valószínűsége (a kávé mindkét gépben marad) egyenlő
.

19. Egy biatlonista ötször lő célba. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,8. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a biatlonos az első három alkalommal eltalálta a célokat, és az utolsó kettőt eltévesztette. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Ebben a feladatban azt feltételezzük, hogy minden következő lövés eredménye nem függ az előzőektől. Ezért az események „eltalálják az első lövést”, „találják a második lövést” stb. független.
Az egyes találatok valószínűsége a. Tehát minden kihagyás valószínűsége az. A független események valószínűségének szorzására a képletet használjuk. Megértjük a sorrendet
= (hit, hit, hit, miss, miss) van valószínűsége
=
= . Válasz: .

20. Két fizető automata van az üzletben. Mindegyik 0,05-ös valószínűséggel hibás lehet, függetlenül a másik automatától. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy automata üzemképes.

Ez a probléma feltételezi az automaták működésének függetlenségét is.
Határozza meg az ellenkező esemény valószínűségét!
= (mindkét gép hibás).
Ehhez a független események valószínűségének szorzására szolgáló képletet használjuk:
.
Tehát egy esemény valószínűsége= (legalább egy automata működik) egyenlő. Válasz: .

21. A helyiséget két lámpás lámpás világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy év alatt kiég, 0,3. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki egy éven belül. Megoldás: Mindkettő kiég (az események függetlenek és a valószínűségek szorzatának képletét használjuk) p1=0,3⋅0,3=0,09 valószínűséggel
Ellentétes esemény(NEM fog kiégni mindkettő = legalább EGY nem ég ki)
p=1-p1=1-0,09=0,91 valószínűséggel fog megtörténni
VÁLASZ: 0,91

22. Annak valószínűsége, hogy új Elektromos vízforraló szolgálni fog több mint egy éve, egyenlő 0,97-tel. Annak a valószínűsége, hogy két évnél tovább fog tartani, 0,89. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két évnél rövidebb, de egy évnél tovább tart.

Döntés.

Legyen A = "a vízforraló több mint egy évig, de kevesebb mint két évig fog bírni", B = "a vízforraló több mint két évig fog bírni", akkor A + B = "a vízforraló több mint egy évig bírja."

Az A és B események együttesek, összegük valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, csökkentve a szorzatuk valószínűségével. Ezen események szorzatának valószínűsége, amely abban áll, hogy a vízforraló pontosan két éven belül meghibásodik - pontosan ugyanazon a napon, órában és másodpercben - nullával egyenlő. Azután:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

ahonnan a feltétel adatait felhasználva 0,97 = P(A) + 0,89-et kapunk.

Így a kívánt valószínűséghez P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Agrocégek vásárlásai csirke tojás két háztartásban. Az első gazdaságból származó tojások 40% -a a legmagasabb kategóriájú, a második gazdaságból származó tojások 20% -a a legmagasabb kategóriába tartozó tojás. Összességében a tojások 35%-a kapja a legmagasabb kategóriát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az erről a farmról vásárolt tojás az első farmról származik. Döntés: Az első farmot beengedi, a mezőgazdasági cég vásárol tojás, beleértve a legmagasabb kategóriájú tojás, és a második gazdaságban - tojás, beleértve a legmagasabb kategóriájú tojás. Így összességében az agroform vásárol tojás, beleértve a legmagasabb kategóriájú tojás. Feltétel szerint a tojások 35%-a a legmagasabb kategóriájú, akkor:

Ezért annak a valószínűsége, hogy a vásárolt tojás az első gazdaságból származik, egyenlő =0,75

24. A telefon billentyűzetén 10 szám található, 0-tól 9-ig. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen lenyomott szám páros lesz?

25. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott természetes szám 10-től 19-ig osztható hárommal?

26. Cowboy John 0,9-es valószínűséggel eltalálja a falat egy legyet, ha lőtt revolverből lő. Ha John kilő egy lövés nélküli revolvert, akkor 0,2-es valószínűséggel eltalál egy legyet. 10 revolver van az asztalon, ebből csak 4 lőtt. Cowboy John egy legyet lát a falon, véletlenszerűen megragadja az első revolvert, amivel találkozik, és rálő a légyre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy John elhibázza. Megoldás: János eltalálja a legyet, ha megragad egy látó revolvert, és eltalál belőle, vagy ha megragad egy ki nem sütött revolvert és eltalál. A feltételes valószínűségi képlet szerint ezen események valószínűsége 0,4 0,9 = 0,36, illetve 0,6 0,2 = 0,12. Ezek az események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: 0,36 + 0,12 = 0,48. Az esemény, amelyet John kihagy, ennek az ellenkezője. Valószínűsége 1 − 0,48 = 0,52.

27. Egy turistacsoportban 5 fő van. Tételsorok segítségével kiválasztanak két embert, akiknek a faluba kell menniük ennivalóért. A. turista szeretne boltba menni, de aláveti magát a tételnek. Mennyi annak a valószínűsége, hogy A elmegy a boltba? Döntés: Összesen öt turista van, közülük kettőt véletlenszerűen választanak ki. A kiválasztottság valószínűsége 2:5 = 0,4. Válasz: 0.4.

28. Mielőtt elkezdené labdarúgó mérkőzés A játékvezető egy érmét dob fel, hogy meghatározza, melyik csapat kezdje meg a labdajátékot. A Fizikus csapat három mérkőzést játszik különböző csapatokkal. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezekben a játékokban a „fizikus” pontosan kétszer nyeri meg a sorsot. Megoldás: Jelöljük „1”-el az éremnek azt az oldalát, amelyik a „fizikus” sorsolásért felelős, az érme másik oldalát „0”-val jelöljük. Ezután három előnyös kombináció van: 110, 101, 011, és összesen 2 kombináció van 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Így a kívánt valószínűség:

29. Kétszer dobunk egy kockát. Hány elemi tapasztalati eredmény kedvez az "A = pontok összege 5" eseménynek? Megoldás: A pontok összege négy esetben lehet egyenlő 5-tel: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Válasz: 4.

30. Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobunk fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az OR kimenetele megérkezik (első alkalommal fej, másodszor farok). Döntés: Négy lehetséges kimenetel van: fej-fej, fej-farok, farok-fej, farok-farok. Kedvező az egyik: fej-farkú. Ezért a kívánt valószínűség 1: 4 = 0,25. Válasz: 0,25.

31. Csoportok lépnek fel a rockfesztiválon – minden bejelentett országból egy-egy. A teljesítési sorrendet sorsolással határozzák meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dán együttes egy svéd és egy norvég együttes után lép fel? Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Döntés: A fesztiválon fellépő együttesek összlétszáma nem számít a kérdés megválaszolásához. Nem számít, hányan vannak, a megjelölt országokhoz 6 módja van relatív pozíció a felszólalók között (D - Dánia, S - Svédország, N - Norvégia):

L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Dánia két alkalommal Svédország és Norvégia után következik. Ezért annak a valószínűsége, hogy a csoportok ilyen módon véletlenszerűen lesznek elosztva, egyenlő Válasz: 0,33.

32. Tüzérség tüzelésekor automatikus rendszer célba lő. Ha a célpont nem semmisül meg, a rendszer újra tüzel. A lövéseket addig ismételjük, amíg a célpont meg nem semmisül. Egy bizonyos cél megsemmisítésének valószínűsége az első lövéssel 0,4, és minden további lövéssel 0,6. Hány lövés szükséges ahhoz, hogy a cél megsemmisítésének valószínűsége legalább 0,98 legyen? Döntés: A feladatot "cselekvéssel" oldhatja meg, kiszámítva a túlélési valószínűséget sorozatos kihagyások után: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Az utolsó valószínűség kisebb, mint 0,02, tehát elegendő öt lövés a célpontra.

33. A verseny következő fordulójába való továbbjutáshoz egy futballcsapatnak két mérkőzésen legalább 4 pontot kell szereznie. Ha egy csapat nyer, 3 pontot kap, döntetlen esetén 1 pontot, vereség esetén 0 pontot kap. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a csapat képes továbbjutni a verseny következő fordulójába. Vegyük figyelembe, hogy minden játékban a győzelem és a veszteség valószínűsége azonos és 0,4. Döntés : Egy csapat két meccsen háromféleképpen szerezhet legalább 4 pontot: 3+1, 1+3, 3+3. Ezek az események összeegyeztethetetlenek, összegük valószínűsége egyenlő valószínűségeik összegével. Mindegyik esemény két független esemény eredménye – az első és a második játék eredménye. Ezért rendelkezünk:

34. Egy bizonyos városban 5000 csecsemőből 2512 fiú. Keresse meg a lányok születési gyakoriságát ebben a városban. Az eredményt ezredrészekre kerekítse. Döntés: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. A repülőgép fedélzetén 12 ülés található a vészkijáratok mellett és 18 ülés a kabinokat elválasztó válaszfalak mögött. A többi ülés kényelmetlen az utas számára magas. V. utas magas. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a bejelentkezéskor véletlenszerű ülésválasztással B. utas kényelmes helyet kap, ha 300 ülőhely van a gépen. Döntés : A gépen 12 + 18 = 30 ülőhely kényelmes V. utas számára, és összesen 300 ülőhely van a gépen. Ezért annak a valószínűsége, hogy B. utas kényelmes ülést kap, 30: 300 = 0,1. Válasz: 0,1.

36. Az egyetemi olimpián a résztvevők három tanteremben ülnek. Az első kettőben egyenként 120 fő, a többit egy másik épület tartalék nézőterére viszik. A számolás során kiderült, hogy összesen 250 résztvevő volt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott résztvevő a szabad szobában írta az olimpiát. Döntés: Összesen 250 − 120 − 120 = 10 fő került a tartalékos hallgatóságba. Ezért annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott résztvevő a szabad helyiségben írta az olimpiát, 10: 250 = 0,04. Válasz: 0,04.

37. 26 ember van az osztályban, köztük két iker – Andrej és Szergej. Az osztályt véletlenszerűen két, egyenként 13 fős csoportra osztják. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Andrej és Szergej ugyanabban a csoportban lesznek. Döntés: Az egyik iker legyen valamelyik csoportban. Vele együtt a megmaradt 25 osztálytársból 12 fő lesz a csoportban. Annak a valószínűsége, hogy a második iker e 12 ember között lesz, 12:25 = 0,48.

38. A taxitársaságban 50 autó van; Ebből 27 fekete, oldalain sárga, a többi sárga, fekete felirattal. Mekkora valószínűséggel érkezik egy fekete feliratú sárga autó egy véletlenszerű hívásra. Megoldás: 23:50=0,46

39. 30 fő van egy turistacsoportban. Helikopterrel több lépésben bedobják őket egy távoli területre, járatonként 6 ember. A helikopter turistákat szállító sorrend véletlenszerű. Határozza meg annak valószínűségét, hogy P. turista felveszi az első helikopterrepülést. Döntés: Az első járaton 6 ülőhely van, összesen 30. Ekkor annak a valószínűsége, hogy P. turista repül az első helikopterre: 6:30 = 0,2

40. Annak a valószínűsége, hogy egy új DVD-lejátszót egy éven belül megjavítanak, 0,045. Egy bizonyos városban az év során eladott 1000 DVD-lejátszóból 51 darab érkezett a garanciális műhelybe. Mennyiben tér el a „garanciális javítás” esemény gyakorisága a városban előforduló valószínűségétől? Megoldás: A „garanciális javítás” esemény gyakorisága (relatív gyakorisága) 51:1000 = 0,051. 0,006-tal tér el a megjósolt valószínűségtől.

41. 67 mm átmérőjű csapágyak gyártásánál annak a valószínűsége, hogy az átmérő legfeljebb 0,01 mm-rel tér el a megadott átmérőtől, 0,965. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű csapágy átmérője 66,99 mm-nél kisebb vagy 67,01 mm-nél nagyobb. Döntés. Az állapot szerint a csapágy átmérője 66,99 és 67,01 mm közötti tartományban lesz 0,965 valószínűséggel. Ezért az ellenkező esemény kívánt valószínűsége 1 − 0,965 = 0,035.

42. Annak a valószínűsége, hogy O. tanuló 11-nél több feladatot helyesen old meg egy biológia teszten, 0,67. Annak a valószínűsége, hogy O. 10-nél több feladatot fog helyesen megoldani, 0,74. Határozza meg annak valószínűségét, hogy O. pontosan 11 feladatot old meg helyesen. Döntés: Tekintsük az A = „a tanuló 11 feladatot fog megoldani” és B = „a tanuló több mint 11 feladatot fog megoldani” eseményeket. Összegük az A + B esemény = "a tanuló több mint 10 feladatot fog megoldani." Az A és B események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével: P(A + B) = P(A) + P(B). Ekkor a feladat adatait felhasználva a következőt kapjuk: 0,74 = P(A) + 0,67, ahonnan P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Válasz: 0,07.

43. A „Nyelvtudományi” intézetbe való felvételhez a jelentkezőnek legalább 70 pontot kell elérnie az egységes államvizsgán mindhárom tárgyból - matematikából, orosz nyelvből és egy idegen nyelvből. A „Kereskedelem” szakra való belépéshez legalább 70 pontot kell szereznie mind a három tantárgyból - matematikából, orosz nyelvből és társadalomismeretekből. Annak a valószínűsége, hogy Z. pályázó legalább 70 pontot kap matematikából, 0,6, orosz nyelvből 0,8. idegen nyelv- 0,7 és a társadalomtudományban - 0,5 Határozza meg annak valószínűségét, hogy Z. be tud lépni az említett két szak közül legalább az egyikre! Megoldás: Ahhoz, hogy Z.-nek legalább valahova bekerüljön, az oroszból és a matematikából is legalább 70 ponttal, ezen kívül pedig legalább 70 ponttal teljesítenie kell egy idegen nyelvet vagy társadalomismeretet. Legyen A, B, C és D - ezek azok az események, amelyeken Z. legalább 70 ponttal teljesíti a matematikát, az oroszt, a külföldit és a társadalomtudományt. Aztán azóta

Az érkezés valószínűségére a következőkkel rendelkezünk:

44. A kerámia edények gyárában a legyártott tányérok 10%-a hibás. A termékminőség-ellenőrzés során a hibás lemezek 80%-át észlelik. A többi tányér eladó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vásárláskor véletlenszerűen kiválasztott lemeznek nincs hibája. Válaszát kerekítse a legközelebbi századra. Döntés : Hagyja, hogy a gyár gyártsatányérok. Az összes kiváló minőségű cintányér és a fel nem fedezett hibás cintányérok 20%-a értékesítésre kerül:tányérok. Mert a minőségiek, a minőségi lemez vásárlásának valószínűsége 0,9p:0,92p=0,978 Válasz: 0,978.

45. Három eladó van az üzletben. Mindegyikük egy klienssel van elfoglalva 0,3 valószínűséggel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű pillanatban mindhárom eladó egy időben elfoglalt (tegyük fel, hogy a vásárlók egymástól függetlenül lépnek be). Döntés : A független események létrejöttének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Ezért annak a valószínűsége, hogy mindhárom eladó elfoglalt

46. A vásárlói vélemények alapján Ivan Ivanovich két online áruház megbízhatóságát értékelte. Annak a valószínűsége kívánt terméket A boltból szállítva 0,8. Annak a valószínűsége, hogy ezt a terméket a B üzletből szállítják, 0,9. Ivan Ivanovics egyszerre rendelte meg az árut mindkét üzletben. Feltételezve, hogy az online áruházak egymástól függetlenül működnek, számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egyik üzlet sem szállítja ki az árut. Döntés: Annak a valószínűsége, hogy az első üzlet nem szállítja ki az árut, 1 − 0,9 = 0,1. Annak a valószínűsége, hogy a második üzlet nem szállítja ki az árut, 1 − 0,8 = 0,2. Mivel ezek az események függetlenek, termékük valószínűsége (mindkét üzlet nem fogja kiszállítani az árut) egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával: 0,1 0,2 = 0,02

47. A járásközpontból naponta közlekedik autóbusz a községbe. 0,94 annak a valószínűsége, hogy hétfőn 20-nál kevesebb utas lesz a buszon. 0,56 annak a valószínűsége, hogy 15-nél kevesebb utas lesz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az utasok száma 15 és 19 között lesz. Megoldás: Tekintsük az A = „kevesebb mint 15 utas van a buszon” és B = „15 és 19 utas között van a buszon” eseményeket. Összegük az A + B esemény = "kevesebb mint 20 utas a buszon". Az A és B események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével: P(A + B) = P(A) + P(B). Ekkor a feladat adatait felhasználva megkapjuk: 0,94 = 0,56 + P(B), innen P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Válasz: 0,38.

48. A röplabda-mérkőzés kezdete előtt a csapatkapitányok igazságos sorsot húznak, hogy eldöntsék, melyik csapat kezdi meg a labdamenetet. Az Állórész csapat felváltva játszik a Rotor, Motor és Starter csapattal. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a Stator csak az első és az utolsó játékot indítja el. Döntés. Meg kell találni három esemény szorzatának valószínűségét: "Stator" elindítja az első játékot, nem indítja el a második játékot, elindítja a harmadik játékot. A független események létrejöttének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Mindegyikük valószínűsége 0,5, innen kapjuk: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Válasz: 0,125.

49. Tündérországban kétféle időjárás van: jó és kiváló, és az időjárás reggelre beállva változatlan marad egész nap. Ismeretes, hogy 0,8 valószínűséggel holnap is olyan lesz az időjárás, mint ma. Ma július 3-a van, szép idő van Tündérországban. Határozza meg annak valószínűségét, hogy július 6-án nagyszerű idő lesz Varázsországban. Döntés. A július 4-i, 5-i és 6-i időjárásra 4 lehetőség van: XXO, XOO, OXO, LLC (itt X jó, O kiváló időjárás). Határozzuk meg az ilyen időjárás valószínűségét: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Ezek az események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Minden hepatitis gyanúja esetén vérvizsgálatot végeznek. Ha az elemzés hepatitist tár fel, akkor az elemzés eredményét hívják pozitív . Hepatitises betegeknél az elemzés azt ad pozitív eredmény 0,9 valószínűséggel. Ha a betegnek nincs hepatitis, akkor a teszt 0,01 valószínűséggel hamis pozitív eredményt adhat. Ismeretes, hogy a hepatitis gyanújával felvett betegek 5%-a ténylegesen hepatitisben szenved. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a klinikára hepatitis gyanújával felvett beteg vizsgálati eredménye pozitív lesz. határozat . A beteg elemzése két okból lehet pozitív: A) a beteg hepatitisben szenved, elemzése helyes; B) a betegnek nincs májgyulladása, elemzése hamis. Ezek összeférhetetlen események, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével. Van: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Misha zsebében négy édesség volt - Grillage, Mókus, Tehén és Fecske, valamint a lakás kulcsai. Misha kivette a kulcsokat, és véletlenül kiejtett egy édességet a zsebéből. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a Grillage cukorka elveszett.

52.Mechanikus órák egy tizenkét órás tárcsa valamikor eltört és megállt. Keresse meg annak a valószínűségét óramutató lefagyott, elérte a 10-es határt, de nem érte el az 1 órás határt. Megoldás: 3: 12=0,25

53. Annak a valószínűsége, hogy az akkumulátor hibás, 0,06. A vásárló az üzletben véletlenszerűen választ ki egy csomagot, amely két elemet tartalmaz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét akkumulátor jó. Megoldás: Annak a valószínűsége, hogy az akkumulátor jó, 0,94. A független események előidézésének valószínűsége (mindkét elem jó lesz) egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával: 0,94 0,94 \u003d 0,8836. Válasz: 0,8836.

54. Egy automata vezeték akkumulátorokat gyárt. Annak a valószínűsége, hogy egy kész akkumulátor hibás, 0,02. Csomagolás előtt minden akkumulátor átmegy egy vezérlőrendszeren. 0,99 annak a valószínűsége, hogy a rendszer elutasítja a rossz akkumulátort. 0,01 annak a valószínűsége, hogy a rendszer tévedésből elutasítja a jó akkumulátort. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott, legyártott akkumulátort visszautasít a vezérlőrendszer. Döntés. Az a helyzet, amikor az akkumulátort elutasítják, a következő események következménye lehet: A = az akkumulátor nagyon rossz, és tisztességesen elutasították, vagy B = az akkumulátor jó, de tévedésből elutasították. Ezek összeférhetetlen események, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével. Nekünk van:

55. Az ábrán egy labirintus látható. A pók bemászik a labirintusba a "Bejárat" pontnál. A pók nem tud megfordulni és visszakúszni, ezért minden egyes elágazásnál a pók választ egy olyan utat, amelyen még nem járt. Feltéve, hogy a további út kiválasztása teljesen véletlenszerű, határozza meg, milyen valószínűséggel fog a pók kilépni.

Döntés.

Mind a négy megjelölt elágazásnál a pók választhat a D kijárathoz vezető utat vagy egy másik utat 0,5 valószínűséggel. Ezek független események, szorzatuk valószínűsége (a pók eléri a D kijáratot) egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Ezért a D kimenethez való eljutás valószínűsége (0,5) 4 = 0,0625.

Tervezzen egy workshopot Tula város oktatási intézményének matematika tanárai számára a következő témában: „Használati feladatok megoldása a matematikában a következő szakaszokból: kombinatorika, valószínűségszámítás. Tanítási módszerek"

Időtöltés: 12 00 ; 15 00

Elhelyezkedés: MBOU "Lyceum No. 1", szoba. 8. sz

ÉN. Problémamegoldás a valószínűségre

1. Feladatok megoldása a valószínűség klasszikus definíciójával

Tanárként már tudjuk, hogy az USE fő feladattípusai a valószínűségszámításban a valószínűség klasszikus definícióján alapulnak. Emlékezzünk vissza, mit nevezünk egy esemény valószínűségének?

Egy esemény valószínűsége az adott eseményhez kedvező kimenetelek számának aránya teljes szám eredmények.

A matematikatanárok tudományos és módszertani egyesületében a általános séma problémamegoldás a valószínűségre. Szeretném a figyelmébe ajánlani. Egyébként megosztottuk a munkatapasztalatainkat, és azokban az anyagokban, amelyeket a problémamegoldás közös megbeszélésére adtunk a figyelmükbe, ezt a sémát adtuk. Ennek ellenére hangot akarok adni.

Véleményünk szerint ez a séma segít abban, hogy minden gyorsan logikusan a polcokra kerüljön, és ezt követően a feladat sokkal könnyebben megoldható mind a tanár, mind a diákok számára.

Tehát szeretném részletesen elemezni a következő tartalom problémáját.

Azért szerettem volna veled beszélgetni, hogy elmagyarázzam a módszertant, hogyan kell egy ilyen megoldást átadni a srácoknak, ami során a srácok megértik ezt a tipikus feladatot, majd később maguk is megértik ezeket a feladatokat.

Mi a véletlenszerű kísérlet ebben a problémában? Most el kell különítenünk az elemi eseményt ebben a kísérletben. Mi ez az elemi esemény? Soroljuk fel őket.

Kérdései vannak?

Kedves kollégák! Nyilvánvalóan Önök is számításba vették a valószínűségi problémákat a kockákkal. Azt hiszem, szét kell szednünk, mert van néhány árnyalat. Elemezzük ezt a problémát az általunk javasolt séma szerint. Mivel a kocka minden lapján 1-től 6-ig terjedő szám található, az elemi események az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok. Azt találtuk, hogy az elemi események száma összesen 6. Határozzuk meg, hogy melyik elemi események kedveznek az eseménynek. Csak két esemény kedvez ennek az eseménynek - az 5 és a 6 (mivel abból a feltételből következik, hogy 5 és 6 pontnak kell kiesnie).

Magyarázd el, hogy minden elemi esemény egyformán lehetséges! Milyen kérdések lesznek a feladattal kapcsolatban?

Hogyan érti, hogy az érme szimmetrikus? Tegyük tisztába, néha bizonyos kifejezések félreértéseket okoznak. Értsük meg ezt a problémát fogalmilag. Foglalkozzunk veled abban a leírt kísérletben, hogy milyen elemi eredmények lehetnek. El tudod képzelni, hol a fej, hol a farok? Mik a kiesési lehetőségek? Vannak más események is? Mennyi az események száma összesen? A probléma szerint ismert, hogy a fejek pontosan egyszer estek ki. Szóval ez az eseményelemi események ebből a négy OR és RO szívességből, ez már kétszer nem fordulhat elő. Azt a képletet használjuk, amellyel egy esemény valószínűségét megtaláljuk. Emlékezzünk vissza, hogy a B rész válaszainak egésznek vagy tizedesjegynek kell lenniük.

Megjelenítés az interaktív táblán. Elolvastuk a feladatot. Mi ennek az élménynek az alapvető eredménye? Tisztázza, hogy a pár rendezett - vagyis a szám az első kockára esett, és a második kockára. Bármely feladatban vannak pillanatok, amikor racionális módszereket, formákat kell választani, és a megoldást táblázatok, diagramok stb. formájában kell bemutatni. Ebben a problémában kényelmes egy ilyen táblázat használata. már adok neked kulcsrakész megoldás, de a megoldás során kiderül, hogy ebben a feladatban ésszerű a megoldást táblázat formájában használni. Magyarázza el, mit jelent a táblázat! Megérted, hogy az oszlopokban miért 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Rajzoljunk négyzetet. A vonalak megfelelnek az első dobás eredményének – hat van belőlük, mert a kocka hat lapja van. Ahogy az oszlopok is. Minden cellába írjuk a kiesett pontok összegét. Mutasd meg az elkészült táblázatot! Színezzük ki azokat a cellákat, ahol az összeg egyenlő nyolczal (ahogy a feltételben szükséges).

Úgy gondolom, hogy a következő probléma az előzőek elemzése után a srácoknak adható önálló megoldásra.

A következő feladatokban nem szükséges minden elemi eredményt leírni. Elég csak megszámolni a számukat.

(Megoldás nélkül) Megadtam a srácoknak, hogy maguk oldják meg ezt a problémát. Algoritmus a probléma megoldásához

1. Határozza meg, mi a véletlenszerű kísérlet és mi a véletlenszerű esemény!

2. Határozza meg az elemi események teljes számát!

3. Megkeressük azoknak az eseményeknek a számát, amelyek kedveznek a probléma feltételében meghatározott eseménynek.

4. Határozza meg egy esemény valószínűségét a képlet segítségével!.

A tanulóknak feltehető egy kérdés, hogy ha 1000 db akkumulátor került értékesítésre, és ebből 6 db hibás, akkor a kiválasztott akkumulátort a következőképpen határozzuk meg? Mi a feladatunk? Ezután felteszek egy kérdést az itt számként használt dolgok megtalálásárólés azt javaslom megkeresniszám. Akkor kérdezem, mi itt az esemény? Hány akkumulátor támogatja az esemény befejezését? Ezután a képlet segítségével kiszámítjuk ezt a valószínűséget.

Itt a gyerekeknek egy második megoldást lehet ajánlani. Beszéljük meg, mi lehet ez a módszer?

1. Milyen esemény jöhet szóba most?

2. Hogyan találjuk meg egy adott esemény valószínűségét?

A gyerekeknek el kell mondani ezeket a képleteket. Ők következnek

A nyolcadik feladatot önállóan is fel lehet ajánlani a gyerekeknek, mivel ez hasonló a hatodik feladathoz. Felajánlható nekik, mint önálló munkavégzés, vagy egy kártyán a táblánál.

Ez a probléma a jelenleg zajló olimpiával kapcsolatban megoldható. Annak ellenére, hogy a feladatokban különböző rendezvények vesznek részt, a feladatok jellemzőek.

2. A valószínűségszámítás legegyszerűbb szabályai és képletei (ellentétes események, események összege, események szorzata)

Ez egy feladat tőle USE gyűjtemény. A megoldást feltesszük a táblára. Milyen kérdéseket tegyünk a tanulók elé a probléma elemzéséhez?

1. Hány géppuska volt? Ha egyszer két automata, akkor már két esemény van. Kérdezem a gyerekeket, hogy mi lesz az esemény? Mi lesz a második esemény?

2. az esemény valószínűsége. Nem kell számolnunk, mivel a feltételben van megadva. A probléma feltétele szerint 0,12 annak a valószínűsége, hogy "mindkét gépből kifogy a kávé". Volt egy esemény A, volt egy esemény B. És megjelenik egy új esemény? Felteszem a gyerekeknek a kérdést – mi? Ez egy olyan esemény, amikor mindkét automatából kifogy a kávé. Ebben az esetben a valószínűségelméletben ez egy új esemény, amelyet két A és B esemény metszéspontjának nevezünk és így jelölünk.

Használjuk a valószínűségi összeadás képletét. A képlet a következő

A referenciaanyagban megadjuk, és a srácok megadhatják ezt a képletet. Lehetővé teszi, hogy megtalálja az események összegének valószínűségét. Megkérdeztük az ellenkező esemény valószínűségét, amelynek valószínűségét a képlet határozza meg.

A 13. feladat az események szorzatának fogalmát használja, melynek valószínűségének meghatározására szolgáló képlet a Függelékben található.

3. Feladatok a lehetséges lehetőségek fájának alkalmazásához

A probléma feltételének megfelelően könnyen elkészíthető diagram, és megtalálhatja a feltüntetett valószínűségeket.

Milyen segítséggel elméleti anyag Dolgoztál már diákokkal ilyen jellegű problémák megoldásán? Lehetőségek fát használtál, vagy más módszereket használtál az ilyen problémák megoldására? Megadtad a grafikonok fogalmát? Ötödik-hatodik osztályban a srácoknak vannak ilyen problémái, ezek elemzése adja meg a grafikon fogalmát.

Azt szeretném kérdezni Öntől, hogy Ön és diákjai fontolgatták-e, hogy lehetőségfát használjanak a valószínűségi problémák megoldása során? Az tény, hogy nem csak a USE-nak vannak ilyen feladatai, hanem meglehetősen összetett feladatok is megjelentek, amelyeket most megoldunk.

Beszéljük meg veled az ilyen problémák megoldásának módszertanát - ha egybeesik az én módszeremmel, ahogy elmagyarázom a srácoknak, akkor könnyebb lesz veled együtt dolgozni, ha nem, akkor segítek a probléma kezelésében.

Beszéljük meg az eseményeket. Milyen események azonosíthatók a 17. feladatban?

Amikor egy fát síkon készítünk, kijelölünk egy pontot, amelyet a fa gyökerének nevezünk. Ezután kezdjük el mérlegelni az eseményeketés. Megszerkesztünk egy szegmenst (a valószínűségelméletben ágnak nevezik). A feltétel szerint az első gyár 30%-ot gyárt mobiltelefonok ez a márka (mi? Az általuk gyártott), tehát be Ebben a pillanatban Kérdezem a diákokat, hogy az első gyári gyárilag milyen valószínűséggel gyártanak ilyen márkájú telefonokat, olyanokat, amelyeket ők gyártanak? Mivel az esemény a telefon első gyári kiadása, ennek az eseménynek a valószínűsége 30% vagy 0,3. A fennmaradó telefonokat a második gyárban gyártják - a második szegmenst építjük, és ennek az eseménynek a valószínűsége 0,7.

A diákoknak felteszik a kérdést – milyen típusú telefont tud gyártani az első gyár? Hibával vagy anélkül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gyárban gyártott telefon hibás? A feltétel szerint azt mondják, hogy egyenlő 0,01-gyel. Kérdés: Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gyárban gyártott telefonnak nincs hibája? Mivel ez az esemény ellentétes az adott eseménnyel, a valószínűsége egyenlő.

Meg kell találni annak valószínűségét, hogy a telefon hibás. Lehet az első gyárból, vagy a másodikból. Ezután a valószínűségek összeadására szolgáló képletet használjuk, és azt kapjuk, hogy a teljes valószínűség annak a valószínűségnek az összege, hogy a telefon az első gyárból hibás, és hogy a telefon hibás a második gyárból. Annak valószínűségét, hogy a telefon hibás és az első gyárban gyártották, a valószínűségek szorzatának képlete határozza meg, amely a mellékletben található.

4. Az egyik leginkább kihívást jelentő feladatokat a USE bankból a valószínűségért

Elemezzük például a FIPI Feladatbank 320199. sz. Ez az egyik legnehezebb feladat a B6-ban.

A „Nyelvtudomány” szakos intézetbe való felvételhez Z. jelentkezőnek legalább 70 pontot kell szereznie az egységes államvizsgán mindhárom tárgyból - matematikából, orosz nyelvből és egy idegen nyelvből. A „Kereskedelem” szakra való belépéshez legalább 70 pontot kell szereznie mind a három tantárgyból - matematikából, orosz nyelvből és társadalomismeretekből.

Annak valószínűsége, hogy Z. pályázó legalább 70 pontot kap matematikából, 0,6, oroszból 0,8, idegen nyelvből 0,7 és társadalomismeretből 0,5.

Határozza meg annak valószínűségét, hogy Z. be tud lépni az említett két szak közül legalább az egyikbe.

Megjegyzendő, hogy a probléma nem arra vonatkozik, hogy egy Z. nevű jelentkező egyszerre tanul-e nyelvészetet és kereskedelmet, és kap-e két oklevelet. Itt meg kell találnunk annak a valószínűségét, hogy Z. e két szak közül legalább az egyikre be tud lépni - vagyis elnyeri szükséges mennyiség pontokat.

A két szak közül legalább az egyikre Z.-nek legalább 70 pontot kell szereznie matematikából. És oroszul. És mégis - társadalomtudomány vagy külföldi.

0,6 annak a valószínűsége, hogy matematikából 70 pontot szerez.

A pontszerzés valószínűsége matematikából és oroszból egyenlő.

Foglalkozzunk kül- és társadalomtudományokkal. A lehetőségek akkor megfelelőek számunkra, ha a jelentkező társadalomismeretből, idegen nyelvből vagy mindkettőből szerzett pontot. Ez a lehetőség nem megfelelő, ha nem szerzett pontot sem nyelvből, sem „társadalomból”. Ez azt jelenti, hogy a társadalomtudomány vagy a külföldi tanulmányok sikeres teljesítésének valószínűsége legalább 70 pont. Ennek eredményeként a matematika, az orosz és a társadalomismeret vagy a külföldi sikeres teljesítésének valószínűsége egyenlő

Ez a válasz.

II . Kombinatorikus feladatok megoldása

1. Kombinációk és faktoriálisok száma

Elemezzük röviden az elméleti anyagot.

Kifejezésn ! "en-factorial"-t olvas, és minden termékét jelöli természetes számok 1-tőln beleértve:n ! = 1 2 3 ...n .

Ráadásul a matematikában értelemszerűen 0! = 1. Ritka az ilyen kifejezés, de a valószínűségszámítási problémákban még mindig előfordul.

Meghatározás

Legyenek olyan tárgyak (ceruza, édesség, bármi), amelyek közül pontosan különböző tárgyakat kell kiválasztani. Ezután meg kell hívni az ilyen választási lehetőségek számátkombinációk száma az elemektől. Ezt a számot egy speciális képlet alapján jelzi és számítja ki.

Kijelölés

Mit ad nekünk ez a képlet? Valójában szinte egyetlen komoly feladat sem oldható meg nélküle.

A jobb megértés érdekében elemezzünk néhány egyszerű kombinatorikus problémát:

Feladat

A csapos 6 fajta zöld teát kínál. A teaszertartáshoz be kell jelentkeznie zöld tea pontosan 3 különböző fajták. Hányféleképpen teljesíthet egy csapos egy megrendelést?

Döntés

Itt minden egyszerű: vann = 6 fajta közül lehet választanik = 3 fajta. A kombinációk számát a következő képlettel találhatjuk meg:

Válasz

Csere a képletben. Nem tudunk minden problémát megoldani, de tipikus feladatok megírtuk, figyelmébe ajánljuk.

Feladat

Egy 20 fős hallgatói csoportban 2 képviselőt kell kiválasztani, aki felszólal a konferencián. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Döntés

Ismét minden, amink vann = 20 diák, de választani kellk = 2 tanuló. A kombinációk számának meghatározása:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a különböző faktorszámokban szereplő tényezők piros színnel vannak jelölve. Ezek a szorzók fájdalommentesen csökkenthetők, és ezáltal jelentősen csökkenthető a számítások teljes mennyisége.

Válasz

190

Feladat

17 különböző hibás szerver került a raktárba, amelyek 2-szer olcsóbbak voltak, mint a normál szerverek. Az igazgató 14 ilyen szervert vásárolt az iskolának, és a megtakarított pénzt 200 000 rubel értékben egyéb berendezések vásárlására fordította. Hányféleképpen választhat egy igazgató hibás szervereket?

Döntés

Elég sok extra adat van a feladatban, ami zavaró lehet. A legtöbb fontos tények: van mindenn = 17 szerver, és a rendezőnek szüksége van rák = 14 szerver. Megszámoljuk a kombinációk számát:

A piros szín ismét a csökkentett szorzókat jelzi. Összesen 680 kombináció derült ki. Általában a rendezőnek van miből válogatnia.

Válasz

680

Ez a feladat szeszélyes, mivel ebben a feladatban extra adatok vannak. Sok diákot összezavarnak helyes döntés. Összesen 17 szerver volt, a rendezőnek 14-et kellett kiválasztania. A képletbe behelyettesítve 680 kombinációt kapunk.

2. A szorzás törvénye

Meghatározás

szorzási törvény kombinatorikában: a független halmazokban lévő kombinációk (módok, kombinációk) számát megszorozzuk.

Más szóval, legyenA egy-egy művelet végrehajtásának módjai ésB más műveletek végrehajtásának módjai. Az út is ezek a cselekvések függetlenek, pl. semmilyen módon nem kapcsolódik. Ezután a képlet alapján megtalálhatja az első és a második művelet végrehajtásának számos módját:C = A · B .

Feladat

Petyának van 4 darab 1 rubeles és 2 darab 10 rubeles érméje. Petya anélkül, hogy ránézett volna, kivett a zsebéből egy 1 rubel névértékű érmét és egy másik 10 rubel névértékű érmét, hogy tollat vásároljon 11 rubelért. Hányféleképpen választhatja ki ezeket az érméket?

Döntés

Tehát először Petya kapk = 1 érme innenn = 4 elérhető érme 1 rubel névértékű. Ennek számos módja vanC 4 1 = ... = 4.

Aztán Petya ismét a zsebébe nyúl, és kiveszik = 1 érme innenn = 2 elérhető érme 10 rubel névértékű. Itt van a kombinációk számaC 2 1 = ... = 2.

Mivel ezek a műveletek függetlenek, az opciók száma összesen ennyiC = 4 2 = 8.

Válasz

Feladat

Egy kosárban 8 fehér és 12 fekete golyó található. Hányféleképpen lehet ebből a kosárból 2 fehér és 2 fekete golyót szerezni?

Döntés

Összesen a kosárbann = 8 fehér golyó közül választhatk = 2 golyó. Meg lehet csinálniC 8 2 = ... = 28 különböző módon.

Ezen kívül a kosár tartalmazn = 12 fekete golyó közül választhat újrak = 2 golyó. Ennek számos módja vanC 12 2 = ... = 66.

Mivel a fehér golyó és a fekete választás független események, a kombinációk teljes számát a szorzási törvény szerint számítjuk ki:C = 28 66 = 1848. Amint látja, jó néhány lehetőség lehet.

Válasz

1848

A szorzás törvénye megmutatja, hogy hányféleképpen hajthat végre egy összetett műveletet, amely két vagy több egyszerű műveletből áll - feltéve, hogy ezek mind függetlenek.

3. Összeadás törvénye

Ha a szorzás törvénye "elszigetelt" eseményekre működik, amelyek nem függnek egymástól, akkor az összeadás törvényében ennek az ellenkezője igaz. Egymást kizáró eseményekkel foglalkozik, amelyek soha nem történnek egyszerre.

Például: „Péter 1 érmét vett ki a zsebéből” és „Péter egyetlen érmét sem vett ki a zsebéből” egymást kizáró események, mivel lehetetlen úgy kivenni egy érmét, hogy ne vegyen ki belőle egyet sem.

Hasonlóképpen, a „Véletlenszerűen kiválasztott labda – fehér” és a „Véletlenszerűen kiválasztott labda – fekete” események szintén kizárják egymást.

Meghatározás

Összeadási törvény a kombinatorikában: ha két egymást kizáró cselekvés végrehajthatóA ésB módokon, illetve ezek az események kombinálhatók. Ez egy új eseményt generál, amely végrehajthatóx = A + B módokon.

Más szóval, az egymást kizáró műveletek (események, opciók) kombinálásakor a kombinációik száma összeadódik.

Azt mondhatjuk, hogy az összeadás törvénye egy logikai "VAGY" a kombinatorikában, amikor az egymást kizáró lehetőségek bármelyike megfelel nekünk. Ezzel szemben a szorzás törvénye egy logikai „ÉS”, amelyben az első és a második művelet egyidejű végrehajtására vagyunk kíváncsiak.

Feladat

Egy kosárban 9 fekete és 7 piros golyó van. A fiú kivesz 2 azonos színű golyót. Hányféleképpen tudja ezt megtenni?

Döntés

Ha a golyók azonos színűek, akkor kevés lehetőség van: mindkettő fekete vagy piros. Nyilvánvaló, hogy ezek a lehetőségek kizárják egymást.

Az első esetben a fiúnak kell választaniak = 2 fekete golyó innenn = 9 elérhető. Ennek számos módja vanC 9 2 = ... = 36.

Hasonlóképpen a második esetben is választunkk = 2 piros golyón = 7 lehetséges. A módok száma azC 7 2 = ... = 21.

Még meg kell találni a módok teljes számát. Mivel a fekete és piros golyós változatok kölcsönösen kizárják egymást, az összeadás törvénye szerint a következőkkel rendelkezünk:x = 36 + 21 = 57.

Válasz57

Feladat

A standon 15 rózsa és 18 tulipán árul. Egy 9. osztályos tanuló 3 virágot szeretne venni osztálytársának, és minden virágnak egyformának kell lennie. Hányféleképpen készíthet egy ilyen csokrot?

Döntés

Az állapot szerint minden virágnak egyformának kell lennie. Tehát vagy 3 rózsát vagy 3 tulipánt veszünk. Egyébként is,k = 3.

A rózsák esetében választania kelln = 15 lehetőség, tehát a kombinációk száma azC 15 3 = ... = 455. Tulipánokhozn = 18, és a kombinációk száma -C 18 3 = ... = 816.

Mivel a rózsa és a tulipán kölcsönösen kizárja egymást, az összeadás törvénye szerint dolgozunk. Szerezze meg a lehetőségek teljes számátx = 455 + 816 = 1271. Ez a válasz.

Válasz

1271

További feltételek és korlátozások

A probléma szövegében nagyon gyakran további feltételek szerepelnek, amelyek jelentős korlátozásokat írnak elő a számunkra érdekes kombinációkra vonatkozóan. Hasonlíts össze két mondatot:

Van egy 5 db-os tollkészlet különböző színek. Hányféleképpen választható ki a 3 ütemű fogantyú?

A készletben 5 db különböző színű toll található. Hányféleképpen választható ki a 3 ütemű fogantyú, ha az egyiknek pirosnak kell lennie?

Az első esetben jogunk van bármilyen színt átvenni, ami tetszik - nincs további korlátozás. A második esetben minden bonyolultabb, mivel piros fogantyút kell választanunk (feltételezzük, hogy az eredeti készletben van).

Nyilvánvaló, hogy bármilyen korlátozás drasztikusan csökkenti az opciók számát. Tehát hogyan találja meg ebben az esetben a kombinációk számát? Csak ne feledd következő szabály:

Legyen egy sorn választható elemekk elemeket. A szám további korlátozásainak bevezetéséveln ésk ugyanennyivel csökken.

Más szóval, ha 5 tollból 3-at kell választania, és az egyiknek pirosnak kell lennie, akkor a következők közül kell választania.n = 5 − 1 = 4 elem általk = 3 − 1 = 2 elem. Így ahelyettC 5 3 figyelembe kell venniC 4 2 .

Most nézzük meg, hogyan működik ez a szabály konkrét példák:

Feladat

Egy 20 fős csoportban, köztük 2 kiváló tanulóval, 4 főt kell kiválasztani a konferencián való részvételhez. Hányféleképpen lehet kiválasztani ezt a négyet, ha a kiváló hallgatóknak el kell jutniuk a konferenciára?

Döntés

Tehát van egy csoportn = 20 diák. De csak választania kellk = 4 db. Ha nem voltak további korlátozások, akkor az opciók száma megegyezett a kombinációk számávalC 20 4 .

Nekünk azonban megadatott további feltétel: 2 kitüntetésnek a négy között kell lennie. Így a fenti szabály szerint csökkentjük a számokatn ésk 2. A következőkkel rendelkezünk:

Válasz

153

Feladat

Petya zsebében 8 érme van, ebből 6 rubel, 2 pedig 10 rubel. Petya egy másik zsebbe tesz három érmét. Hányféleképpen teheti ezt meg Petya, ha köztudott, hogy mindkét 10 rubeles érme másik zsebbe került?

Döntés

Szóval vann = 8 érme. Petya váltk = 3 érme, ebből 2 tíz rubel. Kiderült, hogy a 3 átvitt érméből 2 már rögzített, tehát a számokn ésk 2-vel kell csökkenteni.

Válasz

III . Kombinált feladatok megoldása a kombinatorika és a valószínűségszámítás képleteiről

Feladat

Petya zsebében 4 rubel és 2 2 rubel volt. Petya anélkül, hogy ránézett volna, vagy három érmét tett egy másik zsebébe. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kétrubeles érme ugyanabban a zsebben van.

Döntés

Tegyük fel, hogy mindkét kétrubeles érme valóban ugyanabba a zsebbe került, akkor 2 lehetőség lehetséges: vagy Petya egyáltalán nem tolta el őket, vagy mindkettőt egyszerre.

Az első esetben, amikor a kétrubeles érméket nem utalták át, 3 rubel érméket kellett átadni. Mivel összesen 4 ilyen érme van, a módok száma megegyezik a 4-szeres kombinációk számával:C 4 3 .

A második esetben, amikor mindkét kétrubeles érmét átutalták, még egy rubel érmét kell átutalni. 4 meglévő közül kell kiválasztani, és ennek a módjai megegyeznek a 4-től 1-ig terjedő kombinációk számával:C 4 1 .

Most nézzük meg az érmék eltolási módjainak teljes számát. Mivel összesen 4 + 2 = 6 érme van, és ezek közül csak 3-at kell kiválasztani, az opciók teljes száma megegyezik a 6-tól 3-ig terjedő kombinációk számával:C 6 3 .

Meg kell találni a valószínűséget:

Válasz

0,4

Megjelenítés az interaktív táblán. Ügyeljen arra, hogy a probléma állapotának megfelelően Petya anélkül, hogy nézett volna, három érmét tett egy zsebébe. A kérdés megválaszolásakor feltételezhetjük, hogy két kétrubeles érme valóban egy zsebben maradt. Lásd a valószínűségek összeadásának képletét. Mutasd meg újra a képletet.

Feladat

Petya zsebében 2 db 5 rubeles és 4 db 10 rubeles volt. Petya anélkül, hogy ránézett volna, egy másik zsebbe tett 3 érmét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ötrubeles érmék most különböző zsebekben vannak.

Döntés

Ahhoz, hogy az ötrubeles érmék különböző zsebekben feküdjenek, csak az egyiket kell eltolni. Ennek a módjai megegyeznek a 2:1 kombinációk számával:C 2 1 .

Mivel Petya összesen 3 érmét utalt át, további 2, egyenként 10 rubel érmét kell átadnia. Petyának 4 ilyen érméje van, tehát a módok száma megegyezik a 4-től 2-ig terjedő kombinációk számával:C 4 2 .

Továbbra is meg kell találni, hogy hány lehetőség van a 6 elérhető érméből 3 érme eltolására. Ez a szám, az előző feladathoz hasonlóan, megegyezik a 6-tól 3-ig terjedő kombinációk számával:C 6 3 .

A valószínűség megkeresése:

Az utolsó lépésben megszoroztuk a kétrubeles érmék és a tízrubeles érmék kiválasztásának lehetőségeinek számát, mivel ezek az események függetlenek.

Válasz

0,6

Tehát az érmékkel kapcsolatos problémáknak megvan a saját valószínűségi képlete. Annyira egyszerű és fontos, hogy tételként is megfogalmazható.

Tétel

Hagyja feldobni az érmétn egyszer. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a fejek pontosan leszállnakk az időpontokat a következő képlettel találhatjuk meg:

AholC n k - kombinációinak száman elemek általk , amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Így az érmékkel kapcsolatos probléma megoldásához két szám szükséges: a dobások száma és a fejek száma. Leggyakrabban ezeket a számokat közvetlenül a feladat szövegében adják meg. Sőt, nem mindegy, hogy pontosan mit kell számolni: a farkát vagy a sast. A válasz ugyanaz lesz.

Első pillantásra a tétel túl nehézkesnek tűnik. De megér egy kis gyakorlást – és már nem akar visszatérni a fent leírt standard algoritmushoz.

Az érmét négyszer dobják fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek pontosan háromszor jönnek fel.

Döntés

A probléma állapotának megfelelően az összes dobásszám az voltn = 4. Szükséges fejszám:k = 3. Helyettesítőn ésk a képletbe:

Ugyanilyen sikerrel megszámolhatja a farok számát:k = 4 − 3 = 1. A válasz ugyanaz lesz.

Válasz

0,25

Feladat [ Munkafüzet„Használja a 2012-t a matematikában. Feladatok B6»]

Az érmét háromszor dobják fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy soha nem jön fel a farokba.

Döntés

Újra kiírni a számokatn ésk . Mivel az érmét háromszor dobják fel,n = 3. És mivel nem lehet farok,k = 0. Marad a számok helyettesítésen ésk a képletbe:

Hadd emlékeztesselek, hogy 0! = 1 definíció szerint. ÍgyC 3 0 = 1.

Válasz

0,125

Feladat [ Próbafelhasználás matematikából 2012. Irkutszk]

Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét 4-szer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fej többször feljön, mint a farok.

Döntés

Ahhoz, hogy több fej legyen, mint farok, vagy 3-szor (akkor lesz 1 farok) vagy 4-szer (akkor nem lesz farok) kell kiesni. Határozzuk meg ezeknek az eseményeknek a valószínűségét.

Legyenp 1 - annak a valószínűsége, hogy a fejek 3-szor esnek ki. Azutánn = 4, k = 3. Van:

Most keressük megp 2 - annak a valószínűsége, hogy a fejek mind a 4 alkalommal kiesnek. Ebben az esetbenn = 4, k = 4. Van:

A válasz megszerzéséhez össze kell adni a valószínűségeketp 1 ésp 2 . Ne feledje: csak az egymást kizáró események valószínűségét adhatja hozzá. Nekünk van:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Válasz

0,3125

Annak érdekében, hogy időt takarítson meg a srácokkal az egységes államvizsgára és a GIA-ra való felkészülés során, számos további feladatra mutattunk be megoldásokat, amelyeket a srácokkal együtt választhat és oldhat meg.

A GIA anyagai, a különböző évek egységes államvizsgája, tankönyvek és oldalak.

IV. Referencia anyag

A matematika vizsgán a valószínűségelmélet a formában ábrázolható egyszerű feladatokat a valószínűség klasszikus definíciójáról, és meglehetősen összetettek formájában, a megfelelő tételek alkalmazásáról.

Ebben a részben olyan problémákat vizsgálunk, amelyekre elegendő a valószínűség definícióját használni. Néha itt is alkalmazunk egy képletet az ellenkező esemény valószínűségének kiszámítására. Bár ettől a képlettől itt el lehet tekinteni, a következő feladatok megoldása során mégis szükség lesz rá.

Elméleti rész

Véletlenszerű eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely egy megfigyelés vagy teszt során előfordulhat, vagy nem (lehetetlen előre megjósolni).

Hagyja a teszt alatt (érme vagy kocka feldobása, húzása vizsgakártya stb.) ugyanolyan lehetséges kimenetelek is lehetségesek. Például egy érme feldobásakor az összes eredmény száma 2, mivel a „farok” vagy „sasok” elvesztésén kívül nem lehet más kimenetel. Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, mivel a kocka felső lapján bármelyik szám 1-től 6-ig megjelenhet.. Legyen az A esemény is kedvezve a kimeneteleknek.

Az A esemény valószínűsége az erre az eseményre kedvező kimenetelek számának az azonosan lehetséges kimenetelek számához viszonyított aránya (ez a valószínűség klasszikus definíciója). Mi írunk

Például legyen az A esemény, hogy páratlan számú pontot kapunk egy kockadobásra. Összesen 6 kimenetel lehetséges: 1, 2, 3, 4, 5, 6 a kocka felső lapján. Ugyanakkor az 1, 3, 5 dobás kimenetele kedvező az A eseményre. .

Vegyük észre, hogy a kettős egyenlőtlenség mindig fennáll, tehát bármely A esemény valószínűsége az intervallumon van, azaz . Ha a válasz valószínűsége nagyobb, mint egy, akkor valahol hibát követett el, és még egyszer ellenőriznie kell a megoldást.

Az A és B eseményeket hívják szemben egymást, ha valamelyik eredmény éppen az egyikük számára kedvező.

Például amikor dobnak egy kockát, az esemény "dobott páratlan szám” a „páros számmal gördített” esemény ellentéte.

Az A eseménnyel ellentétes eseményt jelöljük. Az ellentétes események meghatározásából az következik
, azt jelenti,
.

Problémák az objektumok halmazból történő kiválasztásával kapcsolatban

1. feladat. A világbajnokságon 24 csapat vesz részt. Sorshúzással négy, egyenként hat csapatból álló csoportba kell őket osztani. A dobozban vegyes kártyák vannak csoportszámokkal:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

A csapatkapitányok egy-egy lapot húznak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az orosz csapat a harmadik csoportba kerül?

Az összes végeredmény megegyezik a kártyák számával – 24 db van belőlük, 6 kedvező kimenetel van (mivel hat kártyára a 3-as szám van írva). A kívánt valószínűség egyenlő .

Válasz: 0,25.

2. feladat. Egy urnában 14 piros, 9 sárga és 7 zöld golyó található. Az urnából véletlenszerűen kihúznak egy golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a labda sárga?

A végeredmények teljes száma megegyezik a labdák számával: 14 + 9 + 7 = 30. Az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek száma 9. A kívánt valószínűség egyenlő .

3. feladat. A telefon billentyűzetén 10 szám található, 0-tól 9-ig. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen lenyomott szám páros és nagyobb 5-nél?

Az eredmény itt egy bizonyos billentyű megnyomása, így összesen 10 egyformán lehetséges kimenetel van. A jelzett eseménynek kedvez a végeredmény, ami a 6-os vagy 8-as gomb megnyomását jelenti. Két ilyen kimenetel van. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0.2.

4. feladat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott természetes szám 4-től 23-ig osztható 3-mal?

23 - 4 + 1 = 20 természetes szám van a 4 és 23 közötti intervallumban, ami azt jelenti, hogy összesen 20 lehetséges kimenetel van. Ezen a szegmensen a következő számok a három többszörösei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Összesen 6 ilyen szám van, tehát 6 eredmény kedvez a kérdéses eseménynek. A kívánt valószínűség egyenlő .

Válasz: 0.3.

5. feladat. A vizsgán felkínált 20 jegy közül a hallgató csak 17-re tud válaszolni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hallgató nem tud válaszolni a véletlenszerűen kiválasztott jegyre?

1. mód.

Mivel a tanuló 17 jegyet tud válaszolni, ezért 3 jegyet nem tud válaszolni. Ennek a jegynek a megszerzésének valószínűsége értelemszerűen .

2. út.

Jelölje A-val azt az eseményt, hogy "a diák válaszolhat a jegyre". Azután . Az ellenkező esemény valószínűsége =1 - 0,85 = 0,15.

Válasz: 0,15.

6. feladat. A bajnokságban ritmikus gimnasztika 20 sportoló vesz részt: 6 Oroszországból, 5 Németországból, a többiek Franciaországból. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hetedik sportoló Franciaországból származik.

Összesen 20 sportoló van, mindegyikük egyenlő eséllyel teljesíthet a hetedik helyen. Ezért 20 egyformán valószínű kimenetel van. Franciaországból 20 - 6 - 5 = 9 sportoló, tehát 9 kedvező kimenetel van ennek az eseménynek. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,45.

7. feladat. A tudományos konferenciát 5 napon belül tartják. Összesen 50 bejelentést terveznek - az első három nap, egyenként 12 jelentés, a többi egyenlő arányban oszlik el a negyedik és az ötödik nap között. A beszámolók sorrendjét sorsolás határozza meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy N. professzor beszámolóját a konferencia utolsó napjára időzítik?

Először nézzük meg, hány jelentés van ütemezve az utolsó napra. A jelentéseket az első három napra tervezik. Még mindig 50 - 36 = 14 jelentés van, amelyek egyenlően oszlanak el a fennmaradó két nap között, így a jelentések az utolsó napra vannak ütemezve.

Eredményként N professzor jelentésének sorszámát tekintjük. Ilyen egyformán lehetséges kimenetel 50. 7 olyan kimenetel van, amely a jelzett eseménynek kedvez (az utolsó 7 szám a jelentéslistában). A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,14.

8. feladat. A repülőgép fedélzetén a vészkijáratok mellett 10, a kabinokat elválasztó válaszfalak mögött pedig 15 ülés található. A többi ülés kényelmetlen a magas utasok számára. K. utas magas. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a bejelentkezéskor véletlenszerű ülésválasztással K. utas kényelmes helyet kap, ha 200 ülőhely van a gépen.

Ennek a problémának az eredménye a helyszín kiválasztása. Összesen 200 egyformán lehetséges kimenetel van. Előnyben részesítse az eseményt "a választott hely kényelmes" 15 + 10 = 25 eredmény. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,125.

9. feladat. A gyárilag összeszerelt 1000 db kávédarálóból 7 db hibás. A szakértő ebből az 1000-ből egy véletlenszerűen kiválasztott kávédarálót ellenőriz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ellenőrzött kávédaráló hibás.

Véletlenszerű kávédaráló kiválasztásakor 1000 kimenetel lehetséges, az A "a kiválasztott kávédaráló hibás" esemény 7 kimenetel esetén kedvező. A valószínűség meghatározása szerint.

Válasz: 0,007.

10. feladat. Az üzem hűtőszekrényeket gyárt. Átlagosan minden 100 jó minőségű hűtőszekrényre 15 rejtett hibás hűtőszekrény jut. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt hűtőszekrény jó minőségű lesz. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Ez a feladat hasonló az előzőhöz. A „minden 100 minőségi hűtőszekrényre számítva 15 hibás” megfogalmazás azonban azt sugallja, hogy hibás 15 db nem tartozik a 100 minőségbe. Ezért az összes kimenetel száma 100 + 15 = 115 (egyenlő a hűtőszekrények teljes számával), a kedvező kimenetelek száma 100. A szükséges valószínűség . A tört hozzávetőleges értékének kiszámításához célszerű a sarokkal való osztást használni. 0,869-et kapunk ... ami 0,87.

Válasz: 0,87.

11. feladat. A teniszbajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket sorsolás útján véletlenszerűen játékpárokba osztják. Összesen 16 teniszező vesz részt a bajnokságban, köztük 7 oroszországi résztvevő, köztük Maxim Zaitsev. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első körben Makszim Zajcev bármelyik oroszországi teniszezővel megmérkőzik.

Az előző feladathoz hasonlóan alaposan el kell olvasnia a feltételt, és meg kell értenie, mi az eredmény és mi a kedvező kimenetel (például a valószínűségi képlet meggondolatlan alkalmazása rossz válaszhoz vezet).

Itt az eredmény Maxim Zaitsev riválisa. Mivel összesen 16 teniszező van, és Maxim nem tud játszani önmagával, 16 - 1 = 15 egyformán valószínű kimenetel van. Kedvező eredmény egy orosz rivális. 7 ilyen kedvező eredmény van - 1 = 6 (Maximját kizárjuk az oroszok közül). A szükséges valószínűség .

Válasz: 0.4.

12. feladat. A labdarúgó szekcióban 33 ember vesz részt, köztük két testvér - Anton és Dmitrij. A szekción részt vevőket véletlenszerűen három, egyenként 11 fős csapatra osztják. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Anton és Dmitrij ugyanabban a csapatban lesznek.

Alakítsunk csapatokat úgy, hogy a játékosokat egymás után üres helyekre helyezzük, kezdjük Antonnal és Dmitrijjal. Először tegyük Antont egy véletlenszerűen kiválasztott helyre a 33 szabad hely közül, most pedig Dmitrijt tegyük egy üres helyre (az eredménynek a helyválasztást tekintjük neki). Összesen 32 szabad hely van (egyet Anton már elfoglalt), így összesen 32 lehetséges kimenetel van. 10 szabad hely maradt ugyanabban a csapatban Antonnal, így az "Anton és Dmitrij egy csapatban" eseményt 10 eredmény kedvez. Ennek az eseménynek a valószínűsége .

Válasz: 0,3125.

13. feladat. A tizenkét órás számlappal ellátott mechanikus óra valamikor elromlott és leállt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az óramutató lefagy, amikor eléri a 11-et, de nem éri el a 2 órát.

Hagyományosan a számlap 12 szektorra osztható, amelyek a szomszédos számok jelei között helyezkednek el (12 és 1, 1 és 2, 2 és 3, ..., 11 és 12 között). Az óramutató leállítását a jelzett szektorok egyikében tekintjük eredménynek. Összesen 12 egyformán lehetséges kimenetel van. Ennek az eseménynek három kimenetele (11 és 12, 12 és 1, 1 és 2 közötti szektorok) kedvez. A kívánt valószínűség egyenlő .

Válasz: 0,25.

Összesít

A valószínűségszámítás egyszerű problémáinak megoldására vonatkozó anyag áttanulmányozása után javaslom az önálló megoldáshoz feladatok elvégzését, amelyeket a következő címen teszünk közzé. a Telegram csatornánkat. Megvalósításuk helyességét is ellenőrizheti, ha megadja a sajátját válaszokat a javasolt formában.