Comparați numere fracționale cu numitori diferiți. Compararea fracțiilor: reguli, exemple, soluții

Acest articol tratează compararea fracțiilor. Aici vom afla care dintre fracții este mai mare sau mai mică, vom aplica regula și vom analiza exemple de soluție. Comparați fracții cu aceiași și diferiți numitori. Să comparăm o fracție obișnuită cu un număr natural.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Compararea fracțiilor cu aceiași numitori

Când comparăm fracții cu aceiași numitori, lucrăm doar cu numărătorul, ceea ce înseamnă că comparăm fracțiile unui număr. Dacă există o fracție 3 7 , atunci aceasta are 3 părți 1 7 , atunci fracția 8 7 are 8 astfel de părți. Cu alte cuvinte, dacă numitorul este același, se compară numărătorii acestor fracții, adică 3 7 și 8 7 se compară numerele 3 și 8.

Aceasta implică regula de comparare a fracțiilor cu aceiași numitori: dintre fracțiile disponibile cu aceiași indicatori, fracția cu numărătorul mai mare este considerată mai mare și invers.

Acest lucru sugerează că ar trebui să acordați atenție numărătorilor. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un exemplu.

Exemplul 1

Comparați fracțiile date 65 126 și 87 126 .

Soluţie

Deoarece numitorii fracțiilor sunt aceiași, să trecem la numărători. Din numerele 87 și 65 este evident că 65 este mai puțin. Pe baza regulii de comparare a fracțiilor cu aceiași numitori, avem că 87126 este mai mare decât 65126.

Răspuns: 87 126 > 65 126 .

Compararea fracțiilor cu numitori diferiți

Compararea unor astfel de fracții poate fi comparată cu compararea fracțiilor cu aceiași exponenți, dar există o diferență. Acum trebuie să reducem fracțiile la un numitor comun.

Dacă există fracții cu numitori diferiți, pentru a le compara aveți nevoie de:

• găsiți un numitor comun;
• compara fracții.

Să aruncăm o privire la acești pași cu un exemplu.

Exemplul 2

Comparați fracțiile 5 12 și 9 16 .

Soluţie

Primul pas este aducerea fracțiilor la un numitor comun. Acest lucru se face în acest fel: se găsește LCM, adică cel mai mic divizor comun, 12 și 16. Acest număr este 48. Este necesar să se înscrie factori suplimentari la prima fracție 5 12, acest număr se găsește din câtul 48: 12 = 4, pentru a doua fracție 9 16 - 48: 16 = 3. Să o scriem astfel: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 și 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

După compararea fracțiilor, obținem acel 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Răspuns: 5 12 < 9 16 .

Există o altă modalitate de a compara fracții cu numitori diferiți. Se realizează fără reducerea la un numitor comun. Să ne uităm la un exemplu. Pentru a compara fracțiile a b și c d, reducem la un numitor comun, apoi b · d, adică produsul acestor numitori. Atunci factorii suplimentari pentru fracții vor fi numitorii fracției învecinate. Acesta este scris ca a · d b · d și c · b d · b . Folosind regula cu aceiași numitori, avem că comparația fracțiilor s-a redus la comparații ale produselor a · d și c · b. De aici obținem regula pentru compararea fracțiilor cu numitori diferiți: dacă a d > b c, atunci a b > c d, dar dacă a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Exemplul 3

Comparați fracțiile 5 18 și 23 86.

Soluţie

Acest exemplu are a = 5 , b = 18 , c = 23 și d = 86 . Atunci este necesar să se calculeze a · d și b · c . Rezultă că a d = 5 86 = 430 și b c = 18 23 = 414 . Dar 430 > 414 , atunci fracția dată 5 18 este mai mare decât 23 86 .

Răspuns: 5 18 > 23 86 .

Compararea fracțiilor cu același numărător

Dacă fracțiile au aceiași numărători și numitori diferiți, atunci puteți efectua comparația conform paragrafului anterior. Rezultatul comparației este posibil la compararea numitorilor acestora.

Există o regulă pentru compararea fracțiilor cu aceiași numărători : Dintre două fracții cu același numărător, fracția mai mare este cea cu numitorul mai mic și invers.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 4

Comparați fracțiile 54 19 și 54 31.

Soluţie

Avem că numărătorii sunt aceiași, ceea ce înseamnă că o fracție cu numitorul 19 este mai mare decât o fracție care are numitorul 31. Acest lucru este clar din regulă.

Răspuns: 54 19 > 54 31 .

În caz contrar, puteți lua în considerare un exemplu. Sunt două farfurii pe care 1 2 plăcinte, anna încă 1 16 . Dacă mănânci 1 2 plăcinte, te vei sătura mai repede decât doar 1 16. De aici concluzia că cel mai mare numitor cu aceiași numărători este cel mai mic atunci când se compară fracțiile.

Compararea unei fracții cu un număr natural

O comparație a unei fracții obișnuite cu un număr natural este aceeași cu o comparație a două fracții cu numitorii scrisi sub forma 1. Să aruncăm o privire la un exemplu de mai jos pentru mai multe detalii.

Exemplul 4

Este necesar să se efectueze o comparație 63 8 și 9 .

Soluţie

Este necesar să se reprezinte numărul 9 ca o fracție 9 1 . Atunci avem nevoie să comparăm fracțiile 63 8 și 9 1 . Aceasta este urmată de reducerea la un numitor comun prin găsirea de factori suplimentari. După aceea, vedem că trebuie să comparăm fracții cu aceiași numitori 63 8 și 72 8 . Pe baza regulii de comparație, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Răspuns: 63 8 < 9 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În viața de zi cu zi, de multe ori trebuie să comparăm valorile fracționale. De cele mai multe ori acest lucru nu provoacă probleme. Într-adevăr, toată lumea înțelege că o jumătate de măr este mai mare decât un sfert. Dar atunci când este necesar să-l notăm ca expresie matematică, poate fi dificil. Aplicând următoarele reguli matematice, puteți rezolva cu ușurință această problemă.

Cum se compară fracții cu același numitor

Aceste fracții sunt cel mai ușor de comparat. În acest caz, utilizați regula:

Dintre două fracții cu aceiași numitori, dar cu numărătoare diferiți, cea mai mare este cea al cărei numărător este mai mare, iar cea mai mică este cea al cărui numărător este mai mic.

De exemplu, comparați fracțiile 3/8 și 5/8. Numitorii din acest exemplu sunt egali, așa că aplicăm această regulă. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Într-adevăr, dacă tăiați două pizza în 8 felii, atunci 3/8 felii sunt întotdeauna mai puțin de 5/8.

Compararea fracțiilor cu aceiași numărători și numitori diferiți

În acest caz, se compară mărimile acțiunilor numitorului. Regula de aplicat este:

Dacă două fracții au același numărător, atunci fracția mai mare este cea cu numitorul mai mic.

De exemplu, comparați fracțiile 3/4 și 3/8. În acest exemplu, numărătorii sunt egali, așa că folosim a doua regulă. Fracția 3/4 are un numitor mai mic decât fracția 3/8. Prin urmare 3/4>3/8

Într-adevăr, dacă mănânci 3 felii de pizza împărțite în 4 părți, vei fi mai sătul decât dacă ai mânca 3 felii de pizza împărțite în 8 părți.

Compararea fracțiilor cu numărători și numitori diferiți

Aplicam a treia regula:

Comparația fracțiilor cu numitori diferiți ar trebui comparată cu fracțiile cu aceiași numitori. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți fracțiile la un numitor comun și să utilizați prima regulă.

De exemplu, trebuie să comparați fracțiile și . Pentru a determina fracția mai mare, aducem aceste două fracții la un numitor comun:

• Acum să găsim al doilea factor suplimentar: 6:3=2. O scriem peste a doua fracție:

Dintre două fracții cu același numitor, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, iar cea cu numărătorul mai mic este mai mică.. De fapt, până la urmă, numitorul arată în câte părți a fost împărțită o valoare întreagă, iar numărătorul arată câte astfel de părți au fost luate.

Se pare că fiecare cerc întreg a fost împărțit la același număr 5 , dar au luat un număr diferit de părți: au luat mai multe - o fracțiune mare și s-a dovedit.

Dintre două fracții cu același numărător, cea cu numitorul mai mic este mai mare, iar cea cu numitorul mai mare este mai mică. Ei bine, de fapt, dacă împărțim un cerc în 8 părți și cealaltă 5 părți și ia câte o parte din fiecare dintre cercuri. Care parte va fi mai mare?

Desigur, dintr-un cerc împărțit la 5 părți! Acum imaginați-vă că au împărțit nu cercuri, ci prăjituri. Ce piesă ai prefera, mai precis, care cotă: a cincea sau a opta?

Pentru a compara fracții cu diferiți numărători și diferiți numitori, trebuie să reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun și apoi să comparați fracțiile cu aceiași numitori.

Exemple. Comparați fracțiile obișnuite:

Să aducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun. NOZ(4 ; 6)=12. Găsim factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Pentru prima fracție, un multiplicator suplimentar 3 (12: 4=3 ). Pentru a 2-a fracție, un multiplicator suplimentar 2 (12: 6=2 ). Acum comparăm numărătorii celor două fracții rezultate cu aceiași numitori. Deoarece numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua fracții ( 9<10) , atunci prima fracție în sine este mai mică decât a doua fracție.

Continuăm să studiem fracțiile. Astăzi vom vorbi despre comparația lor. Subiectul este interesant și util. Îi va permite începătorului să se simtă ca un om de știință într-o haină albă.

Esența comparării fracțiilor este de a afla care dintre cele două fracții este mai mare sau mai mică.

Pentru a răspunde la întrebarea care dintre cele două fracții este mai mare sau mai mică, utilizați mai mult (>) sau mai puțin (<).

Matematicienii s-au ocupat deja de reguli gata făcute care vă permit să răspundeți imediat la întrebarea care fracție este mai mare și care este mai mică. Aceste reguli pot fi aplicate în siguranță.

Ne vom uita la toate aceste reguli și vom încerca să ne dăm seama de ce se întâmplă acest lucru.

Conținutul lecției

Compararea fracțiilor cu aceiași numitori

Fracțiile de comparat apar diferite. Cel mai de succes caz este atunci când fracțiile au aceiași numitori, dar numărători diferiți. În acest caz, se aplică următoarea regulă:

Dintre două fracții cu același numitor, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare. Și, în consecință, va fi fracția mai mică, în care numărătorul este mai mic.

De exemplu, să comparăm fracții și și să răspundem care dintre aceste fracții este mai mare. Aici numitorii sunt aceiași, dar numărătorii sunt diferiți. O fracție are un numărător mai mare decât o fracție. Deci fracția este mai mare decât . Așa că răspundem. Răspunde folosind pictograma mai multe (>)

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la pizza care sunt împărțite în patru părți. mai multe pizza decât pizza:

Toată lumea va fi de acord că prima pizza este mai mare decât a doua.

Compararea fracțiilor cu același numărător

Următorul caz în care putem intra este atunci când numărătorii fracțiilor sunt aceiași, dar numitorii sunt diferiți. Pentru astfel de cazuri, este prevăzută următoarea regulă:

Dintre două fracții cu același numărător, fracția cu numitorul mai mic este mai mare. Fracția cu numitorul mai mare este deci mai mică.

De exemplu, să comparăm fracțiile și . Aceste fracții au același numărător. O fracție are un numitor mai mic decât o fracție. Deci fracția este mai mare decât fracția. Așa că răspundem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la pizza care sunt împărțite în trei și patru părți. mai multe pizza decât pizza:

Toată lumea este de acord că prima pizza este mai mare decât a doua.

Compararea fracțiilor cu diferiți numărători și diferiți numitori

De multe ori se întâmplă să fii nevoit să compari fracții cu diferiți numărători și diferiți numitori.

De exemplu, comparați fracții și . Pentru a răspunde la întrebarea care dintre aceste fracții este mai mare sau mai mică, trebuie să le aduceți la același numitor (comun). Atunci va fi ușor să determinați care fracție este mai mare sau mai mică.

Să aducem fracțiile la același numitor (comun). Găsiți (LCM) numitorii ambelor fracții. LCM al numitorilor fracțiilor și al numărului respectiv este 6.

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 6 la 2, obținem un factor suplimentar de 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum să găsim al doilea factor suplimentar. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 6 la 3, obținem un factor suplimentar de 2. Îl scriem peste a doua fracție:

Înmulțiți fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să comparăm astfel de fracții. Dintre două fracții cu aceiași numitori, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare:

Regula este regula și vom încerca să ne dăm seama de ce mai mult de . Pentru a face acest lucru, selectați partea întreagă din fracție. Nu este nevoie să selectați nimic din fracție, deoarece această fracție este deja corectă.

După selectarea părții întregi din fracție, obținem următoarea expresie:

Acum puteți înțelege cu ușurință de ce mai mult de . Să desenăm aceste fracții sub formă de pizza:

2 pizza intregi si pizza, mai mult decat pizza.

Scăderea numerelor mixte. Cazuri dificile.

Când scazi numere mixte, uneori descoperi că lucrurile nu merg atât de bine pe cât ți-ai dori. Se întâmplă adesea ca atunci când rezolvi un exemplu, răspunsul să nu fie ceea ce ar trebui să fie.

La scăderea numerelor, minuendul trebuie să fie mai mare decât scăderea. Numai în acest caz se va primi un răspuns normal.

De exemplu, 10−8=2

10 - redus

8 - scăzut

2 - diferenta

Minusul 10 este mai mare decât scăderea 8, așa că am primit răspunsul normal 2.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă minuend este mai mic decât subtraend. Exemplul 5−7=−2

5 - redus

7 - scăzut

−2 este diferența

În acest caz, trecem dincolo de numerele cu care suntem obișnuiți și ne regăsim în lumea numerelor negative, unde este prea devreme să mergem și chiar periculos. Pentru a lucra cu numere negative, aveți nevoie de un fundal matematic adecvat, pe care nu l-am primit încă.

Dacă, atunci când rezolvați exemple pentru scădere, descoperiți că minuend este mai mic decât subtraend, atunci puteți sări peste un astfel de exemplu pentru moment. Este permis să lucrați cu numere negative numai după ce le-ați studiat.

Situația este aceeași cu fracțiile. Minendul trebuie să fie mai mare decât subtraend. Numai în acest caz va fi posibil să obțineți un răspuns normal. Și pentru a înțelege dacă fracția redusă este mai mare decât cea scăzută, trebuie să poți compara aceste fracții.

De exemplu, să rezolvăm un exemplu.

Acesta este un exemplu de scădere. Pentru a o rezolva, trebuie să verificați dacă fracția redusă este mai mare decât cea scăzută. mai mult decât

astfel încât să putem reveni în siguranță la exemplu și să-l rezolvăm:

Acum să rezolvăm acest exemplu

Verificați dacă fracția redusă este mai mare decât cea scăzută. Constatăm că este mai puțin:

În acest caz, este mai rezonabil să se oprească și să nu se continue calculul. Vom reveni la acest exemplu când studiem numerele negative.

De asemenea, este de dorit să verificați numerele mixte înainte de a scădea. De exemplu, să găsim valoarea expresiei .

Mai întâi, verificați dacă numărul mixt redus este mai mare decât cel scăzut. Pentru a face acest lucru, traducem numerele mixte în fracții improprii:

Avem fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți. Pentru a compara astfel de fracții, trebuie să le aduceți la același numitor (comun). Nu vom descrie în detaliu cum să facem acest lucru. Dacă întâmpinați probleme, asigurați-vă că repetați.

După reducerea fracțiilor la același numitor, obținem următoarea expresie:

Acum trebuie să comparăm fracțiile și . Acestea sunt fracții cu aceiași numitori. Dintre două fracții cu același numitor, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare.

O fracție are un numărător mai mare decât o fracție. Deci fracția este mai mare decât fracția.

Aceasta înseamnă că minuend este mai mare decât subtraend.

Deci ne putem întoarce la exemplul nostru și îl rezolvăm cu îndrăzneală:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Verificați dacă minuend este mai mare decât subtraend.

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Avem fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți. Aducem aceste fracții la același numitor (comun).

În această lecție vom învăța cum să comparăm fracțiile între ele. Aceasta este o abilitate foarte utilă care este necesară pentru a rezolva o întreagă clasă de probleme mai complexe.

În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc definiția egalității fracțiilor:

Fracțiile a /b și c /d se numesc egale dacă ad = bc.

1. 5/8 = 15/24 deoarece 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 deoarece 3 18 = 2 27 = 54.

În toate celelalte cazuri, fracțiile sunt inegale și una dintre următoarele afirmații este adevărată pentru ele:

1. Fracția a/b este mai mare decât fracția c/d;
2. Fracția a /b este mai mică decât fracția c /d .

Fracția a /b se numește mai mare decât fracția c /d dacă a /b − c /d > 0.

O fracție x /y se numește mai mică decât o fracție s /t dacă x /y − s /t< 0.

Desemnare:

Astfel, compararea fracțiilor se reduce la scăderea lor. Întrebare: cum să nu fii confundat cu notația „mai mare decât” (>) și „mai puțin decât” (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Partea extinsă a cecului este întotdeauna îndreptată către numărul mai mare;
2. Nasul ascuțit al unui copacă indică întotdeauna un număr mai mic.

Adesea, în sarcinile în care doriți să comparați numere, acestea pun semnul „∨” între ele. Aceasta este o coracă cu nasul în jos, care, parcă, sugerează: numărul cel mai mare nu a fost încă determinat.

O sarcină. Comparați numerele:

După definiție, scădem fracțiile una de la alta:

În fiecare comparație, trebuia să aducem fracțiile la un numitor comun. În special, folosind metoda încrucișată și găsirea celui mai mic multiplu comun. Nu m-am concentrat în mod intenționat pe aceste puncte, dar dacă ceva nu este clar, aruncați o privire la lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor” - este foarte ușor.

Comparație zecimală

În cazul fracțiilor zecimale, totul este mult mai simplu. Nu este nevoie să scădeți nimic aici - comparați doar cifrele. Nu va fi de prisos să ne amintim ce este o parte semnificativă a unui număr. Pentru cei care au uitat, vă sugerez să repetați lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor zecimale” - va dura, de asemenea, doar câteva minute.

O zecimală X pozitivă este mai mare decât o zecimală pozitivă Y dacă are o zecimală astfel încât:

1. Cifra din această cifră din fracția X este mai mare decât cifra corespunzătoare din fracția Y;
2. Toate cifrele mai vechi decât cele date în fracțiile X și Y sunt aceleași.

1. 12.25 > 12.16. Primele două cifre sunt aceleași (12 = 12), iar a treia este mai mare (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Cu alte cuvinte, ne uităm secvenţial la zecimale şi căutăm diferenţa. În acest caz, unui număr mai mare corespunde unei fracții mai mari.

Cu toate acestea, această definiție necesită o clarificare. De exemplu, cum se scrie și se compară cifre până la virgulă zecimală? Amintiți-vă: oricărui număr scris în formă zecimală i se poate atribui orice număr de zerouri din stânga. Iată încă câteva exemple:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, deoarece 0,0025 = 0000,0025 - au adăugat trei zerouri în stânga. Acum puteți vedea că diferența începe din primul bit: 2 > 0.

Desigur, în exemplele date cu zerouri a existat o enumerare explicită, dar sensul este exact acesta: completați cifrele lipsă din stânga și apoi comparați.

O sarcină. Comparați fracții:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Prin definiție avem:

1. 0,029 > 0,007. Primele două cifre sunt aceleași (00 = 00), apoi începe diferența (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Aici trebuie să numărați cu atenție zerourile. Primele 5 cifre din ambele fracții sunt zero, dar mai departe în prima fracție este 3, iar în a doua - 0. Evident, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Să rescriem a doua fracție ca 0000,99501, adăugând 3 zerouri la stânga. Acum totul este evident: 1 > 0 - diferența se găsește în prima cifră.

Din păcate, schema de mai sus pentru compararea fracțiilor zecimale nu este universală. Această metodă poate doar compara numere pozitive. În cazul general, algoritmul de lucru este următorul:

1. O fracție pozitivă este întotdeauna mai mare decât una negativă;
2. Două fracții pozitive sunt comparate conform algoritmului de mai sus;
3. Două fracții negative sunt comparate în același mod, dar la sfârșit semnul inegalității este inversat.

Ei bine, nu este slab? Acum să ne uităm la exemple specifice - și totul va deveni clar.

O sarcină. Comparați fracții:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. Fracțiile sunt negative, 2 cifre sunt diferite. unu< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > -11,3. Un număr pozitiv este întotdeauna mai mare decât unul negativ;
4. 19,032 > 0,091. Este suficient să rescrieți a doua fracție sub forma 00.091 pentru a vedea că diferența apare deja într-o cifră;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Diferența este în prima categorie.