Ce stă la baza prismei corecte. Prismă

O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunile și dimensiunile acestora. poziție relativă. Pentru comoditatea predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. LA… … Enciclopedia Collier

Geometria spațiilor de dimensiune mai mare de trei; termenul se aplică acelor spații a căror geometrie a fost dezvoltată inițial pentru cazul celor trei dimensiuni și abia apoi generalizată la numărul de dimensiuni n> 3, în primul rând spațiu euclidian, ... ... Enciclopedie matematică

Generalizarea geometriei euclidiene N dimensionale a geometriei euclidiene în spațiu Mai mult măsurători. Deși spațiul fizic este tridimensional, iar simțurile umane sunt concepute pentru a percepe trei dimensiuni, N este dimensional ... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor menționate în această secțiune. Pot exista explicații pe pagina de discuții... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologie utilizată în modelare solide. Geometria blocului structural este adesea, dar nu întotdeauna, o tehnică de modelare în grafica 3D și CAD. Vă permite să creați o scenă complexă sau... Wikipedia

Geometria solidă constructivă (CSG) este o tehnologie utilizată în modelarea solidelor. Geometria blocului structural este adesea, dar nu întotdeauna, o tehnică de modelare în grafica 3D și CAD. Ea ...... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Domeniul de aplicare (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără stricte ... ... Wikipedia

Tip de cub Poliedru regulat Față pătrat Varfurile Muchii Fețe ... Wikipedia

Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără o definiție strictă în raport cu corpurile tridimensionale ale spațiului euclidian tridimensional. ... ... Wikipedia

O porțiune de spațiu delimitată de o colecție de un număr finit de poligoane plane (vezi GEOMETRIE) conectate în așa fel încât fiecare latură a oricărui poligon să fie o latură a unui alt poligon (numit ... ... Enciclopedia Collier

Cărți

Un set de mese. Geometrie. Clasa 10. 14 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton poligrafic gros de 680 x 980 mm. Brosura cu instrucțiuni pentru profesor. Album de studiu de 14 coli...

Lectura: Prisma, bazele ei, marginile laterale, înălțimea, suprafața laterală; prismă dreaptă; prismă dreaptă

Prismă

Dacă ați învățat cu noi figuri plate din întrebările anterioare, atunci sunteți complet pregătit să studiați figurile tridimensionale. Primul solid pe care îl vom învăța va fi o prismă.

Prismă este un corp voluminos care are un numar mare de chipuri.

Această figură are două poligoane la baze, care sunt situate în planuri paralele, iar toate fețele laterale sunt sub forma unui paralelogram.

Fig 1. Fig. 2

Deci, să ne dăm seama în ce constă o prismă. Pentru a face acest lucru, acordați atenție Fig.1

După cum am menționat mai devreme, prisma are două baze care sunt paralele una cu cealaltă - acestea sunt pentagoanele ABCEF și GMNJK. În plus, aceste poligoane sunt egale între ele.

Toate celelalte fețe ale prismei se numesc fețe laterale - sunt formate din paralelograme. De exemplu, BMNC, AGKF, FKJE etc.

Suprafața comună a tuturor fețelor laterale se numește suprafata laterala.

Fiecare pereche de fețe adiacente are o latură comună. O astfel de latură comună se numește margine. De exemplu, MB, CE, AB etc.

Dacă bazele superioare și inferioare ale prismei sunt conectate printr-o perpendiculară, atunci se va numi înălțimea prismei. În figură, înălțimea este marcată ca o linie dreaptă OO 1.

Există două tipuri principale de prisme: oblică și dreaptă.

Dacă marginile laterale ale prismei nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă oblic.

Dacă toate marginile unei prisme sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă Drept.

Dacă bazele unei prisme sunt poligoane regulate (cele cu laturile egale), atunci o astfel de prismă se numește corect.

Dacă bazele prismei nu sunt paralele între ele, atunci o astfel de prismă va fi numită trunchiată.

Îl puteți vedea în Fig.2

Formule pentru găsirea volumului, aria unei prisme

Există trei formule de bază pentru găsirea volumului. Ele diferă unele de altele prin aplicarea lor:

Formule similare pentru găsirea suprafeței unei prisme:

La baza prismei se poate afla orice poligon - un triunghi, un patrulater etc. Ambele baze sunt exact aceleași și, în consecință, prin care unghiurile fețelor paralele sunt conectate între ele, ele sunt întotdeauna paralele. La baza unei prisme regulate se află un poligon regulat, adică unul în care toate laturile sunt egale. Într-o prismă dreaptă, muchiile dintre fețele laterale sunt perpendiculare pe bază. În acest caz, un poligon cu orice număr de unghiuri se poate afla la baza unei prisme drepte. O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped. dreptunghi - caz special paralelogram. Dacă această figură se află la bază, iar fețele laterale sunt situate în unghi drept față de bază, paralelipipedul se numește dreptunghiular. Al doilea nume al acestui corp geometric este dreptunghiular.

Cum arată ea

Prisme dreptunghiulare înconjurate omul modern destul de putin de. Acesta, de exemplu, este cartonul obișnuit de sub pantofi, componente ale computerului etc. Uită-te in jur. Chiar și într-o cameră, cu siguranță vei vedea multe prisme dreptunghiulare. Aceasta este o carcasă pentru computer și o bibliotecă și un frigider și un dulap și multe alte articole. Formularul este extrem de popular in principal pentru ca iti permite sa folosesti cat mai eficient spatiul, fie ca decorezi interiorul sau impachetezi lucrurile in carton inainte de a te muta.

Proprietățile unei prisme dreptunghiulare

O prismă dreptunghiulară are un număr proprietăți specifice. Orice pereche de fețe poate servi drept , deoarece toate fețele adiacente sunt situate la același unghi una față de cealaltă, iar acest unghi este de 90 °. Volumul și aria suprafeței unei prisme dreptunghiulare sunt mai ușor de calculat decât oricare alta. Luați orice obiect care are forma unei prisme dreptunghiulare. Măsurați-i lungimea, lățimea și înălțimea. Pentru a găsi volumul, este suficient să înmulțim aceste măsurători. Adică, formula arată astfel: V \u003d a * b * h, unde V este volumul, a și b sunt laturile bazei, h este înălțimea care coincide cu marginea laterală a acestui corp geometric. Aria de bază se calculează prin formula S1=a*b. Pentru a realiza suprafața laterală, trebuie mai întâi să calculați perimetrul bazei folosind formula P=2(a+b), apoi să o înmulțiți cu înălțimea. Rezultă formula S2=P*h=2(a+b)*h. A calcula suprafata intreaga Pentru o prismă dreptunghiulară, adăugați de două ori aria bazei și aria suprafeței laterale. Formula este S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

LA curiculumul scolarîn cursul geometriei solide, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, la baza căruia sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- un paralelipiped drept.

Figura, care înfățișează o prismă patruunghiulară, este prezentată mai jos.

Se vede si in poza elemente esentiale, care alcătuiesc corpul geometric. Ele sunt denumite în mod obișnuit ca:

Uneori în probleme de geometrie puteți găsi conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric care aparțin planului de tăiere. Secțiunea este perpendiculară (traversează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se are în vedere și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice reduse sunt folosite diverse rapoarte și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea biților:

V = Sprim h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a² h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați măturarea acesteia.

Din desen se poate observa că suprafața laterală este formată din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Poz h

Deoarece perimetrul unui pătrat este P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme, adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Plin = Sside + 2Sbase

Așa cum este aplicată unei prisme regulate patruunghiulare, formula are forma:

Sfull = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elemente individuale corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
înălțime sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
suprafata de baza: Sprim = V/h;
zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are o secțiune diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala prismei se folosește formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați rapoartele de mai sus, puteți exersa și rezolva câteva sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva dintre sarcinile care apar la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă pătrangulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o lungime de bază de 2 ori mai mare?

Ar trebui argumentat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți defini lungimea bazei ca A. În acest caz, pentru prima casetă, volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

În măsura în care V₁ = V₂, expresiile pot fi echivalate:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă regulată. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că baza este un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași valoare, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată prin diagonala cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală se găsește prin formula pentru cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Pătratul va fi acoperit cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50 30 = 1500 ruble.

Astfel, pentru a rezolva probleme pe o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și a unui dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Definiție. Prismă- acesta este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane există două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile respectiv paralele și toate muchiile care nu se află în acestea planurile sunt paralele.

Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toate fețele laterale se formează suprafata laterala prisme .

Toate fețele laterale ale unei prisme sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc margini laterale ale prismei ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei se numește un segment, ale cărui capete sunt două vârfuri ale prismei care nu se află pe una dintre fețele sale (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea ocolirii, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile celeilalte; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, numai vârfurile aflate în o bază este indicată prin litere fără index, iar în cealaltă - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1, baza este un pentagon, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar de atunci o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe sunt bazele prismei, 5 fețe sunt paralelograme, sunt fețele sale laterale)

Printre prismele drepte se remarcă vedere privată: prisme regulate.

Se numește prismă dreaptă corect, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

O prismă regulată are toate fețele laterale dreptunghiuri egale. Un caz special al unei prisme este un paralelipiped.

Paralelipiped

Paralelipiped- Acest prismă pătrangulară, care se bazează pe un paralelogram (paralelepiped oblic). Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei.

cuboid- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

Unele proprietăți ale unui paralelipiped sunt similare proprietăți cunoscute paralelogram.Un paralelipiped dreptunghic având măsurători egale, sunt numite cub .Un cub are toate fețele pătrate egale.Pătratul unei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale

unde d este diagonala pătratului;
a - latura pătratului.

Ideea de prismă este dată de:

diverse structuri arhitecturale;
Jucării pentru copii;
cutii de ambalare;
articole de designer etc.

Suprafața totală și laterală a prismei

Suprafața totală a prismei este suma ariilor tuturor fețelor sale Suprafata laterala se numește suma ariilor fețelor sale laterale. bazele prismei sunt poligoane egale, apoi ariile lor sunt egale. Asa de

S complet \u003d S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S principal- suprafata de baza

Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S\u003d P principal * h,

Unde partea S este aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.