Таблица за преобразуване на тригонометрични функции. Основни тригонометрични формули

Тригонометрията е един от клоновете на математиката, чийто фокус е върху ъглите и връзките между тях. Основите на науката се полагат в училищните години, когато се въвеждат дефиниции на ъглови функции. В бъдеще получената база се използва в развитието на астрономията, инструментариума, архитектурата и други области на знанието. Както всяка точна наука, тригонометрията не е пълна без формули. Практическа употребанамерени изрази за дефиниране на двоен аргумент. Например, като се прибегне до съответното уравнение, човек може лесно да разбере двоен ъгълсинус.

Тригонометричен израз за изчисление

Изразът е просто написан и запомнен: синусът на двоен ъгъл се изчислява като двойно произведение на синуса и косинуса на единичен аргумент.

Тази формула се извлича от израза за синуса на сбора на ъглите ( В 1 + В 2 ) :

грях( В 1 + В 2) = грях В 1* cos В 1+ грях В 2*кос В 2 .

Ако приемем, че дадени ъглиравни една на друга, формулата се записва в обичайната форма.

Можете да използвате израз за всяка стойност на аргумента на функцията. Изчисляването на двойния ъгъл на синуса от него е доста просто, примерите по-долу ще помогнат да се провери това.

Пример за употреба

Ето няколко илюстрации на приложението на получената формула. Нека се изисква да се изчисли стойността на тригонометричната функция на синуса на ъгъл, равен на 60 градуса. Съответният единичен ъгъл ще бъде 30 градуса. Тъй като синусът и косинусът на ъгъл от 30 градуса са известни, двойният ъгъл на синуса ще бъде sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Формулата се използва не само за изчисляване "ръчно", можете също да намерите стойности, като я използвате с помощта на математически пакети или таблици на MS Excel.

Въпреки простотата на тригонометричната идентичност, тя създава трудности за завършилите училище. Точно на това разчитат разработчиците на задачите USE, които предлагат тестове за проверка на основните формули. Заключение - формулата за изчисляване на двойния ъгъл на синуса, трябва да знаете наизуст!

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат на документ по предоставения образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка на нашия имейл адрес добро качествои ще направим необходимия дубликат.

Какви видове плащане приемате? Отговор Можете да платите за документа в момента на получаване от куриера, след като проверите коректността на попълването и качеството на дипломата. Това може да стане и в офиса на пощенските компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел "Плащане и доставка". Готови сме да изслушаме и вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.

Мога ли да съм сигурен, че след като направите поръчка, няма да изчезнете с моите пари? Отговор Имаме доста дълъг опит в областта на изработката на дипломи. Имаме няколко сайта, които постоянно се актуализират. Нашите специалисти работят в различни части на страната, като изработват над 10 документа на ден. През годините нашите документи помогнаха на много хора да решат проблемите със заетостта или да преминат към повече високо платена работа. Спечелихме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да правим това. Освен това е просто невъзможно да го направите физически: плащате за поръчката си в момента на получаването й във вашите ръце, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от който и да е университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. За това време е формирана почти пълна база данни от документи, издадени от почти всички университети в страната и чужбина. различни годинииздаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формуляр за поръчка.

Какво трябва да направя, ако намеря печатни грешки и грешки в документ? Отговор При получаване на документ от нашата куриерска или пощенска фирма, препоръчваме да проверите внимателно всички детайли. Ако се открие печатна грешка, грешка или неточност, имате право да не вземете дипломата и трябва да посочите констатираните недостатъци лично на куриера или в писанекато изпратите писмо до електронна поща.
При първа възможност ние ще коригираме документа и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме оформление на бъдещия документ на пощата на клиента за проверка и одобрение. финална версия. Преди да изпратим документ по куриер или по пощата, ние също го правим допълнителна снимкаи видео (включително в ултравиолетова светлина), така че да имате визуална представа за това, което получавате в крайна сметка.

Какво трябва да направите, за да поръчате диплома от вашата компания? Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академично свидетелство и др.), трябва да попълните онлайн формуляр за поръчка на нашия уебсайт или да предоставите своя e-mail, за да ви изпратим формуляр за въпросник, който трябва да попълните и изпратите обратно към нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое поле на формуляра/въпросника, оставете ги празни. Затова ще изясним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Валентин:

Ти спаси сина ни от уволнение! Факт е, че след като напусна училище, синът отиде в армията. И когато се върна, не искаше да се възстанови. Работил без диплома. Но наскоро започнаха да уволняват всички, които нямат „коричка“. Затова решихме да се свържем с вас и не съжаляваме! Сега той работи спокойно и не се страхува от нищо! Благодаря!

Формулите за двоен ъгъл се използват за изразяване на синусите, косинусите, тангентите, котангентите на ъгъл със стойност 2 α с помощта на тригонометричните функции на ъгъла α . Тази статия ще представи всички формули за двоен ъгъл с доказателства. Ще бъдат разгледани примери за прилагане на формули. В последната част ще бъдат показани формулите за тройни, четворни ъгли.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Списък на формулите за двоен ъгъл

За да преобразувате формули за двоен ъгъл, не забравяйте, че ъглите в тригонометрията имат формата n α нотация, където n е естествено число, стойността на израза се записва без скоби. По този начин се счита, че sin n α има същото значение като sin (n α) . С нотацията sin n α имаме подобна нотация (sin α) n . Използването на записа е приложимо за всички тригонометрични функциис правомощия на n.

Следват формулите за двоен ъгъл:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 tg 2 α = 2 tg α 1 - tg 2 α ctg 2 α - ctg 2 α - 1 2 ctg α

Обърнете внимание, че тези формули sin и cos са приложими за всяка стойност на ъгъла α. Формулата за тангенса на двоен ъгъл е валидна за всяка стойност на α, където t g 2 α има смисъл, тоест α ≠ π 4 + π 2 · z, z е всяко цяло число. Котангенсът на двоен ъгъл съществува за всяко α , където c t g 2 α е дефинирано върху α ≠ π 2 · z .

Косинусът на двоен ъгъл има тройна нотация на двоен ъгъл. Всички те са приложими.

Доказателство за формули за двоен ъгъл

Доказателството на формулите произлиза от формулите за събиране. Прилагаме формулите за синуса на сбора:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β и косинусът на сумата cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Да предположим, че β = α , тогава получаваме това

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α и cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

По този начин се доказват формулите за синуса и косинуса на двойния ъгъл sin 2 α \u003d 2 sin α cos α и cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.

Почивка cos формули 2 α = 1 - 2 sin 2 α и cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 водят до формата cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, когато замените 1 със сумата на квадрати според главното тъждество sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаваме, че sin 2 α + cos 2 α = 1. Така че 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α и 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

За да докажем формулите за двойния ъгъл на допирателната и котангенса, прилагаме равенствата t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. След трансформацията получаваме, че tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α и ctg 2 α = cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделете израза на cos 2 α, където cos 2 α ≠ 0 с произволна стойност на α, когато е дефинирано t g α. Разделете друг израз на sin 2 α , където sin 2 α ≠ 0 с произволни стойности на α , когато c t g 2 α има смисъл. За да докажем формулата за двоен ъгъл за тангенс и котангенс, заместваме и получаваме:

- със сигурност ще има задачи по тригонометрия. Тригонометрията често не се харесва, тъй като трябва да се тъпче огромно количество трудни формули, гъмжащи от синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Веднъж сайтът даваше съвет как да запомните забравена формула, използвайки примера на формулите на Ойлер и Пийл.

И в тази статия ще се опитаме да покажем, че е достатъчно да знаете твърдо само пет от най-простите тригонометрични формули, а за останалите, за да имате обща представа и да ги показвате, докато вървите. Това е като с ДНК: пълните рисунки на завършено живо същество не се съхраняват в молекулата. Той съдържа по-скоро инструкции за сглобяването му от наличните аминокиселини. Така е и в тригонометрията, познавайки някои основни принципи, ще получим всички необходими формули от малък набор от тези, които трябва да имаме предвид.

Ще разчитаме на следните формули:

От формулите за синус и косинус на сумите, като знаем, че косинусовата функция е четна и че синусовата функция е нечетна, замествайки -b за b, получаваме формули за разликите:

1. Синус на разликата: грях(а-б) = гряхаcos(-b)+cosагрях(-b) = гряхаcosб-cosагряхб
2. косинус разлика: cos(а-б) = cosаcos(-b)-гряхагрях(-b) = cosаcosб+гряхагряхб

Поставяйки a \u003d b в същите формули, получаваме формулите за синуса и косинуса на двойните ъгли:

1. Синус на двоен ъгъл: грях2а = грях(а+а) = гряхаcosа+cosагряха = 2гряхаcosа
2. Косинус на двоен ъгъл: cos2а = cos(а+а) = cosаcosа-гряхагряха = cos2а-грях2а

Формулите за други множество ъгли се получават по подобен начин:

1. Синус на троен ъгъл: грях3а = грях(2а+а) = грях2аcosа+cos2агряха = (2гряхаcosа)cosа+(cos2а-грях2а)гряха = 2гряхаcos2а+гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряха(1-грях2а)-грях 3 а = 3 гряха-4грях 3а
2. Косинус на троен ъгъл: cos3а = cos(2а+а) = cos2аcosа-грях2агряха = (cos2а-грях2а)cosа-(2гряхаcosа)гряха = cos 3а- грях2аcosа-2грях2аcosа = cos 3а-3 грях2аcosа = cos 3 a-3(1- cos2а)cosа = 4cos 3а-3 cosа

Преди да продължим, нека разгледаме един проблем.
Дадено: ъгълът е остър.
Намерете неговия косинус, ако
Решение, дадено от един ученик:
Защото , тогава гряха= 3,a cosа = 4.
(От математически хумор)

И така, определението за тангенс свързва тази функция както със синус, така и с косинус. Но можете да получите формула, която дава връзката на допирателната само с косинуса. За да го изведем, вземаме главното тригонометрична идентичност: грях 2 а+cos 2 а= 1 и го разделете на cos 2 а. Получаваме:

Така че решението на този проблем би било:

(Тъй като ъгълът е остър, знакът + се взема при извличане на корена)

Формулата за тангенса на сбора е друга, която трудно се запомня. Нека го изведем така:

незабавно извеждане и

От косинусовата формула за двоен ъгъл можете да получите формулите за синус и косинус за половин ъгъл. За да направите това, от лявата страна на формулата за двоен ъгъл косинус:
cos2 а = cos 2 а-грях 2 а
добавяме единица, а вдясно - тригонометрична единица, т.е. сума от квадратите на синуса и косинуса.
cos2а+1 = cos2а-грях2а+cos2а+грях2а
2cos 2 а = cos2 а+1
изразяващи се cosапрез cos2 аи извършвайки промяна на променливи, получаваме:

Знакът се приема в зависимост от квадранта.

По същия начин, като извадим едно от лявата страна на равенството и сумата от квадратите на синуса и косинуса от дясната страна, получаваме:
cos2а-1 = cos2а-грях2а-cos2а-грях2а
2грях 2 а = 1-cos2 а

И накрая, за да преобразуваме сумата от тригонометрични функции в продукт, използваме следния трик. Да предположим, че трябва да представим сумата от синуси като произведение гряха+гряхб. Нека въведем променливи x и y, така че a = x+y, b+x-y. Тогава
гряха+гряхб = грях(x+y)+ грях(x-y) = гряхх cos y+ cosх грях y+ гряхх cos y- cosх грях y=2 гряхх cosг. Нека сега изразим x и y чрез a и b.

Тъй като a = x+y, b = x-y, тогава . Ето защо

Можете да се оттеглите незабавно

1. Формула за разделяне произведения на синус и косинусв количество: гряхаcosб = 0.5(грях(а+б)+грях(а-б))

Препоръчваме ви да практикувате и извеждате формули за преобразуване на произведението от разликата на синусите и сбора и разликата на косинусите в произведение, както и за разделяне на произведенията на синусите и косинусите в сбор. След като направите тези упражнения, вие ще овладеете напълно умението за извеждане на тригонометрични формули и няма да се изгубите дори в най-трудния контрол, олимпиада или тестване.