Kvadrat tenglamalar nolga teng emas. Kvadrat tenglamalar

Shunchaki. Formulalar va aniq oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda

berilgan tenglamani standart shaklga keltirish kerak, ya'ni. ko'rinishga:

Agar tenglama sizga ushbu shaklda allaqachon berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas. Eng muhimi to'g'ri

barcha koeffitsientlarni aniqlang a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant . Ko'rib turganingizdek, x topish uchun biz

foydalanish faqat a, b va c. Bular. dan farqlar kvadrat tenglama. Faqat ehtiyotkorlik bilan kiriting

qiymatlar a, b va c Ushbu formulaga kiriting va hisoblang. bilan almashtiring ularning belgilar!

misol uchun, tenglamada:

a =1; b = 3; c = -4.

Qiymatlarni almashtiring va yozing:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Eng keng tarqalgan xatolar qadriyatlar belgilari bilan chalkashlikdir a, b va bilan. Aksincha, almashtirish bilan

manfiy qiymatlarni ildizlarni hisoblash formulasiga kiriting. Bu erda batafsil formula saqlaydi

aniq raqamlar bilan. Agar hisob-kitoblar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, buni bajaring!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Biz hamma narsani batafsil, ehtiyotkorlik bilan, barcha belgilar va qavslar bilan o'tkazib yubormasdan bo'yab turamiz:

Ko'pincha kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering.

Birinchi qabul. Oldin dangasa bo'lmang kvadrat tenglamani yechish uni standart shaklga keltiring.

Bu nimani anglatadi?

Faraz qilaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildizlarning formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c.

Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, x kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin bepul a'zo. Mana bunday:

Minusdan xalos bo'ling. Qanday? Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Va endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin.

O'zingiz qaror qiling. Siz 2 va -1 ildizlari bilan yakunlashingiz kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlaringizni tekshiring! tomonidan Vyeta teoremasi.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish uchun, ya'ni. koeffitsienti bo'lsa

x2+bx+c=0,

keyinx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

To'liq kvadrat tenglama uchun a≠1:

x 2 +bx+c=0,

butun tenglamani ga bo'ling a:

→ →

qayerda x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari.

Uchinchi qabul. Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Ko'paytiring

umumiy maxraj uchun tenglama.

Xulosa. Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni hamma narsani ko'paytirish orqali yo'q qilamiz

-1 uchun tenglamalar.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

omil.

4. Agar x kvadrat sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechimni osongina tekshirish mumkin.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktorizatsiyaga misollar.

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganda, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Bundan tashqari, biz bu haqiqiy raqamlar deb hisoblaymiz.
O'ylab ko'ring kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Keyin kvadrat trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar funktsiyaning grafigini tuzsak
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachon bo'lsa, grafik abscissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi.
Qachon bo'lsa, grafik bir nuqtada x o'qiga tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafiklarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

O'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:




,
qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bundan ko'rinadiki, tenglama

da amalga oshirildi
va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

Qaror

.
(1.1) tenglamamiz bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu erdan kvadrat trinomialning omillarga bo'linishini olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

Javob

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Qaror

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta (2.1) dastlabki tenglamaning ildizidir. Bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratilganligi sababli:
,
u holda bunday ildiz ko'plik deyiladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz bor deb hisoblashadi:
.

Javob

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Qaror

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant manfiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin


.

Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abscissa (o'q) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Javob

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Kvadrat tenglama - yechish oson! *Keyingi matnda “KU”. Do'stlar, matematikada bunday tenglamani yechishdan ko'ra osonroq tuyulishi mumkin. Lekin bir narsa menga ko'p odamlar u bilan muammolar borligini aytdi. Men har oyda Yandex har bir so'rov uchun qancha taassurot qoldirishini ko'rishga qaror qildim. Mana nima bo'ldi, qarang:

Bu nima degani? Bu shuni anglatadiki, har oyda 70 000 ga yaqin odam ushbu ma'lumotni qidiradi va bu yoz va o'quv yilida nima bo'ladi - ikki barobar ko'p so'rovlar bo'ladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki maktabni allaqachon tugatgan va imtihonga tayyorgarlik ko'rayotgan yigit va qizlar ushbu ma'lumotni qidirmoqdalar va maktab o'quvchilari ham xotiralarini yangilashga harakat qilmoqdalar.

Ushbu tenglamani qanday hal qilishni aytadigan ko'plab saytlar mavjudligiga qaramay, men ham o'z hissamni qo'shishga va materialni nashr etishga qaror qildim. Birinchidan, men ushbu so'rov bo'yicha mening saytimga tashrif buyuruvchilar kelishini xohlayman; ikkinchidan, boshqa maqolalarda, "KU" nutqi kelganda, men ushbu maqolaga havola beraman; uchinchidan, men sizga uning yechimi haqida odatda boshqa saytlarda aytilganidan ko'ra bir oz ko'proq gapirib beraman. Qani boshladik! Maqolaning mazmuni:

Kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

Bu erda a koeffitsientlari,bva ixtiyoriy raqamlar bilan, a≠0 bilan.

Maktab kursida material quyidagi shaklda beriladi - tenglamalarni uchta sinfga bo'lish shartli ravishda amalga oshiriladi:

1. Ikkita ildizga ega bo'ling.

2. * Faqat bitta ildizga ega bo'ling.

3. Hech qanday ildizga ega bo'lmaslik. Bu erda ularning haqiqiy ildizlari yo'qligini ta'kidlash kerak

Ildizlar qanday hisoblanadi? Shunchaki!

Biz diskriminantni hisoblaymiz. Ushbu "dahshatli" so'z ostida juda oddiy formula yotadi:

Ildiz formulalari quyidagicha:

*Bu formulalarni yoddan bilish kerak.

Siz darhol yozishingiz va hal qilishingiz mumkin:

Misol:

1. Agar D > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi.

2. Agar D = 0 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

3. Agar D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Keling, tenglamani ko'rib chiqaylik:

Shu munosabat bilan, diskriminant nolga teng bo'lsa, maktab kursi bitta ildiz olinganligini aytadi, bu erda u to'qqizga teng. To'g'ri, shunday, lekin ...

Ushbu vakillik biroz noto'g'ri. Aslida, ikkita ildiz bor. Ha, ha, hayron bo'lmang, ikkita teng ildiz chiqadi va matematik jihatdan to'g'ri bo'lishi uchun javobda ikkita ildiz yozilishi kerak:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ammo bu shunday - kichik bir chekinish. Maktabda bitta ildiz borligini yozib, aytishingiz mumkin.

Endi quyidagi misol:

Ma'lumki, manfiy sonning ildizi chiqarilmaydi, shuning uchun bu holda hech qanday yechim yo'q.

Bu butun qaror jarayoni.

Kvadrat funksiya.

Mana, yechim geometrik jihatdan qanday ko'rinadi. Buni tushunish juda muhim (kelajakda maqolalarning birida kvadrat tengsizlikning echimini batafsil tahlil qilamiz).

Bu shaklning funktsiyasi:

bu erda x va y o'zgaruvchilardir

a, b, c raqamlar berilgan, bu erda a ≠ 0

Grafik parabola:

Ya'ni, "y" nolga teng bo'lgan kvadrat tenglamani yechish orqali parabolaning x o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Ushbu nuqtalardan ikkitasi bo'lishi mumkin (diskriminant musbat), biri (diskriminant nolga teng) yoki hech biri (diskriminant salbiy). Kvadrat funksiya haqida batafsil Ko'rishingiz mumkin Inna Feldmanning maqolasi.

Misollarni ko'rib chiqing:

1-misol: qaror qabul qiling 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Javob: x 1 = 8 x 2 = -12

* Siz darhol tenglamaning chap va o'ng tomonlarini 2 ga bo'lishingiz mumkin, ya'ni uni soddalashtirishingiz mumkin. Hisob-kitoblar osonroq bo'ladi.

2-misol: Qaror qiling x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Biz x 1 \u003d 11 va x 2 \u003d 11 ni oldik.

Javobda x = 11 yozish joiz.

Javob: x = 11

3-misol: Qaror qiling x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant manfiy, haqiqiy sonlarda yechim yo'q.

Javob: yechim yo'q

Diskriminant salbiy. Yechim bor!

Bu erda biz manfiy diskriminant olingan holatda tenglamani echish haqida gapiramiz. Kompleks sonlar haqida biror narsa bilasizmi? Men bu erda ular nima uchun va qaerda paydo bo'lganligi va ularning matematikadagi o'ziga xos roli va zaruriyati haqida batafsil ma'lumot bermayman, bu katta alohida maqola uchun mavzu.

Kompleks son haqida tushuncha.

Bir oz nazariya.

Kompleks son z - bu shaklning soni

z = a + bi

a va b haqiqiy sonlar, i xayoliy birlik deb ataladi.

a+bi bu qo'shimcha emas, BIR SON.

Xayoliy birlik minus birning ildiziga teng:

Endi tenglamani ko'rib chiqing:

Ikki konjugat ildizni oling.

Tugallanmagan kvadrat tenglama.

Maxsus holatlarni ko'rib chiqing, bu "b" yoki "c" koeffitsienti nolga teng (yoki ikkalasi ham nolga teng). Ular hech qanday kamsitishlarsiz osongina hal qilinadi.

1-holat. koeffitsient b = 0.

Tenglama quyidagi shaklni oladi:

Keling, aylantiramiz:

Misol:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2-holat. Koeffitsient c = 0.

Tenglama quyidagi shaklni oladi:

O'zgartirish, faktorlarga ajratish:

*Omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi.

Misol:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 yoki x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3-holat. Koeffitsientlar b = 0 va c = 0.

Bu erda tenglamaning yechimi doimo x = 0 bo'lishi aniq.

Koeffitsientlarning foydali xossalari va naqshlari.

Katta koeffitsientli tenglamalarni echishga imkon beruvchi xususiyatlar mavjud.

ax 2 + bx+ c=0 tenglik

a + b+ c = 0, keyin

— agar tenglamaning koeffitsientlari uchun ax 2 + bx+ c=0 tenglik

a+ bilan =b, keyin

Bu xususiyatlar ma'lum bir turdagi tenglamani hal qilishga yordam beradi.

1-misol: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeffitsientlar yig'indisi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, shuning uchun

2-misol: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Tenglik a+ bilan =b, anglatadi

Koeffitsientlarning qonuniyatlari.

1. Agar ax 2 + bx + c \u003d 0 tenglamasida "b" koeffitsienti (a 2 +1) va "c" koeffitsienti son jihatdan "a" koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Misol. 6x 2 +37x+6 = 0 tenglamasini ko'rib chiqaylik.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Agar ax 2 - bx + c \u003d 0 tenglamasida "b" koeffitsienti (a 2 +1) va "c" koeffitsienti son jihatdan "a" koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 15x 2 –226x +15 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Agar tenglamada bo'lsa ax 2 + bx - c = 0 koeffitsienti "b" teng (a 2 – 1) va “c” koeffitsienti son jihatdan "a" koeffitsientiga teng, keyin uning ildizlari teng bo'ladi

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 17x 2 + 288x - 17 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Agar ax 2 - bx - c \u003d 0 tenglamasida "b" koeffitsienti (a 2 - 1) ga, c koeffitsienti esa son jihatdan "a" koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari bo'ladi.

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Misol. 10x2 - 99x -10 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vyeta teoremasi.

Vyeta teoremasi mashhur frantsuz matematigi Fransua Vyeta sharafiga nomlangan. Vyeta teoremasidan foydalanib, ixtiyoriy KU ildizlarining yig‘indisi va mahsulotini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Xulosa qilib aytganda, 14 raqami faqat 5 va 9 ni beradi. Bular ildizlardir. Taqdim etilgan teoremadan foydalanib, ma'lum mahorat bilan siz ko'plab kvadrat tenglamalarni darhol og'zaki hal qilishingiz mumkin.

Bundan tashqari, Viet teoremasi. qulay, chunki kvadrat tenglamani odatdagi usulda (diskriminant orqali) yechgandan so'ng, hosil bo'lgan ildizlarni tekshirish mumkin. Men buni har doim qilishni tavsiya qilaman.

TRANSFER USULI

Ushbu usul bilan "a" koeffitsienti erkin terminga ko'paytiriladi, go'yo unga "o'tkazilgan" va shuning uchun u deyiladi. uzatish usuli. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini topish oson bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.

Agar a a± b+c≠ 0, keyin uzatish texnikasi ishlatiladi, masalan:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

(2) tenglamadagi Veta teoremasiga ko'ra, x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1 ekanligini aniqlash oson.

Tenglamaning olingan ildizlarini 2 ga bo'lish kerak (chunki ikkitasi x 2 dan "tashlangan"), biz olamiz

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Buning sababi nimada? Nima bo'layotganini ko'ring.

(1) va (2) tenglamalarning diskriminantlari:

Agar siz tenglamalarning ildizlariga qarasangiz, unda faqat turli xil maxrajlar olinadi va natija aniq x 2 koeffitsientiga bog'liq:

Ikkinchi (o'zgartirilgan) ildizlar 2 barobar kattaroqdir.

Shunday qilib, natijani 2 ga bo'lamiz.

*Agar biz uchta turni aylantirsak, natijani 3 ga bo'lamiz va hokazo.

Javob: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ya'ni va imtihon.

Uning ahamiyati haqida qisqacha gapirib beraman - SIZ tez va o'ylamasdan QAROR BERISHINGIZ KERAK, ildizlar va diskriminant formulalarini yoddan bilishingiz kerak. USE vazifalarining bir qismi bo'lgan ko'plab vazifalar kvadrat tenglamani (shu jumladan, geometrik) echishga to'g'ri keladi.

Nimani e'tiborga olish kerak!

1. Tenglamaning shakli "yomon" bo'lishi mumkin. Masalan, quyidagi kirish mumkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 yoki 15x+42+9x 2 - 45x=0 yoki 15 -5x+10x 2 = 0.

Siz uni standart shaklga keltirishingiz kerak (yechayotganda chalkashmaslik uchun).

2. Esda tutingki, x noma'lum qiymatdir va u boshqa har qanday harf bilan belgilanishi mumkin - t, q, p, h va boshqalar.

Ko'p oddiy bo'lmagan formulalar tufayli bu mavzu dastlab murakkab ko'rinishi mumkin. Kvadrat tenglamalarning o'zi nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari ham diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formula mavjud. Eslab qolish unchalik oson emas. Bunday tenglamalarni tez-tez yechishdan keyingina bu mumkin. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda birinchi navbatda eng katta daraja yozilsa, keyin esa - kamayish tartibida ularning aniq belgilanishi taklif etiladi. Ko'pincha atamalar bir-biridan ajralib turadigan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, eslatma bilan tanishamiz. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu yozuvlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi belgiga keltiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

• eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
• javob bitta raqam bo'ladi;
• Tenglama umuman ildizga ega emas.

Va qaror oxirigacha etkazilmagan bo'lsa-da, ma'lum bir holatda variantlardan qaysi biri tushib ketishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalar turli xil yozuvlarga ega bo'lishi mumkin. Ular har doim ham kvadrat tenglamaning umumiy formulasi kabi ko'rinmaydi. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglamadir. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqacha narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari yo'qolishi mumkin bo'lgan shartlar. "A" soni hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tenglamalarning to'liq bo'lmagan shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud, to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikki raqam, ikkinchisi esa uchinchi raqam bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Tenglamaning ildizlarini hisoblash uchun bu raqam ma'lum bo'lishi kerak. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikni ishlatishingiz kerak, bu to'rtta raqamga ega bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz turli xil belgilarga ega raqamlarni olishingiz mumkin. Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Salbiy raqam bilan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, javob bitta bo'ladi.

Toʻliq kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki birinchi navbatda siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi va ularning soni ma'lum bo'lganidan so'ng, siz o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanishingiz kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz bunday formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula besh. Xuddi shu yozuvdan ko'rinib turibdiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarning yechimi hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib olish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ehtiyoj yo'q. Va sizga diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozilgan narsalar kerak bo'lmaydi.

Birinchidan, ikkinchi raqamli to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglikda noma’lum qiymatni qavsdan chiqarib, chiziqli tenglamani yechish kerak, bu esa qavs ichida qoladi. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan omil mavjud. Ikkinchisi chiziqli tenglamani yechish orqali olinadi.

Uchinchi raqamdagi to'liq bo'lmagan tenglama raqamni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum oldida koeffitsientga bo'lish kerak. Faqat kvadrat ildizni ajratib olish qoladi va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Quyida kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni echishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi harakatlar keltirilgan. Ular o'quvchiga e'tiborsizlik tufayli xatolardan qochishga yordam beradi. “Kvadrik tenglamalar (8-sinf)” keng mavzusini o‘rganishda ana shu kamchiliklar yomon baholarga sabab bo‘lmoqda. Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror odat bo'ladi.

• Avval siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, birinchi navbatda o'zgaruvchining eng katta darajasiga ega bo'lgan atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - faqat raqam.

• Agar "a" koeffitsientidan oldin minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganish uchun yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar ishorani teskari tomonga o'zgartiradi.

• Xuddi shu tarzda, fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinchi tenglama: x 2 - 7x \u003d 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi formulada ta'riflanganidek echiladi.

Qavsdan so'ng shunday bo'ladi: x (x - 7) \u003d 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 \u003d 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 \u003d 0. X 2 \u003d 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada ta'riflanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Uchinchi tenglama: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Bu erda va quyida kvadrat tenglamalarni echish ularni standart shaklga qayta yozishdan boshlanadi: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va har bir narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 \u003d 0. To'rtinchi formulaga ko'ra, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ma'lum bo'ladiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formula bo'yicha hisoblash kerak. Unga ko'ra, ma'lum bo'lishicha, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x \u003d 0 bunga aylantiriladi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q."

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formula qo'llanilgandan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Oltinchi tenglama (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) o'zgartirishlarni talab qiladi, bu esa qavslarni ochishdan oldin o'xshash atamalarni keltirish kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida shunday ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. O'xshash atamalar hisoblangandan so'ng, tenglama x 2 ko'rinishini oladi. - x \u003d 0. U to'liq bo'lmadi. Bunga o'xshash allaqachon biroz yuqoriroq ko'rib chiqilgan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.

Zamonaviy jamiyatda kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan ishlash qobiliyati faoliyatning ko'plab sohalarida foydali bo'lishi mumkin va ilmiy va texnik ishlanmalarda amaliyotda keng qo'llaniladi. Buni dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalarning konstruksiyasi ham isbotlash mumkin. Bunday hisob-kitoblar yordamida turli jismlar, jumladan, kosmik jismlar harakatining traektoriyalari aniqlanadi. Kvadrat tenglamalarni yechish misollari nafaqat iqtisodiy prognozlashda, binolarni loyihalash va qurishda, balki eng oddiy kundalik sharoitlarda ham qo'llaniladi. Ular lager sayohatlarida, sport tadbirlarida, do'konlarda xarid qilishda va boshqa juda keng tarqalgan holatlarda kerak bo'lishi mumkin.

Keling, ifodani komponent omillarga ajratamiz

Tenglamaning darajasi berilgan ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining darajasining maksimal qiymati bilan aniqlanadi. Agar u 2 ga teng bo'lsa, unda bunday tenglama kvadrat tenglama deyiladi.

Agar formulalar tilida gapiradigan bo'lsak, bu iboralar qanday ko'rinishda bo'lishidan qat'i nazar, har doim ifodaning chap tomoni uchta atamadan iborat bo'lgan shaklga keltirilishi mumkin. Ular orasida: ax 2 (ya'ni koeffitsienti bilan kvadrat bo'lgan o'zgaruvchi), bx (koeffitsienti bilan kvadratsiz noma'lum) va c (erkin komponent, ya'ni oddiy son). Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Bunday ko'phadning tashkil etuvchi hadlaridan birortasi bo'lmasa, ax 2 dan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi. O'zgaruvchilarning qiymatini topish qiyin bo'lmagan bunday muammolarni hal qilish misollarini birinchi navbatda ko'rib chiqish kerak.

Agar ifoda ifodaning o'ng tomonida ikkita haddan iborat bo'lsa, aniqrog'i ax 2 va bx, o'zgaruvchini qavs ichiga olish orqali x ni topish oson. Endi bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: x(ax+b). Keyinchalik ma'lum bo'ladiki, x=0 yoki muammo quyidagi ifodadan o'zgaruvchini topishga qisqartiriladi: ax+b=0. Bu ko'paytirishning xususiyatlaridan biri bilan belgilanadi. Qoidaga ko'ra, ikkita omilning mahsuloti faqat bittasi nolga teng bo'lsa, 0 ga olib keladi.

Misol

x=0 yoki 8x - 3 = 0

Natijada, biz tenglamaning ikkita ildizini olamiz: 0 va 0,375.

Bunday turdagi tenglamalar koordinata sifatida qabul qilingan ma'lum bir nuqtadan harakatlana boshlagan jismlarning tortishish ta'siri ostida harakatini tasvirlashi mumkin. Bu erda matematik yozuv quyidagi ko'rinishni oladi: y = v 0 t + gt 2 /2. Kerakli qiymatlarni o'rniga qo'yish, o'ng tomonni 0 ga tenglashtirish va mumkin bo'lgan noma'lumlarni topish orqali siz tananing ko'tarilishidan to tushishigacha o'tgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'plab miqdorlarni bilib olishingiz mumkin. Ammo bu haqda keyinroq gaplashamiz.

Ifoda faktoringi

Yuqorida tavsiflangan qoida ushbu muammolarni yanada murakkab holatlarda hal qilish imkonini beradi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimi bilan misollarni ko'rib chiqing.

X2 - 33x + 200 = 0

Bu kvadrat trinomial tugallangan. Birinchidan, biz ifodani o'zgartiramiz va uni omillarga ajratamiz. Ulardan ikkitasi bor: (x-8) va (x-25) = 0. Natijada, bizda ikkita ildiz 8 va 25 bor.

9-sinfda kvadrat tenglamalarni yechish misollari bu usul yordamida nafaqat ikkinchi, balki uchinchi va toʻrtinchi tartibli ifodalarda ham oʻzgaruvchini topish imkonini beradi.

Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. O'zgaruvchiga ega bo'lgan omillarga o'ng tomonni koeffitsientlarga ajratganda, ularning uchtasi, ya'ni (x + 1), (x-3) va (x +) bo'ladi. 3).

Natijada, bu tenglamaning uchta ildizi borligi ayon bo'ladi: -3; - bitta; 3.

Kvadrat ildizni ajratib olish

Toʻliq boʻlmagan ikkinchi tartibli tenglamaning yana bir holi oʻng tomoni ax 2 va c komponentalaridan yasaladigan tarzda harflar tilida yozilgan ifodadir. Bu erda o'zgaruvchining qiymatini olish uchun bo'sh muddat o'ng tomonga o'tkaziladi va bundan keyin tenglikning har ikki tomonidan kvadrat ildiz chiqariladi. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda odatda tenglamaning ikkita ildizi mavjud. Istisno faqat c atamasini o'z ichiga olmaydi, bu erda o'zgaruvchi nolga teng bo'lgan tengliklar, shuningdek, o'ng tomoni manfiy bo'lgan iboralarning variantlari. Ikkinchi holda, hech qanday yechim yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildizlar bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari misollarini ko'rib chiqish kerak.

Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 raqamlari bo'ladi.

Er maydonini hisoblash

Bunday hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj qadimgi davrlarda paydo bo'lgan, chunki o'sha uzoq davrlarda matematikaning rivojlanishi asosan er uchastkalarining maydonlari va perimetrlarini eng katta aniqlik bilan aniqlash zarurati bilan bog'liq edi.

Shu turdagi masalalar asosida tuzilgan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ham ko'rib chiqishimiz kerak.

Demak, uzunligi enidan 16 metrga ko'p bo'lgan to'rtburchaklar shaklidagi yer bor, deylik. Agar uning maydoni 612 m 2 ekanligi ma'lum bo'lsa, siz saytning uzunligini, kengligini va perimetrini topishingiz kerak.

Ishga kirishib, dastlab biz kerakli tenglamani tuzamiz. Kesimning kengligini x deb belgilaymiz, u holda uning uzunligi (x + 16) bo'ladi. Yozilganlardan kelib chiqadiki, maydon x (x + 16) ifodasi bilan aniqlanadi, bu bizning muammomiz shartiga ko'ra 612 ga teng. Bu x (x + 16) \u003d 612 degan ma'noni anglatadi.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish va bu ifodani xuddi shunday qilib bo'lmaydi. Nega? Uning chap tomonida hali ham ikkita omil mavjud bo'lsa-da, ularning ko'paytmasi umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda boshqa usullar qo'llaniladi.

Diskriminant

Avvalo, biz kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz, keyin bu ifodaning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu biz ilgari belgilangan standartga mos keladigan shakldagi ifodani olganimizni anglatadi, bu erda a=1, b=16, c= -612.

Bu diskriminant orqali kvadrat tenglamalarni echishga misol bo'lishi mumkin. Bu erda kerakli hisob-kitoblar sxema bo'yicha amalga oshiriladi: D = b 2 - 4ac. Ushbu yordamchi qiymat nafaqat ikkinchi darajali tenglamada kerakli qiymatlarni topishga imkon beradi, balki mumkin bo'lgan variantlar sonini ham aniqlaydi. D>0 holatida ulardan ikkitasi bor; D=0 uchun bitta ildiz mavjud. D holatda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Ildizlar va ularning formulasi haqida

Bizning holatimizda diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Bu bizning muammomizning javobi borligini ko'rsatadi. Agar bilsangiz, kvadrat tenglamalarni yechish quyidagi formula yordamida davom ettirilishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.

Bu shuni anglatadiki, taqdim etilgan holatda: x 1 =18, x 2 =-34. Ushbu dilemmadagi ikkinchi variant yechim bo'lishi mumkin emas, chunki er uchastkasining o'lchamini manfiy qiymatlarda o'lchash mumkin emas, ya'ni x (ya'ni uchastkaning kengligi) 18 m. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18+16=34, perimetri 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Misollar va vazifalar

Kvadrat tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz. Misollar va ulardan bir nechtasining batafsil yechimi quyida keltirilgan.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Keling, hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, transformatsiya qilamiz, ya'ni odatda standart deb ataladigan tenglama shaklini olamiz va uni nolga tenglashtiramiz.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Shunga o'xshashlarni qo'shib, biz diskriminantni aniqlaymiz: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Shunday qilib, bizning tenglamamiz ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblaymiz, ya'ni ularning birinchisi 4/3 ga, ikkinchisi esa 1 ga teng bo'ladi.

2) Endi biz boshqa turdagi topishmoqlarni ochib beramiz.

Bu yerda umuman x 2 - 4x + 5 = 1 ildiz bor yoki yo'qligini bilib olaylik? To'liq javob olish uchun polinomni mos keladigan tanish shaklga keltiramiz va diskriminantni hisoblaymiz. Bu misolda kvadrat tenglamani yechish shart emas, chunki masalaning mohiyati bunda umuman yo'q. Bunday holda, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, bu haqiqatan ham ildiz yo'qligini anglatadi.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamalarni yuqoridagi formulalar va diskriminant orqali, ikkinchisining qiymatidan kvadrat ildiz chiqarilganda yechish qulay. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holda o'zgaruvchilar qiymatlarini olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechish. U 16-asrda Frantsiyada yashagan va o'zining matematik iste'dodi va suddagi aloqalari tufayli yorqin martabaga ega bo'lgan odam sharafiga nomlangan. Uning portretini maqolada ko'rish mumkin.

Mashhur frantsuz e'tibor bergan naqsh quyidagicha edi. U tenglamaning ildizlari yig‘indisi -p=b/a ga, ularning ko‘paytmasi esa q=c/a ga mos kelishini isbotladi.

Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqaylik.

3x2 + 21x - 54 = 0

Oddiylik uchun keling, ifodani o'zgartiramiz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremasidan foydalanib, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning yig'indisi -7, va ularning mahsuloti -18. Bu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2 raqamlari ekanligini tushunamiz. Tekshiruvdan so'ng, biz o'zgaruvchilarning ushbu qiymatlari ifodaga haqiqatan ham mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Parabola grafigi va tenglamasi

Kvadrat funksiya va kvadrat tenglama tushunchalari bir-biri bilan chambarchas bog‘liq. Bunga misollar allaqachon berilgan. Keling, ba'zi matematik jumboqlarni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama vizual tarzda ifodalanishi mumkin. Grafik shaklida chizilgan bunday bog'liqlik parabola deyiladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Har qanday parabolaning cho'qqisi, ya'ni shoxlari chiqadigan nuqtasi bor. Agar a>0 bo'lsa, ular cheksizlikka yuqori bo'ladi va qachon a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funksiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan kvadratik tenglamalarni echishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb ataladi. X o'zgaruvchining qiymati esa grafik chizig'i 0x bilan kesishgan nuqtalardagi abscissa koordinatasidir. Cho'qqining koordinatalarini hozirgina x 0 = -b / 2a formulasi bilan topish mumkin. Va natijada olingan qiymatni funktsiyaning dastlabki tenglamasiga almashtirib, siz y 0 ni, ya'ni y o'qiga tegishli parabola tepasining ikkinchi koordinatasini topishingiz mumkin.

Parabola shoxlarining abscissa o'qi bilan kesishishi

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar ko'p, lekin umumiy qonuniyatlar ham mavjud. Keling, ularni ko'rib chiqaylik. Ko'rinib turibdiki, a>0 uchun grafikning 0x o'qi bilan kesishishi faqat y 0 manfiy qiymatlarni qabul qilsagina mumkin. Va a uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aks holda D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabola grafigidan ildizlarini ham aniqlash mumkin. Buning teskarisi ham to'g'ri. Ya’ni kvadratik funksiyaning vizual ko‘rinishini olish oson bo‘lmasa, ifodaning o‘ng tomonini 0 ga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamani yechish mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishish nuqtalarini bilish, chizish osonroq.

Tarixdan

Kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar yordamida qadimgi kunlarda nafaqat matematik hisoblar, balki geometrik shakllarning maydoni aniqlangan. Qadimgi odamlar fizika va astronomiya sohasidagi ulkan kashfiyotlar, shuningdek, astrolojik prognozlar qilish uchun bunday hisob-kitoblarga muhtoj edilar.

Zamonaviy olimlarning ta'kidlashicha, Bobil aholisi birinchilardan bo'lib kvadrat tenglamalarni yechgan. Bu bizning eramizning kelishidan to'rt asr oldin sodir bo'lgan. Albatta, ularning hisob-kitoblari hozirda qabul qilinganlardan tubdan farq qilar edi va ancha ibtidoiy bo'lib chiqdi. Misol uchun, Mesopotamiya matematiklari manfiy sonlarning mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emas edilar. Ular bizning zamonamizning har qanday talabasiga ma'lum bo'lgan boshqa nozikliklar bilan ham tanish emas edi.

Ehtimol, hatto Bobil olimlaridan ham oldinroq, Hindistonlik donishmand Baudhayama kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullangan. Bu Masih davri kelishidan sakkiz asr oldin sodir bo'lgan. To'g'ri, ikkinchi tartibli tenglamalar, u bergan yechish usullari eng oddiylari edi. Undan tashqari, qadimgi davrlarda xitoylik matematiklarni ham shu kabi savollar qiziqtirgan. Evropada kvadrat tenglamalar faqat 13-asrning boshlarida yechila boshlandi, ammo keyinchalik ular Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab buyuk olimlar tomonidan o'z ishlarida qo'llanildi.