Дисперсия на произволна променлива. Как да съставим закон за разпределение на случайна променлива примери Намерете дисперсията според закона за разпределение

както е известно, случайна величина се нарича променлива, която може да приеме определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните променливи се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива се нарича случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределението на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на произволна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределението може да се уточни по един от следните начини.

1 . Законът за разпределението може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)чрез функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределението може да бъде зададен графично – разпределителен многоъгълник (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да разрешите някои проблеми, не е необходимо да знаете закона за разпределението. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределението. Това може да бъде число, което има значението на "средната стойност" на произволна променлива, или число, което показва средния размер на отклонението на произволна променлива от средната й стойност. Числата от този вид се наричат ​​числови характеристики на произволна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

• Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
  За биномно разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
• Дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2) − 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на произволна променлива от нейното математическо очакване.
  За биномно разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
• Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли и 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределението на вероятностите на случайната променлива X - печалби на билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Намерете математическото очакване на X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение за броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон за разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната произволна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 ( два елемента не успяха) и x 4 = 3 (три елемента не успяха).

Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формулата на Бернули . Като се има предвид, че по условие, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Проверете: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Следователно желаният закон за биномиално разпределение X има формата:

Върху оста на абсцисата нанасяме възможните стойности x i, а на оста на ординатите - съответните вероятности р i. Нека построим точки M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Свързвайки тези точки с линейни сегменти, получаваме желания полигон за разпределение.

3. Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X

За x ≤ 0 имаме F(x) = P(X<0) = 0;
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще бъде F(x) = 1, тъй като събитието е сигурно.

Графика на функцията F(x)

4. За биномното разпределение X:
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Примери за решаване на задачи на тема "Случайни променливи".

Задача 1 . В лотарията са издадени 100 билета. Беше изиграна една печалба от 50 USD. и десет печалби по $10 всяка. Намерете закона за разпределение на стойността X - цената на възможна печалба.

Решение. Възможни стойности на X: x 1 = 0; х 2 = 10 и х 3 = 50. Тъй като има 89 „празни“ билета, тогава p 1 = 0,89, вероятността за печалба е 10 c.u. (10 билета) – стр 2 = 0,10 и за печалба от 50 c.u. –стр 3 = 0,01. По този начин:

	0,89	0,10	0,01

Лесен за управление:.

Задача 2. Вероятността купувачът да се е запознал предварително с рекламата на продукта е 0,6 (p = 0,6). Селективният контрол на качеството на рекламата се извършва чрез анкетиране на купувачите преди първия, който е проучил рекламата предварително. Направете серия от разпределение на броя на интервюираните купувачи.

Решение. Според условието на задачата p = 0,6. От: q=1 -p = 0,4. Замествайки тези стойности, получаваме:и конструирайте разпределителна серия:

пи		0,24

Задача 3. Компютърът се състои от три независимо работещи елемента: системен блок, монитор и клавиатура. При еднократно рязко увеличение на напрежението, вероятността за повреда на всеки елемент е 0,1. Въз основа на разпределението на Бернули изгответе закона за разпределението за броя на неизправните елементи по време на скок на тока в мрежата.

Решение. Обмисли Разпределение на Бернули(или бином): вероятността, че вн тестове, събитие А ще се появи точнок веднъж: , или:

	q н					стр н

AT да се върнем на задачата.

Възможни стойности на X (брой грешки):

x 0 =0 - нито един от елементите не е неуспешен;

x 1 =1 - повреда на един елемент;

x 2 =2 - повреда на два елемента;

x 3 =3 - отказ на всички елементи.

Тъй като по условие p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Използвайки формулата на Бернули, получаваме

, ,

, .

Контролът: .

Следователно желаният закон на разпределението:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Задача 4. Произведени 5000 патрона. Вероятността една касета да е дефектна . Каква е вероятността да има точно 3 дефектни касети в цялата партида?

Решение. Приложимо Поасоново разпределение: това разпределение се използва за определяне на вероятността, при дадена много голяма

брой опити (масови опити), при всяко от които вероятността за събитие A е много малка, събитие A ще се случи k пъти: , където .

Тук n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Намираме , след това желаната вероятност: .

Задача 5. При стрелба преди първото попадение с вероятността да се удари p = 0,6 за изстрел, трябва да намерите вероятността ударът да се случи при третия изстрел.

Решение. Нека приложим геометричното разпределение: нека се извършат независими опити, при всяко от които събитието A има вероятност за възникване p (и невъзникване q = 1 - p). Изпитанията приключват веднага щом настъпи събитие А.

При такива условия вероятността събитие А да се случи на k-ия тест се определя по формулата: . Тук p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k = 3. Следователно, .

Задача 6. Нека е даден законът за разпределение на произволна променлива X:

Намерете математическото очакване.

Решение. .

Имайте предвид, че вероятностното значение на математическото очакване е средната стойност на произволна променлива.

Задача 7. Намерете дисперсията на произволна променлива X със следния закон за разпределение:

Решение. Тук .

Законът за разпределението на квадрата на X 2 :

х 2

Необходима дисперсия: .

Дисперсията характеризира степента на отклонение (разсейване) на произволна величина от нейното математическо очакване.

Задача 8. Нека произволната променлива е дадена от разпределението:

			10м

Намерете неговите числени характеристики.

Решение: m, m 2 ,

М 2 , m

За произволна променлива X може да се каже едно и също - нейното математическо очакване е 6,4 m с отклонение от 13,04 m 2 , или - математическото му очакване е 6,4 m с отклонение m. Втората формулировка очевидно е по-ясна.

Задача 9. Случайна стойностх дадено от функцията на разпределение:
.

Намерете вероятността в резултат на теста стойността X да приеме стойност, съдържаща се в интервала .

Решение. Вероятността X да вземе стойност от даден интервал е равна на нарастването на интегралната функция в този интервал, т.е. . В нашия случай и следователно

.

Задача 10. Дискретна случайна променливах дадено от закона за разпределението:

Намерете функцията за разпределение F(x ) и построете неговата графика.

Решение. Тъй като функцията на разпределение

за , тогава

в ;

в ;

в ;

в ;

Съответна диаграма:

Задача 11.Непрекъсната произволна променливах дадено от диференциалната функция на разпределение: .

Намерете вероятността за удар X към интервал

Решение. Имайте предвид, че това е специален случай на закона за експоненциално разпределение.

Нека използваме формулата: .

Задача 12. Намерете числените характеристики на дискретна случайна променлива X, дадена от закона за разпределение:

	–5
	X 2 : x2 . , където е функцията на Лаплас. Стойностите на тази функция се намират с помощта на таблица. В нашия случай:. Според таблицата намираме:, следователно:

Възлагане на услугата. Онлайн калкулаторът се използва за изграждане на таблица на разпределението на произволна променлива X - броя на извършените експерименти и изчисляване на всички характеристики на поредицата: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Протоколът с решението се съставя във формат Word. Пример №1. Хвърлят се три монети. Вероятността един герб да падне в едно ролка е 0,5. Направете закон за разпределение за произволна променлива X - броят на гербовете, които са паднали.
Решение.
Вероятността да не е паднал герб: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Вероятността да изпаднат три герба: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Закон за разпределението на произволна променлива X:

х	0	1	2	3
П	0,125	0,375	0,375	0,125

Проверете: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Пример №2. Вероятността да се улучи целта от един стрелец с един изстрел за първия стрелец е 0,8, за втория стрелец - 0,85. Стрелците отправиха един изстрел към целта. Приемайки, че уцелването на целта за отделни стрелци е независимо събитие, намерете вероятността за събитие А - точно едно попадение в целта.
Решение.
Помислете за събитие А - едно попадение в целта. Възможните прояви на това събитие са както следва:

1. Първи ударен стрелец, пропуснат втори стрелец: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Първият стрелец пропусна, вторият стрелец уцели целта: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Първият и вторият стрелци поразяват целта независимо: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Тогава вероятността за събитие A - точно едно попадение в целта, ще бъде равна на: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Определение.Дисперсия (разсейване)Дискретната случайна променлива се нарича математическо очакване на квадратното отклонение на случайната променлива от нейното математическо очакване:

Пример. За примера по-горе намираме

Математическото очакване на произволна променлива е:

Възможни стойности на квадратното отклонение:

; ;

Дисперсията е:

На практика обаче този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на произволна променлива. Следователно се използва друг метод.

Изчисляване на дисперсията

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване:

Доказателство.Като се има предвид факта, че математическото очакване и квадратът на математическото очакване са постоянни стойности, можем да запишем:

Нека приложим тази формула към примера по-горе:

х
x2
стр	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Свойства на дисперсия

1) Дисперсията на постоянна стойност е нула:

2) Постоянният коефициент може да бъде изваден от знака на дисперсия, като се възведе на квадрат:

.

3) Дисперсията на сбора от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи:

4) Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи:

Валидността на това равенство следва от свойство 2.

Теорема. Дисперсията на броя на поява на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността за настъпване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити от вероятността за настъпване и вероятността за събитието не се среща във всеки опит:

Пример.Заводът произвежда 96% продукти от първи клас и 4% от продукти от втори клас. 1000 артикула се избират на случаен принцип. Нека бъде х- броят на продуктите от първи клас в тази извадка. Намерете закона за разпределението, математическото очакване и дисперсията на произволна променлива.

Следователно законът на разпределението може да се счита за биномен.

Пример.Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива х– брой събития на събитието НОв две независими опита, ако вероятностите за настъпване на това събитие във всеки опит са равни и е известно, че

Защото произволна стойност хразпределени според биномния закон, тогава

Пример.Извършват се независими тестове със същата вероятност за настъпване на събитието НОвъв всеки тест. Намерете вероятността да се случи събитие НОако дисперсията на броя на поява на събитието в три независими опита е 0,63.

Съгласно дисперсионната формула на биномния закон получаваме:

;

Пример.Тества се устройство, състоящо се от четири независимо работещи устройства. Вероятностите за повреда на всяко от устройствата са равни, съответно ; ; . Намерете математическото очакване и дисперсията на броя на отказалите устройства.

Приемайки броя на отказалите устройства като произволна променлива, виждаме, че тази произволна променлива може да приеме стойности 0, 1, 2, 3 или 4.

За да се изготви закон за разпределението на тази случайна величина, е необходимо да се определят съответните вероятности. Да приемем.

1) Нито едно устройство не е неуспешно:

2) Едно от устройствата се повреди.