Capacitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă în rezolvarea unui număr de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune forme este piramida. În acest articol, vom lua în considerare piramidele, atât pline, cât și trunchiate.

Piramida ca figură tridimensională

Toată lumea știe despre Piramidele egiptene, prin urmare, este bine reprezentat ce cifră va fi discutată. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.

Obiectul geometric luat în considerare în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este conectat la un punct din spațiu care nu aparține planului de bază. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.

Orice piramidă este formată din n+1 fețe, 2*n muchii și n+1 vârfuri. Deoarece figura luată în considerare este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă ecuația lui Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligonul situat la bază dă numele piramidei, de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Set de piramide cu temeiuri diferite prezentat în fotografia de mai jos.

Punctul în care sunt conectate n triunghiuri ale figurii se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază și o intersectează în centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci există o piramidă înclinată.

O figură dreaptă, a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (echiunghiular), se numește regulată.

Formula de volum piramidală

Pentru a calcula volumul piramidei, folosim calculul integral. Pentru a face acest lucru, împărțim figura pe planuri secante paralele cu baza într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care pătraunghiul marchează strat subțire secțiuni.

Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată prin formula:

A(z) = A0 *(h-z)2/h2.

Aici A 0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z = 0, atunci formula dă valoarea A 0 .

Pentru a obține formula pentru volumul piramidei, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Înlocuind dependența A(z) și calculând antiderivată, ajungem la expresia:

V = -A0 *(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Am obținut formula pentru volumul unei piramide. Pentru a găsi valoarea lui V, este suficient să înmulțiți înălțimea figurii cu aria bazei și apoi să împărțiți rezultatul cu trei.

Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de tip arbitrar. Adică poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.

și volumul acestuia

Primit la paragraful de mai sus formula generala pentru volum se poate preciza în cazul unei piramide cu fundatie dreapta. Aria unei astfel de baze se calculează prin următoarea formulă:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este numărul pi.

Înlocuind expresia pentru A 0 în formula generală, obținem volumul unei piramide regulate:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă duce la următoarea expresie:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Pentru corect piramidă patruunghiulară formula volumului ia forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Determinarea volumelor piramidelor obișnuite necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.

Piramida trunchiată

Să presupunem că am luat o piramidă arbitrară și am tăiat o parte din suprafața ei laterală care conține vârful. Figura rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze similare paralele. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeilalte cu un coeficient k.

Figura de mai sus prezintă una regulată trunchiată.Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.

Formula care poate fi derivată folosind un calcul integral similar cu cel de mai sus este:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Unde A 0 și A 1 sunt zonele bazei inferioare (mari) și, respectiv, superioare (mici). Variabila h desemnează înălțimea piramidei trunchiate.

Volumul piramidei lui Keops

Este curios să rezolvi problema determinării volumului pe care îl conține cea mai mare piramidă egipteană.

În 1984, egiptologii britanici Mark Lehner și Jon Goodman au stabilit dimensiuni exacte piramida lui Keops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungime medie fiecare dintre cele patru laturi ale structurii avea 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.

Să folosim cifrele date pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este un patruunghiular obișnuit, atunci formula este valabilă pentru aceasta:

Introducând numerele, obținem:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumul piramidei lui Keops este de aproape 2,6 milioane m 3. Pentru comparație, observăm că bazinul olimpic are un volum de 2,5 mii m 3. Adică, pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops, va fi nevoie de peste 1000 de astfel de bazine!

Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafata laterala piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. zonă suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H este înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltime;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V este volumul unei piramide regulate.

trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Fundamente trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin este suprafața totală;

partea S este aria suprafeței laterale;

H- inaltime;

V este volumul piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:

Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;

h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.

Exemplul 1Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric la bază - acesta este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct O segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patruunghiulare trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.

Decizie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cmc.

Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsiți-l de unde DAR 1 E perpendicular de la un punct DAR 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la DAR 1 pe AC. DAR 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și OM este raza cercului înscris:

MK=DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct O este centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem

• 09.10.2014

  Preamplificatorul prezentat în figură este proiectat pentru a fi utilizat cu 4 tipuri de surse de sunet, cum ar fi un microfon, un CD player, un magnetofon radio, etc. În același timp, preamplificatorul are o singură intrare care poate modifica sensibilitatea de la 50mV la 500mV. . tensiunea de ieșire a amplificatorului este de 1000 mV. Conectare surse diferite semnal la comutarea comutatorului SA1, vom primi întotdeauna...

• 20.09.2014

  Alimentatorul este proiectat pentru o sarcină cu o putere de 15 ... 20 wați. Sursa este realizată conform schemei unui convertor de înaltă frecvență pulsat cu un singur ciclu. Pe tranzistor este asamblat un oscilator care funcționează la o frecvență de 20 ... 40 kHz. Frecvența este reglată de capacitatea C5. Elementele VD5, VD6 și C6 formează un circuit pentru pornirea unui oscilator. În circuitul secundar, după puntea redresorului, există un stabilizator liniar convențional pe un microcircuit, care vă permite să aveți ...

• 28.09.2014

  Figura prezintă un generator pe un cip K174XA11, a cărui frecvență este controlată de tensiune. Prin schimbarea capacității C1 de la 560 la 4700pF, se poate obține o gamă largă de frecvență, în timp ce frecvența este ajustată prin schimbarea rezistenței R4. De exemplu, autorul a aflat că, la C1 \u003d 560pF, frecvența generatorului poate fi modificată folosind R4 de la 600Hz la 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Unitatea este proiectată să alimenteze un ULF puternic, este proiectată pentru o tensiune de ieșire de ± 27V și astfel încarcă până la 3A pe fiecare braț. Alimentatorul este bipolar, realizat pe tranzistoare complete compozite KT825-KT827. Ambele brațe ale stabilizatorului sunt realizate conform aceleiași scheme, dar în celălalt braț (nu este afișat), polaritatea condensatoarelor este schimbată și se folosesc tranzistorii celuilalt ...