Пуснете различни корени. Правила за изваждане на корени

Корен квадратен от число хнаречен номер А, който в процеса на умножаване сам по себе си ( А*А) може да даде число х.
Тези. A * A = A 2 = X, И √X = A.

Над квадратни корени ( √x), както при други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x- √y ).
И след това им донесете корените най-простата форма- ако между тях има подобни е необходимо да се направи отливка. Състои се във факта, че се вземат коефициентите на подобни термини със знаците на съответните термини, след което те се ограждат в скоби, а общият корен се показва извън множителните скоби. Коефициентът, който получихме, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1. Извличане на квадратни корени

Първо, за да добавите квадратни корени, първо трябва да извлечете тези корени. Това може да стане, ако числата под коренния знак са идеални квадрати. Вземете например дадения израз √4 + √9 . Първо число 4 е квадратът на числото 2 . Второ число 9 е квадратът на числото 3 . По този начин може да се получи следното равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Всичко, примерът е решен. Но не винаги става така.

Стъпка 2. Изваждане на множителя на число изпод корена

Ако няма пълни квадрати под знака корен, можете да опитате да извадите множителя на числото под знака корен. Например, вземете израза √24 + √54 .

Да разделим числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В списъка 24 имаме множител 4 , може да се извади изпод знака за корен квадратен. В списъка 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенството:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Разглеждайки този пример, получаваме премахването на фактора под знака корен, като по този начин опростяваме дадения израз.

Стъпка 3. Намаляване на знаменателя

Помислете за следната ситуация: сумата от два квадратни корена е знаменател на дроб, например, A / (√a + √b).
Сега сме изправени пред задачата „да се отървем от ирационалността в знаменателя“.
Нека използваме следния метод: умножете числителя и знаменателя на дроба по израза √a - √b.

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

По същия начин, ако знаменателят съдържа разликата на корените: √a - √b, числителят и знаменателят на дроба се умножават по израза √a + √b.

Нека вземем дроб като пример:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Пример за редукция на комплексен знаменател

Сега нека разгледаме достатъчно сложен примерда се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека вземем дроб като пример: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да го умножите по израза √2 + √3 - √5 .

Получаваме:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Ако имате нужда само от приблизителна стойност, това може да се направи на калкулатор, като се изчисли стойността на квадратните корени. Отделно за всяко число стойността се изчислява и записва с необходимата точност, която се определя от броя на десетичните знаци. Освен това се извършват всички необходими операции, както при обикновените числа.

Примерно изчисление

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат на това получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да се добавят квадратни корени като прости числа, това е напълно неприемливо. Тоест, ако добавим Корен квадратенот пет и от три не можем да получим корен квадратен от осем.

Полезен съвет: ако решите да разложите число на множители, за да извлечете квадрат под знака корен, трябва да направите обратна проверка, тоест да умножите всички фактори, получени от изчисленията, и крайния резултат от това математическото изчисление трябва да бъде числото, което първоначално получихме.

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друга степен (степен), която е написана вляво над знака за корен. Изразът под знака корен се нарича коренен израз. Добавянето на корен е подобно на добавянето на термин. алгебричен израз, тоест изисква дефиницията на подобни корени.

Стъпки

Част 1 от 2: Намиране на корени

Обозначение на корена.Израз под знака корен () означава, че е необходимо да се извлече корен с определена степен от този израз.

Коренът се обозначава със знак.
Индексът (степента) на корена е изписан вляво над знака за корен. Например, коренът от 27 се записва като: (27)
Ако степента (степента) на корена отсъства, тогава експонентът се счита за равен на 2, тоест това е квадратен корен (или корен от втора степен).
Числото, записано преди основния знак, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5 (2)
Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (припомнете си, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
Ако работите с корени за първи път, направете подходящи бележки за множителя и степента на корена, за да не се объркате и да разберете по-добре предназначението им.

Помнете кои корени могат да бъдат сгънати и кои не.Точно както не можете да добавяте различни термини на израз, като 2a + 2b 4ab, не можете да добавяте различни корени.

Не можете да добавяте корени с различни коренни изрази, например (2) + (3) (5). Но можете да добавяте числа под един и същ корен, например (2 + 3) = (5) (корен квадратен от 2 е приблизително 1,414, квадратен корен от 3 е приблизително 1,732, а корен квадратен от 5 е приблизително 2,236 ).

Не можете да добавяте корени с едни и същи коренни изрази, но различни експоненти, например (64) + (64) (тази сума не е равна на (64), тъй като корен квадратен от 64 е 8, коренът от 64 е 4, 8 + 4 = 12, което е много по-голямо от петия корен от 64, което е приблизително 2,297).

Част 2 от 2: Опростяване и добавяне на корени

Идентифицирайте и групирайте сходни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви експоненти и едни и същи коренни изрази. Например, помислете за израза:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Първо, пренапишете израза, така че корените с една и съща степен да са в серия.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
След това пренапишете израза, така че корените с една и съща степен и същия коренен израз да са в серия.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Опростете корените си.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които се изважда изпод корена. В този случай изобразеното число и основният фактор се умножават.

В примера по-горе разложете 50 на 2*25 и числото 32 в 2*16. От 25 и 16 можете да извлечете квадратните корени (съответно 5 и 4) и да извадите 5 и 4 изпод корена, като ги умножите съответно по фактори 2 и 1. Така получавате опростен израз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Числото 81 може да бъде разложено на 3 * 27, а коренът от 3 може да се вземе от числото 27. Това число 3 може да бъде извадено изпод корена. Така получавате още по-опростен израз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Добавете факторите с подобни корени.В нашия пример има подобни квадратни корени от 2 (те могат да се добавят) и подобни квадратни корени от 3 (те също могат да се добавят). В корен кубот 3 няма такива корени.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Краен опростен израз: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Няма общоприети правила за реда, в който корените се записват в израз. Следователно можете да пишете корени във възходящ ред на техните експоненти и във възходящ ред на радикалните изрази.

Внимание, само ДНЕС!

Всичко интересно

Числото, което е под основния знак, често пречи на решението на уравнението, неудобно е да се работи с него. Дори ако е повишено на степен, дробно или не може да бъде представено като цяло число до определена степен, човек може да се опита да го извлече от...

Корен от число x е число, което, когато се повдигне на степен на корена, ще бъде равно на x. Множителят е числото, което се умножава. Тоест в израз като x*ª-&radic-y трябва да добавите x под корена. Инструкция 1 Определете степента...

Ако коренният израз съдържа набор от математически операции с променливи, тогава понякога, в резултат на неговото опростяване, е възможно да се получи сравнително проста стойност, част от която може да бъде извадена изпод корена. Това опростяване е полезно...

Аритметичните операции с корени от различни степени могат значително да опростят изчисленията във физиката и технологиите и да ги направят по-точни. При умножение и деление е по-удобно да не извличате корена от всеки множител или дивидент и делител, а първо ...

Корен квадратен от числото x е числото a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, x = a. Както при всяко число, можете да извършвате аритметичните операции на събиране и изваждане върху квадратен корен. Инструкция...

Коренът в математиката може да има две значения: това е аритметична операция и всяко от решенията на уравнение, алгебрично, параметрично, диференциално или всяко друго. Инструкция 1 Коренът на n-та степен на числото a е такова число, че ...

При изпълнение на различни аритметични операциис корени, често е необходимо да можете да трансформирате радикални изрази. За да се опростят изчисленията, може да се наложи да извадите фактора от знака на радикала или да го поставите под него. Това действие може...

Коренът е иконата, която представлява математическа операциянамирането на такова число, чиято конструкция на степента, посочена преди знака на корена, трябва да даде числото, посочено под самия този знак. Често за решаване на проблеми, в които има...

Знакът на корена в математическите науки се нарича символза корени. Числото под основния знак се нарича радикален израз. При липса на степен, коренът е квадрат, в противен случай фигурата показва ...

аритметичен корен n-та степенот реално число a се нарича такова неотрицателно число x, n-та степенкоето е равно на числото а. Тези. (n) a = x, x^n = a. Съществуват различни начинидопълнения аритметичен корени рационално число...

n-тият корен на реално число a е число b, за което е вярно равенството b^n = a. Нечетните корени съществуват за отрицателни и положителни числа, а четните корени съществуват само за положителни числа.…

Над квадратни корени ( √x), както при други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x - √y ).
И след това приведете корените до най-простата им форма - ако между тях има подобни, трябва да направите отливка. Състои се във факта, че се вземат коефициентите на подобни термини със знаците на съответните термини, след което те се ограждат в скоби, а общият корен се показва извън множителните скоби. Коефициентът, който получихме, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1. Извличане на квадратни корени

Стъпка 2. Изваждане на множителя на число изпод корена

Да разделим числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В списъка 24 имаме множител 4 , може да се извади изпод знака за корен квадратен. В списъка 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенството:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Стъпка 3. Намаляване на знаменателя

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Нека вземем дроб като пример:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример за редукция на комплексен знаменател

Сега ще разгледаме доста сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя.

Нека вземем дроб като пример: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да го умножите по израза √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Примерно изчисление

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат на това получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да се добавят квадратни корени като прости числа, това е напълно неприемливо. Тоест, ако съберете корен квадратен от пет и три, не можем да получим корен квадратен от осем.

Правила за изваждане на корени

1. Коренът на степента от произведението на неотрицателни числа е равен на произведението на корените от същата степен от факторите: където (правилото за извличане на корена от произведението).

2. Ако , тогава y (правилото за извличане на корен от дроб).

3. Ако тогава (правилото за извличане на корена от корена).

4. Ако тогава правилото за издигане на корен на степен).

5. Ако тогава къде, т.е., индексът на корена и индексът на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число.

6. Ако тогава 0, т.е., по-голям положителен радикален израз съответства на по-голяма стойност на корена.

7. Всички горепосочени формули често се използват в обратен ред(т.е. от дясно на ляво). Например,

(правило за умножение на корените);

(правилото за разделяне на корените);

8. Правилото за изваждане на множителя изпод знака на корена. В

9. Обратна задача - въвеждане на множител под знака на корена. Например,

10. Унищожаване на ирационалността в знаменателя на дроб.

Нека разгледаме някои типични случаи.

Значение на думата Обяснете значението на думите: закон, лихвар, длъжник-роб. обясни значението на думите: закон, лихвар, длъжник роб. ВКУСНА ЯГОДА (Гост) Училищни въпроси по темата 1. Кои са 3-те вида […]
Имате ли нужда от разрешение за уоки-токи в кола? къде да чета? Все пак трябва да регистрирате своята радиостанция. Уоки-токита, които работят на честота 462MHz, ако не сте представител на Министерството на вътрешните работи, […]
Единна данъчна ставка - 2018 г. Единната данъчна ставка - 2018 г. за предприемачи-физически лица от първа и втора група се изчислява като процент от житейския минимум и минималната работна заплата, установена на 01 януари […]
Авито застраховка ГАРАНЦИЯ ЗА ЗАКОННОСТЬ. Решихте сами да издадете имейл адрес на OSAGO, но нищо не ви се получава? Не се паникьосвайте! !!Ще въведа за вас всички необходими данни в електронното приложение на […]
Процедурата за изчисляване и плащане на акциз Акцизът е един от косвените данъци върху стоките и услугите, който е включен в цената им. Акцизът се различава от ДДС по това, че се налага върху […]
Приложение. Правила за земеползване и развитие на град Ростов на Дон Приложение към решението на Градската дума от 17 юни 2008 г. N 405 Правила за земеползване и развитие на град Ростов на Дон Изменено и [… ]

Например,

11. Прилагане на съкратени тъждества за умножение към операции с аритметични корени:

12. Коефициентът пред корена се нарича негов коефициент. Например, тук 3 е фактор.

13. Корените (радикалите) се наричат сходни, ако имат еднакви коренни експоненти и едни и същи радикални изрази, но се различават само по коефициента. За да прецените дали тези корени (радикали) са сходни или не, трябва да ги сведете до най-простата им форма.

Например и са подобни, защото

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯ

1. Опростете изразите:

Решение. 1) Няма смисъл да се умножава коренния израз, тъй като всеки от факторите представлява квадрат на цяло число. Нека използваме правилото за извличане на корена от продукта:

В бъдеще подобни действия ще се извършват устно.

2) Нека се опитаме, ако е възможно, да представим радикалния израз като продукт на фактори, всеки от които е куб от цяло число, и да приложим правилото за корена на произведението:

2. Намерете стойността на израза:

Решение. 1) Съгласно правилото за извличане на корена от дроб, имаме:

3) Преобразуваме радикалните изрази и извличаме корена:

3. Опростете кога

Решение. При извличане на корен от корен индексите на корените се умножават, а коренният израз остава непроменен.

Ако има коефициент преди корена под корена, то преди да се извърши операцията по извличане на корена, този коефициент се въвежда под знака на радикала, пред който стои.

Въз основа на горните правила извличаме последните два корена:

4. Повишаване на степен:

Решение. При издигане на корен в степен, коренната степен остава непроменена, а експонентите на радикалния израз се умножават по степента.

(тъй като е дефиниран, тогава );

Ако даден коренима коефициент, то този коефициент се повишава на степен отделно и резултатът се записва като коефициент в корена.

Тук използвахме правилото, че индексът на корена и индексът на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число (умножихме по т.е. разделено на 2).

Например, или

4) Изразът в скоби, представляващ сумата от два различни радикала, ще бъде кубичен и опростен:

Защото имаме:

5. Премахнете ирационалността в знаменателя:

Решение. За да премахнете (унищожите) ирационалността в знаменателя на дроб, трябва да намерите най-простия от изразите, който в произведението със знаменателя дава рационално изразяване, и умножете числителя и знаменателя на тази дроб по намерения коефициент.

Например, ако има бином в знаменателя на дроб, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза, конюгиран със знаменателя, тоест сборът трябва да се умножи по съответната разлика и обратно.

В повече трудни случаиунищожи ирационалността не веднага, а на няколко стъпки.

1) Изразът трябва да съдържа

Умножавайки числителя и знаменателя на дроба по, получаваме:

2) Умножавайки числителя и знаменателя на дроба по непълния квадрат на сбора, получаваме:

3) Нека доведем дробите до общ знаменател:

Когато решаваме този пример, трябва да имаме предвид, че всяка дроб има значение, тоест знаменателят на всяка дроб е различен от нула. Освен това,

При преобразуване на изрази, съдържащи радикали, често се допускат грешки. Те са причинени от невъзможността за правилно прилагане на концепцията (дефиницията) на аритметичния корен и абсолютната стойност.

Правила за изваждане на корени

Изчислете стойността на израза

Решение.

Обяснение.
За да свием коренния израз, нека представим във втория фактор в неговия коренен израз числото 31 като сбор от 15+16. (ред 2)

След трансформацията може да се види, че сумата във втория радикален израз може да бъде представена като квадрат на сбора с помощта на съкратените формули за умножение. (ред 3)

Сега нека представим всеки корен от даденото произведение като степен. (ред 4)

Опростете израза (ред 5)

Тъй като мощността на произведението е равна на произведението на мощностите на всеки от факторите, ние представяме това съответно (ред 6)

Както можете да видите, според формулите за съкратено умножение имаме разликата на квадратите на две числа. Откъде и изчислете стойността на израза (ред 7)

Изчислете стойността на израза.

Решение.

Обяснение.

Използваме свойствата на корена, че коренът на произволна степен на частни числа е равен на частния от корените на тези числа (ред 2)

Коренът на произволна степен на число от същата степен е равен на това число (ред 3)

Нека премахнем минуса от скобата на първия множител. В този случай всички знаци в скобата ще бъдат обърнати (ред 4)

Да намалим дроба (ред 5)

Нека представим числото 729 като квадрат на числото 27, а числото 27 като куба на числото 3. Откъде получаваме стойността на радикалния израз.

Корен квадратен. Първо ниво.

Искате ли да изпробвате силите си и да разберете резултата от това доколко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

1. Въвеждане на понятието аритметичен квадратен корен

Квадратният корен (аритметичен квадратен корен) на неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен.
.

Числото или изразът под основния знак трябва да е неотрицателен

2. Таблица на квадратите

3. Свойства на аритметичния квадратен корен

Въведение в понятието аритметичен квадратен корен

Нека се опитаме да разберем какво понятие е "корен" и "с какво се яде". За да направите това, помислете за примери, които вече сте срещали в уроците (е, или просто трябва да се сблъскате с това).

Например имаме уравнение. какво е решението дадено уравнение? Какви числа могат да се квадратират и да се получат едновременно? Запомняйки таблицата за умножение, можете лесно да дадете отговора: и (защото когато умножите две отрицателни числа, получавате положително число)! За опростяване, математиците са въвели специална концепция за квадратния корен и са му присвоили специален символ.

Нека дефинираме аритметичния квадратен корен.

Защо числото трябва да е неотрицателно? Например, на какво е равно? Добре, нека се опитаме да го разберем. Може би три? Да проверим: и не. Може би, ? Отново проверете: Е, не е ли избран? Това може да се очаква – защото няма числа, които при квадратура дават отрицателно число!

Вероятно обаче вече сте забелязали, че определението казва, че решението на квадратния корен от „число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на“. И в самото начало анализирахме примера, подбрахме числа, които могат да бъдат квадратирани и получени едновременно, отговорът беше и, и тук става дума за някакъв вид „неотрицателно число“! Подобна забележка е съвсем уместна. Тук е необходимо просто да се направи разлика между понятията за квадратни уравнения и аритметичния квадратен корен от число. Например, не е еквивалентен на израз.

И това следва.

Разбира се, това е много объркващо, но трябва да се помни, че знаците са резултат от решаването на уравнението, тъй като при решаването на уравнението трябва да запишем всички x, които, когато бъдат заместени в оригиналното уравнение, ще дадат правилния резултат. В нашето квадратно уравнение се вписва и двете и.

Но, ако просто вземете корен квадратен от нещо, тогава винаги получавате един неотрицателен резултат.

Сега се опитайте да решите това уравнение. Всичко не е толкова просто и гладко, нали? Опитайте се да сортирате числата, може би нещо ще изгори?

Нека започнем от самото начало - от нулата: - не пасва, продължете напред; - по-малко от три, ние също четката настрани, но какво ще стане, ако? Нека проверим: - също не се вписва, т.к повече от три са. С отрицателни числа ще се окаже същата история. И какво да правя сега? Търсенето нищо ли не ни даде? Съвсем не, сега знаем със сигурност, че отговорът ще бъде някакво число между и, както и между и. Също така е очевидно, че решенията няма да са цели числа. Освен това те не са рационални. И така, какво следва? Нека построим графика на функцията и да отбележим решенията върху нея.

Нека се опитаме да излъжем системата и да получим отговор с помощта на калкулатор! Да извадим корена от бизнеса! О-о-о, оказва се, че такова число никога не свършва. Как можете да запомните това, защото на изпита няма да има калкулатор!? Всичко е много просто, не е нужно да го запомняте, трябва да запомните (или да можете бързо да оцените) приблизителна стойност. и самите отговори. Такива числа се наричат ирационални и концепцията за корен квадратен беше въведена, за да се опрости записването на такива числа.
Нека разгледаме друг пример за засилване. Нека анализираме следния проблем: трябва да пресечете диагонално квадратно поле със страна от km, колко км трябва да изминете?

Най-очевидното нещо тук е да разгледаме триъгълника отделно и да използваме питагоровата теорема:. По този начин, . И така, какво е необходимото разстояние тук? Очевидно разстоянието не може да бъде отрицателно, разбираме го. Коренът от две е приблизително равен, но, както отбелязахме по-рано, вече е пълен отговор.

Екстракция на корени

Така че решаването на примери с корени не създава проблеми, трябва да ги видите и разпознаете. За да направите това, трябва да знаете поне квадратите на числата от до, както и да можете да ги разпознавате.

Тоест, трябва да знаете какво е на квадрат, а също и обратно, какво е на квадрат. Първо, тази таблица ще ви помогне да извлечете корена.

Веднага след като решите достатъчен брой примери, необходимостта от това автоматично ще изчезне.
Опитайте сами да извлечете квадратния корен в следните изрази:

Е, как се получи? Сега нека видим тези примери:

Свойства на аритметичния квадратен корен

Сега знаете как да извличате корени и е време да научите за свойствата на аритметичния квадратен корен. Има само 3 от тях:

умножение;
разделение;
степенуване.

Е, те са много лесни за запомняне с помощта на тази таблица и, разбира се, обучение:

Как да решим
квадратни уравнения

В предишните уроци анализирахме "Как се решават линейни уравнения", тоест уравнения от първа степен. В този урок ще изследваме какво е квадратно уравнениеи как да го реша.

Какво е квадратно уравнение

Степента на уравнение се определя от най-високата степен, до която стои неизвестното.

Ако максималната степен, до която стои неизвестното, е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

За да намерите "a", "b" и "c", трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение "ax 2 + bx + c = 0".

Нека се упражняваме в определянето на коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

a=5
b = −14
c = 17

a = −7
b = −13
c = 8

а = -1
b = 1

а = 1
b = 0,25
c = 0

а = 1
b = 0
c = −8

Как да решаваме квадратни уравнения

За разлика от линейни уравненияза решаване на квадратни уравнения, специален формула за намиране на корени.

За да решите квадратно уравнение, трябва:

приведете квадратното уравнение до общ изглед" ax 2 + bx + c = 0 ". Тоест само "0" трябва да остане от дясната страна;
използвайте формулата за корени:

Нека използваме пример, за да разберем как да приложим формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратното уравнение.

Уравнението „x 2 − 3x − 4 = 0” вече е сведено до общия вид „ax 2 + bx + c = 0” и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, трябва само да приложим формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека дефинираме коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

а = 1
b = −3
c = −4

Заменете ги във формулата и намерете корените.

Не забравяйте да запомните формулата за намиране на корени.

С негова помощ се решава всяко квадратно уравнение.

Помислете за друг пример за квадратно уравнение.

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо приведем уравнението до общия вид "ax 2 + bx + c = 0".

Сега можете да използвате формулата за корените.

Има моменти, когато няма корени в квадратните уравнения. Тази ситуация възниква, когато във формулата под корена се появи отрицателно число.

От дефиницията на квадратния корен помним, че не можете да вземете квадратен корен от отрицателно число.

Помислете за пример за квадратно уравнение, което няма корени.

И така, получихме ситуация, в която има отрицателно число под корена. Това означава, че няма корени в уравнението. Затова в отговор написахме „Няма истински корени“.

Какво означават думите "няма истински корени"? Защо не можете просто да напишете "без корени"?

Всъщност в такива случаи има корени, но в рамките на училищна програмате не се предават, следователно в отговор ние записваме, че сред реални числаняма корени. С други думи, „няма истински корени“.

Непълни квадратни уравнения

Понякога има квадратни уравнения, в които няма явни коефициенти "b" и/или "c". Например в това уравнение:

Такива уравнения се наричат непълни. квадратни уравнения. Как да ги решаваме е разгледано в урока "Непълни квадратни уравнения".

Извличането на квадратен корен от число не е единствената операция, която може да се извърши с това математическо явление. Точно като обикновените числа, квадратните корени могат да се добавят и изваждат.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила за събиране и изваждане на квадратни корени

Определение 1

Действия като добавяне и изваждане на квадратен корен са възможни само ако коренният израз е същият.

Пример 1

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 6 3, но не 5 6 И 9 4 . Ако е възможно да се опрости изразът и да се доведе до корени със същия корен, след това опростете и след това добавете или извадете.

Основни действия: Основите

Пример 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Алгоритъм за действие:

Опростете коренния израз. За да направите това, е необходимо да разложите коренния израз на 2 фактора, единият от които е квадратно число (числото, от което се извлича целия квадратен корен, например 25 или 9).
След това трябва да извадите корена от квадратно число и запишете получената стойност преди основния знак. Моля, имайте предвид, че вторият фактор се въвежда под знака корен.
След процеса на опростяване е необходимо да се подчертаят корените със същите радикални изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
За корени със същите радикални изрази е необходимо да се добавят или изваждат факторите, които предхождат коренния знак. Коренният израз остава непроменен. Не събирайте и не изваждайте коренни числа!

Съвет 1

Ако имате пример с голяма сумаидентични радикални изрази, след това подчертайте тези изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Пример 3

Нека опитаме този пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Първо трябва да разложите 50 на 2 множителя 25 и 2, след това да вземете корена от 25, което е 5, и да извадите 5 изпод корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (множителя в корена) и да получите 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Първо, трябва да разложите 8 на 2 фактора: 4 и 2. След това от 4 извлечете корена, който е равен на 2, и извадете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (коефициентът в корена) и да получите 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Първо, трябва да разложите 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена от 4, което е 2, и го извадете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (коефициентът в корена) и да получите 10 3 .

Резултат от опростяването: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат на това видяхме колко еднакви радикални изрази се съдържат този пример. Сега нека практикуваме с други примери.

Пример 4

Опростете (45) . Разлагаме на множители 45: (45) = (9 × 5) ;
Изваждаме 3 изпод корена (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Събираме факторите в корените: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Пример 5

6 40 - 3 10 + 5:

Опростяване 6 40 . Разлагаме на множители 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Изваждаме 2 изпод корена (4 \u003d 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Умножаваме множителите, които са пред корена: 12 10;
Записваме израза в опростен вид: 12 10 - 3 10 + 5;
Тъй като първите два члена имат еднакви коренни числа, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Пример 6

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикалните числа, затова търсим членове със същите радикални числа в примера, извършваме математически операции (събиране, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

съвет:

Преди добавяне или изваждане е наложително да се опростят (ако е възможно) радикалните изрази.
Добавянето и изваждането на корени с различни коренни изрази е строго забранено.
Не събирайте и не изваждайте цяло число или корен квадратен: 3 + (2 x) 1/2.
Когато извършвате действия с дроби, трябва да намерите число, което се дели на всеки знаменател, след това да доведете дробите до общ знаменател, след това да добавите числителите и да оставите знаменателите непроменени.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter