Формула за изваждане на дроби с различни знаменатели. Как да извадим дроби с различни знаменатели

Следващото действие, което може да се извърши с обикновени дроби, е изваждане. Като част от този материал ще разгледаме как правилно да изчислим разликата между дроби с еднакви и различни знаменатели, как да извадим дроб от естествено число и обратно. Всички примери ще бъдат илюстрирани със задачи. Нека уточним предварително, че ще анализираме само случаите, при които разликата на дробите води до положително число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как да намерите разликата между дроби с един и същ знаменател

Нека започнем веднага с един илюстративен пример: да кажем, че имаме ябълка, която е разделена на осем части. Нека оставим пет части в чинията и да вземем две от тях. Това действие може да се напише така:

В крайна сметка получаваме 3 осми, защото 5 − 2 = 3 . Оказва се, че 5 8 - 2 8 = 3 8 .

С този прост пример видяхме как точно работи правилото за изваждане за дроби със същите знаменатели. Нека го формулираме.

Определение 1

За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на едната от числителя на другата и да оставите знаменателят същият. Това правило може да се запише като a b - c b = a - c b .

Ще използваме тази формула по-долу.

Да вземем конкретни примери.

Пример 1

Извадете от дроба 24 15 обикновената дроб 17 15 .

Решение

Виждаме, че тези дроби имат еднакви знаменатели. Така че всичко, което трябва да направим, е да извадим 17 от 24. Получаваме 7 и добавяме знаменател към него, получаваме 7 15 .

Нашите изчисления могат да бъдат написани така: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Ако е необходимо, можете да намалите сложна дроб или да отделите цялата част от неправилна, за да я направите по-удобна за броене.

Пример 2

Намерете разликата 37 12 - 15 12 .

Решение

Нека използваме описаната по-горе формула и изчислим: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Лесно е да се види, че числителят и знаменателят могат да бъдат разделени на 2 (вече говорихме за това по-рано, когато анализирахме признаците на делимост). Намалявайки отговора, получаваме 11 6 . Това е неправилна дроб, от която ще изберем цялата част: 11 6 \u003d 1 5 6.

Как да намерите разликата между дроби с различни знаменатели

Такава математическа операция може да се сведе до това, което вече описахме по-горе. За да направите това, просто приведете желаните дроби към същия знаменател. Нека формулираме определението:

Определение 2

За да намерите разликата между дроби, които имат различни знаменатели, трябва да ги доведете до един и същ знаменател и да намерите разликата между числителите.

Нека да разгледаме пример как се прави това.

Пример 3

Извадете 1 15 от 2 9 .

Решение

Знаменателите са различни и трябва да ги намалите до най-малката обща стойност. В този случай LCM е 45. За първата фракция е необходим допълнителен коефициент 5, а за втората - 3.

Нека изчислим: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Получихме две дроби с един и същ знаменател и сега лесно можем да намерим разликата им, използвайки алгоритъма, описан по-рано: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Кратък запис на решението изглежда така: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Не пренебрегвайте намаляването на резултата или избора на цяла част от него, ако е необходимо. В този пример не е необходимо да правим това.

Пример 4

Намерете разликата 19 9 - 7 36 .

Решение

Привеждаме дробите, посочени в условието, до най-малкия общ знаменател 36 и получаваме съответно 76 9 и 7 36.

Разглеждаме отговора: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Резултатът може да бъде намален с 3, за да получите 23 12 . Числителят е по-голям от знаменателя, което означава, че можем да извлечем цялата част. Крайният отговор е 1 11 12 .

Обобщението на цялото решение е 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Как да извадим естествено число от обикновена дроб

Такова действие също може лесно да се сведе до просто изваждане на обикновени дроби. Това може да стане чрез представяне на естествено число като дроб. Нека покажем пример.

Пример 5

Намерете разликата 83 21 - 3 .

Решение

3 е същото като 3 1 . След това можете да изчислите така: 83 21 - 3 = 20 21.

Ако в условието е необходимо да извадите цяло число от неправилна дроб, по-удобно е първо да извлечете цялото число от него, като го запишете като смесено число. Тогава предишният пример може да бъде решен по различен начин.

От дроб 83 21, когато изберете цялата част, получавате 83 21 = 3 20 21.

Сега просто извадете 3 от него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Как да извадим дроб от естествено число

Това действие се извършва подобно на предишното: пренаписваме естествено число като дроб, довеждаме и двете до общ знаменател и намираме разликата. Нека илюстрираме това с пример.

Пример 6

Намерете разликата: 7 - 5 3 .

Решение

Нека направим 7 като дроб 7 1 . Правим изваждането и преобразуваме крайния резултат, като извличаме от него цялата част: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Има и друг начин за изчисления. Той има някои предимства, които могат да се използват в случаите, когато числителите и знаменателите на дробите в задачата са големи числа.

Определение 3

Ако дробът за изваждане е правилен, тогава естественото число, от което изваждаме, трябва да бъде представено като сбор от две числа, едно от които е равно на 1. След това трябва да извадите желаната дроб от единството и да получите отговора.

Пример 7

Изчислете разликата 1 065 - 13 62 .

Решение

Дробата, която трябва да се извади, е правилна, тъй като нейният числител е по-малък от знаменателя. Следователно, трябва да извадим едно от 1065 и да извадим желаната дроб от него: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Сега трябва да намерим отговора. Използвайки свойствата на изваждане, полученият израз може да бъде записан като 1064 + 1 - 13 62 . Нека изчислим разликата в скобите. За да направите това, ние представяме единицата като дроб 1 1 .

Оказва се, че 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Сега нека си спомним за 1064 и формулираме отговора: 1064 49 62 .

Използваме стария начин, за да докажем, че е по-малко удобен. Ето изчисленията, които ще получим:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

Отговорът е същият, но изчисленията очевидно са по-тромави.

Разгледахме случая, когато трябва да извадите правилната дроб. Ако е грешно, го заместваме със смесено число и изваждаме според познатите правила.

Пример 8

Изчислете разликата 644 - 73 5 .

Решение

Втората част е неправилна и цялата част трябва да бъде отделена от нея.

Сега изчисляваме подобно на предишния пример: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства на изваждане при работа с дроби

Свойствата, които притежава изваждането на естествените числа, се отнасят и за случаите на изваждане на обикновени дроби. Нека видим как да ги използваме при решаване на примери.

Пример 9

Намерете разликата 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Решение

Вече сме решавали подобни примери, когато анализирахме изваждането на сума от число, така че действаме според вече познатия алгоритъм. Първо изчисляваме разликата 25 4 - 3 2 и след това изваждаме последната дроб от нея:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Нека трансформираме отговора, като извлечем цялата част от него. Резултатът е 3 11 12.

Кратко резюме на цялото решение:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Ако изразът съдържа както дроби, така и естествени числа, се препоръчва да ги групирате по видове при изчисляване.

Пример 10

Намерете разликата 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Решение

Познавайки основните свойства на изваждане и събиране, можем да групираме числата, както следва: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Нека завършим изчисленията: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Дробните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето хора имат затруднения с. При изучаване на темата "събиране на дроби с цели числа", детето изпада в ступор, затруднявайки се да реши задачата. В много примери трябва да се извърши серия от изчисления, преди да може да се извърши действие. Например, преобразувайте дроби или преобразувайте неправилна дроб в правилна.

Обяснете на детето ясно. Вземете три ябълки, две от които ще бъдат цели, а третата ще бъде нарязана на 4 части. Отделете една резенка от нарязаната ябълка, а останалите три сложете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълки от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме три цели ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, тоест да премахнем още една филия, получаваме 2 2/4 ябълки.

Нека разгледаме по-отблизо действията с дроби, които включват цели числа:

Първо, нека си припомним правилото за изчисление за дробни изрази с общ знаменател:

На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.

Как да намерим стойността на израз, където знаменателите са различни

В някои задачи е необходимо да се намери стойността на израз, където знаменателите са различни. Помислете за конкретен случай:
3 2/7+6 1/3

Намерете стойността на този израз, за това намираме общ знаменател за две дроби.

За числата 7 и 3 това е 21. Оставяме целите части същите и намаляваме дробните части до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21+7/21, не забравяйте, че цели части не подлежат на преобразуване. В резултат на това получаваме две дроби с един знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ами ако резултатът от събирането е неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
В този случай добавяме целите части и дробните части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е едно, така че 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С намирането на сумата всичко е ясно, нека анализираме изваждането:

От всичко казано следва правилото за операции със смесени числа, което звучи така:

Ако е необходимо да се извади цяло число от дробен израз, не е необходимо второто число да се представя като дроб, достатъчно е да се оперира само с цели части.

Нека се опитаме сами да изчислим стойността на изразите:

Нека разгледаме по-отблизо примера под буквата "m":

4 5/11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втората. За да направим това, вземаме едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11+11/11=3 цяло 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16/11-2 8/11=1 цяло 8/11

Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неправилните дроби в смесени, като подчертавате цялата част. За да направите това, е необходимо да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава случилото се заема мястото на цялата част, остатъкът ще бъде числителят, например:

19/4=4 ¾, проверете: 4*4+3=19, в знаменателя 4 остава непроменен.

обобщете:

Преди да се пристъпи към задачата, свързана с дроби, е необходимо да се анализира какъв вид е изразът, какви трансформации трябва да се извършат върху дроба, за да е правилно решението. Търсете по-рационални решения. Не тръгвайте по трудния път. Планирайте всички действия, решете първо в чернова версия, след това прехвърлете в училищна тетрадка.

За да избегнете объркване при решаване на дробни изрази, е необходимо да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.

Забележка!Преди да напишете окончателен отговор, вижте дали можете да намалите частта, която сте получили.

Изваждане на дроби със същите знаменатели примери:

Изваждане на правилна дроб от едно.

Ако е необходимо да се извади от единицата дроб, която е правилна, единицата се превръща във формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на извадената дроб.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменателят на дроба, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единицата като неправилна дроб 7/7 и изваждаме според правилото за изваждане на дроби със същите знаменатели.

Изваждане на правилна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

Превеждаме дадените дроби, които съдържат цяла част, в неправилни. Получаваме нормални термини (няма значение дали имат различни знаменатели), които разглеждаме според правилата, дадени по-горе;
След това изчисляваме разликата на получените фракции. В резултат на това почти ще намерим отговора;
Извършваме обратното преобразуване, тоест се отърваваме от неправилната дроб - избираме цялата част от дроба.

Извадете правилна дроб от цяло число: ние представяме естествено число като смесено число. Тези. вземаме единица в естествено число и я превеждаме под формата на неправилна дроб, знаменателят е същият като този на извадената дроб.

Пример за изваждане на дроби:

В примера заменихме единицата с неправилна дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дроб от дробната част.

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.

Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да се извадят дроби с различни знаменатели, е необходимо първо тези дроби да се приведат до най-малкия общ знаменател (LCD) и едва след това да се извадят както при дроби със същите знаменатели.

Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменатели на дадените дроби.

Внимание!Ако в крайната дроб числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробът трябва да бъде намален. Неправилната дроб е най-добре представена като смесена дроб. Оставянето на резултата от изваждането без намаляване на дроба, където е възможно, е незавършено решение на примера!

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

намерете LCM за всички знаменатели;
поставете допълнителни множители за всички дроби;
умножете всички числители по допълнителен коефициент;
записваме получените продукти в числителя, подписвайки общ знаменател под всички дроби;
извадете числителите на дроби, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин събирането и изваждането на дроби се извършва при наличието на букви в числителя.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени фракции.

В изваждане на смесени дроби (числа)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.

Първият вариант е да извадите смесени дроби.

Ако дробните части същотознаменатели и числител на дробната част от изваждането (изваждаме от него) ≥ числителя на дробната част на изваждането (изваждаме го).

Например:

Вторият вариант е да се извадят смесени дроби.

Когато дробните части различнизнаменатели. За начало намаляваме дробните части до общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялото число и дробната от дробната.

Например:

Третият вариант е да се извадят смесени дроби.

Дробната част на minuend е по-малка от дробната част на изваждането.

пример:

Защото дробните части имат различни знаменатели, което означава, както във втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.

Числителят на дробната част на извадката е по-малък от числителя на дробната част на изваждането.3 < 14. И така, вземаме единица от цялата част и привеждаме тази единица във формата на неправилна дроб със същия знаменател и числител = 18.

В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, след това отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряме скоби в знаменателя. Прието е продуктът да се оставя в знаменателите. Получаваме:

В този урок ще разгледаме събирането и изваждането на алгебрични дроби със същите знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби със същите знаменатели. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. Способността да се работи с дроби с едни и същи знаменатели е един от крайъгълните камъни при изучаването на правилата за работа с алгебрични дроби. По-специално, разбирането на тази тема ще улесни овладяването на по-сложна тема - събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Като част от урока ще изучаваме правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби със същите знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери

Правило за събиране и изваждане на алгебрични дроби със същите знаменатели

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey с един-на-тебе - mi-know-on-te-la-mi (това е co-pa-yes-et с аналоговия десен на палеца за обикновен-но-ven-nyh-dr-bay): Това е за добавянето или ти-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-дро-бей с един-за-ти-ми-знаеш-на-те-ла-ми е необходимо -хо-ди-мо с -застанете с-от-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum от броя на-li-te-lei, а знакът-me-on-tel напуснете без iz-me- не-ни.

Ще анализираме това право-ви-ло както на примера на обикновени-но-вен-шот-бити, така и на примера на ал-геб-ра-и-че-дро-бей.

Примери за прилагане на правилото за обикновени дроби

Пример 1. Добавете дроби:.

Решение

Нека добавим числото-дали-те-дали тегли-бият и нека оставим знака-ме-на-тел същото. След това разделяме числото-ли-тел и знака-ме-на-тел на прости множители и со-кра-тим. Нека го вземем: .

Забележка: стандартна грешка, ще стартирам нещо, когато разрешавам в добър пример, за -key-cha-et-sya в следния-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Това е груба грешка, тъй като телефонът за влизане остава същият, както е бил в оригиналните фракции.

Пример 2. Добавете дроби:.

Решение

Това за-да-ча не е нищо от-дали-ча-ет-ся от предишното:.

Примери за прилагане на правилото за алгебрични дроби

От обичайните-но-вен-ных дро-бей пер-рей-дем до ал-геб-ра-и-че-ским.

Пример 3. Добавете дроби:.

Решение: както вече беше посочено по-горе, добавянето на al-geb-ra-and-che-dro-bey не е нищо от-is-cha-is-sya от zhe-niya обикновено-но-vein-nyh dro-bay. Следователно методът на решението е същият:.

Пример 4. Дроби на честта ви:.

Решение

Ти-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-дро-бей от-дали-ча-ет-ся от усложнението само от факта, че в броя на пи-си-ва-ет-ся разлика в броя на-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Така .

Пример 5. Дроби на честта ви:.

Решение: .

Пример 6. Опростете:.

Решение: .

Примери за прилагане на правилото, последвано от редукция

В част, някой-рай е в ре-зул-та-тези допълнение или ти-чи-та-ния, възможно е да се съвместно красиво ния. Освен това не бива да забравяте за ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Пример 7. Опростете:.

Решение: .

При което . Като цяло, ако ODZ на совите out-of-hot-drow-bay-pa-yes-et с ODZ на total-go-howl, тогава не можете да го посочите (в края на краищата, дроб, в lu-chen- naya in from-ve-these, също няма да съществува с co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Но ако ODZ е източникът на работещия dro-bay и от-ve-това не е co-pa-yes-et, тогава ODZ показва нуждата-ho-di-mo.

Пример 8. Опростете:.

Решение: . В същото време, y (ODZ на изходящото теглене не съвпада с ODZ на re-zul-ta-ta).

Събиране и изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели

За да съхранявате и ви-чи-тат ал-геб-ра-и-че-дроби с различни-ние-познаваме-на-те-ла-ми, про-ве-дем ана-ло-гю от обичайните- но-вен-ни-ми дро-бя-ми и го пре-ре-не-сем на ал-геб-ра-и-че-фракции.

Ras-вижте най-простия пример за обикновени венозни инжекции.

Пример 1.Добавете дроби:.

решение:

Да си припомним дясно-ви-ло-сло-дроу-бей. За на-ча-ла дроби е необходимо да добавите-ве-сти към общия знак-ме-то-те-лу. В ролята на общ знак-ме-на-те-ла за обикновени-но-вен-драу-бити, ви-сту-па-ет най-малко общо кратно(NOK) източникът на знаците-аз-на-леите.

Определение

Най-малкият-шия-до-ту-рал-число, някой-рояк се разделя в същото време на числа и.

За да намерите NOC, трябва да де-lo-live-me-on-the-there в прости множители и след това да изберете да вземете всичко професионално - има много, много, някои от тях са включени в разликата между двете знаци-мен-на-леите.

; . Тогава LCM от числа трябва да включва две двойки и две тройки:.

След намиране на общия знак на-те-ла е необходимо всеки от дро-заливите да намери допълнителен мулти-жи-тел (фак-ти-че-ски, при изливане на общ знак-ме- on-tel на sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

След това всяка фракция се умножава по множител на полу-чен-ни до половин-не-тел-ни. Фракции със същите-на-се-зна-ме-на-те-ла-ми, складове и ти-чи-тат някой, на когото сме - изучавани в миналите уроци.

By-lu-cha-eat: .

Отговор:.

Ras-look-rim сега гънката на al-geb-ra-and-che-dro-bey с различни знаци-me-on-te-la-mi. Спи-ча-ла, ние-гледаме дробите, знай-ме-на-дали някои от тях са-ла-ют-ся номер-ла-ми.

Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

Пример 2.Добавете дроби:.

решение:

Ал-го-ритъм на ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен предишно-ду-ще-му п-ме-ру. Лесно е да вземете общ знаменател на дадените дроби: и множители за добавяне към пълни за всеки от тях.

Отговор:.

И така, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритъм на усложнение и ти-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-дро-бити с различни-ние-знаем-ме-на-те-ла-ми:

1. Намерете най-малкото често срещано място за теглене на знак-ме-на-тел.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от фракциите на теглене).

3. Направете-умножете-на живо числа-дали-дали-дали на co-ot-vet-stu-u-s-up to-half-no-tel-nye-multiple-thes.

4. Добавете към живот или почетете дробите, използвайте дясното-wi-la-mi на сгъвката и you-chi-ta-niya draw-bay с one-to-you-know-me-on- те-ла-ми.

Ras-look-rim сега пример с dro-bya-mi, в know-me-on-the-le-there-are-there-there-are-beech-ven-nye you-ra-same - ция.

Дробите са обикновени числа, те също могат да се събират и изваждат. Но поради факта, че те имат знаменател, тук се изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.

Помислете за най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби със същите знаменатели, добавете техните числители и оставете знаменателя непроменен.

За да извадите дроби със същите знаменатели, е необходимо да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателят непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция на събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите - и това е всичко.

Но дори в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често забравят, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се събират и това е фундаментално погрешно.

Да се отървете от лошия навик да добавяте знаменатели е доста лесно. Опитайте се да направите същото при изваждане. В резултат на това знаменателят ще бъде нула, а дробът (внезапно!) ще загуби смисъла си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Също така много хора правят грешки, когато добавят няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде - плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът преди знака за дроба винаги може да се прехвърли в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

Плюс пъти минус дава минус;
Два отрицания правят утвърдително.

Нека анализираме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай всичко е просто, а във втория ще добавим минуси към числителите на дробите:

Ами ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне за мен този метод е непознат. Въпреки това, оригиналните дроби винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока „Привеждане на дроби до общ знаменател“, така че няма да се спираме на тях тук. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай привеждаме дробите до общ знаменател, използвайки метода "на кръст". Във втория ще търсим LCM. Забележете, че 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разложения са равни, а първите са взаимно прости. Следователно LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Ами ако дробът има цяла част

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели на дроби не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е подчертана в дробни изчисления.

Разбира се, за такива дроби има собствени алгоритми за събиране и изваждане, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добре използвайте простата диаграма по-долу:

Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяла част, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, разгледани по-горе;
Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, ние извършваме обратното преобразуване, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и открояване на цялата част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб”. Ако не си спомняте, не забравяйте да повторите. Примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразуваме всички дроби в неправилни и да преброим. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където дробите с подчертана цяла част се изваждат. Минусът пред втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение, разгледайте примерите и помислете за него. Това е мястото, където начинаещите правят много грешки. Те обичат да дават такива задачи на контролна работа. Също така ще ги срещнете многократно в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: Обща компютърна схема

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

Ако цяла част е маркирана в една или повече дроби, преобразувайте тези дроби в неправилни;
Приведете всички дроби до общ знаменател по удобен за вас начин (освен ако, разбира се, компилаторите на задачите не са направили това);
Събирайте или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията се окаже неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, точно преди да напишете отговора.