Trigonometriyada sinusning umumiy formulasi. Sinus, kosinus, tangens va kotangens - OGE va USE da bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa
Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi nisbatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini ham tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - ko'p burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalash va hokazo.
Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartib bilan sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlariga ko'ra guruhlarga ajratamiz va jadvallarga kiritamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnating. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bir trigonometrik funktsiyani boshqasi orqali ifodalash imkonini beradi.
Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.
Shakllangan formulalar
Shakllangan formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchakka siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 darajagacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.
Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.
Qo'shimcha formulalar
Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni chiqarish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.
Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak
Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.
Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak.
Yarim burchak formulalari
Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funktsiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.
Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.
Qisqartirish formulalari
Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar trigonometrik funktsiyalarning tabiiy kuchlaridan birinchi darajali sinuslar va kosinuslarga o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.
Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari
asosiy manzil trigonometrik funksiyalar uchun yig‘indi va ayirma formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdan iborat bo'lib, bu trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qoʻllaniladi, chunki ular sinus va kosinuslarning yigʻindisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi.
Sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo'yicha ko'paytmasi uchun formulalar
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinuslar ko`paytmasi formulalari orqali amalga oshiriladi.
Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi
Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. www.saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.
Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri burchakli uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.
Shuni eslang to'g'ri burchak 90 darajaga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, ochilgan burchakning yarmi.
O'tkir burchak- 90 darajadan kam.
O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'mtoq" haqorat emas, balki matematik atama :-)
Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan belgilanadi, faqat kichik. Demak, A burchakka qarama-qarshi yotgan tomon belgilanadi.
Burchak tegishli yunoncha harf bilan belgilanadi.
Gipotenuza To'g'ri uchburchak - bu to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon.
Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi tomonlar.
Burchakning qarshisidagi oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning bir tomonida yotgan boshqa oyog'i deyiladi qo'shni.
Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati:
Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:
Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki ekvivalenti kosinusning sinusga nisbati):
Quyida keltirilgan sinus, kosinus, tangens va kotangensning asosiy nisbatlariga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.
Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.
Yaxshi, biz ta'riflar va yozma formulalar berdik. Lekin nima uchun bizga sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?
Biz buni bilamiz har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi.
o'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .
Ma'lum bo'lishicha, uchburchakdagi ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri uchburchakda ikki tomonni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Shunday qilib, burchaklar uchun - ularning nisbati, tomonlar uchun - o'z. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakda bitta burchak (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomoni ma'lum bo'lsa, nima qilish kerak, lekin siz boshqa tomonlarni topishingiz kerak?
O'tmishda odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzgan holda duch kelishgan. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.
Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi burchakning trigonometrik funktsiyalari- orasidagi nisbatni bering partiyalar Va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, siz maxsus jadvallar yordamida uning barcha trigonometrik funktsiyalarini topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlaridan birini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.
Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.
Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Burchaklarning mos keladigan qiymatlari uchun tangens va kotangens mavjud emas.
Keling, FIPI Banki topshiriqlaridan trigonometriyadagi bir nechta muammolarni tahlil qilaylik.
1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.
Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.
Shunchaki, .
2. Uchburchakda burchak , , ga teng. Toping.
Pifagor teoremasi orqali topamiz.
Muammo hal qilindi.
Ko'pincha masalalarda burchakli va yoki burchakli va bilan uchburchaklar mavjud. Ular uchun asosiy nisbatlarni yoddan yodlang!
Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.
Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarni yechish, ya’ni noma’lum tomonlar yoki burchaklarni topish masalalarini ko‘rib chiqdik. Lekin bu hammasi emas! Matematikadan imtihon variantlarida uchburchakning tashqi burchagining sinusi, kosinusu, tangensi yoki kotangensi paydo bo'ladigan ko'plab vazifalar mavjud. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.
Men sizni aldash varaqlarini yozmaslikka ishontirmayman. Yozing! Trigonometriya bo'yicha cheat varaqlari, shu jumladan. Keyinchalik men cheat varaqlari nima uchun kerakligini va qanday qilib foydali ekanligini tushuntirishni rejalashtirmoqdaman. Va bu erda - qanday o'rganish emas, balki ba'zi trigonometrik formulalarni eslab qolish haqida ma'lumot. Shunday qilib, trigonometriya varaqsiz! Biz yodlash uchun assotsiatsiyalardan foydalanamiz.
1. Qo‘shish formulalari:
kosinuslar har doim "juft bo'lib ketadi": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Va yana bir narsa: kosinuslar "etarsiz". Ular "hamma narsa noto'g'ri", shuning uchun ular belgilarni o'zgartiradilar: "-" "+" ga va aksincha.
Sinuslar - "aralash": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Yig‘indi va ayirma formulalari:
kosinuslar har doim "juft bo'lib ketadi". Ikkita kosinus - "bulochka" qo'shib, biz bir juft kosinus - "koloboks" ni olamiz. Va ayirish, biz, albatta, koloboklarni olmaymiz. Biz bir nechta sinuslarni olamiz. Oldinda hali minus.
Sinuslar - "aralash" :
3. Ko`paytmani yig`indiga va ayirmaga aylantirish formulalari.
Biz qachon bir juft kosinus olamiz? Kosinuslarni qo'shganda. Shunung uchun
Qachon biz bir juft sinusni olamiz? Kosinuslarni ayirishda. Bu yerdan:
"Aralash" sinuslarni qo'shish va ayirish yo'li bilan olinadi. Qaysi biri qiziqroq: qo'shish yoki ayirish? To'g'ri, katlayın. Va formula uchun qo'shimchani oling:
Qavslar ichidagi birinchi va uchinchi formulalarda - miqdori. Atamalar joylarini qayta tartibga solishdan yig'indi o'zgarmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo, chalkashmaslik uchun, eslab qolish qulayligi uchun, birinchi qavsdagi barcha uchta formulada biz farqni olamiz.
ikkinchidan, summa
Cho'ntagingizdagi beshik choyshablari xotirjamlik beradi: agar formulani unutib qo'ysangiz, uni yozib qo'yishingiz mumkin. Va ular ishonch bag'ishlaydi: agar siz cheat varag'idan foydalanmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.
Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchi trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan aniq kalendar yaratish va yulduzlar tomonidan orientatsiya qilish uchun ishlab chiqilgan. Ushbu hisoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq bo'lib, maktab kursida ular tekis uchburchakning tomonlari va burchagi nisbatlarini o'rganadilar.
Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarning xossalari va uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi munosabatlar bilan shug'ullanadigan matematikaning bo'limi.
Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi, sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchasi hind olimlari tomonidan kiritilgan. Evklid, Arximed va Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblarining asarlarida trigonometriyaga katta e'tibor berilgan.
Trigonometriyaning asosiy miqdorlari
Raqamli argumentning asosiy trigonometrik funktsiyalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.
Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga: "Pifagor shimlari, barcha yo'nalishlarda teng" formulasida ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.
Sinus, kosinus va boshqa bog'liqliklar har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Biz A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalar beramiz va trigonometrik funktsiyalarning munosabatlarini kuzatamiz:
Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalardir. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb ifodalasak, tangens va kotangens uchun quyidagi formulalarni olamiz:
trigonometrik doira
Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlarning nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Misol uchun, agar a aylananing I va II choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni u 0 ° dan 180 ° gacha bo'lsa, sin a "+" belgisi bilan bo'ladi. 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) a bilan sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.
Keling, aniq burchaklar uchun trigonometrik jadvallar tuzishga harakat qilaylik va miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.
Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyning uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal munosabatlarni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.
Trigonometrik funktsiyalar jadvalidagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:
Shunday qilib, 2p to'liq aylana yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.
Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus
Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.
Sinus to'lqin va kosinus to'lqini xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:
| sinusoid | kosinus to'lqini |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; bir] | ODZ [-1; bir] |
| sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z |
| sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 1, x = 2pk uchun, bu erda k s Z |
| sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Z | cos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z |
| sin (-x) = - sin x, ya'ni toq funksiya | cos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft |
| funksiya davriy, eng kichik davri 2p | |
| sin x › 0, x I va II choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk) | cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk) |
| sin x ‹ 0, x III va IV choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk) | cos x ‹ 0, x bilan II va III choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk) |
| [- p/2 + 2pk, p/2 + 2k] oraliqda ortadi | [-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi |
| [ p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadi | intervallarda kamayadi |
| hosila (sin x)' = cos x | hosila (cos x)’ = - sin x |
Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlar belgilariga ega trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir xil bo'lsa, funktsiya juft, aks holda toq bo'ladi.
Radianlarning kiritilishi va sinusoid va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarini sanab o'tish bizga quyidagi naqshni keltirish imkonini beradi:
Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Masalan, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tasdiqlash jadvallarni ko'rib chiqish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.
Tangentoid va kotangentoidning xossalari
Tangens va kotangent funktsiyalarning grafiklari sinusoid va kosinus to'lqinidan sezilarli darajada farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga teskari.
- Y = tgx.
- Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
- Tg (- x) \u003d - tg x, ya'ni funksiya g'alati.
- Tg x = 0, x = p uchun.
- Funktsiya ortib bormoqda.
- Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
- Hosil (tg x)' = 1/cos 2 x .
Matnda quyida kotangentoidning grafik tasvirini ko'rib chiqing.
Kotangentoidning asosiy xususiyatlari:
- Y = ctgx.
- Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
- Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Kotangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, ya'ni funksiya g'alati.
- Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
- Funktsiya pasaymoqda.
- Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
- Hosila (ctg x)' = - 1/sin 2 x Tuzatish
Yuklanmoqda...