„Векторно скаларен продукт“ – Скаларното произведение на векторите. В равностранен триъгълник ABC със страна 1 е начертана височината BD. По дефиниция, характеризирайте ъгъл? между вектори и ако: a) b) c) d). При каква стойност на t векторът е перпендикулярен на вектора, ако (2, -1), (4, 3). Скаларното произведение на векторите и се обозначава.

„Геометрия 9 клас „Вектори““ – Разстоянието между две точки. Най-простите задачи в координатите. Тествай се! Векторни координати. През 1903 г. О. Хенричи предлага скаларното произведение да се обозначава със символа (a, c). Векторът е насочен сегмент. Разлагане на вектор в координатни вектори. Концепцията за вектор. Разлагане на вектор върху равнина в два неколинеарни вектора.

„Вектор за решаване на проблеми“ – Експресни вектори AM, DA, CA, MB, CD по отношение на вектор a и вектор b. № 2 Изразете векторите DP, DM, AC чрез векторите a и b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Изразете векторите CK, RK през векторите a и b. BE:EC = 3: 1. K е средата на DC. VK: KС = 3: 4. Изразете векторите AK, DK през векторите a и b. Прилагане на вектори за решаване на проблеми (част 1).

„Проблеми върху векторите“ – Теорема. Намерете координатите. Дават се три точки. Върхове на триъгълника. Намерете координатите на векторите. Намерете координатите на точката. Намерете координатите и дължината на вектора. Изразете дължината на вектора. Векторни координати. Векторни координати. Намерете координатите на вектора. Дадени са вектори. Назовете координатите на векторите. Векторът има координати.

„Метод на координатите на равнина“ – Начертава се кръг. Перпендикуляри. Координатна ос. Стойността на синуса. Правоъгълна координатна система на равнината. Намерете координатите на върха. Помислете за пример. Решението на този проблем. Точките се дават на равнината. Върхове на паралелограм. Разширете векторите. Изчисли. Много точки. Решете графично системата от уравнения.

„Събиране и изваждане на вектори” – 1. Цели на урока. 2. Основната част. Вашите много, най-много най-добър приятелСомнамбул! Научете как да изваждате вектори. 2. Посочете вектора на сумата от вектори a и b. Моят приятел!! Да видим какво имаме тук. Нашите цели: Заключение. 3. Преглед на главата. 4. Списък на литературата. Пътуване с Lunatic. От точка А отлагаме и двата вектора.

Общо в темата има 29 презентации

При изучаване на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени затруднения, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледате ъглите между векторите, е необходимо да се запознаете с определението на вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, тоест сегмент, за който са определени неговото начало и край.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите, с които се изисква да се премести един от векторите около обща точка, до позиция, в която посоките им съвпадат.

Формула на разтвора

След като разберете какво представлява векторът и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата на решението за това е доста проста и резултатът от прилагането й ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. По дефиниция е равно на частното точков продуктвектори и произведението на дължините им.

Скаларното произведение на векторите се разглежда като сбор от съответните координати на умножителни вектори, умножени един по друг. Дължината на вектора или неговият модул се изчислява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите координати.

След като получите стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решението на съответния проблем става просто и ясно. Като пример разгледайте простия проблем за намиране на големината на ъгъла.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и техния скаларен продукт, необходими за решаване. Използвайки описанието по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, ние изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи стойности на косинус, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Брадис. Но преди да получите ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отървете от допълнителния отрицателен знак:

Крайният отговор може да бъде оставен в тази форма, за да се запази точността, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъла в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерно пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях и той ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, арккосинуса на техния коефициент и ще бъде отговорът на този проблем.

В геометрията често възникват проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл се оказа 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След като в резултат на решението получим стойност на ъгъл от 0 градуса, правилният отговор би бил да се обозначат векторите като ко-насочени, тоест векторите ще имат една и съща посока. В случай на получаване на 180 градуса, векторите ще имат характер на противоположни посоки.

Специфични вектори

Чрез намиране на ъглите между векторите може да се намери един от специалните типове, в допълнение към ко-насочените и противоположно насочените, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​компланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, тоест неговото начало и край съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е един, тогава се нарича единица.

Инструкция

Нека върху равнината са дадени два ненулеви вектора, нанесени от една точка: вектор A с координати (x1, y1) B с координати (x2, y2). инжекциямежду тях се обозначава като θ. За да намерите градусната мярка на ъгъла θ, трябва да използвате определението на скаларния продукт.

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е число, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях, тоест (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Сега трябва да изразите косинуса на ъгъла от това: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Скаларното произведение може да се намери и по формулата (A,B)=x1*x2+y1*y2, тъй като произведението на два ненулеви вектора е равно на сумата от произведенията на съответните вектори. Ако скаларното произведение на ненулеви вектори е равно на нула, тогава векторите са перпендикулярни (ъгълът между тях е 90 градуса) и по-нататъшните изчисления могат да бъдат пропуснати. Ако скаларното произведение на два вектора е положително, тогава ъгълът между тях векториостър, а ако е отрицателен, тогава ъгълът е тъп.

Сега изчислете дължините на векторите A и B, като използвате формулите: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Дължината на вектора се изчислява като Корен квадратенот сбора на квадратите на неговите координати.

Заместете намерените стойности на скаларното произведение и дължините на векторите във формулата за ъгъла, получен в стъпка 2, тоест cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Сега, знаейки стойността на , за да намерите градусната мярка на ъгъла между векторитрябва да използвате таблицата на Брадис или да вземете от това: θ=arccos(cos(θ)).

Ако векторите A и B са дадени в триизмерно пространство и имат координати съответно (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), тогава при намиране на косинуса на ъгъла се добавя още една координата. В този случай косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Полезен съвет

Ако два вектора не са начертани от една точка, тогава за да намерите ъгъла между тях чрез паралелно преместване, трябва да комбинирате началото на тези вектори.
Ъгълът между два вектора не може да бъде по-голям от 180 градуса.

Източници:

• как да изчислим ъгъла между векторите
• Ъгъл между права и равнина

За решаване на много проблеми, както приложни, така и теоретични, по физика и линейна алгебра, е необходимо да се изчисли ъгълът между векторите. Тази на пръв поглед проста задача може да причини много трудности, ако не разбирате ясно същността на скаларния продукт и каква стойност се появява в резултат на този продукт.

Инструкция

Ъгълът между векторите в линейно векторно пространство е минималният ъгъл при , при който се постига съвместно насочване на векторите. Един от векторите се пренася около началната си точка. От дефиницията става очевидно, че стойността на ъгъла не може да надвишава 180 градуса (вижте стъпката).

В този случай съвсем правилно се приема, че в линейно пространство, когато векторите се прехвърлят паралелно, ъгълът между тях не се променя. Следователно, за аналитичното изчисляване на ъгъла, пространствената ориентация на векторите няма значение.

Резултатът от точковото произведение е число, иначе скалар. Запомнете (това е важно да знаете), за да предотвратите грешки при по-нататъшни изчисления. Формулата за скаларния продукт, разположен на равнина или в пространството на векторите, има формата (виж фигурата за стъпката).

Ако векторите са разположени в пространството, тогава извършете изчислението по подобен начин. Единственото нещо ще бъде появата на срока в дивидента - това е срокът за заявката, т.е. третият компонент на вектора. Съответно, при изчисляване на модула на векторите, компонентът z също трябва да се вземе предвид, след което за вектори, разположени в пространството, последният израз се трансформира, както следва (вижте фигура 6 към стъпката).

Векторът е отсечка с дадена посока. Ъгълът между векторите има физическо значение, например при намиране на дължината на проекцията на вектор върху ос.

Инструкция

Ъгъл между два различни от нула вектора, използвайки изчисление на точков продукт. По дефиниция продуктът е равен на произведението на дължините и ъгъла между тях. От друга страна се изчислява вътрешното произведение за два вектора a с координати (x1; y1) и b с координати (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. От тези два начина, точковият продукт е лесен за ъгъл между векторите.

Намерете дължините или модулите на векторите. За нашите вектори a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Намерете вътрешното произведение на векторите, като умножите координатите им по двойки: ab = x1x2 + y1y2. От определението на точковото произведение ab = |a|*|b|*cos α, където α е ъгълът между векторите. Тогава получаваме, че x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогава cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Намерете ъгъла α с помощта на таблиците на Брадис.

Подобни видеа

Забележка

Скаларното произведение е скаларна характеристика на дължините на векторите и ъгъла между тях.

Равнината е едно от основните понятия в геометрията. Равнината е повърхност, за която твърдението е вярно - всяка права линия, свързваща две от точките й, принадлежи изцяло на тази повърхност. Самолетите са обозначени гръцки буквиα, β, γ и др. Две равнини винаги се пресичат в права линия, която принадлежи и на двете равнини.

Инструкция

Помислете за полуравнините α и β, образувани в пресечната точка на . Ъгъл, образуван от права линия a и две полуравнини α и β от двугранен ъгъл. В този случай полуравнините, образуващи двуъгълен ъгъл от лица, линията a, по която равнините се пресичат, се нарича ръб двугранен ъгъл.

Двугранен ъгъл, като плосък ъгъл, в градуси. За да се направи двуграничен ъгъл, е необходимо да се избере произволна точка O на лицето й. И в двата лъча a са прокарани през точката O. Полученият ъгъл AOB се нарича линеен ъгъл на двугранния ъгъл a.

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

За да изчислите стойността на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията, обратна на косинуса от получения израз, т.е. арккосинус: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Пример: намерете инжекциямежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено от общото уравнение 2 x - 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заменете всичко известни стойностив горната формула: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Подобни видеа

Напишете уравнение и изолирайте косинуса от него. Съгласно една формула, скаларното произведение на векторите е равно на техните дължини, умножени една по друга и по косинуса ъгъл, а от друга - сумата от произведенията на координатите по всяка от осите. Приравнявайки двете формули, можем да заключим, че косинусът ъгълтрябва да е равно на съотношението на сбора от произведенията на координатите към произведението на дължините на векторите.

Запишете полученото уравнение. За да направим това, трябва да обозначим и двата вектора. Да кажем, че са дадени в 3D декартова система и техните начални точки са в мрежа. Посоката и големината на първия вектор ще бъдат дадени от точката (X₁,Y₁,Z₁), вторият - (X₂,Y₂,Z₂), а ъгълът ще бъде обозначен с буквата γ. Тогава дължините на всеки от векторите могат да бъдат, например, съгласно Питагоровата теорема за формирани от техните проекции върху всяка от координатните оси: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Заменете тези изрази с формулата, формулирана в предишната стъпка, и ще получите равенството: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²)).

Използвайте факта, че сумата на квадрата синуси сие синусот ъгъледна стойност винаги дава една. Следователно, чрез повишаване на полученото на предишната стъпка за co синусна квадрат и изваден от единството и след това

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениразгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горното уводна статия, тъй като за усвояване на материала е необходимо да се ориентирам в термините и обозначенията, които използвам, да има основни знанияза векторите и да могат да решават елементарни задачи. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типичните задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е много ВАЖНА дейност . Опитайте се да не пропускате примерите, те са придружени от полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате обхванатия материал и да "вземете ръка" за решаване на често срещани задачи на аналитичната геометрия.

Добавяне на вектори, умножаване на вектор по число... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече разгледаните действия има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, кръстосано произведение на векториИ смесен продукт на вектори. Скаларният продукт на векторите ни е познат от училище, другите два продукта са традиционно свързани с курса висша математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е стереотипен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО И НАведнъж. Това важи особено за манекените, повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математика, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, да „усвоят“ липсващите знания, за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

И накрая, нека отворим малко вратата и да погледнем какво се случва, когато два вектора се срещнат един друг...

Дефиниране на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече. Помислете за свободни ненулеви вектори и . Ако отложим тези вектори от произволна точка, тогава получаваме картина, която мнозина вече са представили мислено:

Признавам си, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от строга дефиниция на ъгъла между векторите, моля, вижте учебника, но за практически задачи ние по принцип не се нуждаем от него. Също ТУК И ПО-НАТАНА, понякога ще игнорирам нулевите вектори поради ниската им практическа значимост. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат за теоретичната непълнота на някои от следните твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (от 0 до радиани) включително. Аналитично даден фактсе записва като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата иконата за ъгъл често се пропуска и се пише просто.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху основната информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто .

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Умножете вектор по вектор, за да получите число. Всъщност, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъла е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Стойностите на косинус могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще се изисква в почти всички секции на кулата и ще се изисква много пъти.

Чисто от математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в този случай е просто число и това е всичко. От гледна точка на проблемите на физиката, скаларното произведение винаги има определено физическо значение, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничният пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно точково произведение). Работата на сила се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например.

Пример 2

Намерете ако , а ъгълът между векторите е .

Това е пример за самостоятелно решение, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точков продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказа положително, а в пример 2 - отрицателно. Нека разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За по-добро разбиране на информацията по-долу е по-добре да проучите косинусовата графика в ръководството Свойства на графики и функции. Вижте как се държи косинусът на сегмента.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира вътре и са възможни следните случаи:

1) Ако инжекциямежду векторите пикантно: (от 0 до 90 градуса), след това , И точков продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула, а скаларният продукт също ще бъде положителен. Тъй като , тогава формулата е опростена: .

2) Ако инжекциямежду векторите глупав: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковото произведение е отрицателно: . Специален случай: ако векторите насочени противоположно, тогава се разглежда ъгълът между тях разгърнат: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са копосочени.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са насочени противоположно.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако инжекциямежду векторите прав: (90 градуса) след това и точковото произведение е нула: . Обратното също е вярно: ако , тогава . Компактното изявление е формулирано, както следва: Скаларното произведение на два вектора е нула, ако и само ако дадените вектори са ортогонални. къс математическа нотация:

! Забележка : повторете основите на математическата логика: иконата на двустранно логическо следствие обикновено се чете "ако и само тогава", "ако и само ако". Както виждате, стрелките са насочени и в двете посоки – „от това следва това, и обратното – от това следва това“. Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Претенции за икона само чече "от това следва това", а не фактът, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че иконата не може да се използва в този случай. В същото време вместо иконата могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, разбрахме, че сме стигнали до заключението, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай е от голямо практическо значение., тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим този проблем във втория раздел на урока.

Свойства на точковия продукт

Да се ​​върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях нула, , и формулата на скаларното произведение приема формата: .

Какво се случва, ако векторът се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е съвместно насочен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се извиква скаларен квадратвектор и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор:

Макар че изглежда неясно, но задачите на урока ще поставят всичко на мястото си. За да решим проблемите, ние също се нуждаем свойства на точковия продукт.

За произволни вектори и произволно число следните свойства са верни:

1) - преместваем или комутативнискаларен продукт закон.

2) - разпространение или разпределителенскаларен продукт закон. Просто казано, можете да отваряте скоби.

3) - комбинация или асоциативенскаларен продукт закон. Константата може да бъде извадена от скаларното произведение.

Често всички видове имоти (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като боклуци, което трябва само да бъде запомнено и безопасно забравено веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че продуктът не се променя от пермутация на фактори:. Трябва да ви предупредя, че във висшата математика с такъв подход е лесно да се объркат нещата. Така например комутативното свойство не е валидно за алгебрични матрици. Не е вярно за кръстосано произведение на вектори. Ето защо е по-добре да се задълбочите във всички свойства, които ще срещнете в курса на висшата математика, за да разберете какво може и не може да се направи.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. за какво става дума? Сумата от векторите и е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори може да се намери в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сумата от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работната формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но в условието подобни параметри са дадени за вектори, така че ще отидем по другия начин:

(1) Ние заместваме изрази на вектори.

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарна скороговорка може да се намери в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Ние имаме право.

(3) В първия и последния член ние записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме коммутируемостта на скаларното произведение: .

(4) Ето подобни термини: .

(5) В първия член използваме формулата на скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат, съответно, работи същото: . Вторият член се разширява по стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателно значение dot product посочва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Задачата е типична, ето пример за независимо решение:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на векторите и , Ако е известно, че .

Сега друга обща задача, само за новата формула за дължина на вектора. Обозначенията тук ще се припокриват малко, така че за по-голяма яснота ще го пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора if .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме векторния израз.

(2) Използваме формулата за дължина: , докато имаме целочислен израз като вектор "ve".

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Обърнете внимание как любопитно работи тук: - всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Желаещите могат да пренаредят векторите на места: - оказа се същото до пренареждане на термините.

(4) Това, което следва, вече е познато от двата предишни проблема.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размера - "единици".

Пример 6

Намерете дължината на вектора if .

Това е пример "направи си сам". Пълно решениеи отговора в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от скаларното произведение. Нека отново да разгледаме нашата формула . По правилото за пропорция нулираме дължините на векторите към знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какво е значението на тази формула? Ако дължините на два вектора и тяхното скаларен продукт са известни, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и следователно самият ъгъл.

Скаларното произведение число ли е? номер. Числа ли са векторните дължини? Числа. Така че дробът също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , след което използвате обратна функциялесно е да намерите самия ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и , Ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На финален етапизчисления е използвана техника - елиминиране на ирационалността в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , тогава:

Обратни стойности тригонометрични функцииможе да бъде намерен от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия много по-често се появява някаква тромава мечка, а стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с калкулатор. Всъщност ще виждаме тази картина отново и отново.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерността - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „премахна всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако, разбира се, по условие се изисква отговорът да се представи само в радиани или само в градуси).

Сега можете да се справите с повече трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгъла между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото многопосочна.
Нека анализираме алгоритъма на решението:

1) Според условието е необходимо да се намери ъгълът между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намираме скаларното произведение (виж Примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте Примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самия ъгъл:

Бързо решениеи отговора в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същия точков продукт. Координати. Ще бъде дори по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
дадено от координати в ортонормирана основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на векторите и if

Това е пример "направи си сам". Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката от скаларния продукт и да го умножите последно. Решение и отговор в края на урока.

В края на параграфа, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължини на векторите , ако

Решение:отново питам за начин предишен раздел: , но има и друг начин:

Да намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Тук скаларното произведение изобщо не е от значение!

Колко извън бизнеса е при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Защо да не се възползвате от очевидното свойство за дължина на вектор? Какво може да се каже за дължината на вектор? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектор:
- знакът на модула "изяжда" възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формулата за косинуса на ъгъла между векторите, които са дадени от координати

Сега имаме пълна информация, така че изведената по-рано формула за косинус на ъгъла между векторите изразено чрез векторни координати:

Косинус на ъгъла между равнинни вектории , дадени в ортонормирана основа , се изразява с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, дадено в ортонормирана основа , се изразява с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на връх).

Решение:По условие чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Незабавно си припомнете училищното обозначение на ъгъла: - Специално вниманиена среденбуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост може да се напише и просто.

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и , с други думи: .

Желателно е да се научите как да извършвате анализа, извършен мислено.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус на ъгъл:

Именно този ред на задачата препоръчвам на манекените. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията "на един ред":

Ето пример за "лоша" стойност на косинус. Получената стойност не е окончателна, така че не специално значениеотървете се от ирационалността в знаменателя.

Да намерим ъгъла:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За да проверите ъгъла може да се измери и с транспортир. Не повреждайте покритието на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяйте това попита за ъгъла на триъгълника(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: намерен с калкулатор.

Тези, които са се насладили на процеса, могат да изчислят ъглите и да се уверят, че каноничното равенство е вярно

Пример 17

Триъгълникът е даден в пространството от координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока

Малък последен раздел ще бъде посветен на прогнозите, в които скаларното произведение също е "замесен":

Проекция на вектор върху вектор. Векторна проекция върху координатни оси.
Косинуси на векторна посока

Помислете за вектори и:

Проектираме вектора върху вектора, за това пропускаме началото и края на вектора перпендикулярина вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че лъчите на светлината падат перпендикулярно върху вектор. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде "сянка" на вектора. В този случай проекцията на вектор върху вектор е ДЪЛЖИНАТА на сегмента. Тоест ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: , "голям вектор" означава вектор КОЕТОпроект, "малък индексен вектор" означава вектора НАкоето се предвижда.

Самият запис гласи така: „проекцията на вектор „a” върху вектор „be””.

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде кратък"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И векторът "а" вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "бъди", просто - на права линия, съдържаща вектора "be". Същото нещо ще се случи, ако векторът "a" бъде отделен в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху линията, съдържаща вектора "be".

Ако ъгълътмежду векторите пикантно(както на снимката), тогава

Ако векторите ортогонална, тогава (проекцията е точка, чиито размери се приемат за нула).

Ако ъгълътмежду векторите глупав(на фигурата мислено пренаредете стрелката на вектора), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Отделете тези вектори от една точка:

Очевидно, когато се движи вектор, неговата проекция не се променя

Ъгъл между два вектора, :

Ако ъгълът между два вектора е остър, то техният точков продукт е положителен; ако ъгълът между векторите е тъп, тогава скаларното произведение на тези вектори е отрицателно. Скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула, ако и само ако тези вектори са ортогонални.

Задачата.Намерете ъгъла между векторите и

Решение.Косинус на желания ъгъл

16. Изчисляване на ъгъла между прави линии, права линия и равнина

Ъгъл между права и равнинапресичащ тази права, а не перпендикулярен на нея, е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина.

Определянето на ъгъла между права и равнина ни позволява да заключим, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между две пресичащи се прави: самата права и нейната проекция върху равнината. Следователно ъгълът между права и равнина е остър ъгъл.

Ъгълът между перпендикулярна права и равнина се счита за равен, а ъгълът между успоредна права и равнина или изобщо не се определя, или се счита за равен на .

§ 69. Изчисляване на ъгъла между правите.

Задачата за изчисляване на ъгъла между две прави в пространството се решава по същия начин, както в равнината (§ 32). Означете с φ ъгъла между линиите л 1 и л 2 , а през ψ - ъгълът между векторите на посоката но И б тези прави линии.

Тогава ако

ψ 90° (фиг. 206.6), тогава φ = 180° - ψ. Очевидно е, че и в двата случая е вярно равенството cos φ = |cos ψ|. По формула (1) § 20 имаме

следователно,

Нека линиите са дадени от техните канонични уравнения

Тогава ъгълът φ между линиите се определя по формулата

Ако една от линиите (или и двете) е дадена от неканонични уравнения, тогава за да изчислите ъгъла, трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и след това да използвате формула (1).

17. Успоредни прави, Теореми за успоредни прави

Определение.Две прави в равнина се наричат успоредноако нямат общи точки.

Две линии в три измерения се наричат успоредноако лежат в една и съща равнина и нямат общи точки.

Ъгъл между два вектора.

От определението за точков продукт:

.

Условие за ортогоналност на два вектора:

Условие на колинеарност за два вектора:

.

Следва от дефиниция 5 - . Всъщност от дефиницията на произведението на вектор по число следва. Следователно, въз основа на правилото за векторно равенство, ние пишем , , , което предполага . Но векторът, получен от умножението на вектор по число, е колинеарен на вектора.

Проекция от вектор към вектор:

.

Пример 4. Дадени точки , , , .

Намерете скаларното произведение.

Решение. намираме по формулата на скаларното произведение на векторите, дадени от техните координати. Дотолкова доколкото

, ,

Пример 5Дадени точки , , , .

Намерете проекция.

Решение. Дотолкова доколкото

, ,

Въз основа на формулата за прогнозиране имаме

.

Пример 6Дадени точки , , , .

Намерете ъгъла между векторите и .

Решение. Имайте предвид, че векторите

, ,

не са колинеарни, тъй като техните координати не са пропорционални:

.

Тези вектори също не са перпендикулярни, тъй като тяхното точково произведение е .

нека намерим,

инжекция намери от формулата:

.

Пример 7Определете за кои вектори и колинеарна.

Решение. В случай на колинеарност, съответните координати на векторите и трябва да е пропорционален, т.е.

.

От тук и .

Пример 8. Определете при каква стойност на вектора И са перпендикулярни.

Решение. вектор и са перпендикулярни, ако произведението им е нула. От това условие получаваме: . Това е, .

Пример 9. Да намеря , ако , , .

Решение. Поради свойствата на скаларното произведение имаме:

Пример 10. Намерете ъгъла между векторите и , където и - единични вектори и ъгълът между векторите и е равен на 120o.

Решение. Ние имаме: , ,

В крайна сметка имаме: .

5 Б. векторен продукт.

Определение 21.векторно изкуствовектор към вектор се нарича вектор или , дефиниран от следните три условия:

1) Модулът на вектора е , където е ъгълът между векторите и , т.е. .

От това следва, че модулът на векторното произведение е числено равна на площуспоредник, изграден върху вектори и като по страни.

2) Векторът е перпендикулярен на всеки от векторите и ( ; ), т.е. перпендикулярно на равнината на успоредника, построен върху векторите и .

3) Векторът е насочен така, че ако се гледа от неговия край, тогава най-краткият завой от вектор към вектор ще бъде обратно на часовниковата стрелка (векторите , , образуват дясна тройка).

Как да изчислим ъглите между векторите?

При изучаване на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени затруднения, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледате ъглите между векторите, е необходимо да се запознаете с определението на вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, тоест сегмент, за който са определени неговото начало и край.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите, с които се изисква да се премести един от векторите около обща точка, до позиция, в която посоките им съвпадат.

Формула на разтвора

След като разберете какво представлява векторът и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата на решението за това е доста проста и резултатът от прилагането й ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. По дефиниция той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се разглежда като сбор от съответните координати на умножителни вектори, умножени един по друг. Дължината на вектора или неговият модул се изчислява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите координати.

След като получите стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решението на съответния проблем става просто и ясно. Като пример разгледайте простия проблем за намиране на големината на ъгъла.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и техния скаларен продукт, необходими за решаване. Използвайки описанието по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, ние изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи стойности на косинус, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Брадис. Но преди да получите ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отървете от допълнителния отрицателен знак:

Крайният отговор може да бъде оставен в тази форма, за да се запази точността, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъла в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерно пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях и той ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, арккосинуса на техния коефициент и ще бъде отговорът на този проблем.

В геометрията често възникват проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл се оказа 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След като в резултат на решението получим стойност на ъгъл от 0 градуса, правилният отговор би бил да се обозначат векторите като ко-насочени, тоест векторите ще имат една и съща посока. В случай на получаване на 180 градуса, векторите ще имат характер на противоположни посоки.

Специфични вектори

Чрез намиране на ъглите между векторите може да се намери един от специалните типове, в допълнение към ко-насочените и противоположно насочените, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​компланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, тоест неговото начало и край съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е един, тогава се нарича единица.

Как да намеря ъгъла между векторите?

помогнете ми моля! Знам формулата, но не мога да я разбера
вектор а (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александър Титов

Ъгълът между векторите, дадени от техните координати, се намира по стандартния алгоритъм. Първо трябва да намерите скаларното произведение на векторите a и b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Тук заместваме координатите на тези вектори и разглеждаме:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
След това определяме дължините на всеки от векторите. Дължината или модулът на вектор е корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати:
|a| = корен от (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корен от (8^2 + 10^2 + 4^2) = корен от (64 + 100 + 16) = корен от 180 = 6 корена от пет
|b| = корен квадратен от (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корен квадратен от (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корен квадратен от (25 + 400 + 100 ) = корен квадратен от 525 = 5 корена от 21.
Умножаваме тези дължини. Получаваме 30 корена от 105.
И накрая, разделяме скаларното произведение на векторите на произведението на дължините на тези вектори. Получаваме -200 / (30 корена от 105) или
- (4 корена от 105) / 63. Това е косинусът на ъгъла между векторите. А самият ъгъл е равен на дъга косинус на това число
f \u003d arccos (-4 корена от 105) / 63.
Ако преброих правилно.

Как да изчислим синуса на ъгъла между векторите от координатите на векторите

Михаил Ткачев

Ние умножаваме тези вектори. Техният точков продукт е равен на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях.
Ъгълът е неизвестен за нас, но координатите са известни.
Нека го запишем математически така.
Нека дадени вектори a(x1;y1) и b(x2;y2)
Тогава

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Ние спорим.
a*b-скаларен продукт на векторите е равен на сбора от произведенията на съответните координати на координатите на тези вектори, т.е. равен на x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-продукт на дължините на векторите е равен на √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Значи косинусът на ъгъла между векторите е:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Познавайки косинуса на ъгъла, можем да изчислим неговия синус. Нека обсъдим как да го направим:

Ако косинусът на ъгъла е положителен, тогава този ъгъл се намира в 1 или 4 четвърти, така че неговият синус е положителен или отрицателен. Но тъй като ъгълът между векторите е по-малък или равен на 180 градуса, тогава неговият синус е положителен. Ние спорим по подобен начин, ако косинусът е отрицателен.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Това е)))) Успех да го разбера)))

Дмитрий Левищев

Фактът, че е невъзможно директно синусиране, не е вярно.
В допълнение към формулата:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Има и този:
||=|a|*|b|*sin A
Тоест, вместо скаларния продукт, можете да вземете модула на векторния продукт.