Le graphique de la fonction racine cubique. Fonction puissance et racines - définition, propriétés et formules

Les gars, nous continuons à étudier les fonctions de puissance. Le sujet de la leçon d'aujourd'hui sera une fonction - la racine cubique de x. Qu'est-ce qu'une racine cubique ? Le nombre y est appelé la racine cubique de x (la racine du troisième degré) si l'égalité est remplie. Notons :, où x est le nombre radical, 3 est l'exposant.

Comme nous pouvons le voir, la racine cubique peut également être extraite des nombres négatifs. Il s'avère que notre racine existe pour tous les nombres. La troisième racine d'un nombre négatif est égale à un nombre négatif. Lorsqu'il est élevé à une puissance impaire, le signe est conservé, la troisième puissance est impaire. Vérifions l'égalité : Soit. On élève les deux expressions à la puissance trois Alors ou Dans la notation des racines on obtient l'identité recherchée.

Les gars, traçons notre fonction maintenant. 1) Le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels. 2) La fonction est impaire, puisque nous considérons ensuite notre fonction à x 0, après quoi nous réfléchissons le graphique par rapport à l'origine. 3) La fonction augmente à x 0. Pour notre fonction, une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction, ce qui signifie une augmentation. 4) La fonction n'est pas limitée par le haut. En fait, de n'importe quoi un grand nombre nous pouvons calculer la racine du troisième degré, et nous pouvons remonter à l'infini, en trouvant des valeurs toujours plus grandes de l'argument. 5) Pour x 0, la plus petite valeur est 0. Cette propriété est évidente.

Construisons notre graphe de la fonction sur tout le domaine de définition. Rappelez-vous que notre fonction est impaire. Propriétés de la fonction : 1) D(y)=(-;+) 2) fonction impaire. 3) Augmente de (-;+) 4) Illimité. 5) Il n'y a pas de valeur minimale ou maximale. 6) La fonction est continue sur toute la ligne réelle. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Convexe vers le bas de (- ; 0), convexe vers le haut de (0 ; +).

Exemple. Représentez graphiquement la fonction et lisez-la. Solution. Construisons deux graphes de fonctions sur le même plan de coordonnées, en tenant compte de nos conditions. En x-1 on construit un graphe de la racine cubique, en x-1 un graphe d'une fonction linéaire. 1) D(y)=(-;+) 2) La fonction n'est ni paire ni impaire. 3) Diminue de (-;-1), augmente de (-1;+) 4) Illimité par le haut, limité par le bas. cinq) La plus grande valeur non. Valeur la plus basse est égal à moins un. 6) La fonction est continue sur toute la ligne réelle. 7) E(y)= (-1;+)

Au lieu d'une introduction

L'utilisation des technologies modernes (CSE) et des aides pédagogiques (tableau multimédia) dans les cours aide l'enseignant à planifier et à mener des cours efficaces, à créer les conditions permettant aux élèves de comprendre, de mémoriser et de mettre en pratique les compétences.

La leçon s'avère dynamique et intéressante si différentes formes d'apprentissage sont combinées au cours de la leçon.

Dans la didactique moderne, il y a quatre généralités formes d'organisation apprentissage:

• médiatisé individuellement;
• chambre à vapeur;
• grouper;

collectif (par paires de composition interchangeable). (Dyachenko V.K. Didactique moderne. - M.: Education nationale, 2005).

Dans une leçon traditionnelle, en règle générale, seules les trois premières formes d'organisation de l'éducation énumérées ci-dessus sont utilisées. forme collective l'enseignement (travail en binômes) n'est pratiquement pas utilisé par l'enseignant. Cependant, cette forme organisationnelle d'apprentissage permet à l'équipe de former chacun à participer activement à la formation des autres. La forme collective d'éducation est à la pointe de la technologie de la RSE.

L'une des méthodes les plus courantes de la technologie de la voie collective d'apprentissage est la méthode de "l'entraînement mutuel".

Cette technique « magique » est bonne dans n'importe quel sujet et dans n'importe quelle leçon. Le but est la formation.

La formation est l'héritière de la maîtrise de soi, elle aide l'élève à établir son contact avec le sujet d'étude, facilitant ainsi la recherche des bonnes démarches-actions. Par la formation à l'acquisition, la consolidation, le regroupement, la révision, l'application des connaissances, le développement des capacités cognitives humaines se produit. (Yanovitskaya E.V. Comment enseigner et apprendre en classe pour avoir envie d'apprendre. Album-livre de référence. - Saint-Pétersbourg: Projets pédagogiques, M. : Editeur A.M. Kushnir, 2009.-p.14;131)

Cela aidera à répéter rapidement n'importe quelle règle, à se souvenir des réponses aux questions étudiées, à consolider les compétences nécessaires. Le temps optimal pour travailler selon la méthode est de 5 à 10 minutes. En règle générale, le travail sur les cartes de formation est effectué pendant le comptage oral, c'est-à-dire au début de la leçon, mais à la discrétion de l'enseignant, il peut être effectué à n'importe quelle étape de la leçon, en fonction de ses objectifs et structure. Dans la fiche de formation, il peut y avoir de 5 à 10 exemples simples (questions, tâches). Chaque élève de la classe reçoit une carte. Les cartes sont différentes pour tout le monde ou différentes pour tout le monde dans « l'équipe consolidée » (enfants assis sur la même rangée). Un détachement consolidé (groupe) est une coopération temporaire d'étudiants formés pour effectuer une tâche éducative spécifique. (Yalovets T.V. La technologie d'une méthode collective d'enseignement dans la formation avancée d'un enseignant: manuel pédagogique et méthodologique. - Novokuznetsk: IPC Publishing House, 2005. - P. 122)

Projet de cours sur le sujet "Fonction y=, ses propriétés et son graphe"

Dans le projet de la leçon dont le sujet est : « Fonction y=, ses propriétés et son graphique » l'utilisation de la technique de formation mutuelle en combinaison avec l'utilisation de supports pédagogiques traditionnels et multimédias est présentée.

Sujet de la leçon : " Fonction y=, ses propriétés et son graphe”

Buts:

• préparation aux travaux de contrôle;
• vérifier la connaissance de toutes les propriétés d'une fonction et la capacité de tracer des graphiques de fonctions et de lire leurs propriétés.

Tâches: niveau matière :

niveau sursujet :

• apprendre à analyser les informations graphiques ;
• développer la capacité à mener un dialogue;
• développer la capacité et la compétence de travailler avec un tableau blanc interactif en utilisant l'exemple de travailler avec des graphiques.

Structure de la leçon	Temps
1. Saisie des informations de l'enseignant (ITI)	5 minutes.
2. Actualisation des connaissances de base : travail en binôme selon la méthodologie “Formation mutuelle”	8 min.
3. Familiarisation avec le sujet "Fonction y=, ses propriétés et son graphe": présentation de l'enseignant	8 min.
4. Consolidation du matériel nouvellement étudié et déjà passé sur le thème "Fonction": à l'aide d'un tableau blanc interactif	15 minutes.
5. Maîtrise de soi : sous forme d'épreuve	7 min.
6. Résumer, enregistrer les devoirs.	2 minutes.

Examinons de plus près le contenu de chaque étape.

1. La saisie des informations de l'enseignant (ITI) comprend Organisation du temps; exprimer le sujet, le but et le plan de leçon ; montrant un échantillon de travail en binôme selon la méthode de la formation mutuelle.

La démonstration d'un échantillon de travail par paires par les étudiants à ce stade de la leçon est conseillée pour répéter l'algorithme du travail de la technique dont nous avons besoin, car. à l'étape suivante de la leçon, le travail de toute l'équipe de classe y est prévu. Dans le même temps, vous pouvez nommer les erreurs dans le travail en fonction de l'algorithme (le cas échéant), ainsi qu'évaluer le travail de ces étudiants.

2. L'actualisation des connaissances de référence est effectuée par paires de composition d'équipe selon la méthode de formation mutuelle.

L'algorithme de la méthodologie comprend des formes organisationnelles de formation individuelles, en paires (paires statiques) et collectives (paires de composition d'équipe).

Individuel : toute personne qui reçoit la carte prend connaissance de son contenu (lit les questions et réponses au dos de la carte).

• première(dans le rôle d'un « stagiaire ») lit la tâche et répond aux questions de la carte du partenaire ;
• seconde(dans le rôle d'un "coach") - vérifie l'exactitude des réponses au dos de la carte;
• travailler de la même manière sur une autre carte, en changeant les rôles ;
• faire une marque dans une feuille individuelle et changer les cartes;
• passer à une nouvelle paire.

Collectif:

• dans la nouvelle paire, ils fonctionnent comme dans la première ; transition vers une nouvelle paire, etc.

Le nombre de transitions dépend du temps alloué par l'enseignant pour cette étape leçon, de la diligence et de la rapidité de compréhension de chaque étudiant et des partenaires de collaboration.

Après un travail en binôme, les élèves prennent des notes sur les feuilles de notes, l'enseignant procède à une analyse quantitative et qualitative du travail.

La liste pourrait ressembler à ceci :

Ivanov Petya 7 classe "b"

date de	Numéro de carte	Nombre d'erreurs	Avec qui avez-vous travaillé
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Pétrova M.
	№2	1	Samoïlova Z.

3. La connaissance du sujet «Fonction y =, ses propriétés et son graphe» est réalisée par l'enseignant sous la forme d'une présentation à l'aide d'outils d'apprentissage multimédia (annexe 4). D'une part, il s'agit d'une option de visualisation compréhensible pour les étudiants modernes, d'autre part, elle permet de gagner du temps sur l'explication du nouveau matériel.

4. Consolidation du matériel nouvellement étudié et déjà passé sur le sujet «Fonction ” organisée en deux versions, utilisant des supports pédagogiques traditionnels (tableau, manuel) et innovants (tableau blanc interactif).

Tout d'abord, plusieurs tâches du manuel sont proposées pour consolider le matériel nouvellement étudié. Le manuel utilisé pour l'enseignement est utilisé. Le travail est effectué simultanément avec toute la classe. Dans ce cas, un élève exécute la tâche «a» - sur un tableau traditionnel; l'autre est la tâche "b" sur le tableau blanc interactif, le reste des élèves notent les solutions des mêmes tâches dans un cahier et comparent leur solution avec la solution présentée sur les tableaux. Ensuite, l'enseignant évalue le travail des élèves au tableau noir.

Ensuite, afin de consolider plus rapidement le matériel étudié sur le thème « Fonction », un travail frontal avec un tableau blanc interactif est proposé, qui peut être organisé comme suit :

• la tâche et le planning apparaissent sur le tableau blanc interactif ;
• un élève qui veut répondre se rend au tableau, effectue les constructions nécessaires et exprime la réponse ;
• une nouvelle tâche et un nouveau planning apparaissent au tableau ;
• Un autre étudiant sort pour répondre.

Ainsi, en peu de temps, il est possible de résoudre pas mal de tâches, d'évaluer les réponses des élèves. Certaines tâches d'intérêt (similaires aux tâches du prochain travail de contrôle), peut être enregistré dans un cahier.

5. Au stade de la maîtrise de soi, l'élève se voit proposer un test suivi d'un auto-examen (Annexe 3).

Littérature

1. Dyatchenko, V.K. Didactique moderne [Texte] / V.K. Dyachenko - M.: Education publique, 2005.
2. Yalovets, T.V. La technologie de la méthode collective d'enseignement dans le développement professionnel de l'enseignant: Manuel pédagogique et méthodologique [Texte] / T.V. Yalovets. - Novokouznetsk : Maison d'édition IPC, 2005.
3. Ianovitskaïa, E.V. Comment enseigner et apprendre en classe pour avoir envie d'apprendre. Ouvrage de référence [Texte] / E.V. Yanovitskaya. - Saint-Pétersbourg : Projets éducatifs, M. : Editeur A.M. Kushnir, 2009.

Leçon et présentation sur le thème: "Fonctions de puissance. Racine cubique. Propriétés de la racine cubique"

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Définition d'une fonction puissance - racine cubique

Les gars, nous continuons à étudier les fonctions de puissance. Aujourd'hui, nous allons parler de la fonction racine cubique de x.
Qu'est-ce qu'une racine cubique ?
Un nombre y est appelé racine cubique de x (racine du troisième degré) si $y^3=x$ est vrai.
Ils sont notés $\sqrt(x)$, où x est le nombre racine, 3 est l'exposant.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Comme nous pouvons le voir, la racine cubique peut également être extraite des nombres négatifs. Il s'avère que notre racine existe pour tous les nombres.
La troisième racine d'un nombre négatif est égale à un nombre négatif. Lorsqu'il est élevé à une puissance impaire, le signe est conservé, la troisième puissance est impaire.

Vérifions l'égalité : $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Soit $\sqrt((-x))=a$ et $\sqrt(x)=b$. Élevons les deux expressions à la troisième puissance. $–x=a^3$ et $x=b^3$. Alors $a^3=-b^3$ ou $a=-b$. Dans la notation des racines, on obtient l'identité recherchée.

Propriétés des racines cubiques

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Démontrons la deuxième propriété. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Nous avons trouvé que le nombre $\sqrt(\frac(a)(b))$ dans le cube est égal à $\frac(a)(b)$ et donc il est égal à $\sqrt(\frac(a) (b))$, ce qui devait être prouvé.

Les gars, traçons notre graphique de fonction.
1) Le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels.
2) La fonction est impaire car $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Ensuite, considérons notre fonction pour $x≥0$, puis réfléchissons le graphique par rapport à l'origine.
3) La fonction augmente pour $х≥0$. Pour notre fonction, une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction, ce qui signifie augmenter.
4) La fonction n'est pas limitée par le haut. En fait, à partir d'un nombre arbitrairement grand, vous pouvez calculer la racine du troisième degré, et nous pouvons remonter à l'infini, en trouvant des valeurs toujours plus grandes de l'argument.
5) Pour $x≥0$, la plus petite valeur est 0. Cette propriété est évidente.
Construisons un graphe de la fonction par points pour x≥0.

Construisons notre graphe de la fonction sur tout le domaine de définition. Rappelez-vous que notre fonction est impaire.

Propriétés de la fonction :
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fonction impaire.
3) Augmente de (-∞;+∞).
4) Illimité.
5) Il n'y a pas de valeur minimale ou maximale.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexe vers le bas de (-∞;0), convexe vers le haut de (0;+∞).

Exemples de résolution de fonctions puissance

Exemples
1. Résolvez l'équation $\sqrt(x)=x$.
Solution. Construisons deux graphes sur le même plan de coordonnées $y=\sqrt(x)$ et $y=x$.

Comme vous pouvez le voir, nos graphiques se croisent en trois points.
Réponse : (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construisez un graphique de la fonction. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solution. Notre graphe est obtenu à partir du graphe de la fonction $y=\sqrt(x)$, en décalant parallèlement deux unités vers la droite et trois unités vers le bas.

3. Construisez un graphe de fonctions et lisez-le. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Solution. Construisons deux graphes de fonctions sur le même plan de coordonnées, en tenant compte de nos conditions. Pour $х≥-1$ on construit un graphe d'une racine cubique, pour $х≤-1$ un graphe d'une fonction linéaire.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La fonction n'est ni paire ni impaire.
3) Diminue de (-∞;-1), augmente de (-1;+∞).
4) Illimité d'en haut, limité d'en bas.
5) Il n'y a pas de valeur maximale. La plus petite valeur est moins un.
6) La fonction est continue sur toute la ligne réelle.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tâches pour une solution indépendante

1. Résolvez l'équation $\sqrt(x)=2-x$.
2. Tracez la fonction $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construisez un graphique de la fonction et lisez-le. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Les principales propriétés de la fonction puissance sont données, y compris les formules et les propriétés des racines. L'expansion et la représentation des séries dérivées, intégrales et puissances au moyen de nombres complexes de la fonction puissance sont présentées.

Définition

Définition
Fonction de puissance avec l'exposant p est la fonction f (x) = xp, dont la valeur au point x est égale à la valeur fonction exponentielle de base x à la p.
De plus, f (0) = 0 p = 0 pour p > 0 .

Pour les valeurs naturelles de l'exposant, la fonction puissance est le produit de n nombres égaux à x :
.
Il est défini pour tout réel .

Pour les valeurs rationnelles positives de l'exposant , la fonction puissance est le produit de n racines de degré m par le nombre x :
.
Pour m impair, il est défini pour tout réel x. Pour m pair, la fonction puissance est définie pour non négatif .

Pour négatif , la fonction puissance est définie par la formule :
.
Par conséquent, il n'est pas défini au point .

Pour les valeurs irrationnelles de l'exposant p, la fonction exponentielle est déterminée par la formule :
,
où a est un nombre positif arbitraire, non égal à un: .
Pour , il est défini pour .
Pour , la fonction puissance est définie pour .

Continuité. Une fonction puissance est continue sur son domaine de définition.

Propriétés et formules de la fonction puissance pour x ≥ 0

Ici, nous considérons les propriétés de la fonction puissance pour ne pas valeurs négatives argument x. Comme indiqué ci-dessus, pour certaines valeurs de l'exposant p , la fonction exponentielle est également définie pour les valeurs négatives de x . Dans ce cas, ses propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés en , en utilisant une parité paire ou impaire. Ces cas sont discutés et illustrés en détail sur la page "".

Une fonction puissance, y = x p , d'exposant p a les propriétés suivantes :
(1.1) défini et continu sur le plateau
à ,
à ;
(1.2) a plusieurs significations
à ,
à ;
(1.3) augmente strictement à ,
décroît strictement à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

La preuve des propriétés est donnée sur la page " Fonction puissance (preuve de continuité et propriétés) »

Racines - définition, formules, propriétés

Définition
Racine de x à la puissance n est le nombre dont l'élévation à la puissance n donne x :
.
Ici n = 2, 3, 4, ... - entier naturel, supérieur à un.

On peut aussi dire que la racine d'un nombre x de degré n est la racine (c'est-à-dire la solution) de l'équation
.
Notez que la fonction est l'inverse de la fonction .

La racine carrée de x est une racine de degré 2 : .

racine cubique du numéro x est une racine de degré 3 : .

Degré pair

Pour des puissances paires n = 2 mètres, la racine est définie pour x ≥ 0 . Une formule fréquemment utilisée est valable pour x positif et négatif :
.
Pour la racine carrée :
.

L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées est important ici - c'est-à-dire que la mise au carré est d'abord effectuée, ce qui donne un nombre non négatif, puis la racine en est extraite (à partir d'un nombre non négatif, vous pouvez extraire Racine carrée). Si nous changions l'ordre : , alors pour x négatif la racine serait indéfinie, et avec elle l'expression entière serait indéfinie.

degré impair

Pour les puissances impaires, la racine est définie pour tout x :
;
.

Propriétés et formules des racines

La racine de x est une fonction puissance :
.
Pour x ≥ 0 les formules suivantes tiennent :
;
;
, ;
.

Ces formules peuvent également être appliquées pour les valeurs négatives des variables. Il faut seulement s'assurer que l'expression radicale des puissances paires n'est pas négative.

Valeurs privées

La racine de 0 est 0 : .
La racine de 1 est 1 : .
La racine carrée de 0 est 0 : .
La racine carrée de 1 est 1 : .

Exemple. Racine des racines

Prenons l'exemple de la racine carrée des racines :
.
Convertissez la racine carrée interne en utilisant les formules ci-dessus :
.
Transformons maintenant la racine d'origine :
.
Alors,
.

y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p .

Voici les graphiques de la fonction pour les valeurs non négatives de l'argument x. Les graphiques de la fonction puissance définie pour les valeurs négatives de x sont donnés sur la page " Fonction puissance, ses propriétés et ses graphiques »

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction puissance d'exposant p est une fonction puissance d'exposant 1/p .

Si donc .

Dérivée de la fonction puissance

Dérivée du nième ordre :
;

Dérivation de formules > > >

Intégrale d'une fonction puissance

P≠- 1 ;
.

Extension de la série Power

À - 1 < x < 1 la décomposition suivante a lieu :

Expressions en termes de nombres complexes

Considérons une fonction d'une variable complexe z :
F (z) = z t.
Nous exprimons la variable complexe z en termes de module r et d'argument φ (r = |z| ) :
z = r e je φ .
Nous représentons le nombre complexe t en parties réelles et imaginaires :
t = p + je q .
Nous avons:

De plus, nous tenons compte du fait que l'argument φ n'est pas défini de manière unique :
,

Considérons le cas où q = 0 , c'est-à-dire l'exposant nombre réel, t = p . Puis
.

Si p est un entier, alors kp est aussi un entier. Alors, du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques :
.
C'est à dire fonction exponentielleà exposant entier, pour un z donné, n'a qu'une valeur et est donc à valeur unique.

Si p est irrationnel, alors les produits de kp ne donnent pas d'entier pour tout k. Puisque k parcourt une suite infinie de valeurs k = 0, 1, 2, 3, ..., alors la fonction z p a une infinité de valeurs. Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2 pi(un tour), on passe à une nouvelle branche de la fonction.

Si p est rationnel, alors il peut être représenté par :
, où m,n sont des entiers sans diviseurs communs. Puis
.
n premières valeurs, pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, étant donné différentes significations kp :
.
Cependant, les valeurs suivantes donnent des valeurs qui diffèrent des précédentes par un nombre entier. Par exemple, pour k = k 0+n on a:
.
Fonctions trigonométriques, dont les arguments diffèrent par des multiples de 2 pi, ont des valeurs égales. Par conséquent, avec une nouvelle augmentation de k, nous obtenons les mêmes valeurs de z p que pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Ainsi, la fonction exponentielle avec indicateur rationnel degré est multivalué et a n valeurs (branches). Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2 pi(un tour), on passe à une nouvelle branche de la fonction. Après n tels tours, nous retournons à la première branche à partir de laquelle le compte à rebours a commencé.

En particulier, une racine de degré n a n valeurs. A titre d'exemple, considérons la nième racine d'un nombre réel positif z = x. Dans ce cas φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Donc, pour la racine carrée, n = 2 ,
.
Pour k pair, (- 1 ) k = 1. Pour k impair, (- 1 ) k = - 1.
Autrement dit, la racine carrée a deux significations : + et -.

Les références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.