Определение. призма- това е полиедър, чиито върхове са разположени в две успоредни равнини и в същите две равнини има две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни и всички ръбове, които не лежат в тези равнините са успоредни.

Две равни лица се наричат основи на призма(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички други лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Оформят се всички странични лица страничната повърхност на призмата .

Всички страни на призмата са успоредни .

Ръбовете, които не лежат в основата, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, ЕЕ 1).

Диагонал на призмата се нарича сегмент, чиито краища са два върха на призмата, които не лежат на една от нейните лица (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна на двете основи едновременно, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в заобикалящия ред се посочват върховете на едната основа, а след това, в същия ред, върховете на другата; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, само върховете, лежащи в една основа са обозначени с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 основата е петоъгълник, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но тъй като такава призма има 7 лица, тогава тя хептаедър(2 лица са основите на призмата, 5 лица са паралелограми, са нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява частен изглед: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

Паралелепипед

кубоид- десен паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

,

където d е диагоналът на квадрата;
а - страна на квадрата.

Идеята за призмата се дава от:

• различни архитектурни структури;
• Детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски предмети и др.

Обща и странична повърхност на призмата

S пълен \u003d S страна + 2S основна,

където S пълен- обща площ, S страна- странична повърхност, S основно- базова площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна\u003d P главен * h,

където S странае площта на страничната повърхност на права призма,

P main - периметърът на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните страни са равни правоъгълници.

Странично реброе общата страна на две съседни странични лица

Височина на призматае отсечка, перпендикулярна на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и страничните й ръбове

Диагонален разрез- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагонален разрез на правилния четириъгълна призмае правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на страничните й ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са маркирани със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични повърхности AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сборът от площите на всички странични страни на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични повърхности (сумата от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагонал B 1 D
• Основен диагонал BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства на правилна четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страните са правоъгълници.
• Страничните лица са равни една на друга
• Страничните повърхности са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - дясно
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикулярно (ортогонално сечение), успоредно на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (виж по-горе свойствата на правилна четириъгълна призма) Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (сечение твърда геометрия - призма). Ето задачите, които предизвикват трудности при решаването им. Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. За указване на действието на извличане корен квадратенсимволът се използва при решаване на проблеми√ .

Задача.

Диагоналът на правилната призма се образува с диагонала на основата и височината на призмата правоъгълен триъгълник. Съответно, според Питагоровата теорема, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Отговор: 22 см

Задача

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, тогава страната на основата (означена като а) се намира от Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Височината на страничната повърхност (означена като h) тогава ще бъде равна на:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Общата повърхност ще бъде равна на сбора от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Раздел на математиката, който изучава свойствата на различни форми (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техните размери и относителна позиция. За удобство на преподаването геометрията е разделена на планиметрия и геометрия на твърдата фигура. В… … Енциклопедия на Collier

Геометрия на пространства с размерност, по-голяма от три; терминът се прилага за онези пространства, чиято геометрия първоначално е разработена за случай на три измерения и едва след това е обобщена до броя на измеренията n> 3, предимно евклидово пространство, ... ... Математическа енциклопедия

N размерна евклидова геометрия, обобщение на евклидовата геометрия към пространството Повече ▼измервания. Въпреки че физическото пространство е триизмерно, а човешките сетива са проектирани да възприемат три измерения, N е измерено ... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Pyramidatsu (значения). Надеждността на този раздел от статията е поставена под въпрос. Необходимо е да се провери верността на фактите, посочени в този раздел. Може да има обяснения на страницата за разговори... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, използвана в моделирането твърди вещества. Геометрията на структурните блокове често е, но не винаги, техника за моделиране в 3D графика и CAD. Позволява ви да създадете сложна сцена или ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) е технология, използвана при моделиране на твърди тела. Геометрията на структурните блокове често е, но не винаги, техника за моделиране в 3D графика и CAD. Тя ... ... Уикипедия

Този термин има други значения, вижте Обхват (значения). Обемът е адитивна функция на набор (мярка), която характеризира капацитета на област от пространство, която заема. Първоначално възникна и се прилага без стриктно ... ... Wikipedia

Тип куб Правилен полиедър Лице квадрат Върхове Ръбове Лица ... Wikipedia

Обемът е адитивна функция на набор (мярка), която характеризира капацитета на област от пространство, която заема. Първоначално той възниква и се прилага без строго определение по отношение на триизмерни тела на триизмерно евклидово пространство. ... ... Уикипедия.

Част от пространството, ограничена от колекция от краен брой равнинни многоъгълници (виж ГЕОМЕТРИЯ), свързани по такъв начин, че всяка страна на всеки многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник (наречен ... ... Енциклопедия на Collier

Книги

• Комплект маси. Геометрия. 10 клас. 14 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху дебел полиграфски картон с размери 680 х 980 мм. Брошура с насокиза учителя. Учебен албум от 14 листа...

призма. Паралелепипед

призмасе нарича полиедър, чиито две страни са равни n-ъгъла (основания) , лежащи в успоредни равнини, а останалите n лица са успоредни (странични ръбове) . Странично ребро призмата е страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата.

Нарича се призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите прав призма (фиг. 1). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на равнините на основите, тогава призмата се нарича наклонена . правилно Призмата е права призма, чиито основи са правилни многоъгълници.

Височинапризма се нарича разстоянието между равнините на основите. Диагонал Призмата е сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат на едно и също лице. диагонално сечение Нарича се разрез на призма от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице. Перпендикулярно сечение се нарича сечението на призмата от равнина, перпендикулярна на страничния ръб на призмата.

Площ на страничната повърхност призмата е сборът от площите на всички странични лица. Пълна площ се нарича сумата от площите на всички лица на призмата (т.е. сумата от площите на страничните лица и площите на основите).

За произволна призма формулите са верни:

където ле дължината на страничното ребро;

Х- височина;

П

В

S страна

S пълен

S основное площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За права призма следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

ле дължината на страничното ребро;

Х- височина.

ПаралелепипедНарича се призма, чиято основа е паралелограм. Нарича се паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите директен (фиг. 2). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основите, тогава паралелепипедът се нарича наклонена . Нарича се десен паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълна. Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички ръбове са равни куб.

Наричат ​​се лицата на паралелепипед, които нямат общи върхове противоположно . Дължините на ръбовете, излизащи от един връх, се наричат измервания паралелепипед. Тъй като кутията е призма, нейните основни елементи са дефинирани по същия начин, както са дефинирани за призмите.

Теореми.

1. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и я разполовяват.

2. В правоъгълен паралелепипед квадратът на дължината на диагонала е равен на сумата от квадратите на трите му измерения:

3. Всичките четири диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.

За произволен паралелепипед следните формули са верни:

където ле дължината на страничното ребро;

Х- височина;

Пе периметърът на перпендикулярното сечение;

В– Площ на перпендикулярно сечение;

S странае страничната повърхност;

S пълене общата повърхност;

S основное площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За десен паралелепипед следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

ле дължината на страничното ребро;

Хе височината на десния паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед следните формули са верни:

(3)

където стр- периметърът на основата;

Х- височина;

д- диагонал;

а, б, в– измервания на паралелепипед.

Правилните формули за куб са:

където ае дължината на реброто;

де диагоналът на куба.

Пример 1Диагоналът на правоъгълен кубоид е 33 dm и неговите измервания са свързани като 2: 6: 9. Намерете размерите на кубоида.

Решение.За да намерим размерите на паралелепипеда, използваме формула (3), т.е. фактът, че квадратът на хипотенузата на кубоид е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Означете с ккоефициент на пропорционалност. Тогава размерите на паралелепипеда ще бъдат равни на 2 к, 6ки 9 к. Записваме формула (3) за данните за проблема:

Решаване на това уравнение за к, получаваме:

Следователно размерите на паралелепипеда са 6 dm, 18 dm и 27 dm.

Отговор: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2Намерете обема на наклонена триъгълна призма, чиято основа е равностранен триъгълник със страна 8 cm, ако страничният ръб е равен на страната на основата и е наклонен под ъгъл 60º спрямо основата.

Решение . Нека направим чертеж (фиг. 3).

За да намерите обема на наклонена призма, трябва да знаете площта на нейната основа и височина. Площта на основата на тази призма е площта на равностранен триъгълник със страна 8 см. Нека го изчислим:

Височината на призмата е разстоянието между нейните основи. От върха НО 1 на горната основа спускаме перпендикуляра към равнината на долната основа НО 1 д. Дължината му ще бъде височината на призмата. Помислете за Д НО 1 АД: тъй като това е ъгълът на наклон на страничното ребро НО 1 НОкъм базовата равнина НО 1 НО= 8 см. От този триъгълник намираме НО 1 д:

Сега изчисляваме обема по формула (1):

Отговор: 192 см3.

Пример 3Страничният ръб на правилната шестоъгълна призма е 14 см. Площта на най-голямото диагонално сечение е 168 см 2. Намерете общата повърхност на призмата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 4)

Най-големият диагонален участък е правоъгълник AA 1 DD 1 , тъй като диагонала АДправилен шестоъгълник А Б В Г Д Ее най-големият. За да се изчисли страничната повърхност на призмата, е необходимо да се знае страната на основата и дължината на страничното ребро.

Познавайки площта на диагоналното сечение (правоъгълник), намираме диагонала на основата.

Защото тогава

От тогава АБ= 6 см.

Тогава периметърът на основата е:

Намерете площта на страничната повърхност на призмата:

Площта на правилен шестоъгълник със страна 6 см е:

Намерете общата повърхност на призмата:

Отговор:

Пример 4Основата на десен паралелепипед е ромб. Площите на диагоналните сечения са 300 cm 2 и 875 cm 2. Намерете площта на страничната повърхност на паралелепипеда.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 5).

Означете страната на ромба с а, диагоналите на ромба д 1 и д 2 , височината на кутията з. За да се намери страничната повърхност на прав паралелепипед, е необходимо периметърът на основата да се умножи по височината: (формула (2)). Периметър на основата p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, като ABCD- ромб. Н = АА 1 = з. Че. Трябва да се намери аи з.

Помислете за диагонални сечения. AA 1 SS 1 - правоъгълник, едната страна на който е диагонал на ромб AC = д 1 , втори - страничен ръб AA 1 = з, тогава

По същия начин за раздела BB 1 DD 1 получаваме:

Използвайки свойството на паралелограма, така че сумата от квадратите на диагоналите да е равна на сумата от квадратите на всичките му страни, получаваме равенството. Получаваме следното.

Полиедри

Основният обект на изследване на стереометрията са триизмерните тела. Тялое част от пространството, ограничено от някаква повърхност.

полиедърНарича се тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници. Полиедърът се нарича изпъкнал, ако лежи от едната страна на равнината на всеки плосък многоъгълник на неговата повърхност. Общата част на такава равнина и повърхността на полиедър се наричат ръб, край. Лицето на изпъкнал полиедър са плоски изпъкнали многоъгълници. Страните на лицата се наричат ръбове на полиедъра, и върховете върхове на полиедъра.

Например, кубът се състои от шест квадрата, които са неговите лица. Съдържа 12 ръба (страни на квадрати) и 8 върха (върхове на квадрати).

Най-простите полиедри са призми и пирамиди, които ще проучим по-нататък.

призма

Определение и свойства на призма

призмасе нарича полиедър, състоящ се от два плоски многоъгълника, лежащи в успоредни равнини, комбинирани чрез паралелно преместване, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези многоъгълници. Многоъгълниците се наричат основи на призма, а отсечките, свързващи съответните върхове на многоъгълниците са странични ръбове на призмата.

Височина на призматанаречено разстоянието между равнините на неговите основи (). Нарича се сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице диагонал на призмата(). Призмата се нарича n-въглищаако основата му е n-ъгълник.

Всяка призма има следните свойства, които следват от факта, че основите на призмата се комбинират чрез паралелен превод:

1. Основите на призмата са равни.

2. Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

Повърхността на призмата е съставена от основи и странична повърхност. Страничната повърхност на призмата се състои от паралелограми (това следва от свойствата на призмата). Площта на страничната повърхност на призмата е сумата от площите на страничните страни.

права призма

Призмата се нарича правако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите. В противен случай призмата се нарича наклонена.

Лицата на права призма са правоъгълници. Височината на правата призма е равна на страничните й повърхности.

пълна повърхностпризмие сборът от страничната повърхност и площите на основите.

Правилна призма се нарича дясна призма с правилен многоъгълник в основата.

Теорема 13.1. Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра и височината на призмата (или, еквивалентно, на страничния ръб).

Доказателство. Страничните страни на правата призма са правоъгълници, чиито основи са страните на многоъгълниците в основите на призмата, а височините са страничните ръбове на призмата. Тогава, по дефиниция, страничната повърхност е:

,

където е периметърът на основата на права призма.

Паралелепипед

Ако паралелограми лежат в основата на призма, тогава тя се нарича паралелепипед. Всички лица на паралелепипед са паралелограми. В този случай противоположните страни на паралелепипеда са успоредни и равни.

Теорема 13.2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и пресечната точка е разделена наполовина.

Доказателство. Да разгледаме два произволни диагонала, например, и . Защото лицата на паралелепипеда са паралелограми, а след това и , което означава, че според T около две прави линии, успоредни на третата . В допълнение, това означава, че линиите и лежат в една и съща равнина (равнината). Тази равнина пресича успоредни равнини и по успоредни линии и . По този начин четириъгълникът е успоредник и по свойството на успоредник, неговите диагонали и се пресичат и пресечната точка е разделена наполовина, което се изискваше да се докаже.

Нарича се десен паралелепипед, чиято основа е правоъгълник кубоид. Всички лица на кубоид са правоъгълници. Дължините на неуспоредните ръбове на кубоид се наричат ​​негови линейни размери(измервания). Има три размера (ширина, височина, дължина).

Теорема 13.3. В кубоид квадратът на всеки диагонал е равен на сумата от квадратите на трите му измерения (доказано чрез прилагане на Pythagorean T два пъти).

Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички ръбове са равни куб.

Задачи

13.1 Колко диагонала прави н- въглеродна призма

13.2 В наклонена триъгълна призма разстоянията между страничните ръбове са 37, 13 и 40. Намерете разстоянието между по-голямата странична повърхност и противоположния страничен ръб.

13.3 През страната на долната основа на правилна триъгълна призма е начертана равнина, която пресича страничните страни по сегменти, ъгълът между които е . Намерете ъгъла на наклона на тази равнина спрямо основата на призмата.