Orice limbă poate exprima aceleași informații cuvinte diferiteși cifrele de afaceri. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.

Oamenii comunică mai departe limbi diferite. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „Limba rusă – limba matematică”. Aceleași informații pot fi raportate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat diferit într-o singură limbă.

De exemplu: „Peter este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Peter și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar unul și același. Prin oricare dintre aceste fraze, am înțelege ce este în joc.

Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem ce în cauză. Cu toate acestea, nu ne place cum sună această frază. Nu putem să o simplificăm, să spunem la fel, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.

„Băieți”... Nu se vede din numele lor că nu sunt fete. Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază, lungă și urâtă a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai ușor, dar a nu pierde, a nu denatura sensul.

Același lucru se întâmplă și în limbajul matematic. Același lucru poate fi spus diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această mulțime, trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.

De exemplu, luați în considerare o expresie numerică. Va fi echivalent cu .

De asemenea, va fi echivalent cu primele două: .

Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.

Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți toată munca și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.

Luați în considerare un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.

Când simplificați expresiile literale, trebuie să efectuați toate acțiunile posibile.

Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori o notație echivalentă, dar mai lungă, va fi mai convenabilă pentru noi.

Exemplu: Scădeți numărul din număr.

Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .

Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.

Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.

Simplificați expresia: .

Decizie

1) Efectuați acțiuni în prima și a doua paranteză: .

2) Calculați produsele: .

Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.

Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).

Pentru a determina expresia echivalentă, trebuie:

1) efectuați toate acțiunile posibile,

2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.

Proprietăți de adunare și scădere:

1. Proprietatea comutativă a adunării: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

2. Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.

3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea suma dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen individual.

Proprietăți de înmulțire și împărțire

1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.

2. Proprietate asociativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.

3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulți cu fiecare termen separat.

Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.

Calculati:

Decizie

1) Imaginează-ți cum

2) Să reprezentăm primul factor ca sumă termeni de biți si faceti inmultirea:

3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:

4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:

Legea distributivă poate fi folosită și în sens invers: .

Urmați acești pași:

1) 2)

Decizie

1) Pentru comoditate, puteți folosi legea distribuției, doar utilizați-o în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.

2) Să scoatem factorul comun din paranteze

Este necesar să cumpărați linoleum în bucătărie și hol. Zona bucatarie - hol -. Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va costa fiecare dintre cele trei tipuri de linoleum? (Fig. 1)

Orez. 1. Ilustrație pentru starea problemei

Decizie

Metoda 1. Puteți găsi separat câți bani va fi nevoie pentru a cumpăra linoleum în bucătărie, apoi adăugați-l pe hol și adăugați lucrările rezultate.

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de sarcini, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, îi vom reprezenta în funcție de modul în care se desfășoară dezvoltarea opiniilor de la o diplomă cu indicator natural la una cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a gradului unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Se introduce o diplomă cu indicator rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază ale identității expresiilor. De exemplu, puteți extinde paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Decizie.

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Noi avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Decizie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Decizie.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire redusă, diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când se lucrează cu expresii similare, atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent pot fi înlocuite identic expresie egală pe ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0.3 7) 5−3.7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) obținem o expresie de putere mai mult formă simplă a 2 (x+1) .

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și arbitrare numere reale r și s au următoarele proprietăți ale puterilor:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numere naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitivă , ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietate potrivităși aplicați-l corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - intervalul de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să aplicați vreo proprietate a gradelor în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODZ și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Decizie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Decizie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Iar la multiplicarea puterilor cu aceleași temeiuri indicatorii se adună: .

A fost posibil să se realizeze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere o expresie de putere a 1.5 −a 0.5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0.5 .

Decizie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și în continuare pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea puterilor de conținut ale fracțiilor la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea la un nou numitor fracții raționale. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Decizie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator a 0,3, deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Decizie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori conform formulei diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Decizie.

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în genul potrivit, în cele mai multe cazuri este suficient să mergi doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce te familiarizezi cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala , care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale , iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

O expresie algebrică în înregistrarea căreia, împreună cu operațiile de adunare, scădere și înmulțire, utilizează și împărțirea în expresii literale, se numește expresie algebrică fracțională. Așa sunt, de exemplu, expresiile

Numim o fracție algebrică o expresie algebrică care are forma unui coeficient de împărțire a două expresii algebrice întregi (de exemplu, monomii sau polinoame). Așa sunt, de exemplu, expresiile

a treia dintre expresii).

Transformările de identitate ale expresiilor algebrice fracționale sunt în cea mai mare parte menite să le reprezinte sub forma fracție algebrică. Pentru a găsi un numitor comun, se utilizează descompunerea în factori a numitorilor fracțiilor - termeni pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al acestora. La reducerea fracțiilor algebrice, identitatea strictă a expresiilor poate fi încălcată: este necesar să se excludă valorile cantităților la care dispare factorul prin care se face reducerea.

Să dăm exemple de transformări identice ale expresiilor algebrice fracționale.

Exemplul 1: Simplificați o expresie

Toți termenii pot fi redusi la un numitor comun (este convenabil să schimbați semnul în numitorul ultimului termen și semnul din fața acestuia):

Expresia noastră este egală cu unu pentru toate valorile, cu excepția acestor valori, nu este definită și reducerea fracției este ilegală).

Exemplul 2. Reprezentați expresia ca o fracție algebrică

Decizie. Expresia poate fi luată ca numitor comun. Găsim succesiv:

Exerciții

1. Găsiți valorile expresiilor algebrice pentru valorile specificate ale parametrilor:

2. Factorizați.

Math-Calculator-Online v.1.0

Calculatorul efectuează următoarele operații: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, lucrul cu zecimale, extragerea rădăcinii, ridicarea la o putere, calcularea procentelor și alte operații.

Decizie:

Cum se utilizează calculatorul de matematică

Cheie	Desemnare	Explicaţie
5	numerele 0-9	cifre arabe. Introduceți numere întregi naturale, zero. Pentru a obține un număr întreg negativ, apăsați tasta +/-
.	punct şi virgulă)	Un separator zecimal. Dacă nu există nicio cifră înaintea punctului (virgulă), calculatorul va înlocui automat un zero înaintea punctului. De exemplu: se vor scrie .5 - 0.5
+	semnul plus	Adunarea numerelor (fracții întregi, zecimale)
-	semnul minus	Scăderea numerelor (fracții întregi, zecimale)
÷	semn de diviziune	Împărțirea numerelor (întregi, fracții zecimale)
X	semn de înmulțire	Înmulțirea numerelor (numere întregi, zecimale)
√	rădăcină	Extragerea rădăcinii dintr-un număr. Când apăsați din nou butonul „rădăcină”, rădăcina este calculată din rezultat. De exemplu: rădăcina pătrată a lui 16 = 4; rădăcină pătrată a lui 4 = 2
x2	cuadratura	Pătratarea unui număr. Când apăsați din nou butonul „pătrat”, rezultatul este pătrat. De exemplu: pătratul 2 = 4; pătratul 4 = 16
1/x	fracțiune	Ieșire la zecimale. La numărătorul 1, la numitor numărul de intrare
%	la sută	Obțineți un procent dintr-un număr. Pentru a lucra, trebuie să introduceți: numărul din care se va calcula procentul, semnul (plus, minus, împărțire, înmulțire), câte procente în formă numerică, butonul „%”
(	paranteză deschisă	O paranteză deschisă pentru a stabili prioritatea evaluării. Este necesară o paranteză închisă. Exemplu: (2+3)*2=10
)	paranteză închisă	O paranteză închisă pentru a seta prioritatea evaluării. Disponibilitate necesară paranteză deschisă
±	plus minus	Schimbă semnul în opus
=	egală	Afișează rezultatul soluției. De asemenea, calculele intermediare și rezultatul sunt afișate deasupra calculatorului în câmpul „Soluție”.
←	ștergerea unui caracter	Șterge ultimul caracter
Cu	resetare	Butonul de resetare. Resetează complet calculatorul la „0”

Algoritmul calculatorului online cu exemple

Plus.

Adunarea numerelor naturale întregi ( 5 + 7 = 12 )

Adunarea numerelor naturale și negative întregi ( 5 + (-2) = 3 )

Adunare zecimală numere fracționale { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Scădere.

Scăderea numerelor naturale întregi ( 7 - 5 = 2 )

Scăderea numerelor naturale și negative întregi ( 5 - (-2) = 7 )

Scăderea numerelor fracționale zecimale ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Multiplicare.

Produsul numerelor naturale întregi ( 3 * 7 = 21 )

Produsul numerelor naturale și negative întregi ( 5 * (-3) = -15 )

Produsul numerelor fracționale zecimale ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divizia.

Împărțirea numerelor naturale întregi ( 27 / 3 = 9 )

Împărțirea numerelor naturale și negative întregi ( 15 / (-3) = -5 )

Împărțirea numerelor fracționale zecimale ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Extragerea rădăcinii dintr-un număr.

Extragerea rădăcinii unui număr întreg ( root(9) = 3 )

Extragerea rădăcinii zecimale ( root(2.5) = 1.58 )

Extragerea rădăcinii din suma numerelor ( rădăcină(56 + 25) = 9 )

Extragerea rădăcinii diferenței de numere ( rădăcina (32 - 7) = 5 )

Pătratarea unui număr.

Pătratul unui număr întreg ( (3) 2 = 9 )

zecimale pătrate ( (2,2) 2 = 4,84 )

Convertiți în fracții zecimale.

Calcularea procentelor unui număr

Creșteți 230 cu 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Reduceți numărul 510 cu 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% din numărul 140 este ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Convenabil și simplu calculator online fracții cu soluție detaliată poate:

• Adunați, scădeți, înmulțiți și împărțiți fracții online,
• A primi solutie la cheie fracții cu o imagine și este convenabil să o transferați.



Rezultatul rezolvării fracțiilor va fi aici...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Semnul fracției „/” + - * :
_terge Șterge
Calculatorul nostru online de fracții are o introducere rapidă. Pentru a obține soluția fracțiilor, de exemplu, scrieți 1/2+2/7 în calculator și apăsați butonul „ rezolva fractii". Calculatorul vă va scrie soluție detaliată fractii si problema imagine prietenoasă cu copierea.

Caracterele folosite pentru scrierea în calculator

Puteți introduce un exemplu pentru o soluție atât de la tastatură, cât și folosind butoanele.

Caracteristicile calculatorului de fracții online

Calculatorul de fracții poate efectua numai operații cu 2 fracții simple. Ele pot fi fie corecte (numărătorul este mai mic decât numitorul) fie incorecte (numărătorul este mai mare decât numitorul). Numerele din numărător și numitor nu pot fi negative și mai mari decât 999.
Calculatorul nostru online rezolvă fracții și aduce răspunsul la forma corectă- reduce fractia si evidentiaza intreaga parte, daca este cazul.

Dacă trebuie să rezolvați fracții negative, utilizați doar proprietățile minus. Când înmulțiți și împărțiți fracțiile negative, minus cu minus dă plus. Adică produsul și diviziunea fracțiilor negative este egal cu produsul și diviziunea acelorași pozitive. Dacă o fracție este negativă atunci când este înmulțită sau împărțită, atunci pur și simplu eliminați minusul și apoi adăugați-l la răspuns. Când adăugați fracții negative, rezultatul va fi același ca și cum ați adăuga aceleași fracții pozitive. Dacă adăugați o fracție negativă, atunci aceasta este la fel cu scăderea aceleiași fracții pozitive.
La scăderea fracțiilor negative, rezultatul va fi același ca și cum ar fi fost inversate și făcute pozitive. Adică, un minus cu un minus în acest caz dă un plus, iar suma nu se schimbă dintr-o rearanjare a termenilor. Folosim aceleași reguli la scăderea fracțiilor, dintre care una este negativă.

Pentru a rezolva fracții mixte (fracții în care întreaga parte este evidențiată), pur și simplu conduceți întreaga parte într-o fracție. Pentru a face acest lucru, înmulțiți partea întreagă cu numitorul și adăugați la numărător.

Dacă trebuie să rezolvați 3 sau mai multe fracții online, atunci ar trebui să le rezolvați una câte una. Mai întâi, numărați primele 2 fracții, apoi rezolvați următoarea fracție cu răspunsul primit și așa mai departe. Efectuați pe rând operații pentru 2 fracții, iar la final veți obține răspunsul corect.