Уравнение на равнината. Как да напиша уравнение за равнина?
Взаимна договореностсамолети. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от "плоската" геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да разберете темата, човек трябва да разбира добре вектори, освен това е желателно да сте запознати с геометрията на самолета - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци светът на 2D се отваря със статия Уравнение на права линия върху равнина. Но сега Батман слезе от телевизора с плосък екран и излита от космодрума Байконур.

Нека започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана като успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само част от него. На практика освен паралелограма се рисува и овал или дори облак. По технически причини за мен е по-удобно да изобразя самолета по този начин и в тази позиция. Истински самолети, които ще разгледаме в практически примери, може да бъде подредено както желаете - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, придавайки на самолета всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Нотация: обичайно е самолетите да се обозначават с малки гръцки букви, очевидно, за да не ги бъркате с направо в самолетаили с право в пространството. Свикнал съм да използвам буквата. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка. Въпреки че, дупка самолет, със сигурност е много смешно.

В някои случаи е удобно да използвате същото гръцки буквис индекси, например, .

Очевидно равнината се определя еднозначно от три различни точкине лежат на една и съща права линия. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - според принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са затворени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам контекстно меню:

• Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да се бавим в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има вида , където коефициентите едновременно са различни от нула.

Редица теоретични изчисления и практически проблеми са валидни както за обичайната ортонормирана база, така и за афинната база на пространството (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормирана основа и декартова правоъгълна координатна система.

А сега нека тренираме малко пространствено въображение. Всичко е наред, ако имате лошо, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква практика.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например, като това:

Още веднъж повтарям, че самолетът продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от него.

Помислете за най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем дадено уравнение? Помислете за това: „Z“ ВИНАГИ, за всякакви стойности на „X“ и „Y“ е равно на нула. Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето е ясно видимо, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
е уравнението на координатната равнина ;
е уравнението на координатната равнина.

Нека да усложним малко задачата, да разгледаме равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека препишем уравнението във вида: . Как да го разберем? "X" е ВИНАГИ, за всяка стойност на "y" и "z" е равно на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например равнината е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната равнина;
- уравнението на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Добавяне на членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест "Z" може да бъде всичко. Какво означава? "X" и "Y" са свързани чрез съотношение, което чертае определена права линия в равнината (ще разпознаете уравнение на права линия в равнина?). Тъй като Z може да бъде всичко, тази линия се „възпроизвежда“ на всяка височина. По този начин уравнението дефинира равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос;
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще преминат директно през съответните оси. Например класическата "пряка пропорционалност":. Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "z" е всяко). Заключение: равнината, дадена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през началото. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява даденото уравнение.

И накрая, случаят, който е показан на чертежа: - равнината е приятел с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да се разбере информацията, е необходимо да се учи добре линейни неравенства в равнинатазащото много неща ще бъдат подобни. Параграфът ще бъде кратък преглед с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението дефинира равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Съвсем ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намеря единичния вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекивекторна координата, разделена на дължина на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: , което се изискваше за проверка.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно косинусите на посоката на вектора:

Нека се отклоним от разглобения проблем: когато ви се даде произволен ненулев вектор , а от условието се изисква да се намери косинус на посоката му (вижте последните задачи на урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате и единичен вектор, колинеарен на дадения. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта от намиране на единичен нормален вектор възниква в някои задачи на математическия анализ.

Разбрахме риболова на нормалния вектор, сега ще отговорим на обратния въпрос:

Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция на нормален вектор и точка е добре позната от мишената за дартс. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката си.

Уравнението на равнина, преминаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата:

Тази статия дава представа как да се напише уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в триизмерно пространство, перпендикулярно на дадена права. Нека анализираме горния алгоритъм, като използваме примера за решаване на типични проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка от пространството, перпендикулярна на дадена права

Нека в него са дадени триизмерно пространство и правоъгълна координатна система O x y z. Дадени са също точката M 1 (x 1, y 1, z 1), правата a и равнината α, минаваща през точката M 1, перпендикулярна на правата a. Необходимо е да се запише уравнението на равнината α.

Преди да продължим с решаването на този проблем, нека си припомним теоремата за геометрията от програмата за 10 - 11 клас, която гласи:

Определение 1

Една равнина минава през дадена точка в триизмерното пространство и е перпендикулярна на дадена права.

Сега помислете как да намерите уравнението на тази единствена равнина, минаваща през началната точка и перпендикулярна на дадената права.

Възможно е да се напише общото уравнение на равнина, ако са известни координатите на точка, принадлежаща на тази равнина, както и координатите на нормалния вектор на равнината.

Съгласно условието на задачата ни са дадени координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината α. Ако определим координатите на нормалния вектор на равнината α, тогава ще можем да напишем желаното уравнение.

Нормалният вектор на равнината α, тъй като е различен от нула и лежи на правата a, перпендикулярна на равнината α, ще бъде всеки насочващ вектор на правата a. И така, задачата за намиране на координатите на нормалния вектор на равнината α се трансформира в задача за определяне на координатите на насочващия вектор на правата линия a .

Определянето на координатите на насочващия вектор на правата а може да се извърши различни методи: зависи от опцията за определяне на права линия a в началните условия. Например, ако правата a в условието на задачата е дадена от канонични уравнения от вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрични уравнения от вида:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

тогава насочващият вектор на правата линия ще има координати a x, a y и a z. В случай, когато правата линия a е представена от две точки M 2 (x 2, y 2, z 2) и M 3 (x 3, y 3, z 3), тогава координатите на вектора на посоката ще бъдат определени като (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Определение 2

Алгоритъм за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права:

Определете координатите на насочващия вектор на правата линия a: a → = (a x, a y, a z) ;

Ние дефинираме координатите на нормалния вектор на равнината α като координатите на насочващия вектор на правата линия a:

n → = (A , B , C) , където A = a x , B = a y , C = a z;

Пишем уравнението на равнината, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и имаща нормален вектор n→=(A, B, C) във формата A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Това ще бъде изискваното уравнение на равнина, която минава през дадена точка в пространството и е перпендикулярна на дадена права.

Полученото общо уравнение на равнината: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 дава възможност да се получи уравнението на равнината на сегменти или нормалното уравнение на равнината.

Нека решим някои примери с помощта на алгоритъма, получен по-горе.

Пример 1

Дадена е точка M 1 (3, - 4, 5), през която минава равнината, като тази равнина е перпендикулярна на координатната права O z.

Решение

векторът на посоката на координатната линия O z ще бъде координатният вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следователно нормалният вектор на равнината има координати (0 , 0 , 1) . Нека напишем уравнението на равнина, преминаваща през дадена точка M 1 (3, - 4, 5), чийто нормален вектор има координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Отговор: z - 5 = 0 .

Помислете за друг начин за решаване на този проблем:

Пример 2

Равнина, която е перпендикулярна на правата O z, ще бъде дадена от непълно общо уравнение на равнината от вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Нека дефинираме стойностите на C и D: тези, за които равнината минава през дадена точка. Заместваме координатите на тази точка в уравнението C z + D = 0 , получаваме: C · 5 + D = 0 . Тези. числа, C и D са свързани с - D C = 5 . Вземайки C \u003d 1, получаваме D = - 5.

Заменете тези стойности в уравнението C z + D = 0 и получете необходимото уравнение за равнина, перпендикулярна на правата O z и минаваща през точката M 1 (3, - 4, 5) .

Ще изглежда така: z - 5 = 0.

Отговор: z - 5 = 0 .

Пример 3

Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото и перпендикулярна на правата x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Въз основа на условията на задачата може да се твърди, че водещият вектор на дадена права линия може да се приеме като нормален вектор n → на дадена равнина. Така: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка O (0, 0, 0) и имаща нормален вектор n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Получихме необходимото уравнение за равнината, минаваща през началото, перпендикулярно на дадената права.

Отговор:- 3x - 7y + 2z = 0

Пример 4

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z в триизмерно пространство, тя съдържа две точки A (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Равнината α минава през точка A, перпендикулярна на правата AB. Необходимо е да се състави уравнението на равнината α на отсечки.

Решение

Равнината α е перпендикулярна на правата A B, тогава векторът A B → ще бъде нормален вектор на равнината α. Координатите на този вектор се определят като разлика между съответните координати на точки B (3, - 2, 4) и A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общото уравнение на равнината ще бъде записано в следния вид:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Сега съставяме желаното уравнение на равнината в сегментите:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Отговор:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Трябва също да се отбележи, че има проблеми, чието изискване е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени равнини. Най-общо решението на този проблем е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, тъй като две пресичащи се равнини определят права линия.

Пример 5

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в нея е точка M 1 (2, 0, - 5) . Дадени са и уравненията на две равнини 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z - 1 = 0, които се пресичат по правата линия a . Необходимо е да се състави уравнение за равнина, минаваща през точката M 1 перпендикулярно на правата a.

Решение

Нека определим координатите на насочващия вектор на правата линия a . Той е перпендикулярен както на нормален вектор n 1 → (3 , 2 , 0) на равнината n → (1 , 0 , 2), така и на нормалния вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 на равнината x + 2 z - 1 = 0 .

Тогава за насочващия вектор α → права линия a вземаме векторното произведение на векторите n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Така векторът n → = (4, - 6, - 2) ще бъде нормален вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Записваме желаното уравнение на равнината:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека е необходимо да се намери уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права линия. Означавайки техните радиус вектори с и текущия радиус вектор с , можем лесно да получим желаното уравнение във векторна форма. Всъщност векторите трябва да са компланарни (всички те лежат в желаната равнина). Следователно векторно-скаларното произведение на тези вектори трябва да е равно на нула:

Това е уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, във векторна форма.

Обръщайки се към координатите, получаваме уравнението в координати:

Ако трите дадени точки лежат на една и съща права линия, тогава векторите ще бъдат колинеарни. Следователно съответните елементи от последните два реда на детерминантата в уравнение (18) биха били пропорционални и детерминантата би била идентично равна на нула. Следователно, уравнение (18) ще стане идентичност за всякакви стойности на x, y и z. Геометрично това означава, че през всяка точка от пространството минава равнина, в която също лежат три дадени точки.

Забележка 1. Същият проблем може да се реши без използване на вектори.

Обозначавайки координатите на трите дадени точки, съответно, чрез записваме уравнението на всяка равнина, минаваща през първата точка:

За да се получи уравнението на желаната равнина, трябва да се изисква уравнение (17) да бъде удовлетворено от координатите на другите две точки:

От уравнения (19) е необходимо да се определят съотношенията на два коефициента към третия и да се въведат намерените стойности в уравнение (17).

Пример 1. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точки.

Уравнението за равнина, минаваща през първата от тези точки, ще бъде:

Условията равнината (17) да премине през две други точки и първата точка са:

Като добавим второто уравнение към първото, получаваме:

Замествайки във второто уравнение, получаваме:

Замествайки в уравнение (17) вместо A, B, C, съответно 1, 5, -4 (пропорционални на тях числа), получаваме:

Пример 2. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Уравнението на всяка равнина, минаваща през точката (0, 0, 0), ще бъде]

Условията за преминаване на тази равнина през точките (1, 1, 1) и (2, 2, 2) са:

Намалявайки второто уравнение с 2, виждаме, че за да определим двете неизвестни, отношението има едно уравнение с

От тук получаваме. Замествайки сега в уравнението на равнината вместо неговата стойност, намираме:

Това е уравнението на необходимата равнина; зависи от произволното

количества B, C (а именно от отношението, т.е. има безкраен брой равнини, минаващи през три дадени точки (три дадени точки лежат на една права линия).

Забележка 2. Задачата за прокарването на равнина през три дадени точки, които не лежат на една права линия, се решава лесно в общ изгледако използвате детерминанти. Всъщност, тъй като в уравнения (17) и (19) коефициентите A, B, C не могат да бъдат едновременно равни на нула, тогава, разглеждайки тези уравнения като хомогенна система с три неизвестни A, B, C, пишем необходимо и достатъчно условие за съществуването на решение на тази система, различно от нула (част 1, гл. VI, § 6):

Разширявайки тази детерминанта с елементите на първия ред, получаваме уравнение от първа степен по отношение на текущите координати, което ще бъде удовлетворено, по-специално, от координатите на трите дадени точки.

Това последното също може да се провери директно, ако заместим координатите на някоя от тези точки вместо в уравнението, написано с детерминанта. От лявата страна се получава детерминанта, в която или елементите на първия ред са нула, или има два еднакви реда. Така формулираното уравнение представлява равнина, минаваща през три дадени точки.

13. Ъгъл между равнините, разстояние от точка до равнина.

Нека равнините α и β се пресичат по правата c.
Ъгълът между равнините е ъгълът между перпендикулярите на линията на тяхното пресичане, начертан в тези равнини.

С други думи, в равнината α начертаваме права, перпендикулярна на c. В равнината β - права b, също перпендикулярна на c. Ъгълът между равнините α и β е равен на ъгъла между правите a и b.

Имайте предвид, че когато две равнини се пресичат, всъщност се образуват четири ъгъла. Виждате ли ги на снимката? Като ъгъл между равнините, който вземаме пикантноинжекция.

Ако ъгълът между равнините е 90 градуса, тогава равнините перпендикулярно,

Това е определението за перпендикулярност на равнините. При решаване на задачи по стереометрия също използваме знак за перпендикулярност на равнините:

Ако равнината α минава през перпендикуляра на равнината β, тогава равнините α и β са перпендикулярни.

разстояние от точка до равнина

Помислете за точка T, дадена от нейните координати:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Помислете също за равнината α, дадено от уравнението:

Ax + By + Cz + D = 0

Тогава разстоянието L от точка T до равнината α може да се изчисли по формулата:

С други думи, ние заместваме координатите на точката в уравнението на равнината и след това разделяме това уравнение на дължината на нормалния вектор n към равнината:

Полученото число е разстоянието. Нека видим как тази теорема работи на практика.

Вече изведохме параметричните уравнения на права линия в равнина, нека получим параметричните уравнения на права линия, която е дадена в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство.

Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в триизмерно пространство Oxyz. Нека дефинираме права линия а(вижте раздела как да дефинирате права линия в пространството), като посочите насочващия вектор на права линия и координатите на някаква точка от правата . Ще започнем от тези данни при съставянето на параметрични уравнения на права линия в пространството.

Нека е произволна точка в триизмерно пространство. Ако извадим от координатите на точката Мсъответните координати на точката М 1, тогава ще получим координатите на вектора (вижте статията за намиране на координатите на вектора по координатите на точките на неговия край и начало), т.е. .

Очевидно наборът от точки дефинира права аако и само ако векторите и са колинеарни.

Нека запишем необходимото и достатъчно условие векторите да са колинеарни и : , къде е малко реално число. Полученото уравнение се нарича векторно-параметрично уравнение на права линияв правоъгълна координатна система Oxyzв триизмерно пространство. Векторно-параметричното уравнение на права линия в координатна форма има вида и представлява параметрични уравнения на правата линия а. Името "параметричен" не е случайно, тъй като координатите на всички точки от линията се задават с помощта на параметъра .

Нека дадем пример за параметрични уравнения на права линия в правоъгълна координатна система Oxyzв космоса: . Тук

15. Ъгъл между права линия и равнина. Точката на пресичане на права с равнина.

Всяко уравнение от първа степен по отношение на координатите x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

дефинира равнина и обратно: всяка равнина може да бъде представена с уравнение (3.1), което се нарича равнинно уравнение.

вектор н(A, B, C) ортогонална на равнината се нарича нормален векторсамолети. В уравнение (3.1) коефициентите A, B, C не са равни на 0 едновременно.

Специални случаи на уравнение (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - равнината минава през началото.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - равнината е успоредна на оста Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - равнината преминава през оста Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - равнината е успоредна на равнината Oyz.

Уравнения на координатна равнина: x = 0, y = 0, z = 0.

Може да се даде права линия в пространството:

1) като линия на пресичане на две равнини, т.е. система от уравнения:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) неговите две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава правата линия, минаваща през тях, се дава от уравненията:

3) точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1), която й принадлежи, и векторът а(m, n, p), s колинеарни. Тогава правата линия се определя от уравненията:

. (3.4)

Уравнения (3.4) се наричат канонични уравнения на правата.

вектор аНаречен направляващ вектор прав.

Получаваме параметричните уравнения на правата линия, като приравняваме всяко от отношенията (3.4) с параметъра t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + pt. (3.5)

Решаваща система (3.2) като система линейни уравненияотносително неизвестен хи г, стигаме до уравненията на правата линия в прогнозиили да редуцирани прави уравнения:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнения (3.6) може да се премине към каноничните уравнения, намирайки zот всяко уравнение и приравняване на получените стойности:

.

Може да се премине от общи уравнения (3.2) към канонични уравнения по друг начин, ако се намери някоя точка от тази права и нейния вектор на посоката н= [н 1 , н 2], където н 1 (A 1 , B 1 , C 1) и н 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормални вектори на дадените равнини. Ако един от знаменателите m,nили Рв уравнения (3.4) ще бъде нула, то числителят на съответната дроб трябва да бъде равен на нула, т.е. система

е равносилно на система ; такава права е перпендикулярна на оста x.

Система е еквивалентна на системата x = x 1 , y = y 1 ; правата линия е успоредна на оста Oz.

Пример 1.15. Напишете уравнението на равнината, като знаете, че точката A (1, -1,3) служи като основа на перпендикуляра, изтеглен от началото към тази равнина.

Решение.По условието на задачата, векторът ОА(1,-1,3) е нормален вектор на равнината, тогава нейното уравнение може да се запише като
x-y+3z+D=0. Замествайки координатите на точката A(1,-1,3), принадлежаща на равнината, намираме D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Така че x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Напишете уравнение за равнина, минаваща през оста Oz и образуваща ъгъл от 60 градуса с равнината 2x+y-z-7=0.

Решение.Равнината, преминаваща през оста Oz, се дава от уравнението Ax+By=0, където A и B не изчезват едновременно. Нека B не
е 0, A/Bx+y=0. Според формулата за косинус на ъгъла между две равнини

.

Решаване квадратно уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, намерете неговите корени
m 1 = 1/3, m 2 = -3, от което получаваме две равнини 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17.Напишете каноничните уравнения на правата линия:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение.Каноничните уравнения на правата линия имат вида:

където m, n, p- координати на насочващия вектор на правата линия, x1, y1, z1- координати на всяка точка, принадлежаща на правата. Правата линия се определя като пресечната линия на две равнини. За да се намери точка, принадлежаща на права линия, една от координатите е фиксирана (най-лесният начин е да се постави например x=0) и получената система се решава като система от линейни уравнения с две неизвестни. И така, нека x=0, тогава y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откъдето y=-1, z=1. Намерихме координатите на точката M (x 1, y 1, z 1), принадлежаща на тази права: M (0,-1,1). Насочващият вектор на права линия е лесно да се намери, като се знаят нормалните вектори на оригиналните равнини н 1 (5,1,1) и н 2(2,3,-2). Тогава

Каноничните уравнения на линията са: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Пример 1.18. В лъча, определен от равнините 2x-y+5z-3=0 и x+y+2z+1=0, намерете две перпендикулярни равнини, едната от които минава през точката M(1,0,1).

Решение.Уравнението на лъча, дефинирано от тези равнини, е u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, където u и v не изчезват едновременно. Пренаписваме уравнението на гредата, както следва:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

За да изберем равнина, минаваща през точка M от гредата, ние заместваме координатите на точка M в уравнението на гредата. Получаваме:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогава намираме уравнението на равнината, съдържаща M, като заместваме v = - u в уравнението на гредата:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Защото u¹0 (в противен случай v=0, а това противоречи на определението за греда), тогава имаме уравнението на равнината x-2y+3z-4=0. Втората равнина, принадлежаща на гредата, трябва да е перпендикулярна на нея. Пишем условието за ортогоналност на равнините:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.

Следователно уравнението на втората равнина има вида:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0

В този урок ще разгледаме как да използваме детерминанта за композиране равнинно уравнение. Ако не знаете какво е детерминант, преминете към първата част на урока - „Матрици и детерминанти». В противен случай рискувате да не разберете нищо в днешния материал.

Уравнение на равнина по три точки

Защо изобщо се нуждаем от уравнението на равнината? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло това уравнение е задължително. Следователно формулираме проблема:

Задача. Има три точки в пространството, които не лежат на една и съща права линия. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през тези три точки. И уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност искате да намерите.

Е, как да получим уравнението на равнината, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, която лесно се решава.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният изпит по математика показа, че вероятността да се направи изчислителна грешка е наистина голяма.

Затова най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и елегантни решения. И те го намериха! Вярно е, че приемането е по-вероятно висша математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък с учебници, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка и доказателства.

Уравнение на равнината през детерминанта

Стига глупости, да се захващаме с работата. Като начало, теорема за това как са свързани детерминантата на матрицата и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се проведе равнината: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да се запише по отношение на детерминанта:

Например, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат при проблеми с C2. Вижте колко бързо се брои всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминанта и го приравняваме на нула:

Отваряне на детерминанта:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Както можете да видите, при изчисляването на числото d, аз "изчистих" малко уравнението, така че променливите x , y и z да влязат в правилна последователност. Това е всичко! Уравнението на равнината е готово!

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Незабавно заменете координатите на точките в детерминанта:

Отново разширяване на детерминанта:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

И така, уравнението на равнината се получава отново! Отново на последната стъпка трябваше да сменя знаците в него, за да получа по-„красива“ формула. Не е необходимо да се прави това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решаване на проблема.

Както можете да видите, сега е много по-лесно да напишете уравнението на равнината. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминанта - и това е всичко, уравнението е готово.

Това може да е краят на урока. Много студенти обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминанта. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред само x . За да се справим най-накрая с това, нека проследим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата с детерминанта?

И така, нека да разберем откъде идва такова сурово уравнение с детерминант. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се срещат в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са маркирани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да съставим уравнението, трябва да изпишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Помислете за още една точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Вземаме произволна точка от първите три (например точка M ) и чертаем вектори от нея към всяка от трите оставащи точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Сега нека направим квадратна матрица от тези вектори и да приравним нейната детерминанта на нула. Координатите на векторите ще станат редовете на матрицата - и ще получим същия детерминант, който е посочен в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на кутията, изграден върху векторите MN , MK и MT, е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и редове на детерминанта

Детерминантите имат някои прекрасни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка да начертаем вектори. Следователно следните детерминанти дават същото равнинно уравнение като горното:

Можете също да размените редовете на детерминанта. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако ви е удобно:

Обърква някои, че един от редовете съдържа променливи x , y и z , които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Като замените числата в детерминанта, трябва да получите следната конструкция:

След това детерминантата се разширява по схемата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Вижте един пример. Той е последният в днешния урок. Умишлено ще разменя линиите, за да се уверя, че отговорът ще бъде същото уравнение на равнината.

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека направим стандартен детерминант и да го приравним на нула:

Отваряне на детерминанта:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0 .

Сега нека пренаредим няколко реда в детерминанта и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливи x, y, z не в долната част, а в горната част:

Нека отново разширим получената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Получихме точно същото равнинно уравнение: x + y + z − 2 = 0. Така че наистина не зависи от реда на редовете. Остава да запишем отговора.

И така, видяхме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на линиите. Възможно е да се направят подобни изчисления и да се докаже, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от другите точки.

В разгледания по-горе проблем използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). По принцип всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.