Графиката на функцията корен куб. Силова функция и корени - определение, свойства и формули

Момчета, ние продължаваме да изучаваме силовите функции. Темата на днешния урок ще бъде функция - корен кубичен от x. Какво е кубичен корен? Числото y се нарича кубичен корен от x (корен от трета степен), ако равенството е изпълнено. Означете:, където x е радикалното число, 3 е степента.

Както виждаме, кубичният корен може да бъде извлечен и от отрицателни числа. Оказва се, че нашият корен съществува за всички числа. Третият корен от отрицателно число е равен на отрицателно число. При издигане на нечетна степен знакът се запазва, третата степен е нечетна. Нека проверим равенството: Нека. Повишаваме и двата израза на трета степен. Тогава или В нотацията на корените получаваме желаната идентичност.

Момчета, нека начертаем нашата функция сега. 1) Областта на дефиниция е множеството от реални числа. 2) Функцията е нечетна, тъй като След това разглеждаме нашата функция при x 0, след което отразяваме графиката спрямо началото. 3) Функцията се увеличава при x 0. За нашата функция по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията, което означава увеличение. 4) Функцията не е ограничена отгоре. Всъщност от каквото и да е Голям бройможем да изчислим корена от трета степен и можем да се движим до безкрайност, намирайки все по-големи стойности на аргумента. 5) За x 0 най-малката стойност е 0. Това свойство е очевидно.

Нека изградим нашата графика на функцията върху целия домейн на дефиниция. Не забравяйте, че нашата функция е странна. Свойства на функцията: 1) D(y)=(-;+) 2) странна функция. 3) Увеличава с (-;+) 4) Неограничен. 5) Няма минимална или максимална стойност. 6) Функцията е непрекъсната на цялата реална линия. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Изпъкнал надолу с (-; 0), изпъкнал нагоре с (0; +).

Пример. Начертайте графиката на функцията и я прочетете. Решение. Нека построим две графики на функции в една и съща координатна равнина, като вземем предвид нашите условия. При x-1 изграждаме графика на кубичен корен, при x-1 графика на линейна функция. 1) D(y)=(-;+) 2) Функцията не е нито четна, нито нечетна. 3) Намалява с (-;-1), увеличава се с (-1;+) 4) Неограничено отгоре, ограничено отдолу. 5) Най-голяма стойностне. Най-ниска стойностравно минус едно. 6) Функцията е непрекъсната на цялата реална линия. 7) E(y)= (-1;+)

Вместо въведение

Използването на съвременни технологии (CSE) и учебни пособия (мултимедийна дъска) в уроците помага на учителя да планира и провежда ефективни уроци, създава условия за разбиране, запаметяване и упражняване на умения на учениците.

Урокът се оказва динамичен и интересен, ако комбинирате различни форми на обучение по време на урока.

В съвременната дидактика има четири общи организационни формиизучаване на:

• индивидуално медиирано;
• парна баня;
• група;

колективни (по двойки от взаимозаменяем състав). (Dyachenko V.K. Съвременна дидактика. - М .: Национално образование, 2005).

В традиционен урок по правило се използват само първите три изброени по-горе организационни форми на обучение. колективна формапреподаването (работа по двойки на смени) практически не се използва от учителя. Тази организационна форма на обучение обаче дава възможност на екипа да обучи всеки и всеки да участва активно в обучението на другите. Колективната форма на обучение е водеща в КСО технологията.

Един от най-разпространените методи на технологията на колективния начин на обучение е методът "Взаимно обучение".

Тази „магическа“ техника е добра във всеки предмет и във всеки урок. Целта е обучение.

Обучението е наследник на самоконтрола, помага на ученика да установи контакта си с предмета на обучение, като улеснява намирането на правилните стъпки-действия. Чрез обучение в усвояване, консолидиране, прегрупиране, преразглеждане, прилагане на знания се осъществява развитието на човешките познавателни способности. (Яновицкая Е.В. Как да преподаваш и учиш в класната стая, така че да искаш да учиш. Справочник. - Санкт Петербург: Образователни проекти, М.: Издател А.М. Кушнир, 2009.-с.14;131)

Това ще ви помогне бързо да повторите всяко правило, да запомните отговорите на проучените въпроси, да консолидирате необходимото умение. Оптималното време за работа по метода е 5-10 минути. По правило работата по учебни карти се извършва по време на устно броене, тоест в началото на урока, но по преценка на учителя може да се извърши на всеки етап от урока, в зависимост от неговите цели и структура. В картата за обучение може да има от 5 до 10 прости примера (въпроси, задачи). Всеки ученик в класа получава карта. Картите са различни за всеки или различни за всеки в „консолидирания отряд“ (деца, седнали на един и същи ред). Консолидирана чета (група) е временно сътрудничество от ученици, образувано за изпълнение на конкретна учебна задача. (Яловец Т.В. Технологията на колективния метод на преподаване в професионалното развитие на учителя: Учебно-методическо ръководство. - Новокузнецк: Издателство на IPK, 2005. - С. 122)

Проект за урок по темата „Функция y=, нейните свойства и графика“

В проекта на урока, чиято тема е: „ Функция y=, нейните свойства и графика”е представено използването на техниката на взаимното обучение в комбинация с използването на традиционни и мултимедийни учебни помагала.

Тема на урока: „ Функция y=, неговите свойства и графика”

цели:

• подготовка за контролна работа;
• проверка на познаването на всички свойства на функцията и способността да се начертават функционални графики и да се четат техните свойства.

задачи: ниво предмет:

ниво на свръхпредмет:

• научете се да анализирате графична информация;
• развиват способността за водене на диалог;
• развиват умението и уменията за работа с интерактивна дъска, използвайки примера за работа с графики.

Структура на урока	Време
1. Информационен вход на учителя (ITI)	5 минути.
2. Актуализация на основните знания: работа по двойки на смени по методика “Взаимно обучение”	8 мин.
3. Запознаване с темата “Функция y=, нейните свойства и графика”: презентация на учителя	8 мин.
4. Консолидиране на новоизучения и вече преминат материал по темата „Функция”: с помощта на интерактивна дъска	15 минути.
5. Самоконтрол : под формата на тест	7 мин.
6. Обобщаване, записване на домашни.	2 минути.

Нека разгледаме по-подробно съдържанието на всеки етап.

1. Въвеждането на информация за учителя (ITI) включва Организиране на времето; изразяване на темата, целта и плана на урока; показване на извадка от работа по двойки по метода на взаимното обучение.

Демонстрирането на извадка от работа по двойки от учениците на този етап от урока е препоръчително да се повтори алгоритъма на работата на техниката, от която се нуждаем, т.к. на следващия етап от урока върху него се планира работата на целия класен екип. В същото време можете да назовете грешките в работата според алгоритъма (ако има такива), както и да оцените работата на тези ученици.

2. Актуализацията на референтните знания се извършва по двойки сменен състав по метода на взаимното обучение.

Алгоритъмът на методиката включва индивидуални, двойни (статични двойки) и колективни (двойки сменен състав) организационни форми на обучение.

Индивидуално: всеки, който получи картата, се запознава със съдържанието й (чете въпросите и отговорите на гърба на картата).

• първо(в ролята на „обучаем“) чете задачата и отговаря на въпросите от картата на партньора;
• второ(в ролята на "треньор") - проверява правилността на отговорите на гърба на картата;
• по подобен начин работете върху друга карта, като сменяте ролите;
• направете отметка в индивидуален лист и сменете карти;
• преминете към нов чифт.

Колективно:

• в новата двойка работят както в първата; преминаване към нов чифт и т.н.

Броят на преходите зависи от времето, отделено от учителя този етапурок, от старанието и бързината на разбиране на всеки ученик и от партньорите в сътрудничество.

След работа по двойки учениците правят бележки върху листовете за запис, учителят извършва количествен и качествен анализ на работата.

Списъкът може да изглежда така:

Иванов Петя 7 "б" клас

датата	Номер на карта	Брой грешки	с кого си работил
20.12.09	№7	0	Сидоров К.
	№3	2	Петрова М.
	№2	1	Самойлова З.

3. Запознаването с темата „Функцията y =, нейните свойства и графика” се осъществява от учителя под формата на презентация с помощта на мултимедийни средства за обучение (Приложение 4). От една страна, това е опция за визуализация, която е разбираема за съвременните ученици, от друга страна, спестява време за обяснение на нов материал.

4. Затвърждаване на новоизучения и вече пропуснат материал по темата „Функция ” организирани в два варианта, като се използват традиционни учебни помагала (табла, учебник) и иновативни (интерактивна дъска).

Първо се предлагат няколко задачи от учебника за затвърждаване на новоизучения материал. Използва се учебникът, използван за преподаване. Работата се извършва едновременно с целия клас. В този случай един ученик изпълнява задачата “а” - на традиционна дъска; другата е задача “b” на интерактивната дъска, останалите ученици записват решенията на същите задачи в тетрадка и сравняват решението си с решението, представено на дъските. След това учителят оценява работата на учениците на черната дъска.

След това, за по-бързо консолидиране на изучавания материал по темата „Функция“, се предлага фронтална работа с интерактивна дъска, която може да бъде организирана по следния начин:

• задачата и графикът се появяват на интерактивната дъска;
• ученик, който иска да отговори, отива на дъската, изпълнява необходимите конструкции и озвучава отговора;
• на дъската се появява нова задача и нов график;
• Друг ученик излиза да отговори.

Така за кратък период от време е възможно да се решат доста задачи, да се оценят отговорите на учениците. Някои интересни задачи (подобни на задачи от предстоящите контролна работа), могат да бъдат записани в тетрадка.

5. На етапа на самоконтрол на студентите се предлага тест, последван от самоизпит (Приложение 3).

литература

1. Дяченко, В.К. Съвременна дидактика [Текст] / В.К. Дяченко - М.: Народно образование, 2005.
2. Яловец, Т.В. Технологията на колективния метод на обучение в професионалното развитие на учителя: Учебно-методическо ръководство [Текст] / Т.В. Яловец. - Новокузнецк: Издателство IPC, 2005.
3. Яновицкая, Е.В. Как да преподавате и учите в класната стая, така че да искате да учите. Справочник [Текст] / Е. В. Яновицкая. - Санкт Петербург: Образователни проекти, М.: Издател A.M. Кушнир, 2009 г.

Урок и презентация на тема: "Силови функции. Кубичен корен. Свойства на кубичен корен"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 9 клас
Образователен комплекс 1C: "Алгебрични задачи с параметри, 9-11 клас" Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.0"

Определение на степенна функция - корен кубичен

Момчета, ние продължаваме да изучаваме силовите функции. Днес ще говорим за функцията Cube Root от x.
Какво е кубичен корен?
Число y се нарича кубичен корен от x (корен от трета степен), ако $y^3=x$ е вярно.
Те се обозначават като $\sqrt(x)$, където x е коренното число, 3 е степента.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Както виждаме, кубичният корен може да бъде извлечен и от отрицателни числа. Оказва се, че нашият корен съществува за всички числа.
Третият корен от отрицателно число е равен на отрицателно число. При издигане на нечетна степен знакът се запазва, третата степен е нечетна.

Нека проверим равенството: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Нека $\sqrt((-x))=a$ и $\sqrt(x)=b$. Нека повдигнем и двата израза на трета степен. $–x=a^3$ и $x=b^3$. Тогава $a^3=-b^3$ или $a=-b$. При нотацията на корените получаваме желаната идентичност.

Свойства на кубичните корени

а) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
б) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Нека докажем второто свойство. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Открихме, че числото $\sqrt(\frac(a)(b))$ в куба е равно на $\frac(a)(b)$ и след това е равно на $\sqrt(\frac(a) (b))$, което и трябваше да бъде доказано.

Момчета, нека начертаем нашата функционална графика.
1) Областта на дефиниция е множеството от реални числа.
2) Функцията е странна, защото $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. След това разгледайте нашата функция за $x≥0$, след което отразете графиката спрямо началото.
3) Функцията се увеличава за $х≥0$. За нашата функция по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията, което означава увеличаване.
4) Функцията не е ограничена отгоре. Всъщност от произволно голямо число можете да изчислите корена от трета степен и можем да се движим до безкрайност, намирайки все по-големи стойности на аргумента.
5) За $x≥0$ най-малката стойност е 0. Това свойство е очевидно.
Нека построим графика на функцията по точки за x≥0.

Нека изградим нашата графика на функцията върху целия домейн на дефиниция. Не забравяйте, че нашата функция е странна.

Свойства на функцията:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетна функция.
3) Увеличава се с (-∞;+∞).
4) Неограничен.
5) Няма минимална или максимална стойност.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Изпъкнал надолу с (-∞;0), изпъкнал нагоре с (0;+∞).

Примери за решаване на степенни функции

Примери
1. Решете уравнението $\sqrt(x)=x$.
Решение. Нека построим две графики на една и съща координатна равнина $y=\sqrt(x)$ и $y=x$.

Както можете да видите, нашите графики се пресичат в три точки.
Отговор: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Изграждане на графика на функцията. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Решение. Нашата графика се получава от графиката на функцията $y=\sqrt(x)$, чрез паралелно изместване на две единици надясно и три надолу.

3. Изградете функционална графика и я прочетете. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Решение. Нека построим две графики на функции в една и съща координатна равнина, като вземем предвид нашите условия. За $х≥-1$ изграждаме графика на кубичен корен, за $х≤-1$ графика на линейна функция.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Функцията не е нито четна, нито нечетна.
3) Намалява с (-∞;-1), увеличава се с (-1;+∞).
4) Неограничен отгоре, ограничен отдолу.
5) Няма максимална стойност. Най-малката стойност е минус едно.
6) Функцията е непрекъсната на цялата реална линия.
7) E(y)= (-1;+∞).

Задачи за самостоятелно решаване

1. Решете уравнението $\sqrt(x)=2-x$.
2. Начертайте функцията $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Изградете графика на функцията и я прочетете. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Дадени са основните свойства на степенната функция, включително формули и свойства на корените. Представени са производната, интеграла, степенния ред и представянето чрез комплексни числа на степенната функция.

Определение

Определение
Функция за захранванес степен на стре функцията f (x) = xp, чиято стойност в точката x е равна на стойността експоненциална функцияс основа x в p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

За естествените стойности на експонента степенната функция е продукт на n числа, равни на x:
.
Дефиниран е за всички реални .

За положителни рационални стойности на експонента степенната функция е произведението на n корена от степен m от числото x:
.
За нечетно m той е дефиниран за всички реални x. За четно m степенната функция е дефинирана за неотрицателна .

За отрицателна функция мощността се дефинира по формулата:
.
Следователно той не е дефиниран в точката.

За ирационални стойности на експонента p, експоненциалната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, не равно на едно: .
За , то е дефинирано за .
За , функцията на мощност е дефинирана за .

Приемственост. Силовата функция е непрекъсната в своята област на дефиниране.

Свойства и формули на степенната функция за x ≥ 0

Тук разглеждаме свойствата на степенната функция за не отрицателни стойностиаргумент x . Както бе споменато по-горе, за някои стойности на експонента p, експоненциалната функция е дефинирана и за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата при , като се използва четно или нечетно четно число. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".

Степенна функция, y = x p , с експонент p има следните свойства:
(1.1) дефинирани и непрекъснати на снимачната площадка
в ,
в ;
(1.2) има много значения
в ,
в ;
(1.3) стриктно се увеличава при ,
стриктно намалява при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказателството за имотите е дадено на страницата " Функция за мощност (доказателство за непрекъснатост и свойства) »

Корени - определение, формули, свойства

Определение
Корен от x на степен на nе числото, чието повишаване на степен n дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ... - естествено число, по-голямо от едно.

Можете също така да кажете, че коренът на числото x от степен n е коренът (тоест решението) на уравнението
.
Имайте предвид, че функцията е обратна на функцията.

Корен квадратен от xе корен от степен 2: .

корен кубот число хе корен от степен 3: .

Равномерна степен

За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0 . Често използвана формула е валидна както за положително, така и за отрицателно x:
.
За корен квадратен:
.

Тук е важен редът, в който се извършват операциите - тоест първо се извършва квадратура, което води до неотрицателно число и след това от него се извлича коренът (от неотрицателно число можете да извлечете Корен квадратен). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.

нечетна степен

За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.

Свойства и формули на корените

Коренът на x е степенна функция:
.
За x ≥ 0 следните формули са валидни:
;
;
, ;
.

Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливите. Необходимо е само да се гарантира, че радикалното изразяване на четните правомощия не е отрицателно.

Частни ценности

Коренът от 0 е 0: .
Коренът от 1 е 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .

Пример. Корен от корени

Помислете за примера за корен квадратен от корени:
.
Преобразувайте вътрешния квадратен корен, като използвате горните формули:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Ето графиките на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенната функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата " Силова функция, нейните свойства и графики »

Обратна функция

Обратната на степенна функция с степен p е степенна функция с степен 1/p .

Ако , тогава .

Производна на мощностната функция

Производна от n-ти ред:
;

Извеждане на формули >>>

Интеграл на мощностна функция

P≠- 1 ;
.

Разширяване на силовата серия

В - 1 < x < 1 се извършва следното разлагане:

Изрази по отношение на комплексни числа

Помислете за функция на комплексна променлива z :
е (z) = z t.
Изразяваме комплексната променлива z чрез модула r и аргумента φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Представяме комплексното число t като реални и въображаеми части:
t = p + i q .
Ние имаме:

Освен това, ние вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,

Да разгледаме случая, когато q = 0 , тоест експонента реално число, t = p . Тогава
.

Ако p е цяло число, тогава kp също е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
т.е експоненциална функцияс целочислен показател за даден z има само една стойност и следователно е еднозначен.

Ако p е ирационално, тогава произведенията на kp не дават цяло число за всяко k. Тъй като k преминава през безкрайна поредица от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., то функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 π(едно завъртане), преминаваме към нов клон на функцията.

Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, където m,nса цели числа без общи делители. Тогава
.
Първите n стойности, за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дайте n различни значения kp :
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, за k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават по кратни на 2 π, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p като за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

По този начин експоненциалната функция с рационален индикаторстепента е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 π(едно завъртане), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива завои се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.

По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример разгледайте n-тия корен от реално положително число z = x. В този случай φ 0 = 0 , z = r = |z| = х, .
.
И така, за корен квадратен, n = 2 ,
.
За четно k, (- 1 ) k = 1. За нечетно k, (- 1 ) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.