Mówiąc najprościej, są to równania, w których występuje co najmniej jedno ze zmienną w mianowniku.

Na przykład:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Przykład nie frakcyjny równania racjonalne:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Jak rozwiązywane są ułamkowe równania wymierne?

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania o ułamkowych równaniach wymiernych jest to, że musisz w nich pisać. A po znalezieniu korzeni koniecznie sprawdź je pod kątem dopuszczalności. W przeciwnym razie mogą pojawić się obce korzenie, a całe rozwiązanie zostanie uznane za nieprawidłowe.

Algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego:

Napisz i "rozwiąż" ODZ.

Pomnóż każdy wyraz w równaniu przez wspólny mianownik i zmniejsz otrzymane ułamki. Znikną mianowniki.

Napisz równanie bez otwierania nawiasów.

Rozwiąż otrzymane równanie.

Sprawdź znalezione korzenie za pomocą ODZ.

Zapisz w odpowiedzi pierwiastki, które pomyślnie przeszły test w kroku 7.

Nie zapamiętuj algorytmu, 3-5 rozwiązanych równań - i zostanie zapamiętany sam.

Przykład . Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(3\).

Przykład . Znajdź pierwiastki ułamkowego równania wymiernego \(=0\)

Rozwiązanie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujemy i "rozwiązujemy" ODZ. Rozwiń \(x^2+7x+10\) do wzoru: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na szczęście \(x_1\) i \(x_2\) już znaleźliśmy.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Oczywiście wspólny mianownik ułamków to \((x+2)(x+5)\). Przez to mnożymy całe równanie.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Redukujemy ułamki
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otwieranie nawiasów
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemy podobne warunki
\(2x^2+9x-5=0\)		Znajdowanie pierwiastków równania
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jeden z korzeni nie mieści się pod ODZ, więc w odpowiedzi zapisujemy tylko drugi korzeń.

Odpowiedź: \(\frac(1)(2)\).

Rozwiązanie ułamkowe równania wymierne

Przewodnik pomocniczy

Równania wymierne to równania, w których zarówno lewa, jak i prawa strona są wyrażenia wymierne.

(Przypomnij sobie, że wyrażenia wymierne są liczbami całkowitymi i wyrażenia ułamkowe bez rodników, w tym operacje dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia - np.: 6x; (m – n)2; x/3 lata itp.)

Równania ułamkowo-racjonalne z reguły sprowadza się do postaci:

Gdzie P(x) I Q(x) są wielomianami.

Aby rozwiązać takie równania, pomnóż obie strony równania przez Q(x), co może prowadzić do pojawienia się obcych pierwiastków. Dlatego przy rozwiązywaniu ułamkowych równań wymiernych konieczne jest sprawdzenie znalezionych pierwiastków.

Równanie wymierne nazywa się liczbą całkowitą lub algebraiczną, jeśli nie ma dzielenia przez wyrażenie zawierające zmienną.

Przykłady całego równania racjonalnego:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Jeżeli w równaniu wymiernym istnieje dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną (x), to równanie to nazywamy wymiernym ułamkowym.

Przykład ułamkowego równania wymiernego:

15
x + - = 5x - 17
x

Ułamkowe równania wymierne są zwykle rozwiązywane w następujący sposób:

1) znaleźć wspólny mianownik ułamków i pomnożyć przez niego obie części równania;

2) rozwiązać powstałe całe równanie;

3) wyklucz z jego pierwiastków te, które zmieniają wspólny mianownik ułamków na zero.

Przykłady rozwiązywania równań wymiernych liczb całkowitych i ułamkowych.

Przykład 1. Rozwiąż całe równanie

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Rozwiązanie:

Znalezienie najniższego wspólnego mianownika. To jest 6. Podziel 6 przez mianownik i pomnóż wynik przez licznik każdego ułamka. Otrzymujemy równanie równoważne temu:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Od lewej i prawej strony ten sam mianownik, można go pominąć. Wtedy mamy prostsze równanie:

3(x-1) + 4x = 5x.

Rozwiązujemy to, otwierając nawiasy i redukując podobne terminy:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Przykład rozwiązany.

Przykład 2. Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Znajdujemy wspólny mianownik. To jest x(x-5). Więc:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Teraz ponownie pozbywamy się mianownika, ponieważ jest on taki sam dla wszystkich wyrażeń. Redukujemy podobne wyrazy, przyrównujemy równanie do zera i otrzymujemy równanie kwadratowe:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Po rozwiązaniu równania kwadratowego znajdujemy jego pierwiastki: -2 i 5.

Sprawdźmy, czy te liczby są pierwiastkami pierwotnego równania.

Dla x = –2 wspólny mianownik x(x – 5) nie znika. Więc -2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Przy x = 5 znika wspólny mianownik, a dwa z trzech wyrażeń tracą znaczenie. Tak więc liczba 5 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: x = -2

Więcej przykładów

Przykład 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odpowiedź: -2,2; 6.

Przykład 2

T. Kosiakowej,
szkoła nr 80, Krasnodar

Rozwiązywanie równań kwadratowych i ułamkowo-wymiernych zawierających parametry

Lekcja 4

Temat lekcji:

Cel lekcji: wykształcić umiejętność rozwiązywania równań ułamkowo-wymiernych zawierających parametry.

Rodzaj lekcji: wprowadzenie nowego materiału.

1. (Ustne) Rozwiąż równania:

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie.

Znajdź nieprawidłowe wartości a:

Odpowiedź. Jeśli Jeśli a = – 19 , to nie ma korzeni.

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie.

Znajdź nieprawidłowe wartości parametrów a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odpowiedź. Jeśli a = 5 a № 5 , następnie x=10– a .

Przykład 3. Przy jakich wartościach parametru b równanie To ma:

a) dwa korzenie b) jedyny korzeń?

Rozwiązanie.

1) Znajdź nieprawidłowe wartości parametrów b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 lub b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 lub b = – 2.

2) Rozwiąż równanie x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

ale)

Wykluczanie nieprawidłowych wartości parametrów b , otrzymujemy, że równanie ma dwa pierwiastki, jeśli b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale to jest nieprawidłowa wartość parametru b ; Jeśli b 2 –1=0 , tj. b=1 lub.

Odpowiedź: a) jeśli b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , potem dwa korzenie; b) jeśli b=1 lub b=-1 , to jedyny korzeń.

Niezależna praca

opcja 1

Rozwiąż równania:

Opcja 2

Rozwiąż równania:

Odpowiedzi

W 1. i jeśli a=3 , to nie ma korzeni; Jeśli b) jeśli jeśli a № 2 , to nie ma korzeni.

W 2. Jeśli a=2 , to nie ma korzeni; Jeśli a=0 , to nie ma korzeni; Jeśli
b) jeśli a=– 1 , to równanie traci sens; jeśli wtedy nie ma korzeni;
Jeśli

Praca domowa.

Rozwiąż równania:

Odpowiedzi: a) Jeśli a № –2 , następnie x= a ; Jeśli a=–2 , to nie ma rozwiązań; b) jeśli a № –2 , następnie x=2; Jeśli a=–2 , to nie ma rozwiązań; c) jeśli a=–2 , następnie x- dowolna liczba inna niż 3 ; Jeśli a № –2 , następnie x=2; d) jeśli a=–8 , to nie ma korzeni; Jeśli a=2 , to nie ma korzeni; Jeśli

Lekcja 5

Temat lekcji:„Rozwiązanie równań ułamkowo-racjonalnych zawierających parametry”.

Cele Lekcji:

nauka rozwiązywania równań o niestandardowym warunku;
świadome przyswajanie przez studentów pojęć algebraicznych i relacji między nimi.

Rodzaj lekcji: systematyzacja i uogólnienie.

Sprawdzam pracę domową.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

a) względem x; b) względem y.

Rozwiązanie.

a) Znajdź nieprawidłowe wartości tak: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– nieprawidłowa wartość parametru tak.

Jeśli tak№ 0 , następnie x=y-2; Jeśli y=0, to równanie traci sens.

b) Znajdź nieprawidłowe wartości parametrów x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nieprawidłowa wartość parametru x; y(2+x-y)=0, y=0 lub y=2+x;

y=0 nie spełnia warunku y(y–x)№ 0 .

Odpowiedź: a) jeśli y=0, to równanie traci sens; Jeśli tak№ 0 , następnie x=y-2; b) jeśli x=0 x№ 0 , następnie y=2+x .

Przykład 2. Dla jakich całkowitych wartości parametru a są pierwiastki równania należą do przedziału

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Jeśli a № 0 lub a № – 1 , następnie

Odpowiedź: 5 .

Przykład 3. Znajdź względnie x całe rozwiązania równania

Odpowiedź. Jeśli y=0, to równanie nie ma sensu; Jeśli y=–1, następnie x- dowolna liczba całkowita inna niż zero; Jeśli y# 0, y# – 1, to nie ma rozwiązań.

Przykład 4 Rozwiązać równanie z parametrami a I b .

Jeśli a№ - b , następnie

Odpowiedź. Jeśli a= 0 lub b= 0 , to równanie traci sens; Jeśli a№ 0,b№ 0, a=-b , następnie x- dowolna liczba inna niż zero; Jeśli a№ 0,b№ 0, a№ -b następnie x=-a, x=-b .

Przykład 5. Wykazać, że dla dowolnej niezerowej wartości parametru n równanie ma jeden pierwiastek równy - n .

Rozwiązanie.

tj. x=-n, co miało zostać udowodnione.

Praca domowa.

1. Znajdź całe rozwiązania równania

2. Przy jakich wartościach parametru C równanie To ma:
a) dwa korzenie b) jedyny korzeń?

3. Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite z równania Jeśli a O n .

4. Rozwiąż równanie 3xy - 5x + 5y = 7: a) stosunkowo tak; b) stosunkowo x .

1. Równanie spełnia dowolna liczba całkowita równa wartości x i y inna niż zero.
2. a) Kiedy
b) w lub
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jeśli to nie ma korzeni; Jeśli
b) jeśli to nie ma korzeni; Jeśli

Test

opcja 1

1. Określ rodzaj równania 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 w: a) c=-3; b) c=2 ; w) c=4 .

2. Rozwiąż równania: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; w)

3. Rozwiąż równanie 3x-xy-2y=1:

a) stosunkowo x ;
b) stosunkowo tak .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, wiedząc, że parametr n przyjmuje tylko wartości całkowite.

5. Dla jakich wartości b ma równanie To ma:

a) dwa korzenie
b) jedyny korzeń?

Opcja 2

1. Określ rodzaj równania 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 w: a) c=-4; b) c=7; w) c=1 .

2. Rozwiąż równania: a) y2 +cy=0 ; b) ny2 –8lat+2=0; w)

3. Rozwiąż równanie 6x-xy+2y=5:

a) stosunkowo x ;
b) stosunkowo tak .

4. Znajdź pierwiastki całkowite z równania nx 2 -22x+2n=0 , wiedząc, że parametr n przyjmuje tylko wartości całkowite.

5. Dla jakich wartości parametru a równanie To ma:

a) dwa korzenie
b) jedyny korzeń?

Odpowiedzi

W 1. 1. a) Równanie liniowe;
b) niepełne równanie kwadratowe; c) równanie kwadratowe.
2. a) Jeżeli b=0, następnie x=0; Jeśli b#0, następnie x=0, x=b;
b) Jeśli cО (9;+Ґ ), to nie ma korzeni;
c) jeśli a=–4 , to równanie traci sens; Jeśli a№ –4 , następnie x=- a .
3. a) Jeżeli y=3, to nie ma korzeni; Jeśli);
b) a=–3, a=1.

Dodatkowe zadania

Rozwiąż równania:

Literatura

1. Golubev VI, Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrach od samego początku. - Korepetytor, nr 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Niezbędne warunki w zadaniach z parametrami. – Kvant, nr 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rozwiązywanie problemów, zawierający parametry. Część 2. - M., Perspektywa, 1990, s. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Pięćset czternaście zadań z parametrami. - Wołgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Zadania z parametrami. - M., Edukacja, 1986.

W tym artykule pokażę ci algorytmy rozwiązywania siedmiu rodzajów równań wymiernych, które są redukowane do kwadratów poprzez zmianę zmiennych. W większości przypadków przekształcenia, które prowadzą do wymiany, są bardzo nietrywialne i dość trudno je samemu odgadnąć.

Dla każdego typu równania wyjaśnię, jak dokonać w nim zmiany zmiennej, a następnie pokażę szczegółowe rozwiązanie w odpowiednim samouczku wideo.

Masz możliwość samodzielnego rozwiązywania równań, a następnie sprawdzenia rozwiązania za pomocą samouczka wideo.

Więc zacznijmy.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Zauważ, że iloczyn czterech nawiasów znajduje się po lewej stronie równania, a liczba po prawej stronie.

1. Pogrupujmy nawiasy przez dwa, aby suma wolnych terminów była taka sama.

2. Pomnóż je.

3. Wprowadźmy zmianę zmiennej.

W naszym równaniu grupujemy pierwszy nawias z trzecim, a drugi z czwartym, ponieważ (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

W tym momencie zmiana zmiennej staje się oczywista:

Otrzymujemy równanie

Odpowiedź:

2 .

Równanie tego typu jest podobne do poprzedniego z jedną różnicą: po prawej stronie równania znajduje się iloczyn liczby przez. I jest to rozwiązane w zupełnie inny sposób:

1. Grupujemy nawiasy po dwa, aby iloczyn wolnych terminów był taki sam.

2. Mnożymy każdą parę nawiasów.

3. Z każdego czynnika wyjmujemy x z nawiasu.

4. Podziel obie strony równania przez .

5. Wprowadzamy zmianę zmiennej.

W tym równaniu grupujemy pierwszy nawias z czwartym, a drugi z trzecim, ponieważ:

Zauważ, że w każdym nawiasie współczynnik przy i wyraz wolny są takie same. Wyjmijmy mnożnik z każdego nawiasu:

Ponieważ x=0 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania, dzielimy obie strony równania przez . Otrzymujemy:

Otrzymujemy równanie:

Odpowiedź:

3 .

Zauważ, że mianowniki obu ułamków zawierają trójmiany kwadratowe, którego wiodący współczynnik i wyraz wolny są takie same. Wyciągamy, jak w równaniu drugiego typu, x z nawiasu. Otrzymujemy:

Podziel licznik i mianownik każdego ułamka przez x:

Teraz możemy wprowadzić zmianę zmiennej:

Otrzymujemy równanie dla zmiennej t:

4 .

Zauważ, że współczynniki równania są symetryczne względem współczynnika centralnego. Takie równanie nazywa się zwrotny .

Aby to rozwiązać

1. Podziel obie strony równania przez (Możemy to zrobić, ponieważ x=0 nie jest pierwiastkiem równania). Otrzymujemy:

2. Pogrupuj terminy w ten sposób:

3. W każdej grupie wyjmujemy wspólny czynnik:

4. Wprowadźmy zamiennik:

5. Wyraźmy wyrażenie w postaci t:

Stąd

Otrzymujemy równanie na t:

Odpowiedź:

5. Równania jednorodne.

Równania, które mają strukturę jednorodną, ​​można napotkać przy rozwiązywaniu wykładniczym, logarytmicznym i równania trygonometryczne, więc trzeba to rozpoznać.

Równania jednorodne mają następującą strukturę:

W tej równości A, B i C są liczbami, a te same wyrażenia są oznaczone kwadratem i kółkiem. Oznacza to, że po lewej stronie równania jednorodnego znajduje się suma jednomianów o tym samym stopniu (w tym przypadku stopień jednomianów wynosi 2) i nie ma wyrazu wolnego.

Aby rozwiązać jednorodne równanie, dzielimy obie strony przez

Uwaga! Dzieląc prawą i lewą stronę równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą, możesz stracić pierwiastki. Dlatego konieczne jest sprawdzenie, czy pierwiastki wyrażenia, przez które dzielimy obie części równania, są pierwiastkami pierwotnego równania.

Chodźmy w pierwszą drogę. Otrzymujemy równanie:

Teraz wprowadzamy podstawienie zmiennej:

Uprość wyrażenie i uzyskaj dwukwadratowe równanie dla t:

Odpowiedź: lub

7 .

To równanie ma następującą strukturę:

Aby go rozwiązać, musisz zaznaczyć pełny kwadrat po lewej stronie równania.

Aby wybrać pełny kwadrat, musisz dodać lub odjąć podwójny iloczyn. Następnie otrzymujemy kwadrat sumy lub różnicy. Ma to kluczowe znaczenie dla udanego podstawienia zmiennej.

Zacznijmy od znalezienia podwójnego iloczynu. Będzie to klucz do zastąpienia zmiennej. W naszym równaniu iloczyn podwójny to

Teraz zastanówmy się, co jest dla nas wygodniejsze - kwadrat sumy lub różnicy. Rozważmy na początek sumę wyrażeń:

W porządku! to wyrażenie jest dokładnie równe dwukrotności iloczynu. Następnie, aby otrzymać kwadrat sumy w nawiasie, musisz dodać i odjąć podwójny iloczyn:

Same równania z ułamkami nie są trudne i bardzo ciekawe. Rozważ typy równania ułamkowe i sposoby ich rozwiązania.

Jak rozwiązywać równania z ułamkami - x w liczniku

Jeżeli podano równanie ułamkowe, w którym w liczniku znajduje się niewiadoma, rozwiązanie nie wymaga dodatkowych warunków i jest rozwiązywane bez dodatkowe kłopoty. Forma ogólna takie równanie to x/a + b = c, gdzie x jest niewiadomą, a, b i c są liczbami zwyczajnymi.

Znajdź x: x/5 + 10 = 70.

Aby rozwiązać równanie, musisz pozbyć się ułamków. Pomnóż każdy wyraz równania przez 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x i 5 są zmniejszone, 10 i 70 są mnożone przez 5 i otrzymujemy: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Znajdź x: x/5 + x/10 = 90.

Ten przykład jest nieco bardziej skomplikowaną wersją pierwszego. Są tu dwa rozwiązania.

• Opcja 1: Pozbądź się ułamków, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez większy mianownik, czyli przez 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opcja 2: Dodaj lewą stronę równania. x/5 + x/10 = 90. Wspólnym mianownikiem jest 10. Podziel 10 przez 5, pomnóż przez x, otrzymamy 2x. 10 podzielone przez 10, pomnożone przez x, otrzymujemy x: 2x+x/10 = 90. Stąd 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Często istnieją równania ułamkowe, w których x leżą po przeciwnych stronach znaku równości. W takiej sytuacji konieczne jest przeniesienie wszystkich ułamków z x w jednym kierunku, a liczb w drugim.

• Znajdź x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Przesuń 2x/5 w prawo z przeciwnym znakiem: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmniejszamy 5x/5 i otrzymujemy: x = 130.

Jak rozwiązać równanie z ułamkami - x w mianowniku

Ten typ równań ułamkowych wymaga napisania dodatkowych warunków. Wskazanie tych warunków jest obowiązkową i integralną częścią Dobra decyzja. Nie przypisując ich, ryzykujesz, ponieważ odpowiedź (nawet jeśli jest poprawna) może po prostu nie zostać zaliczona.

Ogólna postać równań ułamkowych, gdzie x jest w mianowniku, to: a/x + b = c, gdzie x jest niewiadomą, a, b, c są liczbami zwyczajnymi. Zauważ, że x może nie być liczbą. Na przykład x nie może wynosić zero, ponieważ nie można dzielić przez 0. To jest dodatkowy warunek, który musimy określić. Nazywa się to zakresem dopuszczalnych wartości, w skrócie ODZ.

Znajdź x: 15/x + 18 = 21.

Natychmiast zapisujemy ODZ dla x: x ≠ 0. Teraz, gdy wskazany jest ODZ, rozwiązujemy równanie za pomocą schemat standardowy pozbycie się frakcji. Wszystkie wyrazy równania mnożymy przez x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Często zdarzają się równania, w których mianownik zawiera nie tylko x, ale także inną operację z nim, na przykład dodawanie lub odejmowanie.

Znajdź x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Wiemy już, że mianownik nie może być równy zero, co oznacza x-3 ≠ 0. Przenosimy -3 na prawą stronę, zmieniając znak „-” na „+” i otrzymujemy, że x ≠ 3. ODZ wynosi wskazany.

Rozwiąż równanie, pomnóż wszystko przez x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Przesuń x w prawo, liczby w lewo: 24 = 3x => x = 8.