От какво зависят свойствата на степенната функция? Функция за захранване

В този урок ще продължим изучаването на степенните функции с рационален индикатор, разгледа функциите с отрицателен рационален показател.

1. Основни понятия и определения

Припомнете си свойствата и графиките на степенните функции с отрицателен целочислен показател.

За четно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две неподвижни точки: (1;1), (-1;1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната четност, графиките са симетрични по отношение на оста op-y.

Ориз. 1. Графика на функция

За нечетно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две неподвижни точки: (1;1), (-1;-1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната нечетност, графиките са симетрични по отношение на началото.

Ориз. 2. Графика на функциите

2. Функция с отрицателен рационален показател, графики, свойства

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.

Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.

Тъй като важи следното равенство:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, тъй като експонентът е цяло число,

Нека се обърнем към разглеждането на степенните функции с рационален отрицателен показател.

Например:

За да начертаете тази функция, можете да направите таблица. Ще направим иначе: първо, ще изградим и изучим графиката на знаменателя - ние го знаем (Фигура 3).

Ориз. 3. Графика на функция

Графиката на функцията на знаменателя минава през фиксирана точка (1;1). При конструиране на графика на оригиналната функция тази точка остава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

Ориз. 4. Графика на функциите

Помислете за още една функция от семейството на изследваните функции.

Важно е, че по дефиниция

Разгледайте графиката на функцията в знаменателя: , ние знаем графиката на тази функция, тя се увеличава в своята област на дефиниране и минава през точката (1; 1) (фигура 5).

Ориз. 5. Функционална графика

При конструиране на графика на оригиналната функция остава точката (1; 1), когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

Ориз. 6. Функционална графика

Разгледаните примери помагат да се разбере как върви графиката и какви са свойствата на изследваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функциите от това семейство минават през точка (1;1), функцията намалява в цялата област на дефиниране.

Обхват на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, а е ограничена отдолу. Функцията няма нито максимум, нито най-малката стойност.

Функцията е непрекъсната, приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Функция Convex Down (Фигура 15.7)

На кривата са взети точки A и B, през тях е начертан сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.

Ориз. 7. Изпъкналост на функция

3. Решаване на типични задачи

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но те нямат най-малката стойност.

Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция на интервала \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Графика (фиг. 2).

Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$

Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател

Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е нечетна функция.

$f(x)$ е непрекъснат в целия домейн на дефиниция.

Обхватът е всички реални числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функцията се увеличава в целия домейн на дефиниция.

$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Степенна функция с целочислена степен

Като начало въвеждаме концепцията за степен с целочислен показател.

Определение 3

Степен реално число$a$ с целочислен индекс $n$ се ​​определя по формулата:

Фигура 4

Помислете сега за степенна функция с целочислен експонента, нейните свойства и графика.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с целочислен експонента.

Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случая на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Оставяме разглеждането му на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен целочислен показател

Свойства на степенна функция с отрицателен целочислен показател

Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако степента е четна, тогава функцията е четна; ако е нечетна, тогава функцията е нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в целия домейн на дефиниция.

Обхват на стойността:

Ако степента е четна, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетна, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако степента е нечетна, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен експонент функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и се увеличава като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ в целия домейн

Урок и презентация на тема: "Силови функции. Свойства. Графики"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 11 клас
Интерактивно помагало за 9-11 клас "Тригонометрия"
Интерактивно помагало за 10-11 клас "Логаритми"

Силови функции, област на дефиниция.

Момчета, в последния урок научихме как да работим с числа с рационален степен. В този урок ще разгледаме степенните функции и ще се ограничим до случая, когато показателят е рационален.
Ще разгледаме функции от вида: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Нека първо разгледаме функциите, чиято степен е $\frac(m)(n)>1$.
Нека ни бъде дадена конкретна функция $y=x^2*5$.
Според дефиницията, която дадохме в последния урок: ако $x≥0$, тогава домейнът на нашата функция е лъчът $(x)$. Нека изобразим схематично нашата функционална графика.

Свойства на функцията $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Не е нито четно, нито нечетно.
3. Увеличава се с $$,
б) $(2,10)$,
в) на лъча $$.
Решение.
Момчета, помните ли как намерихме най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент в 10 клас?
Точно така, използвахме производната. Нека решим нашия пример и повторим алгоритъма за намиране на най-малката и най-голямата стойност.
1. Намерете производната на дадената функция:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Производната съществува в цялата област на оригиналната функция, тогава няма критични точки. Нека намерим стационарни точки:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt(64)=4$.
Само едно решение $x_2=4$ принадлежи към дадения сегмент.
Нека изградим таблица със стойности на нашата функция в краищата на сегмента и в точката на екстремум:
Отговор: $y_(name)=-862.65$ с $x=9$; $y_(max)=38,4$ за $x=4$.

Пример. Решете уравнението: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Решение. Графиката на функцията $y=x^(\frac(4)(3))$ се увеличава, докато графиката на функцията $y=24-x$ намалява. Момчета, вие и аз знаем: ако една функция се увеличава, а другата намалява, тогава те се пресичат само в една точка, тоест имаме само едно решение.
Забележка:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Тоест за $х=8$ получихме правилното равенство $16=16$, това е решението на нашето уравнение.
Отговор: $x=8$.

Пример.
Начертайте функцията: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Решение.
Графиката на нашата функция се получава от графиката на функцията $y=x^(\frac(3)(4))$, като се измества с 3 единици надясно и 2 единици нагоре.

Пример. Напишете уравнението на допирателната към правата $y=x^(-\frac(4)(5))$ в точката $x=1$.
Решение. Уравнението на допирателната се определя от известната ни формула:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашия случай $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Нека намерим производната:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Да изчислим:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Намерете уравнението на допирателната:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Отговор: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: $y=x^\frac(4)(3)$ на отсечката:
а) $$.
б) $(4,50)$.
в) на лъча $$.
3. Решете уравнението: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Графично изобразете функцията: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Напишете уравнението на допирателната към правата $y=x^(-\frac(3)(7))$ в точката $x=1$.

Припомнете си свойствата и графиките на степенните функции с отрицателен целочислен показател.

За четно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две неподвижни точки: (1;1), (-1;1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната четност, графиките са симетрични по отношение на оста op-y.

Ориз. 1. Графика на функция

За нечетно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две неподвижни точки: (1;1), (-1;-1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната нечетност, графиките са симетрични по отношение на началото.

Ориз. 2. Графика на функциите

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.

Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.

Тъй като важи следното равенство:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, тъй като експонентът е цяло число,

Нека се обърнем към разглеждането на степенните функции с рационален отрицателен показател.

Например:

За да начертаете тази функция, можете да направите таблица. Ще направим иначе: първо, ще изградим и изучим графиката на знаменателя - ние го знаем (Фигура 3).

Ориз. 3. Графика на функция

Графиката на функцията на знаменателя минава през фиксирана точка (1;1). При конструиране на графика на оригиналната функция тази точка остава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

Ориз. 4. Графика на функциите

Помислете за още една функция от семейството на изследваните функции.

Важно е, че по дефиниция

Разгледайте графиката на функцията в знаменателя: , ние знаем графиката на тази функция, тя се увеличава в своята област на дефиниране и минава през точката (1; 1) (фигура 5).

Ориз. 5. Функционална графика

При конструиране на графика на оригиналната функция остава точката (1; 1), когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

Ориз. 6. Функционална графика

Разгледаните примери помагат да се разбере как върви графиката и какви са свойствата на изследваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функциите от това семейство минават през точка (1;1), функцията намалява в цялата област на дефиниране.

Обхват на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, а е ограничена отдолу. Функцията няма нито максимална, нито минимална стойност.

Функцията е непрекъсната, приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Функция Convex Down (Фигура 15.7)

На кривата са взети точки A и B, през тях е начертан сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.

Ориз. 7. Изпъкналост на функция

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но те нямат най-малката стойност.

Пример 1 - намерете максимума и минимума на функцията на интервала)