Lägg ner olika rötter. Regler för att subtrahera rötter

Kvadratroten ur ett tal X ringde ett nummer A, som är i färd med att multiplicera sig själv ( A*A) kan ge ett nummer X.
De där. A * A = A 2 = X, och √X = A.

Över kvadratrötter ( √x), precis som med andra tal, kan du utföra aritmetiska operationer som subtraktion och addition. För att subtrahera och lägga till rötter måste de kopplas samman med tecken som motsvarar dessa åtgärder (till exempel √x- √y ).
Och ta sedan med rötterna till dem enklaste formen- om det finns liknande mellan dem är det nödvändigt att göra en cast. Det består i det faktum att koefficienterna för liknande termer med tecknen för motsvarande termer tas, sedan omges de inom parentes, och den gemensamma roten visas utanför multiplikatorparenteserna. Koefficienten som vi har erhållit är förenklad enligt de vanliga reglerna.

Steg 1. Extrahera kvadratrötter

Först, för att lägga till kvadratrötter, måste du först extrahera dessa rötter. Detta kan göras om siffrorna under rottecknet är perfekta kvadrater. Ta till exempel det givna uttrycket √4 + √9 . Första numret 4 är kvadraten på talet 2 . Andra nummer 9 är kvadraten på talet 3 . Följande jämställdhet kan således erhållas: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Allt, exemplet är löst. Men det blir inte alltid så.

Steg 2. Ta ut multiplikatorn för ett tal under roten

Om det inte finns några hela kvadrater under rottecknet, kan du försöka ta multiplikatorn av talet ut under rottecknet. Ta till exempel uttrycket √24 + √54 .

Låt oss faktorisera siffrorna:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

I lista 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tas ut under kvadratrottecknet. I lista 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får jämställdheten:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Med tanke på detta exempel får vi bort faktorn under rottecknet, vilket förenklar det givna uttrycket.

Steg 3. Minska nämnaren

Tänk på följande situation: summan av två kvadratrötter är nämnaren för ett bråk, till exempel, A / (√a + √b).
Nu står vi inför uppgiften att "bli av med irrationaliteten i nämnaren".
Låt oss använda följande metod: multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a - √b.

Vi får nu den förkortade multiplikationsformeln i nämnaren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På liknande sätt, om nämnaren innehåller skillnaden mellan rötterna: √a - √b, multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a + √b.

Låt oss ta en bråkdel som exempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Ett exempel på komplex nämnarreduktion

Låt oss nu överväga nog komplext exempel bli av med irrationalitet i nämnaren.

Låt oss ta en bråkdel som exempel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du måste ta dess täljare och nämnare och multiplicera med uttrycket √2 + √3 - √5 .

Vi får:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Steg 4. Beräkna det ungefärliga värdet på räknaren

Om du bara behöver ett ungefärligt värde kan detta göras på en miniräknare genom att beräkna värdet av kvadratrötter. Separat, för varje nummer, beräknas och registreras värdet med erforderlig noggrannhet, som bestäms av antalet decimaler. Vidare utförs alla nödvändiga operationer, som med vanliga siffror.

Uppskattat beräkningsexempel

Det är nödvändigt att beräkna det ungefärliga värdet av detta uttryck √7 + √5 .

Som ett resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Observera: under inga omständigheter bör kvadratrötter läggas till som primtal, detta är helt oacceptabelt. Det vill säga om vi lägger till Roten ur av fem och av tre kan vi inte få kvadratroten av åtta.

Användbara råd: om du bestämmer dig för att faktorisera ett tal, för att härleda en kvadrat från under rottecknet, måste du göra en omvänd kontroll, det vill säga multiplicera alla faktorer som resulterade från beräkningarna och det slutliga resultatet av detta matematisk beräkning bör vara det tal vi ursprungligen fick.

I matematik kan rötter vara kvadratiska, kubiska eller ha någon annan exponent (potens), som skrivs till vänster ovanför rottecknet. Uttrycket under rottecknet kallas för rotuttrycket. Rottillägg liknar termtillägg. algebraiska uttryck, det vill säga det kräver definitionen av liknande rötter.

Steg

Del 1 av 2: Hitta rötter

Rotbeteckning. Ett uttryck under rottecknet () betyder att det är nödvändigt att extrahera en rot av en viss grad från detta uttryck.

Roten betecknas med ett tecken.
Rotens index (grad) skrivs till vänster ovanför rottecknet. Till exempel skrivs kubroten av 27 som: (27)
Om exponenten (graden) av roten saknas, anses exponenten vara lika med 2, det vill säga det är kvadratroten (eller roten av den andra graden).
Talet som skrivs före rottecknet kallas en multiplikator (det vill säga, detta tal multipliceras med roten), till exempel 5 (2)
Om det inte finns någon faktor framför roten är den lika med 1 (kom ihåg att vilket tal som helst multiplicerat med 1 är lika med sig självt).
Om du arbetar med rötter för första gången, gör lämpliga anteckningar om multiplikatorn och exponenten för roten för att inte bli förvirrad och bättre förstå deras syfte.

Kom ihåg vilka rötter som kan vikas och vilka som inte kan. Precis som du inte kan lägga till olika termer i ett uttryck, som 2a + 2b 4ab, kan du inte lägga till olika rötter.

Du kan inte lägga till rötter med olika rotuttryck, till exempel (2) + (3) (5). Men du kan lägga till tal under samma rot, till exempel (2 + 3) = (5) (kvadratroten ur 2 är ungefär 1,414, kvadratroten ur 3 är ungefär 1,732 och kvadratroten ur 5 är ungefär 2,236 ).

Du kan inte lägga till rötter med samma rotuttryck, men olika exponenter, till exempel (64) + (64) (denna summa är inte lika med (64), eftersom kvadratroten ur 64 är 8, är kubroten ur 64 4, 8 + 4 = 12, vilket är mycket större än den femte roten av 64, vilket är ungefär 2,297).

Del 2 av 2: Förenkla och lägga till rötter

Identifiera och gruppera liknande rötter. Liknande rötter är rötter som har samma exponenter och samma rotuttryck. Tänk till exempel på uttrycket:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Skriv först om uttrycket så att rötter med samma exponent är i serie.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Skriv sedan om uttrycket så att rötter med samma exponent och samma rotuttryck ligger i serie.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Förenkla dina rötter. För att göra detta, sönderdela (om möjligt) de radikala uttrycken i två faktorer, varav den ena tas ut under roten. I detta fall multipliceras det återgivna talet och rotfaktorn.

I exemplet ovan, faktor 50 till 2*25 och nummer 32 till 2*16. Från 25 och 16 kan du extrahera kvadratrötterna (5 respektive 4) och ta ut 5 och 4 under roten, respektive multiplicera dem med faktorerna 2 och 1. Således får du ett förenklat uttryck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Talet 81 kan faktoriseras till 3 * 27, och kubroten av 3 kan tas från talet 27. Detta nummer 3 kan tas ut under roten. Därmed får du ett ännu mer förenklat uttryck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Lägg till faktorer med liknande rötter. I vårt exempel finns det liknande kvadratrötter av 2 (de kan läggas till) och liknande kvadratrötter av 3 (de kan också läggas till). På kubikroten av 3 finns det inga sådana rötter.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Slutligt förenklat uttryck: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Det finns inga allmänt vedertagna regler för i vilken ordning rötter skrivs i ett uttryck. Därför kan du skriva rötter i stigande ordning av deras exponenter och i stigande ordning av radikala uttryck.

OBS, bara IDAG!

Allt intressant

Siffran som står under rottecknet stör ofta lösningen av ekvationen, det är obekvämt att arbeta med det. Även om det höjs till en potens, bråktal eller inte kan representeras som ett heltal till en viss grad, kan man försöka härleda det från...

En rot av ett tal x är ett tal som, när det höjs till rotens potens, kommer att vara lika med x. Multiplikatorn är talet som multipliceras. Det vill säga, i ett uttryck som x*ª-&radic-y måste du lägga till x under roten. Instruktion 1 Bestäm graden ...

Om rotuttrycket innehåller en uppsättning matematiska operationer med variabler, är det ibland, som ett resultat av dess förenkling, möjligt att få ett relativt enkelt värde, varav en del kan tas ut under roten. Denna förenkling är användbar...

Aritmetiska operationer med rötter av olika grader kan avsevärt förenkla beräkningar inom fysik och teknik och göra dem mer exakta. När du multiplicerar och dividerar är det bekvämare att inte extrahera roten från varje faktor eller utdelning och divisor, utan först ...

Kvadratroten ur talet x är talet a, som multiplicerat med sig självt ger talet x: a * a = a^2 = x, x = a. Som med alla tal kan du utföra aritmetiska operationer med addition och subtraktion på kvadratrötter. Instruktion...

En rot i matematik kan ha två betydelser: det är en aritmetisk operation och var och en av lösningarna till en ekvation, algebraisk, parametrisk, differential eller någon annan. Instruktion 1Roten till den n:e graden av talet a är ett sådant tal att ...

När man utför olika aritmetiska operationer med rötter är det ofta nödvändigt att kunna omvandla radikala uttryck. För att förenkla beräkningarna kan det vara nödvändigt att ta faktorn ur radikalens tecken eller lägga den under den. Denna åtgärd kan...

Roten är ikonen som representerar matematisk operation hitta ett sådant nummer, vars höjning till den makt som anges före rotens tecken bör ge det tal som anges under just detta tecken. Ofta för att lösa problem där det finns ...

Rotens tecken i de matematiska vetenskaperna kallas symbol för rötter. Siffran under rottecknet kallas det radikala uttrycket. I avsaknad av en exponent är roten en kvadrat, annars indikerar figuren ...

aritmetisk rot n:e graden från ett reellt tal kallas a ett sådant icke-negativt tal x, n:e graden som är lika med talet a. De där. (n) a = x, x^n = a. Existera olika sätt tillägg aritmetisk rot och ett rationellt tal...

Den n:te roten av ett reellt tal a är ett tal b för vilket likheten b^n = a är sann. Udda rötter finns för negativa och positiva tal, och jämna rötter finns bara för positiva tal.

Kvadratroten ur ett tal X ringde ett nummer A, som är i färd med att multiplicera sig själv ( A*A) kan ge ett nummer X.
De där. A * A = A 2 = X, och √X = A.

Över kvadratrötter ( √x), precis som med andra tal, kan du utföra aritmetiska operationer som subtraktion och addition. För att subtrahera och lägga till rötter måste de kopplas samman med tecken som motsvarar dessa åtgärder (till exempel √x - √y ).
Och ta sedan rötterna till sin enklaste form - om det finns liknande mellan dem måste du göra en gjutning. Det består i det faktum att koefficienterna för liknande termer med tecknen för motsvarande termer tas, sedan omges de inom parentes, och den gemensamma roten visas utanför multiplikatorparenteserna. Koefficienten som vi har erhållit är förenklad enligt de vanliga reglerna.

Steg 1. Extrahera kvadratrötter

Steg 2. Ta ut multiplikatorn för ett tal under roten

Om det inte finns några hela kvadrater under rottecknet, kan du försöka ta multiplikatorn av talet ut under rottecknet. Ta till exempel uttrycket √24 + √54 .

Låt oss faktorisera siffrorna:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

I lista 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tas ut under kvadratrottecknet. I lista 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får jämställdheten:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Med tanke på detta exempel får vi bort faktorn under rottecknet, vilket förenklar det givna uttrycket.

Steg 3. Minska nämnaren

Vi får nu den förkortade multiplikationsformeln i nämnaren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På liknande sätt, om nämnaren innehåller skillnaden mellan rötterna: √a - √b, multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a + √b.

Låt oss ta en bråkdel som exempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ett exempel på komplex nämnarreduktion

Nu ska vi överväga ett ganska komplicerat exempel på att bli av med irrationalitet i nämnaren.

Låt oss ta en bråkdel som exempel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du måste ta dess täljare och nämnare och multiplicera med uttrycket √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Steg 4. Beräkna det ungefärliga värdet på räknaren

Uppskattat beräkningsexempel

Det är nödvändigt att beräkna det ungefärliga värdet av detta uttryck √7 + √5 .

Som ett resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Observera: under inga omständigheter bör kvadratrötter läggas till som primtal, detta är helt oacceptabelt. Det vill säga om du lägger till kvadratroten ur fem och tre kan vi inte få kvadratroten ur åtta.

Regler för att subtrahera rötter

1. Roten av graden från produkten av icke-negativa tal är lika med produkten av rötterna av samma grad från faktorerna: där (regeln för att extrahera roten från produkten).

2. Om , då y (regeln för att extrahera roten från en bråkdel).

3. Om då (regeln att extrahera roten från roten).

4. Om då regeln för att höja en rot till en makt).

5. Om då var, d.v.s. rotindexet och det radikala uttrycksindexet kan multipliceras med samma tal.

6. Om då 0, dvs ett större positivt radikalt uttryck motsvarar ett större värde på roten.

7. Alla ovanstående formler används ofta i omvänd ordning(dvs höger till vänster). Till exempel,

(regeln för multiplikation av rötter);

(regeln för att dela rötterna);

8. Regeln för att ta ut multiplikatorn under rotens tecken. På

9. Omvänt problem - att införa en faktor under rotens tecken. Till exempel,

10. Förstörelse av irrationalitet i nämnaren av ett bråk.

Låt oss överväga några typiska fall.

Ordets betydelse Förklara innebörden av orden: lag, ockrare, gäldenär-slav. förklara innebörden av orden: lag, ockrare, gäldenärsslav. DELICIOUS STRAWBERRY (Gäst) Skolfrågor om ämnet 1. Vilka är de tre typerna […]
Behöver du tillstånd för en walkie-talkie i en bil? var ska man läsa? Du måste ändå registrera din radiostation. Walkie-talkies som fungerar med en frekvens på 462MHz, om du inte är en representant för inrikesministeriet, […]
Enstaka skattesats - 2018 Den gemensamma skattesatsen - 2018 för företagare-individer i den första och andra gruppen beräknas som en procentandel av existensminimum och minimilönen som fastställdes den 1 januari […]
Avito försäkring LAGLIGHETSGARANTI. Har du bestämt dig för att utfärda en OSAGO-e-postadress på egen hand, men ingenting fungerar för dig? Få inte panik! !!Jag kommer att ange alla nödvändiga uppgifter åt dig i den elektroniska ansökan av […]
Förfarandet för att beräkna och betala punktskatt Punktskatt är en av de indirekta skatterna på varor och tjänster, som ingår i deras kostnad. Punktskatt skiljer sig från moms genom att den påförs […]
Bilaga. Regler för markanvändning och utveckling av staden Rostov-on-Don Bilaga till stadsdumans beslut av den 17 juni 2008 N 405 Regler för markanvändning och utveckling av staden Rostov-on-Don Med ändringar och [... ]

Till exempel,

11. Tillämpning av förkortade multiplikationsidentiteter på operationer med aritmetiska rötter:

12. Faktorn framför roten kallas dess koefficient. Till exempel är Here 3 en faktor.

13. Rötter (radikaler) kallas lika om de har samma rotexponenter och samma radikala uttryck, men skiljer sig bara i koefficienten. För att bedöma om dessa rötter (radikaler) är lika eller inte, måste du reducera dem till sin enklaste form.

Till exempel, och är liknande eftersom

ÖVNINGAR MED LÖSNINGAR

1. Förenkla uttryck:

Beslut. 1) Det är ingen mening att multiplicera rotuttrycket, eftersom var och en av faktorerna representerar kvadraten på ett heltal. Låt oss använda regeln att extrahera roten från produkten:

I framtiden kommer sådana åtgärder att utföras muntligt.

2) Låt oss försöka, om möjligt, representera det radikala uttrycket som en produkt av faktorer, som var och en är kuben av ett heltal, och tillämpa regeln om produktens rot:

2. Hitta värdet på uttrycket:

Beslut. 1) Enligt regeln att extrahera roten från en bråkdel har vi:

3) Vi transformerar de radikala uttrycken och extraherar roten:

3. Förenkla när

Beslut. När man extraherar en rot från en rot multipliceras rötternas index, och rotuttrycket förblir oförändrat.

Om det finns en koefficient före roten under roten, innan du utför operationen att extrahera roten, anges denna koefficient under tecknet för radikalen framför vilken den står.

Baserat på ovanstående regler extraherar vi de två sista rötterna:

4. Höj till en makt:

Beslut. När man höjer en rot till en potens förblir rotexponenten oförändrad, och de radikala uttrycksexponenterna multipliceras med exponenten.

(eftersom det är definierat, alltså );

Om en given rot har en koefficient, så höjs denna koefficient till en potens separat och resultatet skrivs som en koefficient vid roten.

Här använde vi regeln att rotens index och det radikala uttryckets index kan multipliceras med samma tal (vi multiplicerade med d.v.s. dividerat med 2).

Till exempel eller

4) Uttrycket inom parentes, som representerar summan av två olika radikaler, kommer att kuberas och förenklas:

Eftersom vi har:

5. Eliminera irrationalitet i nämnaren:

Beslut. För att eliminera (förstöra) irrationalitet i nämnaren av ett bråk, måste du hitta det enklaste av uttrycken, som i produkten med nämnaren ger rationellt uttryck, och multiplicera täljaren och nämnaren för detta bråktal med den hittade faktorn.

Till exempel, om det finns ett binomial i nämnaren för ett bråk, så måste täljaren och nämnaren för bråket multipliceras med uttrycket konjugerat med nämnaren, det vill säga summan måste multipliceras med motsvarande skillnad och vice versa.

I mer svåra fall förstör irrationalitet inte omedelbart, utan i flera steg.

1) Uttrycket måste innehålla

Om vi multiplicerar täljaren och nämnaren för bråket med får vi:

2) Multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med den ofullständiga kvadraten på summan får vi:

3) Låt oss ta bråken till en gemensam nämnare:

När vi löser detta exempel måste vi tänka på att varje bråk har en betydelse, det vill säga att nämnaren för varje bråk skiljer sig från noll. Förutom,

Vid konvertering av uttryck som innehåller radikaler görs ofta misstag. De orsakas av oförmågan att korrekt tillämpa konceptet (definitionen) av den aritmetiska roten och det absoluta värdet.

Regler för att subtrahera rötter

Beräkna uttrycksvärde

Beslut.

Förklaring.
För att kollapsa rotuttrycket, låt oss representera i den andra faktorn i dess rotuttryck talet 31 som summan av 15+16. (linje 2)

Efter transformationen kan man se att summan i det andra radikala uttrycket kan representeras som kvadraten på summan med hjälp av de förkortade multiplikationsformlerna. (rad 3)

Låt oss nu representera varje rot från den givna produkten som en grad. (rad 4)

Förenkla uttrycket (rad 5)

Eftersom produktens potens är lika med produkten av potenserna för var och en av faktorerna, representerar vi detta i enlighet med detta (rad 6)

Som du kan se, enligt formlerna för förkortad multiplikation, har vi skillnaden mellan kvadraterna av två tal. Varifrån och beräkna värdet på uttrycket (rad 7)

Beräkna värdet på uttrycket.

Beslut.

Förklaring.

Vi använder rotens egenskaper, att roten av en godtycklig potens av privata tal är lika med den privata av rötterna för dessa tal (rad 2)

Roten till en godtycklig potens av ett tal av samma grad är lika med detta tal (rad 3)

Låt oss ta bort minus från parentesen för den första multiplikatorn. I det här fallet kommer alla tecken inom parentesen att vändas (rad 4)

Låt oss minska bråkdelen (rad 5)

Låt oss representera talet 729 som kvadraten på talet 27, och talet 27 som kuben av talet 3. Varifrån får vi värdet på det radikala uttrycket.

Roten ur. Första nivån.

Vill du testa din styrka och ta reda på resultatet av hur redo du är för Unified State Examination eller OGE?

1. Introduktion av begreppet en aritmetisk kvadratrot

Kvadratroten (arithmetisk kvadratrot) av ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika.
.

Numret eller uttrycket under rottecknet måste vara icke-negativt

2. Tabell över rutor

3. Egenskaper för den aritmetiska kvadratroten

Introduktion till begreppet aritmetisk kvadratrot

Låt oss försöka ta reda på vilken typ av begrepp en "rot" är och "vad den äts med." För att göra detta, överväg exempel som du redan har stött på på lektionerna (nåja, eller så måste du bara inse detta).

Vi har till exempel en ekvation. Vad är lösningen given ekvation? Vilka tal kan kvadreras och få samtidigt? Genom att komma ihåg multiplikationstabellen kan du enkelt ge svaret: och (för när du multiplicerar två negativa tal får du ett positivt tal)! För att förenkla har matematiker introducerat ett speciellt koncept av kvadratroten och tilldelat den en speciell symbol.

Låt oss definiera den aritmetiska kvadratroten.

Varför måste siffran vara icke-negativ? Vad är till exempel lika med? Okej, låt oss försöka ta reda på det. Kanske tre? Låt oss kontrollera: och inte. Kanske, ? Återigen, kolla: Tja, är det inte valt? Detta är att förvänta sig - eftersom det inte finns några tal som i kvadrat ger ett negativt tal!

Du har dock säkert redan märkt att definitionen säger att lösningen av kvadratroten ur "ett tal är ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med". Och i början analyserade vi exemplet, utvalda tal som kan kvadreras och erhållas samtidigt, svaret var och, och här talar det om något slags "icke-negativt tal"! En sådan kommentar är ganska passande. Här är det nödvändigt att helt enkelt skilja mellan begreppen andragradsekvationer och den aritmetiska kvadratroten ur ett tal. Det är till exempel inte likvärdigt med ett uttryck.

Och det följer det.

Naturligtvis är detta mycket förvirrande, men man måste komma ihåg att tecknen är resultatet av att lösa ekvationen, eftersom när vi löser ekvationen måste vi skriva ner alla x:en som, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger den korrekta resultat. I vår andragradsekvation passar både och.

Dock, om du bara tar kvadratroten av något så får du alltid ett icke-negativt resultat.

Försök nu att lösa denna ekvation. Allt är inte så enkelt och smidigt, eller hur? Försök sortera i siffrorna, något kanske brinner ut?

Låt oss börja från början - från början: - passar inte, gå vidare; - mindre än tre, vi borstar också undan, men tänk om? Låt oss kolla: - passar inte heller, eftersom det är mer än tre. Med negativa siffror kommer samma historia att visa sig. Och vad ska man göra nu? Gav sökningen oss ingenting? Inte alls, nu vet vi säkert att svaret blir någon siffra mellan och, samt mellan och. Det är också uppenbart att lösningarna inte kommer att vara heltal. Dessutom är de inte rationella. Så, vad är nästa? Låt oss bygga en graf över funktionen och markera lösningarna på den.

Låt oss försöka lura systemet och få ett svar med hjälp av en miniräknare! Låt oss få roten ur verksamheten! Oh-oh-oh, det visar sig att ett sådant nummer aldrig tar slut. Hur kan du komma ihåg detta, eftersom det inte kommer att finnas någon miniräknare på provet!? Allt är väldigt enkelt, du behöver inte komma ihåg det, du måste komma ihåg (eller snabbt kunna uppskatta) ett ungefärligt värde. och själva svaren. Sådana tal kallas irrationella, och det var för att förenkla notationen av sådana tal som begreppet kvadratrot introducerades.
Låt oss titta på ett annat exempel för att förstärka. Låt oss analysera följande problem: du måste korsa diagonalt ett kvadratiskt fält med en sida på km, hur många km måste du gå?

Det mest uppenbara här är att betrakta triangeln separat och använda Pythagoras sats:. Således, . Så vad är det nödvändiga avståndet här? Självklart kan avståndet inte vara negativt, det förstår vi. Roten av två är ungefär lika, men, som vi noterade tidigare, är redan ett komplett svar.

Rotutvinning

Så att lösa exempel med rötter inte orsakar problem, du måste se och känna igen dem. För att göra detta måste du känna till åtminstone kvadraterna av siffror från till, samt kunna känna igen dem.

Det vill säga, du behöver veta vad som är kvadratiskt, och också, omvänt, vad som är kvadratiskt. Till en början kommer den här tabellen att hjälpa dig att extrahera roten.

Så fort du löser ett tillräckligt antal exempel försvinner behovet av det automatiskt.
Försök att extrahera kvadratroten i följande uttryck själv:

Tja, hur fungerade det? Låt oss nu se dessa exempel:

Egenskaper för den aritmetiska kvadratroten

Nu vet du hur man extraherar rötter och det är dags att lära sig om egenskaperna hos den aritmetiska kvadratroten. Det finns bara 3 av dem:

multiplikation;
division;
exponentiering.

Tja, de är bara väldigt lätta att komma ihåg med hjälp av denna tabell och, naturligtvis, utbildning:

Hur man bestämmer sig
Kvadratisk ekvation

I de tidigare lektionerna analyserade vi "Hur man löser linjära ekvationer", det vill säga ekvationer av första graden. I den här lektionen kommer vi att utforska vad är en andragradsekvation och hur man löser det.

Vad är en andragradsekvation

Graden av en ekvation bestäms av den högsta grad i vilken det okända står.

Om den maximala graden som det okända står i är "2", så har du en andragradsekvation.

Exempel på andragradsekvationer

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

För att hitta "a", "b" och "c" måste du jämföra din ekvation med den allmänna formen av andragradsekvationen "ax 2 + bx + c = 0".

Låt oss öva på att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c" i andragradsekvationer.

a=5
b = -14
c = 17

a = −7
b = -13
c = 8

a = −1
b = 1

a = 1
b = 0,25
c = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Hur man löser andragradsekvationer

Till skillnad från linjära ekvationer att lösa andragradsekvationer, en speciell formel för att hitta rötter.

För att lösa en andragradsekvation behöver du:

föra andragradsekvationen till allmän syn" ax 2 + bx + c = 0 ". Det vill säga, endast "0" ska vara kvar på höger sida;
använd formeln för rötter:

Låt oss använda ett exempel för att ta reda på hur man tillämpar formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation. Låt oss lösa andragradsekvationen.

Ekvationen "x 2 − 3x − 4 = 0" har redan reducerats till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0" och kräver inga ytterligare förenklingar. För att lösa det behöver vi bara ansöka formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation.

Låt oss definiera koefficienterna "a", "b" och "c" för denna ekvation.

a = 1
b = −3
c = −4

Ersätt dem i formeln och hitta rötterna.

Var noga med att memorera formeln för att hitta rötter.

Med dess hjälp löses vilken andragradsekvation som helst.

Betrakta ett annat exempel på en andragradsekvation.

I denna form är det ganska svårt att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c". Låt oss först ta ekvationen till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0".

Nu kan du använda formeln för rötterna.

Det finns tillfällen då det inte finns några rötter i andragradsekvationer. Denna situation uppstår när ett negativt tal visas i formeln under roten.

Vi kommer ihåg från definitionen av kvadratroten att man inte kan ta kvadratroten ur ett negativt tal.

Betrakta ett exempel på en andragradsekvation som inte har några rötter.

Så vi fick en situation där det finns ett negativt tal under roten. Det betyder att det inte finns några rötter i ekvationen. Därför skrev vi som svar ner "Det finns inga riktiga rötter."

Vad betyder orden "inga riktiga rötter"? Varför kan du inte bara skriva "inga rötter"?

Det finns faktiskt rötter i sådana fall, men inom ramen för Läroplanen de är inte godkända, därför, som svar, skriver vi ner att bland riktiga nummer det finns inga rötter. Med andra ord, "Det finns inga riktiga rötter."

Ofullständiga andragradsekvationer

Ibland finns det andragradsekvationer där det inte finns några explicita koefficienter "b" och/eller "c". Till exempel i denna ekvation:

Sådana ekvationer kallas ofullständiga. Kvadratisk ekvation. Hur man löser dem diskuteras i lektionen "Ofullständiga kvadratiska ekvationer".

Att extrahera kvadratroten ur ett tal är inte den enda operationen som kan utföras med detta matematiska fenomen. Precis som vanliga tal kan kvadratrötter adderas och subtraheras.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regler för att addera och subtrahera kvadratrötter

Definition 1

Åtgärder som att lägga till och subtrahera en kvadratrot är endast möjliga om rotuttrycket är detsamma.

Exempel 1

Du kan lägga till eller subtrahera uttryck 2 3 och 6 3, men inte 5 6 och 9 4 . Om det är möjligt att förenkla uttrycket och föra det till rötter med samma rotnummer, förenkla sedan och addera eller subtrahera sedan.

Rotåtgärder: Grunderna

Exempel 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Åtgärdsalgoritm:

Förenkla rotuttrycket. För att göra detta är det nödvändigt att dekomponera rotuttrycket i 2 faktorer, varav en är ett kvadrattal (talet från vilket hela kvadratroten extraheras, till exempel 25 eller 9).
Sedan måste du extrahera roten från kvadratnummer och skriv det resulterande värdet före rottecknet. Observera att den andra faktorn anges under rottecknet.
Efter förenklingsprocessen är det nödvändigt att understryka rötterna med samma radikala uttryck - bara de kan läggas till och subtraheras.
För rötter med samma radikala uttryck är det nödvändigt att lägga till eller subtrahera de faktorer som föregår rottecknet. Rotuttrycket förblir oförändrat. Lägg inte till eller subtrahera rottal!

Tips 1

Om du har ett exempel med stor kvantitet identiska radikala uttryck, understryka sedan sådana uttryck med enkla, dubbla och trippellinjer för att underlätta beräkningsprocessen.

Exempel 3

Låt oss prova detta exempel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Först måste du dekomponera 50 i 2 faktorer 25 och 2, sedan ta roten av 25, vilket är 5, och ta ut 5 under roten. Efter det måste du multiplicera 5 med 6 (multiplikatorn vid roten) och få 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Först måste du dekomponera 8 i 2 faktorer: 4 och 2. Sedan, från 4, extrahera roten, som är lika med 2, och ta ut 2 från under roten. Efter det måste du multiplicera 2 med 2 (faktorn vid roten) och få 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Först måste du bryta ner 12 i 2 faktorer: 4 och 3. Extrahera sedan roten från 4, vilket är 2, och ta ut den under roten. Efter det måste du multiplicera 2 med 5 (faktorn vid roten) och få 10 3 .

Förenklingsresultat: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Som ett resultat såg vi hur många identiska radikala uttryck som finns i detta exempel. Låt oss nu öva med andra exempel.

Exempel 4

Förenkla (45) . Vi faktoriserar 45: (45) = (9 × 5) ;
Vi tar ut 3 från under roten (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Vi adderar faktorerna vid rötterna: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Exempel 5

6 40 - 3 10 + 5:

Förenkling 6 40 . Vi faktoriserar 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Vi tar ut 2 från under roten (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Vi multiplicerar faktorerna som ligger framför roten: 12 10;
Vi skriver uttrycket i en förenklad form: 12 10 - 3 10 + 5;
Eftersom de två första termerna har samma rottal kan vi subtrahera dem: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exempel 6

Som vi kan se är det inte möjligt att förenkla de radikala talen, därför letar vi i exemplet efter medlemmar med samma radikala tal, utför matematiska operationer (lägg till, subtrahera, etc.) och skriver resultatet:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Råd:

Innan man adderar eller subtraherar är det absolut nödvändigt att förenkla (om möjligt) de radikala uttrycken.
Det är strängt förbjudet att lägga till och subtrahera rötter med olika rotuttryck.
Lägg inte till eller subtrahera inte ett heltal eller kvadratrot: 3 + (2 x) 1 / 2 .
När du utför åtgärder med bråk, måste du hitta ett tal som är helt delbart med varje nämnare, föra sedan bråken till en gemensam nämnare, addera sedan täljarna och lämna nämnarna oförändrade.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter