Определяне на обратната функция на нейните свойства и графика. Взаимно обратни функции

Нека множествата $X$ и $Y$ са включени в множеството от реални числа. Нека представим концепцията за обратима функция.

Определение 1

Функция $f:X\to Y$, преобразуваща множество $X$ в множество $Y$, се нарича обратима, ако за който и да е елемент $x_1,x_2\in X$ следва от факта, че $x_1\ne x_2$, че $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Сега можем да въведем понятието обратна функция.

Определение 2

Нека функцията $f:X\to Y$, преобразуваща множеството $X$ в множеството $Y$, е обратима. Тогава функцията $f^(-1):Y\to X$ преобразува множеството $Y$ в множеството $X$ и се дефинира от условието $f^(-1)\left(y\right)=x$ се нарича обратен за $f( x)$.

Нека формулираме теоремата:

Теорема 1

Нека функцията $y=f(x)$ е дефинирана, монотонно нарастваща (намаляваща) и непрекъсната в някакъв интервал $X$. Тогава, в съответния интервал $Y$ на стойностите на тази функция, тя има обратна функция, която също е монотонно нарастваща (намаляваща) и непрекъсната на интервала $Y$.

Нека сега представим директно понятието за взаимно обратни функции.

Определение 3

В рамките на дефиниция 2 функциите $f(x)$ и $f^(-1)\left(y\right)$ се наричат ​​взаимно обратни функции.

Свойства на взаимно обратни функции

Нека функциите $y=f(x)$ и $x=g(y)$ са взаимно обратни, тогава

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$

Областта на домейн на функцията $y=f(x)$ е равна на областта на стойността на функцията $\ x=g(y)$. И домейнът на функцията $x=g(y)$ е равен на областта на стойността на функцията $\ y=f(x)$.

Графиките на функциите $y=f(x)$ и $x=g(y)$ са симетрични по отношение на правата $y=x$.

Ако една от функциите се увеличава (намалява), тогава другата функция също се увеличава (намалява).

Намиране на обратната функция

Решено е уравнението $y=f(x)$ по отношение на променливата $x$.

От получените корени се намират тези, които принадлежат на интервала $X$.

Намерените $x$ се приписват на числото $y$.

Пример 1

Намерете обратната функция за функцията $y=x^2$ на интервала $X=[-1,0]$

Тъй като тази функция е намаляваща и непрекъсната на интервала $X$, то на интервала $Y=$, който също е намаляващ и непрекъснат на този интервал (теорема 1).

Изчислете $x$:

\ \

Изберете подходящия $x$:

Отговор:обратна функция $y=-\sqrt(x)$.

Задачи за намиране на обратни функции

В тази част разглеждаме обратни функции за някои елементарни функции. Задачите ще се решават по схемата, дадена по-горе.

Пример 2

Намерете обратната функция за функцията $y=x+4$

Намерете $x$ от уравнението $y=x+4$:

Пример 3

Намерете обратната функция за функцията $y=x^3$

Решение.

Тъй като функцията е нарастваща и непрекъсната в цялата област на дефиниция, то според теорема 1 тя има обратна непрекъсната и нарастваща функция върху нея.

Намерете $x$ от уравнението $y=x^3$:

Намиране на подходящи стойности на $x$

Стойността в нашия случай е подходяща (тъй като обхватът е всички числа)

Предефинирайки променливите, получаваме, че обратната функция има формата

Пример 4

Намерете обратната функция за функцията $y=cosx$ на интервала $$

Решение.

Да разгледаме функцията $y=cosx$ на множеството $X=\left$. Той е непрекъснат и намаляващ върху множеството $X$ и преобразува множеството $X=\left$ в множеството $Y=[-1,1]$, следователно, по теоремата за съществуването на обратна непрекъсната монотонна функция, функцията $y=cosx$ в множеството $Y$ има обратна функция, която също е непрекъсната и се увеличава в множеството $Y=[-1,1]$ и преобразува множеството $[-1,1]$ към множеството $\left$.

Намерете $x$ от уравнението $y=cosx$:

Намиране на подходящи стойности на $x$

Предефинирайки променливите, получаваме, че обратната функция има формата

Пример 5

Намерете обратната функция за функцията $y=tgx$ на интервала $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Решение.

Да разгледаме функцията $y=tgx$ на множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Той е непрекъснат и нарастващ върху множеството $X$ и преобразува множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ върху множеството $Y =R$, следователно, според теоремата за съществуването на обратна непрекъсната монотонна функция, функцията $y=tgx$ в множеството $Y$ има обратна функция, която също е непрекъсната и се увеличава в множеството $Y=R $ и преобразува множеството $R$ в множеството $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Намерете $x$ от уравнението $y=tgx$:

Намиране на подходящи стойности на $x$

Предефинирайки променливите, получаваме, че обратната функция има формата

Какво е обратна функция? Как да намерим функцията, обратна на дадена?

Определение .

Нека функцията y=f(x) е дефинирана върху множеството D и E е множеството от нейните стойности. Обратна функция по отношение нафункция y=f(x) е функция x=g(y), която е дефинирана на множеството E и присвоява на всяко y∈E такава стойност x∈D, че f(x)=y.

По този начин областта на функцията y=f(x) е областта на обратната функция, а областта на y=f(x) е областта на обратната функция.

За да се намери функцията, обратна на дадената функция y=f(x), трябва :

1) Във формулата на функцията вместо y заместете x, вместо x - y:

2) От полученото равенство изразете y чрез x:

Намерете функцията, обратна на функцията y=2x-6.

Функциите y=2x-6 и y=0.5x+3 са взаимно обратни.

Графиките на директните и обратните функции са симетрични спрямо правата права y=x(половящи на I и III координатни четвъртини).

y=2x-6 и y=0,5x+3 - . Графиката на линейна функция е . За да начертаем права линия, вземаме две точки.



Възможно е еднозначно да се изрази y по отношение на x, когато уравнението x=f(y) има уникално решение. Това може да стане, ако функцията y=f(x) приеме всяка от нейните стойности в една точка от своя домейн на дефиниция (такава функция се нарича обратимо).

Теорема (необходимо и достатъчно условие за обратима функция)

Ако функцията y=f(x) е дефинирана и непрекъсната на числов интервал, то за да бъде функцията обратима е необходимо и достатъчно f(x) да бъде строго монотонна.

Освен това, ако y=f(x) се увеличава на интервала, тогава обратната на него функция също се увеличава на този интервал; ако y=f(x) намалява, тогава обратната функция също намалява.

Ако условието за обратимост не е изпълнено в цялата област на дефиниция, може да се отдели интервал, в който функцията само нараства или само намалява, и на този интервал да се намери функция, обратна на дадената.

Класическият пример е. Между

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - нечетна функция, графиката е симетрична спрямо точката O (0; 0).

arcsin x = 0 при x = 0.

arcsin x > 0 при x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x се увеличава за всяко x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Дъгов косинус

Косинусовата функция намалява на сегмента и приема всички стойности от -1 до 1. Следователно, за всяко число a, такова, че |a|1, има единичен корен в уравнението cosx=a на сегмента. Това число в се нарича аркосинус на числото a и се обозначава arcos a.

Определение . Дъговият косинус на числото a, където -1 a 1, е число от отсечката, чийто косинус е равен на a.

Имоти.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - функцията не е нито четна, нито нечетна.

   arccos x = 0 при x = 1

   arccos x > 0 при x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x намалява за всяко x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - намаляващ.

Арктангенс

Допирателната функция се увеличава на сегмента -
, следователно, според основната теорема, уравнението tgx \u003d a, където a е всяко реално число, има уникален корен x на интервала -. Този корен се нарича дъгова тангенс на числото a и се обозначава с arctga.

Определение. Дъгова тангенс на число аР това число се нарича х , чиято тангенс е a.

Имоти.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - функцията е нечетна, графиката е симетрична спрямо точката O (0; 0).

arctg x = 0 при x = 0

Функцията се увеличава за всяко x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Дъгова допирателна

Котангенсната функция на интервала (0;) намалява и приема всички стойности от R. Следователно, за всяко число a в интервала (0;) има един корен от уравнението ctg x = a. Това число a се нарича дъгова тангенс на числото a и се означава с arcctg a.

Определение. Дъговата тангенс на число a, където a R, е такова число от интервала (0;) , чийто котангенс е a.

Имоти.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - функцията не е нито четна, нито нечетна.

arcctg x = 0- не съществува.

Функция y = arcctg xнамалява за всеки х є Р

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Функцията е непрекъсната за всяко x є R.

2.3 Преобразувания на идентичност на изрази, съдържащи обратни тригонометрични функции

Пример 1 . Опростете израза:

но)
където

Решение. Нека сложим
. Тогава
И
Да намеря
, използваме релацията
Получаваме
Но . В този сегмент косинусът приема само положителни стойности. По този начин,
, т.е
където
.

б)

Решение.

в)

Решение. Нека сложим
. Тогава
И
Нека първо намерим, за което използваме формулата
, където
Тъй като косинусът приема само положителни стойности на този интервал, тогава
.

Цели на урока:

Образователни:

• да формират знания по нова тема в съответствие с програмния материал;
• да изследва свойството на обратимостта на функция и да научи как да намери функция, обратна на дадена;

Разработване:

• развиват умения за самоконтрол, предметна реч;
• овладеят концепцията за обратна функция и научат методите за намиране на обратна функция;

Образователна: за формиране на комуникативна компетентност.

Оборудване:компютър, проектор, екран, SMART Board интерактивна дъска, раздаващ материал (самостоятелна работа) за групова работа.

По време на занятията.

1. Организационен момент.

Цел – подготовка на учениците за работа в класната стая:

Определение за отсъстващ,

Отношение на учениците към работа, организация на вниманието;

Съобщение за темата и целта на урока.

2. Актуализиране на основните знания на учениците.предна анкета.

Цел - за установяване на правилността и осведомеността на изучавания теоретичен материал, повторението на обхванатия материал.<Приложение 1 >

Графика на функцията е показана на интерактивната дъска за ученици. Учителят формулира задачата - да разгледа графиката на функцията и да изброи изследваните свойства на функцията. Студентите изброяват свойствата на функция според проекта на изследването. Учителят, вдясно от графиката на функцията, записва наименуваните свойства с маркер на интерактивната дъска.

Свойства на функцията:

В края на изследването учителят съобщава, че днес на урока те ще се запознаят с още едно свойство на функцията - обратимостта. За смислено изучаване на нов материал учителят кани децата да се запознаят с основните въпроси, на които учениците трябва да отговорят в края на урока. Въпросите са написани на обикновена дъска и всеки ученик има листовка (раздава се преди урока)

1. Какво е обратима функция?
2. Всяка функция обратима ли е?
3. Каква е обратната дадена функция?
4. Как са свързани областта на дефиниция и наборът от стойности на функция и нейната обратна функция?
5. Ако функцията е дадена аналитично, как да дефинирате обратната функция с формула?
6. Ако дадена функция е дадена графично, как да се начертае нейната обратна функция?

3. Обяснение на нов материал.

Цел - да формират знания по нова тема в съответствие с програмния материал; да изследва свойството на обратимостта на функция и да научи как да намери функция, обратна на дадена; развиват предмета.

Учителят провежда представяне на материала в съответствие с материала на параграфа. На интерактивната дъска учителят сравнява графиките на две функции, чиито области на дефиниция и набори от стойности са еднакви, но една от функциите е монотонна, а другата не, като по този начин подвежда учениците под концепцията за обратима функция .

След това учителят формулира дефиницията на обратима функция и провежда доказателство на теоремата за обратимата функция, като използва графиката на монотонната функция на интерактивната дъска.

Определение 1: Извиква се функцията y=f(x), x X обратимо, ако приеме някоя от стойностите си само в една точка от множеството X.

Теорема: Ако функцията y=f(x) е монотонна на множеството X, тогава тя е обратима.

доказателство:

1. Нека функцията y=f(x)увеличава с хостави x 1 ≠ x 2- две точки от комплекта х.
2. За категоричност, нека х 1< х 2.
   Тогава от какво х 1< х 2следва това f(x 1) < f(x 2).
3. По този начин различни стойности на аргумента съответстват на различни стойности на функцията, т.е. функцията е обратима.

(По време на доказването на теоремата учителят прави всички необходими обяснения на чертежа с маркер)

Преди да формулира определението за обратна функция, учителят моли учениците да определят коя от предложените функции е обратима? Интерактивната дъска показва графики на функции и са написани няколко аналитично дефинирани функции:

Б)

ж) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учителят въвежда определението за обратна функция.

Определение 2: Нека обратима функция y=f(x)дефинирани на снимачната площадка хИ E(f)=Y. Нека съпоставим всеки гот Йтогава единственото значение х, при което f(x)=y.След това получаваме функция, която е дефинирана на Й, но хе обхватът на функцията

Тази функция е обозначена x=f -1 (y)и се нарича обратна на функцията y=f(x).

Студентите са поканени да направят заключение за връзката между областта на дефиниция и набора от стойности на обратните функции.

За да разгледа въпроса как да се намери обратната функция на дадено, учителят включи двама ученици. Предния ден децата получиха задача от учителя да анализират самостоятелно аналитичните и графичните методи за намиране на обратната дадена функция. Учителят е бил консултант при подготовката на учениците за урока.

Съобщение от първия ученик.

Забележка: монотонността на функция е достатъчноусловие за съществуване на обратна функция. Но не енеобходимо условие.

Ученикът даде примери за различни ситуации, когато функцията не е монотонна, а обратима, когато функцията не е монотонна и не е обратима, когато е монотонна и обратима

След това ученикът запознава учениците с метода за намиране на обратната функция, дадена аналитично.

Алгоритъм за намиране

1. Уверете се, че функцията е монотонна.
2. Изразете x по отношение на y.
3. Преименувайте променливи. Вместо x \u003d f -1 (y) те пишат y = f -1 (x)

След това решава два примера за намиране на функцията, обратна на даденото.

Пример 1:Покажете, че има обратна функция за функцията y=5x-3 и намерете нейния аналитичен израз.

Решение. Линейната функция y=5x-3 е дефинирана на R, нараства на R и нейният диапазон е R. Следователно, обратната функция съществува върху R. За да намерим нейния аналитичен израз, решаваме уравнението y=5x-3 по отношение на х; получаваме Това е желаната обратна функция. Определя се и се увеличава с R.

Пример 2:Покажете, че има обратна функция за функцията y=x 2 , x≤0, и намерете нейния аналитичен израз.

Функцията е непрекъсната, монотонна в своята област на дефиниция, следователно е обратима. След анализиране на областите на дефиниция и набора от стойности на функцията, се прави съответен извод за аналитичния израз за обратната функция.

Вторият ученик прави презентация за графиченкак да намерим обратната функция. В хода на обяснението си ученикът използва възможностите на интерактивната дъска.

За да получите графиката на функцията y=f -1 (x), обратна на функцията y=f(x), е необходимо да трансформирате графиката на функцията y=f(x) симетрично по отношение на правата линия y=x.

По време на обяснението на интерактивната дъска се изпълнява следната задача:

Построете графика на функция и графика на нейната обратна функция в една и съща координатна система. Запишете аналитичен израз за обратната функция.

4. Първична фиксация на новия материал.

Цел - да установи правилността и осъзнатост на разбирането на изучавания материал, да установи пропуски в първичното разбиране на материала, да ги коригира.

Учениците са разделени по двойки. Раздават им се листове със задачи, в които работят по двойки. Времето за изпълнение на работата е ограничено (5-7 минути). Една двойка ученици работи на компютъра, проекторът е изключен за това време и останалите деца не могат да видят как учениците работят на компютъра.

В края на времето (приема се, че по-голямата част от учениците са завършили работата) интерактивната дъска (проекторът се включва отново) показва работата на учениците, където по време на теста се изяснява, че задачата е изпълнена в двойки. При необходимост учителят провежда коригираща, разяснителна работа.

Самостоятелна работа по двойки<Приложение 2 >

5. Резултатът от урока.По въпросите, които бяха зададени преди лекцията. Обявяване на оценките за урока.

Домашна работа §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Алгебра и началото на анализа. 10 клас В 2 части за образователни институции (профилно ниво) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova и др.; изд. А. Г. Мордкович, М: Мнемозина, 2007

Взаимно обратни функции.

Нека функцията е строго монотонна (нарастваща или намаляваща) и непрекъсната в областта на дефиницията, обхвата на тази функция, след това на интервала се дефинира непрекъсната строго монотонна функция с диапазон от стойности, която е обратен за .

С други думи, има смисъл да се говори за обратната функция за функция на определен интервал, ако се увеличава или намалява на този интервал.

Функции е И ж се наричат ​​реципрочни.

Защо изобщо да разглеждаме концепцията за обратни функции?

Това се дължи на проблема с решаването на уравнения. Решенията са просто написани в термините на обратните функции.

Обмисли някои примери за намиране на обратни функции .

Нека започнем с линейни взаимно обратни функции.

Намерете обратната функция за.

Тази функция е линейна, нейната графика е права линия. Следователно функцията е монотонна в цялата област на дефиниция. Следователно ще търсим функцията, обратна на нея в целия домейн на дефиниция.

.

експресно х през г (с други думи, решете уравнението за х ).

- това е обратната функция, истината е тук г е аргумент и х е функцията на този аргумент. За да не се нарушават навиците в нотацията (това не е от основно значение), пренареждане на буквите х И г , ще напиша .

По този начин и са взаимно обратни функции.

Нека дадем графична илюстрация на взаимно обратни линейни функции.

Очевидно графиките са симетрични по отношение на правата линия. (половина на първата и третата четвърт). Това е едно от свойствата на взаимно обратните функции, което ще бъде разгледано по-долу.

Намерете обратната функция.

Тази функция е квадратна, графиката е парабола с връх в точка.

.

Функцията се увеличава като и намалява като . Това означава, че може да се търси обратната функция за дадена на един от двата интервала.

Нека тогава и, заменяйки x и y, получаваме обратна функция на даден интервал: .

Намерете обратната функция.

Тази функция е кубична, графиката е кубична парабола с връх в точка.

.

Функцията се увеличава при. Това означава, че е възможно да се търси обратна функция за дадена в целия домейн на дефиниция.

, и чрез размяна на x и y получаваме обратната функция.

Нека илюстрираме това на графика.

Да изброим свойства на взаимно обратни функции И.

И.

От първото свойство се вижда, че обхватът на функция съвпада с обхвата на функцията и обратно.

Графиките на взаимно обратни функции са симетрични спрямо права линия.

Ако се увеличава, значи се увеличава; ако намалява, значи намалява.

За дадена функция намерете обратната функция:

За дадена функция намерете обратната и начертайте дадените и обратните функции: Разберете дали има обратна функция за дадената функция. Ако да, тогава дефинирайте обратната функция аналитично, начертайте дадена и обратна функция: Намерете домейна и обхвата на функцията, обратна на функцията, ако:

1. Намерете обхвата на всяка от взаимно обратните функции и, ако техните диапазони са дадени:

Дали функциите са взаимно обратни, ако:

1. Намерете функцията, обратна на дадената. Начертайте в същата координатна система графиките на тези взаимно обратни функции:

   Тази функция обратна ли е на себе си: Дефинирайте функция, обратна на дадената, и начертайте нейната графика: