Eng oddiy logarifmik tengsizliklarni yechish. Imtihonga tayyorgarlik

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqidagi ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs vorisiga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Logarifmik tengsizliklarning butun xilma-xilligi orasida asosi oʻzgaruvchan tengsizliklar alohida oʻrganiladi. Ular ba'zi sabablarga ko'ra kamdan-kam hollarda maktabda o'qitiladigan maxsus formula bo'yicha hal qilinadi:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

"∨" jackdaw o'rniga siz har qanday tengsizlik belgisini qo'yishingiz mumkin: ko'proq yoki kamroq. Asosiysi, ikkala tengsizlikda ham belgilar bir xil.

Shunday qilib, biz logarifmlardan xalos bo'lamiz va muammoni ratsional tengsizlikka tushiramiz. Ikkinchisini hal qilish ancha oson, lekin logarifmlarni tashlab ketganda, qo'shimcha ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Ularni kesish uchun ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini topish kifoya. Agar siz logarifmning ODZ-ni unutgan bo'lsangiz, uni takrorlashni qat'iy tavsiya qilaman - "Logarifm nima" ga qarang.

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni bilan bog'liq barcha narsalar alohida yozilishi va hal qilinishi kerak:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ushbu to'rtta tengsizlik tizimni tashkil qiladi va bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni topilganda, uni oqilona tengsizlikning yechimi bilan kesib o'tish qoladi - va javob tayyor.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

Birinchidan, logarifmning ODZ ni yozamiz:

Birinchi ikkita tengsizlik avtomatik ravishda amalga oshiriladi va oxirgisi yozilishi kerak. Raqamning kvadrati nolga teng bo'lgani uchun, agar raqamning o'zi nolga teng bo'lsa, bizda:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ma’lum bo‘lishicha, logarifmning ODZ noldan boshqa barcha raqamlar: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Endi biz asosiy tengsizlikni hal qilamiz:

Biz logarifmik tengsizlikdan oqilona tengsizlikka o'tishni amalga oshiramiz. Asl tengsizlikda “kamroq” belgisi mavjud, shuning uchun natijada paydo bo'lgan tengsizlik ham “kamroq” belgisi bilan bo'lishi kerak. Bizda ... bor:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Bu ifodaning nollari: x = 3; x = -3; x = 0. Bundan tashqari, x = 0 ikkinchi ko'paytmaning ildizi bo'lib, u orqali o'tganda funktsiyaning belgisi o'zgarmasligini bildiradi. Bizda ... bor:

Biz x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ni olamiz. Ushbu to'plam logarifmning ODZ-da to'liq mavjud, ya'ni bu javob.

Logarifmik tengsizliklarni transformatsiya qilish

Ko'pincha dastlabki tengsizlik yuqoridagidan farq qiladi. Buni logarifmlar bilan ishlashning standart qoidalariga muvofiq tuzatish oson - "Logarifmlarning asosiy xususiyatlari" ga qarang. Aynan:

Har qanday sonni berilgan asosga ega logarifm sifatida ifodalash mumkin;
Bir xil asosli logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi bitta logarifm bilan almashtirilishi mumkin.

Alohida, men sizga maqbul qiymatlar oralig'i haqida eslatmoqchiman. Dastlabki tengsizlikda bir nechta logarifmlar bo'lishi mumkinligi sababli, ularning har birining DPV ni topish talab etiladi. Shunday qilib, logarifmik tengsizliklarni yechishning umumiy sxemasi quyidagicha:

Tengsizlikka kiritilgan har bir logarifmning ODZ ni toping;
Logarifmlarni qo'shish va ayirish formulalaridan foydalanib, tengsizlikni standartga qisqartiring;
Olingan tengsizlikni yuqoridagi sxema bo'yicha yeching.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

Birinchi logarifmning aniqlanish sohasini (ODZ) toping:

Interval usuli bilan hal qilamiz. Numeratorning nollarini topish:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Keyin - maxrajning nollari:

x − 1 = 0;
x = 1.

Biz koordinata o'qida nol va belgilarni belgilaymiz:

Biz x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ni olamiz. ODZ ning ikkinchi logarifmi bir xil bo'ladi. Ishonmasangiz tekshirishingiz mumkin. Endi biz ikkinchi logarifmni asos ikkita bo'lishi uchun aylantiramiz:

Ko'rib turganingizdek, bazada va logarifmdan oldin uchlik qisqargan. Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling. Keling, ularni birlashtiramiz:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Biz standart logarifmik tengsizlikni oldik. Formula bo'yicha logarifmlardan qutulamiz. Dastlabki tengsizlikda kichik belgisi mavjud bo'lganligi sababli, olingan ratsional ifoda ham noldan kichik bo'lishi kerak. Bizda ... bor:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Bizda ikkita to'plam bor:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Javob nomzodi: x ∈ (−1; 3).

Ushbu to'plamlarni kesib o'tish qoladi - biz haqiqiy javobni olamiz:

Biz to'plamlarning kesishishiga qiziqamiz, shuning uchun biz ikkala o'qda soyali intervallarni tanlaymiz. Biz x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) ni olamiz - barcha nuqtalar teshilgan.

Sizningcha, imtihonga hali vaqt bor va tayyorlanishga vaqtingiz bo'ladimi? Balki shundaydir. Ammo har holda, talaba mashg'ulotni qanchalik erta boshlasa, imtihonlarni shunchalik muvaffaqiyatli topshiradi. Bugun biz maqolani logarifmik tengsizliklarga bag'ishlashga qaror qildik. Bu vazifalardan biri bo'lib, qo'shimcha ball olish imkoniyatini anglatadi.

Logarifm (log) nima ekanligini allaqachon bilasizmi? Biz, albatta, shunday umid qilamiz. Ammo bu savolga javobingiz bo'lmasa ham, bu muammo emas. Logarifm nima ekanligini tushunish juda oson.

Nega aynan 4? 81 ni olish uchun 3 raqamini bunday kuchga ko'tarish kerak. Printsipni tushunganingizda, siz murakkabroq hisob-kitoblarga o'tishingiz mumkin.

Siz bir necha yil oldin tengsizliklarni boshdan kechirdingiz. Va o'shandan beri siz ularni matematikada doimo uchratasiz. Agar siz tengsizliklarni hal qilishda muammoga duch kelsangiz, tegishli bo'limni tekshiring.
Endi tushunchalar bilan alohida tanishganimizdan so‘ng, ularni umumiy ko‘rib chiqishga o‘tamiz.

Eng oddiy logarifmik tengsizlik.

Eng oddiy logarifmik tengsizliklar bu misol bilan cheklanmaydi, yana uchtasi bor, faqat turli belgilar bilan. Bu nima uchun kerak? Logarifmlar bilan tengsizlikni qanday yechish kerakligini yaxshiroq tushunish uchun. Endi biz ko'proq qo'llaniladigan misol keltiramiz, hali juda oddiy, murakkab logarifmik tengsizliklarni keyinroq qoldiramiz.

Uni qanday hal qilish mumkin? Hammasi ODZdan boshlanadi. Har qanday tengsizlikni har doim osonlik bilan hal qilishni istasangiz, bu haqda ko'proq bilishingiz kerak.

ODZ nima? Logarifmik tengsizliklar uchun DPV

Qisqartma haqiqiy qiymatlar oralig'ini anglatadi. Imtihon topshiriqlarida bu so'z ko'pincha paydo bo'ladi. DPV siz uchun nafaqat logarifmik tengsizliklar uchun foydalidir.

Yuqoridagi misolga yana qarang. Biz uning asosida ODZni ko'rib chiqamiz, shunda siz printsipni tushunasiz va logarifmik tengsizliklarni echish savollar tug'dirmaydi. Logarifmning ta'rifidan kelib chiqadiki, 2x+4 noldan katta bo'lishi kerak. Bizning holatlarimizda bu quyidagilarni anglatadi.

Bu raqam ta'rifga ko'ra ijobiy bo'lishi kerak. Yuqorida keltirilgan tengsizlikni yeching. Buni hatto og'zaki ham qilish mumkin, bu erda X 2 dan kam bo'lmasligi aniq. Tengsizlikning yechimi qabul qilinadigan qiymatlar diapazonining ta'rifi bo'ladi.
Endi eng oddiy logarifmik tengsizlikni yechishga o‘tamiz.

Tengsizlikning ikkala qismidan logarifmlarning o'zini olib tashlaymiz. Natijada bizga nima qoladi? oddiy tengsizlik.

Buni hal qilish oson. X -0,5 dan katta bo'lishi kerak. Endi biz olingan ikkita qiymatni tizimga birlashtiramiz. Shunday qilib,

Bu ko'rib chiqilayotgan logarifmik tengsizlik uchun ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasi bo'ladi.

Nima uchun ODZ umuman kerak? Bu noto'g'ri va imkonsiz javoblarni yo'q qilish uchun imkoniyatdir. Agar javob maqbul qiymatlar oralig'ida bo'lmasa, javob oddiygina mantiqiy emas. Buni uzoq vaqt eslab qolish kerak, chunki imtihonda ko'pincha ODZ ni qidirish kerak bo'ladi va bu nafaqat logarifmik tengsizliklarga tegishli.

Logarifmik tengsizlikni yechish algoritmi

Yechim bir necha bosqichlardan iborat. Birinchidan, maqbul qiymatlar oralig'ini topish kerak. ODZda ikkita qiymat bo'ladi, biz buni yuqorida ko'rib chiqdik. Keyingi qadam tengsizlikni o'zi hal qilishdir. Yechim usullari quyidagilardan iborat:

multiplikatorni almashtirish usuli;
parchalanish;
ratsionalizatsiya usuli.

Vaziyatga qarab, yuqoridagi usullardan birini qo'llash kerak. Keling, to'g'ridan-to'g'ri yechimga o'taylik. Biz deyarli barcha holatlarda USE vazifalarini hal qilish uchun mos bo'lgan eng mashhur usulni ochib beramiz. Keyinchalik, parchalanish usulini ko'rib chiqamiz. Agar siz ayniqsa "qiyin" tengsizlikka duch kelsangiz, yordam berishi mumkin. Demak, logarifmik tengsizlikni yechish algoritmi.

Yechim misollari :

Aynan shunday tengsizlikni qabul qilganimiz bejiz emas! Bazaga e'tibor bering. Esda tuting: agar u birdan katta bo'lsa, haqiqiy qiymatlar oralig'ini topishda belgi bir xil bo'lib qoladi; aks holda, tengsizlik belgisini o'zgartirish kerak.

Natijada biz tengsizlikni olamiz:

Endi biz chap tomonni nolga teng tenglama ko'rinishiga keltiramiz. "Kamroq" belgisi o'rniga "teng" ni qo'yamiz, tenglamani yechamiz. Shunday qilib, biz ODZni topamiz. Umid qilamizki, sizda bunday oddiy tenglamani yechishda hech qanday muammo bo'lmaydi. Javoblar -4 va -2. Bu hali hammasi emas. Ushbu nuqtalarni diagrammada ko'rsatishingiz kerak, "+" va "-" qo'ying. Buning uchun nima qilish kerak? Intervallardagi raqamlarni ifodaga almashtiring. Qaerda qiymatlar ijobiy bo'lsa, biz "+" qo'yamiz.

Javob: x -4 dan katta va -2 dan kichik bo'lishi mumkin emas.

Biz faqat chap tomon uchun haqiqiy qiymatlar oralig'ini topdik, endi o'ng tomon uchun haqiqiy qiymatlar oralig'ini topishimiz kerak. Bu hech qanday oson emas. Javob: -2. Biz ikkala qabul qilingan maydonni kesib o'tamiz.

Va faqat endi biz tengsizlikni o'zi hal qila boshlaymiz.

Keling, qaror qabul qilishni osonlashtirish uchun uni iloji boricha soddalashtiraylik.

Yechimda yana interval usulidan foydalanamiz. Keling, hisob-kitoblarni o'tkazib yuboraylik, u bilan hamma narsa avvalgi misoldan aniq. Javob.

Ammo logarifmik tengsizlik bir xil asoslarga ega bo'lsa, bu usul mos keladi.

Turli asosli logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish bir asosga dastlabki qisqartirishni o'z ichiga oladi. Keyin yuqoridagi usuldan foydalaning. Ammo bundan ham murakkabroq holat bor. Logarifmik tengsizliklarning eng murakkab turlaridan birini ko'rib chiqing.

O'zgaruvchan asosli logarifmik tengsizliklar

Bunday xususiyatlarga ega bo'lgan tengsizliklarni qanday hal qilish mumkin? Ha, va buni imtihonda topish mumkin. Tengsizliklarni quyidagi tarzda yechish ham ta’lim jarayoningizga foydali ta’sir ko‘rsatadi. Keling, masalani batafsil ko'rib chiqaylik. Keling, nazariyani bir chetga surib, to'g'ridan-to'g'ri amaliyotga o'tamiz. Logarifmik tengsizliklarni yechish uchun bir marta misol bilan tanishish kifoya.

Taqdim etilgan shaklning logarifmik tengsizligini echish uchun bir xil asosli logarifmaning o'ng tomonini keltirish kerak. Printsip ekvivalent o'tishlarga o'xshaydi. Natijada, tengsizlik shunday ko'rinadi.

Aslida, logarifmsiz tengsizliklar tizimini yaratish qoladi. Ratsionalizatsiya usulidan foydalanib, biz tengsizliklarning ekvivalent tizimiga o'tamiz. Tegishli qiymatlarni almashtirganingizda va ularning o'zgarishlariga rioya qilganingizda, siz qoidaning o'zini tushunasiz. Tizim quyidagi tengsizliklarga ega bo'ladi.

Ratsionalizatsiya usulidan foydalangan holda, tengsizliklarni echishda siz quyidagilarni eslab qolishingiz kerak: bazadan bittasini ayirish kerak, x logarifmning ta'rifiga ko'ra, tengsizlikning ikkala qismidan (chapdan o'ngdan) ayiriladi. ikkita ifoda ko'paytiriladi va nolga nisbatan asl belgi ostida o'rnatiladi.

Keyingi yechim intervalli usul bilan amalga oshiriladi, bu erda hamma narsa oddiy. Yechim usullaridagi farqlarni tushunish siz uchun muhim, keyin hamma narsa osongina ishlay boshlaydi.

Logarifmik tengsizliklarda juda ko'p nuanslar mavjud. Ularning eng oddiylarini hal qilish juda oson. Ularning har birini muammosiz hal qilish uchun buni qanday qilish kerak? Siz allaqachon ushbu maqoladagi barcha javoblarni oldingiz. Endi sizni uzoq mashg'ulotlar kutmoqda. Doimiy ravishda imtihon davomida turli masalalarni yechishni mashq qiling va siz eng yuqori ballga ega bo'lasiz. Qiyin ishingizda omad tilaymiz!

Agar tengsizlik logarifmik funktsiyani o'z ichiga olsa, u logarifmik deyiladi.

Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari ikkitadan farq qilmaydi.

Birinchidan, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funksiyalar tengsizligiga o'tishda u quyidagicha bo'ladi. hosil bo'lgan tengsizlik belgisiga amal qiling. U quyidagi qoidaga bo'ysunadi.

Agar logarifmik funktsiyaning asosi $1$ dan katta bo'lsa, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funksiyalar tengsizligiga o'tishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, agar u $1$ dan kichik bo'lsa, u teskari bo'ladi.

Ikkinchidan, har qanday tengsizlikning yechimi intervaldir va shuning uchun sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligini yechish oxirida ikkita tengsizlik tizimini tuzish kerak: bu tizimning birinchi tengsizligi tengsizlik bo'ladi. sublogarifmik funktsiyalar, ikkinchisi esa logarifmik tengsizlikka kiritilgan logarifmik funktsiyalarni aniqlash sohasi oralig'i bo'ladi.