”, ya’ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz o'rganamiz kvadrat tenglama nima va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima

Muhim!

Tenglamaning darajasi noma'lumning eng yuqori darajasi bilan belgilanadi.

Agar noma'lumning maksimal darajasi "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" va "c" - berilgan raqamlar.

• "a" - birinchi yoki katta koeffitsient;
• "b" - ikkinchi koeffitsient;
• "c" bepul a'zo.

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c \u003d 0" kvadrat tenglamasining umumiy shakli bilan solishtirishingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Tenglama	Imkoniyatlar
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Yechish uchun chiziqli tenglamalardan farqli o'laroq kvadrat tenglamalar maxsus ildizlarni topish formulasi.

Eslab qoling!

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• kvadrat tenglamani "ax 2 + bx + c \u003d 0" umumiy ko'rinishiga keltiring. Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
• ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formulani qanday qo'llashni aniqlash uchun misoldan foydalanamiz. Kvadrat tenglamani yechamiz.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uning yordami bilan har qanday kvadrat tenglama yechiladi.

"x 1; 2 \u003d" formulasida ildiz ifodasi ko'pincha almashtiriladi
"b 2 - 4ac" "D" harfigacha va diskriminant deb ataladi. Diskriminant tushunchasi "Diskriminant nima" darsida batafsilroq muhokama qilinadi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqing.

x 2 + 9 + x = 7x

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani "ax 2 + bx + c \u003d 0" umumiy ko'rinishiga keltiramiz.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Endi siz ildizlar uchun formuladan foydalanishingiz mumkin.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Javob: x = 3

Kvadrat tenglamalarda ildiz bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat ildiz ostidagi formulada manfiy raqam paydo bo'lganda yuzaga keladi.

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalar yechimi". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishgan edik va endi biz bilan tanishamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u qanday yozilganligini tahlil qilamiz umumiy ko'rinish, va tegishli ta'riflarni bering. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyinchalik, to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning yechimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, unga tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x o'zgaruvchi, a , b va c ba'zi sonlar, a esa noldan farq qiladi.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Olingan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c \u003d 0 va a koeffitsienti birinchi yoki katta yoki x 2 koeffitsienti deb ataladi, b - ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti va c - bo'sh a'zo.

Masalan, 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, erkin had −3 ga teng. E'tibor bering, agar b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lsa, hozirgina keltirilgan misolda bo'lgani kabi qisqa shakl 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani yozish.

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamaning yozuvida aniq mavjud emas, bu esa bunday belgilarning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsienti −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab, qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 va hokazo. - qisqartirilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. Va 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday bajarilishini misol qilib olaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Qaror.

Bizga dastlabki tenglamaning ikkala qismini yetakchi koeffitsient 3 ga bo'linishini bajarish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz ushbu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ga teng, bu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 va hokazo (3) :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamani belgilashda a≠0 sharti mavjud. Bu shart a x 2 +b x+c=0 tenglama toʻliq kvadrat boʻlishi uchun zarur, chunki a=0 bilan u haqiqatda b x+c=0 koʻrinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar koeffitsientlardan kamida bittasi b , c nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bu nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamadan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 +0 x+c=0 ko'rinishini oladi va u a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 +b x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 +b x=0 shaklida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

• a x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
• b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
• va c=0 bo'lganda x 2 +b x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, albatta, har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik sodir bo'ladi, bu esa p≠0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmasligini bildiradi.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 \u003d 0 bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 \u003d 0 tenglamasiga teng, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglama bitta nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha chiqarilishi mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar va c≠0, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqing. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirish mumkin:

• c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
• va uning ikkala qismini a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati manfiy (masalan, agar a=1 va c=2 bo'lsa, u holda ) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va .

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Tenglamaning oddiy tovushli ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli boshqa x 2 ildizi bor. Ma’lumki, tenglamaga uning ildizlari o‘rniga x o‘rniga qo‘yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 − x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0 , bu bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 = −x 1 . Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'lib, u

• ildizlari yo'q, agar,
• ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liq bo`lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqing.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9·x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomonda manfiy son olinganligi sababli, bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7=0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana bitta to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz -x 2 +9=0. Biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 \u003d -9. Endi ikkala qismni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, biz bu yoki degan xulosaga kelamiz. Yakuniy javobni yozganimizdan so'ng: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 +b x=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama ikkita x=0 va a x+b=0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, oxirgisi chiziqli va x=−b/a ildiziga ega.

Demak, a x 2 +b x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Qaror.

Qavsdan x ni chiqaramiz, bu tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni ga bo'linadi oddiy kasr, topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• Bu tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
• Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
• Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda .
• Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga erishamiz.

Biz tahlil qilganimizda, oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

• bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
• bo'lsa, tenglama uning yagona ildizi ko'rinadigan , demak, , ko'rinishga ega bo'ladi;
• agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 a c ifodaning belgisi. Bu b 2 −4 a c ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga ko'ra kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga egami yoki yo'qmi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni qancha - bir yoki ikkita.

Biz tenglamaga qaytamiz, uni diskriminantning yozuvidan foydalanib qayta yozamiz: . Va xulosa qilamiz:

• agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
• nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki , uni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, kamaytirgandan so'ng, biz .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular ga o'xshaydi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4 a c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga urinayotganda, bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sondan kvadrat ildizni chiqarishga duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, ularni biz olgan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamani yechishda siz darhol ularning qiymatlarini hisoblash uchun ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebra kursida odatda shunday bo'ladi gaplashamiz murakkab haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va undan keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• diskriminant formulasi yordamida D=b 2 −4 a c uning qiymatini hisoblang;
• agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
• formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0 bo'lsa;
• diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz faqat diskriminant nolga teng bo'lsa, formuladan ham foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz, u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmini qo‘llash misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing nol diskriminant. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 +2 x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Qaror.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1 , b=2 va c=−6 . Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildizlar formulasi bilan topamiz, olamiz, bu erda bajarib olingan ifodalarni soddalashtirishimiz mumkin. ildiz belgisini faktoring keyin kasrni kamaytirish:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 +6 y+2=0 tenglamani yeching.

Qaror.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5 , b=6 va c=2 . Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktab odatda darhol javobni yozadi, unda ular haqiqiy ildizlar yo'qligini ko'rsatadilar va ular murakkab ildizlarni topmaydilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4 a c kvadrat tenglamalarni x da teng koeffitsientli (yoki oddiygina 2 n ga o'xshash koeffitsient bilan) yechish imkonini beruvchi ixchamroq formulani olish imkonini beradi. , masalan, yoki 14 ln5=2 7 ln5 ). Keling, uni olib chiqaylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x + c=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Bizga ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 −a c ifodasini D 1 deb belgilang (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining bor yoki yo'qligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani echish uchun sizga kerak bo'ladi

• D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
• Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
• Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

5 x 2 −6 x−32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , bu erda a=5 , n=−3 va c=−32 ko'rinishida qayta yozishingiz va 4-qismning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi" degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x −6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini qandaydir songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz har ikki tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini soddalashtirishga erishdik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala qismi odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala qismini 6 ga bo‘lib, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala qismini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bo'yicha amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala qismi LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 +4 x−18=0 .

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'ling, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2·x 2 −3·x+7=0 kvadrat tenglamadan 2·x 2 +3·x−7=0 yechimga o‘tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlarning formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Shaklning Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va . Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga teng, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin haddir. Masalan, 3 x 2 −7 x+22=0 kvadrat tenglama ko‘rinishida darhol uning ildizlari yig‘indisi 7/3, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22/3 ga teng deb aytishimiz mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamaga oid masalalar ham o'rganiladi maktab o'quv dasturi va universitetlarda. Ular a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ko'rinishidagi tenglamalar sifatida tushuniladi, bu erda x- o‘zgaruvchi, a,b,c – konstantalar; a<>0 . Muammo tenglamaning ildizlarini topishdir.

Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi

Kvadrat tenglama bilan ifodalangan funksiyaning grafigi paraboladir. Kvadrat tenglamaning yechimlari (ildizlari) parabolaning x o'qi bilan kesishgan nuqtalaridir. Bundan kelib chiqadiki, uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:
1) parabolaning x o'qi bilan kesishgan nuqtalari yo'q. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalari yuqoriga yoki pastki qismi pastga tushadi. Bunday hollarda kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas (uning ikkita murakkab ildizi bor).

2) parabolaning Ox o'qi bilan bir kesishish nuqtasi bor. Bunday nuqta parabolaning cho'qqisi deb ataladi va undagi kvadrat tenglama uning minimal yoki maksimal qiymatini oladi. Bunday holda, kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga (yoki ikkita bir xil ildizga) ega.

3) Oxirgi holat amalda qiziqroq - parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtasi mavjud. Bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi borligini anglatadi.

O'zgaruvchilarning vakolatlari bo'yicha koeffitsientlarni tahlil qilish asosida parabolaning joylashuvi haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.

1) Agar a koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabola yuqoriga, manfiy bo'lsa, parabola shoxlari pastga yo'naltiriladi.

2) Agar b koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, agar u manfiy qiymat olsa, o'ngda yotadi.

Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish

Kvadrat tenglamadan doimiyni o'tkazamiz

tenglik belgisi uchun ifodani olamiz

Ikkala tomonni 4a ga ko'paytiring

Chap tomonda to'liq kvadrat olish uchun ikkala qismga b ^ 2 qo'shing va transformatsiyani bajaring

Bu erdan topamiz

Kvadrat tenglamaning diskriminant formulasi va ildizlari

Diskriminant - bu radikal ifodaning qiymati, agar u musbat bo'lsa, tenglama formula bo'yicha hisoblangan ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi. Diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta yechimga ega (ikki mos keladigan ildiz), uni yuqoridagi formuladan D=0 uchun olish oson.Agar diskriminant manfiy bo'lsa, haqiqiy ildizlar bo'lmaydi. Biroq, kompleks tekislikdagi kvadrat tenglamaning yechimlarini o'rganish va ularning qiymati formula bilan hisoblanadi.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamaning ikkita ildizini ko'rib chiqing va ular asosida kvadrat tenglama tuzing.Vyeta teoremasining o'zi osongina yozuvdan kelib chiqadi: agar bizda shaklning kvadrat tenglamasi bo'lsa. u holda uning ildizlari yig‘indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan p koeffitsientiga, tenglama ildizlarining ko‘paytmasi esa q erkin hadga teng bo‘ladi. Yuqoridagi formula shunday bo'ladi: Agar klassik tenglamadagi a doimiysi nolga teng bo'lmasa, unda siz butun tenglamani unga bo'lishingiz va keyin Viet teoremasini qo'llashingiz kerak.

Faktorlar bo'yicha kvadrat tenglamaning grafigi

Vazifa qo'yilsin: kvadrat tenglamani omillarga ajratish. Uni amalga oshirish uchun avvalo tenglamani yechamiz (ildizlarni topamiz). Keyin topilgan ildizlarni kvadrat tenglamani kengaytirish formulasiga almashtiramiz.Bu masala yechiladi.

Kvadrat tenglama uchun topshiriqlar

Vazifa 1. Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

x^2-26x+120=0 .

Yechish: Koeffitsientlarni yozing va diskriminant formulasiga almashtiring

ildizi berilgan qiymat 14 ga teng bo'lsa, uni kalkulyator yordamida topish yoki uni tez-tez ishlatib eslab qolish oson, ammo qulaylik uchun maqolaning oxirida men sizga bunday vazifalarda tez-tez uchraydigan raqamlar kvadratlari ro'yxatini beraman. .
Topilgan qiymat ildiz formulasiga almashtiriladi

va biz olamiz

Vazifa 2. tenglamani yeching

2x2+x-3=0.

Yechish: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor, koeffitsientlarni yozing va diskriminantni toping


tomonidan ma'lum formulalar kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

Vazifa 3. tenglamani yeching

9x2 -12x+4=0.

Yechish: Bizda to‘liq kvadrat tenglama bor. Diskriminantni aniqlang

Ildizlar bir-biriga to'g'ri kelganda bizda vaziyat bor. Ildizlarning qiymatlarini formula bo'yicha topamiz

Vazifa 4. tenglamani yeching

x^2+x-6=0 .

Yechish: x uchun kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan hollarda Vyeta teoremasini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Uning sharti bo'yicha biz ikkita tenglamani olamiz

Ikkinchi shartdan ko'paytma -6 ga teng bo'lishi kerakligini olamiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan yechimlar juftligi (-3;2), (3;-2) mavjud. Birinchi shartni hisobga olgan holda, biz ikkinchi juft echimni rad qilamiz.
Tenglamaning ildizlari

5-topshiriq. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 18 sm, maydoni 77 sm 2 bo‘lsa, uning tomonlari uzunliklarini toping.

Yechish: To‘rtburchakning perimetrining yarmi qo‘shni tomonlari yig‘indisiga teng. x ni belgilaymiz - katta tomoni, u holda 18-x uning kichik tomoni. To'rtburchakning maydoni ushbu uzunliklarning mahsulotiga teng:
x(18x)=77;
yoki
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Tenglamaning diskriminantini toping

Biz tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz

Agar a x=11, keyin 18x=7 , teskarisi ham to'g'ri (agar x=7, u holda 21-x=9).

Masala 6. Kvadrat 10x 2 -11x+3=0 tenglamani ko‘paytmalarga ajrating.

Yechish: Tenglamaning ildizlarini hisoblang, buning uchun diskriminantni topamiz

Topilgan qiymatni ildizlar formulasiga almashtiramiz va hisoblaymiz

Kvadrat tenglamani ildizlar bo'yicha kengaytirish formulasini qo'llaymiz

Qavslarni kengaytirib, biz shaxsni olamiz.

Parametrli kvadrat tenglama

Misol 1. Parametrning qaysi qiymatlari uchun a ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 tenglamasi bitta ildizga egami?

Yechish: a=3 qiymatini to‘g‘ridan-to‘g‘ri almashtirsak, uning yechimi yo‘qligini ko‘ramiz. Keyinchalik, biz nol diskriminant bilan tenglama 2 ko'plikning bitta ildiziga ega ekanligidan foydalanamiz. Keling, diskriminantni yozamiz

uni soddalashtiring va nolga tenglashtiring

Biz a parametriga nisbatan kvadrat tenglamani oldik, uning yechimini Vyeta teoremasi yordamida olish oson. Ildizlarning yig'indisi 7 ga, mahsuloti esa 12 ga teng. Oddiy sanab o'tish orqali biz 3.4 raqamlari tenglamaning ildizlari bo'lishini aniqlaymiz. Biz hisob-kitoblarning boshida a=3 yechimni rad qilganimiz uchun yagona to'g'ri bo'ladi - a=4. Shunday qilib, a = 4 uchun tenglama bitta ildizga ega.

Misol 2. Parametrning qaysi qiymatlari uchun a , tenglama a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 bir nechta ildiz bormi?

Yechish: Avval yagona nuqtalarni ko'rib chiqing, ular a=0 va a=-3 qiymatlari bo'ladi. a=0 bo‘lganda, tenglama 6x-9=0 ko‘rinishga soddalashtiriladi; x=3/2 va bitta ildiz bo'ladi. a= -3 uchun biz 0=0 identifikatsiyasini olamiz.
Diskriminantni hisoblang

va u ijobiy bo'lgan a ning qiymatlarini toping

Birinchi shartdan biz a>3 ni olamiz. Ikkinchisi uchun biz tenglamaning diskriminantini va ildizlarini topamiz


Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni aniqlaymiz. a=0 nuqtani almashtirib, biz hosil bo'lamiz 3>0 . Demak, (-3; 1/3) oraliqdan tashqarida funksiya manfiy. Nuqtani unutmang a=0 Buni chiqarib tashlash kerak, chunki asl tenglamada bitta ildiz bor.
Natijada muammoning shartini qanoatlantiradigan ikkita intervalni olamiz

Amalda shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi, vazifalarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va bir-birini istisno qiladigan shartlarni hisobga olishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni yechish formulalarini yaxshilab o'rganing, ular ko'pincha turli masalalar va fanlarda hisob-kitoblarda kerak bo'ladi.

Ko'p oddiy bo'lmagan formulalar tufayli bu mavzu dastlab murakkab ko'rinishi mumkin. Kvadrat tenglamalarning o'zi nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari ham diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formula mavjud. Eslab qolish unchalik oson emas. Bunday tenglamalarni tez-tez yechishdan keyingina bu mumkin. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda birinchi navbatda eng katta daraja yozilsa, keyin esa - kamayish tartibida ularning aniq belgilanishi taklif etiladi. Ko'pincha atamalar bir-biridan ajralib turadigan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, eslatma bilan tanishamiz. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu yozuvlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi belgiga keltiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

• eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
• javob bitta raqam bo'ladi;
• Tenglama umuman ildizga ega emas.

Va qaror oxirigacha etkazilmagan bo'lsa-da, ma'lum bir holatda variantlardan qaysi biri tushib ketishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalar turli xil yozuvlarga ega bo'lishi mumkin. Ular har doim ham kvadrat tenglamaning umumiy formulasi kabi ko'rinmaydi. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida nima yozilgan edi to'liq tenglama. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqacha narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari yo'qolishi mumkin bo'lgan shartlar. "A" soni hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tenglamalarning to'liq bo'lmagan shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud, to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikki raqam, ikkinchisi esa uchinchi raqam bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Tenglamaning ildizlarini hisoblash uchun bu raqam ma'lum bo'lishi kerak. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikni ishlatishingiz kerak, bu to'rtta raqamga ega bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz raqamlarni olishingiz mumkin turli belgilar. Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Salbiy raqam bilan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, javob bitta bo'ladi.

Toʻliq kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki birinchi navbatda siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lgandan so'ng, siz o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanishingiz kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz bunday formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula besh. Xuddi shu yozuvdan ko'rinib turibdiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarning yechimi hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib olish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ehtiyoj yo'q. Va sizga diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozilgan narsalar kerak bo'lmaydi.

Avval o'ylab ko'ring to'liq bo'lmagan tenglama ikkinchi raqamda. Bu tenglikda noma’lum qiymatni qavsdan chiqarib, chiziqli tenglamani yechish kerak, bu esa qavs ichida qoladi. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan omil mavjud. Ikkinchisi chiziqli tenglamani yechish orqali olinadi.

Uchinchi raqamdagi to'liq bo'lmagan tenglama raqamni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum oldida koeffitsientga bo'lish kerak. Faqat kvadrat ildizni ajratib olish qoladi va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Quyida kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni echishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi harakatlar keltirilgan. Ular o'quvchiga e'tiborsizlik tufayli xatolardan qochishga yordam beradi. “Kvadrik tenglamalar (8-sinf)” keng mavzusini o‘rganishda ana shu kamchiliklar yomon baholarga sabab bo‘lmoqda. Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror odat bo'ladi.

• Avval siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, birinchi navbatda o'zgaruvchining eng katta darajasiga ega bo'lgan atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - faqat raqam.

• Agar "a" koeffitsientidan oldin minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganish uchun yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar ishorani teskari tomonga o'zgartiradi.

• Xuddi shu tarzda, fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinchi tenglama: x 2 - 7x \u003d 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi formulada ta'riflanganidek echiladi.

Qavsdan so'ng shunday bo'ladi: x (x - 7) \u003d 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 \u003d 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 \u003d 0. X 2 \u003d 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada ta'riflanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Uchinchi tenglama: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Bu erda va quyida kvadrat tenglamalarni echish ularni standart shaklga qayta yozishdan boshlanadi: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va hamma narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 \u003d 0. To'rtinchi formulaga ko'ra, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ma'lum bo'ladiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formula bo'yicha hisoblash kerak. Unga ko'ra, ma'lum bo'lishicha, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x \u003d 0 bunga aylantiriladi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q."

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formula qo'llanilgandan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Oltinchi tenglama (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) o'zgartirishlarni talab qiladi, bu esa qavslarni ochishdan oldin o'xshash atamalarni keltirish kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida shunday ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. O'xshash atamalar hisoblangandan so'ng, tenglama x 2 ko'rinishini oladi. - x \u003d 0. U to'liq bo'lmadi. Bunga o'xshash allaqachon biroz yuqoriroq ko'rib chiqilgan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.

Kvadrat tenglamalar. Diskriminant. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Muddatida kvadrat tenglama kalit so'z "kvadrat". Bu tenglamada shuni anglatadi albatta x kvadrat bo'lishi kerak. Bunga qo'shimcha ravishda, tenglamada faqat x (birinchi darajaga) va shunchaki raqam bo'lishi mumkin (yoki bo'lmasligi mumkin!) (bepul a'zo). Va ikkitadan kattaroq darajada x bo'lmasligi kerak.

Matematik nuqtai nazardan, kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

Bu yerda a, b va c- ba'zi raqamlar. b va c- mutlaqo har qanday, lekin a- noldan boshqa narsa. Misol uchun:

Bu yerda a =1; b = 3; c = -4

Bu yerda a =2; b = -0,5; c = 2,2

Bu yerda a =-3; b = 6; c = -18

Xo'sh, siz tushundingiz ...

Ushbu kvadrat tenglamalarda, chapda, mavjud to'liq to'plam a'zolari. x kvadrat koeffitsient bilan a, x koeffitsienti bilan birinchi darajaga b va bepul a'zosi

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.

Agar b= 0, biz nimani olamiz? Bizda ... bor X birinchi darajada yo'qoladi. Bu nolga ko'paytirilganda sodir bo'ladi.) Masalan, shunday bo'ladi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsient bo'lsa b va c nolga teng bo'lsa, u yanada oddiyroq:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Bu juda mantiqiy.) E'tibor bering, x kvadrat barcha tenglamalarda mavjud.

Aytgancha, nima uchun a nol bo'lishi mumkin emasmi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz a nol.) Kvadratdagi X yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va bu boshqacha qilingan ...

Bu kvadrat tenglamalarning barcha asosiy turlari. To'liq va to'liqsiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni yechish oson. Formulalar bo'yicha va aniq oddiy qoidalar. Birinchi bosqichda sizga kerak berilgan tenglama olib kelishi standart shakl, ya'ni. ko'rinishga:

Agar tenglama allaqachon sizga ushbu shaklda berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas.) Asosiysi, barcha koeffitsientlarni to'g'ri aniqlash, a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant. Ammo u haqida quyida batafsilroq. Ko'rib turganingizdek, x ni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va c. Bular. kvadrat tenglamadan koeffitsientlar. Faqat qiymatlarni ehtiyotkorlik bilan almashtiring a, b va c Ushbu formulaga kiriting va hisoblang. O'rinbosar belgilaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

a =1; b = 3; c= -4. Bu erda biz yozamiz:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, siz xato qilolmaysizmi? Xo'sh, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar qadriyatlar belgilari bilan chalkashlikdir a, b va c. To'g'rirog'i, ularning belgilari bilan emas (qaerda chalkashib ketish kerak?), Lekin almashtirish bilan salbiy qiymatlar ildizlarni hisoblash formulasiga. Bu erda ma'lum raqamlar bilan formulaning batafsil yozuvi saqlanadi. Hisoblashda muammolar mavjud bo'lsa, shunday qiling!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Aytaylik, siz birinchi marta kamdan-kam hollarda javob olishingizni bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Qo'shimcha satr yozish uchun 30 soniya kerak bo'ladi va xatolar soni keskin pasayadi. Shunday qilib, biz barcha qavslar va belgilar bilan batafsil yozamiz:

Bu qadar ehtiyotkorlik bilan bo'yash juda qiyin ko'rinadi. Lekin shunchaki ko'rinadi. Urunib ko'r. Xo'sh, yoki tanlang. Qaysi biri yaxshiroq, tez yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni xursand qilaman. Biroz vaqt o'tgach, hamma narsani juda ehtiyotkorlik bilan bo'yashga hojat qolmaydi. Bu shunchaki to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, siz quyida tavsiflangan amaliy usullarni qo'llasangiz. Minuslar to'plami bilan bu yomon misol osongina va xatosiz hal qilinadi!

Ammo, ko'pincha, kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Bilasizmi?) Ha! Bu to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

Ularni umumiy formula bilan ham yechish mumkin. Bu erda nima teng ekanligini to'g'ri aniqlashingiz kerak a, b va c.

Tushundimi? Birinchi misolda a = 1; b = -4; a c? U umuman mavjud emas! Xo'sh, ha, bu to'g'ri. Matematikada bu shuni anglatadi c = 0 ! Hammasi shu. Formula o‘rniga nolni qo‘ying c, va hamma narsa biz uchun ishlaydi. Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday. Faqat nol bizda bu yerda yo'q bilan, a b !

Lekin toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni ancha oson yechish mumkin. Hech qanday formulalarsiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Chap tomonda nima qilish mumkin? Qavslar ichidan X ni olib tashlashingiz mumkin! Keling, chiqarib olaylik.

Va bundan nima? Va agar mahsulot nolga teng bo'lsa va faqat omillardan birortasi nolga teng bo'lsa! Ishonmaysizmi? Xo'sh, unda nolga teng bo'lmagan ikkita raqamni toping, ular ko'paytirilganda nolga teng bo'ladi!
Ishlamaydi? Nimadur...
Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Hamma narsa. Bular tenglamamizning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirsak, biz 0 = 0 to'g'ri identifikatsiyani olamiz. Ko'rib turganingizdek, yechim umumiy formuladan ancha sodda. Aytgancha, qaysi X birinchi, qaysi ikkinchisi bo'lishini ta'kidlayman - bu mutlaqo befarq. Tartibda yozish oson x 1- qaysi biri kamroq bo'lsa x 2- bu ko'proq.

Ikkinchi tenglamani ham oson yechish mumkin. Biz 9 ni o'ng tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:

9 dan ildizni ajratib olish qoladi va hammasi. Oling:

shuningdek, ikkita ildiz . x 1 = -3, x 2 = 3.

Barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar shunday yechiladi. Yoki qavs ichidan x olib, yoki oddiy transfer raqamlar o'ngga, keyin ildiz chiqarish.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, birinchi holatda siz X dan ildizni chiqarib olishingiz kerak bo'ladi, bu qandaydir tushunarsiz, ikkinchi holatda esa qavslardan olib tashlash uchun hech narsa yo'q ...

Diskriminant. Diskriminant formulasi.

Sehrli so'z diskriminant ! Nodir o'rta maktab o'quvchisi bu so'zni eshitmagan! "Diskriminant orqali qaror qabul qiling" iborasi ishonch va ishonch bag'ishlaydi. Chunki diskriminantdan hiyla-nayrang kutishning hojati yo'q! Bu oddiy va ishlov berishda muammosiz.) Men sizga eng ko'p narsani eslataman umumiy formula yechimlar uchun har qanday kvadrat tenglamalar:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant deb ataladi. Diskriminant odatda harf bilan belgilanadi D. Diskriminant formulasi:

D = b 2 - 4ac

Va bu ifodaning o'ziga xos xususiyati nimada? Nega u alohida nomga loyiq? Nimada diskriminantning ma'nosi? Hammasidan keyin; axiyri -b, yoki 2a bu formulada ular maxsus nom bermaydilar ... Harflar va harflar.

Gap shundaki. Ushbu formuladan foydalanib, kvadrat tenglamani yechishda mumkin faqat uchta holat.

1. Diskriminant musbat. Bu shuni anglatadiki, siz undan ildizni olishingiz mumkin. Ildiz yaxshi yoki yomon olinadimi - bu boshqa savol. Printsipial jihatdan olingan narsa muhim. Keyin kvadrat tenglamangiz ikkita ildizga ega. Ikki xil yechim.

2. Diskriminant nolga teng. Keyin sizda bitta yechim bor. Chunki numeratorga nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi. To'g'ri aytganda, bu bitta ildiz emas, balki ikkita bir xil. Ammo, soddalashtirilgan versiyada bu haqda gapirish odatiy holdir bitta yechim.

3. Diskriminant manfiy. Salbiy son kvadrat ildizni olmaydi. Ha mayli. Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Rostini aytsam, at oddiy yechim kvadrat tenglamalar, diskriminant tushunchasi ayniqsa talab qilinmaydi. Biz formuladagi koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz va hisobga olamiz. U erda hamma narsa o'z-o'zidan paydo bo'ladi va ikkita ildiz, bitta va bitta emas. Biroq, ko'proq hal qilishda qiyin vazifalar, bilimsiz ma'no va diskriminant formulasi yetarli emas. Ayniqsa - parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar GIA va Yagona davlat imtihonlari uchun aerobatikadir!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarni yechish usullari siz eslagan diskriminant orqali. Yoki o'rgangan, bu ham yomon emas.) Siz qanday qilib to'g'ri aniqlashni bilasiz a, b va c. Bilasizmi qanday diqqat bilan ularni ildiz formulasiga almashtiring va diqqat bilan natijani hisoblang. Bu erda kalit so'z ekanligini tushundingizmi - diqqat bilan?

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Aynan e'tiborsizlik tufayli bo'lganlar ... Buning uchun og'riqli va haqoratli ...

Birinchi qabul . Kvadrat tenglamani standart shaklga keltirishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Faraz qilaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildizlarning formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c. Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, x kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin bepul a'zo. Mana bunday:

Va yana, shoshilmang! X kvadratidan oldingi minus sizni juda xafa qilishi mumkin. Uni unutish oson... Minusdan qutuling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'rgatilgandek! Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Va endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin. O'zingiz qaror qiling. Siz 2 va -1 ildizlari bilan yakunlashingiz kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlaringizni tekshiring! Vyeta teoremasiga ko'ra. Xavotir olmang, men hammasini tushuntiraman! Tekshirish oxirgi narsa tenglama. Bular. biz ildizlarning formulasini yozganimiz. Agar (bu misolda bo'lgani kabi) koeffitsient a = 1, ildizlarni osongina tekshiring. Ularni ko'paytirish kifoya. Siz bepul muddat olishingiz kerak, ya'ni. bizning holatlarimizda -2. E'tibor bering, 2 emas, balki -2! bepul a'zo sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, demak, ular allaqachon biror joyda aralashib ketishgan. Xato qidiring.

Agar u ishlagan bo'lsa, siz ildizlarni katlashingiz kerak. Oxirgi va yakuniy tekshirish. Nisbatan bo'lishi kerak b bilan qarama-qarshi belgisi. Bizning holatda -1+2 = +1. Koeffitsient b x dan oldin joylashgan , -1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu faqat x kvadrati sof, koeffitsientli misollar uchun juda oddiy a = 1. Lekin hech bo'lmaganda bunday tenglamalarni tekshiring! Hamma narsa kamroq xatolar bo'ladi.

Uchinchi qabul . Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! “Tenglamalarni qanday yechish kerak? Aynilikni o‘zgartirish” darsida ko‘rsatilgandek tenglamani umumiy maxrajga ko‘paytiring. Kasrlar, xatolar bilan ishlashda, ba'zi sabablarga ko'ra, ko'tarilish ...

Aytgancha, men soddalashtirish uchun bir nechta minuslar bilan yomon misolni va'da qildim. Arzimaydi! Mana u.

Minuslarda adashmaslik uchun tenglamani -1 ga ko'paytiramiz. Biz olamiz:

Hammasi shu! Qaror qabul qilish qiziqarli!

Shunday qilib, keling, mavzuni takrorlaymiz.

Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni butun tenglamani -1 ga ko'paytirish orqali yo'q qilamiz.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan koeffitsientga ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

4. Agar x kvadrati sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechimni Vyeta teoremasi bilan osongina tekshirish mumkin. Qiling!

Endi siz qaror qabul qilishingiz mumkin.)

Tenglamalarni yechish:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Javoblar (tartibsiz):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - har qanday raqam

x 1 = -3
x 2 = 3

yechimlar yo'q

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Hammasi mos keladimi? Yaxshi! Kvadrat tenglamalar sizniki emas Bosh og'rig'i. Birinchi uchtasi chiqdi, ammo qolganlari chiqmadimi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarda emas. Muammo tenglamalarni bir xil o'zgartirishda. Havolani ko'rib chiqing, bu foydali.

To'liq ishlamayaptimi? Yoki umuman ishlamayaptimi? Keyin 555-bo'lim sizga yordam beradi.U erda bu misollarning barchasi suyaklar bo'yicha saralangan. Koʻrsatilmoqda asosiy yechimdagi xatolar. Albatta, u ham foydalanish haqida gapiradi bir xil o'zgarishlar turli tenglamalarni yechishda. Ko'p yordam beradi!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.