"теорията на вероятностите в задачите на изпита и oge". Прости проблеми в теорията на вероятностите

Представени към днешна дата в отворената банка от задачи на USE по математика (mathege.ru), чието решение се основава само на една формула, която е класическа дефиниция на вероятността.

Най-лесният начин да разберете формулата е с примери.
Пример 1В коша има 9 червени топки и 3 сини. Топчетата се различават само по цвят. На случаен принцип (без да търсим) получаваме един от тях. Каква е вероятността избраната по този начин топка да бъде синя?

Коментар.При проблеми с вероятностите се случва нещо (в този случай нашето действие на дърпане на топката), което може да има различен резултат- резултат. Трябва да се отбележи, че резултатът може да се разглежда по различни начини. „Извадихме топка“ също е резултат. „Извадихме синята топка“ е резултатът. „Изтеглихме тази конкретна топка от всички възможни топки“ – този най-малко обобщен поглед върху резултата се нарича елементарен изход. Именно елементарните резултати са предвидени във формулата за изчисляване на вероятността.

Решение.Сега изчисляваме вероятността да изберем синя топка.
Събитие А: "избраната топка се оказа синя"
Общ брой на всички възможни изходи: 9+3=12 (брой на всички топки, които можем да изтеглим)
Брой резултати, благоприятни за събитие A: 3 (броят на тези резултати, при които е настъпило събитие A - т.е. броят на сините топки)
Р(А)=3/12=1/4=0,25
Отговор: 0,25

Нека изчислим за същия проблем вероятността да изберем червена топка.
Общият брой на възможните резултати ще остане същият, 12. Броят на благоприятните резултати: 9. Желаната вероятност: 9/12=3/4=0,75

Вероятността за всяко събитие винаги е между 0 и 1.
Понякога в ежедневната реч (но не и в теорията на вероятностите!) Вероятността за събития се оценява като процент. Преходът между математическа и разговорна оценка се извършва чрез умножение (или разделяне) на 100%.
Така,
В този случай вероятността е нула за събития, които не могат да се случат - невероятно. Например в нашия пример това би било вероятността да изтеглите зелена топка от коша. (Броят на благоприятните резултати е 0, P(A)=0/12=0, ако се брои по формулата)
Вероятност 1 има събития, които със сигурност ще се случат, без опции. Например, вероятността "избраната топка ще бъде или червена, или синя" е за нашия проблем. (Брой благоприятни резултати: 12, P(A)=12/12=1)

Разгледахме класически пример, който илюстрира дефиницията на вероятността. Всички подобни ИЗПОЛЗВАЙТЕ задачиспоред теорията на вероятностите се решават чрез прилагане на тази формула.
Вместо червени и сини топки може да има ябълки и круши, момчета и момичета, заучени и ненаучени билети, билети, съдържащи и не съдържащи въпрос по определена тема (прототипи, ), дефектни и висококачествени чанти или градински помпи (прототипи , ) - принципът остава същият.

Те се различават леко във формулировката на проблема на теорията на вероятностите USE, където трябва да изчислите вероятността за събитие да се случи в определен ден. ( , ) Както в предишните задачи, трябва да определите какво е елементарен резултат и след това да приложите същата формула.

Пример 2Конференцията продължава три дни. През първия и втория ден по 15 лектори, на третия ден - 20. Каква е вероятността докладът на професор М. да падне на третия ден, ако редът на докладите се определя чрез лотария?

Какъв е елементарният резултат тук? - Присвояване на доклада на професор на един от всички възможни серийни номера за реч. В тегленето участват 15+15+20=50 човека. Така докладът на професор М. може да получи едно от 50 числа. Това означава, че има само 50 елементарни резултата.
Какви са благоприятните резултати? - Тези, в които се оказва, че професорът ще говори на третия ден. Тоест последните 20 числа.
Съгласно формулата, вероятността P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Отговор: 0,4

Тегленето на жребий тук е установяване на произволна кореспонденция между хората и поръчаните места. В Пример 2 съвпадението се разглежда по отношение на това кое от местата може да заеме дадено лице. Можете да подходите към същата ситуация от другата страна: кой от хората с каква вероятност би могъл да стигне до определено място (прототипи , , , ):

Пример 3В тегленето участват 5 германци, 8 французи и 3 естонци. Каква е вероятността първият (/втори/седми/последен - няма значение) да е французин.

Броят на елементарните резултати е броят на всички възможни хоракойто би могъл по жребий да влезе дадено място. 5+8+3=16 души.
Благоприятни резултати - французите. 8 души.
Желана вероятност: 8/16=1/2=0,5
Отговор: 0,5

Прототипът е малко по-различен. Има задачи за монети () и зарове (), които са малко по-креативни. Решения на тези проблеми могат да бъдат намерени на страниците с прототипи.

Ето няколко примера за хвърляне на монети или зарове.

Пример 4Когато хвърлим монета, каква е вероятността да получим опашки?
Резултати 2 - глави или опашки. (Смята се, че монетата никога не пада на ръба) Благоприятен изход - опашки, 1.
Вероятност 1/2=0,5
Отговор: 0,5.

Пример 5Ами ако хвърлим монета два пъти? Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
Основното нещо е да определим кои елементарни резултати ще вземем предвид при хвърляне на две монети. След хвърляне на две монети може да се получи един от следните резултати:
1) PP - и двата пъти се появиха опашки
2) PO - първи път опашки, втори път глави
3) OP - първия път глави, втори път опашки
4) OO - нагоре и двата пъти
Няма други опции. Това означава, че има 4 елементарни резултата. Само първият е благоприятен, 1.
Вероятност: 1/4=0,25
Отговор: 0,25

Каква е вероятността две хвърляния на монета да паднат на опашки?
Броят на елементарните резултати е същият, 4. Благоприятни резултати са вторият и третият, 2.
Вероятност за получаване на една опашка: 2/4=0,5

При подобни проблеми може да ви бъде полезна друга формула.
Ако с едно хвърляне на монета настроикиимаме 2 резултата, тогава за две хвърляния резултатите ще бъдат 2 2=2 2 =4 (както в пример 5), за три хвърляния 2 2 2=2 3 =8, за четири: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … за N хвърляния има 2·2·...·2=2 N възможни изхода.

Така че можете да намерите вероятността да получите 5 опашки от 5 хвърляния на монета.
Общият брой на елементарните резултати: 2 5 =32.
Благоприятни резултати: 1. (RRRRRR - всички 5 пъти опашки)
Вероятност: 1/32=0,03125

Същото важи и за заровете. При едно хвърляне има 6 възможни резултата.Така, за две хвърляния: 6 6=36, за три 6 6 6=216 и т.н.

Пример 6Хвърляме зар. Каква е вероятността да се получи четно число?

Общо резултати: 6, според броя на лицата.
Благоприятни: 3 резултата. (2, 4, 6)
Вероятност: 3/6=0,5

Пример 7Хвърлете два зара. Каква е вероятността общият брой да се хвърли 10? (закръгля до стотни)

Има 6 възможни изхода за една зарница. Следователно, за двама, съгласно горното правило, 6·6=36.
Какви резултати ще бъдат благоприятни, за да изпаднат общо 10?
10 трябва да се разложи на сбор от две числа от 1 до 6. Това може да стане по два начина: 10=6+4 и 10=5+5. Така че за кубчета са възможни опции:
(6 на първия и 4 на втория)
(4 на първия и 6 на втория)
(5 на първия и 5 на втория)
Общо 3 варианта. Желана вероятност: 3/36=1/12=0,08
Отговор: 0,08

Други видове проблеми с B6 ще бъдат обсъдени в една от следващите статии "Как да решим".

Описание на презентацията на отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

Ключови задачи от теорията на вероятностите Подготовка за ОГЕ № 9 МБОУ „Гимназия № 4 на им. КАТО. Пушкин” Съставител: Софина Н.Ю.

2 слайд

Описание на слайда:

Основни проверими изисквания за математическа подготовка No 9 ОГЕ по математика Решаване на практически задачи, които изискват систематично изброяване на варианти; сравняват шансовете за възникване на случайни събития, оценяват вероятностите за случайно събитие, сравняват и изследват модели на реална ситуация с помощта на апарата за вероятност и статистика. No9 – основна задача. Максималният резултат за изпълнение на задачата е 1.

3 слайд

Описание на слайда:

Вероятността за събитие А е съотношението на броя m резултати, благоприятни за това събитие, към общ брой n всички еднакво възможни несъвместими събития, които могат да възникнат в резултат на един тест или наблюдение Класическа дефиниция на вероятността Припомнете си формулата за изчисляване на класическата вероятност за случайно събитие Р = n m

4 слайд

Описание на слайда:

Класическа дефиниция на вероятността Пример: Родителският комитет закупи 40 страници за оцветяване за подаръци за дипломиране за деца учебна година. От тях 14 са базирани на приказките на A.S. Пушкин и 26 по приказките на Г. Х. Андерсен. Подаръците се разпределят на случаен принцип. Намерете вероятността Настя да получи книжка за оцветяване, базирана на приказките на A.S. Пушкин. Решение: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Отговор: 0,35.

5 слайд

Описание на слайда:

Пример: Имаше 60 въпроса за изпита. Иван не научи 3 от тях. Намерете вероятността той да срещне заучения въпрос. Решение: Тук n=60. Иван не научи 3, така че научи всички останали, т.е. m=60-3=57. Р=57/60=0,95. Класическа дефиниция на вероятността Отговор: 0,95.

6 слайд

Описание на слайда:

„Редът се определя чрез жребий“ Пример: 20 състезатели участват в първенството по гимнастика: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на изпълнение на гимнастичките се определя с жребий. Намерете вероятността петият спортист да е от Китай. Решение: В условието на задачата има „магическа“ дума „партия“, което означава, че забравяме за реда на говорене. Така m= 20-8-7=5 (от Китай); n=20. P = 5/20 = 0,25. Отговор: 0,25.

7 слайд

Описание на слайда:

Пример: След 5 дни се провежда научна конференция. Планирани са общо 75 доклада – първите 3 дни по 17 доклада, останалите се разпределят поравно между 4-ия и 5-ия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на проф. Иванов да бъде насрочен за последния ден на конференцията? Решение: Нека поставим данните в таблицата. Получихме, че m=12; n=75. P=12/75=0,16. Отговор: 0,16. „Ред, определен чрез лотария” Ден I II III IV V Общ брой презентации 17 17 17 12 12 75

8 слайд

Описание на слайда:

Честота на събитието По същия начин като вероятността се намира честотата на събитието, задачите за което също са в прототипите. Каква е разликата? Вероятността е предсказуема стойност, а честотата е констатация на факта. Пример: Вероятността нов таблет да бъде ремонтиран в рамките на една година е 0,045. В даден град от 1000 продадени таблета през годината 51 броя са пристигнали в гаранционния сервиз. Колко различна е честотата на събитието „гаранционен ремонт“ от вероятността в този град? Решение: Намерете честотата на събитието: 51/1000=0,051. А вероятността е равна на 0,045 (по условие) Това означава, че в този град събитието „гаранционен ремонт” се случва по-често от очакваното. Нека намерим разликата ∆= 0,051- 0,045= 0,006. В същото време трябва да вземем предвид, че за нас НЕ е важен знакът на разликата, а само неговата абсолютна стойност. Отговор: 0,006.

9 слайд

Описание на слайда:

Проблеми с изброяването на опции ("монети", "съвпадения") Нека k е броят на хвърлянията на монета, след това броят на възможните резултати: n = 2k. Пример: При произволен експеримент се хвърля два пъти симетрична монета. Намерете вероятността главите да излязат точно веднъж. Решение: Опции за пускане на монети: OO; ИЛИ; RR; RO. По този начин, n=4. Благоприятни резултати: RR и RR. Тоест m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Отговор: 0,5.

10 слайд

Описание на слайда:

Пример: Преди да започнете футболен мачРеферът хвърля монета, за да определи кой отбор ще има топката първи. Отборът "Меркурий" играе на свой ред с отборите "Марс", "Юпитер", "Уран". Намерете вероятността във всички мачове правото да притежавате топката да бъде спечелено от отбора "Меркурий"? Проблеми с изброяването на опции ("монети", "кибрит") Решение: Да обозначим правото на притежание на първата топка на отбора на "Меркурий" в мача с един от другите три отбора като "Опашки". Тогава правото на притежание на втората топка на този отбор е „Орел”. И така, нека запишем всички възможни резултати от хвърляне на монета три пъти. "O" - глави, "R" - опашки. ; т.е., n=8; m=1. P=1/8=0,125. Отговор: 0,125 n = 23 "Марс" "Юпитер" "Уран"

11 слайд

Описание на слайда:

Задачи на "зарчета" (зарове) Нека k е броят на хвърлянията на заровете, след това броят на възможните резултати: n = 6k. Пример: Даша хвърля зар два пъти. Намерете вероятността общият й брой да е 8. Закръглете резултата до най-близката стотна. Отговор: 0,14. Решение: Сумата от двата зара трябва да бъде 8 точки. Това е възможно, ако има следните комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 m= 5 (5 подходящи комбинации) n = 36 P = 5/36 = 0,13 (8)

12 слайд

Описание на слайда:

Независими събития и законът за умножение Вероятността за намиране на 1-во, 2-ро и n-то събитие се намира по формулата: Р= Р1*Р2*…*Рn Пример: Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността да се уцели целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да удари целите първите три пъти и да пропусне последните два. Закръглете резултата до най-близката стотна. Отговор: 0,02. Решение: Резултатът от всеки следващ изстрел не зависи от предишните. Следователно събитията „попадение на първия изстрел“, „ударение на втория изстрел“ и т.н. независим. Вероятността за всяко попадение е 0,8. Така че вероятността за пропуск е 1 - 0,8 = 0,2. 1 изстрел: 0,8 2 изстрел: 0,8 3 изстрел: 0,8 4 изстрел: 0,2 5 изстрел: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 слайд

Описание на слайда:

Комбинации от закони "и" и закони "или" Пример: Офис купува канцеларски материали за служители на 3 различни фирми. Освен това продуктите на 1-ва фирма съставляват 40% от всички доставки, а останалата част от 2-ра фирма е разделена по равно. Оказа се, че 2% от химикалките на 2-ра фирма са дефектни. Процентът на брак в 1-ва и 3-та фирми съответно е 1% и 3%. Служител А взе писалка от нова доставка. Намерете вероятността това да бъде правилно. Решение: Продуктите на 2-ра и 3-та фирма са (100%-40%):2=30% от доставките. P(брак) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 = 0,019. P (изправни писалки) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Отговор: 0,981.

Лесни задачи

На масата има 25 баници: 7 - със сладко, 9 - с картофи, останалите със зеле. Каква е вероятността една произволно избрана баница да бъде със зеле?

0,36

В таксито работят 40 автомобила: 14 са марки Lada, 8 са марки Renault, 2 са марки Mercedes, а останалите са марки Skoda. Каква е вероятността Мерцедес да дойде на вашето обаждане?

0,05

Определете вероятността при хвърляне на зар да се появи число от поне три.

Ира, Дима, Вася, Наташа и Андрей преминават стандарта на 60 метра. Каква е вероятността момичето да тича най-бързо?

Вероятността телефон, закупен в подлез, да е фалшив е 0,83. Каква е вероятността телефонът, закупен при прехода, да не е фалшив?

0,17

В турнира по баскетбол участват 20 отбора, включително отборът „Момчета“. Всички отбори са разделени на 4 групи: A, B, C, D. Каква е вероятността отборът „Момчета“ да бъде в група A?

0,25

Торбата за лотарията съдържа бурета с номера от 5 до 94 включително. Каква е вероятността бурето, взето от торбата, да съдържа двуцифрено число? Закръглете отговора си до най-близката стотна.

0,94

Преди изпита Игор издържа до последно и успя да научи само 5 билета от 80. Определете вероятността да попадне на заучен билет.

0,0625

Аня включва радиото и произволно избира радио вълна. Като цяло нейният радиоприемник улавя 20 радиовълни и само 7 от тях този моментмузика свири. Намерете вероятността Аня да падне на музикална вълна.

0,35

Във всяка двадесета бутилка сода под капачката е скрит код с печалба. Определете вероятността закупената бутилка да има печеливш код под капачката.

0,05

Задачите са по-трудни

Каква е вероятността произволно избрано 3-цифрено число да се дели на 5?

0,2

Записва се височината (в см) на петима ученици: 166, 158, 132, 136, 170. Колко се различава средното аритметично на този набор от числа от неговата медиана?

Според статистиката на една малка страна е известно, че вероятността роденото бебе да бъде момче е 0,507. През 2017 г. на 1000 бебета, родени в страната, се падат средно 486 момичета. Колко различна е честотата на ражданията на жени през 2017 г. в тази страна от вероятността за това събитие?

0,007

Зара се хвърля два пъти. Намерете вероятността сборът на двете изтеглени числа да е 3 или 7. Закръглете отговора си до най-близката стотна.

0,22

Каква е вероятността произволно избрано трицифрено число да се дели на 2?

0,5

Намерете вероятността две хвърляния на монета да окажат опашки точно веднъж.

0,5

Зара се хвърля два пъти, намерете вероятността и двата пъти да се появи число, по-голямо от три. Закръглете отговора си до най-близката стотна.

0,31

Според статистиката на една малка страна е известно, че вероятността родено бебе да бъде момче е 0,594. През 2017 г. на 1000 бебета, родени в тази страна, се падат средно 513 момичета. Колко различна е честотата на ражданията на жени през 2017 г. в тази страна от вероятността за това събитие?

0,107

Записва се височината (в см) на петима ученици: 184, 145, 176, 192, 174. Колко се различава средното аритметично на този набор от числа от неговата медиана?

1,8

Средният ръст на жителите на село "Великани" е 194 см. Ръстът на Николай Петрович е 195 см. Кое от следните твърдения е правилно?

1) Височината на един от селяните трябва да бъде 194 см.

2) Николай Петрович е най-високият жител на селото.

3) Определено ще има поне един човек от това село под Николай Петрович.

4) Определено ще има поне един жител от това село под Николай Петрович.

4

Трудни задачи

Стрелецът стреля 4 пъти с пистолет по мишените. Вероятността за точния му удар в целта с един изстрел е 0,5. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта първите два пъти и да пропусне последните два.

0,0625

Вероятността батерията да е дефектна е 0,05. Клиентът в магазина избира произволен пакет с две батерии. Намерете вероятността и двете батерии да са добри.

0,9025

Стрелецът стреля по мишените 5 пъти подред. Вероятността за уцелване на целта при изстрел е 0,7. Намерете вероятността стрелецът да удари целта първите четири пъти и да пропусне последния път. Закръглете резултата до най-близката стотна.

Събитията, които се случват в реалността или в нашето въображение, могат да бъдат разделени на 3 групи. Това са определени събития, които трябва да се случат, невъзможни събития и случайни събития. Теорията на вероятностите изучава случайни събития, т.е. събития, които могат да се случат или не. Тази статия ще бъде представена в обобщениеФормули на теорията на вероятностите и примери за решаване на задачи по теория на вероятностите, които ще бъдат в 4-та задача на ЕГЭ по математика (профилно ниво).

Защо имаме нужда от теорията на вероятностите

Исторически необходимостта от изследване на тези проблеми възниква през 17 век във връзка с развитието и професионализирането на хазарти появата на казиното. Това беше истински феномен, който изискваше своето изследване и изследване.

Играта на карти, зарове, рулетка създават ситуации, в които може да се случи някое от краен брой еднакво вероятни събития. Имаше нужда да се дадат числени оценки на възможността за настъпване на събитие.

През 20-ти век става ясно, че тази привидно несериозна наука играе важна роля в разбирането на фундаменталните процеси, протичащи в микрокосмоса. Беше създаден съвременна теориявероятности.

Основни понятия на теорията на вероятностите

Обект на изследване на теорията на вероятностите са събитията и техните вероятности. Ако събитието е сложно, то може да бъде разделено на прости компоненти, вероятностите за които са лесни за намиране.

Сборът от събития A и B се нарича събитие C, което се състои във факта, че или събитие A, или събитие B, или събития A и B са се случили по едно и също време.

Продуктът на събития А и В е събитието С, което се състои в това, че и събитието А, и събитието Б са се случили.

Казват, че събития А и Б са несъвместими, ако не могат да се случат едновременно.

За събитие А се казва, че е невъзможно, ако не може да се случи. Такова събитие се обозначава със символа .

Събитие А се нарича сигурно, ако определено ще се случи. Такова събитие се обозначава със символа .

Нека на всяко събитие A се присвои номер P(A). Това число P(A) се нарича вероятност за събитието A, ако следните условия са изпълнени с такова съответствие.

Важен частен случай е ситуацията, когато има еднакво вероятни елементарни резултати и произволни от тези резултати образуват събития А. В този случай вероятността може да бъде въведена с формулата . Вероятността, въведена по този начин, се нарича класическа вероятност. Може да се докаже, че свойства 1-4 са валидни в този случай.

Проблемите в теорията на вероятностите, които се срещат на изпита по математика, са свързани основно с класическата вероятност. Такива задачи могат да бъдат много прости. Особено прости са проблемите в теорията на вероятностите в демо версии. Лесно е да се изчисли броят на благоприятните резултати, броят на всички резултати се записва директно в условието.

Получаваме отговора по формулата.

Пример за задача от изпита по математика за определяне на вероятността

На масата има 20 баници - 5 със зеле, 7 с ябълки и 8 с ориз. Марина иска да вземе пай. Каква е вероятността тя да вземе оризовата торта?

Решение.

Има общо 20 равновероятни елементарни резултата, тоест Марина може да вземе всеки от 20-те пая. Но трябва да преценим вероятността Марина да вземе оризовата баничка, тоест където А е изборът на оризовата баничка. Това означава, че имаме общо 8 благоприятни изхода (избор на оризови пайове) Тогава вероятността ще се определи по формулата:

Независими, противоположни и произволни събития

Въпреки това, в отворената банка от задачи, повече от трудни задачи. Затова нека привлечем вниманието на читателя към други въпроси, изучавани в теорията на вероятностите.

Събития A и B се наричат ​​независими, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали е настъпило другото събитие.

Събитие Б се състои в това, че събитие А не се е случило, т.е. събитие B е противоположно на събитие A. Вероятността за обратното събитие е равна на едно минус вероятността за прякото събитие, т.е. .

Теореми за събиране и умножение, формули

За произволни събития A и B вероятността за сбора на тези събития е равна на сумата от техните вероятности без вероятността за тяхното съвместно събитие, т.е. .

За независими събития A и B вероятността за произведението на тези събития е равна на произведението на техните вероятности, т.е. в такъв случай .

Последните 2 твърдения се наричат ​​теореми за събиране и умножение на вероятностите.

Не винаги преброяването на резултатите е толкова просто. В някои случаи е необходимо да се използват формули на комбинаториката. Най-важното е да преброите броя на събитията, които отговарят на определени условия. Понякога подобни изчисления могат да се превърнат в независими задачи.

По колко начина могат да се настанят 6 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме всяко от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За трети ученик има 4 свободни места, за четвърти - 3, за пети - 2, шестият ще заеме единственото оставащо място. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта, който е обозначен със символа 6! и прочетете "шест факториал".

В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на пермутациите на n елемента.В нашия случай, .

Помислете сега за друг случай с нашите ученици. По колко начина могат да се настанят 2 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме всяко от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта.

В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на разположенията на n елемента по k елемента

В нашия случай.

И последният от тази серия. Колко начина има да изберете 3 от 6 ученици? Първият ученик може да бъде избран по 6 начина, вторият - по 5 начина, а третият - по 4 начина. Но сред тези опции същите трима ученици се срещат 6 пъти. За да намерите броя на всички опции, трябва да изчислите стойността: . В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на комбинациите от елементи по елементи:

В нашия случай.

Примери за решаване на задачи от изпита по математика за определяне на вероятността

Задача 1. От сборника, изд. Яшченко.

В чинията има 30 банички: 3 с месо, 18 със зеле и 9 с череши. Саша избира на случаен принцип един пай. Намерете вероятността той да се окаже с череша.

.

Отговор: 0,3.

Задача 2. От сборника, изд. Яшченко.

Във всяка партида от 1000 крушки, средно по 20 дефектни. Намерете вероятността една крушка, избрана на случаен принцип от партида, да е добра.

Решение: Броят на изправните крушки е 1000-20=980. Тогава вероятността една крушка, взета на случаен принцип от партидата, ще бъде изправна е:

Отговор: 0,98.

Вероятността ученикът У. да реши правилно повече от 9 задачи на тест по математика е 0,67. Вероятността U. да реши правилно повече от 8 задачи е 0,73. Намерете вероятността U. да реши правилно точно 9 задачи.

Ако си представим числова права и маркираме точки 8 и 9 върху нея, тогава ще видим, че условието „U. правилно решава точно 9 задачи” е включено в условието „U. правилно решава повече от 8 задачи“, но не се отнася за условието „W. правилно решават повече от 9 задачи.

Въпреки това условието „U. правилно решаване на повече от 9 задачи“ се съдържа в условието „U. правилно решават повече от 8 задачи. Така, ако обозначим събития: „W. правилно решават точно 9 задачи" - през A, "U. правилно решавайте повече от 8 задачи" - през B, "U. правилно решете повече от 9 задачи ”чрез C. Тогава решението ще изглежда така:

Отговор: 0,06.

На изпита по геометрия студентът отговаря на един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е тригонометричен въпрос е 0,2. Вероятността това да е въпрос за външните ъгли е 0,15. Няма въпроси, свързани с тези две теми едновременно. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.

Нека помислим какви събития имаме. Дадени са ни две несъвместими събития. Тоест или въпросът ще се отнася до темата "Тригонометрия", или до темата "Външни ъгли". Според теоремата за вероятността, вероятността за несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за всяко събитие, трябва да намерим сумата от вероятностите на тези събития, тоест:

Отговор: 0,35.

Стаята е осветена от фенер с три лампи. Вероятността една лампа да изгори на година е 0,29. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори в рамките на една година.

Нека разгледаме възможните събития. Имаме три електрически крушки, всяка от които може или не може да изгори независимо от всяка друга крушка. Това са независими събития.

След това ще посочим вариантите на подобни събития. Приемаме обозначението: - крушката свети, - крушката е изгоряла. И веднага след това изчисляваме вероятността за събитие. Например, вероятността за събитие, при което са възникнали три независими събития „крушката е изгоряла“, „крушката е включена“, „крушката е включена“: .

Имайте предвид, че има само 7 несъвместими събития, благоприятни за нас.Вероятността за такива събития е равна на сумата от вероятностите на всяко от събитията: .

Отговор: 0,975608.

Можете да видите друг проблем на снимката:

Така вие и аз разбрахме какво представлява теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, за които можете да се срещнете във версията на изпита.

Тази презентация представя най-често срещаните задачи на изпита по теория на вероятностите. Задачи на основно ниво. Презентацията ще помогне както на учителите в уроците по обобщаващо повторение, така и на учениците в самообучениедо изпита.

Изтегли:

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА КЛЮЧОВИ ЗАДАЧИ Подготовка за OGE

ХВЪРЛЯНЕ НА МОНЕТА

1. Една монета се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите една глава и една опашка? Решение: При хвърляне на една монета са възможни два изхода - „глави“ или „опашки“. При хвърляне на две монети - 4 резултата (2 * 2 = 4): "орел" - "опашки" "опашки" - "опашки" "опашки" - "орли" "орли" - "орли" Един "орел" и един " опашки“ ще изпаднат в два от четири случая. Р(А)=2:4=0,5. Отговор: 0,5.

2. Една монета се хвърля три пъти. Каква е вероятността да получите две глави и една опашка? Решение: При хвърляне три монетиВъзможни са 8 изхода (2*2*2=8): "орел" - "опашки" - "опашки" "опашки" - "опашки" - "опашки" "опашки" - "глави" - "опашки" "глави" - "орел" - "опашки" "опашки" - "опашки" - "глави" "опашки" - "орли" - "орли" "орли" - "опашки" - "орли" "орли" - "орли" - " орли" » Ще изпаднат два "орла" и една "опашка". три случаяот осем. Р(А)=3:8=0,375. Отговор: 0,375.

3. При произволен експеримент четири пъти се хвърля симетрична монета. Намерете вероятността глави никога да не изникнат. Решение: При хвърляне на четири монети са възможни 16 изхода: (2*2*2*2=16): Благоприятни резултати - 1 (ще изпаднат четири опашки). Р(А)=1:16=0,0625. Отговор: 0,0625.

ИГРА НА ЗАРОВЕ

4. Определете вероятността да изпаднат повече от три точки при хвърляне на зарчето. Решение: Възможните резултати са общо 6. Големите числа са 3 - 4, 5, 6. Р(А)=3:6=0,5. Отговор: 0,5.

5. Хвърли се зар. Намерете вероятността да получите четен брой точки. Решение: Общо възможни резултати - 6. 1, 3, 5 - нечетни числа; 2, 4, 6 са четни числа. Вероятността за получаване на четен брой точки е 3:6=0,5. Отговор: 0,5.

6. При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността да получите общо 8 точки. Закръглете резултата до най-близката стотна. Решение: Това действие - хвърлянето на два зара има общо 36 възможни резултата, тъй като 6² = 36. Благоприятни резултати: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Вероятността да получите осем точки е 5:36 ≈ 0,14. Отговор: 0,14.

7. Хвърлете зар два пъти. Общо паднаха 6 точки. Намерете вероятността да получите 5 на едно от хвърлянията. Решение: Общо резултати от 6 точки - 5: 2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1. Благоприятни изходи - 2. P(A)=2:5=0.4. Отговор: 0,4.

8. На изпита имаше 50 билета, Тимофей не научи 5 от тях. Намерете вероятността той да получи научения билет. Решение: Тимофей научи 45 билета. Р(А)=45:50=0,9. Отговор: 0,9.

СЪСТЕЗАНИЯ

9. В първенството по гимнастика участват 20 състезатели: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на изпълнение се определя с жребий. Намерете вероятността атлетът, който се състезава първи, да е от Китай. Решение: Общо резултати 20. Благоприятни резултати 20-(8+7)=5. Р(А)=5:20=0,25. Отговор: 0,25.

10. На състезанието по хвърляне на гюле дойдоха 4 състезатели от Франция, 5 от Англия и 3 от Италия. Редът на изпълненията се определя с жребий. Намерете вероятността петият спортист да е от Италия. Решение: Броят на всички възможни резултати е 12 (4 + 5 + 3 = 12). Броят на благоприятните резултати е 3. P(A)=3:12=0.25. Отговор: 0,25.

11. Преди началото на първия кръг от първенството по бадминтон участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене. Общо в шампионата участват 26 бадминтонисти, включително 12 участници от Русия, включително Владимир Орлов. Намерете вероятността в първия кръг Владимир Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия? Решение: Общо изходи - 25 (Владимир Орлов с 25 бадминтонисти). Благоприятни резултати - (12-1) = 11. Р(А)=11:25=0,44. Отговор: 0,44.

12. Състезанието на изпълнителите се провежда в 5 дни. Бяха обявени общо 75 представления – по едно от всяка страна. През първия ден има 27 представления, останалите се разпределят поравно между останалите дни. Редът на изпълненията се определя с жребий. Каква е вероятността представянето на представителя на Русия да се състои на третия ден от състезанието? Решение: Общо резултати - 75. Изпълнители от Русия се представят на третия ден. Благоприятни резултати - (75-27): 4 = 12. Р(А)=12:75=0,16. Отговор: 0,16.

13. Коля избира двуцифрено число. Намерете вероятността то да се дели на 5. Решение: Двуцифрени числа: 10;11;12;…;99. Общо резултати - 90. Числа, делими на 5: 10; 15; двадесет; 25; …; 90; 95. Благоприятни изходи - 18. P(A)=18:90=0,2. Отговор: 0,2.

РАЗЛИЧНИ ЗАДАЧИ ЗА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ВЕРОЯТНОСТТА

14. Фабриката произвежда чанти. Средно на всеки 170 качествени торби се падат шест торби със скрити дефекти. Намерете вероятността закупената чанта да бъде с високо качество. Закръглете резултата до най-близката стотна. Решение: Общо резултати - 176. Благоприятни резултати - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Отговор: 0,97.

15. Средно от всеки 100 продадени батерии се зареждат 94 батерии. Намерете вероятността закупената батерия да не е заредена. Решение: Общо резултати - 100. Благоприятни резултати - 100-94=6. Р(А)=6:100=0,06. Отговор: 0,06.

ИЗТОЧНИЦИ http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru