Kvadrat tenglamaga oid masalalar ham o'rganiladi maktab o'quv dasturi va universitetlarda. Ular a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ko'rinishidagi tenglamalar sifatida tushuniladi, bu erda x- o‘zgaruvchi, a,b,c – konstantalar; a<>0 . Muammo tenglamaning ildizlarini topishdir.

Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi

Kvadrat tenglama bilan ifodalangan funksiyaning grafigi paraboladir. Kvadrat tenglamaning yechimlari (ildizlari) parabolaning x o'qi bilan kesishgan nuqtalaridir. Bundan kelib chiqadiki, uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:
1) parabolaning x o'qi bilan kesishgan nuqtalari yo'q. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalari yuqoriga yoki pastki qismi pastga tushadi. Bunday hollarda kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas (uning ikkita murakkab ildizi bor).

2) parabolaning Ox o'qi bilan bir kesishish nuqtasi bor. Bunday nuqta parabolaning cho'qqisi deb ataladi va undagi kvadrat tenglama uning minimal yoki maksimal qiymatini oladi. Bunday holda, kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga (yoki ikkita bir xil ildizga) ega.

3) Oxirgi holat amalda qiziqroq - parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtasi mavjud. Bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi borligini anglatadi.

O'zgaruvchilarning vakolatlari bo'yicha koeffitsientlarni tahlil qilish asosida parabolaning joylashuvi haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.

1) Agar a koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabola yuqoriga, manfiy bo'lsa, parabola shoxlari pastga yo'naltiriladi.

2) Agar b koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, agar u manfiy qiymat olsa, o'ngda yotadi.

Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish

Kvadrat tenglamadan doimiyni o'tkazamiz

tenglik belgisi uchun ifodani olamiz

Ikkala tomonni 4a ga ko'paytiring

Chap tomonda to'liq kvadrat olish uchun ikkala qismga b ^ 2 qo'shing va transformatsiyani bajaring

Bu erdan topamiz

Kvadrat tenglamaning diskriminant formulasi va ildizlari

Diskriminant - bu radikal ifodaning qiymati, agar u musbat bo'lsa, tenglama formula bo'yicha hisoblangan ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi. Diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta yechimga ega (ikki mos keladigan ildiz), uni yuqoridagi formuladan D=0 uchun olish oson.Agar diskriminant manfiy bo'lsa, haqiqiy ildizlar bo'lmaydi. Biroq, kompleks tekislikdagi kvadrat tenglamaning yechimlarini o'rganish va ularning qiymati formula bilan hisoblanadi.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamaning ikkita ildizini ko'rib chiqing va ular asosida kvadrat tenglama tuzing.Vyeta teoremasining o'zi osongina yozuvdan kelib chiqadi: agar bizda shaklning kvadrat tenglamasi bo'lsa. u holda uning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan p koeffitsientiga, tenglama ildizlarining ko'paytmasi esa q erkin hadga teng bo'ladi. Yuqoridagi formula shunday bo'ladi: Agar klassik tenglamadagi a doimiysi nolga teng bo'lmasa, unda siz butun tenglamani unga bo'lishingiz va keyin Vieta teoremasini qo'llashingiz kerak.

Faktorlar bo'yicha kvadrat tenglamaning grafigi

Vazifa qo'yilsin: kvadrat tenglamani omillarga ajratish. Uni amalga oshirish uchun avvalo tenglamani yechamiz (ildizlarni topamiz). Keyin topilgan ildizlarni kvadrat tenglamani kengaytirish formulasiga almashtiramiz.Bu masala yechiladi.

Kvadrat tenglama uchun topshiriqlar

Vazifa 1. Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

x^2-26x+120=0 .

Yechish: Koeffitsientlarni yozing va diskriminant formulasiga almashtiring

ildizi berilgan qiymat 14 ga teng bo'lsa, uni kalkulyator yordamida topish yoki uni tez-tez ishlatib eslab qolish oson, ammo qulaylik uchun maqolaning oxirida men sizga bunday vazifalarda tez-tez uchraydigan raqamlar kvadratlari ro'yxatini beraman. .
Topilgan qiymat ildiz formulasiga almashtiriladi

va biz olamiz

Vazifa 2. tenglamani yeching

2x2+x-3=0.

Yechish: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor, koeffitsientlarni yozing va diskriminantni toping


tomonidan ma'lum formulalar kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

Vazifa 3. tenglamani yeching

9x2 -12x+4=0.

Yechish: Bizda to‘liq kvadrat tenglama bor. Diskriminantni aniqlang

Ildizlar bir-biriga to'g'ri kelganda bizda vaziyat bor. Ildizlarning qiymatlarini formula bo'yicha topamiz

Vazifa 4. tenglamani yeching

x^2+x-6=0 .

Yechish: x uchun kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan hollarda Vyeta teoremasini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Uning sharti bo'yicha biz ikkita tenglamani olamiz

Ikkinchi shartdan ko'paytma -6 ga teng bo'lishi kerakligini olamiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan yechimlar juftligi (-3;2), (3;-2) mavjud. Birinchi shartni hisobga olgan holda, biz ikkinchi juft echimni rad qilamiz.
Tenglamaning ildizlari

5-topshiriq. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 18 sm, maydoni 77 sm 2 bo‘lsa, uning tomonlari uzunliklarini toping.

Yechish: To‘rtburchakning perimetrining yarmi qo‘shni tomonlari yig‘indisiga teng. x ni belgilaymiz - katta tomoni, u holda 18-x uning kichik tomoni. To'rtburchakning maydoni ushbu uzunliklarning mahsulotiga teng:
x(18x)=77;
yoki
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Tenglamaning diskriminantini toping

Biz tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz

Agar a x=11, keyin 18x=7 , teskarisi ham to'g'ri (agar x=7, u holda 21-x=9).

Masala 6. Kvadrat 10x 2 -11x+3=0 tenglamani ko‘paytmalarga ajrating.

Yechish: Tenglamaning ildizlarini hisoblang, buning uchun diskriminantni topamiz

Topilgan qiymatni ildizlar formulasiga almashtiramiz va hisoblaymiz

Kvadrat tenglamani ildizlar bo'yicha kengaytirish formulasini qo'llaymiz

Qavslarni kengaytirib, biz shaxsni olamiz.

Parametrli kvadrat tenglama

Misol 1. Parametrning qaysi qiymatlari uchun a ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 tenglamasi bitta ildizga egami?

Yechish: a=3 qiymatini to‘g‘ridan-to‘g‘ri almashtirsak, uning yechimi yo‘qligini ko‘ramiz. Keyinchalik, biz nol diskriminant bilan tenglama 2 ko'plikning bitta ildiziga ega ekanligidan foydalanamiz. Keling, diskriminantni yozamiz

uni soddalashtiring va nolga tenglashtiring

Biz a parametriga nisbatan kvadrat tenglamani oldik, uning yechimini Vyeta teoremasi yordamida olish oson. Ildizlarning yig'indisi 7 ga, mahsuloti esa 12 ga teng. Oddiy sanab o'tish orqali biz 3.4 raqamlari tenglamaning ildizlari bo'lishini aniqlaymiz. Biz hisob-kitoblarning boshida a=3 yechimni rad qilganimiz uchun yagona to'g'ri bo'ladi - a=4. Shunday qilib, a = 4 uchun tenglama bitta ildizga ega.

Misol 2. Parametrning qaysi qiymatlari uchun a , tenglama a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 bir nechta ildiz bormi?

Yechish: Avval yagona nuqtalarni ko'rib chiqing, ular a=0 va a=-3 qiymatlari bo'ladi. a=0 bo‘lganda, tenglama 6x-9=0 ko‘rinishga soddalashtiriladi; x=3/2 va bitta ildiz bo'ladi. a= -3 uchun biz 0=0 identifikatsiyasini olamiz.
Diskriminantni hisoblang

va u ijobiy bo'lgan a ning qiymatlarini toping

Birinchi shartdan biz a>3 ni olamiz. Ikkinchisi uchun biz tenglamaning diskriminantini va ildizlarini topamiz


Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni aniqlaymiz. a=0 nuqtani almashtirib, biz hosil bo'lamiz 3>0 . Demak, (-3; 1/3) oraliqdan tashqarida funksiya manfiy. Nuqtani unutmang a=0 Buni chiqarib tashlash kerak, chunki asl tenglamada bitta ildiz bor.
Natijada muammoning shartini qanoatlantiradigan ikkita intervalni olamiz

Amalda shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi, vazifalarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va bir-birini istisno qiladigan shartlarni hisobga olishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni yechish uchun formulalarni yaxshilab o'rganing, ular ko'pincha turli masalalar va fanlarda hisob-kitoblarda kerak bo'ladi.

DA zamonaviy jamiyat kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan operatsiyalarni bajarish qobiliyati faoliyatning ko'plab sohalarida foydali bo'lishi mumkin va amaliyotda ilmiy va texnik ishlanmalar. Buni dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalarning konstruksiyasi ham isbotlash mumkin. Bunday hisob-kitoblar yordamida turli jismlar, jumladan, kosmik jismlar harakatining traektoriyalari aniqlanadi. Kvadrat tenglamalarni yechish misollari nafaqat iqtisodiy prognozlashda, binolarni loyihalash va qurishda, balki eng oddiy kundalik sharoitlarda ham qo'llaniladi. Ular ichida kerak bo'lishi mumkin piyoda sayohatlar, sportda, do'konlarda xarid qilishda va boshqa juda keng tarqalgan holatlarda.

Keling, ifodani komponent omillarga ajratamiz

Tenglamaning darajasi berilgan ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining darajasining maksimal qiymati bilan aniqlanadi. Agar u 2 ga teng bo'lsa, unda bunday tenglama kvadrat tenglama deyiladi.

Agar formulalar tilida gapiradigan bo'lsak, bu iboralar qanday ko'rinishda bo'lishidan qat'i nazar, har doim ifodaning chap tomoni uchta atamadan iborat bo'lgan shaklga keltirilishi mumkin. Ular orasida: ax 2 (ya'ni, koeffitsienti bilan kvadrat bo'lgan o'zgaruvchi), bx (koeffitsienti bilan kvadratsiz noma'lum) va c (erkin komponent, ya'ni oddiy son). Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Bunday ko'phadning tashkil etuvchi hadlaridan birortasi bo'lmasa, ax 2 dan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi. O'zgaruvchilarning qiymatini topish qiyin bo'lmagan bunday muammolarni hal qilish misollarini birinchi navbatda ko'rib chiqish kerak.

Agar ifoda ifodaning o'ng tomonida ikkita haddan iborat bo'lsa, aniqrog'i ax 2 va bx, o'zgaruvchini qavs ichiga olish orqali x ni topish oson. Endi bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: x(ax+b). Keyinchalik ma'lum bo'ladiki, x=0 yoki muammo quyidagi ifodadan o'zgaruvchini topishga qisqartiriladi: ax+b=0. Bu ko'paytirishning xususiyatlaridan biri bilan belgilanadi. Qoidada aytilishicha, ikkita omilning mahsuloti faqat bittasi bo'lsa, 0 ga olib keladi nol.

Misol

x=0 yoki 8x - 3 = 0

Natijada, biz tenglamaning ikkita ildizini olamiz: 0 va 0,375.

Bunday turdagi tenglamalar koordinata sifatida qabul qilingan ma'lum bir nuqtadan harakatlana boshlagan jismlarning tortishish ta'siri ostida harakatini tasvirlashi mumkin. Bu yerda matematik belgilar quyidagi shaklni oladi: y = v 0 t + gt 2 /2. Kerakli qiymatlarni o'rniga qo'yish, o'ng tomonni 0 ga tenglashtirish va mumkin bo'lgan noma'lumlarni topish orqali siz tananing ko'tarilishidan to tushishigacha o'tgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'plab miqdorlarni bilib olishingiz mumkin. Ammo bu haqda keyinroq gaplashamiz.

Ifoda faktoringi

Yuqorida tavsiflangan qoida ushbu muammolarni va boshqalarni hal qilish imkonini beradi qiyin holatlar. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimi bilan misollarni ko'rib chiqing.

X2 - 33x + 200 = 0

Bu kvadrat trinomial tugallangan. Birinchidan, biz ifodani o'zgartiramiz va uni omillarga ajratamiz. Ulardan ikkitasi bor: (x-8) va (x-25) = 0. Natijada, bizda ikkita ildiz 8 va 25 bor.

9-sinfda kvadrat tenglamalarni yechish misollari bu usul yordamida nafaqat ikkinchi, balki uchinchi va toʻrtinchi tartibli ifodalarda ham oʻzgaruvchini topish imkonini beradi.

Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. O'zgaruvchiga ega bo'lgan omillarga o'ng tomonni koeffitsientlarga ajratganda, ularning uchtasi, ya'ni (x + 1), (x-3) va (x +) bo'ladi. 3).

Natijada, bu ayon bo'ladi berilgan tenglama uchta ildizga ega: -3; - bitta; 3.

Kvadrat ildizni ajratib olish

Toʻliq boʻlmagan ikkinchi tartibli tenglamaning yana bir holi oʻng tomoni ax 2 va c komponentalaridan yasaladigan tarzda harflar tilida yozilgan ifodadir. Bu erda o'zgaruvchining qiymatini olish uchun erkin termin ga o'tkaziladi o'ng tomon, va undan keyin, tenglikning ikkala qismidan, Kvadrat ildiz. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda odatda tenglamaning ikkita ildizi mavjud. Istisno faqat c atamasini o'z ichiga olmaydi, bu erda o'zgaruvchi nolga teng bo'lgan tengliklar, shuningdek, o'ng tomoni manfiy bo'lgan iboralarning variantlari. Ikkinchi holda, hech qanday yechim yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildizlar bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari misollarini ko'rib chiqish kerak.

Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 raqamlari bo'ladi.

Er maydonini hisoblash

Bunday hisob-kitoblarga ehtiyoj qadimgi davrlarda paydo bo'lgan, chunki matematikaning rivojlanishi asosan o'sha davrlarda sodir bo'lgan. uzoq vaqtlar yer uchastkalarining maydonlari va perimetrlarini eng katta aniqlik bilan aniqlash zarurati bilan bog‘liq edi.

Shu turdagi masalalar asosida tuzilgan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ham ko'rib chiqishimiz kerak.

Shunday qilib, bor deylik to'rtburchaklar maydoni uzunligi kengligidan 16 metr ko'proq bo'lgan quruqlik. Agar uning maydoni 612 m 2 ekanligi ma'lum bo'lsa, siz saytning uzunligini, kengligini va perimetrini topishingiz kerak.

Ishga kirishib, dastlab biz kerakli tenglamani tuzamiz. Kesimning kengligini x deb belgilaymiz, u holda uning uzunligi (x + 16) bo'ladi. Yozilganlardan kelib chiqadiki, maydon x (x + 16) ifodasi bilan aniqlanadi, bu bizning muammomiz shartiga ko'ra 612 ga teng. Bu x (x + 16) \u003d 612 degan ma'noni anglatadi.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish va bu ifodani xuddi shunday qilib bo'lmaydi. Nega? Uning chap tomonida hali ham ikkita omil mavjud bo'lsa-da, ularning ko'paytmasi umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda boshqa usullar qo'llaniladi.

Diskriminant

Avvalo, biz kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz, keyin tashqi ko'rinish bu ifoda quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 + 16x - 612 = 0. Demak, biz avval belgilangan standartga mos keladigan ko'rinishdagi ifodani oldik, bunda a=1, b=16, c=-612.

Bu diskriminant orqali kvadrat tenglamalarni echishga misol bo'lishi mumkin. Bu yerda zarur hisob-kitoblar sxema bo'yicha ishlab chiqariladi: D = b 2 - 4ac. Ushbu yordamchi qiymat nafaqat ikkinchi darajali tenglamada kerakli qiymatlarni topishga imkon beradi, balki raqamni aniqlaydi. variantlari. D>0 holatida ulardan ikkitasi bor; D=0 uchun bitta ildiz mavjud. D holatda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Ildizlar va ularning formulasi haqida

Bizning holatimizda diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Bu bizning muammomizning javobi borligini ko'rsatadi. Agar bilsangiz, kvadrat tenglamalarni yechish quyidagi formula yordamida davom ettirilishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.

Bu shuni anglatadiki, taqdim etilgan holatda: x 1 =18, x 2 =-34. Ushbu dilemmadagi ikkinchi variant yechim bo'lishi mumkin emas, chunki er uchastkasining o'lchamini manfiy qiymatlarda o'lchash mumkin emas, ya'ni x (ya'ni uchastkaning kengligi) 18 m. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18+16=34, perimetri 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Misollar va vazifalar

Kvadrat tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz. Misollar va ulardan bir nechtasining batafsil yechimi quyida keltirilgan.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Keling, hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, transformatsiya qilamiz, ya'ni odatda standart deb ataladigan tenglama shaklini olamiz va uni nolga tenglashtiramiz.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Shunga o'xshashlarni qo'shib, biz diskriminantni aniqlaymiz: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Shunday qilib, bizning tenglamamiz ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblaymiz, ya'ni ularning birinchisi 4/3 ga, ikkinchisi esa 1 ga teng bo'ladi.

2) Endi biz boshqa turdagi topishmoqlarni ochib beramiz.

Bu yerda umuman x 2 - 4x + 5 = 1 ildiz bor yoki yo'qligini bilib olaylik? To'liq javob olish uchun polinomni mos keladigan tanish shaklga keltiramiz va diskriminantni hisoblaymiz. Bu misolda kvadrat tenglamani yechish shart emas, chunki masalaning mohiyati bunda umuman yo'q. Bunday holda, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, bu haqiqatan ham ildiz yo'qligini anglatadi.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamalarni yuqoridagi formulalar va diskriminant orqali, ikkinchisining qiymatidan kvadrat ildiz chiqarilganda yechish qulay. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holda o'zgaruvchilar qiymatlarini olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechish. U 16-asrda Frantsiyada yashagan va o'zining matematik iste'dodi va suddagi aloqalari tufayli yorqin martabaga ega bo'lgan odam sharafiga nomlangan. Uning portretini maqolada ko'rish mumkin.

Mashhur frantsuz e'tibor bergan naqsh quyidagicha edi. U tenglamaning ildizlari yig‘indisi -p=b/a ga, ularning ko‘paytmasi esa q=c/a ga mos kelishini isbotladi.

Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqaylik.

3x2 + 21x - 54 = 0

Oddiylik uchun keling, ifodani o'zgartiramiz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremasidan foydalanib, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning yig'indisi -7, va ularning mahsuloti -18. Bu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2 raqamlari ekanligini tushunamiz. Tekshiruvdan so'ng, biz o'zgaruvchilarning ushbu qiymatlari haqiqatan ham ifodaga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Parabola grafigi va tenglamasi

Kvadrat funksiya tushunchalari va kvadrat tenglamalar chambarchas bog'langan. Bunga misollar allaqachon berilgan. Keling, ba'zi matematik jumboqlarni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama vizual tarzda ifodalanishi mumkin. Grafik shaklida chizilgan bunday bog'liqlik parabola deyiladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Har qanday parabolaning cho'qqisi, ya'ni shoxlari chiqadigan nuqtasi bor. Agar a>0 bo'lsa, ular cheksizlikka yuqori bo'ladi va qachon a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funksiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan kvadratik tenglamalarni echishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb ataladi. X o'zgaruvchining qiymati esa grafik chizig'i 0x bilan kesishgan nuqtalardagi abscissa koordinatasidir. Cho'qqining koordinatalarini hozirgina x 0 = -b / 2a berilgan formula bo'yicha topish mumkin. Va natijada olingan qiymatni funktsiyaning dastlabki tenglamasiga almashtirib, siz y 0 ni, ya'ni y o'qiga tegishli parabola tepasining ikkinchi koordinatasini topishingiz mumkin.

Parabola shoxlarining abscissa o'qi bilan kesishishi

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar ko'p, lekin umumiy qonuniyatlar ham mavjud. Keling, ularni ko'rib chiqaylik. A>0 uchun grafikning 0x o'qi bilan kesishishi y 0 manfiy qiymatlarni qabul qilgan taqdirdagina mumkin bo'lishi aniq. Va a uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aks holda D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabola grafigidan ildizlarini ham aniqlash mumkin. Buning teskarisi ham to'g'ri. Ya’ni kvadratik funksiyaning vizual ko‘rinishini olish oson bo‘lmasa, ifodaning o‘ng tomonini 0 ga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamani yechish mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishish nuqtalarini bilish, chizish osonroq.

Tarixdan

Kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar yordamida qadimgi kunlarda nafaqat matematik hisoblar, balki geometrik shakllarning maydoni aniqlangan. Qadimgi odamlar fizika va astronomiya sohasidagi ulkan kashfiyotlar, shuningdek, astrolojik prognozlar qilish uchun bunday hisob-kitoblarga muhtoj edilar.

Zamonaviy olimlarning ta'kidlashicha, Bobil aholisi birinchilardan bo'lib kvadrat tenglamalarni yechgan. Bu bizning eramizning kelishidan to'rt asr oldin sodir bo'lgan. Albatta, ularning hisob-kitoblari hozirda qabul qilinganlardan tubdan farq qilar edi va ancha ibtidoiy bo'lib chiqdi. Misol uchun, Mesopotamiya matematiklari manfiy sonlarning mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emas edilar. Ular bizning zamonamizning har qanday talabasiga ma'lum bo'lgan boshqa nozikliklar bilan ham tanish emas edi.

Ehtimol, hatto Bobil olimlaridan ham oldinroq, Hindistonlik donishmand Baudhayama kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullangan. Bu Masih davri kelishidan sakkiz asr oldin sodir bo'lgan. To'g'ri, ikkinchi tartibli tenglamalar, u bergan yechish usullari eng oddiylari edi. Undan tashqari, qadimgi davrlarda xitoylik matematiklarni ham shu kabi savollar qiziqtirgan. Evropada kvadrat tenglamalar faqat 13-asrning boshlarida yechila boshlandi, ammo keyinchalik ular Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab buyuk olimlar tomonidan o'z ishlarida qo'llanildi.

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a , b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Yechishning aniq usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

1. Ildizlari yo'q;
2. Ularning aynan bitta ildizi bor;
3. Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq bo'lib, bu erda ildiz har doim mavjud va yagonadir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Bu formulani yoddan bilish kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminantning belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
3. Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

E'tibor bering: diskriminant negadir ko'pchilik o'ylaganidek, ularning belgilarini emas, balki ildizlarning sonini ko'rsatadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shu tarzda tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz kelishmovchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz" bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimga o'tamiz. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblay olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha xatolar formulaga manfiy koeffitsientlar kiritilganda sodir bo'ladi. Bu erda, yana, yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni bo'yash - va tezda xatolardan xalos bo'ling.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Misol uchun:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bunday holda, tenglama ax 2 \u003d 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bittaga ega. ildiz: x \u003d 0.

Keling, boshqa holatlarni ko'rib chiqaylik. b \u003d 0 bo'lsin, keyin ax 2 + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Keling, uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik (−c / a ) ≥ 0 bo'lgandagina ma'noga ega bo'ladi. Xulosa:

1. Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (−c / a ) ≥ 0 tengsizlikni qanoatlantirsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. Agar (−c / a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisob-kitoblar umuman yo'q. Aslida, (−c / a ) ≥ 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng bo'lgan ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorlarga ajratish kifoya:

Qavsdan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu erdan ildizlar paydo bo'ladi. Xulosa qilib aytganda, biz ushbu tenglamalarning bir nechtasini tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadrat tenglamalar. Diskriminant. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Muddatida kvadrat tenglama kalit so'z "kvadrat". Bu tenglamada shuni anglatadi albatta x kvadrat bo'lishi kerak. Bunga qo'shimcha ravishda, tenglamada faqat x (birinchi darajaga) va shunchaki raqam bo'lishi mumkin (yoki bo'lmasligi mumkin!) (bepul a'zo). Va ikkidan kattaroq darajada x bo'lmasligi kerak.

Matematik nuqtai nazardan, kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

Bu yerda a, b va c- ba'zi raqamlar. b va c- mutlaqo har qanday, lekin a- noldan boshqa narsa. Misol uchun:

Bu yerda a =1; b = 3; c = -4

Bu yerda a =2; b = -0,5; c = 2,2

Bu yerda a =-3; b = 6; c = -18

Xo'sh, siz tushundingiz ...

Ushbu kvadrat tenglamalarda, chapda, mavjud to'liq to'plam a'zolari. x kvadrat koeffitsient bilan a, x koeffitsienti bilan birinchi darajaga b va bepul a'zosi

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.

Agar b= 0, biz nimani olamiz? Bizda ... bor X birinchi darajada yo'qoladi. Bu nolga ko'paytirilganda sodir bo'ladi.) Masalan, shunday bo'ladi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsient bo'lsa b va c nolga teng bo'lsa, u yanada oddiyroq:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Bu juda mantiqiy.) E'tibor bering, x kvadrat barcha tenglamalarda mavjud.

Aytgancha, nima uchun a nol bo'lishi mumkin emasmi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz a nol.) Kvadratdagi X yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va bu boshqacha qilingan ...

Bu kvadrat tenglamalarning barcha asosiy turlari. To'liq va to'liqsiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni yechish oson. Formulalar bo'yicha va aniq oddiy qoidalar. Birinchi bosqichda sizga kerak berilgan tenglama olib kelishi standart ko'rinish, ya'ni. ko'rinishga:

Agar tenglama allaqachon sizga ushbu shaklda berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas.) Asosiysi, barcha koeffitsientlarni to'g'ri aniqlash, a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant. Ammo u haqida quyida batafsilroq. Ko'rib turganingizdek, x ni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va c. Bular. kvadrat tenglamadan koeffitsientlar. Faqat qiymatlarni ehtiyotkorlik bilan almashtiring a, b va c Ushbu formulaga kiriting va hisoblang. O'rinbosar belgilaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

a =1; b = 3; c= -4. Bu erda biz yozamiz:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, siz xato qilolmaysizmi? Xo'sh, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar qadriyatlar belgilari bilan chalkashlikdir a, b va c. To'g'rirog'i, ularning belgilari bilan emas (qaerda chalkashib ketish kerak?), Lekin almashtirish bilan salbiy qiymatlar ildizlarni hisoblash formulasiga. Bu erda ma'lum raqamlar bilan formulaning batafsil yozuvi saqlanadi. Hisoblashda muammolar mavjud bo'lsa, shunday qiling!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Aytaylik, siz birinchi marta kamdan-kam hollarda javob olishingizni bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Qo'shimcha satr yozish uchun 30 soniya kerak bo'ladi va xatolar soni keskin pasayadi. Shunday qilib, biz barcha qavslar va belgilar bilan batafsil yozamiz:

Bu qadar ehtiyotkorlik bilan bo'yash juda qiyin ko'rinadi. Lekin shunchaki ko'rinadi. Urunib ko'r. Xo'sh, yoki tanlang. Qaysi biri yaxshiroq, tez yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni xursand qilaman. Biroz vaqt o'tgach, hamma narsani juda ehtiyotkorlik bilan bo'yashga hojat qolmaydi. Bu shunchaki to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, siz quyida tavsiflangan amaliy usullarni qo'llasangiz. Minuslar to'plami bilan bu yomon misol osongina va xatosiz hal qilinadi!

Ammo, ko'pincha, kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Bilasizmi?) Ha! Bu to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

Ularni umumiy formula bilan ham yechish mumkin. Bu erda nima teng ekanligini to'g'ri aniqlashingiz kerak a, b va c.

Tushundimi? Birinchi misolda a = 1; b = -4; a c? U umuman mavjud emas! Xo'sh, ha, bu to'g'ri. Matematikada bu shuni anglatadi c = 0 ! Hammasi shu. Formula o‘rniga nolni qo‘ying c, va hamma narsa biz uchun ishlaydi. Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday. Faqat nol bizda bu yerda yo'q bilan, a b !

Lekin toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni ancha oson yechish mumkin. Hech qanday formulalarsiz. Birinchisini ko'rib chiqing to'liq bo'lmagan tenglama. Chap tomonda nima qilish mumkin? Qavslar ichidan X ni olib tashlashingiz mumkin! Keling, chiqarib olaylik.

Va bundan nima? Va agar mahsulot nolga teng bo'lsa va faqat omillardan birortasi nolga teng bo'lsa! Ishonmaysizmi? Xo'sh, unda nolga teng bo'lmagan ikkita raqamni toping, ular ko'paytirilganda nolga teng bo'ladi!
Ishlamaydi? Nimadur...
Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Hamma narsa. Bular tenglamamizning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirsak, biz 0 = 0 to'g'ri identifikatsiyani olamiz. Ko'rib turganingizdek, yechim umumiy formuladan ancha sodda. Aytgancha, qaysi X birinchi, qaysi ikkinchisi bo'lishini ta'kidlayman - bu mutlaqo befarq. Tartibda yozish oson x 1- qaysi biri kamroq bo'lsa x 2- bu ko'proq.

Ikkinchi tenglamani ham oson yechish mumkin. Biz 9 ni o'ng tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:

9 dan ildizni ajratib olish qoladi va hammasi. Oling:

shuningdek, ikkita ildiz . x 1 = -3, x 2 = 3.

Barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar shunday yechiladi. Yoki qavs ichidan x olib, yoki oddiy transfer raqamlar o'ngga, keyin ildiz chiqarish.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, birinchi holatda siz X dan ildizni chiqarib olishingiz kerak bo'ladi, bu qandaydir tushunarsiz, ikkinchi holatda esa qavslardan olib tashlash uchun hech narsa yo'q ...

Diskriminant. Diskriminant formulasi.

Sehrli so'z diskriminant ! Nodir o'rta maktab o'quvchisi bu so'zni eshitmagan! "Diskriminant orqali qaror qabul qiling" iborasi ishonch va ishonch bag'ishlaydi. Chunki diskriminantdan hiyla-nayrang kutishning hojati yo'q! Bu oddiy va ishlov berishda muammosiz.) Men sizga eng ko'p narsani eslataman umumiy formula yechimlar uchun har qanday kvadrat tenglamalar:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant deb ataladi. Diskriminant odatda harf bilan belgilanadi D. Diskriminant formulasi:

D = b 2 - 4ac

Va bu ifodaning o'ziga xos xususiyati nimada? Nega u alohida nomga loyiq? Nimada diskriminantning ma'nosi? Hammasidan keyin; axiyri -b, yoki 2a bu formulada ular maxsus nom bermaydilar ... Harflar va harflar.

Gap shundaki. Ushbu formuladan foydalanib, kvadrat tenglamani yechishda mumkin faqat uchta holat.

1. Diskriminant musbat. Bu shuni anglatadiki, siz undan ildizni olishingiz mumkin. Ildiz yaxshi yoki yomon olinadimi - bu boshqa savol. Printsipial jihatdan olingan narsa muhim. Keyin kvadrat tenglamangiz ikkita ildizga ega. Ikki xil yechim.

2. Diskriminant nolga teng. Keyin sizda bitta yechim bor. Chunki numeratorga nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi. To'g'ri aytganda, bu bitta ildiz emas, balki ikkita bir xil. Ammo, soddalashtirilgan versiyada bu haqda gapirish odatiy holdir bitta yechim.

3. Diskriminant manfiy. Salbiy son kvadrat ildizni olmaydi. Ha mayli. Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Rostini aytsam, at oddiy yechim kvadrat tenglamalar, diskriminant tushunchasi ayniqsa talab qilinmaydi. Biz formuladagi koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz va hisobga olamiz. U erda hamma narsa o'z-o'zidan paydo bo'ladi va ikkita ildiz, bitta va bitta emas. Biroq, ko'proq hal qilishda qiyin vazifalar, bilimsiz ma'no va diskriminant formulasi yetarli emas. Ayniqsa - parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar GIA va Yagona davlat imtihonlari uchun aerobatikadir!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarni yechish usullari siz eslagan diskriminant orqali. Yoki o'rgangan, bu ham yomon emas.) Siz qanday qilib to'g'ri aniqlashni bilasiz a, b va c. Bilasizmi qanday diqqat bilan ularni ildiz formulasiga almashtiring va diqqat bilan natijani hisoblang. Bu erda kalit so'z ekanligini tushundingizmi - diqqat bilan?

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Aynan e'tiborsizlik tufayli bo'lganlar ... Buning uchun og'riqli va haqoratli ...

Birinchi qabul . Kvadrat tenglamani standart shaklga keltirishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Faraz qilaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildizlarning formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c. Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, x kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin bepul a'zo. Mana bunday:

Va yana, shoshilmang! X kvadratidan oldingi minus sizni juda xafa qilishi mumkin. Uni unutish oson... Minusdan qutuling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'rgatilgandek! Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Va endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin. O'zingiz qaror qiling. Siz 2 va -1 ildizlari bilan yakunlashingiz kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlaringizni tekshiring! Vyeta teoremasiga ko'ra. Xavotir olmang, men hammasini tushuntiraman! Tekshirish oxirgi narsa tenglama. Bular. biz ildizlarning formulasini yozganimiz. Agar (bu misolda bo'lgani kabi) koeffitsient a = 1, ildizlarni osongina tekshiring. Ularni ko'paytirish kifoya. Siz bepul muddat olishingiz kerak, ya'ni. bizning holatlarimizda -2. E'tibor bering, 2 emas, balki -2! bepul a'zo sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, demak, ular allaqachon biror joyda aralashib ketishgan. Xato qidiring.

Agar u ishlagan bo'lsa, siz ildizlarni katlashingiz kerak. Oxirgi va yakuniy tekshirish. Nisbatan bo'lishi kerak b bilan qarama-qarshi belgisi. Bizning holatda -1+2 = +1. Koeffitsient b x dan oldin joylashgan , -1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu faqat x kvadrati sof, koeffitsientli misollar uchun juda oddiy a = 1. Lekin hech bo'lmaganda bunday tenglamalarni tekshiring! Hamma narsa kamroq xatolar bo'ladi.

Uchinchi qabul . Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! “Tenglamalarni qanday yechish kerak? Aynilikni o‘zgartirish” darsida ko‘rsatilgandek tenglamani umumiy maxrajga ko‘paytiring. Kasrlar, xatolar bilan ishlashda, ba'zi sabablarga ko'ra, ko'tarilish ...

Aytgancha, men soddalashtirish uchun bir nechta minuslar bilan yomon misolni va'da qildim. Arzimaydi! Mana u.

Minuslarda adashmaslik uchun tenglamani -1 ga ko'paytiramiz. Biz olamiz:

Hammasi shu! Qaror qabul qilish qiziqarli!

Shunday qilib, keling, mavzuni takrorlaymiz.

Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni butun tenglamani -1 ga ko'paytirish orqali yo'q qilamiz.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan koeffitsientga ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

4. Agar x kvadrat toza bo'lsa, undagi koeffitsient birga teng, yechimni Vyeta teoremasi bilan osongina tekshirish mumkin. Qiling!

Endi siz qaror qabul qilishingiz mumkin.)

Tenglamalarni yechish:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Javoblar (tartibsiz):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - har qanday raqam

x 1 = -3
x 2 = 3

yechimlar yo'q

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Hammasi mos keladimi? Yaxshi! Kvadrat tenglamalar sizniki emas Bosh og'rig'i. Birinchi uchtasi chiqdi, ammo qolganlari chiqmadimi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarda emas. Muammo tenglamalarni bir xil o'zgartirishda. Havolani ko'rib chiqing, bu foydali.

To'liq ishlamayaptimi? Yoki umuman ishlamayaptimi? Keyin 555-bo'lim sizga yordam beradi.U erda bu misollarning barchasi suyaklar bo'yicha saralangan. Koʻrsatilmoqda asosiy yechimdagi xatolar. Albatta, u foydalanish haqida ham gapiradi bir xil o'zgarishlar turli tenglamalarni yechishda. Ko'p yordam beradi!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

”, ya’ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz o'rganamiz kvadrat tenglama nima va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima

Muhim!

Tenglamaning darajasi noma'lumning eng yuqori darajasi bilan belgilanadi.

Agar noma'lumning maksimal darajasi "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" va "c" - berilgan raqamlar.

• "a" - birinchi yoki katta koeffitsient;
• "b" - ikkinchi koeffitsient;
• "c" bepul a'zo.

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c \u003d 0" kvadrat tenglamasining umumiy shakli bilan solishtirishingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Tenglama	Imkoniyatlar
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Undan farqli o'laroq chiziqli tenglamalar kvadrat tenglamalarni yechish uchun maxsus ildizlarni topish formulasi.

Eslab qoling!

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• kvadrat tenglamani keltiring umumiy ko'rinish"ax 2 + bx + c = 0". Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
• ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasini qanday qo‘llashni misol orqali aniqlaylik. Kvadrat tenglamani yechamiz.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uning yordami bilan har qanday kvadrat tenglama yechiladi.

"x 1; 2 \u003d" formulasida ildiz ifodasi ko'pincha almashtiriladi
"b 2 - 4ac" "D" harfigacha va diskriminant deb ataladi. Diskriminant tushunchasi "Diskriminant nima" darsida batafsilroq muhokama qilinadi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqing.

x 2 + 9 + x = 7x

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani "ax 2 + bx + c \u003d 0" umumiy ko'rinishiga keltiramiz.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Endi siz ildizlar uchun formuladan foydalanishingiz mumkin.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Javob: x = 3

Kvadrat tenglamalarda ildiz bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat ildiz ostidagi formulada manfiy raqam paydo bo'lganda yuzaga keladi.