Cum se găsește cosinusul unui unghi dintre plane. Unghiul diedric

Acest articol este despre unghiul dintre avioane și despre cum să-l găsiți. În primul rând, este dată definiția unghiului dintre două plane și este dată o ilustrare grafică. După aceea, s-a analizat principiul găsirii unghiului dintre două plane care se intersectează prin metoda coordonatelor, s-a obținut o formulă care permite calcularea unghiului dintre planele care se intersectează folosind coordonatele cunoscute ale vectorilor normali ai acestor plane. În concluzie, sunt prezentate soluții detaliate ale problemelor tipice.

Navigare în pagină.

Unghiul dintre planuri - definiție.

Să oferim argumente care ne vor permite să ne apropiem treptat de definiția unghiului dintre două plane care se intersectează.

Să ni se dea două plane care se intersectează și . Aceste planuri se intersectează într-o linie dreaptă, pe care o notăm cu litera c. Să construim un plan care trece prin punctul M al dreptei c și perpendicular pe dreapta c. În acest caz, planul va intersecta planele și . Notați drepta de-a lungul căreia planele se intersectează și ca a și linia de-a lungul căreia se intersectează planele și ca b. Evident, liniile a și b se intersectează în punctul M.

Este ușor de arătat că unghiul dintre dreptele care se intersectează a și b nu depinde de locația punctului M pe dreapta c prin care trece planul.

Să construim un plan perpendicular pe dreapta c și diferit de planul . Planul este intersectat de plane și de-a lungul unor drepte, pe care le notăm cu a 1 și, respectiv, b 1.

Din metoda de construire a planurilor rezultă că dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta c, iar dreptele a 1 și b 1 sunt perpendiculare pe dreapta c. Deoarece dreptele a și a 1 se află în același plan și sunt perpendiculare pe dreapta c, ele sunt paralele. În mod similar, dreptele b și b 1 se află în același plan și sunt perpendiculare pe dreapta c, prin urmare sunt paralele. Astfel, este posibil să se efectueze un transfer paralel al planului în plan, în care linia a 1 coincide cu linia a, iar linia b cu linia b 1. Prin urmare, unghiul dintre două drepte care se intersectează a 1 și b 1 este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează a și b .

Aceasta dovedește că unghiul dintre liniile de intersectare a și b aflate în planurile de intersectare și nu depinde de alegerea punctului M prin care trece planul. Prin urmare, este logic să luăm acest unghi ca unghi între două plane care se intersectează.

Acum puteți exprima definiția unghiului dintre două plane care se intersectează și .

Definiție.

Unghiul dintre două plane care se intersectează în linie dreaptă și este unghiul dintre două drepte care se intersectează a și b, de-a lungul cărora planele și se intersectează cu planul perpendicular pe dreapta c.

Definiția unghiului dintre două plane poate fi dată puțin diferit. Dacă pe dreapta c, de-a lungul căreia se intersectează planele, marcați punctul M și trasați prin el drepte a și b, perpendiculare pe dreapta c și situate în planuri și, respectiv, atunci unghiul dintre liniile a și b este unghiul dintre plane şi. De obicei, în practică, astfel de construcții se realizează pentru a obține unghiul dintre plane.

Deoarece unghiul dintre liniile care se intersectează nu depășește, din definiția vocală rezultă că gradul de măsură a unghiului dintre două plane care se intersectează este exprimat printr-un număr real din interval. În acest caz, se numesc planuri care se intersectează perpendicular dacă unghiul dintre ele este de nouăzeci de grade. Unghiul dintre planele paralele fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal cu zero.

Aflarea unghiului dintre două plane care se intersectează.

De obicei, atunci când găsiți unghiul dintre două plane care se intersectează, mai întâi trebuie să efectuați construcții suplimentare pentru a vedea liniile care se intersectează, unghiul dintre care este egal cu unghiul dorit, apoi conectați acest unghi cu datele originale folosind semne egale, semne de asemănare, teorema cosinusului sau definițiile sinusului, cosinusului și tangentei unghiului. La cursul de geometrie din liceu sunt probleme similare.

De exemplu, să dăm o soluție problemei C2 de la examenul unificat de stat la matematică pentru 2012 (condiția este schimbată intenționat, dar acest lucru nu afectează principiul soluției). În ea, era doar necesar să se găsească unghiul dintre două plane care se intersectează.

Exemplu.

Soluţie.

Mai întâi, să facem un desen.

Să realizăm construcții suplimentare pentru a „vedea” unghiul dintre avioane.

Mai întâi, să definim o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele ABC și BED 1. Punctul B este unul dintre punctele lor comune. Găsiți al doilea punct comun al acestor planuri. Dreptele DA și D 1 E se află în același plan ADD 1 și nu sunt paralele și, prin urmare, se intersectează. Pe de altă parte, linia DA se află în planul ABC, iar linia D 1 E se află în planul BED 1, prin urmare, punctul de intersecție al dreptelor DA și D 1 E va fi un punct comun al planurilor ABC și PATUL 1. Deci, continuăm liniile DA și D 1 E până când se intersectează, notăm punctul de intersecție cu litera F. Atunci BF este linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele ABC și BED 1.

Rămâne să construim două drepte situate în planurile ABC și respectiv BED 1, care trec printr-un punct de pe dreapta BF și perpendicular pe dreapta BF - unghiul dintre aceste linii, prin definiție, va fi egal cu unghiul dorit între avioane ABC şi BED 1 . S-o facem.

Punct A este proiecția punctului E pe planul ABC. Desenați o dreaptă care intersectează în unghi drept dreapta BF în punctul M. Atunci linia AM este proiecția dreptei EM pe planul ABC și după teorema celor trei perpendiculare.

Astfel, unghiul dorit între planele ABC și BED 1 este .

Putem determina sinusul, cosinusul sau tangenta acestui unghi (și, prin urmare, unghiul însuși) dintr-un triunghi dreptunghic AEM dacă știm lungimile celor două laturi ale sale. Din condiție este ușor de găsit lungimea AE: deoarece punctul E împarte latura AA 1 în raport cu 4 la 3, numărând din punctul A, iar lungimea laturii AA 1 este 7, atunci AE \u003d 4. Să aflăm lungimea AM.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic ABF cu unghi drept A, unde AM este înălțimea. Prin condiția AB=2. Putem afla lungimea laturii AF din asemanarea triunghiurilor dreptunghic DD 1 F si AEF :

După teorema lui Pitagora, din triunghiul ABF găsim . Găsim lungimea AM prin aria triunghiului ABF: pe o parte, aria triunghiului ABF este egală cu , pe de altă parte , Unde .

Astfel, din triunghiul dreptunghic AEM avem .

Atunci unghiul dorit dintre planurile ABC și BED 1 este (rețineți că ).

Răspuns:

În unele cazuri, pentru a găsi unghiul dintre două plane care se intersectează, este convenabil să specificați Oxyz și să utilizați metoda coordonatelor. Să ne oprim asupra ei.

Să stabilim sarcina: să găsim unghiul dintre două plane care se intersectează și . Să notăm unghiul dorit ca .

Vom presupune că într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat Oxyz cunoaștem coordonatele vectorilor normali ai planurilor care se intersectează și sau este posibil să le găsim. Lasa este vectorul normal al planului și este vectorul normal al planului. Să arătăm cum să găsim unghiul dintre planele care se intersectează și prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane.

Să notăm dreapta de-a lungul căreia planele se intersectează și ca c . Prin punctul M de pe dreapta c trasăm un plan perpendicular pe dreapta c. Planul intersectează planele și de-a lungul dreptelor a și, respectiv, b, liniile a și b se intersectează în punctul M. Prin definiție, unghiul dintre planele care se intersectează și este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează a și b.

Să lăsăm deoparte din punctul M din plan vectorii normali și ai planurilor și . În acest caz, vectorul se află pe o dreaptă perpendiculară pe linia a, iar vectorul se află pe o dreaptă perpendiculară pe linia b. Astfel, în plan, vectorul este vectorul normal al dreptei a, este vectorul normal al dreptei b.

În articolul Găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează, am obținut o formulă care vă permite să calculați cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează folosind coordonatele vectorilor normali. Astfel, cosinusul unghiului dintre liniile a și b și, în consecință, și cosinusul unghiului dintre planele care se intersecteazăși se găsește prin formula , unde Și sunt vectorii normali ai planelor și, respectiv. Apoi se calculează ca .

Să rezolvăm exemplul anterior folosind metoda coordonatelor.

Exemplu.

Este dat un paralelipiped dreptunghic ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, în care AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 și punctul E împarte latura AA 1 într-un raport de 4 la 3, numărând din punctul A . Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1.

Soluţie.

Deoarece laturile unui paralelipiped dreptunghiular la un vârf sunt perpendiculare pe perechi, este convenabil să se introducă un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz astfel: începutul este aliniat cu vârful C, iar axele de coordonate Ox, Oy și Oz sunt direcționate de-a lungul laturilor. CD, CB și respectiv CC 1.

Unghiul dintre planele ABC și BED 1 poate fi găsit prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane folosind formula , unde și sunt vectorii normali ai planurilor ABC și respectiv BED 1. Să determinăm coordonatele vectorilor normali.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Teorema

Unghiul dintre planuri nu depinde de alegerea planului de tăiere.

Dovada.

Să fie două plane α și β care se intersectează de-a lungul dreptei c. se trasează planul γ perpendicular pe dreapta c. Apoi planul γ intersectează planele α și β de-a lungul liniilor a și, respectiv, b. Unghiul dintre planele α și β este egal cu unghiul dintre dreptele a și b.
Luați un alt plan de tăiere γ`, perpendicular pe c. Apoi planul γ` va intersecta planele α și β de-a lungul liniilor a` și, respectiv, b`.
Cu translație paralelă, punctul de intersecție al planului γ cu dreapta c va merge până la punctul de intersecție al planului γ` cu dreapta c. în acest caz, prin proprietatea translației paralele, linia a va merge la dreapta a`, b - la dreapta b`. deci unghiurile dintre liniile a și b, a` și b` sunt egale. Teorema a fost demonstrată.

Navigare în pagină.

Unghiul dintre planuri - definiție.

La prezentarea materialului vom folosi definițiile și conceptele date în articolele plan în spațiu și linie dreaptă în spațiu.

Să oferim argumente care ne vor permite să ne apropiem treptat de definiția unghiului dintre două plane care se intersectează.

Să ni se dea două plane care se intersectează și . Aceste planuri se intersectează într-o linie dreaptă, pe care o notăm cu literă c. Construiți un plan care trece prin punct M Drept cși perpendicular pe linie c. În acest caz, planul va intersecta planele și . Notăm dreapta de-a lungul căreia se intersectează planele și ca A, ci linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele și cum b. Evident direct. AȘi b se intersectează într-un punct M.

Este ușor de arătat că unghiul dintre liniile care se intersectează AȘi b nu depinde de locația punctului M pe o linie dreaptă c prin care trece avionul.

Construiți un plan perpendicular pe dreapta cși diferită de avion. Planul este intersectat de plane și de-a lungul unor drepte, pe care le notăm a 1Și b 1 respectiv.

Din metoda de construire a planurilor rezultă că liniile AȘi b perpendicular pe linie c, și direct a 1Și b 1 perpendicular pe linie c. Din moment ce drept AȘi a 1 c, atunci sunt paralele. La fel, drept bȘi b 1 se află în același plan și sunt perpendiculare pe dreapta c deci sunt paralele. Astfel, este posibil să se efectueze un transfer paralel al planului în plan, în care linia dreaptă a 1 coincide cu linia A, și linia dreaptă b cu o linie dreaptă b 1. Prin urmare, unghiul dintre două drepte care se intersectează a 1Și b 1 egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează AȘi b.

Aceasta demonstrează că unghiul dintre liniile care se intersectează AȘi b situată în planuri care se intersectează și nu depinde de alegerea punctului M prin care trece avionul. Prin urmare, este logic să luăm acest unghi ca unghi între două plane care se intersectează.

Acum puteți exprima definiția unghiului dintre două plane care se intersectează și .

Definiție.

Unghiul dintre două linii care se intersectează c avioane şi este unghiul dintre două drepte care se intersectează AȘi b, de-a lungul căruia planele și se intersectează cu planul perpendicular pe dreapta c.

Definiția unghiului dintre două plane poate fi dată puțin diferit. Dacă pe linie dreaptă din, de-a lungul căruia planele și se intersectează, marchează un punct Mși trageți linii drepte prin el darȘi b, perpendicular pe linie c si situat in planuri si respectiv, apoi unghiul dintre linii darȘi b este unghiul dintre plane si . De obicei, în practică, astfel de construcții se realizează pentru a obține unghiul dintre plane.

Începutul paginii

Aflarea unghiului dintre două plane care se intersectează.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, in care AB=3, AD=2, AA 1 =7și punct E desparte partea AA 1într-o relație 4 la 3 , numărând de la punct DAR ABCȘi PATUL 1.

Mai întâi, să facem un desen.

Să realizăm construcții suplimentare pentru a „vedea” unghiul dintre avioane.

În primul rând, definim o dreaptă de-a lungul căreia planele se intersectează ABCȘi Pat 1. Punct ÎN este unul dintre punctele lor comune. Găsiți al doilea punct comun al acestor planuri. Direct DAȘi D 1 E se află în același plan ADAUGĂ 1, și nu sunt paralele și, prin urmare, se intersectează. Pe de altă parte, drept DA zace în avion ABC, și linia dreaptă D 1 E- in avion Pat 1, de unde punctul de intersecție al dreptelor DAȘi D 1 E va fi un punct comun al avioanelor ABCȘi Pat 1. Deci hai să continuăm drept DAȘi D 1 Eînainte ca ele să se intersecteze, notăm punctul de intersecție cu literă F. Apoi bf- o linie de-a lungul căreia se intersectează planele ABCȘi Pat 1.

Rămâne să construim două linii drepte situate în planuri ABCȘi Pat 1 respectiv trecând printr-un punct de pe linie bfși perpendicular pe linie bf, - unghiul dintre aceste drepte, prin definitie, va fi egal cu unghiul dorit intre plane ABCȘi Pat 1. S-o facem.

Punct DAR este proiecția punctului E spre avion ABC. Desenați o linie care intersectează linia în unghi drept BF la punct M. Apoi linia A.M este o proiecție a unei linii drepte MÂNCA spre avion ABC, și prin teorema celor trei perpendiculare.

Astfel, unghiul dorit între avioane ABCȘi Pat 1 este egal cu .

Sinusul, cosinusul sau tangenta acestui unghi (și, prin urmare, unghiul însuși) îl putem determina dintr-un triunghi dreptunghic AEM dacă știm lungimile celor două laturi ale sale. Din starea este ușor de găsit lungimea AE: din moment ce dot E desparte partea AA 1într-o relație 4 la 3 , numărând de la punct DAR, și lungimea laterală AA 1 este egal cu 7 , apoi AE=4. Să găsim altă lungime A.M.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic ABF unghi drept DAR, Unde A.M este inaltimea. După condiție AB=2. Lungime laterală AF putem găsi din asemănarea triunghiurilor dreptunghiulare DD 1FȘi AEF:

După teorema lui Pitagora dintr-un triunghi ABF găsi . Lungime A.M găsiți prin aria triunghiului ABF: pe o parte aria unui triunghi ABF este egal cu , pe de altă parte , de unde .

Deci dintr-un triunghi dreptunghic AEM avem .

Apoi unghiul dorit dintre avioane ABCȘi Pat 1 este egal (rețineți că).

În unele cazuri, pentru a găsi unghiul dintre două plane care se intersectează, este convenabil să setați un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzși folosiți metoda coordonatelor. Să ne oprim asupra ei.

Să stabilim sarcina: să găsim unghiul dintre două plane care se intersectează și . Să notăm unghiul dorit ca .

Presupunem că într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat Oxyz cunoaștem coordonatele vectorilor normali ai planurilor care se intersectează și sau avem ocazia să le găsim. Fie un vector normal al planului și un vector normal al planului. Să arătăm cum să găsim unghiul dintre planele care se intersectează și prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane.

Să notăm dreapta de-a lungul căreia se intersectează planele și ca c. Prin punct M pe o linie dreaptă c trage un plan perpendicular pe dreapta c. Planul intersectează plane și de-a lungul liniilor drepte AȘi b respectiv direct AȘi b se intersectează într-un punct M. Prin definiție, unghiul dintre planele care se intersectează și este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează AȘi b.

Lăsați deoparte de punct Mîn plan sunt vectorii normali şi ai planelor şi . Vectorul se află pe o dreaptă perpendiculară pe dreapta A, iar vectorul se află pe o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta b. Astfel, în plan, vectorul este vectorul normal al dreptei A, - vector linie normală b.

În articolul Găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează, am obținut o formulă care vă permite să calculați cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează folosind coordonatele vectorilor normali. Deci cosinusul unghiului dintre linii AȘi b, si in consecinta, cosinusul unghiului dintre planele care se intersecteazăși se găsește prin formula , unde și sunt vectorii normali ai planelor și, respectiv. Apoi unghiul dintre planele care se intersectează se calculează ca .

Să rezolvăm exemplul anterior folosind metoda coordonatelor.

Dat un paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, in care AB=3, AD=2, AA 1 =7și punct E desparte partea AA 1într-o relație 4 la 3 , numărând de la punct DAR. Găsiți unghiul dintre planuri ABCȘi PATUL 1.

Deoarece laturile unui paralelipiped dreptunghiular la un vârf sunt perpendiculare pe perechi, este convenabil să se introducă un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz așa: începeți să combinați cu vârful DIN, și axele de coordonate Bou, OiȘi Oz trimite în jur CD, CBȘi CC 1 respectiv.

Unghiul dintre planuri ABCȘi Pat 1 poate fi găsit prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane prin formula , unde și sunt vectorii normali ai planurilor ABCȘi Pat 1 respectiv. Să determinăm coordonatele vectorilor normali.

De când avionul ABC coincide cu planul de coordonate Oxy, atunci vectorul său normal este vectorul de coordonate , adică .

Ca un vector plan normal Pat 1 putem lua produsul încrucișat al vectorilor și, la rândul său, coordonatele vectorilor și pot fi găsite prin coordonatele punctelor ÎN, EȘi D1(care este scris în articol coordonatele vectorului prin coordonatele punctelor de la începutul și sfârșitul său), și coordonatele punctelor ÎN, EȘi D1în sistemul de coordonate introdus, determinăm din starea problemei.

Evident, . Deoarece , atunci găsim după coordonatele punctelor (dacă este necesar, vezi împărțirea articolului unui segment într-un raport dat). Atunci și Oxyz sunt ecuații și .

Când am studiat ecuația generală a unei drepte, am aflat că coeficienții DAR, ÎNȘi DIN sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al planului. Astfel, și sunt vectorii normali ai planelor și, respectiv.

Înlocuim coordonatele vectorilor normali ai planurilor în formula de calcul a unghiului dintre două plane care se intersectează:

Apoi . Deoarece unghiul dintre două plane care se intersectează nu este obtuz, atunci folosind identitatea trigonometrică de bază găsim sinusul unghiului:.

Măsura unghiului dintre plane este unghiul ascuțit format din două drepte situate în aceste plane și trasate perpendicular pe linia de intersecție a acestora.

Algoritm de construcție

Dintr-un punct arbitrar K, se trasează perpendiculare pe fiecare dintre planurile date.
Rotirea în jurul liniei de nivel determină valoarea unghiului γ° cu vârful în punctul K.
Calculați unghiul dintre plane ϕ° = 180 - γ° cu condiția ca γ° > 90°. Dacă γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Figura arată cazul în care planele α și β sunt date prin urme. Toate construcțiile necesare sunt realizate conform algoritmului și sunt descrise mai jos.

Soluţie

Într-un loc arbitrar al desenului, notăm punctul K. Din acesta coborâm perpendicularele m, respectiv n pe planele α și β. Direcția proiecțiilor m și n este următoarea: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Determinăm dimensiunea reală ∠γ° între liniile m și n. Pentru a face acest lucru, rotiți planul unghiului cu vârful K în jurul frontalului f într-o poziție paralelă cu planul de proiecție frontală. Raza de rotire R a punctului K este egală cu valoarea ipotenuzei triunghiului dreptunghic O""K""K 0 , al cărui catet este K""K 0 = y K – y O .
Unghiul dorit este ϕ° = ∠γ°, deoarece ∠γ° este ascuțit.

Figura de mai jos prezintă soluția problemei în care se cere să se găsească unghiul γ° dintre planele α și β, dat de drepte paralele și, respectiv, care se intersectează.

Soluţie

Determinăm direcția proiecțiilor orizontalelor h 1 , h 2 și frontalelor f 1 , f 2 aparținând planurilor α și β, în ordinea indicată de săgeți. Dintr-un punct arbitrar K pe pătrat. α și β scăpăm perpendicularele e și k. În acest caz, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 și k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Determinăm ∠γ° între liniile e și k. Pentru a face acest lucru, desenăm un h 3 orizontal și rotim punctul K în jurul lui până la poziția K 1, la care △CKD va deveni paralel cu planul orizontal și se va reflecta pe el la dimensiune completă - △C "K" 1 D ". Proiecția centrului de rotație O" se află pe h "3 perpendiculară K" O". Raza R este determinată dintr-un triunghi dreptunghic O "K" K 0, a cărui latură este K "K 0 \u003d ZO". - ZK.
Valoarea dorită este ∠ϕ° = ∠γ°, deoarece unghiul γ° este acut.

La rezolvarea problemelor geometrice din spațiu, există adesea acelea în care este necesar să se calculeze unghiurile dintre diferite obiecte spațiale. În acest articol, vom lua în considerare problema găsirii unghiurilor dintre plane și dintre ele și o linie dreaptă.

Linie dreaptă în spațiu

Se știe că absolut orice dreaptă din plan poate fi definită prin următoarea egalitate:

Aici a și b sunt câteva numere. Dacă reprezentăm o dreaptă în spațiu cu aceeași expresie, atunci obținem un plan paralel cu axa z. Pentru definirea matematică a liniei spațiale se folosește o metodă de soluție diferită decât în cazul bidimensional. Constă în folosirea conceptului de „vector de direcție”.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru determinarea unghiului de intersecție a planelor

Știind cum să găsim unghiul dintre plane, vom rezolva următoarea problemă. Sunt date două planuri, ale căror ecuații au forma:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Care este unghiul dintre avioane?

Pentru a răspunde la întrebarea problemei, reamintim că coeficienții care stau la variabilele din ecuația generală a planului sunt coordonatele vectorului ghid. Pentru aceste avioane, avem următoarele coordonate ale normalelor lor:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Acum găsim produsul scalar al acestor vectori și modulele lor, avem:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Acum puteți înlocui numerele găsite în formula dată în paragraful anterior. Primim:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Valoarea rezultată corespunde unghiului ascuțit de intersecție a planurilor specificate în starea problemei.

Acum să ne uităm la un alt exemplu. Având în vedere două avioane:

Se intersectează? Să scriem valorile coordonatelor vectorilor lor de direcție, să le calculăm produsul scalar și modulele:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Atunci unghiul de intersecție este:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Acest unghi indică faptul că planurile nu se intersectează, ci sunt paralele. Faptul că nu se potrivesc între ele este ușor de verificat. Să luăm pentru acesta un punct arbitrar aparținând primului dintre ele, de exemplu, P(0; 3; 2). Înlocuind coordonatele sale în a doua ecuație, obținem:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Adică punctul P aparține doar primului plan.

Astfel, două plane sunt paralele atunci când normalele lor sunt.

Avion și linie

În cazul luării în considerare a poziției relative dintre un plan și o dreaptă, există mai multe opțiuni decât cu două plane. Acest fapt este legat de faptul că linia dreaptă este un obiect unidimensional. Linia și planul pot fi:

reciproc paralel, în acest caz planul nu intersectează dreapta;
acesta din urmă poate aparține planului, în timp ce va fi și paralel cu acesta;
ambele obiecte se pot intersecta la un anumit unghi.

Luați în considerare mai întâi ultimul caz, deoarece necesită introducerea conceptului de unghi de intersecție.

Linie și plan, valoarea unghiului dintre ele

Dacă o dreaptă intersectează un plan, atunci se numește înclinată față de acesta. Punctul de intersecție se numește baza pantei. Pentru a determina unghiul dintre aceste obiecte geometrice, este necesar să coborâți o dreaptă perpendiculară pe plan din orice punct. Apoi punctul de intersecție al perpendicularei cu planul și locul de intersecție al dreptei înclinate cu acesta formează o dreaptă. Aceasta din urmă se numește proiecția liniei inițiale pe planul luat în considerare. Acut și proiecția sa este cea dorită.

Definiția oarecum confuză a unghiului dintre un plan și un oblic va fi clarificată de figura de mai jos.

Aici unghiul ABO este unghiul dintre dreapta AB și planul a.

Pentru a scrie o formulă pentru aceasta, luați în considerare un exemplu. Să existe o dreaptă și un plan, care sunt descrise de ecuațiile:

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Este ușor de calculat unghiul dorit pentru aceste obiecte dacă găsiți produsul scalar dintre vectorii de direcție ai dreptei și ai planului. Unghiul ascuțit rezultat trebuie scăzut de la 90 o, apoi se obține între o dreaptă și un plan.

Figura de mai sus demonstrează algoritmul descris pentru găsirea unghiului considerat. Aici β este unghiul dintre normală și linie, iar α este între linie și proiecția acesteia pe plan. Se poate observa că suma lor este egală cu 90 o .

Mai sus, a fost prezentată o formulă care răspunde la întrebarea cum să găsești un unghi între planuri. Acum dăm expresia corespunzătoare pentru cazul unei drepte și al unui plan:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modulul din formulă permite calcularea numai a unghiurilor ascuțite. Funcția arcsinus a apărut în locul arccosinusului datorită utilizării formulei de reducere corespunzătoare între funcțiile trigonometrice (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problemă: un plan intersectează o dreaptă

Acum vom arăta cum să lucrați cu formula de mai sus. Să rezolvăm problema: este necesar să se calculeze unghiul dintre axa y și planul dat de ecuația:

Acest plan este prezentat în figură.

Se poate observa că intersectează axele y și z în punctele (0; -12; 0) și respectiv (0; 0; 12) și este paralelă cu axa x.

Vectorul direcție al dreptei y are coordonatele (0; 1; 0). Un vector perpendicular pe un plan dat este caracterizat de coordonatele (0; 1; -1). Aplicăm formula pentru unghiul de intersecție a unei drepte și a unui plan, obținem:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problemă: dreaptă paralelă cu planul

Acum să rezolvăm o problemă similară celei anterioare, a cărei întrebare este pusă diferit. Ecuațiile planului și ale dreptei sunt cunoscute:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Este necesar să aflăm dacă aceste obiecte geometrice sunt paralele între ele.

Avem doi vectori: linia de direcție este (0; 2; 2) și planul de direcție este (1; 1; -1). Găsim produsul lor scalar:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Zerul rezultat indică faptul că unghiul dintre acești vectori este de 90 o , ceea ce demonstrează paralelismul dreptei și al planului.

Acum să verificăm dacă această dreaptă este doar paralelă sau se află și într-un plan. Pentru a face acest lucru, selectați un punct arbitrar pe linie și verificați dacă acesta aparține planului. De exemplu, să luăm λ = 0, atunci punctul P(1; 0; 0) aparține dreptei. Inlocuim in ecuatia planului P:

Punctul P nu aparține planului și, prin urmare, întreaga linie nu se află în el.

Unde este important să se cunoască unghiurile dintre obiectele geometrice considerate?

Formulele de mai sus și exemplele de rezolvare a problemelor nu sunt doar de interes teoretic. Ele sunt adesea folosite pentru a determina cantități fizice importante ale figurilor tridimensionale reale, cum ar fi prisme sau piramide. Este important să se poată determina unghiul dintre planuri atunci când se calculează volumele figurilor și zonele suprafețelor acestora. Mai mult, dacă în cazul unei prisme drepte este posibil să nu se folosească aceste formule pentru a determina cantitățile indicate, atunci pentru orice tip de piramidă utilizarea lor este inevitabilă.

Mai jos vom lua în considerare un exemplu de utilizare a teoriei enunțate pentru a determina unghiurile unei piramide cu bază pătrată.

Piramida și colțurile ei

Figura de mai jos prezintă o piramidă, la baza căreia se află un pătrat cu latura a. Înălțimea figurii este h. Trebuie să găsiți două colțuri:

între suprafața laterală și bază;
între marginea laterală şi bază.

Pentru a rezolva problema, mai întâi trebuie să introduceți sistemul de coordonate și să determinați parametrii vârfurilor corespunzătoare. Figura arată că originea coordonatelor coincide cu punctul din centrul bazei pătrate. În acest caz, planul de bază este descris de ecuația:

Adică, pentru orice x și y, valoarea celei de-a treia coordonate este întotdeauna zero. Planul lateral ABC intersectează axa z în punctul B(0; 0; h), iar axa y în punctul cu coordonatele (0; a/2; 0). Nu traversează axa x. Aceasta înseamnă că ecuația planului ABC poate fi scrisă astfel:

y / (a / 2) + z / h = 1 sau
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vectorul AB¯ este o muchie laterală. Coordonatele sale de început și de sfârșit sunt: A(a/2; a/2; 0) și B(0; 0; h). Apoi coordonatele vectorului însuși:

Am găsit toate ecuațiile și vectorii necesari. Acum rămâne să folosim formulele luate în considerare.

În primul rând, în piramidă, calculăm unghiul dintre planurile bazei și ale laturii. Vectorii normali corespunzători sunt: n 1 ¯(0; 0; 1) și n 2 ¯(0; 2*h; a). Atunci unghiul va fi: