Przykłady rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych. Lekcja wideo „Równania racjonalne

\(\bullet\) Równanie wymierne to równanie wyrażone jako \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] gdzie \(P(x), \ Q(x)\) - wielomiany (suma „xów” w różnym stopniu pomnożona przez różne liczby).
Wyrażenie po lewej stronie równania nazywa się wyrażeniem wymiernym.
ODZ (zakres dopuszczalnych wartości) równania wymiernego to wszystkie wartości \(x\), dla których mianownik NIE znika, tj. \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Na przykład równania \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] są równaniami racjonalnymi.
W pierwszym równaniu ODZ jest całe \(x\) takie, że \(x\ne 3\) (piszą \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); w drugim równaniu wszystkie są \(x\) , takie że \(x\ne -1; x\ne 1\) (zapisz \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); aw trzecim równaniu nie ma ograniczeń co do ODZ, to znaczy ODZ to cały \(x\) (piszą \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Twierdzenia:
1) Iloczyn dwóch czynników wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich zero, podczas gdy drugi nie traci znaczenia, zatem równanie \(f(x)\cdot g(x)=0\) jest równoważne z układem \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ tekst(równania ODV) \end(przypadki)\] 2) Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest równy zero, a mianownik nie jest równy zero, stąd równanie \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) jest równoważne układowi równań \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Spójrzmy na kilka przykładów.

1) Rozwiąż równanie \(x+1=\dfrac 2x\) . Znajdźmy ODZ podane równanie to \(x\ne 0\) (ponieważ \(x\) jest w mianowniku).
Tak więc ODZ można zapisać w następujący sposób: .
Przenieśmy wszystkie terminy do jednej części i sprowadźmy do wspólnego mianownika: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( przypadków) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Rozwiązaniem pierwszego równania układu będzie \(x=-2, x=1\) . Widzimy, że oba pierwiastki są niezerowe. Dlatego odpowiedź brzmi: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Rozwiąż równanie \(\lewo(\dfrac4x - 2\prawo)\cdot (x^2-x)=0\). Znajdźmy ODZ tego równania. Widzimy, że jedyną wartością \(x\), dla której lewa strona nie ma sensu jest \(x=0\) . Zatem OD można zapisać w następujący sposób: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Zatem to równanie jest równoważne systemowi:

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(zgromadzone)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(zgromadzone) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(zgromadzone) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\] Rzeczywiście, pomimo faktu, że \(x=0\) jest pierwiastkiem drugiego czynnika, jeśli podstawisz \(x=0\) w pierwotnym równaniu, nie będzie to miało sensu, ponieważ wyrażenie \(\dfrac 40\) nie jest zdefiniowane.
Zatem rozwiązaniem tego równania jest \(x\in \(1;2\)\) .

3) Rozwiąż równanie \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] W naszym równaniu \(4x^2-1\ne 0\) , skąd \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , czyli \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Wszystkie terminy przenosimy na lewą stronę i redukujemy do wspólnego mianownika:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(zebrane) \begin( wyrównane) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Leftrightarrow \quad x=-3\)

Odpowiedź: \(x\in \(-3\)\) .

Komentarz. Jeśli odpowiedź składa się ze skończonego zbioru liczb, to można je zapisać oddzielone średnikami w nawiasach klamrowych, jak pokazano w poprzednich przykładach.

Zadania do rozwiązania równania racjonalne, w ramach Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki spotykają się co roku, zatem przygotowując się do zdania egzaminu certyfikacyjnego, absolwenci zdecydowanie powinni samodzielnie powtórzyć teorię na ten temat. Aby móc sprostać takim zadaniom, absolwenci, którzy zdali zarówno podstawowy, jak i profilowy poziom egzaminu, muszą koniecznie. Po opanowaniu teorii i poradzeniu sobie ćwiczenia praktyczne na temat „Równania racjonalne” studenci będą mogli rozwiązywać problemy za pomocą dowolnej liczby działań i liczyć na uzyskanie punktów konkurencyjnych na podstawie wyników zdanych egzaminu.

Jak przygotować się do egzaminu z portalem edukacyjnym „Szkolkowo”?

Czasami dość trudno jest znaleźć źródło, w którym w pełni zostanie przedstawiona podstawowa teoria rozwiązywania problemów matematycznych. Podręcznika może po prostu nie być pod ręką. A czasami nawet w Internecie trudno jest znaleźć potrzebne formuły.

Portal edukacyjny „Szkolkowo” uchroni Cię przed koniecznością wyszukiwania odpowiedni materiał i pomoże Ci dobrze przygotować się do zdania testu certyfikacyjnego.

Cała niezbędna teoria na temat „Równań racjonalnych” została przygotowana przez naszych specjalistów i przedstawiona w najbardziej przystępnej formie. Studiując przedstawione informacje, studenci będą mogli uzupełnić braki w wiedzy.

Do udane przygotowanie na egzamin absolwenci muszą nie tylko odświeżyć podstawy materiał teoretyczny na temat „Równania wymierne”, ale aby ćwiczyć wykonywanie zadań na konkretne przykłady. Duży wybór zadania przedstawione są w dziale „Katalog”.

Do każdego ćwiczenia na stronie nasi eksperci przepisali algorytm rozwiązania i wskazali poprawną odpowiedź. Studenci mogą ćwiczyć rozwiązywanie problemów o różnym stopniu trudności w zależności od poziomu wyszkolenia. Lista zadań w odpowiedniej sekcji jest stale uzupełniana i aktualizowana.

Studiuj materiał teoretyczny i doskonal umiejętności rozwiązywania problemów na temat „Równania wymierne”, podobne do zawartych w USE testy, możesz online. W razie potrzeby dowolne z przedstawionych zadań można dodać do sekcji „Ulubione”. Po ponownym powtórzeniu podstawowej teorii na temat „Równania wymierne”, uczeń liceum będzie mógł w przyszłości powrócić do problemu, aby na lekcji algebry przedyskutować z nauczycielem postępy w jego rozwiązaniu.

Cele Lekcji:

Instruktaż:

• tworzenie pojęcia ułamkowych równań wymiernych;
• rozważyć różne sposoby rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych;
• rozważ algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, w tym warunek, że ułamek jest równy zero;
• uczyć rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych zgodnie z algorytmem;
• sprawdzenie poziomu przyswojenia tematu poprzez wykonanie pracy testowej.

Rozwijanie:

• rozwijanie umiejętności poprawnego operowania na zdobytej wiedzy, logicznego myślenia;
• rozwój umiejętności intelektualnych i operacji umysłowych – analiza, synteza, porównanie i uogólnienie;
• rozwój inicjatywy, umiejętność podejmowania decyzji, nie poprzestania na tym;
• rozwój krytyczne myślenie;
• rozwój umiejętności badawczych.

Pielęgnacja:

• wychowanie zainteresowanie poznawcze do tematu;
• wychowanie do samodzielności w rozwiązywaniu problemów wychowawczych;
• wykształcenie woli i wytrwałości w osiąganiu ostatecznych rezultatów.

Rodzaj lekcji: lekcja - wyjaśnienie nowego materiału.

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny.

Cześć chłopaki! Równania są napisane na tablicy, przyjrzyj się im uważnie. Czy potrafisz rozwiązać wszystkie te równania? Które nie są i dlaczego?

Równania, w których lewa i prawa część są ułamkami wyrażenia wymierne, nazywane są ułamkowymi równaniami wymiernymi. Jak myślisz, co będziemy dzisiaj studiować na lekcji? Sformułuj temat lekcji. Otwieramy więc zeszyty i zapisujemy temat lekcji „Rozwiązanie ułamkowych równań wymiernych”.

2. Aktualizacja wiedzy. Badanie czołowe, praca ustna z klasą.

A teraz powtórzymy główny materiał teoretyczny, który musimy przestudiować nowy temat. Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Co to jest równanie? ( Równość ze zmienną lub zmiennymi.)
2. Jak nazywa się równanie nr 1? ( Liniowy.) Sposób rozwiązania równania liniowe. (Przenieś wszystko z niewiadomą na lewą stronę równania, wszystkie liczby na prawo. Przynieś podobne warunki. Znajdź nieznany mnożnik).
3. Jak nazywa się równanie 3? ( Kwadrat.) Metody rozwiązywania równań kwadratowych. ( Wybór pełnego kwadratu za pomocą wzorów, z wykorzystaniem twierdzenia Vieta i jego konsekwencji.)
4. Czym jest proporcja? ( Równość dwóch relacji.) Główna właściwość proporcji. ( Jeśli proporcja jest prawdziwa, to iloczyn jej wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.)
5. Jakie właściwości są używane do rozwiązywania równań? ( 1. Jeśli w równaniu przenosimy wyraz z jednej części na drugą, zmieniając jego znak, to otrzymujemy równanie równoważne danemu. 2. Jeżeli obie części równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę niezerową, to otrzymamy równanie równoważne podanemu.)
6. Kiedy ułamek jest równy zero? ( Ułamek to zero, gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest niezerowy.)

3. Wyjaśnienie nowego materiału.

Rozwiąż równanie nr 2 w zeszytach i na tablicy.

Odpowiedź: 10.

Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać za pomocą podstawowej własności proporcji? (Nr 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Rozwiąż równanie nr 4 w zeszytach i na tablicy.

Odpowiedź: 1,5.

Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać, mnożąc obie strony równania przez mianownik? (Numer 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odpowiedź: 3;4.

Teraz spróbuj rozwiązać równanie #7 na jeden ze sposobów.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odpowiedź: 0;5;-2.			Odpowiedź: 5;-2.

Wyjaśnij, dlaczego tak się stało? Dlaczego w jednym przypadku są trzy pierwiastki, a w drugim dwa? Jakie liczby są pierwiastkami tego ułamkowego równania wymiernego?

Do tej pory uczniowie nie spotkali się z pojęciem obcego korzenia, naprawdę bardzo trudno jest im zrozumieć, dlaczego tak się stało. Jeśli nikt w klasie nie potrafi jasno wyjaśnić tej sytuacji, to nauczyciel zadaje pytania prowadzące.

• Czym różnią się równania nr 2 i 4 od równania nr 5,6,7? ( W równaniach nr 2 i 4 w mianowniku liczby nr 5-7 - wyrażenia ze zmienną.)
• Jaki jest pierwiastek równania? ( Wartość zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwą równością.)
• Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem równania? ( Sprawdź.)

Niektórzy uczniowie podczas testu zauważają, że muszą dzielić przez zero. Dochodzą do wniosku, że liczby 0 i 5 nie są pierwiastkami tego równania. Powstaje pytanie: czy istnieje sposób rozwiązania ułamkowych równań wymiernych, który eliminuje ten błąd? Tak, ta metoda opiera się na warunku, że ułamek jest równy zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Jeśli x=5, to x(x-5)=0, więc 5 jest pierwiastkiem obcym.

Jeśli x=-2, to x(x-5)≠0.

Odpowiedź: -2.

Spróbujmy w ten sposób sformułować algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych. Dzieci same formułują algorytm.

Algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych:

1. Przesuń wszystko w lewo.
2. Doprowadź ułamki do wspólnego mianownika.
3. Stwórz system: ułamek to zero, gdy licznik wynosi zero, a mianownik nie jest zerem.
4. Rozwiązać równanie.
5. Sprawdź nierówności, aby wykluczyć obce korzenie.
6. Zapisz odpowiedź.

Dyskusja: jak sformalizować rozwiązanie, jeśli korzysta się z podstawowej własności proporcji i mnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik. (Uzupełnij rozwiązanie: wyklucz z jego pierwiastków te, które zamieniają wspólny mianownik na zero).

4. Podstawowe rozumienie nowego materiału.

Pracuj w parach. Uczniowie samodzielnie wybierają sposób rozwiązania równania, w zależności od rodzaju równania. Zadania z podręcznika „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600 (b, c, i); nr 601 (a, e, g). Nauczyciel kontroluje wykonanie zadania, odpowiada na pojawiające się pytania i udziela pomocy słabo wypadającym uczniom. Autotest: Odpowiedzi są zapisane na tablicy.

b) 2 to obcy korzeń. Odpowiedź:3.

c) 2 to obcy korzeń. Odpowiedź: 1.5.

a) Odpowiedź: -12,5.

g) Odpowiedź: 1;1.5.

5. Zestawienie pracy domowej.

1. Przeczytaj punkt 25 z podręcznika, przeanalizuj przykłady 1-3.
2. Poznaj algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych.
3. Rozwiąż w zeszytach nr 600 (a, d, e); nr 601 (g, h).
4. Spróbuj rozwiązać #696(a) (opcjonalnie).

6. Wykonanie zadania kontrolnego na badany temat.

Praca odbywa się na arkuszach.

Przykład pracy:

A) Które z równań są wymierne ułamkowe?

B) Ułamek to zero, gdy licznik to ______________________, a mianownik to _______________________.

P) Czy liczba -3 jest pierwiastkiem równania #6?

D) Rozwiąż równanie nr 7.

Kryteria oceny zadań:

• „5” jest przyznawane, jeśli uczeń wykonał poprawnie ponad 90% zadania.
• „4” - 75% -89%
• „3” - 50% -74%
• „2” otrzymuje uczeń, który wykonał mniej niż 50% zadania.
• Ocena 2 nie jest umieszczana w dzienniku, 3 jest opcjonalna.

7. Odbicie.

Na ulotkach z samodzielną pracą umieść:

• 1 - jeśli lekcja była dla Ciebie interesująca i zrozumiała;
• 2 - ciekawe, ale niejasne;
• 3 - niezbyt interesujące, ale zrozumiałe;
• 4 - nieciekawe, niejasne.

8. Podsumowanie lekcji.

Tak więc dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z ułamkowymi równaniami wymiernymi, dowiedzieliśmy się, jak je rozwiązywać różne sposoby, sprawdzili swoją wiedzę za pomocą szkolenia niezależna praca. Efekty samodzielnej pracy poznasz na kolejnej lekcji, w domu będziesz miał okazję utrwalić zdobytą wiedzę.

Jaka metoda rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, Twoim zdaniem, jest łatwiejsza, bardziej dostępna, bardziej racjonalna? Bez względu na metodę rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, o czym nie należy zapominać? Jaka jest „przebiegłość” ułamkowych równań wymiernych?

Dziękuję wszystkim, lekcja się skończyła.

Decyzja ułamkowe równania wymierne

Przewodnik pomocniczy

Równania wymierne to równania, w których zarówno lewa, jak i prawa strona są wyrażeniami wymiernymi.

(Przypomnij sobie, że wyrażenia wymierne są liczbami całkowitymi i wyrażenia ułamkowe bez rodników, w tym operacje dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia - np.: 6x; (m – n)2; x/3 lata itp.)

Równania ułamkowo-racjonalne z reguły sprowadza się do postaci:

Gdzie P(x) oraz Q(x) są wielomianami.

Aby rozwiązać takie równania, pomnóż obie strony równania przez Q(x), co może prowadzić do pojawienia się obcych pierwiastków. Dlatego przy rozwiązywaniu ułamkowych równań wymiernych konieczne jest sprawdzenie znalezionych pierwiastków.

Równanie wymierne nazywa się liczbą całkowitą lub algebraiczną, jeśli nie ma dzielenia przez wyrażenie zawierające zmienną.

Przykłady całego równania racjonalnego:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Jeśli w równaniu wymiernym istnieje dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną (x), to równanie nazywa się wymiernym ułamkowym.

Przykład ułamkowego równania wymiernego:

15
x + - = 5x - 17
x

Ułamkowe równania wymierne są zwykle rozwiązywane w następujący sposób:

1) znaleźć wspólny mianownik ułamków i pomnożyć przez niego obie części równania;

2) rozwiązać powstałe całe równanie;

3) wyklucz z jego pierwiastków te, które zmieniają wspólny mianownik ułamków na zero.

Przykłady rozwiązywania równań wymiernych liczb całkowitych i ułamkowych.

Przykład 1. Rozwiąż całe równanie

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Decyzja:

Znalezienie najniższego wspólnego mianownika. To jest 6. Podziel 6 przez mianownik i pomnóż wynik przez licznik każdego ułamka. Otrzymujemy równanie równoważne temu:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Od lewej i prawej strony ten sam mianownik, można go pominąć. Wtedy mamy prostsze równanie:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Rozwiązujemy to, otwierając nawiasy i redukując podobne terminy:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Przykład rozwiązany.

Przykład 2. Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Znajdujemy wspólny mianownik. To jest x(x-5). Więc:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Teraz ponownie pozbywamy się mianownika, ponieważ jest on taki sam dla wszystkich wyrażeń. Redukujemy podobne wyrazy, przyrównujemy równanie do zera i otrzymujemy równanie kwadratowe:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Po rozwiązaniu równania kwadratowego znajdujemy jego pierwiastki: -2 i 5.

Sprawdźmy, czy te liczby są pierwiastkami pierwotnego równania.

Dla x = –2 wspólny mianownik x(x – 5) nie znika. Więc -2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Przy x = 5 znika wspólny mianownik, a dwa z trzech wyrażeń tracą znaczenie. Tak więc liczba 5 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: x = -2

Więcej przykładów

Przykład 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odpowiedź: -2,2; 6.

Przykład 2

Rozwiązywanie równań z ułamkami spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą możesz zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.

Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ mianownik zawiera tylko liczby.

Rozwiązanie wykonuje się mnożąc obie strony równania przez b, a następnie równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), czyli mianownik ułamka po lewej stronie jest zmniejszony.

Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Obie części mnożymy przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25

Inny przykład, w którym w mianowniku znajduje się niewiadoma:

Równania tego typu nazywane są ułamkowym wymiernym lub po prostu ułamkowym.

Rozwiążemy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym to równanie najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Należy wziąć pod uwagę tylko następujące punkty:

• wartość zmiennej, która zmienia mianownik na 0, nie może być pierwiastkiem;
• nie możesz podzielić ani pomnożyć równania przez wyrażenie =0.

Tutaj wchodzi w życie takie pojęcie jak obszar wartości dopuszczalnych (ODZ) – są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens.

Tak więc, rozwiązując równanie, konieczne jest znalezienie pierwiastków, a następnie sprawdzenie ich pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu DHS, są wykluczone z odpowiedzi.

Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:

W oparciu o powyższą zasadę x nie może być = 0, tj. ODZ w tym przypadku: x - dowolna wartość inna niż zero.

Pozbywamy się mianownika mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x

I rozwiąż zwykłe równanie

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odpowiedź: x = 1/3

Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:

Występuje tu również ODZ: x -2.

Rozwiązując to równanie, nie przeniesiemy wszystkiego w jednym kierunku i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast mnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które zmniejszy wszystkie mianowniki jednocześnie.

Aby zmniejszyć mianowniki, musisz pomnożyć lewą stronę przez x + 2, a prawą przez 2. Zatem obie strony równania muszą zostać pomnożone przez 2 (x + 2):

Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które omówiliśmy już powyżej.

Piszemy to samo równanie, ale w nieco inny sposób.

Lewa strona jest zmniejszona o (x + 2), a prawa strona o 2. Po zmniejszeniu otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, co odpowiada naszemu ODZ

Odpowiedź: x = 2.

Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.