Най-малко общо кратно на число 2. Как да намерим най-малкото общо кратно, но за две или повече числа

Как да намерим най-малкото общо кратно?

Необходимо е да се намери всеки множител на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да се умножат помежду си факторите, които съвпадат с първото и второто число. Резултатът от продукта ще бъде желаният множител.

Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). НАС трябва да се умножии три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така докато видим същия номертук-там.

Умножаваме трите и получаваме: 3, 6, 9, 12, 15

Умножете пет и вземете: 5, 10, 15

Методът за разлагане на прости фактори е най-класическият за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на множество числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следното видео:

Събирайте, умножавайте, разделяйте, свеждайте до общ знаменател и други аритметични операциимного вълнуващо занимание, особено се възхищавайте на примерите, които заемат цял ​​лист.

Така че намерете общото кратно за две числа, което ще бъде най-малкото число, на което две числа се делят. Искам да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да преброите наум (и това може да се тренира), тогава самите числа изскачат в главата ви и след това дробите щракат като ядки.

Като начало ще научим, че можем да умножим две числа едно срещу друго и след това да намалим тази цифра и да я разделим последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.

Например две числа 15 и 6. Умножаваме и получаваме 90. Това е ясно повече брой. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че разделяме и 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се да разделим 30 на 15 е 2. И 30 дели 6 е 5. Тъй като 2 е границата, оказва се, че най-малкото кратно за числата 15 и 6 ще бъде 30.

С повече числа ще бъде малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при разделяне или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.

• Как да намерите NOC

  Ето видео, което ще ви покаже два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Практикувайки с помощта на първия от предложените методи, можете по-добре да разберете какво е най-малкото общо кратно.

Ето още един начин да намерите най-малкото общо кратно. Нека да разгледаме един илюстративен пример.

Необходимо е да се намери LCM от три числа наведнъж: 16, 20 и 28.

• Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
• Записваме мощностите на всички прости фактори:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Избираме всички прости делители (множители) с най-големите градуси, умножаваме ги и намираме LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Така в резултат на изчислението се получи числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест дели се на всяко от трите числа без остатък.

Най-малкото общо кратно е числото, което може да бъде разделено на няколко предложени числа без остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножете ги помежду си на свой ред и получите желаното - най-малкото общо кратно.

NOC, или най-малко общо кратно, е най-малката естествено числодве или повече числа, които се дели на всяко от дадените числа без остатък.

Ето пример за това как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.

• Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.

За 30 е 2 x 3 x 5.

За 42 това е 2 x 3 x 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги зачеркваме.

• Изписваме факторите, които са включени в разширението на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
• Сега трябва да ги умножите по липсващия коефициент, който имаме при разлагането на 42, а това е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
• Намираме какво е равно на 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.

В резултат на това получаваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.

За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да следвате няколко прости стъпки последователно. Помислете за това, като използвате примера на две числа: 8 и 12

1. Разлагаме и двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Намаляваме същите множители за едно от числата. В нашия случай, съвпадение 2 * 2, ние ги намаляваме за числото 12, тогава 12 ще има един фактор: 3.
3. Намерете произведението на всички останали фактори: 2*2*2*3=24

Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели както на 8, така и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намерете най-малкото общо кратно.

Ще се опитам да обясня с примера на числата 6 и 8. Най-малкото общо кратно е числото, което може да се раздели на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.

И така, започваме да умножаваме първо 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.

Извиква се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делителтези числа. Означете GCD(a, b).

Помислете за намирането на GCD, като използвате примера на две естествени числа 18 и 60:

1 Нека да разложим числата на прости множители:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Изтрийте от разширението на първото число всички фактори, които не са включени в разширението на второто число, получаваме 2×3×3 .

3 Умножаваме останалите прости множители след зачертаване и получаваме най-големия общ делител на числата: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Обърнете внимание, че няма значение от първото или второто число, зачертаваме факторите, резултатът ще бъде същият:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 И 432

Нека разложим числата на прости множители:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Изтрийте от първото число, чиито фактори не са във второто и третото число, получаваме:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

В резултат на GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Намиране на GCD с алгоритъма на Евклид

Вторият начин за намиране на най-големия общ делител с помощта Алгоритъм на Евклид. Алгоритъмът на Евклид е най-много ефективен начиннамиране GCD, като го използвате, трябва постоянно да намирате остатъка от делението на числата и да прилагате повтаряща се формула.

Повтаряща се формулаза GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), където a mod b е остатъкът от деленето на a на b.

Алгоритъм на Евклид

Пример Намерете най-големия общ делител на числата 7920 И 594

Да намерим GCD( 7920 , 594 ) използвайки алгоритъма на Евклид, ще изчислим остатъка от деленето с помощта на калкулатор.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 мод 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 мод 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 мод 198 = 594 - 3 × 198 = 0

В резултат на това получаваме GCD( 7920 , 594 ) = 198

Най-малко общо кратно

Намиране на общ знаменател при събиране и изваждане на дроби различни знаменателитрябва да знаете и да можете да изчислите най-малко общо кратно(NOC).

Кратно на числото "a" е число, което само по себе си се дели на числото "a" без остатък.

Числа, които са кратни на 8 (тоест тези числа ще бъдат разделени на 8 без остатък): това са числата 16, 24, 32 ...

Кратни на 9: 18, 27, 36, 45…

Има безкрайно много кратни на дадено число a, за разлика от делителите на същото число. Делители - крайно число.

Общото кратно на две естествени числа е число, което се дели равномерно и на двете от тези числа..

Най-малко общо кратно(LCM) от две или повече естествени числа е най-малкото естествено число, което само по себе си се дели на всяко от тези числа.

Как да намерите NOC

LCM може да бъде намерен и написан по два начина.

Първият начин да намерите LCM

Този метод обикновено се използва за малки числа.

1. Записваме кратните за всяко от числата в ред, докато има кратно, което е еднакво и за двете числа.
2. Кратното на числото "a" се обозначава с главна буква "K".

Пример. Намерете LCM 6 и 8.

Вторият начин да намерите LCM

Този метод е удобен за използване за намиране на LCM за три или повече числа.

Броят на еднакви фактори в разширенията на числата може да бъде различен.

В разгръщането на по-малкото число (по-малки числа) подчертайте факторите, които не са били включени в разширението на по-голямото число (в нашия пример това е 2) и добавете тези фактори към разширението на по-голямото число.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Запишете получената работа в отговор.
Отговор: LCM (24, 60) = 120

Можете също така да формализирате намирането на най-малкото общо кратно (LCM), както следва. Нека намерим LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Както можем да видим от разширението на числата, всички фактори на 12 са включени в разширението на 24 (най-голямото от числата), така че добавяме само едно 2 от разширението на числото 16 към LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Отговор: LCM (12, 16, 24) = 48

Специални случаи на намиране на НОК

Ако едно от числата се дели равномерно на останалите, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е равно на това число.

Например LCM(60, 15) = 60
Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости делители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа.

На нашия сайт можете също да използвате специален калкулатор, за да намерите най-малкото общо множество онлайн, за да проверите изчисленията си.

Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, тогава то се нарича просто.

Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.

Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число, останалите прости числа са нечетни.

Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Въпреки това, няма последно просто число. В секцията „За проучване“ можете да изтеглите таблица с прости числа до 997.

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

• числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
• 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели равномерно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат ​​делители на числото.

Делителят на естествено число a е такова естествено число, което дели даденото число "a" без остатък.

Естествено число, което има повече от два фактора, се нарича съставно число.

Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.

Общият делител на две дадени числа "a" и "b" е числото, на което и двете дадени числа "a" и "b" са разделени без остатък.

Най-голям общ делител(gcd) на две дадени числа "a" и "b" е най-голямо число, на което и двете числа "a" и "b" се делят без остатък.

Накратко, най-големият общ делител на числата "a" и "b" се записва, както следва:

Пример: gcd (12; 36) = 12 .

Делите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".

Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости числа.

Взаимно прости числаса естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният GCD е 1.

Как да намерим най-големия общ делител

За да намерите gcd на две или повече естествени числа, ви трябва:

• разлагат делителите на числата на прости множители;

Изчисленията се записват удобно с помощта на вертикална лента. Отляво на реда първо запишете дивидента, вдясно - делителя. По-нататък в лявата колона записваме стойностите на private.

Нека обясним веднага с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.

Подчертайте едни и същи прости множители и в двете числа.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Намираме произведението на еднакви прости множители и записваме отговора;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Отговор: GCD (28; 64) = 4

Можете да подредите местоположението на GCD по два начина: в колона (както беше направено по-горе) или „в ред“.

Първият начин за писане на GCD

Намерете GCD 48 и 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Вторият начин за писане на GCD

Сега нека напишем решението за търсене на GCD на ред. Намерете GCD 10 и 15.

На нашия информационен сайт можете също да намерите най-големия общ делител онлайн, като използвате помощната програма, за да проверите изчисленията си.

Намиране на най-малкото общо кратно, методи, примери за намиране на LCM.

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM – Най-малко общо множество, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), И Специално вниманиеНека да разгледаме примерите. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това помислете за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числата в прости фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM от три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо множество се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

В този пример a=126, b=70. Нека използваме връзката на LCM с GCD, която се изразява с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа според написаната формула.

Намерете gcd(126, 70) с помощта на алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Какво е LCM(68, 34)?

Тъй като 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за положителни цели числа a и b: ако числото a се дели на b , тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a .

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата в прости фактори. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разложенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширенията на числата a и b. От своя страна gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числата в прости фактори ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички фактори на тези разложения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички фактори, които присъстват както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (такива фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на това произведение е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210 , тоест LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

След като разложите числата 441 и 700 в прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Нека да разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от това произведение всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Така че LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата в прости множители може да бъде формулирано малко по-различно. Ако добавим липсващите фактори от разширението на числото b към факторите от разширението на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, техните разложения в прости множители са както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към факторите 3, 5 и 5 от разширението на числото 75 добавяме липсващите фактори 2 и 7 от разширението на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към факторите 2 , 2 , 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите фактори 2 , 3 , 3 и 3 от разлагането на числото 648 , получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7 , което е равно на 4 536 . По този начин желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4,536.

Намиране на LCM от три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Припомнете си съответната теорема, която дава начин за намиране на LCM от три или повече числа.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, ak, най-малкото общо кратно mk от тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Помислете за приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Намерете LCM на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Първо намираме m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . За да направим това, използвайки евклидовия алгоритъм, определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно, gcd( 140, 9)=1, откъдето LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18, откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 = 3 780.

Остава да се намери m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . За да направим това, намираме GCD(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно, gcd(3 780, 250)=10, следователно LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 = 94 500.

Така най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа удобно се намира с помощта на прости фактори на дадени числа. В същото време човек трябва да се придържа към следващото правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите фактори от разлагането на второто число се добавят към всички фактори от разширението на първото число, липсващите фактори от разширението на третото число се добавя към получените фактори и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно с помощта на разлагането на числата на прости множители.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Първо получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 е просто число, съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към факторите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7) трябва да добавите липсващите множители от разширението на второто число 6 . Разширението на числото 6 не съдържа липсващи фактори, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разширението на първото число 84 . Освен факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разширението на числото 143. Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

Следователно LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

Намиране на най-малкото общо множество отрицателни числа

Понякога има задачи, в които трябва да намерите най-малкото общо кратно на числата, сред които едно, няколко или всички числа са отрицателни. В тези случаи всички отрицателни числа трябва да бъдат заменени с техните противоположни числа, след което трябва да се намери LCM на положителните числа. Това е начинът за намиране на LCM на отрицателни числа. Например LCM(54, −34)=LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Можем да направим това, защото множеството кратни на a е същото като множеството кратни на −a (a и −a са противоположни числа). Наистина, нека b е някакво кратно на a , тогава b се дели на a и концепцията за делимост потвърждава съществуването на такова цяло число q, че b=a q . Но равенството b=(−a)·(−q) също ще бъде вярно, което по силата на същата концепция за делимост означава, че b се дели на −a , тоест b е кратно на −a . Обратното твърдение също е вярно: ако b е кратно на −a, тогава b също е кратно на a.

Намерете най-малкото общо кратно на отрицателните числа −145 и −45.

Нека заменим отрицателните числа −145 и −45 с техните противоположни числа 145 и 45 . Имаме LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . След като определихме gcd(145, 45)=5 (например, използвайки алгоритъма на Евклид), изчисляваме LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Така най-малкото общо кратно на отрицателните цели числа −145 и −45 е 1305.

www.cleverstudents.ru

Продължаваме да изучаваме разделение. В този урок ще разгледаме понятия като GCDИ НОК.

GCDе най-големият общ делител.

НОКе най-малкото общо кратно.

Темата е доста скучна, но е необходимо да се разбере. Без да разбирате тази тема, няма да можете да работите ефективно с дроби, които са истинска пречка в математиката.

Най-голям общ делител

Определение. Най-голям общ делител на числата аИ б аИ бразделено без остатък.

За да разберем добре тази дефиниция, заместваме вместо променливи аИ бпроизволни две числа, например, вместо променлива азаместете числото 12 и вместо променливата бномер 9. Сега нека се опитаме да прочетем това определение:

Най-голям общ делител на числата 12 И 9 е най-голямото число, с което 12 И 9 разделено без остатък.

От определението става ясно, че говорим за общ делител на числата 12 и 9, като този делител е най-големият от всички съществуващи делители. Този най-голям общ делител (gcd) трябва да бъде намерен.

За намиране на най-големия общ делител на две числа се използват три метода. Първият метод отнема доста време, но ви позволява да разберете добре същността на темата и да усетите целия й смисъл.

Вторият и третият метод са доста прости и позволяват бързото намиране на GCD. Ще разгледаме и трите метода. А какво да приложите на практика – вие избирате.

Първият начин е да намерите всички възможни делители на две числа и да изберете най-голямото от тях. Нека разгледаме този метод в следния пример: намерете най-големия общ делител на числата 12 и 9.

Първо намираме всички възможни делители на числото 12. За да направим това, разделяме 12 на всички делители в диапазона от 1 до 12. Ако делителят ни позволява да разделим 12 без остатък, тогава ще го маркираме в синьо и направи подходящо обяснение в скоби.

12: 1 = 12
(12 разделено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 12)

12: 2 = 6
(12 разделено на 2 без остатък, така че 2 е делител на 12)

12: 3 = 4
(12 разделено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 12)

12: 4 = 3
(12 разделено на 4 без остатък, така че 4 е делител на 12)

12:5 = 2 (2 останали)
(12 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 12)

12: 6 = 2
(12 разделено на 6 без остатък, така че 6 е делител на 12)

12: 7 = 1 (5 останали)
(12 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 12)

12: 8 = 1 (4 останали)
(12 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 12)

12:9 = 1 (остават 3)
(12 не се дели на 9 без остатък, така че 9 не е делител на 12)

12: 10 = 1 (2 останали)
(12 не се дели на 10 без остатък, така че 10 не е делител на 12)

12:11 = 1 (1 останал)
(12 не се дели на 11 без остатък, така че 11 не е делител на 12)

12: 12 = 1
(12 разделено на 12 без остатък, така че 12 е делител на 12)

Сега нека намерим делителите на числото 9. За да направите това, проверете всички делители от 1 до 9

9: 1 = 9
(9 разделено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 9)

9: 2 = 4 (1 останал)
(9 не се дели на 2 без остатък, така че 2 не е делител на 9)

9: 3 = 3
(9 разделено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 9)

9: 4 = 2 (1 останал)
(9 не се дели на 4 без остатък, така че 4 не е делител на 9)

9:5 = 1 (4 останали)
(9 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 9)

9: 6 = 1 (3 останали)
(9 не се дели на 6 без остатък, така че 6 не е делител на 9)

9:7 = 1 (2 останали)
(9 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 9)

9:8 = 1 (1 останал)
(9 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 9)

9: 9 = 1
(9 разделено на 9 без остатък, така че 9 е делител на 9)

Сега запишете делителите на двете числа. Осветените в синьо числа са делителите. Нека ги изпишем:

След като напишете делителите, можете веднага да определите кой е най-голям и най-често срещан.

По дефиниция най-големият общ делител на 12 и 9 е числото, на което 12 и 9 се делят равномерно. Най-големият и общ делител на числата 12 и 9 е числото 3

И числото 12, и числото 9 се делят на 3 без остатък:

Така че gcd (12 и 9) = 3

Вторият начин за намиране на GCD

Сега помислете за втория начин за намиране на най-големия общ делител. същност този методе да разбиеш двете числа на прости множители и да умножиш общите.

Пример 1. Намерете GCD на числа 24 и 18

Първо, нека разложим двете числа на прости фактори:

Сега умножаваме общите им фактори. За да не се объркате, общите фактори могат да бъдат подчертани.

Разглеждаме разлагането на числото 24. Първият му фактор е 2. Търсим същия фактор в разлагането на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете две:

Отново разглеждаме разлагането на числото 24. Вторият му фактор също е 2. Търсим същия фактор при разлагането на числото 18 и виждаме, че го няма за втори път. Тогава не подчертаваме нищо.

Следващите две в разширението на числото 24 също липсват в разширението на числото 18.

Преминаваме към последния множител при разлагането на числото 24. Това е факторът 3. Търсим същия фактор при разлагането на числото 18 и виждаме, че също го има. Подчертаваме и двете тройки:

И така, общите фактори на числата 24 и 18 са факторите 2 и 3. За да получите GCD, тези фактори трябва да бъдат умножени:

Така че gcd (24 и 18) = 6

Третият начин за намиране на GCD

Сега помислете за третия начин за намиране на най-големия общ делител. Същността на този метод се състои във факта, че числата, които трябва да се търсят за най-голям общ делител, се разлагат на прости множители. След това от разлагането на първото число се изтриват фактори, които не са включени в разлагането на второто число. Останалите числа в първото разширение се умножават и се получава GCD.

Например, нека намерим GCD за числата 28 и 16 по този начин. Първо, разлагаме тези числа на прости множители:

Имаме две разширения: и

Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва седем. Ще го изтрием от първото разширение:

Сега умножаваме останалите фактори и получаваме GCD:

Числото 4 е най-големият общ делител на числата 28 и 16. И двете от тези числа се делят на 4 без остатък:

Пример 2Намерете GCD на числа 100 и 40

Разделяне на числото 100

Разчитане на числото 40

Имаме две разширения:

Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва една петица (има само една петица). Изтриваме го от първото разлагане

Умножете останалите числа:

Получихме отговора 20. Значи числото 20 е най-големият общ делител на числата 100 и 40. Тези две числа се делят на 20 без остатък:

GCD (100 и 40) = 20.

Пример 3Намерете gcd на числата 72 и 128

Разчитане на числото 72

Разчитане на числото 128

2×2×2×2×2×2×2

Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва две тройки (въобще няма такива). Изтриваме ги от първото разширение:

Получихме отговора 8. Значи числото 8 е най-големият общ делител на числата 72 и 128. Тези две числа се делят на 8 без остатък:

GCD (72 и 128) = 8

Намиране на GCD за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се търсят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа.

Например, нека намерим GCD за числата 18, 24 и 36

Разлагане на числото 18

Разлагане на числото 24

Разлагане на числото 36

Имаме три разширения:

Сега избираме и подчертаваме общите фактори в тези числа. Общите фактори трябва да бъдат включени и в трите числа:

Виждаме, че общите фактори за числата 18, 24 и 36 са фактори 2 и 3. Като умножим тези фактори, получаваме GCD, който търсим:

Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 18, 24 и 36. Тези три числа се делят на 6 без остатък:

GCD (18, 24 и 36) = 6

Пример 2Намерете gcd за числа 12, 24, 36 и 42

Нека разложим на множители всяко число. След това намираме произведението на общите множители на тези числа.

Разлагане на числото 12

Разлагане на числото 42

Имаме четири разширения:

Сега избираме и подчертаваме общите фактори в тези числа. Общите фактори трябва да бъдат включени във всичките четири числа:

Виждаме, че общите множители за числата 12, 24, 36 и 42 са факторите 2 и 3. Като умножим тези фактори, получаваме GCD, който търсим:

Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 12, 24, 36 и 42. Тези числа се делят на 6 без остатък:

gcd(12, 24, 36 и 42) = 6

От предишния урок знаем, че ако някое число е разделено на друго без остатък, то се нарича кратно на това число.

Оказва се, че кратното може да бъде общо за няколко числа. И сега ще се интересуваме от кратно на две числа, докато то трябва да е възможно най-малко.

Определение. Най-малко общо кратно (LCM) на числа аИ б- аИ б аи номер б.

Определението съдържа две променливи аИ б. Нека заменим произволни две числа за тези променливи. Например, вместо променлива азаместете числото 9 и вместо променливата бнека заменим числото 12. Сега нека се опитаме да прочетем определението:

Най-малко общо кратно (LCM) на числа 9 И 12 - това най-малкото число, което е кратно 9 И 12 . С други думи, това е толкова малко число, което се дели без остатък на числото 9 и на номера 12 .

От дефиницията става ясно, че LCM е най-малкото число, което се дели без остатък на 9 и 12. Това LCM трябва да бъде намерено.

Има два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Първият начин е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тези кратни число, което ще бъде общо както за числата, така и за малките. Нека приложим този метод.

Първо, нека намерим първите кратни за числото 9. За да намерите кратните за 9, трябва да умножите тази деветка последователно по числата от 1 до 9. Отговорите, които ще получите, ще бъдат кратни на числото 9. Така че , да започваме. Множествата ще бъдат маркирани в червено:

Сега намираме кратни за числото 12. За да направите това, умножаваме 12 по всички числа от 1 до 12 на свой ред.

Помислете за решението на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето е 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което и двамата ще направят цял ​​брой стъпки.

Решение.Целият път, през който ще преминат момчетата, трябва да се дели на 60 и 70 без остатък, тъй като всеки от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да бъде кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще изпишем всички кратни за числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека напишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са и в двата реда.

• Общите кратни на числата ще бъдат числа, 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай то ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на задачата, най-малкото разстояние, на което момчетата правят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще премине този път на 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Намиране на най-малкото общо множество

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b.

За да се намери най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да се записват всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо, трябва да разложите тези числа на прости множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички фактори, които са в разрастването на първото число (2,2,3,5) и да добавим към него всички липсващи фактори от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме серия от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общ фактор за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разложете числата на прости множители.
• 2. Запишете основните фактори, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички тези, които са в разлагането на останалите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички изписани фактори.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

Намерени GCD и NOC: 6433

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• В случай на въвеждане на неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• натиснете бутона "Намерете GCD и NOC"

Как да въвеждате числа

• Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се съкращава като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно е съкратено като НОК.

Как да проверите дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Знак за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Знак за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от цифрите му се дели на 3. По този начин, за да определите дали едно число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се окаже много голяма, можете да повторите същия процес отново.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:броим сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Знак за делимост на число на 5
Числото се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Знак за делимост на число на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: числото се дели на 9, когато сборът от цифрите му се дели на 9.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:изчисляваме сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерите GCD и LCM на две числа

Как да намерите GCD на две числа

Повечето по прост начинизчисляването на най-големия общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.

Помислете за този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36) :

1. Разлагаме на множители и двете числа: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Намираме общи фактори, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерите LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да се намери GCD на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се търсят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Също така, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобно отношение важи и за най-малкото общо кратно на числата: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

пример:намерете GCD и LCM за числа 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Нека намерим общи фактори: 1, 2 и 2.
3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. За да намерите LCM и на трите числа, трябва да намерите GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM – най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това помислете за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числата в прости фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM от три или повече числа, а също така ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо множество се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126, b=70. Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа според написаната формула.

Намерете gcd(126, 70) с помощта на алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

Защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за положителни цели числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата в прости фактори. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разложенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширенията на числата a и b. От своя страна gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числата в прости фактори ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички фактори на тези разложения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички фактори, които присъстват както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (такива фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 в прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека да разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от това произведение всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата в прости множители може да бъде формулирано малко по-различно. Ако добавим липсващите фактори от разширяването на числото b към факторите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, техните разложения в прости множители са както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към факторите 3, 5 и 5 от разширението на числото 75 добавяме липсващите фактори 2 и 7 от разширението на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към факторите 2 , 2 , 3 и 7 от разширението на числото 84 добавяме липсващите фактори 2 , 3 , 3 и 3 от разширението на числото 648 , получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7 , което е равно на 4 536 . По този начин желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4,536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM от три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Припомнете си съответната теорема, която дава начин за намиране на LCM от три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, ak, най-малкото общо кратно mk от тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Помислете за приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки евклидовия алгоритъм, определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно, gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18, откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 = 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно, gcd(3 780, 250)=10 , откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 = 94 500.

Така най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа удобно се намира с помощта на прости фактори на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите фактори от разлагането на второто число се добавят към всички фактори от разширението на първото число, липсващите фактори от разширението на третото число се добавя към получените фактори и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно с помощта на разлагането на числата на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Първо получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към коефициентите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разширението на второто число 6 . Разширението на числото 6 не съдържа липсващи фактори, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разширението на първото число 84 . Освен факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разширението на числото 143. Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .