Xuddi shunday teng ifodani qanday aniqlash mumkin. Ifodalarning identifikator transformatsiyalari

Sonlarni qo`shish va ko`paytirishning asosiy xossalari.

Qo'shishning almashinish xususiyati: shartlar qayta tartiblanganda yig'indining qiymati o'zgarmaydi. Har qanday a va b raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Qo'shishning assotsiativ xossasi: ikkita sonning yig'indisiga uchinchi sonni qo'shish uchun birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi sonlarni qo'shish mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Ko'paytirishning almashinish xususiyati: omillarni almashtirish mahsulot qiymatini o'zgartirmaydi. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati: ikkita raqamning ko'paytmasini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun birinchi raqamni ikkinchi va uchinchi raqamga ko'paytirish mumkin.

Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Tarqatish xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun siz ushbu sonni har bir a'zoga ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Qo'shishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadiki, har qanday yig'indida siz atamalarni xohlaganingizcha o'zgartirishingiz va ularni ixtiyoriy ravishda guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

1-misol 1,23+13,5+4,27 yig‘indisini hisoblaymiz.

Buning uchun birinchi atamani uchinchi bilan birlashtirish qulay. Biz olamiz:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Bu ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadi: har qanday mahsulotda siz omillarni istalgan tarzda qayta tartibga solishingiz va ularni o'zboshimchalik bilan guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

2-misol 1,8 0,25 64 0,5 ko’paytmaning qiymati topilsin.

Birinchi omilni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan birlashtirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Tarqatish xususiyati raqam uch yoki undan ortiq shartlar yig'indisiga ko'paytirilganda ham amal qiladi.

Masalan, har qanday a, b, c va d sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Biz bilamizki, ayirishni qoʻshish bilan almashtirish mumkin boʻlgan minuendga ayirmaga qarama-qarshi sonni qoʻshish mumkin:

Bu raqamli ifodaga imkon beradi a-b turi a va -b sonlar yig'indisini ko'rib chiqamiz, a + b-c-d ko'rinishidagi sonli ifodani a, b, -c, -d va hokazo sonlar yig'indisi sifatida ko'rib chiqamiz.Harakatlarning ko'rib chiqilayotgan xossalari bunday yig'indilar uchun ham amal qiladi.

3-misol 3,27-6,5-2,5+1,73 ifodaning qiymati topilsin.

Bu ifoda 3.27, -6.5, -2.5 va 1.73 sonlarining yigʻindisidir. Qo‘shish xossalarini qo‘llagan holda quyidagilarga erishamiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4-misol 36·() hosilani hisoblaymiz.

Ko'paytirgichni sonlar yig'indisi va - deb hisoblash mumkin. Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

36()=36-36=9-10=-1.

Identifikatsiyalar

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun mos keladigan qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik identifikatsiya deb ataladi.

x=5, y=4 uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarning qiymatlarini topamiz:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Xuddi shunday natijaga erishdik. Distribyutorlik xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarining mos qiymatlari tengdir.

Endi 2x+y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. x=1, y=2 uchun ular teng qiymatlarni oladi:

Biroq, bu ifodalarning qiymatlari teng bo'lmasligi uchun x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin. Masalan, agar x=3, y=4 bo'lsa, u holda

3(x+y) va 3x+3y ifodalar bir xil darajada teng, lekin 2x+y va 2xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

3(x+y)=x+3y tengligi, x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri, o'ziga xoslikdir.

Haqiqiy son tengliklari ham identifikatsiya hisoblanadi.

Demak, identifikatsiyalar raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi tenglikdir:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Identifikatsiyaning boshqa misollarini keltirish mumkin:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Ifodalarning identifikator transformatsiyalari

Bir iboraning boshqasi bilan almashtirilishi, xuddi shunga teng, bir xil o'zgartirish yoki oddiygina ifodani o'zgartirish deyiladi.

O'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalari asosida amalga oshiriladi.

X, y, z qiymatlari berilgan xy-xz ifoda qiymatini topish uchun siz uchta qadamni bajarishingiz kerak. Masalan, x=2,3, y=0,8, z=0,2 bo‘lganda biz quyidagilarga erishamiz:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Bu natijani faqat ikki bosqichda, xy-xz ifodasiga teng bo'lgan x(y-z) ifodasi yordamida olish mumkin:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Biz xy-xz ifodasini bir xil bilan almashtirib, hisob-kitoblarni soddalashtirdik teng ifoda x(y-z).

Ifodalar qiymatlarini hisoblash va boshqa muammolarni hal qilishda iboralarning o'ziga xos o'zgarishi keng qo'llaniladi. Ba'zi bir xil o'zgarishlar allaqachon amalga oshirilgan, masalan, o'xshash atamalarni qisqartirish, qavslarni ochish. Ushbu o'zgarishlarni amalga oshirish qoidalarini eslang:

o'xshash shartlarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak;

qavslar oldida ortiqcha belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab qolgan holda, qavslar qoldirilishi mumkin;

qavslar oldidan minus belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qavslarni olib tashlash mumkin.

1-misol 5x+2x-3x yig‘indisiga o‘xshash sonlarni qo‘shamiz.

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartirish uchun qoidadan foydalanamiz:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Bu transformatsiya ko‘paytirishning distributiv xususiyatiga asoslanadi.

2-misol 2a+(b-3c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldindan ortiqcha belgisi bo'lgan qavslarni ochish qoidasini qo'llash:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi.

3-misol a-(4b-c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldinda minus belgisi qo'yilgan qavslarni kengaytirish qoidasidan foydalanamiz:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish ko'paytirishning taqsimlanish xususiyatiga va qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi. Keling, ko'rsataylik. Bu ifodadagi -(4b-c) ikkinchi hadini (-1)(4b-c) ko‘paytma sifatida ifodalaymiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Harakatlarning ushbu xususiyatlarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. O'ziga xoslik ifodalari, o'ziga xoslik. Ifodaning identifikator transformatsiyasi. Shaxsni tasdiqlovchi hujjatlar

x o'zgaruvchining berilgan qiymatlari uchun 2(x - 1) 2x - 2 ifodalarning qiymatlarini topamiz. Natijalarni jadvalga yozamiz:

Xulosa qilish mumkinki, 2(x - 1) 2x - 2 ifodalarning qiymatlari har biri uchun berilgan qiymat x o'zgaruvchisi bir-biriga teng. 2(x - 1) = 2x - 2 ayirishga nisbatan ko'paytirishning taqsimlanish xususiyatiga ko'ra. Demak, x o'zgaruvchining boshqa har qanday qiymati uchun 2(x - 1) 2x - 2 ifodaning qiymati ham bo'ladi. bir-biriga teng. Bunday iboralar bir xil teng deb ataladi.

Masalan, 2x + 3x va 5x iboralari sinonimdir, chunki x o'zgaruvchining har bir qiymati uchun bu iboralar olinadi. bir xil qiymatlar(bu qo'shishga nisbatan ko'paytirishning distributiv xususiyatidan kelib chiqadi, chunki 2x + 3x = 5x).

Endi 3x + 2y va 5xy ifodalarini ko'rib chiqing. Agar x \u003d 1 va b \u003d 1 bo'lsa, bu ifodalarning tegishli qiymatlari bir-biriga teng:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Biroq, siz x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin, ular uchun bu ifodalarning qiymatlari bir-biriga teng bo'lmaydi. Masalan, agar x = 2; y = 0, keyin

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Demak, o'zgaruvchilarning shunday qiymatlari mavjudki, ular uchun 3x + 2y va 5xy ifodalarining tegishli qiymatlari bir-biriga teng emas. Demak, 3x + 2y va 5xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, identifikatsiyalar, xususan, tenglikdir: 2(x - 1) = 2x - 2 va 2x + 3x = 5x.

O'ziga xoslik - bu yozilgan har bir tenglik ma'lum xususiyatlar raqamlar bo'yicha harakatlar. Misol uchun,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Identifikatsiya kabi tengliklar ham mavjud:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Agar -5x + 2x - 9 ifodasidagi o'xshash atamalarni kamaytirsak, 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9 ni olamiz. Bu holda ular 5x + 2x - 9 ifodasi 7x - ifodasi bilan almashtirilganligini aytishadi. 9, bu unga o'xshash.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalarini qo'llash orqali amalga oshiriladi. Xususan, qavslar ochilishi bilan bir xil o'zgarishlar, o'xshash atamalarning tuzilishi va boshqalar.

Ifodani soddalashtirganda, ya'ni ba'zi ifodani unga teng bo'lgan, qisqaroq bo'lishi kerak bo'lgan ifoda bilan almashtirishda bir xil transformatsiyalar bajarilishi kerak.

Misol 1. Ifodani soddalashtiring:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotlash uchun (boshqacha aytganda, o'ziga xoslikni isbotlash uchun iboralarning o'ziga xos o'zgarishlaridan foydalaniladi.

Siz shaxsingizni quyidagi usullardan biri bilan isbotlashingiz mumkin:

uning chap tomonining bir xil o'zgarishlarini amalga oshiring va shu bilan uni o'ng tomon shakliga keltiring;
uning o'ng tomonining bir xil o'zgarishlarini amalga oshiring va shu bilan uni chap tomon shakliga keltiring;
uning ikkala qismini bir xil o'zgartirishlarni amalga oshiring va shu bilan ikkala qismni bir xil ifodalarga ko'taring.

2-misol. Shaxsni isbotlang:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Rivojlanish

1) Keling, bu tenglikning chap tomonini o'zgartiramiz:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning chap tomonidagi ifoda o'ng tomon shakliga keltirildi va shu bilan bu tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotladi.

2) Keling, bu tenglikning o'ng tomonini o'zgartiramiz:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning o'ng tomoni chap tomon shakliga keltirildi va shu bilan bu tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotladi.

3) Bunday holda, tenglikning chap va o'ng qismlarini soddalashtirish va natijalarni solishtirish qulay:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning chap va o'ng qismlari bir xil ko'rinishga keltirildi: 26x - 44. Demak, bu tenglik o'ziga xoslikdir.

Qanday iboralar bir xil deyiladi? Bir xil iboralarga misol keltiring. Qanday tenglik o'ziga xoslik deb ataladi? Shaxsga misol keltiring. Ifodaning o'ziga xos o'zgarishi nima deyiladi? Shaxsni qanday isbotlash mumkin?

(Og'zaki) Yoki bir xil teng iboralar mavjud:

1) 2a + a va 3a;

2) 7x + 6 va 6 + 7x;

3) x + x + x va x 3;

4) 2(x - 2) va 2x - 4;

5) m - n va n - m;

6) 2a ∙ r va 2p ∙ a?

Ifodalar bir xil tengmi:

1) 7x - 2x va 5x;

2) 5a - 4 va 4 - 5a;

3) 4m + n va n + 4m;

4) a + a va a 2;

5) 3(a - 4) va 3a - 12;

6) 5m ∙ n va 5m + n?

(Og'zaki) Tenglikning o'ziga xosligi:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Qavsni ochish:

Qavsni ochish:

O'xshash shartlarni qisqartiring:

2a + 3a ifodalari bilan bir xil bo'lgan bir nechta iboralarni ayting.
Ko'paytirishning almashinish va kon'yunktiv xususiyatlaridan foydalangan holda ifodani soddalashtiring:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Ifodani soddalashtiring:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Og'zaki) Ifodani soddalashtiring:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

O'xshash shartlarni qisqartiring:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni qisqartiring:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) agar x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, agar a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), agar m = -3,7 bo'lsa;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, agar x = -1, y = 1 bo'lsa.

Ifodani soddalashtiring va uning qiymatini toping:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), agar x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, agar v \u003d 20 bo'lsa;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), agar a = -1 bo'lsa;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, agar m = 1,8 bo'lsa; n = -0,9.

Shaxsni isbotlang:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

Shaxsni isbotlang:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Uchburchakning bir tomonining uzunligi sm, qolgan ikki tomonining uzunligi esa undan 2 sm katta. Uchburchakning perimetrini ifoda sifatida yozing va ifodani soddalashtiring.
To'rtburchakning kengligi x sm, uzunligi esa kengligidan 3 sm ko'proq. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini ifoda sifatida yozing va ifodani soddalashtiring.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Qavslarni kengaytiring va ifodani soddalashtiring:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Shaxsni isbotlang:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Shaxsni isbotlang:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Ifodaning qiymati ekanligini isbotlang

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq emas.

O'zgaruvchining istalgan qiymati uchun ifoda qiymati ekanligini isbotlang

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

bir xil raqam.

Ketma-ket kelgan uchta juft sonlar yig‘indisi 6 ga bo‘linishini isbotlang.
Agar n natural son bo'lsa, -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) ifodaning qiymati juft son ekanligini isbotlang.

Takrorlash uchun mashqlar

1,6 kg og'irlikdagi qotishma tarkibida 15% mis mavjud. Ushbu qotishma tarkibida necha kg mis bor?
Uning 20 soni necha foizni tashkil qiladi:

1) kvadrat;

Sayyoh 2 soat piyoda, 3 soat velosipedda yurdi. Hammasi bo'lib sayyoh 56 km masofani bosib o'tdi. Sayyoh velosipedda yurgan tezligidan 12 km/soat ko‘p bo‘lsa, uning tezligini toping.

Dangasa talabalar uchun qiziqarli topshiriqlar

Futbol bo‘yicha shahar chempionatida 11 ta jamoa ishtirok etmoqda. Har bir jamoa qolganlari bilan bitta o'yin o'tkazadi. Musobaqaning istalgan vaqtida juft sonda o'yin o'tkazgan yoki hali o'ynamagan jamoa borligini isbotlang.

Ikki tenglikni ko'rib chiqing:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Bu tenglik a o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun amal qiladi. Ushbu tenglik uchun haqiqiy qiymatlar oralig'i haqiqiy sonlarning butun to'plami bo'ladi.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Bu tengsizlik a o'zgaruvchisining barcha qiymatlari uchun amal qiladi, nolga teng bo'lganidan tashqari. Ushbu tengsizlik uchun qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plami bo'ladi.

Ushbu tengliklarning har biri to'g'risida, a o'zgaruvchilarining har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'ladi, deb bahslashish mumkin. Matematikadagi bunday tenglamalar deyiladi identifikatsiyalar.

Identifikatsiya tushunchasi

Identifikatsiya - bu o'zgaruvchilarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun haqiqiy bo'lgan tenglik. Agar o'zgaruvchilar o'rniga ushbu tenglikka har qanday haqiqiy qiymatlar almashtirilsa, to'g'ri raqamli tenglikni olish kerak.

Shuni ta'kidlash kerakki, haqiqiy son tengliklari ham o'ziga xosliklardir. Identifikatsiyalar, masalan, raqamlar ustidagi harakatlarning xususiyatlari bo'ladi.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Har qanday ruxsat etilgan o'zgaruvchilar uchun ikkita ifoda mos ravishda teng bo'lsa, bunday ifodalar chaqiriladi bir xilda teng. Quyida bir xil teng ifodalarga misollar keltirilgan:

1. (a 2) 4 va 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) va -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) va x 10 .

Biz har doim bitta ifodani birinchisiga teng bo'lgan boshqa ifoda bilan almashtirishimiz mumkin. Bunday almashtirish bir xil transformatsiya bo'ladi.

Identifikatsiya misollari

1-misol: Quyidagi tenglik identifikatorlarimi:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Yuqoridagi barcha iboralar identifikatsiya bo'lmaydi. Bu tengliklardan faqat 1,2 va 3 tenglik o'ziga xoslikdir. Biz ulardagi a va b o'zgaruvchilari o'rniga qanday raqamlarni almashtirsak ham, biz to'g'ri sonli tenglikni olamiz.

Ammo 4 tenglik endi o'ziga xoslik emas. Chunki barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun bu tenglik bajarilmaydi. Masalan, a = 5 va b = 2 qiymatlari bilan siz quyidagi natijaga erishasiz:

Bu tenglik to'g'ri emas, chunki 3 soni -3 soniga teng emas.

Identifikatsiyani o'zgartirish - bu raqamli va alifbo ifodalari, shuningdek, o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralar bilan bajaradigan ishimiz. Biz ushbu o'zgarishlarning barchasini asl ifodani muammoni hal qilish uchun qulay bo'lgan shaklga keltirish uchun amalga oshiramiz. Biz ushbu mavzuda bir xil o'zgarishlarning asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ifodaning identifikator transformatsiyasi. Bu nima?

Bir xil o'zgartirilgan biz tushunchasi bilan birinchi marta 7-sinfdagi algebra darslarida uchrashamiz. Keyin biz birinchi navbatda bir xil teng iboralar tushunchasi bilan tanishamiz. Keling, mavzuni o'zlashtirishni osonlashtirish uchun tushunchalar va ta'riflar bilan shug'ullanamiz.

Ta'rif 1

Ifodaning identifikator transformatsiyasi asl iborani asl ibora bilan bir xilda teng bo'ladigan ifoda bilan almashtirish uchun bajariladigan harakatlardir.

Ko'pincha bu ta'rif qisqartirilgan shaklda qo'llaniladi, unda "bir xil" so'zi qoldirilgan. Har qanday holatda biz iborani o'zgartirishni asl nusxaga o'xshash ifodani oladigan tarzda amalga oshiramiz deb taxmin qilinadi va buni alohida ta'kidlash kerak emas.

Keling, ushbu ta'rifni misollar bilan tushuntiramiz.

1-misol

Agar ifodani almashtirsak x + 3 - 2 bir xil teng ifodaga x+1, keyin biz ifodani bir xil o'zgartirishni amalga oshiramiz x + 3 - 2.

2-misol

2 a 6 ifodasini ifoda bilan almashtirish a 3 identifikatorning o'zgarishi, ifodaning almashtirilishi x ifodaga x2 iboralar bo'lgani uchun bir xil transformatsiya emas x va x2 bir xilda teng emas.

Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishda iboralarni yozish shakliga e'tiboringizni qaratamiz. Biz odatda asl ifodani va natijada olingan ifodani tenglik sifatida yozamiz. Demak, x + 1 + 2 = x + 3 ni yozish x + 1 + 2 ifodasini x + 3 ko'rinishga keltirganligini bildiradi.

Harakatlarning ketma-ket bajarilishi bizni bir nechta ketma-ket bir xil o'zgarishlar bo'lgan tenglik zanjiriga olib keladi. Shunday qilib, biz x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x yozuvini ikkita transformatsiyaning ketma-ket amalga oshirilishi deb tushunamiz: birinchidan, x + 1 + 2 ifodasi x + 3 ko'rinishiga keltirildi va u qisqartirildi. 3 + x shakli.

Identifikatsiya o'zgarishlari va ODZ

Biz 8-sinfda o'rganishni boshlagan bir qator iboralar o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari uchun mantiqiy emas. Bunday hollarda bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish bizdan o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari (ODV) mintaqasiga e'tibor berishni talab qiladi. Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish ODZni o'zgarishsiz qoldirishi yoki uni toraytirishi mumkin.

3-misol

Ifodadan o'tishni amalga oshirishda a + (−b) ifodaga a-b o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni a va b bir xil bo'lib qoladi.

4-misol

X ifodadan ifodaga o'tish x 2 x x o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari diapazonining barcha haqiqiy sonlar to'plamidan nol chiqarib tashlangan barcha haqiqiy sonlar to'plamiga torayishiga olib keladi.

5-misol

Ifodaning identifikator transformatsiyasi x 2 x x ifodasi x o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari diapazonini noldan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamidan barcha haqiqiy sonlar to'plamiga kengaytirishga olib keladi.

Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishda o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini toraytirish yoki kengaytirish muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega, chunki bu hisob-kitoblarning aniqligiga ta'sir qilishi va xatolarga olib kelishi mumkin.

Identifikatsiyaning asosiy o'zgarishlari

Keling, bir xil o'zgarishlar nima ekanligini va ular qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik. Keling, asosiy guruhga tez-tez duch keladigan bir xil o'zgarishlar turlarini ajratib ko'rsatamiz.

Asosiy identifikatsiya o'zgarishlariga qo'shimcha ravishda, ma'lum bir turdagi ifodalarga tegishli bir qator o'zgarishlar mavjud. Kasrlar uchun bu yangi maxrajga kamaytirish va kamaytirish usullari. Ildiz va kuchga ega bo'lgan iboralar uchun ildiz va kuchlarning xususiyatlariga asoslangan holda bajariladigan barcha harakatlar. Logarifmik ifodalar uchun logarifmlarning xossalari asosida bajariladigan amallar. Trigonometrik ifodalar uchun trigonometrik formulalar yordamida barcha amallar. Ushbu o'zgarishlarning barchasi bizning resursimizda mavjud bo'lgan alohida mavzularda batafsil muhokama qilinadi. Shuning uchun biz ushbu maqolada ular haqida to'xtalmaymiz.

Keling, asosiy bir xil o'zgarishlarni ko'rib chiqishga o'tamiz.

Atamalarni, omillarni qayta tartibga solish

Keling, shartlarni qayta tartibga solishdan boshlaylik. Biz ko'pincha ushbu o'zgarish bilan shug'ullanamiz. Va quyidagi bayonotni bu erda asosiy qoida deb hisoblash mumkin: har qanday summada, atamalarni joylarda qayta joylashtirish natijaga ta'sir qilmaydi.

Bu qoida qo'shishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlariga asoslanadi. Bu xususiyatlar atamalarni joylarda qayta tartiblash va bir vaqtning o'zida asl iboralar bilan bir xil bo'lgan iboralarni olish imkonini beradi. Shuning uchun atamalarning yig'indidagi o'rinlarda qayta joylashishi bir xil transformatsiyadir.

6-misol

Bizda 3 + 5 + 7 uchta atamaning yig'indisi bor. Agar 3 va 5 shartlarni almashtirsak, ifoda 5 + 3 + 7 ko'rinishini oladi. Bu holda shartlarni qayta tartibga solishning bir nechta variantlari mavjud. Ularning barchasi asl iboraga teng bo'lgan iboralarni olishga olib keladi.

Yig‘indida atamalar vazifasini nafaqat sonlar, balki ifodalar ham bajarishi mumkin. Ular, xuddi raqamlar kabi, hisob-kitoblarning yakuniy natijasiga ta'sir qilmasdan qayta tartibga solinishi mumkin.

7-misol

1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 1 a + b + a 2 + 2 ko'rinishdagi 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 va - 12 a uchta hadning yig'indisida. 12) atamalarni qayta tartibga solish mumkin, masalan, bu kabi (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . O'z navbatida, siz 1 a + b kasrning maxrajidagi atamalarni o'zgartirishingiz mumkin, kasr esa 1 b + a ko'rinishini oladi. Va ildiz belgisi ostidagi ifoda a 2 + 2 a + 5 shuningdek, atamalar almashtirilishi mumkin bo'lgan yig'indidir.

Xuddi atamalar kabi, asl iboralarda ham omillarni almashtirish va bir xil to'g'ri tenglamalarni olish mumkin. Ushbu harakat quyidagi qoida bilan tartibga solinadi:

Ta'rif 2

Mahsulotda omillarni joylarda qayta joylashtirish hisoblash natijasiga ta'sir qilmaydi.

Bu qoida ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlariga asoslanadi, ular bir xil transformatsiyaning to'g'riligini tasdiqlaydi.

8-misol

Ishlash 3 5 7 omillarni almashtirish quyidagi shakllardan birida ifodalanishi mumkin: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 yoki 3 7 5.

9-misol

Mahsulotdagi omillarni x + 1 x 2 - x + 1 x almashtirsak, x 2 - x + 1 x x + 1 hosil bo'ladi.

Braketni kengaytirish

Qavslar raqamli ifodalar va o'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni o'z ichiga olishi mumkin. Ushbu iboralarni bir xil teng iboralarga aylantirish mumkin, ularda qavslar umuman bo'lmaydi yoki ular asl iboralarga qaraganda kamroq bo'ladi. Ifodalarni konvertatsiya qilishning bunday usuli qavsni kengaytirish deb ataladi.

10-misol

Shakl ifodasida qavslar bilan amallarni bajaramiz 3 + x − 1 x bir xil to'g'ri ifodani olish uchun 3 + x − 1 x.

3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x ifodasi 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x qavslarsiz bir xil teng ifodaga aylantirilishi mumkin.

Biz resursimizda joylashtirilgan "Qavsni kengaytirish" mavzusida iboralarni qavslar bilan o'zgartirish qoidalarini batafsil muhokama qildik.

Guruhlash atamalari, omillari

Agar biz uch yoki undan ortiq atama bilan ishlayotgan bo'lsak, biz atamalarni guruhlash kabi bir xil o'zgarishlarga murojaat qilishimiz mumkin. Ushbu o'zgartirish usuli deganda bir nechta atamalarni ularni qayta tartiblash va qavs ichiga joylashtirish orqali bir guruhga birlashtirish tushuniladi.

Guruhlashda atamalar shunday almashtiriladiki, guruhlangan atamalar ibora yozuvida yonma-yon joylashadi. Shundan so'ng, ular qavslarga o'rnatilishi mumkin.

11-misol

Ifodani oling 5 + 7 + 1 . Agar birinchi atamani uchinchi bilan guruhlasak, olamiz (5 + 1) + 7 .

Omillarni guruhlash atamalarni guruhlash kabi amalga oshiriladi.

12-misol

Ishda 2 3 4 5 birinchi omilni uchinchi, ikkinchi omilni to'rtinchi bilan guruhlash mumkin, bu holda biz ifodaga kelamiz. (2 4) (3 5). Va agar biz birinchi, ikkinchi va to'rtinchi omillarni guruhlashtirsak, biz ifodani olamiz (2 3 5) 4.

Guruhlangan atamalar va omillar tub sonlar bilan ham, ifodalar bilan ham ifodalanishi mumkin. Guruhlash qoidalari “Guruhlash atamalari va omillari” mavzusida atroflicha muhokama qilindi.

Farqlarni summalar, qisman mahsulotlar bilan almashtirish va aksincha

Farqlarni summalar bilan almashtirish qarama-qarshi raqamlar bilan tanishishimiz tufayli mumkin bo'ldi. Endi raqamdan ayirish a raqamlar b songa qo‘shimcha sifatida ko‘rish mumkin a raqamlar −b. Tenglik a − b = a + (− b) adolatli deb hisoblanishi va uning asosida tafovutlarni summalar bilan almashtirishni amalga oshirishi mumkin.

13-misol

Ifodani oling 4 + 3 − 2 , unda raqamlarning farqi 3 − 2 yig'indisi sifatida yozishimiz mumkin 3 + (− 2) . Oling 4 + 3 + (− 2) .

14-misol

Ifodadagi barcha farqlar 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kabi summalar bilan almashtirilishi mumkin 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Biz har qanday farqlardan yig'indilarga o'tishimiz mumkin. Xuddi shunday, biz teskari almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin.

Bo'linishni ko'paytirish bilan bo'linuvchining o'zaro almashtirilishi o'zaro sonlar tushunchasi bilan mumkin bo'ladi. Ushbu transformatsiyani quyidagicha yozish mumkin a: b = a (b - 1).

Bu qoida oddiy kasrlarni bo'lish qoidasining asosi bo'ldi.

15-misol

Shaxsiy 1 2: 3 5 shakl mahsuloti bilan almashtirilishi mumkin 1 2 5 3.

Xuddi shunday, analogiya bo'yicha, bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish mumkin.

16-misol

Ifoda holatida 1+5:x:(x+3) bo'linish bilan almashtiring x ga ko'paytirish mumkin 1 x. Bo'linish x + 3 ga ko'paytirish orqali almashtirishimiz mumkin 1 x + 3. Transformatsiya bizga asl nusxaga o'xshash ifodani olish imkonini beradi: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Ko'paytirishni bo'linish bilan almashtirish sxema bo'yicha amalga oshiriladi a b = a: (b - 1).

17-misol

5 x x 2 + 1 - 3 ifodasida ko'paytirish 5 ga bo'linish bilan almashtirilishi mumkin: x 2 + 1 x - 3.

Raqamlar bilan harakatlarni bajarish

Raqamlar bilan amallarni bajarish amallar tartibi qoidasiga bo'ysunadi. Birinchidan, amallar raqamlarning kuchlari va raqamlarning ildizlari bilan amalga oshiriladi. Shundan so'ng biz logarifmlar, trigonometrik va boshqa funktsiyalarni ularning qiymatlari bilan almashtiramiz. Keyin qavs ichidagi amallar bajariladi. Va keyin siz chapdan o'ngga boshqa barcha harakatlarni bajarishingiz mumkin. Shuni yodda tutish kerakki, ko'paytirish va bo'lish qo'shish va ayirishdan oldin amalga oshiriladi.

Raqamlar bilan operatsiyalar asl ifodani unga teng bo'lgan bir xil ifodaga aylantirish imkonini beradi.

18-misol

3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ifodasini raqamlar bilan barcha mumkin bo‘lgan amallarni bajarib o‘zgartiramiz.

Qaror

Birinchidan, darajani ko'rib chiqaylik 2 3 va ildiz 4 va ularning qiymatlarini hisoblang: 2 3 = 8 va 4 = 2 2 = 2.

Olingan qiymatlarni asl ifodaga almashtiring va quyidagini oling: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Endi qavslarni bajaramiz: 8 − 1 = 7 . Va 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) ifodasiga o'tamiz.

Biz faqat ko'paytirishni qilishimiz kerak 3 va 7 . Biz olamiz: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Javob: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Raqamlar bilan operatsiyalardan oldin raqamlarni guruhlash yoki qavsni kengaytirish kabi identifikatsiyani o'zgartirishning boshqa turlari bo'lishi mumkin.

19-misol

Ifodani oling 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Qaror

Avvalo, qavs ichidagi qismni o'zgartiramiz 6: 3 uning ma'nosi haqida 2 . Biz olamiz: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Qavslarni kengaytiramiz: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Keling, mahsulotdagi sonli omillarni, shuningdek raqamlar bo'lgan atamalarni guruhlaymiz: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Qavslarni bajaramiz: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Javob:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Agar biz sonli ifodalar bilan ishlasak, u holda ishimizning maqsadi ifoda qiymatini topish bo'ladi. Agar biz ifodalarni o'zgaruvchilar bilan o'zgartirsak, u holda bizning harakatlarimizdan maqsad ifodani soddalashtirish bo'ladi.

Umumiy omilni qavslash

Ifodadagi atamalar bir xil omilga ega bo'lgan hollarda, bu umumiy omilni qavs ichidan olib tashlashimiz mumkin. Buning uchun, avvalo, asl ifodani umumiy omilsiz va asl atamalardan tashkil topgan qavs ichidagi ifodaning hosilasi sifatida ifodalashimiz kerak.

20-misol

Raqamli 2 7 + 2 3 umumiy omilni chiqarishimiz mumkin 2 qavslar tashqarisida va shaklning bir xil to'g'ri ifodasini oling 2 (7 + 3).

Siz bizning resursimizning tegishli bo'limida qavslar ichida umumiy omilni qo'yish qoidalarini yangilashingiz mumkin. Materialda umumiy omilni qavs ichidan chiqarish qoidalari batafsil ko'rib chiqiladi va ko'plab misollar keltirilgan.

Shu kabi atamalarni qisqartirish

Endi o'xshash shartlarni o'z ichiga olgan yig'indilarga o'tamiz. Bu erda ikkita variant mumkin: bir xil shartlarni o'z ichiga olgan yig'indilar va shartlari raqamli koeffitsient bilan farq qiladigan yig'indilar. O'xshash shartlarni o'z ichiga olgan summalar bilan operatsiyalar o'xshash shartlarni qisqartirish deyiladi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: biz umumiy harf qismini qavs ichidan chiqaramiz va qavs ichidagi son koeffitsientlar yig'indisini hisoblaymiz.

21-misol

Ifodani ko'rib chiqing 1 + 4 x − 2 x. Qavslar ichidan x ning harfiy qismini olib, ifodani olishimiz mumkin 1 + x (4 - 2). Qavs ichidagi ifodaning qiymatini hisoblab chiqamiz va 1 + x · 2 ko'rinish yig'indisini olamiz.

Raqamlar va ifodalarni bir xil teng ifodalar bilan almashtirish

Asl ifodani tashkil etuvchi raqamlar va iboralar o'rniga ularga bir xil teng iboralar qo'yilishi mumkin. Asl iboraning bunday o'zgarishi unga xuddi shunday teng bo'lgan ifodaga olib keladi.

22-misol 23-misol

Ifodani ko'rib chiqing 1 + a5, bunda biz a 5 darajasini unga teng bo'lgan mahsulot bilan almashtirishimiz mumkin, masalan, shakl a 4. Bu bizga ifodani beradi 1 + a 4.

Amalga oshirilgan transformatsiya sun'iydir. Bu faqat boshqa o'zgarishlarga tayyorgarlik ko'rishda mantiqiy.

24-misol

Yig'indining o'zgarishini ko'rib chiqing 4 x 3 + 2 x 2. Bu erda atama 4x3 mahsulot sifatida ifodalashimiz mumkin 2 x 2 x 2 x. Natijada asl ifoda shaklni oladi 2 x 2 2 x + 2 x 2. Endi biz umumiy omilni ajratib olishimiz mumkin 2x2 va uni qavslardan chiqarib oling: 2 x 2 (2 x + 1).

Xuddi shu sonni qo'shish va ayirish

Bir vaqtning o'zida bir xil son yoki ifodani qo'shish va ayirish ifodani sun'iy ravishda o'zgartirish usulidir.

25-misol

Ifodani ko'rib chiqing x 2 + 2 x. Biz undan birini qo'shishimiz yoki ayirishimiz mumkin, bu bizga keyinchalik boshqa bir xil transformatsiyani amalga oshirishga imkon beradi - binomial kvadratini tanlash: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Shaxslar haqida tasavvurga ega bo'lgach, tanishishga o'tish mantiqan to'g'ri keladi. Ushbu maqolada biz bir xil teng iboralar nima degan savolga javob beramiz, shuningdek, misollar yordamida qaysi iboralar bir xil va qaysi biri teng emasligini aniqlaymiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Bir xil teng ifodalar nima?

Bir xil teng ifodalarning ta'rifi o'ziga xoslik ta'rifi bilan parallel ravishda beriladi. Bu 7-sinfda algebra darsida sodir bo'ladi. 7-sinf uchun algebra darsligida muallif Yu.N.Makarychev quyidagi jumlani keltiradi:

Ta'rif.

qiymatlari ularga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun teng bo'lgan ifodalardir. Xuddi shu qiymatlarga mos keladigan raqamli ifodalar ham xuddi shunday teng deb ataladi.

Ushbu ta'rif 8-sinfgacha qo'llaniladi, u butun sonli ifodalar uchun amal qiladi, chunki ular tarkibiga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun mantiqiydir. Va 8-sinfda bir xil teng ifodalarning ta'rifi ko'rsatilgan. Keling, bu nima bilan bog'liqligini tushuntiramiz.

8-sinfda boshqa turdagi ifodalarni o'rganish boshlanadi, ular butun sonli ifodalardan farqli o'laroq, o'zgaruvchilarning ba'zi qiymatlari uchun mantiqiy bo'lmasligi mumkin. Bu o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan va noto'g'ri qiymatlari ta'riflarini, shuningdek o'zgaruvchining ODV ruxsat etilgan qiymatlari diapazonini kiritishni va natijada bir xil teng iboralar ta'rifini aniqlashtirishni talab qiladi.

Ta'rif.

O'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda deyiladi bir xil teng ifodalar. Bir xil qiymatga ega bo'lgan ikkita sonli ifoda ham bir xil teng deyiladi.

Bir xil teng iboralarning ushbu ta'rifida "ularga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun" iborasining ma'nosini aniqlab olish kerak. Bu ikkala bir xil teng ifodalar bir vaqtning o'zida mantiqiy bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlarini nazarda tutadi. Ushbu fikr keyingi bo'limda misollarni ko'rib chiqish orqali oydinlashtiriladi.

A. G. Mordkovichning darsligida bir xil teng iboralarning ta'rifi biroz boshqacha berilgan:

Ta'rif.

Bir xil teng ifodalar identifikatsiyaning chap va oʻng tomonidagi ifodalardir.

Ma'nosi shundaki, bu va oldingi ta'riflar bir-biriga mos keladi.

Bir xil teng ifodalarga misollar

Oldingi bo'limda keltirilgan ta'riflar bizga olib kelish imkonini beradi bir xil teng ifodalarga misollar.

Keling, bir xil sonli ifodalardan boshlaylik. 1+2 va 2+1 sonli ifodalar bir xil, chunki ular 3 va 3 teng qiymatlariga mos keladi. 5 va 30:6 iboralari ham (2 2) 3 va 2 6 iboralari kabi bir xil darajada tengdir (oxirgi ifodalarning qiymatlari tufayli teng). Ammo 3+2 va 3−2 raqamli ifodalar bir xil darajada teng emas, chunki ular mos ravishda 5 va 1 qiymatlariga mos keladi, lekin ular teng emas.

Endi biz o'zgaruvchilar bilan bir xil teng ifodalarga misollar keltiramiz. Bu a+b va b+a ifodalari. Darhaqiqat, a va b o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun yozma ifodalar bir xil qiymatlarni oladi (bu raqamlardan kelib chiqadi). Masalan, a=1 va b=2 bilan biz a+b=1+2=3 va b+a=2+1=3 ga egamiz. a va b o'zgaruvchilarning boshqa har qanday qiymatlari uchun biz ushbu ifodalarning teng qiymatlarini olamiz. 0·x·y·z va 0 ifodalari x, y va z o‘zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun ham xuddi shunday tengdir. Ammo 2 x va 3 x ifodalari bir xil darajada teng emas, chunki, masalan, x=1 da ularning qiymatlari teng emas. Darhaqiqat, x=1 uchun 2 x ifodasi 2 1=2 ga, 3 x ifodasi esa 3 1=3 ga teng.

Ifodalardagi o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari sohalari bir-biriga to'g'ri kelganda, masalan, a+1 va 1+a , yoki a b 0 va 0 , yoki va , va bu ifodalarning qiymatlari uchun teng bo'ladi. ushbu sohalardagi o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari, keyin bu erda hamma narsa aniq - bu ifodalar ularga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun bir xil darajada tengdir. Shunday qilib, har qanday a uchun a+1≡1+a, a b 0 va 0 ifodalari a va b o‘zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun bir xil, ifodalar esa dan barcha x uchun bir xilda teng; ed. S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 17-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 b.: kasal. ISBN 978-5-346-02432-3.