Графично изобразяване на точка върху сложен чертеж.

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x^3 - 3*x^2. Да разгледаме някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още съседство на точка x = 0. Както можете да видите на графиката, в тази околност функцията y = x^ 3 - 3*x^2 вземания най-висока стойностточно в точката x = 0.

Максимум и минимум на функция

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията y = x^3 - 3*x^2. Тъй като има такъв квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички останали стойности от този квартал.

точка максимумфункцията f(x) се нарича точка x0, при условие че има такава окръжност на точка x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x)< f(x0).

точка минимумфункцията f(x) се нарича точка x0, при условие че има такава околност на точката x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, е изпълнено неравенството f(x) > f(x0).

В точката на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е равна на нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в точка максимум или минимум.

Например, функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 се увеличава по цялата реална ос.

По този начин минималната и максималната точки винаги ще бъдат сред корена на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на функция е равна на нула, се наричат стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, където производната на функцията изобщо не съществува. Например, y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимума или минимума на функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f(x) е някаква функция, диференцируема на интервала (a;b). Точката x0 принадлежи на този интервал и f'(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от “плюс” на “минус”, то точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от “минус” на “плюс”, то точката x0 е минималната точка на функцията.

Здравейте на всички хора от Хабр. Искам да представя на скъпите читатели пример, когато е сух и далеч от живота в нашето разбиране висша математикададе добър практически резултат.

Първо малко спомени

Беше, когато бях студент в един от техническите университети през 90-те, може би втората година. Някак си стигнах до олимпиадата по програмиране. И точно на тази олимпиада имаше задача: да се зададат координатите на триъгълник, тестова точка на равнината и да се определи дали тази точка принадлежи на областта на триъгълника. Като цяло, дребнав проблем, но тогава не го реших. Но тогава се сетих за една по-обща задача – принадлежност към депо. Повтарям - беше средата на 90-те, нямаше интернет, нямаше книги по компютърна геометрия, но имаше лекции за кулата и лаборатория 286 с турбо паскал. И така звездите съвпаднаха, че точно по времето, когато мислех за проблема, те ни четаха теорията за комплексна променлива на кулата. И една формула (за нея по-долу) падна на плодородна почва. Алгоритъмът е изобретен и внедрен в Pascal (за съжаление, моят винт от един и половина гигабайта умря и отнесе този код и куп други мои младежки разработки в забвение). След института постъпих на работа в един изследователски институт. Там трябваше да се занимавам с разработването на ГИС за нуждите на служителите на института, като една от моите собствени задачи беше да определя дали обекти попадат в контура. Алгоритъмът беше пренаписан на C++ и се оказа отличен в работата.

Задача за алгоритъма

дадено:

Г - затворена полилиния (наричана по-нататък многоъгълник) върху равнина, дадена от координатите на нейните върхове (xi, yi) и координатата на тестовата точка (x0, y0)

Определете:

дали точката принадлежи на областта D, ограничена от многоъгълника.

Извличането на формули за последващо писане на алгоритъма по никакъв начин не претендира да бъде математически пълно и точно, а само демонстрира инженерен (потребителски подход) към кралицата на областите на науките.

Обяснение от инженерно-селянска гледна точка:
- границата G е нашия даден контур,
- z0 - изпитана точка
- f(z) - сложна функцияне отива до безкрайност никъде в контура от сложния аргумент.

Тоест, за да установим дали дадена точка принадлежи на контур, трябва да изчислим интеграла и да го сравним със стойността на функцията в дадена точка. Ако съвпадат, тогава точката се намира в контура. Забележка: Интегралната теорема на Коши казва, че ако точката не лежи в контура, тогава интегралната функция не отива до безкрайност никъде, тогава интегралът нула. Това опростява въпроса - просто трябва да изчислите интеграла и да го проверите за равенство на нула: точката не е контурът, равен на нула, той е различен - лежи в контура.
Нека направим изчислението на интеграла. За f(z) вземаме проста функция 1. Без да губим общността, можем да приемем точката 0 като z0 (винаги можете да изместите координатите).

Отърваваме се от въображаемата единица в знаменателя на интеграла и разделяме интеграла на реални и въображаеми части:

Получихме два криволинейни интеграла от втори вид.
Изчислете първото

Условието, че интегралът не зависи от пътя, е изпълнено, следователно първият интеграл е равен на нула и не е необходимо да се изчислява.

С въображаемата част този трик не работи. Припомнете си, че нашата граница се състои от линейни сегменти, получаваме:

където Гi е отсечката (xi,yi)- (xi+1,y i+1)
Нека изчислим i-тия интеграл. За да направите това, ние записваме уравнението на i-тия сегмент в параметричен вид

Заместване в интеграла

И след тромави и досадни трансформации, получаваме следната очарователна формула:

Най-накрая получаваме

Алгоритъм на C++:

шаблон <клас T>
bool pt_in_polygon( const T &test,const std::vector &polygon)
{
ако (polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();

T last_pt=polygon.back();

Last_pt.x-=test.x;
last_pt.y-=test.y;

двойносума = 0,0;

за(
std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();
iter!=край;
++iter
{
T cur_pt=*iter;
cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

двойно del= last_pt.x*cur_pt.y-cur_pt.x*last_pt.y;
двойно xy= cur_pt.x*last_pt.x+cur_pt.y*last_pt.y;

Сума+=
atan((last_pt.x*last_pt.x+last_pt.y*last_pt.y - xy)/del)+
atan((cur_pt.x*cur_pt.x+cur_pt.y*cur_pt.y-xy)/del)
);

last_pt=cur_pt;

връщане fabs(sum)>eps;

T - тип точка, например:
структураТочка Г
{
двойно x,y;
};

Контрол:
щракнете с левия бутон - добавете нова точка на контура
десен бутон - затваряне на контура
наляво със задържан Shift - преместете тестовата точка

Господа, които се интересуват, давам по-бърз алгоритъм. Вече не е моя.
Специални благодарности за статията.
шаблон bool pt_in_polygon2(const T &test,const std::vector &polygon)
{

Static const int q_patt= ( (0,1), (3,2) );

Ако(polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();
T pred_pt=polygon.back();
predict_pt.x-=test.x;
pred_pt.y-=test.y;

int pred_q=q_patt;

За(std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();iter!=end;++iter)
{
T cur_pt = *iter;

Cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

int q=q_patt;

Превключвател (q-pred_q)
{
случай -3:++w;прекъсване;
случай 3:--w;прекъсване;
случай -2:if(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x) ++w; break;
случай 2:if(!(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x)) --w; break;
}

Pred_pt = cur_pt;
предсказване_q = q;

В двумерното пространство две прави се пресичат само в една точка, дадена от координатите (x, y). Тъй като и двете линии минават през точката на тяхното пресичане, координатите (x, y) трябва да удовлетворяват и двете уравнения, които описват тези линии. С някои напреднали умения можете да намерите пресечните точки на параболи и други квадратни криви.

Стъпки

Точка на пресичане на две прави

Запишете уравнението на всеки ред, като изолирате променливата "y" от лявата страна на уравнението.Други членове на уравнението трябва да бъдат поставени върху правилната странауравнения. Може би даденото ви уравнение вместо "y" ще съдържа променливата f (x) или g (x); в този случай изолирайте такава променлива. За да изолирате променлива, направете подходящото математически операцииот двете страни на уравнението.

Ако уравненията на правите не са ви дадени, на базата на известна информация.
Пример. Дадени прави линии, описани от уравненията и y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). За да изолирате "y" във второто уравнение, добавете числото 12 към двете страни на уравнението:

Търсите пресечната точка на двете линии, тоест точката, чиито координати (x, y) удовлетворяват и двете уравнения. Тъй като променливата "y" е от лявата страна на всяко уравнение, изразите от дясната страна на всяко уравнение могат да бъдат уравнени. Запишете ново уравнение.
- Пример. Защото y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)И y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), тогава можем да запишем следното равенство: .
Намерете стойността на променливата "x".Новото уравнение съдържа само една променлива "x". За да намерите "x", изолирайте тази променлива от лявата страна на уравнението, като извършите подходящата математика от двете страни на уравнението. В крайна сметка трябва да получите уравнение като x = __ (ако не можете да направите това, вижте този раздел).
- Пример. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
- Добавете 2x (\displaystyle 2x)към всяка страна на уравнението:
- 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- Извадете 3 от всяка страна на уравнението:
- 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
- Разделете всяка страна на уравнението на 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Използвайте намерената стойност на променливата "x", за да изчислите стойността на променливата "y".За да направите това, заменете намерената стойност "x" в уравнението (всякаква) права линия.
- Пример. x = 3 (\displaystyle x=3)И y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y=6 (\displaystyle y=6)
Проверете отговора.За да направите това, заменете стойността на "x" в друго уравнение на права линия и намерете стойността на "y". Ако получите различно значение"y", проверете правилността на вашите изчисления.
- пример: x = 3 (\displaystyle x=3)И y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
- y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
- y=6 (\displaystyle y=6)
- Имате същата стойност "y", така че няма грешки в изчисленията.
Запишете координатите (x, y).Чрез изчисляване на стойностите на "x" и "y", вие сте намерили координатите на точката на пресичане на две линии. Запишете координатите на пресечната точка във формата (x, y).
- Пример. x = 3 (\displaystyle x=3)И y=6 (\displaystyle y=6)
- Така две прави се пресичат в точка с координати (3,6).
Изчисления в специални случаи.В някои случаи стойността на променливата "x" не може да бъде намерена. Но това не означава, че сте направили грешка. Специален случай възниква, когато е изпълнено едно от следните условия:
- Ако две прави са успоредни, те не се пресичат. В този случай променливата "x" просто ще бъде намалена и вашето уравнение ще се превърне в безсмислено равенство (напр. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). В този случай запишете в отговора си, че правите не се пресичат или няма решение.
- Ако и двете уравнения описват една права линия, тогава ще има безкраен брой пресечни точки. В този случай променливата "x" просто ще бъде намалена и вашето уравнение ще се превърне в строго равенство (например, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). В този случай запишете в отговора си, че двата реда съвпадат.
Задачи с квадратични функции
1. Дефиниция на квадратична функция.В квадратична функция една или повече променливи имат втора степен (но не по-висока), например x 2 (\displaystyle x^(2))или y 2 (\displaystyle y^(2)). Графиките на квадратичните функции са криви, които може да не се пресичат или пресичат в една или две точки. В този раздел ще ви кажем как да намерите точката или точките на пресичане на квадратни криви.
2. Пренапишете всяко уравнение, като изолирате променливата "y" от лявата страна на уравнението.Други членове на уравнението трябва да бъдат поставени от дясната страна на уравнението.
  - Пример. Намерете пресечната точка(ите) на графиките x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)И
  - Изолирайте променливата "y" от лявата страна на уравнението:
  - И y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - В този пример ви е дадена една квадратична функция и една линейна функция. Запомнете това, ако ви бъдат дадени две квадратични функции, изчисленията са подобни на стъпките по-долу.
3. Приравнете изразите от дясната страна на всяко уравнение.Тъй като променливата "y" е от лявата страна на всяко уравнение, изразите от дясната страна на всяко уравнение могат да бъдат уравнени.
  - Пример. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)И y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Прехвърлете всички членове на полученото уравнение в лявата му страна и напишете 0 от дясната страна.За да направите това, извършете основни математически операции. Това ще ви позволи да решите полученото уравнение.
  - Пример. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Извадете "x" от двете страни на уравнението:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Извадете 7 от двете страни на уравнението:
5. Реши квадратно уравнение. Като прехвърлите всички членове на уравнението в лявата му страна, получавате квадратно уравнение. Може да се реши по три начина: с помощта на специална формула и.
  - Пример. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Когато разлагате уравнението на множители, получавате два бинома, които, когато се умножат, дават оригиналното уравнение. В нашия пример, първият член x 2 (\displaystyle x^(2))може да се разложи на x*x. Направете следния запис: (x)(x) = 0
  - В нашия пример прихващането -6 може да бъде разложено на множители, както следва: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - В нашия пример вторият член е x (или 1x). Добавете всяка двойка коефициенти за прихващане (-6 в нашия пример), докато получите 1. В нашия пример правилната двойка фактори за прихващане са -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), защото − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Попълнете пропуските с намерената двойка числа: .
6. Не забравяйте за втората пресечна точка на двете графики.Ако решите проблема бързо и не много внимателно, можете да забравите за втората пресечна точка. Ето как да намерите координатите "x" на две пресечни точки:
  - Пример (факторинг). Ако в уравнението (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)един от изразите в скоби ще бъде равен на 0, тогава цялото уравнение ще бъде равно на 0. Следователно можем да го запишем така: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) И x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (тоест открихте два корена на уравнението).
  - Пример (използвайте формула или пълен квадрат). Ако използвате един от тези методи, решението ще се покаже Корен квадратен. Например, уравнението от нашия пример ще приеме формата x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Не забравяйте, че когато вземете корен квадратен, ще получите две решения. в нашия случай: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), И 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Така че запишете две уравнения и намерете две x стойности.
7. Графиките се пресичат в една точка или изобщо не се пресичат.Такива ситуации възникват, когато са изпълнени следните условия:
  - Ако графиките се пресичат в една точка, тогава квадратното уравнение се разлага на равни фактори, например (x-1) (x-1) = 0, а коренът квадратен от 0 се появява във формулата ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). В този случай уравнението има само едно решение.
  - Ако графиките изобщо не се пресичат, тогава уравнението не се разлага на множители и квадратният корен от отрицателно число се появява във формулата (например − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). В този случай напишете в отговора, че няма решение.

Това е втората част от моята статия, посветена на изчислителната геометрия. Мисля, че тази статия ще бъде по-интересна от предишната, тъй като пъзелите ще бъдат малко по-трудни.

Да започнем с относителна позицияточки спрямо права, лъч и отсечка.

Задача №1

Определете относителното положение на точката и линията: лежи над линията, на линията, под линията.

Решение
Ясно е, че ако правата линия е дадена от нейното уравнение ax + by + c = 0, тогава няма какво да се решава тук. Достатъчно е да замените координатите на точката в уравнението на права линия и да проверите на какво е равно. Ако е по-голямо от нула, тогава точката е в горната полуравнина, ако е равна на нула, тогава точката е на правата, а ако е по-малка от нула, тогава точката е в долната полуравнина. По-интересен е случаят, когато правата е дадена от координатите на две точки, да ги наречем P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). В този случай може спокойно да се намерят коефициентите a, b и c и да се приложи предходното разсъждение. Но първо трябва да помислим, трябва ли ни? Разбира се, че не! Както казах, изкривеният продукт е просто скъпоценен камък на изчислителната геометрия. Нека го приложим. Известно е, че изкривеното произведение на два вектора е положително, ако въртенето от първия вектор към втория е обратно на часовниковата стрелка, равно на нула, ако векторите са колинеарни и отрицателно, ако въртенето е по посока на часовниковата стрелка. Следователно е достатъчно да изчислим изкривения продукт на векторите P 1 P 2 и P 1 M и да направим заключение въз основа на неговия знак.

Задача №2

Определете дали една точка принадлежи на лъч.

Решение
Нека си спомним какво е лъч: лъчът е права линия, ограничена от точка от едната страна и безкрайна от другата. Тоест, лъчът е даден от някаква начална точка и всяка точка, лежаща върху него. Нека точката P 1 (x 1 , y 1) е началото на лъча, а P 2 (x 2 , y 2) е всяка точка, принадлежаща на лъча. Ясно е, че ако една точка принадлежи на лъч, то тя принадлежи и на правата, минаваща през тези точки, но не и обратното. Следователно принадлежността към права е необходимо, но не и достатъчно условие за принадлежност към лъч. Следователно не можем да избегнем проверката на изкривения продукт. За достатъчно условие е необходимо също да се изчисли скаларното произведение на същите вектори. Ако е по-малко от нула, тогава точката не принадлежи на лъча; ако не е отрицателна, тогава точката лежи върху лъча. Защо така? Нека разгледаме чертежа.

И така, за да лежи точка M(x, y) върху лъча с начална точка P 1 (x 1 , y 1), където P 2 (x 2 , y 2) лежи върху лъча, е необходимо и достатъчна за изпълнение на две условия:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 е скаларното произведение (точката лежи върху лъча)

Задача №3

Определете дали дадена точка принадлежи на сегмент.

Решение
Нека точките P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) са краищата на дадения сегмент. Отново необходимо условиепринадлежността на точка към отсечка е нейната принадлежност към права линия, минаваща през P 1 , P 2 . След това трябва да определим дали точката лежи между точките P 1 и P 2 , за това ни помага скаларното произведение на векторите само този път други: (MP 1 , MP 2). Ако е по-малко или равно на нула, тогава точката лежи върху отсечката, в противен случай е извън отсечката. Защо така? Нека разгледаме снимката.

И така, за да може точката M(x, y) да лежи върху отсечка с краища P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2), е необходимо и достатъчно да се изпълнят условията:
1. \u003d 0 - изкривен продукт (точката лежи на линията)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – произведение (точката е между P 1 и P 2)

Задача №4

Относителното положение на две точки спрямо права линия.

Решение
В тази задача е необходимо да се определят две точки от едната или от противоположните страни на права линия.

Ако точките са от противоположните страни на права линия, тогава изкривените продукти имат различни знаци, така че техният продукт е отрицателен. Ако точките лежат от една и съща страна по отношение на правата линия, тогава знаците на изкривените продукти съвпадат, което означава, че техният продукт е положителен.
Така:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – точките лежат от една и съща страна.
3. * = 0 - една (или две) от точките лежи на права линия.

Между другото, проблемът за определяне на наличието на пресечна точка на права и сегмент се решава по абсолютно същия начин. По-точно, това е един и същ проблем: сегмент и права линия се пресичат, когато краищата на отсечката са от различни страни спрямо правата линия или когато краищата на сегмента лежат върху правата линия, тоест е необходимо да изисква * ≤ 0.

Задача №5

Определете дали две прави се пресичат.

Решение
Ще приемем, че линиите не съвпадат. Ясно е, че правите не се пресичат само ако са успоредни. Следователно, след като намерим условието за паралелизъм, можем да определим дали правите се пресичат.
Да предположим, че линиите са дадени от техните уравнения a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Тогава условието за успоредни прави е, че a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Ако линиите са дадени от точки P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), тогава условието тъй като техният паралелизъм е в проверка на изкривения продукт на векторите P 1 P 2 и M 1 M 2: ако е равен на нула, тогава правите са успоредни.

Като цяло, когато линиите са дадени от техните уравнения, ние също проверяваме изкривения продукт на векторите (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2), които се наричат вектори за посока.

Задача №6

Определете дали две отсечки се пресичат.

Решение
Това е задачата, която наистина харесвам. Сегментите се пресичат, когато краищата на всеки сегмент лежат от противоположните страни на другия сегмент. Нека разгледаме снимката:

И така, трябва да проверим дали краищата на всеки от сегментите лежат от противоположните страни на относителните краища на другия сегмент. Използваме изкривения продукт на векторите. Вижте първата снимка: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Следователно трябва да направим още една проверка, а именно: дали поне единият край на всеки сегмент принадлежи на друг (принадлежащ на точка от сегмент). Този проблем вече сме го решили.

Така че, за да имат сегментите общи точки, е необходимо и достатъчно:
1. Краищата на сегментите лежат от различни страни спрямо друг сегмент.
2. Поне един от краищата на един сегмент принадлежи на друг сегмент.

Задача №7

Разстоянието от точка до права.

Решение
Нека правата е дадена от две точки P 1 (x 1, y 1) и P 2 (x 2, y 2).

В предишната статия казахме, че геометрично изкривеният продукт е ориентираната площ на паралелограма, така че S P 1 P 2 M = 0,5*. От друга страна, всеки ученик знае формулата за намиране на площта на триъгълник: половината от основата умножена по височината.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Приравнявайки тези области, намираме

Модуло е взето, защото първата зона е ориентирана.

Ако правата е дадена от уравнението ax + by + c = 0, тогава уравнението на правата, минаваща през точка M, перпендикулярна на дадената права, е: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Сега можете лесно да решите системата от получените уравнения, да намерите тяхната пресечна точка и да изчислите разстоянието от началната точка до намерената: то ще бъде точно ρ = (ax 0 + по 0 + c) / √ (a 2 + b 2).

Задача №8

Разстоянието от точката до лъча.

Решение
Този проблем се различава от предишния по това, че в този случай може да се случи, така че перпендикулярът от точката да не пада върху лъча, а да падне върху неговото продължение.

В случай, че перпендикулярът не пада върху гредата, е необходимо да се намери разстоянието от точката до началото на лъча - това ще бъде отговорът на проблема.

Как да определим дали перпендикулярът пада върху лъча или не? Ако перпендикулярът не пада върху лъча, тогава ъгълът MP 1 P 2 е тъп, в противен случай е остър (прав). Следователно, по знака на скаларното произведение на векторите можем да определим дали перпендикулярът пада върху лъча или не:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 перпендикулярът удря лъча

Задача №9

Разстоянието от точка до права.

Решение
Ние спорим подобно на предишния проблем. Ако перпендикулярът не пада върху отсечката, тогава отговорът е минималното от разстоянията от дадена точка до краищата на отсечката.

За да се определи дали перпендикулярът пада върху отсечката, е необходимо по аналогия с предишната задача да се използва скаларното произведение на векторите. Ако перпендикулярът не пада върху сегмента, тогава или ъгълът MP 1 P 2, или ъгълът MP 2 P 1 ще бъде тъп. Следователно, според знака скаларни произведенияможем да определим дали перпендикулярът пада върху сегмента или не:
Ако (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Определете броя на точките на права и окръжност.

Решение
Правата и окръжността могат да имат нула, една или две пресечни точки. Нека разгледаме снимките:

Тук, от чертежите, всичко е ясно. Имаме две пресечни точки, ако разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-малко от радиуса на окръжността. Една точка на контакт, ако разстоянието от центъра до правата е равно на радиуса. И накрая, няма пресечна точка, ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността. Тъй като задачата за намиране на разстоянието от точка до права вече е решена от нас, този проблем също е решен.

Задача №11

Взаимно подреждане на два кръга.

Решение
Възможни случаи на подреждане на кръгове: пресичат се, докосват, не се пресичат.

Помислете за случая, когато кръговете се пресичат и намерете площта на тяхното пресичане. Много обичам този проблем, защото прекарах доста време за решаването му (беше много отдавна - през първата година).

Нека сега припомним какво представляват сектор и сегмент.

Пресечната точка на окръжностите се състои от два сегмента O 1 AB и O 2 AB.

Изглежда, че е необходимо да се сумират площите на тези сегменти и това е всичко. Всичко обаче не е толкова просто. Също така е необходимо да се определи дали тези формули винаги са верни. Оказва се, че не!

Да разгледаме случая, когато центърът на втория кръг O 2 съвпада с точката C. В този случай d 2 = 0 и приемаме α = π за стойността на α. В този случай имаме полукръг с площ 1/2 πR 2 2 .

Сега разгледайте случая, когато центърът на втория кръг O 2 е между точките O 1 и C. В този случай получаваме отрицателна стойност на d 2 . Използването на отрицателна стойност на d 2 води до отрицателна стойноста. В този случай е необходимо да добавите 2π към α за верния отговор.

Заключение

Е, това е всичко. Ние не разгледахме всички, но най-често срещаните проблеми на изчислителната геометрия относно относителното положение на обектите.

Надявам се да ви е харесало.

За да разрешим проблема, го разделяме на следните етапи:

Разглеждане на проблема от страната на многомерното пространство.
Разглеждане на проблема от страната на двумерното пространство.
Изчисляване на броя на пресечните точки.

Разглеждане на проблема от страната на многомерното пространство

Да кажем, че линиите са в триизмерно пространство, тогава те може да не са успоредни една на друга в една от равнините и да стоят отделно една от друга в другата равнина. Това означава, че такива линии ще бъдат по двойки неуспоредни и няма да имат пресечни точки.

Разглеждане на проблема от страната на двумерното пространство

В двуизмерно пространство (равнина) две прави не са успоредни, което означава, че те задължително имат една и само една пресечна точка. По условие линиите не минават през една (обща) пресечна точка, следователно, тъй като линиите не са двойно успоредни, всяка от тях задължително пресича останалите.

Изчисляване на броя на пресечните точки

При добавяне на нова неуспоредна линия към равнината ще бъдат добавени точки на пресичане с тези линии, които вече са били нанесени на равнината. Следователно две прави дават 1 пресечна точка. Като добавим трета линия, получаваме още 2 пресечни точки с двете вече начертани линии; добавяйки четвъртата права линия, получаваме още 3 пресечни точки; пета - още 4 пресечни точки. Така общо получаваме:

1 + 2 + 3 + 4 = 10 пресечни точки

Отговор: 1) многомерно пространство - 0 пресечни точки; 2) двумерно пространство - 10 точки на пресичане.

Две прави имат една пресечна точка. Като добавим още една линия към тях, получаваме още 2 пресечни точки с всяка от тези две прави. Като добави още една линия, тя допълнително ще даде толкова пресечни точки, колкото вече е имало линии, т.е. още 3. И така нататък. Всеки n-ти ред дава допълнителни (n-1) точки на пресичане с (n-1) линии.

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Всичко по-горе е вярно, ако нито една от 3 линии няма 1 обща пресечна точка.

Ако все пак правите могат да се пресичат в една точка, но не всички наведнъж, тогава като поставим 4 прави със звезда, имаме 1 от пресечните им точки, а като добавим 5-та линия, получаваме още 4 точки. В този случай 5 линии ще имат 5 общи точки на пресичане.

Отговор: 10 точки на пресичане ще се образуват от 5 неуспоредни прави, когато повече от 2 прави не се пресичат в една точка. Или 5 точки на пресичане, ако повече от две прави могат да се пресичат в една точка.