Сравнете дробни числа с различни знаменатели. Сравнение на дроби: правила, примери, решения

Тази статия се занимава с сравнението на дроби. Тук ще разберем коя от дробите е по-голяма или по-малка, ще приложим правилото и ще анализираме примери за решението. Сравнете дроби с еднакви и различни знаменатели. Нека сравним обикновена дроб с естествено число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сравняване на дроби със същите знаменатели

Когато сравняваме дроби с едни и същи знаменатели, ние работим само с числителя, което означава, че сравняваме дроби от число. Ако има дроб 3 7 , тогава тя има 3 части 1 7 , тогава дробът 8 7 има 8 такива части. С други думи, ако знаменателят е един и същ, числителите на тези дроби се сравняват, тоест 3 7 и 8 7 се сравняват числата 3 и 8.

Това предполага правилото за сравняване на дроби с еднакви знаменатели: от наличните дроби със същите показатели, дробът с по-голям числител се счита за по-голям и обратно.

Това предполага, че трябва да обърнете внимание на числителите. За да направите това, помислете за пример.

Пример 1

Сравнете дадените дроби 65 126 и 87 126 .

Решение

Тъй като знаменателите на дробите са еднакви, нека да преминем към числителите. От числата 87 и 65 е очевидно, че 65 е по-малко. Въз основа на правилото за сравняване на дроби със същите знаменатели, имаме, че 87126 е по-голямо от 65126.

Отговор: 87 126 > 65 126 .

Сравняване на дроби с различни знаменатели

Сравнението на такива дроби може да се сравни със сравнението на дроби със същите показатели, но има разлика. Сега трябва да намалим дробите до общ знаменател.

Ако има дроби с различни знаменатели, за да ги сравните, трябва:

намерете общ знаменател;
сравняване на дроби.

Нека да разгледаме тези стъпки с пример.

Пример 2

Сравнете дроби 5 12 и 9 16 .

Решение

Първата стъпка е да доведем дробите до общ знаменател. Това се прави по следния начин: намира се LCM, тоест най-малкият общ делител, 12 и 16. Това число е 48. Необходимо е да се впишат допълнителни фактори към първата фракция 5 12, това число се намира от частното 48: 12 = 4, за втората фракция 9 16 - 48: 16 = 3. Нека го запишем така: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 и 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

След сравняване на дробите получаваме това 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Отговор: 5 12 < 9 16 .

Има и друг начин за сравняване на дроби с различни знаменатели. Извършва се без свеждане до общ знаменател. Нека да разгледаме един пример. За да сравним дроби a b и c d, свеждаме до общ знаменател, след което b · d, тоест произведението на тези знаменатели. Тогава допълнителните фактори за дроби ще бъдат знаменателите на съседната дроб. Това се записва като a · d b · d и c · b d · b . Използвайки правилото със същите знаменатели, имаме, че сравнението на дроби е сведено до сравнения на произведенията a · d и c · b. От тук получаваме правилото за сравняване на дроби с различни знаменатели: ако a d > b c, тогава a b > c d, но ако a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Пример 3

Сравнете дроби 5 18 и 23 86.

Решение

Този пример има a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . След това е необходимо да се изчисли a · d и b · c . От това следва, че a d = 5 86 = 430 и b c = 18 23 = 414 . Но 430 > 414, тогава дадената дроб 5 18 е по-голяма от 23 86.

Отговор: 5 18 > 23 86 .

Сравняване на дроби със същия числител

Ако дробите имат еднакви числители и различни знаменатели, тогава можете да извършите сравнението според предишния параграф. Резултатът от сравнението е възможен при сравняване на техните знаменатели.

Има правило за сравняване на дроби със същите числители : От две дроби с един и същ числител по-голямата дроб е тази с по-малък знаменател и обратно.

Нека да разгледаме един пример.

Пример 4

Сравнете дроби 54 19 и 54 31.

Решение

Имаме, че числителите са еднакви, което означава, че дроб със знаменател 19 е по-голяма от дроб със знаменател 31. Това става ясно от правилото.

Отговор: 54 19 > 54 31 .

В противен случай можете да разгледате пример. Има две чинии, на които 1 2 пити, ана още 1 16 . Ако изядете 12 пайове, ще се наситите по-бързо, отколкото само 116. Оттук и заключението, че най-големият знаменател със същите числители е най-малкият при сравняване на дроби.

Сравняване на дроб с естествено число

Сравнението на обикновена дроб с естествено число е същото като сравнение на две дроби със знаменателите, записани във форма 1. Нека да разгледаме пример по-долу за повече подробности.

Пример 4

Необходимо е да се извърши сравнение 63 8 и 9 .

Решение

Необходимо е числото 9 да се представи като дроб 9 1 . Тогава имаме нужда да сравним дроби 63 8 и 9 1 . Това е последвано от свеждане до общ знаменател чрез намиране на допълнителни фактори. След това виждаме, че трябва да сравним дроби със същите знаменатели 63 8 и 72 8 . Въз основа на правилото за сравнение, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Отговор: 63 8 < 9 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В ежедневието често се налага да сравняваме дробни стойности. През повечето време това не създава проблеми. Всъщност всеки разбира, че половин ябълка е по-голяма от една четвърт. Но когато е необходимо да го запишете като математически израз, може да бъде трудно. Като приложите следните математически правила, можете лесно да решите този проблем.

Как да сравняваме дроби с един и същ знаменател

Тези дроби са най-лесни за сравнение. В този случай използвайте правилото:

От две дроби с един и същ знаменател, но различен числител, по-голямата ще бъде тази, чийто числител е по-голям, а по-малката ще бъде тази, чийто числител е по-малък.

Например, сравнете дробите 3/8 и 5/8. Знаменателите в този пример са равни, така че прилагаме това правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Всъщност, ако нарежете две пици на 8 филийки, тогава 3/8 филийки винаги са по-малко от 5/8.

Сравняване на дроби с едни и същи числители и различни знаменатели

В този случай се сравняват размерите на дяловете на знаменателя. Правилото за прилагане е:

Ако две дроби имат еднакъв числител, тогава по-голямата дроб е тази с по-малък знаменател.

Например, сравнете дробите 3/4 и 3/8. В този пример числителите са равни, така че използваме второто правило. Дробът 3/4 има по-малък знаменател от дробът 3/8. Следователно 3/4>3/8

Наистина, ако изядете 3 резена пица, разделени на 4 части, ще бъдете по-сити, отколкото ако изядете 3 резена пица, разделени на 8 части.

Сравняване на дроби с различни числители и знаменатели

Прилагаме третото правило:

Сравнението на дроби с различни знаменатели трябва да се сравнява с дроби със същите знаменатели. За да направите това, трябва да доведете дробите до общ знаменател и да използвате първото правило.

Например, трябва да сравните дроби и . За да определим по-голямата дроб, привеждаме тези две дроби към общ знаменател:

Сега нека намерим втория допълнителен фактор: 6:3=2. Записваме го върху втората дроб:

От две дроби с един и същ знаменател тази с по-голям числител е по-голяма, а тази с по-малък числител е по-малка.. Всъщност в края на краищата знаменателят показва на колко части е разделена една цяла стойност, а числителят показва колко такива части са взети.

Оказва се, че всеки цял кръг е разделен на едно и също число 5 , но взеха различен брой части: взеха повече - голяма фракция и се оказа.

От две дроби с един и същ числител тази с по-малък знаменател е по-голяма, а тази с по-голям знаменател е по-малка.Е, всъщност, ако разделим един кръг на 8 части и другото 5 части и вземете по една част от всеки от кръговете. Коя част ще е по-голяма?

Разбира се, от кръг, разделен на 5 части! А сега си представете, че са споделили не кръгове, а торти. Кое парче бихте предпочели, по-точно кое споделяне: пето или осмо?

За да сравните дроби с различни числители и различни знаменатели, трябва да намалите дробите до най-малкия общ знаменател и след това да сравните дробите със същите знаменатели.

Примери. Сравнете обикновените дроби:

Нека доведем тези дроби до най-малкия общ знаменател. NOZ(4 ; 6)=12. Откриваме допълнителни фактори за всяка от дробите. За 1-ва фракция допълнителен множител 3 (12: 4=3 ). За 2-ра фракция допълнителен множител 2 (12: 6=2 ). Сега сравняваме числителите на двете получени дроби със същите знаменатели. Тъй като числителят на първата дроб е по-малък от числителя на втората дроб ( 9<10) , тогава самата първа фракция е по-малка от втората.

Продължаваме да изучаваме дроби. Днес ще говорим за тяхното сравнение. Темата е интересна и полезна. Това ще позволи на начинаещия да се почувства като учен в бяло палто.

Същността на сравняването на дроби е да се установи коя от двете дроби е по-голяма или по-малка.

За да отговорите на въпроса коя от двете дроби е по-голяма или по-малка, използвайте като повече (>) или по-малко (<).

Математиците вече са се погрижили за готови правила, които ви позволяват веднага да отговорите на въпроса коя дроб е по-голяма и коя е по-малка. Тези правила могат да се прилагат безопасно.

Ще разгледаме всички тези правила и ще се опитаме да разберем защо това се случва.

Съдържание на урока

Сравняване на дроби със същите знаменатели

Фракциите, които трябва да се сравняват, се натъкват на различни. Най-успешният случай е, когато дробите имат едни и същи знаменатели, но различни числители. В този случай се прилага следното правило:

От две дроби с един и същ знаменател по-голямата дроб е тази с по-голям числител. И съответно по-малката дроб ще бъде, в която числителят е по-малък.

Например, нека сравним дроби и и да отговорим коя от тези дроби е по-голяма. Тук знаменателите са еднакви, но числителите са различни. Дроба има по-голям числител от дроб. Така че фракцията е по-голяма от . Така че ние отговаряме. Отговорете, като използвате иконата за още (>)

Този пример може лесно да бъде разбран, ако помислим за пици, които са разделени на четири части. повече пици, отколкото пици:

Всички ще се съгласят, че първата пица е по-голяма от втората.

Сравняване на дроби със същия числител

Следващият случай, в който можем да влезем, е когато числителите на дробите са еднакви, но знаменателите са различни. За такива случаи е предвидено следното правило:

От две дроби с един и същ числител, дробът с по-малък знаменател е по-голям. Следователно дробът с по-голям знаменател е по-малък.

Например, нека сравним дроби и . Тези дроби имат един и същ числител. Дроба има по-малък знаменател от дроб. Така че дробът е по-голям от дроба. Така че ние отговаряме:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако помислим за пици, които са разделени на три и четири части. повече пици, отколкото пици:

Всички са съгласни, че първата пица е по-голяма от втората.

Сравняване на дроби с различни числители и различни знаменатели

Често се случва да сравнявате дроби с различни числители и различни знаменатели.

Например, сравнете дроби и . За да отговорите на въпроса коя от тези дроби е по-голяма или по-малка, трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател. Тогава ще бъде лесно да се определи коя фракция е по-голяма или по-малка.

Нека доведем дробите до един и същ (общ) знаменател. Намерете (LCM) знаменателите на двете дроби. LCM на знаменателите на дробите и това число е 6.

Сега намираме допълнителни фактори за всяка дроб. Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме допълнителен фактор 3. Записваме го върху първата дроб:

Сега нека намерим втория допълнителен фактор. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме допълнителен фактор 2. Записваме го върху втората дроб:

Умножете дробите по техните допълнителни фактори:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да сравняваме такива дроби. От две дроби с еднакви знаменатели, по-голямата дроб е тази с по-голям числител:

Правилото си е правило и ние ще се опитаме да разберем защо повече от . За да направите това, изберете цялата част от дроба. Не е необходимо да избирате нищо във фракцията, тъй като тази дроб вече е редовна.

След като изберем цялата част от дроба, получаваме следния израз:

Сега можете лесно да разберете защо повече от . Нека нарисуваме тези дроби под формата на пици:

2 цели пици и пици, повече от пици.

Изваждане на смесени числа. Трудни случаи.

Когато изваждате смесени числа, понякога откривате, че нещата не вървят толкова гладко, колкото бихте искали. Често се случва при решаването на пример отговорът да не е такъв, какъвто трябва да бъде.

При изваждане на числата изваждането трябва да е по-голямо от изважданото. Само в този случай ще бъде получен нормален отговор.

Например, 10−8=2

10 - намален

8 - изваден

2 - разлика

Минус 10 е по-голямо от извадените 8, така че получихме нормалния отговор 2.

Сега нека видим какво се случва, ако минусът е по-малък от изваждането. Пример 5−7=−2

5 - намален

7 - извадено

−2 е разликата

В този случай излизаме отвъд числата, с които сме свикнали и се озоваваме в света на отрицателните числа, където ни е твърде рано да вървим, а дори и опасно. За да работите с отрицателни числа, ви е необходим подходящ математически фон, който все още не сме получили.

Ако при решаване на примери за изваждане установите, че минусът е по-малък от изваждането, тогава можете да пропуснете такъв пример засега. Допустимо е да се работи с отрицателни числа само след изучаването им.

Същото е положението и с дробите. Изваждането трябва да е по-голямо от изважданото. Само в този случай ще бъде възможно да се получи нормален отговор. И за да разберете дали намалената дроб е по-голяма от извадената, трябва да можете да сравните тези дроби.

Например, нека решим пример.

Това е пример за изваждане. За да го решите, трябва да проверите дали намалената фракция е по-голяма от извадената. повече от

така че можем спокойно да се върнем към примера и да го решим:

Сега нека решим този пример

Проверете дали намалената фракция е по-голяма от извадената. Откриваме, че е по-малко:

В този случай е по-разумно да спрете и да не продължавате по-нататъшното изчисление. Ще се върнем към този пример, когато изучаваме отрицателни числа.

Желателно е също да проверите смесените числа преди изваждане. Например, нека намерим стойността на израза.

Първо проверете дали намаленото смесено число е по-голямо от изваденото. За да направите това, превеждаме смесени числа в неправилни дроби:

Получихме дроби с различни числители и различни знаменатели. За да сравните такива дроби, трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател. Няма да описваме подробно как да направите това. Ако имате проблеми, не забравяйте да повторите.

След като намалим дробите до един и същ знаменател, получаваме следния израз:

Сега трябва да сравним дроби и . Това са дроби с еднакви знаменатели. От две дроби с един и същ знаменател по-голямата дроб е тази с по-голям числител.

Дроба има по-голям числител от дроб. Така че дробът е по-голям от дроба.

Това означава, че минусът е по-голям от изваждането.

Така че можем да се върнем към нашия пример и смело да го разрешим:

Пример 3Намерете стойността на израз

Проверете дали минусът е по-голям от изваждането.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:

Получихме дроби с различни числители и различни знаменатели. Привеждаме тези дроби до един и същ (общ) знаменател.

В този урок ще научим как да сравняваме дроби помежду си. Това е много полезно умение, което е необходимо за решаване на цял клас по-сложни проблеми.

Първо, нека ви напомня за определението за равенството на дробите:

Дроби a /b и c /d се наричат равни, ако ad = bc.

5/8 = 15/24, защото 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, защото 3 18 = 2 27 = 54.

Във всички останали случаи дробите са неравни и за тях е вярно едно от следните твърдения:

Фракцията a /b е по-голяма от фракцията c /d;
Фракцията a /b е по-малка от фракцията c /d.

Дробата a /b се нарича по-голяма от фракцията c /d, ако a /b − c /d > 0.

Дроба x /y се нарича по-малка от дроб s /t, ако x /y − s /t< 0.

Обозначаване:

По този начин сравнението на дроби се свежда до тяхното изваждане. Въпрос: как да не се объркате с обозначението "по-голямо от" (>) и "по-малко от" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Разширителната част на проверката винаги е насочена към по-голямото число;
Острият нос на галка винаги показва по-ниско число.

Често в задачи, в които искате да сравнявате числа, те поставят знака "∨" между тях. Това е галка с нос надолу, което сякаш намеква: по-голямото от числата все още не е определено.

Задача. Сравнете числата:

Следвайки определението, изваждаме дробите една от друга:

При всяко сравнение трябваше да доведем дробите до общ знаменател. По-специално, като се използва методът на кръстосано кръстосване и намирането на най-малкото общо кратно. Умишлено не се фокусирах върху тези точки, но ако нещо не е ясно, вижте урока " Събиране и изваждане на дроби" - много е лесно.

Десетично сравнение

В случай на десетични дроби всичко е много по-просто. Тук няма нужда да изваждате нищо - просто сравнете цифрите. Няма да е излишно да си спомним каква е значителна част от числото. За тези, които са забравили, предлагам да повторите урока „ Умножение и деление на десетични дроби“ - това също ще отнеме само няколко минути.

Положителен десетичен знак X е по-голям от положителен десетичен знак Y, ако съдържа десетичен знак, така че:

Цифрата в тази цифра във фракцията X е по-голяма от съответната цифра във фракцията Y;

Всички цифри, по-стари от дадените във фракции X и Y, са еднакви.

12.25 > 12.16. Първите две цифри са еднакви (12 = 12), а третата е по-голяма (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

С други думи, ние последователно разглеждаме десетичните знаци и търсим разликата. В този случай по-голямо число съответства на по-голяма фракция.

Това определение обаче изисква пояснение. Например, как се записват и сравняват цифри до десетичната запетая? Запомнете: на всяко число, записано в десетична форма, може да се присвои произволен брой нули вляво. Ето още няколко примера:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, тъй като 0,0025 = 0000,0025 - добавени три нули вляво. Сега можете да видите, че разликата започва от първия бит: 2 > 0.

Разбира се, в дадените примери с нули имаше изрично изброяване, но смисълът е точно това: попълнете липсващите цифри вляво и след това сравнете.

Задача. Сравнете дроби:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

По дефиниция имаме:

0,029 > 0,007. Първите две цифри са еднакви (00 = 00), след това започва разликата (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Тук трябва внимателно да преброите нулите. Първите 5 цифри и в двете дроби са нула, но по-нататък в първата дроб е 3, а във втората - 0. Очевидно 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Нека пренапишем втората дроб като 0000,99501, като добавим 3 нули вляво. Сега всичко е очевидно: 1 > 0 - разликата се намира в първата цифра.

За съжаление, горната схема за сравняване на десетични дроби не е универсална. Този метод може само да се сравни положителни числа. В общия случай алгоритъмът на работа е както следва:

Положителната дроб винаги е по-голяма от отрицателната;
Две положителни фракции се сравняват съгласно горния алгоритъм;
Две отрицателни дроби се сравняват по същия начин, но накрая знакът на неравенството се обръща.

Е, не е ли слабо? Сега нека разгледаме конкретни примери - и всичко ще стане ясно.

Задача. Сравнете дроби:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Дробите са отрицателни, 2 цифри са различни. един< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Положителното число винаги е по-голямо от отрицателното;
19,032 > 0,091. Достатъчно е да пренапишете втората дроб под формата на 00.091, за да видите, че разликата се появява вече в 1 цифра;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Разликата е в първата категория.