Сборът от четни и нечетни функции. Четни и нечетни функции

Четните и нечетните функции са едно от основните му свойства, а паритетът заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той до голяма степен определя естеството на поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека дефинираме четността на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се разглежда дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), разположена в нейния домейн, съответните стойности на y (функция) са равни.

Нека дадем по-строго определение. Да разгледаме някаква функция f (x), която е дефинирана в областта D. Тя ще бъде дори ако за всяка точка x, разположена в областта на дефиницията:

• -x (противоположната точка) също се намира в дадения обхват,

• f(-x) = f(x).

От горното определение следва условието, необходимо за областта на дефиниране на такава функция, а именно симетрия спрямо точка O, която е началото на координатите, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на дефиниране на четна функция, тогава съответната точка - b също лежи в тази област. От гореизложеното следователно следва изводът: четната функция има форма, която е симетрична по отношение на ординатната ос (Oy).

Как да определим четността на функция на практика?

Нека се даде по формулата h(x)=11^x+11^(-x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, първо изучаваме нейната област на дефиниция. Очевидно е дефиниран за всички стойности на аргумента, тоест първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените аргумента (x) с неговата противоположна стойност (-x).
Получаваме:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Тъй като събирането удовлетворява комутативния (изместването) закон, очевидно е, че h(-x) = h(x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим равномерността на функцията h(x)=11^x-11^(-x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме h(-x) = 11^(-x) -11^x. Изваждайки минуса, в резултат имаме
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следователно h(x) е нечетно.

Между другото, трябва да се припомни, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии, те не се наричат ​​нито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавянето на подобни функции се получава четна;
• в резултат на изваждане на такива функции се получава четна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножаването на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножение на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• в резултат на разделянето на нечетните и четните функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е нечетна;
• Ако поставим на квадрат нечетна функция, получаваме четна.

Четността на функция може да се използва при решаване на уравнения.

За да се реши уравнение като g(x) = 0, където лявата страна на уравнението е четна функция, ще бъде достатъчно да се намерят неговите решения за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположни числа. Един от тях подлежи на проверка.

Същият се използва успешно за решаване на нестандартни проблеми с параметър.

Например, има ли някаква стойност за параметъра a, която би накарала уравнението 2x^6-x^4-ax^2=1 да има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението на четни степени, тогава е ясно, че заместването на x с - x дадено уравнениеняма да се промени. От това следва, че ако определено число е негов корен, то същото е и противоположното число. Изводът е очевиден: корените на уравнението, различни от нула, са включени в набора от неговите решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число 0 не е, тоест броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, за всяка стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Всъщност е лесно да се провери дали наборът от корени дадено уравнениесъдържа решения по "двойки". Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместим в уравнението, получаваме 2=2. Така освен „сдвоено“ 0 е и корен, което доказва нечетния им брой.

Функцията се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството

.

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста
.

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Пример 6.2.Проверете за четни или нечетни функции

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана с
. Да намерим
.

Тези.
. Така че тази функция е четна.

2) Функцията е дефинирана за

Тези.
. Следователно тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за , т.е. за

,
. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна. Нека го наречем обща функция.

3. Изследване на функция за монотонност.

Функция
се нарича нарастващ (намаляващ) на някакъв интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите, нарастващи (намаляващи) на някакъв интервал, се наричат ​​монотонни.

Ако функцията
диференцируеми на интервала
и има положителна (отрицателна) производна
, след това функцията
нараства (намалява) в този интервал.

Пример 6.3. Намерете интервали на монотонност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция е дефинирана по цялата числова ос. Да намерим производната.

Производната е нула, ако
И
. Област на дефиниция - числова ос, разделена на точки
,
за интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал.

В интервала
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.

В интервала
производната е положителна, следователно функцията се увеличава на този интервал.

2) Тази функция е дефинирана, ако
или

.

Определяме знака на квадратния трином във всеки интервал.

По този начин обхватът на функцията

Да намерим производната
,
, ако
, т.е.
, но
. Нека определим знака на производната в интервалите
.

В интервала
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала
. В интервала
производната е положителна, функцията нараства на интервала
.

4. Изследване на функция за екстремум.

точка
се нарича максимална (минимална) точка на функцията
, ако има такова съседство на точката това за всеки
тази махала удовлетворява неравенството

.

Максималната и минималната точка на функция се наричат ​​точки на екстремум.

Ако функцията
в точката има екстремум, то производната на функцията в тази точка е равна на нула или не съществува (необходимо условие за съществуването на екстремум).

Точките, в които производната е равна на нула или не съществува, се наричат ​​критични.

5. Достатъчни условия за съществуване на екстремум.

Правило 1. Ако по време на прехода (отляво надясно) през критичната точка производно
променя знака от "+" на "-", след това в точката функция
има максимум; ако от "-" до "+", тогава минимумът; ако
не променя знака, значи няма екстремум.

Правило 2. Нека в точката
първа производна на функцията
нула
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако
, тогава е максималната точка, ако
, тогава е минималната точка на функцията.

Пример 6.4 . Разгледайте максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
.

Да намерим производната
и решете уравнението
, т.е.
.оттук
са критични точки.

Нека определим знака на производната в интервалите,
.

При преминаване през точки
И
производната променя знака от „–“ на „+“, следователно, съгласно правило 1
са минималните точки.

При преминаване през точка
производната променя знака от "+" на "-", така че
е максималната точка.

,
.

2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала
. Да намерим производната
.

Чрез решаване на уравнението
, намирам
И
са критични точки. Ако знаменателят
, т.е.
, то производната не съществува. Така,
е третата критична точка. Нека определим знака на производната на интервали.

Следователно функцията има минимум в точката
, максимум в точки
И
.

3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
, т.е. в
.

Да намерим производната

.

Нека намерим критичните точки:

Квартали на точки
не принадлежат към областта на дефиницията, така че не са екстремални t. Така че нека проучим критичните точки
И
.

4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
. Използваме правило 2. Намерете производната
.

Нека намерим критичните точки:

Нека намерим втората производна
и определете знака му в точките

В точки
функцията има минимум.

В точки
функцията има максимум.

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

цели:

• да формира понятието за четни и нечетни функции, да научи умението за определяне и използване на тези свойства, когато функционално изследване, начертаване;
• развива творческата активност на учениците, логично мислене, способност за сравняване, обобщение;
• да възпитава трудолюбие, математическа култура; развиват комуникационни умения .

Оборудване:мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, разпечатки.

Форми на работа:фронтална и групова с елементи на издирвателна и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра клас 9 A.G. Mordkovich. Учебник.
2. Алгебра 9 клас A.G. Mordkovich. Книга със задачи.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за учене и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашната работа

No 10.17 (Проблемна книга 9 клас A.G. Mordkovich).

но) в = е(х), е(х) =

б) е (–2) = –3; е (0) = –1; е(5) = 69;

в) 1. D( е) = [– 2; + ∞)
2. E( е) = [– 3; + ∞)
3. е(х) = 0 за х ~ 0,4
4. е(х) >0 при х > 0,4 ; е(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. внаем = - 3, в naib не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена на слайда.

Напълнете масата
	домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на пресечните точки на графиката с Oy
		х = -5, х = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, х ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, х ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализация на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете домейна на дефиниция за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргумента: 1 и – 1; 2 и - 2.
– За коя от дадените функции в областта на дефиниция са равенствата е(– х) = е(х), е(– х) = – е(х)? (поставете данните в таблицата) пързалка

		е(1) и е(– 1)	е(2) и е(– 2)	диаграми	е(– х) = –е(х)	е(– х) = е(х)
1. е(х) =
2. е(х) = х 3
3. е(х) = | х |
4.е(х) = 2х – 3
5. е(х) =	х ≠ 0
6. е(х)=	х > –1		и не е дефиниран.

4. нов материал

– Изпълнение тази работа, момчета, разкрихме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите - това е четната и нечетната функция. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четните и нечетните функции, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и начертаването.
И така, нека да намерим определенията в учебника и да прочетем (стр. 110) . пързалка

Def. единФункция в = е (х) дефинирана върху множеството X се извиква дори, ако за някаква стойност хЄ X в ход равенство f (–x) = f (x). Дай примери.

Def. 2Функция y = f(x), дефиниран върху множеството X се извиква странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме понятията "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, мислите? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция от формата в= x n, където не цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна за не нечетно и функцията е четна за н- дори.
– Преглед на функции в= и в = 2х– 3 не е нито четно, нито нечетно, т.к равенствата не са спазени е(– х) = – е(х), е(– х) = е(х)

Изучаването на въпроса дали дадена функция е четна или нечетна се нарича изследване на функция за четност.пързалка

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията при x и - x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и в - х.

ОПР 3.Ако набор номеразаедно с всеки от своите елементи x съдържа противоположния елемент -x, след това множеството хсе нарича симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са несиметрични.

- Четните функции имат ли област на дефиниция - симетрично множество? Странните?
- Ако D( е) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията в = е(х) е четно или нечетно, тогава неговият домейн на дефиниция е D( е) е симетрично множество. Но вярно ли е обратното, ако областта на функция е симетрично множество, тогава тя е четна или нечетна?
- Значи наличието на симетричен набор от областта на дефиниция е необходимо условие, но не и достатъчно.
– И така, как можем да изследваме функцията за паритет? Нека се опитаме да напишем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за проверка на функция за четност

1. Определете дали областта на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако отговорът е да, преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за е(–х).

3. Сравнете е(–х).И е(х):

• ако е(–х).= е(х), тогава функцията е четна;
• ако е(–х).= – е(х), тогава функцията е нечетна;
• ако е(–х) ≠ е(х) И е(–х) ≠ –е(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) в= x 5 +; б) в= ; в) в= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h(x)= x 5 + нечетно.

б) y =,

в = е(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

в) е(х) = , y = f(x),

1) D( е) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Симетрично ли е даденото множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

но); б) y \u003d x (5 - x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y = x 2 (2x - x 3), б) y =

3. На фиг. начертано в = е(х), за всички х, отговарящо на условието х? 0.
Начертайте функцията в = е(х), ако в = е(х) е четна функция.

3. На фиг. начертано в = е(х), за всички x, удовлетворяващи x? 0
Начертайте функцията в = е(х), ако в = е(х) е странна функция.

Взаимна проверка пързалка.

6. Домашна работа: №11.11, 11.21,11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството за четност.

*** (Присвояване на опцията USE).

1. Нечетната функция y \u003d f (x) е дефинирана на цялата реална линия. За всяка неотрицателна стойност на променливата x, стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = в х = 3.

7. Обобщаване

Преобразуване на диаграма.

Словесно описание на функцията.

Графичен начин.

Графичният начин за определяне на функция е най-илюстративен и често се използва в инженерството. IN математически анализкато илюстрация е използван графичният начин за настройка на функциите.

Графика на функциите f е множеството от всички точки (x; y) на координатната равнина, където y=f(x), а x „минава през” цялата област на дадената функция.

Подмножество на координатната равнина е графика на някаква функция, ако има най-много една обща точка с всяка права, успоредна на оста Oy.

Пример. Фигурите по-долу са графики на функции?

предимство графична задачае неговата видимост. Веднага можете да видите как се държи функцията, къде се увеличава, къде намалява. От графиката можете веднага да разберете някои важни характеристики на функцията.

Като цяло, аналитично графични начининазначенията на функциите вървят ръка за ръка. Работата с формулата помага за изграждането на графика. И графиката често предлага решения, които няма да забележите във формулата.

Почти всеки ученик знае трите начина за дефиниране на функция, които току-що разгледахме.

Нека се опитаме да отговорим на въпроса: "Има ли други начини за дефиниране на функция?"

Има такъв начин.

Една функция може да бъде доста недвусмислено дефинирана с думи.

Например, функцията y=2x може да бъде дефинирана със следното словесно описание: на всяка реална стойност на аргумента x се присвоява удвоената си стойност. Правилото е зададено, функцията е зададена.

Освен това е възможно да се посочи функция устно, което е изключително трудно, ако не и невъзможно, да се посочи чрез формула.

Например: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x. Например, ако x=3, тогава y=3. Ако x=257, тогава y=2+5+7=14. И т.н. Трудно е да се запише това във формула. Но масата е лесна за приготвяне.

Методът на словесното описание е доста рядко използван метод. Но понякога се случва.

Ако има закон за съответствие едно към едно между x и y, тогава има функция. Какъв закон, в каква форма е изразен - с формула, таблетка, графика, думи - не променя същността на материята.

Да разгледаме функции, чиито области на дефиниране са симетрични по отношение на началото на координатите, т.е. за всеки хномер извън обхвата (- х) също принадлежи към областта на дефиниция. Сред тези функции са четно и нечетно.

Определение.Извиква се функцията f дори, ако има такива хизвън неговия домейн

Пример.Помислете за функцията

Тя е равномерна. Нека го проверим.

За всеки хравенствата

Така и двете условия са изпълнени за нас, което означава, че функцията е четна. По-долу е дадена графика на тази функция.

Определение.Извиква се функцията f странно, ако има такива хизвън неговия домейн

Пример. Помислете за функцията

Тя е странна. Нека го проверим.

Областта на дефиниция е цялата числова ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката (0; 0).

За всеки хравенствата

Така и двете условия са изпълнени за нас, което означава, че функцията е нечетна. По-долу е дадена графика на тази функция.

Графиките, показани на първата и третата фигури, са симетрични спрямо оста y, а графиките, показани на втората и четвъртата фигура, са симетрични спрямо началото.

Кои от функциите, чиито графики са показани на фигурите, са четни и кои нечетни?

Функцияе едно от най-важните математически понятия. Функция - променлива зависимост вот променлива х, ако всяка стойност хсъвпада с една стойност в. променлива хнаречена независима променлива или аргумент. променлива внаречена зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива х) образуват домейна на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива приема (променлива г), образуват обхвата на функцията.

Графика на функциитете наричат ​​множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията, тоест стойностите на променливите са нанесени по абсцисата х, а стойностите на променливата се нанасят по оста y г. За да начертаете функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат разгледани по-долу!

За да начертаете функционална графика, препоръчваме да използвате нашата програма - Graphing Functions Online. Ако имате въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете в нашия форум. Също така във форума ще ви помогнат да решавате задачи по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други предмети!

Основни свойства на функциите.

1) Обхват и функционален обхват.

Обхватът на функция е наборът от всички валидни валидни стойности на аргумента х(променлива х), за което функцията y = f(x)дефиниран.
Обхватът на функция е множеството от всички реални стойности гче функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.

2) Функционални нули.

Стойности х, при което y=0, е наречен нули на функциите. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста x.

3) Интервали на постоянство на знака на функция.

Интервалите на постоянството на знака на функция са такива интервали от стойности х, на който са стойностите на функцията гсе наричат ​​само положителни или само отрицателни интервали на постоянство на знака на функцията.

4) Монотонност на функцията.

Нарастваща функция (в някакъв интервал) - функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция (в някакъв интервал) - функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малка стойност на функцията.

5) Четни (нечетни) функции.

Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на началото и за всяко х f(-x) = f(x). Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста y.

Нечетна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на началото и за всяко хот областта на дефиницията равенството f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Равномерна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична по отношение на точката (0; 0), тоест, ако точката апринадлежи към областта на дефиницията, след това точката -асъщо принадлежи към областта на дефиницията.
2) За всяка стойност х f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.

странна функцияима следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за всяка стойност х, което принадлежи към областта на дефиниция, равенството f(-x)=-f(x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).

Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изглед не са нито четни, нито нечетни.

6) Ограничени и неограничени функции.

Функцията се нарича ограничена, ако съществува положително число M такова, че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако няма такова число, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията.

Функция f(x) е периодична, ако съществува ненулево число T, такова, че за всяко x от областта на функцията, f(x+T) = f(x). Такава най-малкото числосе нарича период на функцията. Всичко тригонометрични функцииса периодични. (Тригонометрични формули).

Функция есе нарича периодичен, ако съществува число такова, че за всяко хот областта на дефиницията равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). те периодът на функцията.

Всяка периодична функция има безкраен брой периоди. На практика обикновено се разглежда най-малкият положителен период.

Стойностите на периодичната функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при начертаване на графики.