Изчисляване на относителни и абсолютни грешки при измерване. Относителна и абсолютна грешка: концепция, изчисление и свойства

Измерванията на много количества, срещащи се в природата, не могат да бъдат точни. Измерването дава число, изразяващо стойност с различна степен на точност (измерване на дължина с точност 0,01 cm, изчисляване на стойността на функция в точка с точност до и т.н.), тоест приблизително с някаква грешка. Грешката може да бъде зададена предварително или, обратно, трябва да бъде намерена.

Теорията на грешките има за предмет на изследване главно приблизителни числа. При изчисляване вместо на обикновено се използват приблизителни числа: (ако точността не е особено важна), (ако точността е важна). Как да извършвате изчисления с приблизителни числа, да определяте техните грешки - това е теорията на приблизителните изчисления (теория на грешките).

В бъдеще точните числа ще се обозначават с главни букви, а съответните приблизителни числа ще се означават с малки букви.

Грешките, възникващи на един или друг етап от решаването на проблема, могат да бъдат разделени на три вида:

1) Проблемна грешка. Този тип грешка възниква при конструиране математически моделявления. Далеч не винаги е възможно да се вземат предвид всички фактори и степента на тяхното влияние върху крайния резултат. Тоест математическият модел на обект не е точното му изображение, описанието му не е точно. Такава грешка е неизбежна.

2) Грешка в метода. Тази грешка възниква в резултат на замяната на оригиналния математически модел с по-опростен, например при някои проблеми на корелационния анализ е приемлив линеен модел. Такава грешка е отстранима, тъй като на етапите на изчисление тя може да бъде намалена до произволно малка стойност.

3) Изчислителна („машинна“) грешка. Възниква, когато компютър извършва аритметични операции.

Определение 1.1. Нека бъде - точна стойностколичества (числа), - приблизителната стойност на същото количество (). Истинска абсолютна грешкаприблизителното число е модулът на разликата между точните и приблизителните стойности:

. (1.1)

Нека, например, =1/3. При изчисляване на MK те дадоха резултата от разделянето на 1 на 3 като приблизително число = 0,33. Тогава .

В действителност обаче в повечето случаи точната стойност на количеството не е известна, което означава, че (1.1) не може да се приложи, тоест истинската абсолютна грешка не може да бъде намерена. Следователно се въвежда друга стойност, която служи като някаква оценка (горна граница за ).

Определение 1.2. Гранична абсолютна грешкаприблизително число, представляващо неизвестно точно число, се нарича такова възможно по-малко число, което не надвишава истинското абсолютна грешка, т.е . (1.2)

За приблизителен брой величини, отговарящи на неравенството (1.2), има безкрайно много, но най-ценната от тях ще бъде най-малката от всички намерени. От (1.2), въз основа на дефиницията на модула, имаме , или съкратено като равенство

. (1.3)

Равенството (1.3) определя границите, в които се намира неизвестно точно число (казват, че приблизително число изразява точно число с ограничаваща абсолютна грешка). Лесно е да се види, че колкото по-малки са, толкова по-точно са определени тези граници.

Например, ако измерванията на определена стойност дават резултата cm, докато точността на тези измервания не надвишава 1 cm, тогава истинската (точната) дължина см.

Пример 1.1. Даден номер. Намерете граничната абсолютна грешка на числото по числото.

Решение: От равенство (1.3) за числото ( =1.243; =0.0005) имаме двойно неравенство , т.е.

Тогава задачата се поставя по следния начин: да се намери за числото пределната абсолютна грешка, удовлетворяваща неравенството . Като вземем предвид условието (*), получаваме (в (*) изваждаме от всяка част от неравенството)

Тъй като в нашия случай , тогава , откъдето =0,0035.

Отговор: =0,0035.

Ограничаващата абсолютна грешка често дава лоша представа за точността на измерванията или изчисленията. Например, \u003d 1 m при измерване на дължината на сградата ще покаже, че те не са извършени точно, а същата грешка \u003d\u003d 1 m при измерване на разстоянието между градовете дава много оценка на качеството. Следователно се въвежда друга стойност.

Определение 1.3. Истинска относителна грешкачисло, което е приблизителна стойност на точното число, е съотношението на истинската абсолютна грешка на числото към модула на самото число:

. (1.4)

Например, ако съответно точните и приблизителните стойности, тогава

Формулата (1.4) обаче не е приложима, ако точната стойност на числото не е известна. Следователно, по аналогия с граничната абсолютна грешка, се въвежда граничната относителна грешка.

Определение 1.4. Ограничаваща относителна грешкачисло, което е приближение на неизвестно точно число, се нарича възможно най-малко число , което не е надвишено от истинската относителна грешка , т.е

. (1.5)

От неравенство (1.2) имаме ; откъдето, като се вземе предвид (1.5)

Формулата (1.6) има по-голяма практическа приложимост в сравнение с (1.5), тъй като точната стойност не участва в нея. Като се вземат предвид (1.6) и (1.3), могат да се намерят границите, които съдържат точната стойност на неизвестната величина.

Нека някои произволна стойност аизмерено нпъти при същите условия. Резултатите от измерването дадоха комплект нразлични числа

Абсолютна грешка- размерна стойност. Между нстойностите на абсолютните грешки непременно отговарят както на положителни, така и на отрицателни.

За най-вероятната стойност на количеството нообикновено вземат средно аритметичнозначението на резултатите от измерването

Как повече бройизмервания, толкова по-близо е средната стойност до истинската стойност.

Абсолютна грешкаи

Относителна грешкаитото измерение се нарича количество

Относителната грешка е безразмерна величина. Обикновено относителната грешка се изразява като процент за това д иумножете по 100%. Стойността на относителната грешка характеризира точността на измерване.

Средна абсолютна грешкасе дефинира така:

Подчертаваме необходимостта от сумиране на абсолютните стойности (модули) на величините D и аз .В противен случай ще се получи идентичен нулев резултат.

Средна относителна грешкасе нарича количество

В големи числаизмервания.

Относителната грешка може да се разглежда като стойността на грешката за единица от измерената величина.

Точността на измерванията се оценява въз основа на сравнение на грешките на резултатите от измерването. Следователно грешките в измерването се изразяват в такава форма, че за да се оцени точността, би било достатъчно да се сравнят само грешките на резултатите, без да се сравняват размерите на измерваните обекти или да се знаят тези размери много приблизително. От практиката е известно, че абсолютната грешка при измерване на ъгъла не зависи от стойността на ъгъла, а абсолютната грешка при измерване на дължината зависи от стойността на дължината. Колкото по-голяма е стойността на дължината, толкова по-голяма е абсолютната грешка за този метод и условия на измерване. Следователно, според абсолютната грешка на резултата, е възможно да се прецени точността на измерването на ъгъла, но е невъзможно да се прецени точността на измерването на дължината. Изразяването на грешката в относителна форма дава възможност да се сравни, в определени случаи, точността на ъгловите и линейните измервания.

Основни понятия на теорията на вероятностите. Случайна грешка.

Случайна грешка наречен компонент на грешката в измерването, който се променя произволно при повтарящи се измервания на една и съща величина.

Когато се извършват многократни измервания на една и съща константа, неизменна величина със същото внимание и при едни и същи условия, получаваме резултати от измерването - някои от тях се различават едно от друго, а други съвпадат. Такива несъответствия в резултатите от измерването показват наличието в тях на произволни компоненти на грешката.

Случайната грешка възниква от едновременното действие на много източници, всеки от които сам по себе си има незабележим ефект върху резултата от измерването, но общият ефект на всички източници може да бъде доста силен.

Случайните грешки са неизбежна последица от всяко измерване и се дължат на:

а) неточни показания на скалата на инструментите и инструментите;

б) не идентични условия за повторни измервания;

в) произволни промени външни условия(температура, налягане, силово полеи др.), които не могат да бъдат контролирани;

г) всички други влияния върху измерванията, причините за които са ни неизвестни. Големината на случайната грешка може да бъде сведена до минимум чрез многократно повторение на експеримента и подходяща математическа обработка на резултатите.

Случайната грешка може да приеме различни абсолютни стойности, които не могат да бъдат предвидени за даден акт на измерване. Тази грешка може да бъде еднакво както положителна, така и отрицателна. Случайни грешки винаги присъстват в експеримента. При липса на систематични грешки, те причиняват разпръскване на многократните измервания около истинската стойност.

Да приемем, че с помощта на хронометър измерваме периода на трептене на махалото, като измерването се повтаря многократно. Грешки при стартиране и спиране на хронометъра, грешка в стойността на еталонната стойност, малко неравномерно движение на махалото - всичко това причинява разсейване на резултатите от многократни измервания и следователно може да се класифицира като случайни грешки.

Ако няма други грешки, тогава някои резултати ще бъдат донякъде надценени, докато други ще бъдат леко подценени. Но ако в допълнение към това часовникът изостава, тогава всички резултати ще бъдат подценени. Това вече е системна грешка.

Някои фактори могат да причинят както системни, така и случайни грешки едновременно. Така че, включвайки и изключвайки хронометъра, можем да създадем малък неравномерен спред в моментите на стартиране и спиране на часовника спрямо движението на махалото и по този начин да внесем случайна грешка. Но ако в допълнение всеки път, когато бързаме да включим хронометъра и закъсняваме с изключването му, това ще доведе до системна грешка.

Случайните грешки са причинени от грешка в паралакса при отчитане на деленията на скалата на инструмента, разклащане на основата на сградата, влияние на леко движение на въздуха и др.

Въпреки че е невъзможно да се изключат случайни грешки на отделните измервания, математическа теорияслучайните явления ни позволяват да намалим влиянието на тези грешки върху крайния резултат от измерването. По-долу ще бъде показано, че за това е необходимо да се направи не едно, а няколко измервания и колкото по-малка е стойността на грешката, която искаме да получим, толкова повече измервания трябва да се направят.

Поради факта, че възникването на случайни грешки е неизбежно и неизбежно, основната задача на всеки процес на измерване е да сведе грешките до минимум.

Теорията за грешките се основава на две основни предположения, потвърдени от опита:

1. При голям брой измервания, произволни грешки със същата величина, но различен знак, тоест грешките в посока на увеличаване и намаляване на резултата са доста чести.

2. Големите абсолютни грешки са по-рядко срещани от малките, така че вероятността от грешка намалява с увеличаване на нейната стойност.

Поведението на случайните променливи се описва от статистически закономерности, които са предмет на теорията на вероятностите. Статистическо определение на вероятността w iразработки ие отношението

където н - общ бройексперименти, n i- броя на експериментите, в които събитието исе случи. В този случай общият брой на експериментите трябва да бъде много голям ( н®¥). При голям брой измервания случайните грешки се подчиняват на нормално разпределение (разпределение на Гаус), чиито основни характеристики са следните:

1. Колкото по-голямо е отклонението на стойността на измерената стойност от истинската стойност, толкова по-малка е вероятността за такъв резултат.

2. Отклоненията в двете посоки от истинската стойност са еднакво вероятни.

От горните допускания следва, че за да се намали влиянието на случайните грешки, е необходимо тази величина да се измерва няколко пъти. Да предположим, че измерваме някаква стойност x. Нека произведени низмервания: x 1 , x 2 , ... x n- по същия метод и със същата грижа. Може да се очаква, че броят днполучени резултати, които се намират в доста тесен интервал от хпреди x + dx, трябва да е пропорционален на:

Стойността на взетия интервал dx;

Общ брой измервания н.

Вероятност dw(х), че някаква стойност хсе намира в интервала от хпреди x+dx,дефинирани както следва :

(с броя на измерванията н ®¥).

Функция е(х) се нарича функция на разпределение или плътност на вероятността.

Като постулат на теорията на грешките се приема, че резултатите от директните измервания и техните случайни грешки при голям брой от тях се подчиняват на закона за нормалното разпределение.

Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива, намерена от Гаус хима следната форма:

, където мис - параметри на разпределение .

Параметърът m на нормалното разпределение е равен на средната стойност á х– произволна променлива, която за произволна известна функция на разпределение се определя от интеграла

По този начин, стойността m е най-вероятната стойност на измерената стойност x, т.е. нейната най-добра оценка.

Параметърът s 2 на нормалното разпределение е равен на дисперсията D на случайната променлива, която обикновено се определя от следния интеграл

Корен квадратенот дисперсията се нарича стандартно отклонение на случайната променлива.

Средното отклонение (грешка) на произволната променлива ásñ се определя с помощта на функцията на разпределение, както следва

Средната грешка при измерване ásñ, изчислена от функцията за разпределение на Гаус, е свързана със стандартното отклонение s, както следва:

< с > = 0,8s.

Параметрите s и m са свързани, както следва:

Този израз ви позволява да намерите стандартното отклонение s, ако има крива на нормално разпределение.

Графиката на функцията на Гаус е показана на фигурите. Функция е(х) е симетричен спрямо ординатата, начертана в точката x= m; преминава през максимума в точката x= m и има прегъване в точките m ±s. По този начин дисперсията характеризира ширината на функцията на разпределение или показва колко широко са разпръснати стойностите на произволна променлива спрямо нейната истинска стойност. Как прецизно измерване, толкова по-близо до истинската стойност са резултатите от отделните измервания, т.е. стойността на s е по-малка. Фигура А показва функцията е(х) за три стойности s .

Площ на фигура, ограничена от крива е(х) и вертикални линии, изтеглени от точки х 1 и х 2 (фиг. Б) , е числено равно на вероятността резултатът от измерването да попадне в интервала D х = х 1 -х 2, което се нарича ниво на доверие. Площ под цялата крива е(х) е равна на вероятността случайна променлива да попадне в интервала от 0 до ¥, т.е.

тъй като вероятността за определено събитие е равна на единица.

Използвайки нормалното разпределение, теорията на грешките поставя и решава два основни проблема. Първият е оценка на точността на измерванията. Втората е оценка на точността на средноаритметичната стойност на резултатите от измерването.5. Доверителен интервал. Коефициент на студента.

Теорията на вероятностите ви позволява да определите размера на интервала, в който с известна вероятност wса резултатите от индивидуалните измервания. Тази вероятност се нарича ниво на уверености съответния интервал (<х>±D х)wНаречен доверителен интервал.Нивото на доверие също е равно на относителния дял на резултатите, които попадат в доверителния интервал.

Ако броят на измерванията не достатъчно голяма, тогава доверителната вероятност изразява дела от общия брой нтези измервания, при които измерената стойност е била в рамките на доверителния интервал. Всяко ниво на доверие wсъответства на доверителния й интервал w 2 80%. Колкото по-широк е доверителният интервал, толкова по-вероятно е да се получи резултат в рамките на този интервал. В теорията на вероятностите се установява количествена връзка между стойността на доверителния интервал, доверителната вероятност и броя на измерванията.

Ако изберем интервала, съответстващ на средната грешка като доверителен интервал, тоест D а =АД ноñ, то за достатъчно голям брой измервания отговаря на доверителната вероятност w 60%. Тъй като броят на измерванията намалява, доверителната вероятност, съответстваща на такъв доверителен интервал (á ноñ ± АД ноñ) намалява.

По този начин, за да се оцени доверителния интервал на произволна променлива, може да се използва стойността на средната грешка D ноñ .

За да се характеризира големината на случайната грешка, е необходимо да се зададат две числа, а именно величината на доверителния интервал и величината на доверителната вероятност . Посочването само на големината на грешката без съответната вероятност за доверие е до голяма степен безсмислено.

Ако средната грешка на измерването ásñ е известна, доверителният интервал се записва като (<х> ±asñ) w, определено с доверителна вероятност w= 0,57.

Ако стандартното отклонение s е известно разпределение на резултатите от измерването, посоченият интервал има формата (<х>± twс) w, където tw- коефициент в зависимост от стойността на доверителната вероятност и изчислен според гаусово разпределение.

Най-често използваните количества D хса показани в таблица 1.

Измерванията се наричат прав,ако стойностите на величините се определят директно от инструментите (например измерване на дължината с линийка, определяне на времето с хронометър и др.). Измерванията се наричат непряк, ако стойността на измерената величина се определя чрез директни измервания на други величини, които са свързани с измерената специфична връзка.

Случайни грешки при директни измервания

Абсолютна и относителна грешка.Нека се проведе низмервания на същото количество хпри липса на системна грешка. Индивидуалните резултати от измерването изглеждат така: х 1 ,х 2 , …,х н. Средната стойност на измереното количество се избира като най-добра:

Абсолютна грешкаединично измерване се нарича разлика от формата:

Средна абсолютна грешка нединични измервания:

(2)

Наречен средна абсолютна грешка.

Относителна грешкае съотношението на средната абсолютна грешка към средната стойност на измерената величина:

. (3)

Инструментални грешки при директни измервания

Ако няма специални инструкции, грешката на инструмента е равна на половината от стойността му на делене (линийка, чаша).

Грешката на инструментите, оборудвани с нониус, е равна на стойността на делението на нониуса (микрометър - 0,01 mm, шублер - 0,1 mm).

Грешката на табличните стойности е равна на половината от единицата на последната цифра (пет единици от следващия ред след последната значима цифра).

Грешката на електрическите измервателни уреди се изчислява според класа на точност ОТпосочено на скалата на инструмента:

Например:
И
,

където У максИ аз макс– граница на измерване на уреда.

Грешката на устройствата с цифрова индикация е равна на единицата на последната цифра на индикацията.

След оценка на случайните и инструментални грешки се взема предвид тази, чиято стойност е по-голяма.

Изчисляване на грешки при косвени измервания

Повечето измервания са косвени. В този случай желаната стойност X е функция на няколко променливи но,б, ° С… , чиито стойности могат да бъдат намерени чрез директни измервания: Х = f( а, б, ° С…).

Средноаритметичната стойност на резултата от непреките измервания ще бъде равна на:

X = f( а, б, ° С…).

Един от начините за изчисляване на грешката е начинът за диференциране на естествения логаритъм на функцията X = f( а, б, ° С...). Ако например желаната стойност X се определя от отношението X = , то след вземане на логаритъм получаваме: lnX = ln а+вн б+ln( ° С+ д).

Разликата на този израз е:

По отношение на изчисляването на приблизителните стойности, тя може да се запише за относителната грешка във формата:

 =
. (4)

Абсолютната грешка в този случай се изчислява по формулата:

Х = Х(5)

По този начин изчисляването на грешките и изчисляването на резултата за индиректни измервания се извършват в следния ред:

1) Извършете измервания на всички количества, включени в оригиналната формула, за да изчислите крайния резултат.

2) Изчислете средноаритметичните стойности на всяка измерена стойност и техните абсолютни грешки.

3) Заменете в оригиналната формула средните стойности на всички измерени стойности и изчислете средната стойност на желаната стойност:

X = f( а, б, ° С…).

4) Вземете логаритъма на оригиналната формула X = f( а, б, ° С...) и запишете израза за относителната грешка под формата на формула (4).

5) Изчислете относителната грешка  = .

6) Изчислете абсолютната грешка на резултата по формулата (5).

7) Крайният резултат се записва като:

X = X cf X

Абсолютните и относителните грешки на най-простите функции са дадени в таблицата:

Абсолютно

грешка

Относителна

грешка

а+ б

а+ б

Поради грешките, присъщи на измервателния уред, избрания метод и техника на измерване, разликата във външните условия, при които се извършва измерването, от установените и други причини, резултатът от почти всяко измерване е обременен с грешка. Тази грешка се изчислява или изчислява и се приписва на получения резултат.

Грешка в измерването(накратко - грешка при измерване) - отклонение на резултата от измерването от истинската стойност на измерената величина.

Истинската стойност на количеството поради наличието на грешки остава неизвестна. Използва се за решаване теоретични задачиметрология. На практика се използва действителната стойност на количеството, която замества истинската стойност.

Грешката на измерването (Δx) се намира по формулата:

x = x мярка. - х действително (1.3)

където x измерва. - стойността на количеството, получено въз основа на измервания; х действително е стойността на количеството, прието за реално.

Реалната стойност за единични измервания често се приема като стойност, получена с помощта на примерен измервателен уред, за многократни измервания - средноаритметичната стойност на стойностите на отделните измервания, включени в тази серия.

Грешките в измерването могат да бъдат класифицирани според следните критерии:

По характер на проявлението – систематично и произволно;

По начин на изразяване – абсолютни и относителни;

Според условията за промяна на измерената стойност - статична и динамична;

Според метода на обработка редица измервания - аритметични и средно квадратни;

Според пълнотата на обхвата на измервателната задача - частни и пълни;

Спрямо единица физическо количество— грешки при възпроизвеждане на единицата, съхранение на единицата и предаване на размера на единицата.

Систематична грешка при измерване(накратко - систематична грешка) - компонент на грешката на резултата от измерването, който остава постоянен за дадена серия от измервания или редовно се променя при многократни измервания на една и съща физическа величина.

Според характера на проявлението системните грешки се делят на постоянни, прогресивни и периодични. Постоянни системни грешки(накратко - постоянни грешки) - грешки, дълго времезапазвайки стойността си (например по време на цялата серия от измервания). Това е най-често срещаният тип грешка.

Прогресивни системни грешки(накратко - прогресивни грешки) - непрекъснато нарастващи или намаляващи грешки (например грешки, дължащи се на износване на измервателни накрайници, които влизат в контакт по време на шлайфане с детайл, когато се управлява от активно управляващо устройство).

Периодична систематична грешка(накратко - периодична грешка) - грешка, чиято стойност е функция на времето или функция на движението на показалеца измерващ инструмент(например, наличието на ексцентриситет в гониометри с кръгова скала причинява систематична грешка, която варира според периодичен закон).

Въз основа на причините за появата на систематични грешки се разграничават инструментални грешки, методични грешки, субективни грешки и грешки, дължащи се на отклонение на външните условия на измерване от установените методи.

Инструментална грешка при измерване(накратко - инструментална грешка) е резултат от редица причини: износване на части от уреда, прекомерно триене в механизма на уреда, неточни удари по скалата, несъответствие между действителните и номинални стойностимерки и др.

Грешка в метода на измерване(накратко - грешката на метода) може да възникне поради несъвършенство на метода на измерване или неговите опростявания, установени от процедурата за измерване. Например, такава грешка може да се дължи на недостатъчната скорост на измервателните уреди, използвани при измерване на параметрите на бързи процеси или неотчетени примеси при определяне на плътността на вещество въз основа на резултатите от измерването на неговата маса и обем.

Субективна грешка при измерване(накратко - субективна грешка) се дължи на индивидуалните грешки на оператора. Понякога тази грешка се нарича лична разлика. Причинява се например от забавяне или напредване на приемането на сигнал от оператора.

Грешка в отклонението(в една посока) външни условия на измерване от установените от процедурата на измерване водят до възникване на систематичен компонент на грешката на измерването.

Систематичните грешки изкривяват резултата от измерването, така че те трябва да бъдат елиминирани, доколкото е възможно, чрез въвеждане на корекции или настройка на инструмента, за да се сведат систематичните грешки до приемлив минимум.

Неизключена системна грешка(накратко - неизключена грешка) - това е грешката на резултата от измерването, дължаща се на грешка при изчисляване и въвеждане на корекция за ефекта на систематична грешка, или малка систематична грешка, корекцията за която не се въвежда поради дребнавост.

Този тип грешка понякога се нарича неизключени остатъци от пристрастия(накратко - неизключени салда). Например при измерване на дължината на линеен метър в дължините на вълната на референтното лъчение бяха открити няколко неизключени систематични грешки (i): поради неточно измерване на температурата - 1 ; поради неточно определяне на коефициента на пречупване на въздуха - 2, поради неточна стойност на дължината на вълната - 3.

Обикновено се взема предвид сумата от неизключените систематични грешки (определят се границите им). При броя на термините N ≤ 3, границите на неизключените систематични грешки се изчисляват по формулата

Когато броят на термините е N ≥ 4, формулата се използва за изчисления

(1.5)

където k е коефициентът на зависимост на неизключените систематични грешки от избраната доверителна вероятност P с равномерното им разпределение. При P = 0,99, k = 1,4, при P = 0,95, k = 1,1.

Случайна грешка при измерване(накратко - случайна грешка) - компонент на грешката на резултата от измерването, променящ се произволно (по знак и стойност) в серия от измервания със същия размер на физическа величина. Причини за произволни грешки: грешки при закръгляне при отчитане на показанията, вариации в показанията, промени в условията на измерване от случаен характер и др.

Случайните грешки причиняват дисперсия на резултатите от измерването в серия.

Теорията за грешките се основава на две положения, потвърдени от практиката:

1. При голям брой измервания еднакво често се появяват случайни грешки с една и съща числена стойност, но с различен знак;

2. Големите (в абсолютна стойност) грешки са по-рядко срещани от малките.

Важно заключение за практиката следва от първата позиция: с увеличаване на броя на измерванията произволната грешка на резултата, получен от серия от измервания, намалява, тъй като сумата от грешките на отделните измервания от тази серия клони към нула, т.е

(1.6)

Например, в резултат на измервания беше получена серия от стойности електрическо съпротивление(които са коригирани за ефектите от систематични грешки): R 1 = 15,5 ома, R 2 = 15,6 ома, R 3 = 15,4 ома, R 4 = 15,6 ома и R 5 = 15,4 ома . Следователно R = 15,5 ома. Отклоненията от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm и R 5 = -0,1 Ohm) са случайни грешки на отделните измервания в a дадена серия. Лесно е да се види, че сумата R i = 0.0. Това показва, че грешките на отделните измервания от тази серия са изчислени правилно.

Въпреки факта, че с увеличаване на броя на измерванията, сумата от случайни грешки клони към нула (в този примертя случайно беше нула), трябва да се оцени случайната грешка на резултата от измерването. В теорията на случайните променливи дисперсията на o2 служи като характеристика на дисперсията на стойностите на произволна променлива. "| / o2 \u003d a се нарича стандартно отклонение на общата съвкупност или стандартно отклонение.

Това е по-удобно от дисперсията, тъй като размерът му съвпада с размерността на измереното количество (например стойността на количеството се получава във волтове, стандартното отклонение също ще бъде във волтове). Тъй като в практиката на измерванията се работи с термина „грешка“, извлеченият от него термин „средноквадратична грешка“ трябва да се използва за характеризиране на редица измервания. Редица измервания могат да се характеризират със средноаритметичната грешка или обхвата на резултатите от измерването.

Обхватът на резултатите от измерването (накратко - диапазон) е алгебричната разлика между най-големите и най-малките резултати от отделни измервания, които образуват серия (или извадка) от n измервания:

R n = X max - X min (1,7)

където R n е обхватът; X max и X min - най-големият и най-малката стойностстойности в дадена серия от измервания.

Например, от пет измервания на диаметъра на отвора d, стойностите R 5 = 25,56 mm и R 1 = 25,51 mm се оказаха неговите максимални и минимални стойности. В този случай R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Това означава, че останалите грешки от тази серия са по-малко от 0,05 mm.

Средна аритметична грешка на едно измерване в серия(накратко - средноаритметичната грешка) - обобщената характеристика на разсейване (поради случайни причини) на отделни резултати от измерване (със същата стойност), включени в серия от n еднакво точни независими измервания, се изчислява по формулата

(1.8)

където X i е резултатът от i-тото измерване, включено в серията; x е средноаритметичната стойност на n стойности на величината: |X i - X| е абсолютната стойност на грешката на i-тото измерване; r е средноаритметичната грешка.

Истинската стойност на средноаритметичната грешка p се определя от съотношението

p = lim r, (1.9)

С броя на измерванията n > 30, между средноаритметичната (r) и средноквадратната (с)има корелации

s = 1.25r; r и = 0,80 s. (1.10)

Предимството на средноаритметичната грешка е простотата на нейното изчисление. Но все пак по-често се определя средната квадратна грешка.

Средно квадратна грешкаиндивидуално измерване в серия (накратко - средно квадратна грешка) - обобщена характеристика на разсейване (поради случайни причини) на индивидуални резултати от измерване (със същата стойност), включени в серия от Педнакво точни независими измервания, изчислени по формулата

(1.11)

Средно квадратната грешка за общата извадка o, която е статистическата граница на S, може да се изчисли за /i-mx > по формулата:

Σ = limS (1.12)

В действителност броят на измеренията винаги е ограничен, така че не се изчислява σ , и неговата приблизителна стойност (или оценка), която е s. Колкото повече P,толкова по-близо е s до своята граница σ .

При нормално разпределение вероятността грешката на едно измерване в серия да не надхвърли изчислената средноквадратична грешка е малка: 0,68. Следователно в 32 случая от 100 или 3 случая от 10 действителната грешка може да бъде по-голяма от изчислената.

Фигура 1.2 Намаляване на стойността на случайната грешка на резултата от множество измервания с увеличаване на броя на измерванията в серия

В серия от измервания има връзка между средноквадратична грешка на отделно измерване s и средноквадратична грешка на средноаритметичната S x:

което често се нарича "правилото на Y n". От това правило следва, че грешката в измерването, дължаща се на действието на случайни причини, може да бъде намалена n пъти, ако се извършат n измервания с еднакъв размер на произволна величина, а за краен резултат се приема средноаритметичната стойност (фиг. 1.2 ).

Извършването на поне 5 измервания в серия позволява да се намали ефектът от случайни грешки с повече от 2 пъти. При 10 измервания ефектът от случайната грешка се намалява с коефициент 3. По-нататъшното увеличаване на броя на измерванията не винаги е икономически осъществимо и като правило се извършва само за критични измервания, изискващи висока точност.

Средно квадратната грешка на едно измерване от серия от хомогенни двойни измервания S α се изчислява по формулата

(1.14)

където x" i и x"" i са i-ти резултати от измервания на една и съща величина в права и обратна посока от един измервателен уред.

При неравномерни измервания средно квадратната грешка на средноаритметичната стойност в серията се определя по формулата

(1.15)

където p i е теглото на i-то измерване в серия от неравномерни измервания.

Средноквадратната грешка на резултата от непреки измервания на количеството Y, което е функция на Y = F (X 1, X 2, X n), се изчислява по формулата

(1.16)

където S 1 , S 2 , S n са средноквадратични грешки на резултатите от измерването за X 1 , X 2 , X n .

Ако за по-голяма надеждност за получаване на задоволителен резултат се извършат няколко серии от измервания, средноквадратната грешка на отделно измерване от m серия (S m) се намира по формулата

(1.17)

Където n е броят на измерванията в серията; N е общият брой измервания във всички серии; m е броят на сериите.

При ограничен брой измервания често е необходимо да се знае RMS грешката. За да определите грешката S, изчислена по формула (2.7), и грешката S m , изчислена по формула (2.12), можете да използвате следните изрази

(1.18)

(1.19)

където S и S m са средните квадратни грешки на S и S m , съответно.

Например, когато обработваме резултатите от серия от измервания на дължината x, получихме

= 86 mm 2 при n = 10,

= 3,1 мм

= 0,7 mm или S = ±0,7 mm

Стойността S = ±0,7 mm означава, че поради грешка в изчислението s е в диапазона от 2,4 до 3,8 mm, следователно десетите от милиметъра са ненадеждни тук. В разглеждания случай е необходимо да се запише: S = ±3 mm.

За да има по-голяма увереност в оценката на грешката на резултата от измерването, се изчисляват доверителната грешка или доверителните граници на грешката. При нормален закон за разпределение доверителните граници на грешката се изчисляват като ±t-s или ±t-s x , където s и s x са съответно средно квадратните грешки на едно измерване в серия и средноаритметичната стойност; t е число в зависимост от нивото на достоверност P и броя на измерванията n.

Важно понятие е надеждността на резултата от измерването (α), т.е. вероятността желаната стойност на измерената величина да попадне в даден доверителен интервал.

Например, при обработка на детайли на металорежещи машини в стабилен технологичен режим, разпределението на грешките се подчинява на нормалния закон. Да приемем, че толерансът на дължината на частта е настроен на 2a. В този случай доверителният интервал, в който се намира желаната стойност на дължината на частта a, ще бъде (a - a, a + a).

Ако 2a = ±3s, тогава надеждността на резултата е a = 0,68, т.е. в 32 случая от 100 трябва да се очаква размерът на частта да надхвърли толеранса от 2a. При оценка на качеството на детайла според толеранса 2a = ±3s, надеждността на резултата ще бъде 0,997. В този случай може да се очаква само три части от 1000 да надхвърлят установения толеранс.Повишаване на надеждността обаче е възможно само с намаляване на грешката в дължината на детайла. Така че, за да се увеличи надеждността от a = 0,68 до a = 0,997, грешката в дължината на частта трябва да бъде намалена с коефициент три.

Получен наскоро широко използванетерминът "надеждност на измерването". В някои случаи неразумно се използва вместо термина "точност на измерване". Например, в някои източници можете да намерите израза „установяване на единството и надеждността на измерванията в страната“. Докато по-правилно би било да се каже „установяване на единство и необходимата точност на измерванията“. Надеждността се разглежда от нас като качествена характеристика, отразяваща близостта до нула на случайните грешки. Количествено може да се определи чрез ненадеждността на измерванията.

Несигурност на измерванията(накратко - ненадеждност) - оценка на несъответствието между резултатите в серия от измервания поради влиянието на общото въздействие на случайни грешки (определени чрез статистически и нестатистически методи), характеризиращи се с диапазона от стойности в в която се намира истинската стойност на измерваната величина.

В съответствие с препоръките на Международното бюро за мерки и теглилки, несигурността се изразява като обща средноквадратична грешка при измерване - Su, включително средноквадратична грешка S (определена чрез статистически методи) и среднеквадратична грешка u (определена чрез нестатистически методи) , т.е

(1.20)

Гранична грешка при измерване(накратко - пределна грешка) - максималната грешка на измерването (плюс, минус), чиято вероятност не надвишава стойността на P, докато разликата 1 - P е незначителна.

Например, при нормално разпределение, вероятността за случайна грешка от ±3s е 0,997, а разликата 1-P = 0,003 е незначителна. Следователно в много случаи доверителната грешка ±3s се приема за граница, т.е. pr = ±3s. Ако е необходимо, pr може да има и други връзки с s за достатъчно голямо P (2s, 2,5s, 4s и т.н.).

Във връзка с факта, че в стандартите GSI вместо термина „средноквадратична грешка“ се използва терминът „средно квадратно отклонение“, в по-нататъшните разсъждения ще се придържаме към този термин.

Абсолютна грешка при измерване(накратко - абсолютна грешка) - грешка при измерване, изразена в единици от измерената стойност. Така че грешката X при измерване на дължината на частта X, изразена в микрометри, е абсолютна грешка.

Термините „абсолютна грешка” и „абсолютна стойност на грешката” не трябва да се бъркат, което се разбира като стойност на грешката, без да се отчита знакът. Така че, ако абсолютната грешка на измерване е ±2 μV, тогава абсолютната стойност на грешката ще бъде 0,2 μV.

Относителна грешка при измерване(накратко - относителна грешка) - грешка при измерване, изразена като част от стойността на измерената стойност или като процент. Относителната грешка δ се намира от съотношенията:

(1.21)

Например има реална стойност на дължината на детайла x = 10,00 mm и абсолютна стойност на грешката x = 0,01 mm. Относителната грешка ще бъде

Статична грешкае грешката на резултата от измерването поради условията на статичното измерване.

Динамична грешкае грешката на резултата от измерването поради условията на динамично измерване.

Грешка при възпроизвеждане на единица- грешка в резултата от измерванията, извършени при възпроизвеждане на единица физическа величина. Така че грешката при възпроизвеждане на единица с помощта на държавния стандарт е посочена под формата на нейните компоненти: неизключена систематична грешка, характеризираща се със своята граница; случайна грешка, характеризираща се със стандартното отклонение s и годишната нестабилност ν.

Грешка при предаване на размера на единицатае грешката в резултата от измерванията, извършени при предаване на размера на единицата. Грешката при предаване на размера на единица включва неизключени систематични грешки и случайни грешки на метода и средствата за предаване на размера на единица (например компаратор).

абстрактно

Абсолютна и относителна грешка

Въведение

Абсолютна грешка - е оценка на абсолютната грешка на измерването. Изчислено различни начини. Методът на изчисление се определя от разпределението на случайната променлива. Съответно, величината на абсолютната грешка зависи от разпределението на случайната променлива може да е различно. Ако е измерената стойност и е истинската стойност, след това неравенството трябва да се удовлетвори с някаква вероятност, близка до 1. Ако случайната променлива разпределено според нормалния закон, тогава обикновено неговото стандартно отклонение се приема за абсолютна грешка. Абсолютната грешка се измерва в същите единици като самата стойност.

Има няколко начина за записване на количество заедно с неговата абсолютна грешка.

· Обикновено се използва подписана нотация ± . Например рекордът на 100 метра, поставен през 1983 г 9,930±0,005 s.

· За записване на стойности, измерени с много висока точност, се използва друга нотация: числата, съответстващи на грешката на последните цифри на мантисата, се добавят в скоби. Например, измерената стойност на константата на Болцман е 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, което също може да се пише много по-дълго като 1,380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.

Относителна грешка- грешка при измерване, изразена като отношение на абсолютната грешка на измерване към действителната или средната стойност на измерената величина (RMG 29-99):.

Относителната грешка е безразмерна величина или се измерва като процент.

1. Какво се нарича приблизителна стойност?

Твърде много и твърде малко? В процеса на изчисления човек често трябва да се справя с приблизителни числа. Нека бъде НО- точната стойност на определено количество, наричано по-нататък точен номерНО.Под приблизителната стойност на количеството НО,или приблизителни числанаречен номер но, което замества точната стойност на количеството НО.Ако но< НО,тогава носе нарича приблизителна стойност на числото И поради липса.Ако но> НО,- тогава в изобилие.Например, 3.14 е приблизително число ? при недостиг и 3,15 при излишък. За да се характеризира степента на точност на това приближение, се използва концепцията грешкиили грешки.

грешка ?ноприблизителен брой носе нарича разлика на формата

?а = А - а,

където НОе съответното точно число.

Фигурата показва, че дължината на отсечката AB е между 6 cm и 7 cm.

Това означава, че 6 е приблизителната стойност на дължината на сегмента AB (в сантиметри)\u003e с дефицит, а 7 е с излишък.

Означавайки дължината на отсечката с буквата y, получаваме: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина сегментAB (виж фиг. 149) е по-близо до 6 см, отколкото до 7 см. Приблизително е равно на 6 см. Казват, че числото 6 е получено чрез закръгляне на дължината на отсечката до цели числа.

. Какво е грешка в апроксимацията?

А) абсолютно?

Б) Относителна?

А) Абсолютната грешка на апроксимацията е модулът на разликата между истинската стойност на дадена величина и нейната приблизителна стойност. |x - x_n|, където x е истинската стойност, x_n е приблизителната стойност. Например: Дължината на лист хартия А4 е (29,7 ± 0,1) см. А разстоянието от Санкт Петербург до Москва е (650 ± 1) км. Абсолютната грешка в първия случай не надвишава един милиметър, а във втория - един километър. Въпросът е да се сравни точността на тези измервания.

Ако смятате, че дължината на листа се измерва по-точно, защото абсолютната грешка не надвишава 1 мм. Тогава грешите. Тези стойности не могат да се сравняват директно. Нека направим някои разсъждения.

При измерване на дължината на лист абсолютната грешка не надвишава 0,1 см на 29,7 см, тоест като процент е 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% от измерената стойност.

Когато измерваме разстоянието от Санкт Петербург до Москва, абсолютната грешка не надвишава 1 км на 650 км, което е 1/650 * 100% = 0,15% от измерената стойност като процент. Виждаме, че разстоянието между градовете се измерва по-точно от дължината на лист А4.

Б) Относителната грешка на апроксимацията е отношението на абсолютната грешка към модула на приблизителната стойност на величината.

математическа грешка фракция

където x е истинската стойност, x_n е приблизителната стойност.

Относителната грешка обикновено се нарича като процент.

Пример. Закръгляването на числото 24.3 до единици води до числото 24.

Относителната грешка е равна. Казват, че относителната грешка в този случай е 12,5%.

) Какъв вид закръгляване се нарича закръгляване?

А) с недостатък?

б) Твърде много?

А) закръгляване надолу

При закръгляване на число, изразено като десетична дроб, до 10^(-n), с недостатък, първите n цифри след десетичната запетая се запазват, а следващите се изхвърлят.

Например, закръгляването на 12,4587 до най-близката хилядна част с недостатък води до 12,458.

Б) Закръгляване

При закръгляване на число, изразено като десетична дроб, до 10^(-n), първите n цифри след десетичната запетая се запазват с излишък, а следващите се изхвърлят.

Например, закръгляването на 12,4587 до най-близката хилядна с недостатък води до 12,459.

) Правилото за закръгляване на десетичните знаци.

Правило. За да закръглите десетичен знак до определена цифра от цялата или дробна част, всички по-малки цифри се заменят с нули или се изхвърлят, а цифрата, предхождаща цифрата, изхвърлена по време на закръгляването, не променя стойността си, ако е последвана от числата 0, 1, 2, 3, 4 и се увеличава с 1 (едно), ако числата са 5, 6, 7, 8, 9.

Пример. Закръглете дроба 93,70584 до:

десетхилядници: 93,7058

хилядни: 93,706

стотни: 93,71

десети: 93,7

цяло число: 94

десетки: 90

Въпреки равенството на абсолютните грешки, тъй като измерените количества са различни. Колкото по-голям е измереният размер, толкова по-малка е относителната грешка при постоянен абсолют.

Обучение

Имате нужда от помощ при изучаването на тема?

Нашите експерти ще съветват или предоставят уроци по теми, които ви интересуват.
Подайте заявлениекато посочите темата в момента, за да разберете за възможността за получаване на консултация.

Ние също препоръчваме

Зареждане...