У дома > Абразиви

Даден е алгоритъм за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека съставим алгоритъм за решаване на квадратно уравнение

1. Намерете дискриминанта дспоред формулата D= -4ac.

2.Ако D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Ако D=0, тогава уравнението има един корен:

4. Ако D>0, тогава уравнението има два корена:

Сега нека започнем да решаваме нашето уравнение 3 -10x+3=0,

където =3, b=-10 и c=3.

Намиране на дискриминанта:

D= -4*3*3=64

Тъй като D>0, то това уравнение има два корена. Намираме ги:

; .

По този начин корените на полинома f(x)=3 -10+3 ще бъдат числата 3 и .

Схемата на Хорнер

Схемата на Хорнер(или правилото на Хорнер, методът на Хорнер) - алгоритъм за изчисляване на стойността на полином, записана като сбор от полиноми (мономи), за дадена стойност на променлива . Тя от своя страна ни помага да разберем дали числото е корен на даден полином или не.

Първо, помислете как се разделя полиномът f(x) в бином g(x).

Това може да бъде написано по следния начин: f(x):g(x)=n(x),където f(x)-дивидент, g(x)-делител а n(x)-частен.

Но в случай, когато f(x)не се дели на g(x)има обща нотация на израза

Тук степента r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Помислете за разделяне на полином на бином. Нека бъде

,

Получаваме

Където r е число, защото степента на r трябва да бъде по-малка от степента на (x-c).

Да умножим s(x)включете и вземете

По този начин при деление с бином е възможно да се определят коефициентите на частното от получените формули. Този метод за определяне на коефициентите се нарича схема на Хорнер.

...
+ ...
° С ... r

Сега нека разгледаме няколко примера за прилагането на схемата на Хорнер.

Пример. Извършете полиномно деление f(x)=на х+3.

Решение.В началото е необходимо да се пише x+3)като ( х-(-3)), тъй като в самата схема ще участва точно -3. В горния ред ще напишем коефициентите, в долния - резултата от действията.


f(x)=(x-2)(1)+16.

Намиране на корени по схемата на Хорнер. Типове корени

Според схемата на Хорнер може да се намерят цели корени на полином f(x). Нека разгледаме това с пример.

Пример. Намерете всички цели корени на полином f(x)= , използвайки схемата на Хорнер.

Решение.Коефициентите на този полином са цели числа. Коефициентът пред най-високата степен (в нашия случай преди) е равен на единица. Следователно ще търсим целочислените корени на полинома сред делителите на свободния член (имаме 15), това са числа:

Да започнем с числото 1.

Маса 1

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

От получената таблица се вижда, че за =1 полиномът на полинома f(x)= , получаваме остатъка r=192, а не 0, което означава, че единицата не е корен. Следователно, ние продължаваме проверката при =-1. За да направите това, няма да създаваме нова таблица, а да продължим в старата и да зачеркнем данните, които вече не са необходими.

Таблица номер 2

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

Както виждаме от таблицата, последната клетка се оказа нула, което означава, че r=0. следователно? числото -1 е коренът на този полином. Разделяне на нашия полиномен полином f(x)= на ()=x+1 получаваме полином

f(x)=(x+1)(),

коефициентите, за които взехме от третия ред на таблица No2.

Можем да направим и еквивалентна нотация

(x+1)(). Маркирайте го (1)

Сега е необходимо да продължим търсенето на целочислени корени, но едва сега вече ще търсим корените на полинома. Ще търсим тези корени сред свободния член на полинома, числото 45.

Нека отново проверим числото -1.

Таблица №3

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

По този начин числото -1 е коренът на полинома, може да се запише като

Като се има предвид равенството (2), можем да запишем равенство (1) в следната форма

Сега търсим корени за полинома, отново сред делителите на свободния член. Нека отново проверим числото -1.

Таблица No4

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

Според таблицата виждаме, че числото -1 е коренът на полинома.

Като се има предвид (3*), можем да пренапишем равенството (2*) като:

Сега ще търсим корена за . Отново разглеждаме делителите на свободния член. Нека започнем да проверяваме отново с числото -1.

Таблица номер 5

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

Получаваме остатък, който не е равен на нула, което означава, че числото -1 не е корен на полинома. Нека проверим следващото число 1.

Таблица No6

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

И виждаме, че отново не се вписва, остатъкът е r(x) = 24. Взимаме ново число.

Нека проверим числото 3.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

Таблица номер 7

r(x)= 0, това означава, че числото 3 е коренът на полинома, можем да запишем този полином като:

=(x-3)( )

Като се има предвид получения израз, можем да запишем равенство (5) както следва:

(x-3)( ) (6)

Нека сега проверим за полинома

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

Таблица No8

Въз основа на таблицата виждаме, че числото 3 е коренът на полинома . Сега нека напишем следното:

Записваме равенството (5*), като вземем предвид получения израз, както следва:

(x-3)()= = .

Намерете корена на бинома сред делителите на свободния член.

Да вземем числото 5

Таблица No9

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0, така че 5 е коренът на бинома.

Така можем да пишем

Решение този примерще бъде маса номер 8.

Както се вижда от таблицата, числата -1; 3; 5 са ​​корените на полинома.

Сега да преминем директно към видове корени.

1 е корен от трета степен, тъй като скобата (x + 1) е в трета степен;

3- корен от втора степен, скоба (x-3) във втора степен;

5 е коренът от първа степен или, с други думи, прост.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете най-много внимание на нашия навигатор полезен ресурсза

В термина "квадратично уравнение" ключовата дума е "квадратично". Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото X) в квадрата и в същото време не трябва да има Xs в трета (или по-голяма) степен.

Решението на много уравнения се свежда до решението на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че имаме квадратно уравнение, а не някакво друго.

Пример 1

Отървете се от знаменателя и умножете всеки член от уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степените на x

Сега можем да кажем със сигурност дадено уравнениее квадратна!

Пример 2

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е било в него, не е квадрат!

Пример 3

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвъртата и втората степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4

Изглежда, че е така, но нека разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Виждате ли, той се е свил - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте сами да определите кое от следните уравнения е квадратно и кое не:

Примери:

Отговори:

  1. квадрат;
  2. квадрат;
  3. не квадратна;
  4. не квадратна;
  5. не квадратна;
  6. квадрат;
  7. не квадратна;
  8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните типове:

  • Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). Освен това сред пълните квадратни уравнения има даденоса уравнения, в които коефициентът (уравнението от първия пример е не само пълно, но и намалено!)
  • Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

    Те са непълни, защото в тях липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат !!! В противен случай вече няма да е квадратно, а някакво друго уравнение.

Защо измислиха такова разделение? Изглежда, че има X на квадрат и добре. Такова разделение се дължи на методите на решение. Нека разгледаме всеки един от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълните квадратни уравнения са от следните видове:

  1. , в това уравнение коефициентът е равен.
  2. , в това уравнение свободният член е равен на.
  3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. и. Тъй като знаем как да извличаме Корен квадратен, тогава нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде отрицателен или положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното нещо е, че винаги трябва да знаете и да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава да извлечете корена от лявата и дясната част. В края на краищата, помните ли как да извлечете корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

Оу! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиците измислиха специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

Следователно това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извадили корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител от скоби:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще минем без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение на уравнението на формата, където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен Специално вниманиеначертайте стъпка. Дискриминантът () ни казва броя на корените на уравнението.

  • Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
  • Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да запишем правилно такива отговори.

Отговор:няма корени

2. Решение на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​редуцирани (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Виета:

Сборът от корените дадено квадратно уравнениее равно, а произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

И продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

  • и. Сумата е;
  • и. Сумата е;
  • и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Уравнението се намалява, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високо или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защо? Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В това уравнение на изпражненията се нарича непълно. Ако всички условия са на място, тоест уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Така:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

няма корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител от скоби:

Продуктът е нула, ако поне един от факторите нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

пример:

Решете уравнението.

решение:

Разлагаме на множители лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта във формулата за корен? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

  • Ако, тогава уравнението има корен:
  • Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

    Такива корени се наричат ​​двойни корени.

  • Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени? Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В конкретен случай, който е квадратно уравнение, . А това означава, че корените на квадратното уравнение са пресечните точки с оста x (ос). Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Виета е много лесно: просто трябва да изберете двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека разгледаме няколко примера:

Пример №1:

Решете уравнението.

решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чието произведение е равно, и проверим дали тяхната сума е равна:

  • и. Сумата е;
  • и. Сумата е;
  • и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

По този начин и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример №2:

решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали тяхната сума е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка продукта.

Отговор:

Пример №3:

решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Значи сборът от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и разликата между които е равна на:

и: разликата им е - неподходящи;

и: - не е подходящ;

и: - не е подходящ;

и: - подходящ. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да е равна, тогава коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да бъде отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример №4:

Решете уравнението.

решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример №5:

Решете уравнението.

решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Сборът от корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измислите корени устно, вместо да броите този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да ви е изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не мами: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора с продукта:

Не е подходящ, тъй като количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново, любимата ни теорема на Виета: сумата трябва да се получи, но продуктът е равен.

Но тъй като не трябва да бъде, но променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е да прехвърлите всички термини в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да донесете уравнението. Ако не можете да го повдигнете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта). Нека ви напомня, че да изведем квадратно уравнение означава да направим водещия коефициент равен на:

Глоба. Тогава сборът от корените е равен на произведението.

Тук е по-лесно да се вземе: в края на краищата - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Свободният срок е отрицателен. Какво е толкова специално в него? И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус. Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Техният сбор трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека обобщя:
  1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
  2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез селекция, устно.
  3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, се представят като членове от формулите за съкратено умножение - квадратът на сбора или разликата - тогава след смяната на променливите, уравнението може да бъде представено като непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

решение:

Отговор:

AT общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Не ти ли напомня за нищо? Това е дискриминантът! Точно така е получена дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от вида, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  • ако коефициентът, уравнението има вида: ,
  • ако е свободен член, уравнението има формата: ,
  • ако и, уравнението има вида: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

  • ако, тогава уравнението няма решения,
  • ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Нека извадим общия множител от скоби: ,

2) Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида където

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Привеждаме уравнението до стандартна форма: ,

2) Изчислете дискриминанта, като използвате формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

  • ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
  • ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
  • ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равен, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Пълно квадратно решение

Ако квадратното уравнение на формата има корени, то може да бъде записано във вида: .

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения подробен анализ и решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

  1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
  2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

слайд 2

Цикъл на квадратни уравнения от уроци по алгебра в 8. клас по учебника на А.Г. Мордкович

Учител MBOU Grushevskaya средно училище Kireeva T.A.

слайд 3

Цели: запознаване с понятията квадратно уравнение, корен на квадратно уравнение; показват решения на квадратни уравнения; да формират умение за решаване на квадратни уравнения; показват начин за решаване на пълни квадратни уравнения, като се използва формулата на корените на квадратно уравнение.

слайд 4

слайд 5

Малко от историята Квадратни уравнения в Древен Вавилон. Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен още в древността е била породена от необходимостта от решаване на задачи, свързани с намирането на площите на земята и с земни работивоенно естество, както и с развитието на самата астрономия и математика. Вавилонците са знаели как да решават квадратни уравнения около 2000 години преди нашата вяра. Прилагайки съвременни алгебрични обозначения, може да се каже, че в техните клинописни текстове освен непълни има и такива, например, пълни квадратни уравнения.

слайд 6

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички намерени досега клинописни текстове дават само проблеми с решенията, изложени под формата на рецепти, без никакво указание как са намерени. Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилония, концепцията за отрицателно число и общите методи за решаване на квадратни уравнения липсват в клинописните текстове.

Слайд 7

Определение 1. Квадратното уравнение е уравнение от вида, където коефициентите a, b, c са произволни реални числа, а полиномът се нарича квадратен трином. a е първият или най-високият коефициент c е вторият коефициент c е свободен член

Слайд 8

Определение 2. Квадратното уравнение се нарича редуцирано, ако водещият му коефициент е равен на 1; квадратното уравнение се нарича нередуцирано, ако водещият коефициент е различен от 1. Пример. 2 - 5 + 3 = 0 - нередуцирано квадратно уравнение - намалено квадратно уравнение

Слайд 9

Определение 3. Пълно квадратно уравнение е квадратно уравнение, в което присъстват и трите члена. a + in + c \u003d 0 Непълно квадратно уравнение е уравнение, в което не присъстват всичките три члена; е уравнение, за което поне един от коефициентите в, c е равен на нула.

Слайд 10

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения.

слайд 11

Решете задачи No 24.16 (а, б) Решете уравнението: или Отговор. или Отговор.

слайд 12

Определение 4 Коренът на квадратното уравнение е всяка стойност на променливата x, при която квадратният трином изчезва; такава стойност на променливата x се нарича още корен на квадратен трином.Решаването на квадратно уравнение означава намиране на всичките му корени или установяване, че няма корени.

слайд 13

Дискриминантът на квадратно уравнение D 0 D=0 Уравнението няма корени Уравнението има два корена Уравнението има един корен Формули за корените на квадратно уравнение

Слайд 14

D>0 квадратното уравнение има два корена, които се намират по формулите Пример. Решете уравнението Решение. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Отговор: 1; -3

слайд 15

Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение 1. Изчислете дискриминанта D по формулата D = 2. Ако D 0, то квадратното уравнение има два корена.

Програмиране вЛазаров ден за ученици.

Урок номер 12.

Решение на квадратно уравнение.

Матицин Игор Владимирович

Учител по математика и информатика

МБОУ средно училище с. девойка

Цел: да се напише програма за решаване на квадратно уравнение, при даден вход.

Момиче 2013г.

Квадратното уравнение е едно от най-често срещаните уравнения в училищния курс. Въпреки че е доста лесно за решаване, понякога трябва да проверите отговорите. За това можете да използвате проста програма. Написването му няма да отнеме много време.

Трябва да започнете със самото квадратно уравнение. От курса по алгебра знаем, че квадратното уравнение е уравнение от видабрадва 2 + bx + ° С =0, къдетох - променлива,а , б и c са някои числа иа .

От дефиницията се вижда, че в уравнението се променят само коефициентитеа , б и° С . Това са параметрите, които ще въведем в нашата програма и за това ще създадем три полета за въвеждане от компонентите.

Фиг. 14.1 Полета за въвеждане на коефициенти.

От определението също следва, чеа . В този случай уравнението няма да е квадратно. И първо ще проверим това условие. Нека създадем бутона "Решаване" и неговия разработчик на събития с помощта на оператораако проверете състояниетоа . И акоа =0 казваме, че нашето уравнение не е квадратно.Ето манипулатора на събитие за бутона:процедура TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); ако a=0, тогава Label4.Caption:="Уравнението не е квадратно";край;

Ориз. 14.2 Тестване за съществуване на уравнение.

Сега е необходимо да се опише какво ще се случи, ако уравнението е квадратно. Това също ще бъде в същото изявлениеако след думатадруго и при използване на комбинирания оператор.

Ако уравнението е квадратно, тогава веднага ще го решим, използвайки формулата на дискриминанта и корените на квадратното уравнение.

Намираме дискриминанта по формулата:д := б * б – 4* а * ° С ;

Ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава уравнението няма решения. Ще бъде описано така:

Ако d тогаваетикет 4. Надпис :='Уравнението няма решения'друго …

И тогавадруго ще има директно търсене на корените на уравнението с помощта на формулите:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Ето пълния код на оператораако :

ако a=0 тогава Label4.Caption:="Уравнението не е квадратно" друго

започнете

D:=b*b-4*a*c;

ако г

започнете

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

край;

край;

Ориз. 14.3 Работният прозорец на програмното квадратно уравнение.

Квадратното уравнение е уравнение от вида a*x^2 +b*x+c=0, където a,b,c са произволни реални (реални) числа, а x е променлива. И числото a=0.

Числата a,b,c се наричат ​​коефициенти. Числото a - се нарича водещ коефициент, числото b е коефициентът при x, а числото c се нарича свободен член.

Решаване на квадратни уравнения

Да се ​​реши квадратно уравнение означава да се намерят всичките му корени или да се установи фактът, че квадратното уравнение няма корени. Коренът на квадратното уравнение a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 е всяка стойност на променливата x, така че квадратен трином a*x^2 +b*x+c изчезва. Понякога такава стойност на x се нарича корен на квадратен трином.

Има няколко начина за решаване на квадратни уравнения. Помислете за един от тях - най-универсалният. Може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Формули за решаване на квадратни уравнения

Формулата за корените на квадратното уравнение е a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), където D =b^2-4*a*c.

Тази формула се получава чрез решаване на уравнението a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 в общ вид, чрез подчертаване на квадрата на бинома.

Във формулата на корените на квадратно уравнение изразът D (b^2-4*a*c) се нарича дискриминант на квадратното уравнение a*x^2 +b*x+c=0. Това име идва от латински, в превод "отличителен". В зависимост от стойността на дискриминанта, квадратното уравнение ще има два или един корен, или изобщо няма корени.

Ако дискриминантът е по-голям от нула,тогава квадратното уравнение има два корена. (x=(-b±√D)/(2*a))

Ако дискриминантът е нула,тогава квадратното уравнение има един корен. (x=(-b/(2*a))

Ако дискриминантът е отрицателен,тогава квадратното уравнение няма корени.

Общ алгоритъм за решаване на квадратно уравнение

Въз основа на гореизложеното формулираме общ алгоритъм за решаване на квадратното уравнение a*x^2 +b*x+c=0, използвайки формулата:

1. Намерете стойността на дискриминанта по формулата D =b^2-4*a*c.

2. В зависимост от стойността на дискриминанта, изчислете корените по формулите:

д<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Този алгоритъм е универсален и подходящ за решаване на всякакви квадратни уравнения. Пълни и непълни, цитирани и нецитирани.

Ние също препоръчваме

Зареждане...Зареждане...