Irracionális egyenletek és megoldási módok. Irracionális egyenletek

Válasz: x = 3.

8 módszer. A derivált alkalmazása irracionális egyenletek megoldásában

Leggyakrabban az egyenletek derivált módszerrel történő megoldása során a becslési módszert alkalmazzák.

15. PÉLDA:

Oldja meg az egyenletet: (1)

Megoldás: Mivel https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> vagy (2). Tekintsük a függvényt ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> egyáltalán, és ezért növekszik. Ezért az egyenlet egyenértékű egy olyan egyenlettel, amelynek gyöke az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

16. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet:

A függvény definíciós tartománya egy szegmens. Keresse meg a legnagyobb és legkisebb érték ennek a függvénynek az értékei az intervallumon. Ehhez megkeressük a függvény deriváltját f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Keressük meg a függvény értékeit f(x) a szegmens végén és a ponton: Tehát, de és ezért az egyenlőség csak a következő feltétellel lehetséges: https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a 3-as szám az egyenlet gyökere.

Válasz: x = 3.

9 módszer. Funkcionális

A vizsgákon néha olyan egyenletek megoldását ajánlják fel, amelyek a következő alakban írhatók fel, ahol egy bizonyos függvény.

Például néhány egyenlet: 1) 2) . Valóban, az első esetben , a második esetben . Ezért oldja meg az irracionális egyenleteket a következő állítás segítségével: ha egy függvény szigorúan növekvő a halmazon xés bármely , akkor az egyenletek stb. ekvivalensek a halmazon x .

Oldja meg az irracionális egyenletet: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> szigorúan növekszik a készleten R,és https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > aminek egyedi gyöke van Ezért az (1) ekvivalens egyenletnek is egyedi gyöke van

Válasz: x = 3.

18. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet: (1)

A négyzetgyök definíciója alapján azt kapjuk, hogy ha az (1) egyenletnek vannak gyökei, akkor azok a DIV_ADBLOCK166"> halmazba tartoznak.

. (2)

Fontolja meg, hogy a https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> függvény szigorúan növekszik ezen a halmazon bármely ..gif" width="100" esetén magasság ="41">, amelynek egyetlen gyöke van Ezért, és egyenértékű vele a halmazon x az (1) egyenletnek egyetlen gyöke van

Válasz: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Megoldás: Ez az egyenlet egy vegyes rendszerrel ekvivalens

Ha az egyenlet négyzetgyökjel alatt változót tartalmaz, akkor az egyenletet irracionálisnak nevezzük.
Tekintsük az irracionális egyenletet

Ez az egyenlőség a négyzetgyök definíciója szerint azt jelenti, hogy 2x + 1 = 32. Valójában az adott irracionális egyenlettől a 2x + 1 = 9 racionális egyenlethez jutottunk úgy, hogy az irracionális egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeltük. Az irracionális egyenletek megoldásának fő módja az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésének módszere. Ez azonban érthető: hogyan lehet másként megszabadulni a négyzetgyök jelétől? A 2x + 1 = 9 egyenletből azt találjuk, hogy x = 4.
Ez a 2x + 1 = 9 egyenlet és az adott irracionális egyenlet gyöke is.
A négyzetesítési módszer technikailag egyszerű, de néha problémákhoz vezet. Tekintsük például az irracionális egyenletet

Mindkét oldal négyzetre emelésével azt kapjuk

Következő nálunk:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
De az x - 1 érték, amely a 2x - 5 = 4x - 7 racionális egyenlet gyöke, nem az adott irracionális egyenlet gyöke. Miért? Ha az adott irracionális egyenletben x helyett 1-et cserélünk, azt kapjuk . Hogyan beszélhetünk a numerikus egyenlőség teljesüléséről, ha annak bal és jobb oldali része is értelmetlen kifejezéseket tartalmaz? Ilyen esetekben azt mondják: x \u003d 1 egy idegen gyöke egy adott irracionális egyenlethez. Kiderül, hogy az adott irracionális egyenletnek nincs gyökere.
Oldjuk meg az irracionális egyenletet

-
Ennek az egyenletnek a gyökerei szóban megtalálhatók, ahogy az előző bekezdés végén is megtettük: szorzatuk - 38, összegük pedig - 17; könnyű kitalálni, hogy ezek a 2-es számok
és - 19. Tehát, x 1 \u003d 2, x 2 = 19.
Ha az adott irracionális egyenletben x helyett 2 értéket cserélünk, azt kapjuk

Ez nem igaz.
Az adott irracionális egyenletben x helyett 19 értéket behelyettesítve kapjuk

Ez is helytelen.
Mi a következtetés? Mindkét talált érték idegen gyökér. Vagyis az adott irracionális egyenletnek, akárcsak az előzőnek, nincs gyökere.
Az idegen gyökér számodra nem újdonság, a racionális egyenletek megoldása során már találkoztunk idegen gyökérrel, az ellenőrzés segít felismerni őket. Irracionális egyenletek esetén az ellenőrzés az egyenlet megoldásának kötelező lépése, amely segít felismerni az idegen gyökereket, ha vannak, és eldobni őket (általában azt mondják, hogy „gyomláld ki”).

Tehát egy irracionális egyenletet úgy oldunk meg, hogy mindkét részét négyzetre emeljük; a kapott racionális egyenlet megoldása után egy ellenőrzést kell végezni, kiküszöbölve az esetleges idegen gyököket.

Ennek a levezetésnek a segítségével nézzünk meg néhány példát.

1. példa oldja meg az egyenletet

Megoldás. Tegyük négyzetre az (1) egyenlet mindkét oldalát:

Következő, egymás után mi

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Vizsgálat. Az (1) egyenletbe x \u003d 5 behelyettesítésével - a helyes egyenlőséget kapjuk. Az (1) egyenletbe x \u003d 4 behelyettesítésével - a helyes egyenlőséget kapjuk. Ezért mindkét talált érték az (1) egyenlet gyökere.
O n e t: 4; öt.

2. példa oldja meg az egyenletet
(a 22. §-ban találkoztunk ezzel az egyenlettel, és jobb időkre „halasztottuk” a megoldását.) egy irracionális egyenletből kapjuk
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Akkor van
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Vizsgálat. Ha x = 80-at behelyettesítünk az adott irracionális egyenletbe, azt kapjuk

Ez nyilvánvalóan hibás egyenlőség, mivel a jobb oldala negatív számot, a bal oldala pedig pozitív számot tartalmaz. Tehát x = 80 egy idegen gyöke ennek az egyenletnek.

Ha x = 12-t behelyettesítünk az adott irracionális egyenletbe, azt kapjuk

azaz . = 20, a helyes egyenlőség. Ezért az x = 12 ennek az egyenletnek a gyöke.
Válasz: 12.

Az utolsó egyenlettag mindkét részét elosztjuk 2-vel:

Vizsgálat. Ha az x = 14 értéket behelyettesítjük a (2) egyenletbe, azt kapjuk hibás egyenlőség, tehát x = 14 egy idegen gyök.
Ha az x = -1 értéket behelyettesítjük a (2) egyenletbe, megkapjuk
- igazi egyenlőség. Ezért x = - 1 a (2) egyenlet gyöke.
A n t e t: - 1.

4. példa oldja meg az egyenletet

Megoldás. Természetesen ezt az egyenletet ugyanúgy meg lehet oldani, mint az előző példákban: írjuk át az egyenletet

Tegye négyzetre az egyenlet mindkét oldalát, oldja meg a kapott racionális egyenletet, és ellenőrizze a talált gyököket úgy, hogy behelyettesíti őket
eredeti irracionális egyenlet.

De egy elegánsabb módszert fogunk használni: bevezetünk egy új y = változót. Ekkor 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - másodfokú egyenletet kapunk az y változóhoz képest. Keressük meg a gyökereit: y 1 = 1, y 2 = -. Így a feladat kettő megoldására redukálódott

Az első egyenletből x \u003d 1-et találunk, a második egyenletnek nincs gyökere (ne feledje, hogy csak nem negatív értékeket vesz fel).
Válasz: 1.
Ezt a részt egy meglehetősen komoly elméleti vitával zárjuk. A lényeg a következő. Ön már szerzett némi tapasztalatot különféle egyenletek megoldásában: lineáris, négyzetes, racionális, irracionális. Tudod, hogy az egyenletek megoldása során különféle transzformációkat hajtanak végre,
például: az egyenlet egyik tagját az egyenlet egyik részéből a másikba visszük át ellentétes előjellel; az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk; megszabadulni a nevezőtől, azaz a = 0 egyenletet a p (x) = 0 egyenletre cserélni; Az egyenlet mindkét oldala négyzetes.

Természetesen észrevette, hogy bizonyos átalakítások eredményeként idegen gyökerek jelenhetnek meg, ezért ébernek kellett lennie: ellenőrizze az összes talált gyökeret. Tehát most megpróbáljuk mindezt elméleti oldalról felfogni.

Meghatározás. Két f (x) = g (x) és r (x) = s (x) egyenletet ekvivalensnek nevezünk, ha ugyanazok a gyökök (vagy különösen, ha mindkét egyenletnek nincs gyöke).

Általában egy egyenlet megoldása során ezt az egyenletet egy egyszerűbbre, de azzal egyenértékűre próbálják helyettesíteni. Az ilyen változást az egyenlet ekvivalens transzformációjának nevezzük.

A következő transzformációk az egyenlet egyenértékű transzformációi:

1. Az egyenlet elemeinek átvitele az egyenlet egyik részéből a másikba ellentétes előjellel.
Például a 2x + 5 = 7x - 8 egyenlet lecserélése a 2x - 7x = - 8 - 5 egyenlettel az egyenlet egyenértékű átalakítása. Ez azt jelenti

a 2x + 5 = 7x -8 és 2x - 7x = -8 - 5 egyenletek ekvivalensek.

2. Egy egyenlet mindkét oldalának szorzása vagy osztása ugyanazzal a nullától eltérő számmal.
Például a 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 egyenlet lecserélése az 5x 2 - Zx \u003d 20 egyenletre
(az egyenlet mindkét részét tagonként 10-zel szoroztuk) az egyenlet egyenértékű transzformációja.

Az egyenlet nem egyenértékű transzformációi a következő transzformációk:

1. Változókat tartalmazó nevezők alóli mentesség.
Például egy egyenlet x 2 \u003d 4 egyenlettel való helyettesítése az egyenlet nem egyenértékű átalakítása. Az a tény, hogy az x 2 \u003d 4 egyenletnek két gyöke van: 2 és - 2, és adott egyenlet az x = 2 érték nem elégíthető ki (a nevező eltűnik). Ilyen esetekben ezt mondtuk: x \u003d 2 egy idegen gyök.

2. Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelése.
Példákat nem mondunk, mivel ebben a bekezdésben elég sok volt belőlük.
Ha az egyenlet megoldása során a jelzett nem egyenértékű transzformációk valamelyikét használtuk, akkor az összes talált gyöket ellenőrizni kell az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel, mivel ezek között lehetnek idegen gyökerek.

Téma: „A forma irracionális egyenletei , .»

(Módszertani fejlesztés.)

Alapfogalmak

Irracionális egyenletek egyenleteknek nevezzük, amelyekben a változó a gyök (gyök) vagy a törthatványra emelés jele alatt található.

Egy f(x)=g(x) alakú egyenlet, ahol az f(x) vagy g(x) kifejezések legalább egyike irracionális irracionális egyenlet.

A gyökök alapvető tulajdonságai:

• Minden radikális páros fokozat vannak számtan, azok. ha a gyök kifejezés negatív, akkor a gyöknek nincs értelme (nem létezik); ha a gyökkifejezés egyenlő nullával, akkor a gyök is az nulla; ha a gyök kifejezés pozitív, akkor a gyök értéke létezik és pozitív.
• Minden radikális páratlan fokozat a gyök kifejezés bármely értékéhez definiálhatók. Ezenkívül a gyök negatív, ha a gyök kifejezés negatív; értéke nulla, ha a gyökérkifejezés nulla; pozitív, ha az alávetett kifejezés pozitív.

Irracionális egyenletek megoldási módszerei

Irracionális egyenlet megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni a változó összes valós értékét, amikor behelyettesítjük őket az eredeti egyenletbe, akkor az a helyes numerikus egyenlőséggé alakul, vagy annak bizonyítását, hogy ilyen értékek nem léteznek. Az irracionális egyenleteket az R valós számok halmazán oldjuk meg.

Az egyenlet érvényes értékeinek tartománya A változó azon értékeiből áll, amelyekre a páros fokú gyökök jele alatt álló összes kifejezés nem negatív.

Az irracionális egyenletek megoldásának főbb módszerei vannak:

a) az egyenlet mindkét részének azonos hatványra emelésének módja;

b) az új változók bevezetésének módja (helyettesítési módszer);

c) mesterséges módszerek az irracionális egyenletek megoldására.

Ebben a cikkben a fent meghatározott formájú egyenletek figyelembevételére összpontosítunk, és bemutatunk 6 módszert az ilyen egyenletek megoldására.

1 módszer. Kocka.

Ez a módszer rövidített szorzóképletek használatát igényli, és nem tartalmaz "csapdákat", pl. nem vezet idegen gyökerek megjelenéséhez.

1. példa oldja meg az egyenletet

Megoldás:

Az egyenletet átírjuk a formába és mindkét oldalát felkockázzuk. Ezzel az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk,

Válasz: x=2, x=11.

2. példa. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet a formába, és emeljük fel mindkét oldalát kockává. Ezzel az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk

és tekintsük a kapott egyenletet másodfokúnak az egyik gyökhöz képest

ezért a diszkrimináns 0, és az egyenletnek lehet x=-2 megoldása.

Vizsgálat:

Válasz: x=-2.

Megjegyzés: Az ellenőrzés elhagyható, ha a másodfokú egyenlet elkészült.

2 módszer. Kocka képlet segítségével.

Továbbra is kockázzuk az egyenletet, ugyanakkor a rövidített szorzáshoz módosított képleteket használunk.

Használjuk a képleteket:

(kisebb módosítás ismert képlet), azután

Példa3. oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Kockázzuk fel az egyenletet a fent megadott képletekkel.

De a kifejezés egyenlőnek kell lennie a jobb oldallal. Ezért rendelkezünk:

.

Most kockára vágva a szokásos másodfokú egyenletet kapjuk:

, és annak két gyökere

A teszt alapján mindkét érték helyes.

Válasz: x=2, x=-33.

De vajon itt minden átalakulás egyenértékű? Mielőtt megválaszolnánk ezt a kérdést, oldjunk meg még egy egyenletet.

4. példa Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Ha mindkét részt a harmadik hatványra emeljük, mint korábban, a következőt kapjuk:

Ahonnan (ha figyelembe vesszük, hogy a zárójelben lévő kifejezés a ), a következőket kapjuk:

A következőt kapjuk: .Ellenőrizzük, hogy x=0 egy idegen gyök.

Válasz: .

Válaszoljunk a kérdésre: "Miért keletkeztek idegen gyökerek?"

Az egyenlőség egyenlőséghez vezet . A -s-re cserélve a következőket kapjuk:

A személyazonosság ellenőrzése egyszerű

Tehát, ha , akkor vagy , vagy . Az egyenlet a következőképpen ábrázolható , .

A -s-re cserélve a következőt kapjuk: if , akkor vagy , vagy

Ezért ennek a megoldási módszernek a használatakor feltétlenül ellenőrizni kell, hogy nincsenek-e idegen gyökerek.

3 módszer. Rendszer módszer.

5. példa oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Legyen , . Azután:

Mennyire nyilvánvaló, hogy

A rendszer második egyenletét úgy kapjuk meg, hogy a gyökkifejezések lineáris kombinációja nem függ az eredeti változótól.

Könnyen belátható, hogy a rendszernek nincs megoldása, ezért az eredeti egyenletnek nincs megoldása.

Válasz: Nincsenek gyökerek.

6. példa oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Bevezetünk egy cserét, összeállítunk és megoldunk egyenletrendszert.

Legyen , . Azután

Visszatérve az eredeti változóhoz:

Válasz: x=0.

4 módszer. A függvények monotonitásának felhasználása.

Mielőtt ezt a módszert használnánk, térjünk át az elméletre.

A következő tulajdonságokra lesz szükségünk:

7. példa oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Az egyenlet bal oldala egy növekvő függvény, a jobb oldala pedig egy szám, azaz. konstans, ezért az egyenletnek legfeljebb egy gyöke van, amelyet kiválasztunk: x \u003d 9. Ellenőrizze, hogy a gyökér megfelelő-e.

Az egyenleteket irracionálisnak nevezzük, ha a gyökjel alatt ismeretlen mennyiséget tartalmaznak. Ilyenek például az egyenletek

Sok esetben az egyenlet mindkét részének hatványozásának egyszeri vagy ismétlődő alkalmazásával lehetséges az irracionális egyenletet egy vagy olyan fokú algebrai egyenletre redukálni (ami az eredeti egyenlet következménye). Mivel az egyenlet hatványra emelésekor külső megoldások is megjelenhetnek, ezért az algebrai egyenlet megoldása után, amelyre ezt az irracionális egyenletet redukáltuk, ellenőrizzük a talált gyököket úgy, hogy behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és csak azokat mentsük el, amelyek kielégítik azt. a többit pedig dobd el – idegen.

Az irracionális egyenletek megoldása során csak azok valódi gyökereire szorítkozunk; Az egyenletek jelölésében minden páros fokú gyöke számtani értelemben értendő.

Fontolja meg néhányat tipikus példák irracionális egyenletek.

A. Négyzetgyökjel alatt ismeretlent tartalmazó egyenletek. Ha ez az egyenlet csak egyet tartalmaz Négyzetgyök, amelynek jele alatt egy ismeretlen található, akkor ezt a gyöket el kell különíteni, vagyis az egyenlet egyik részébe kell helyezni, és az összes többi tagot át kell vinni egy másik részbe. Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelése után már megszabadultunk az irracionalitástól, és kaptunk egy algebrai egyenletet

Példa 1. Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán elkülönítjük a gyökért;

A kapott egyenletet négyzetre emeljük:

Megtaláljuk ennek az egyenletnek a gyökereit:

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy csak az eredeti egyenletet elégíti ki.

Ha az egyenlet két vagy több x-et tartalmazó gyöket tartalmaz, akkor a négyzetesítést többször meg kell ismételni.

2. példa Oldja meg a következő egyenleteket:

Megoldás, a) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

Elválasztjuk a gyökeret:

A kapott egyenletet ismét négyzetre emeljük:

A transzformációk után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

megoldani:

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve megbizonyosodunk arról, hogy megvan a gyöke, de ez egy idegen gyök számára.

b) A példa ugyanúgy megoldható, mint az a) példa. Azonban kihasználva azt a tényt, hogy ennek az egyenletnek a jobb oldala nem tartalmaz ismeretlen mennyiséget, másképp járunk el. Az egyenletet megszorozzuk a bal oldali konjugált kifejezéssel; kapunk

A jobb oldalon az összeg és a különbség szorzata, vagyis a négyzetek különbsége látható. Innen

Ennek az egyenletnek a bal oldalán a négyzetgyökök összege volt; a most kapott egyenlet bal oldalán ugyanazon gyökök különbsége látható. Írjuk fel az adott és kapott egyenleteket:

Ha ezen egyenletek összegét vesszük, azt kapjuk

Az utolsó egyenletet négyzetre emeljük, és egyszerűsítések után megkapjuk

Innen találjuk. Az ellenőrzéssel meg vagyunk győződve arról, hogy ennek az egyenletnek csak a szám szolgál gyökereként. 3. példa Oldja meg az egyenletet!

Itt már a gyökjel alatt négyzetes trinomikusok vannak.

Megoldás. Az egyenletet megszorozzuk a bal oldalával konjugált kifejezéssel:

Vonjuk ki az utolsó egyenletet a megadott egyenletből:

Nézzük négyzetre ezt az egyenletet:

Az utolsó egyenletből azt találjuk, hogy . Az ellenőrzéssel meg vagyunk győződve arról, hogy ennek az egyenletnek csak az x \u003d 1 szám szolgál gyökereként.

B. Harmadfokú gyököket tartalmazó egyenletek. Irracionális egyenletrendszerek. Az ilyen egyenletek és rendszerek egyedi példáira szorítkozunk.

4. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Mutassunk két megoldást a (70.1) egyenletre. Első út. Kockázzuk fel ennek az egyenletnek mindkét oldalát (lásd a (20.8) képletet):

(itt kicseréltük az összeget kockagyökerek 4. szám, az egyenlet felhasználásával).

Szóval van

azaz az egyszerűsítések után

ahonnan Mindkét gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

A második út. Tegyük fel

A (70.1) egyenlet így lesz felírva. Ráadásul egyértelmű, hogy . A (70.1) egyenletből átjutottunk a rendszerbe

A rendszertag első egyenletét taggal elosztva a másodikkal, azt találjuk

Irracionális egyenlet minden olyan egyenlet, amely a gyökérjel alatt tartalmaz függvényt. Például:

Az ilyen egyenleteket mindig 3 lépésben oldjuk meg:

1. Válasszuk szét a gyökeret. Vagyis ha az egyenlőségjeltől balra a gyöken kívül más számok vagy függvények is vannak, akkor mindezt a jel megváltoztatásával jobbra kell mozgatni. Ugyanakkor csak a radikális maradjon a bal oldalon - együtthatók nélkül.
2. 2. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük. Ugyanakkor ne feledje, hogy a gyökér tartománya nem negatív szám. Ezért a jobb oldali funkció irracionális egyenlet szintén nem negatívnak kell lennie: g (x) ≥ 0.
3. A harmadik lépés logikusan következik a másodikból: el kell végezni az ellenőrzést. A helyzet az, hogy a második lépésben extra gyökereink lehetnek. És ahhoz, hogy levágjuk őket, be kell cserélni a kapott jelöltszámokat az eredeti egyenletbe, és ellenőrizni kell: valóban megkaptuk-e a helyes numerikus egyenlőséget?

Irracionális egyenlet megoldása

Foglalkozzunk az óra legelején megadott irracionális egyenletünkkel. Itt a gyök már eldugott: az egyenlőségjeltől balra nincs más, csak a gyök. Négyzetre emeljük mindkét oldalt:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

A kapott másodfokú egyenletet a diszkrimináns segítségével oldjuk meg:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Már csak az marad, hogy ezeket a számokat helyettesítsük az eredeti egyenletben, pl. végezzen ellenőrzést. De még itt is megteheti a helyes dolgot, hogy leegyszerűsítse a végső döntést.

Hogyan lehet egyszerűsíteni a megoldást

Gondolkodjunk el: miért is ellenőrizünk egy irracionális egyenlet megoldásának végén? Gondoskodni szeretnénk arról, hogy gyökeink behelyettesítésekor az egyenlőségjeltől jobbra egy nem negatív szám legyen. Hiszen már biztosan tudjuk, hogy nem negatív számról van szó a bal oldalon, mert a számtani négyzetgyök (ami miatt az egyenletünket irracionálisnak nevezzük) definíció szerint nem lehet kisebb nullánál.

Ezért csak annyit kell ellenőriznünk, hogy a g ( x ) = 5 − x függvény, amely az egyenlőségjeltől jobbra van, nem negatív:

g(x) ≥ 0

Behelyettesítjük a gyökereinket ebbe a függvénybe, és a következőt kapjuk:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

A kapott értékekből az következik, hogy az x 1 = 6 gyök nem felel meg nekünk, mivel az eredeti egyenlet jobb oldalára behelyettesítve negatív számot kapunk. De a gyökér x 2 \u003d -2 nagyon megfelelő számunkra, mert:

1. Ez a gyök a megoldás a másodfokú egyenletre, amelyet mindkét oldal felemelésével kapunk irracionális egyenlet egy négyzetbe.
2. Az eredeti irracionális egyenlet jobb oldala az x 2 = −2 gyök behelyettesítésekor pozitív számmá alakul, azaz. hatótávolság számtani gyök nem törött.

Ez az egész algoritmus! Mint látható, az egyenleteket gyökökkel megoldani nem olyan nehéz. A legfontosabb dolog az, hogy ne felejtse el ellenőrizni a kapott gyökereket, különben nagyon valószínű, hogy extra válaszokat kap.