Примери за дробни рационални изрази с решения. рационално изразяване

Статията говори за трансформацията рационални изрази. Помислете за видовете рационални изрази, техните трансформации, групиране, поставяне в скоби на общия фактор. Нека се научим как да представяме дробни рационални изрази във формата рационални дроби.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Дефиниция и примери за рационални изрази

Определение 1

Изразите, които са съставени от числа, променливи, скоби, степени с действията на събиране, изваждане, умножение, деление с наличието на дробна черта се наричат рационални изрази.

Например имаме, че 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

Тоест това са изрази, които нямат разделение на изрази с променливи. Изучаването на рационалните изрази започва с 8 клас, където се наричат ​​дробни рационални изрази.Особено внимание се обръща на дробите в числителя, които се преобразуват с помощта на правила за трансформация.

Това ни позволява да преминем към преобразуването на рационални дроби с произволна форма. Такъв израз може да се разглежда като израз с наличието на рационални дроби и целочислени изрази със знаци за действие.

Основните видове трансформации на рационални изрази

Рационалните изрази се използват за извършване на идентични трансформации, групиране, редуциране на подобни, извършване на други операции с числа. Целта на такива изрази е да опростят.

Пример 1

Преобразувайте рационален израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Решение

Може да се види , че такъв рационален израз е разликата 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Забележете, че те имат един и същ знаменател. Това означава, че намаляването на подобни термини приема формата

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Отговор: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Пример 2

Извършете трансформацията 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Решение

Първоначално изпълняваме действия в скоби 3 · x − x = 2 · x . Този израз се представя като 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Стигаме до израз, който съдържа действия с един етап, тоест има събиране и изваждане.

Отървете се от скоби, като използвате свойството за разделяне. Тогава получаваме, че 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Групираме числените фактори с променливата x, след което можем да извършваме операции със степени. Ние разбираме това

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Отговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Пример 3

Преобразувайте израз от вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Решение

Първо, нека преобразуваме числителя и знаменателя. След това получаваме израз от вида (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, като първо се извършват действията в скоби. В числителя се извършват действия и се групират факторите. Тогава получаваме израз от вида x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 х + 2 .

Преобразуваме формулата за разликата на квадратите в числителя, след което получаваме това

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Отговор: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Представяне като рационална дроб

Алгебричната дроб най-често се подлага на опростяване при решаване. Всяко рационално се свежда до това различни начини. Всичко трябва да се направи необходими действияс полиноми, така че рационалният израз в крайна сметка може да даде рационална дроб.

Пример 4

Изразете като рационална дроб a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Решение

Този израз може да бъде представен като 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Умножението се извършва преди всичко според правилата.

Трябва да започнем с умножение, след което получаваме това

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Ние произвеждаме представяне на резултата, получен с оригинала. Ние разбираме това

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Сега нека направим изваждането:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

След това е очевидно, че оригиналният израз ще приеме формата 16 a 2 - 9 .

Отговор: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Пример 5

Изразете x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x като рационална дроб.

Решение

Даденият израз се записва като дроб, в числителя на която има x x + 1 + 1, а в знаменателя 2 x - 1 1 + x. Необходимо е да се направят трансформации x x + 1 + 1 . За да направите това, трябва да добавите дроб и число. Получаваме, че xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

От това следва, че x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Получената дроб може да се запише като 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

След разделянето стигаме до рационална част от формата

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Можете да го решите по различен начин.

Вместо да разделяме на 2 x - 1 1 + x, ние умножаваме по обратното на 1 + x 2 x - 1. Прилагайки свойството за разпределение, получаваме това

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Отговор: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Този урок ще обхване основната информация за рационалните изрази и техните трансформации, както и примери за трансформация на рационални изрази. Тази тема обобщава темите, които сме изучавали досега. Рационалните изразни трансформации включват събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване алгебрични дроби, редукция, разлагане на множители и др. Като част от урока ще разгледаме какво представлява рационалният израз, а също така ще анализираме примери за тяхното преобразуване.

тема:Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби

Урок:Основна информация за рационалните изрази и техните трансформации

Определение

рационално изразяванее израз, състоящ се от числа, променливи, аритметични операции и степенуване.

Помислете за пример за рационален израз:

Специални случаи на рационални изрази:

1-ва степен: ;

2. едночленен: ;

3. дроб: .

Трансформация на рационални изразие опростяване на рационален израз. Редът на операциите при преобразуване на рационални изрази: първо има действия в скоби, след това операции за умножение (деление) и след това събиране (изваждане).

Нека разгледаме няколко примера за трансформиране на рационални изрази.

Пример 1

Решение:

Нека да решим този пример стъпка по стъпка. Първо се извършва действието в скоби.

Отговор:

Пример 2

Решение:

Отговор:

Пример 3

Решение:

Отговор: .

Забележка:може би като видиш този примервъзникна идея: да се намали дробът, преди да се стигне до общ знаменател. Наистина, това е абсолютно правилно: първо е желателно изразът да се опрости колкото е възможно повече и след това да се трансформира. Нека се опитаме да решим същия пример по втория начин.

Както можете да видите, отговорът се оказа абсолютно подобен, но решението се оказа малко по-просто.

В този урок разгледахме рационални изрази и техните трансформации, както и няколко конкретни примериданни за трансформация.

Библиография

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 клас. - М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.

Тази статия е за трансформация на рационални изрази, предимно частично рационално, е един от ключовите въпроси на курса по алгебра за 8 клас. Първо, припомняме какъв вид изрази се наричат ​​рационални. След това ще се съсредоточим върху извършването на стандартни трансформации с рационални изрази, като групиране на термини, изваждане на общи фактори от скоби, намаляване на подобни термини и т.н. И накрая, ще се научим как да представяме дробни рационални изрази като рационални дроби.

Навигация в страницата.

Дефиниция и примери за рационални изрази

Рационалните изрази са един от видовете изрази, изучавани в уроците по алгебра в училище. Нека дадем определение.

Определение.

Изрази, съставени от числа, променливи, скоби, степени с целочислени експоненти, свързани с помощта на знаци аритметични операции+, − и:, където делението може да бъде обозначено с черта от дроб, се извикват рационални изрази.

Ето няколко примера за рационални изрази: .

Рационалните изрази започват да се изучават целенасочено в 7 клас. Още повече, че в 7. клас се усвояват основите на работата с т.нар цели рационални изрази, тоест с рационални изрази, които не съдържат разделяне на изрази с променливи. За да направите това, последователно се изучават мономи и полиноми, както и принципите за извършване на действия с тях. Всички тези знания в крайна сметка ви позволяват да извършите трансформацията на целочислени изрази.

В 8 клас те преминават към изучаване на рационални изрази, съдържащи деление на израз с променливи, които се наричат дробни рационални изрази. При което Специално вниманиедадени на т.нар рационални дроби(също наричан алгебрични дроби), тоест дроби, чийто числител и знаменател съдържат полиноми. Това в крайна сметка прави възможно извършването на трансформация на рационални дроби.

Придобитите умения ни позволяват да преминем към трансформиране на рационални изрази в произволна форма. Това се обяснява с факта, че всеки рационален израз може да се разглежда като израз, съставен от рационални дроби и целочислени изрази, свързани със знаци на аритметични операции. И вече знаем как да работим с целочислени изрази и алгебрични дроби.

Основните видове трансформации на рационални изрази

С рационалните изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност, независимо дали става дума за групиране на термини или фактори, привеждане на подобни термини, извършване на операции с числа и т.н. Обикновено целта на тези трансформации е рационално опростяване на израза.

Пример.

.

Решение.

Ясно е, че този рационален израз е разликата на два израза и , и тези изрази са сходни, тъй като имат една и съща буквална част. По този начин можем да извършим намаляване на подобни термини:

Отговор:

.

Ясно е, че при извършване на трансформации с рационални изрази, както и с всички други изрази, човек трябва да остане в рамките на приетия ред на действия.

Пример.

Преобразувайте рационалния израз.

Решение.

Знаем, че действията в скоби се изпълняват първи. Следователно, първо трансформираме израза в скоби: 3 x − x=2 x .

Сега можете да замените резултата в оригиналния рационален израз: . Така стигнахме до израз, съдържащ действията на един етап - събиране и умножение.

Нека се отървем от скобите в края на израза, като приложим свойството за разделяне по продукт: .

Накрая можем да групираме числовите фактори и x факторите и след това да извършим съответните операции върху числата и да приложим : .

Това завършва трансформацията на рационалния израз и в резултат получаваме моном.

Отговор:

Пример.

Трансформирайте рационалния израз .

Решение.

Първо преобразуваме числителя и знаменателя. Този ред на преобразуване на дроби се обяснява с факта, че щрихът на дроб е по същество друго обозначение на деление, а оригиналният рационален израз е по същество определена форма , а действията в скоби се изпълняват първи.

И така, в числителя извършваме операции с полиноми, първо умножение, след това изваждане, а в знаменателя групираме числовите фактори и изчисляваме техния продукт: .

Нека също така да си представим числителя и знаменателя на получената дроб като продукт: изведнъж е възможно да се намали алгебричната дроб. За да направите това, в числителя, който използваме формула за разлика в квадратите, а в знаменателя изваждаме двойката от скоби, имаме .

Отговор:

.

Така че първоначалното запознаване с трансформацията на рационалните изрази може да се счита за завършено. Минаваме, така да се каже, към най-сладкото.

Представяне като рационална дроб

Най-честата крайна цел на трансформирането на изразите е да се опрости тяхната форма. В тази светлина най-много прост изглед, към който може да се преобразува дробно рационален израз, е рационална (алгебрична) дроб и в конкретен случай полином, моном или число.

Възможно ли е да се представи всеки рационален израз като рационална дроб? Отговорът е да. Нека обясним защо това е така.

Както вече казахме, всеки рационален израз може да се разглежда като полиноми и рационални дроби, свързани със знаци плюс, минус, умножение и деление. Всички съответни операции върху полиноми дават полином или рационална дроб. От своя страна всеки полином може да бъде преобразуван в алгебрична дроб, като се запише със знаменател 1. А събирането, изваждането, умножаването и разделянето на рационални дроби водят до нова рационална дроб. Следователно, след извършване на всички операции с полиноми и рационални дроби в рационален израз, получаваме рационална дроб.

Пример.

Изразете израза като рационална дроб .

Решение.

Първоначалният рационален израз е разликата между дроб и произведение на дроби от формата . Според реда на операциите първо трябва да извършим умножението и едва след това събирането.

Започваме с умножаване на алгебрични дроби:

Заместваме получения резултат в оригиналния рационален израз: .

Стигнахме до изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

И така, след като извършихме действия с рационални дроби, които съставляват оригиналния рационален израз, ние го представихме като рационална дроб.

Отговор:

.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Изразете рационален израз като рационална дроб.

Всякакви дробен израз(т. 48) може да се запише като , където P и Q са рационални изрази, а Q задължително съдържа променливи. Такава дроб се нарича рационална дроб.

Примери за рационални дроби:

Основното свойство на дроб се изразява чрез тъждество, което е валидно при условията тук - цял рационален израз. Това означава, че числителят и знаменателят на рационална дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число, различно от нула, моном или полином.

Например, свойството на дроб може да се използва за промяна на знаците на членовете на дроб. Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по -1, получаваме По този начин стойността на дроба няма да се промени, ако знаците на числителя и знаменателя се променят едновременно. Ако промените знака само на числителя или само на знаменателя, тогава дробът ще промени знака си:

Например,

60. Редукция на рационални дроби.

Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на дроб на общ множител. Възможността за такова намаление се дължи на основното свойство на фракцията.

За да намалите рационална дроб, трябва да разложите на множители числителя и знаменателя. Ако се окаже, че числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробът може да бъде намален. Ако няма общи фактори, тогава преобразуването на фракцията чрез намаляване е невъзможно.

Пример. Намалете фракцията

Решение. Ние имаме

Намаляването на фракцията се извършва при условието .

61. Привеждане на рационалните дроби до общ знаменател.

Общият знаменател на няколко рационални дроби е целият рационален израз, който се дели на знаменателя на всяка дроб (виж т. 54).

Например, полиномът служи като общ знаменател на дроби, тъй като се дели на и на, и на, и на полином и на полином и на полином и т.н. Обикновено се взема такъв общ знаменател, че всеки друг общ знаменател се дели на Echosen. Този най-прост знаменател понякога се нарича най-малкият общ знаменател.

В примера по-горе общият знаменател е Ние имаме

Свеждането на тези дроби до общ знаменател се постига чрез умножаване на числителя и знаменателя на първата дроб по 2. А числителят и знаменателят на втората дроб по полиноми се наричат ​​допълнителни фактори съответно за първата и втората дроб. Допълнителният фактор за дадена дроб е равен на частното от делението на общия знаменател на знаменателя на дадената дроб.

За да намалите няколко рационални дроби до общ знаменател, трябва:

1) разложете знаменателя на всяка дроб на фактори;

2) направи общ знаменател, включвайки като фактори в него всички фактори, получени в параграф 1) на разширенията; ако даден фактор съществува в няколко разширения, тогава той се взема с степен, равна на най-големия от наличните;

3) намиране на допълнителни фактори за всяка от дробите (за това общият знаменател се разделя на знаменателя на дроба);

4) умножавайки числителя и знаменателя на всяка дроб с допълнителен коефициент, доведете дробта до общ знаменател.

Пример. Намалете до общ знаменател на дроб

Решение. Нека да разложим на множители знаменателите:

Следните фактори трябва да бъдат включени в общия знаменател: и най-малкото общо кратно на числата 12, 18, 24, т.е. Така че общият знаменател е

Допълнителни множители: за първата дроб за втората за третата И така, получаваме:

62. Събиране и изваждане на рационални дроби.

Сумата от две (и изобщо всяко ограничено число) рационални дроби с едни и същи знаменателиидентично равно на дроб със същия знаменател и с числител, равен на сумата от числителите на добавените дроби:

Подобна е ситуацията и при изваждане на дроби със същите знаменатели:

Пример 1: Опростете израз

Решение.

За да добавите или извадите рационални дроби с различни знаменатели, първо трябва да доведете дробите до общ знаменател и след това да извършите операции върху получените дроби със същите знаменатели.

Пример 2: Опростете израз

Решение. Ние имаме

63. Умножение и деление на рационални дроби.

Произведението на две (и като цяло всяко ограничено число) рационални дроби е идентично равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на умножените дроби:

Коефициентът на разделяне на две рационални дроби е идентично равен на дроб, чийто числител е равен на произведението на числителя на първата дроб от знаменателя на втората дроб, а знаменателят е произведението на знаменателя на първата дроб от числител на втората дроб:

Формулираните правила за умножение и деление се отнасят и за случая на умножение или деление с полином: достатъчно е този полином да бъде записан като дроб със знаменател 1.

Като се има предвид възможността за намаляване на рационална дроб, получена чрез умножение или разделяне на рационални дроби, обикновено се търси разлагане на числители и знаменатели на оригиналните дроби преди извършване на тези операции.

Пример 1. Умножете

Решение. Ние имаме

Използвайки правилото за умножение на дроби, получаваме:

Пример 2: Извършете разделяне

Решение. Ние имаме

Използвайки правилото за деление, получаваме:

64. Повишаване на рационална дроб в степен на цяло число.

За да повишите рационална дроб - до естествена степен, трябва да повишите числителя и знаменателя на дробта отделно до тази степен; първият израз е числителят, а вторият израз е знаменателят на резултата:

Пример 1. Преобразувайте във дроб степен на 3.

Решение Решение.

При повишаване на дроб до отрицателна степен на цяло число се използва идентичност, която е валидна за всички стойности на променливите, за които .

Пример 2. Преобразуване на израз във дроб

65. Преобразуване на рационални изрази.

Преобразуването на всеки рационален израз се свежда до добавяне, изваждане, умножение и разделяне на рационални дроби, както и повишаване на дроб до естествена степен. Всеки рационален израз може да бъде превърнат в дроб, чийто числител и знаменател са целочислени рационални изрази; това обикновено е целта идентични трансформациирационални изрази.

Пример. Опростете израза

66. Най-простите трансформации на аритметични корени (радикали).

При преобразуване на аритметични кории се използват техните свойства (виж т. 35).

Помислете за няколко примера за използването на свойства аритметични корениза най-простите трансформации на радикали. В този случай всички променливи ще се считат за приемащи само неотрицателни стойности.

Пример 1. Извадете корена на продукта

Решение. Прилагайки свойство 1°, получаваме:

Пример 2. Извадете фактора под знака корен

Решение.

Такава трансформация се нарича факторинг изпод знака корен. Целта на трансформацията е да опрости радикалния израз.

Пример 3: Опростете.

Решение. Съгласно свойство 3° обикновено се опитваме да опростим радикалния израз, за ​​което те изваждат множителите отвъд знака на кориума. Ние имаме

Пример 4: Опростете

Решение. Преобразуваме израза, като въвеждаме множител под знака на корена: По свойство 4° имаме

Пример 5: Опростете

Решение. Чрез свойство 5° имаме право да разделим степента на корена и степента на коренния израз на едно и също естествено число. Ако в разглеждания пример разделим посочените показатели на 3, тогава получаваме .

Пример 6. Опростете изразите:

Решение, а) По свойство 1° получаваме, че за да умножим корени от една и съща степен, е достатъчно да умножим коренните изрази и да извлечем корена от същата степен от получения резултат. означава,

б) Преди всичко трябва да намалим радикалите до един индекс. Според свойството 5° можем да умножим степента на корена по същото естествено число. Следователно, След това имаме в резултата, получен чрез разделяне на индикаторите на корена и степента на радикалния израз на 3, получаваме .