Kvadrat trinom uchun faktorizatsiya teoremasi. Kvadrat trinomlarni koeffitsientlarga ajratish: misollar va formulalar

Mahsulotni olish uchun polinomlarni kengaytirish ba'zan chalkash tuyuladi. Ammo jarayonni bosqichma-bosqich tushunsangiz, unchalik qiyin emas. Maqolada kvadrat trinomialni qanday faktorlarga ajratish haqida batafsil ma'lumot berilgan.

Ko'pchilik kvadrat trinomialni qanday faktorlarga ajratishni tushunmaydi va bu nima uchun amalga oshiriladi. Avvaliga bu foydasiz mashq bo'lib tuyulishi mumkin. Ammo matematikada hech narsa xuddi shunday bajarilmaydi. Transformatsiya ifodani soddalashtirish va hisoblash qulayligi uchun zarur.

- ax² + bx + c ko'rinishga ega bo'lgan ko'phad, kvadrat trinomial deyiladi."A" atamasi salbiy yoki ijobiy bo'lishi kerak. Amalda bu ifoda kvadrat tenglama deyiladi. Shuning uchun, ba'zida ular boshqacha deyishadi: qanday qilib parchalanish kerak kvadrat tenglama.

Qiziqarli! Kvadrat ko'phad o'zining eng katta darajasi - kvadrat deb ataladi. Va trinomial - 3 komponentli atamalar tufayli.

Ba'zi boshqa turdagi polinomlar:

chiziqli binomial (6x+8);
kubik to'rtburchak (x³+4x²-2x+9).

Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish

Birinchidan, ifoda nolga teng, keyin siz x1 va x2 ildizlarining qiymatlarini topishingiz kerak. Ildiz bo'lmasligi mumkin, bir yoki ikkita ildiz bo'lishi mumkin. Ildizlarning mavjudligi diskriminant tomonidan belgilanadi. Uning formulasini yoddan bilish kerak: D=b²-4ac.

Agar D natijasi manfiy bo'lsa, ildizlar yo'q. Agar ijobiy bo'lsa, ikkita ildiz mavjud. Agar natija nolga teng bo'lsa, ildiz bitta bo'ladi. Ildizlar ham formula bo'yicha hisoblanadi.

Diskriminantni hisoblash nolga teng bo'lsa, formulalardan istalganini qo'llashingiz mumkin. Amalda, formula oddiygina qisqartiriladi: -b / 2a.

uchun formulalar turli qiymatlar diskriminantlar har xil.

Agar D musbat bo'lsa:

Agar D nolga teng bo'lsa:

Onlayn kalkulyatorlar

Internetda bor onlayn kalkulyator. U faktorizatsiya qilish uchun ishlatilishi mumkin. Ba'zi manbalar yechimni bosqichma-bosqich ko'rish imkoniyatini beradi. Bunday xizmatlar mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi, lekin siz yaxshi tushunishga harakat qilishingiz kerak.

Foydali video: Kvadrat trinomialni faktoring qilish

Misollar

Sizni tomosha qilishga taklif qilamiz oddiy misollar kvadrat tenglamani koeffitsientlarga ajratish.

1-misol

Bu erda natija ikki x bo'lishi aniq ko'rsatilgan, chunki D musbat. Ular formulaga almashtirilishi kerak. Agar ildizlar manfiy bo'lsa, formuladagi belgi teskari bo'ladi.

Biz kengaytirish formulasini bilamiz kvadrat trinomial ko'paytiruvchilar: a(x-x1)(x-x2). Qiymatlarni qavs ichiga joylashtiramiz: (x+3)(x+2/3). Ko'rsatkichda haddan oldin raqam yo'q. Bu birlik borligini anglatadi, u tushiriladi.

2-misol

Ushbu misol bitta ildizga ega bo'lgan tenglamani qanday yechish kerakligini aniq ko'rsatib beradi.

Olingan qiymatni almashtiring:

3-misol

Berilgan: 5x²+3x+7

Birinchidan, oldingi holatlarda bo'lgani kabi, diskriminantni hisoblaymiz.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant salbiy, ya'ni hech qanday ildiz yo'q.

Natijani olgandan so'ng, qavslarni ochib, natijani tekshirishga arziydi. Asl trinomial paydo bo'lishi kerak.

Muqobil yechim

Ba'zi odamlar hech qachon diskriminant bilan do'stlasha olmagan. Kvadrat trinomialni faktorlarga ajratishning yana bir usuli bor. Qulaylik uchun usul misolda ko'rsatilgan.

Berilgan: x²+3x-10

Biz bilamizki, biz ikkita qavs bilan yakunlanishimiz kerak: (_) (_). Ifoda quyidagicha ko'rinishda bo'lganda: x² + bx + c, har bir qavsning boshiga x qo'yamiz: (x_) (x_). Qolgan ikkita raqam "c" ni beradigan mahsulotdir, ya'ni bu holda -10. Bu raqamlar nima ekanligini bilish uchun siz faqat tanlash usulidan foydalanishingiz mumkin. O'zgartirilgan raqamlar qolgan atamaga mos kelishi kerak.

Masalan, quyidagi raqamlarni ko'paytirish -10 ni beradi:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Yo'q.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Yo'q.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Yo'q.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Mos keladi.

Demak, x2+3x-10 ifodani o'zgartirish quyidagicha ko'rinadi: (x-2)(x+5).

Muhim! Belgilarni chalkashtirmaslik uchun ehtiyot bo'lishingiz kerak.

Kompleks trinomialning parchalanishi

Agar "a" birdan katta bo'lsa, qiyinchiliklar boshlanadi. Ammo hamma narsa ko'rinadigan darajada qiyin emas.

Faktorlarga ajratish uchun, avvalo, biror narsani faktorizatsiya qilish mumkinmi yoki yo'qligini ko'rish kerak.

Masalan, quyidagi ifoda berilgan: 3x²+9x-30. Bu erda 3 raqami qavs ichidan chiqariladi:

3(x²+3x-10). Natijada allaqachon ma'lum bo'lgan trinomial. Javob quyidagicha ko'rinadi: 3(x-2)(x+5)

Kvadratlangan atama manfiy bo'lsa, qanday parchalanadi? Bunda qavs ichidan -1 raqami olinadi. Masalan: -x²-10x-8. Keyin ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Sxema avvalgisidan ozgina farq qiladi. Faqat bir nechta yangi narsalar mavjud. Aytaylik, ifoda berilgan: 2x²+7x+3. Javob ham 2 qavs ichida yoziladi, ular (_) (_) ni to'ldirish kerak. 2-qavsga X yoziladi, 1-qavsda nima qolgan. Bu shunday ko'rinadi: (2x_)(x_). Aks holda, avvalgi sxema takrorlanadi.

3 raqami raqamlarni beradi:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Berilgan sonlarni almashtirib tenglamalarni yechamiz. Oxirgi variant mos keladi. Demak, 2x²+7x+3 ifodani o'zgartirish quyidagicha ko'rinadi: (2x+1)(x+3).

Boshqa holatlar

Ifodani o'zgartirish har doim ham mumkin emas. Ikkinchi usulda tenglamaning yechimi talab qilinmaydi. Ammo atamalarni mahsulotga aylantirish imkoniyati faqat diskriminant orqali tekshiriladi.

Formulalardan foydalanishda qiyinchiliklar bo'lmasligi uchun kvadrat tenglamalarni echishda mashq qilish kerak.

Foydali video: trinomialni faktorizatsiya qilish

Xulosa

Siz uni har qanday tarzda ishlatishingiz mumkin. Lekin ikkalasini ham avtomatizm bilan ishlash yaxshidir. Shuningdek, o'z hayotini matematika bilan bog'lamoqchi bo'lganlar kvadrat tenglamalarni qanday yaxshi yechish va ko'phadlarni omillarga ajratishni o'rganishlari kerak. Quyidagi barcha matematik mavzular shu asosda qurilgan.

Kvadrat trinomlarning faktorizatsiyasi nazarda tutiladi maktab topshiriqlari har kim ertami kechmi duch keladi. Buni qanday qilish kerak? Kvadrat trinomni koeffitsientga ajratish formulasi qanday? Keling, buni misollar bilan bosqichma-bosqich ko'rib chiqaylik.

Umumiy formula

Kvadrat uch a'zolarni koeffitsientlarga ajratish kvadrat tenglamani yechish orqali amalga oshiriladi. Bu oddiy muammo bo'lib, uni bir necha usullar bilan hal qilish mumkin - diskriminantni topish, Vieta teoremasidan foydalanib, mavjud va grafik usul yechimlar. Birinchi ikkita usul o'rta maktabda o'rganiladi.

Umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Vazifani bajarish algoritmi

Kvadrat uch a'zolarni faktorlarga ajratish uchun siz Wit teoremasini bilishingiz, qo'lda yechish dasturiga ega bo'lishingiz, yechimni grafik tarzda topa olishingiz yoki diskriminant formulasi orqali ikkinchi darajali tenglamaning ildizlarini izlashingiz kerak. Agar kvadrat uchlik berilgan bo'lsa va uni faktorlarga ajratish kerak bo'lsa, harakatlar algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1) Tenglamani olish uchun asl ifodani nolga tenglashtiring.

2) O'xshash shartlarni keltiring (agar kerak bo'lsa).

3) Ixtiyoriyning ildizlarini toping ma'lum yo'l. Agar ildizlarning butun va kichik sonlar ekanligi oldindan ma'lum bo'lsa, grafik usul eng yaxshi qo'llaniladi. Shuni esda tutish kerakki, ildizlar soni tenglamaning maksimal darajasiga teng, ya'ni kvadrat tenglama ikkita ildizga ega.

4) o'rnini bosuvchi qiymat X ifodaga (1).

5) Kvadrat uch a’zolarning ko‘paytmalarga bo‘linishini yozing.

Misollar

Amaliyot, nihoyat, bu vazifa qanday bajarilganligini tushunishga imkon beradi. Misollar kvadrat trinomialni koeffitsientga ajratishni ko'rsatadi:

ifodani kengaytirishingiz kerak:

Keling, algoritmimizdan foydalanamiz:

1) x 2 -17x+32=0

2) o'xshash atamalar qisqartiriladi

3) Vieta formulasiga ko'ra, ushbu misol uchun ildizlarni topish qiyin, shuning uchun diskriminant uchun ifodani qo'llash yaxshiroqdir:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Kengayish uchun asosiy formulada topilgan ildizlarni almashtiring:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Keyin javob quyidagicha bo'ladi:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Diskriminant tomonidan topilgan yechimlar Vyeta formulalariga mos kelishini tekshirib ko'ramiz:

14,845 . 2,155=32

Bu ildizlar uchun Vieta teoremasi qo'llaniladi, ular to'g'ri topildi, demak, biz olingan faktorizatsiya ham to'g'ri.

Xuddi shunday, biz 12x 2 + 7x-6 ni kengaytiramiz.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Oldingi holatda, echimlar butun son bo'lmagan, ammo haqiqiy raqamlar, ularni oldingizda kalkulyator yordamida topish oson. Endi ko'proq o'ylab ko'ring murakkab misol, unda ildizlar murakkab bo'ladi: x 2 + 4x + 9 ni faktorlarga ajrating. Vieta formulasiga ko'ra, ildizlarni topib bo'lmaydi, diskriminant esa salbiy. Ildizlar murakkab tekislikda bo'ladi.

D=-20

Shunga asoslanib, bizni qiziqtirgan ildizlarni olamiz -4 + 2i * 5 1/2 va -4-2i * 5 1/2, chunki (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Ildizlarni umumiy formulaga almashtirish orqali kerakli kengayishni olamiz.

Yana bir misol: 23x 2 -14x + 7 ifodasini faktorlarga ajratish kerak.

Bizda tenglama bor 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Demak, ildizlar 14+21,166i va 14-21,166i. Javob quyidagicha bo'ladi:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Keling, diskriminantning yordamisiz hal qilinishi mumkin bo'lgan misol keltiramiz.

X 2 -32x + 255 kvadrat tenglamani parchalash zarur bo'lsin. Shubhasiz, u diskriminant tomonidan ham hal qilinishi mumkin, ammo bu holda ildizlarni topish tezroq bo'ladi.

x 1 =15

x2=17

anglatadi x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Dunyo juda ko'p sonli raqamlarga botgan. Har qanday hisob-kitoblar ularning yordami bilan amalga oshiriladi.

Odamlar keyingi hayotlarida aldanib qolmaslik uchun raqamlarni o'rganadilar. Ta'lim olish va o'z byudjetingizni hisoblash uchun juda ko'p vaqt ajratish kerak.

Matematika - bu hayotda katta rol o'ynaydigan aniq fan. Maktabda bolalar raqamlarni o'rganadilar, keyin esa ular bo'yicha harakatlar.

Raqamlar bo'yicha harakatlar butunlay boshqacha: ko'paytirish, kengaytirish, qo'shish va boshqalar. Matematikani o'rganishda oddiy formulalar bilan bir qatorda murakkabroq harakatlar ham qo'llaniladi. Har qanday qiymatlar ma'lum bo'lgan juda ko'p formulalar mavjud.

Maktabda, algebra paydo bo'lishi bilanoq, talabaning hayotiga soddalashtirish formulalari qo'shiladi. Ikkita noma'lum raqam bo'lganda tenglamalar mavjud, ammo toping oddiy tarzda ishlamaydi. Trinomial uchta monomning birikmasidir, yordami bilan oddiy usul ayirish va qo'shimchalar. Trinomial Vyeta teoremasi va diskriminant yordamida yechiladi.

Kvadrat trinomni ko‘paytuvchilarga ko‘paytirish formulasi

Ikkita to'g'ri va oddiy echimlar misol:

diskriminant;
Vyeta teoremasi.

Kvadrat trinomial noma'lum kvadratga, shuningdek kvadratsiz songa ega. Muammoni hal qilishning birinchi varianti Vieta formulasidan foydalanadi. Bu oddiy formula agar noma'lumdan oldin kelgan raqamlar minimal qiymat bo'ladi.

Raqam noma'lumning oldida bo'lgan boshqa tenglamalar uchun tenglama diskriminant orqali echilishi kerak. Hammasi tamom qiyin qaror, lekin diskriminant Vyeta teoremasiga qaraganda ancha tez-tez ishlatiladi.

Dastlab, tenglamaning barcha o'zgaruvchilarini topish uchun misolni 0 ga ko'tarish kerak.Misolning yechimini tekshirish va raqamlar to'g'ri o'rnatilganligini aniqlash mumkin.

Diskriminant

1. Tenglamani 0 ga tenglashtirish kerak.

2. X dan oldingi har bir son a, b, c sonlar deb ataladi. Birinchi kvadrat x dan oldin raqam yo'qligi sababli u 1 ga teng.

3. Endi tenglamaning yechimi diskriminant orqali boshlanadi:

4. Endi biz diskriminantni topdik va ikkita x ni topdik. Farqi shundaki, bir holatda b dan oldin plyus, ikkinchisida esa minus qo'yiladi:

5. Ikkita sonni yechish orqali -2 va -1 bo'ldi. Asl tenglama ostida almashtiring:

6. Ushbu misolda ikkitasi chiqdi to'g'ri variantlar. Ikkala yechim ham to'g'ri bo'lsa, ularning har biri to'g'ri.

Yana murakkab tenglamalar diskriminant orqali ham yechiladi. Ammo diskriminantning o'zi qiymati 0 dan kichik bo'lsa, unda misol noto'g'ri. Qidiruvdagi diskriminant har doim ildiz ostida bo'ladi va salbiy qiymat ildizda bo'lishi mumkin emas.

Vyeta teoremasi

U oson masalalarni yechishda qo’llaniladi, bunda birinchi x dan oldin son qo’yilmaydi, ya’ni a=1. Agar variant mos kelsa, hisoblash Vieta teoremasi orqali amalga oshiriladi.

Har qanday trinomialni yechish uchun tenglamani 0 ga ko'tarish kerak. Diskriminant va Vyeta teoremasi uchun birinchi qadamlar bir xil.

2. Endi ikkala usul o'rtasida farqlar mavjud. Vyeta teoremasi nafaqat “quruq” hisobdan, balki mantiq va sezgidan ham foydalanadi. Har bir raqamning o'z a, b, c harflari bor. Teorema ikkita sonning yig'indisi va mahsulotidan foydalanadi.

Eslab qoling! b soni har doim qarama-qarshi belgi bilan qo'shiladi va c soni o'zgarishsiz qoladi!

Misoldagi ma'lumotlar qiymatlarini almashtirish , olamiz:

3. Mantiqiy usuldan foydalanib, biz eng mos raqamlarni almashtiramiz. Barcha mumkin bo'lgan echimlarni ko'rib chiqing:

Raqamlar 1 va 2. Qo'shilganda biz 3 ni olamiz, lekin ko'paytirsak, biz 4 ni olmaymiz. Mos emas.
Qiymat 2 va -2. Ko'paytirilganda -4 bo'ladi, lekin qo'shilganda 0 chiqadi. Mos emas.
4 va -1 raqamlari. Ko'paytirish manfiy qiymatni o'z ichiga olganligi sababli, bu raqamlardan biri minus bilan bo'lishini anglatadi. Qo'shish va ko'paytirish uchun javob beradi. To'g'ri variant.

4. Faqat tekshirish, raqamlarni joylashtirish va tanlangan variant to'g'ri yoki yo'qligini ko'rish uchun qoladi.

5. Onlayn tekshirish tufayli biz -1 misol shartiga mos kelmasligini aniqladik, bu noto'g'ri yechim ekanligini anglatadi.

Qo'shish paytida salbiy qiymat misolda siz raqamni qavs ichiga qo'yishingiz kerak.

Matematikada har doim bo'ladi oddiy vazifalar va murakkab. Fanning o‘zi turli masalalar, teorema va formulalarni o‘z ichiga oladi. Agar siz bilimlarni tushunsangiz va to'g'ri qo'llasangiz, hisob-kitoblar bilan bog'liq har qanday qiyinchiliklar ahamiyatsiz bo'ladi.

Matematika doimiy yodlashni talab qilmaydi. Yechimni tushunishni va bir nechta formulalarni o'rganishni o'rganishingiz kerak. Asta-sekin, mantiqiy xulosalarga ko'ra, shunga o'xshash masalalar, tenglamalarni yechish mumkin. Bunday fan bir qarashda juda qiyin bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar odam raqamlar va vazifalar olamiga kirsa, u holda dunyoqarash tubdan o'zgaradi. yaxshiroq tomoni.

Texnik mutaxassisliklar har doim dunyodagi eng ko'p terilgan bo'lib qoladi. Endi dunyoda zamonaviy texnologiyalar Matematika har qanday sohaning ajralmas atributiga aylandi. Siz doimo eslab qolishingiz kerak foydali xususiyatlar matematika.

Trinomning qavslar bilan parchalanishi

Odatiy usullar bilan hal qilishdan tashqari, yana bir narsa bor - qavslarga parchalanish. Vieta formulasi bilan ishlatiladi.

1. Tenglamani 0 ga tenglashtiring.

bolta 2 + bx+ c= 0

2. Tenglamaning ildizlari bir xil bo'lib qoladi, lekin nol o'rniga ular endi qavsni kengaytirish formulalaridan foydalanadilar.

bolta 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Yechim x=-1, x=3

Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish C3 muammosidagi tengsizliklarni yoki C5 parametri bilan muammoni hal qilishda foydali bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, agar siz Vyeta teoremasini bilsangiz, ko'p B13 so'zli muammolar tezroq hal qilinadi.

Bu teoremani, albatta, birinchi bo'lib o'tgan 8-sinf nuqtai nazaridan ko'rib chiqish mumkin. Ammo bizning vazifamiz imtihonga yaxshi tayyorgarlik ko'rish va imtihon topshiriqlarini iloji boricha samarali hal qilishni o'rganishdir. Shuning uchun, bu darsda yondashuv maktabdagidan biroz farq qiladi.

Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ildizlari formulasi bilgan (yoki hech bo'lmaganda ko'rgan) ko'p:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

Bu yerda `a, b` va `c` - `ax^2+bx+c` kvadrat trinomial koeffitsientlari.

Teoremadan qanday foydalanishni o'rganish uchun keling, uning qayerdan kelganini tushunib olaylik (bu yo'lni eslab qolish haqiqatan ham osonroq bo'ladi).

`ax^2+ bx+ c = 0` tenglamaga ega bo'lsin. Qulaylik uchun biz uni `a` ga bo'lamiz va `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` ni olamiz. Bunday tenglama qisqartirilgan kvadrat tenglama deyiladi.

Muhim dars nuqtalari: ildizlari bo'lgan har qanday kvadrat ko'phadni qavsga ajratish mumkin. Bizniki `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` shaklida ifodalanishi mumkin, deylik, bu erda `k` va `l` - ba'zi konstantalar.

Keling, qavslar qanday ochilishini ko'rib chiqaylik:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Shunday qilib, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Bu klassik talqindan biroz farq qiladi Vyeta teoremalari- unda biz tenglamaning ildizlarini qidiramiz. Men shartlarni izlashni taklif qilaman qavs kengaytmalari- shuning uchun formuladan minus haqida eslab qolishning hojati yo'q ("x_1+x_2 = -\frac(b)(a)" degan ma'noni anglatadi). Bunday ikkita raqamni tanlash kifoya, ularning yig'indisi o'rtacha koeffitsientga teng, mahsulot esa erkin muddatga teng.

Agar bizga tenglamaning yechimi kerak bo'lsa, unda bu aniq: ildizlar `x=-k` yoki `x=-l` (chunki bu hollarda qavslardan biri nolga o'rnatiladi, demak, butun ifoda bo'ladi. nolga teng).

Masalan, men algoritmni ko'rsataman, kvadrat polinomni qavsga qanday ajratish mumkin.

Bir misol. Kvadrat trinomialni faktoringga ajratish algoritmi

Bizda mavjud bo'lgan yo'l `x^2+5x+4` kvadrat trinomialdir.

U kamayadi ("x ^ 2" koeffitsienti). birga teng). Uning ildizlari bor. (Ishonch hosil qilish uchun siz diskriminantni taxmin qilishingiz va uning noldan katta ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.)

Keyingi qadamlar (ularni hamma narsani qilish orqali o'rganish kerak o'quv vazifalari):

Quyidagi belgilarni yozing: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Nuqtalar oʻrniga boʻsh joy qoldiring, biz u yerga tegishli raqamlar va belgilarni qoʻshamiz.
Hammasini ko'rish mumkin bo'lgan variantlar, qanday qilib `4` raqamini ikkita sonning ko'paytmasiga ajratishingiz mumkin. Tenglamaning ildizlari uchun "nomzod" juftlarini olamiz: `2, 2` va `1, 4`.
Qaysi juftlikdan o'rtacha koeffitsientni olishingiz mumkinligini taxmin qiling. Shubhasiz, bu "1, 4".
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ yozing.
Keyingi qadam, kiritilgan raqamlar oldiga belgilar qo'yishdir.
Qavs ichidagi raqamlar oldida qanday belgilar bo'lishi kerakligini qanday tushunish va abadiy eslash kerak? Ularni kengaytirishga harakat qiling (qavslar). Birinchi darajaga `x` dan oldingi koeffitsient `(± 4 ± 1)` bo'ladi (biz hali belgilarni bilmaymiz - tanlashimiz kerak) va u `5` ga teng bo'lishi kerak. Shubhasiz, bu erda ikkita plyus bo'ladi $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Ushbu operatsiyani bir necha marta bajaring (salom, o'quv vazifalari!) Va bu bilan hech qachon boshqa muammolar bo'lmaydi.

Agar `x^2+5x+4` tenglamani yechish kerak bo'lsa, endi uning yechimi qiyin emas. Uning ildizlari `-4, -1`.

Ikkinchi misol. Har xil belgili koeffitsientli kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish

`x^2-x-2=0` tenglamani yechishimiz kerak. O'z-o'zidan, diskriminant ijobiydir.

Biz algoritmga amal qilamiz.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2 ning faqat bitta butun son faktorizatsiyasi mavjud: `2 · 1`.
Biz nuqtani o'tkazib yuboramiz - tanlash uchun hech narsa yo'q.
$$x^2-x-2=(x \to'rt 2) (x \to'rt 1).$$
Raqamlarimizning ko'paytmasi manfiy (`-2` - erkin atama), ya'ni ulardan biri manfiy, ikkinchisi ijobiy bo'ladi.
Ularning yig'indisi `-1` (`x` koeffitsienti) ga teng bo'lgani uchun, u holda `2` manfiy bo'ladi (intuitiv tushuntirish - ikkita ikkita raqamdan kattaroqdir, u ko'proq salbiy tomonga "tortadi"). Biz $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) ni olamiz.$$

Uchinchi misol. Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish

`x^2+5x -84 = 0` tenglama.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84 sonni butun son ko‘paytuvchilarga ajratish: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Bizga raqamlarning farqi (yoki yig'indisi) 5 bo'lishi kerakligi sababli, `7, 12` juftligi bajariladi.
$$x+ 5x-84=(x\to'rt 12) (x \to'rt 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Umid, bu kvadrat trinomialning qavslarga parchalanishi tushunarli.

Agar sizga tenglamaning yechimi kerak bo'lsa, u holda bu: `12, -7`.

Trening uchun vazifalar

Bu erda oson bo'lgan bir nechta misollar mavjud Vyeta teoremasi yordamida yechiladi.(Matematikadan olingan misollar, 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Maqola yozilganidan bir necha yil o'tgach, Vieta teoremasidan foydalanib kvadratik ko'phadni kengaytirish uchun 150 ta topshiriqlar to'plami paydo bo'ldi.

Like bosing va izohlarda savollar bering!