„rozwiązanie ułamkowych równań wymiernych”. Równania wymierne

Najniższy wspólny mianownik służy do uproszczenia podane równanie. Ta metoda jest używana, gdy nie możesz zapisać danego równania z jednym wyrażeniem wymiernym po każdej stronie równania (i użyć metody mnożenia krzyżowego). Ta metoda jest używana, gdy otrzymujesz równanie wymierne z 3 lub więcej ułamkami (w przypadku dwóch ułamków, mnożenie krzyżowe jest lepsze).

  • Znajdź najmniejszy wspólny mianownik ułamków (lub najmniejszą wspólną wielokrotność). NOZ to najmniejsza liczba, który jest równo podzielny przez każdy mianownik.

    • Czasami NOZ jest liczbą oczywistą. Na przykład, jeśli dane równanie: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, to oczywiste jest, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 3, 2 i 6 będzie wynosić 6.
    • Jeśli NOD nie jest oczywiste, zapisz wielokrotności największego mianownika i znajdź wśród nich wielokrotność pozostałych mianowników. NOD często można znaleźć po prostu mnożąc dwa mianowniki. Na przykład, jeśli podano równanie x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, to NOZ = 8*9 = 72.
    • Jeśli jeden lub więcej mianowników zawiera zmienną, proces jest nieco bardziej skomplikowany (ale nie niemożliwy). W tym przypadku NOZ jest wyrażeniem (zawierającym zmienną) podzielnym przez każdy mianownik. Na przykład w równaniu 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ponieważ to wyrażenie jest podzielne przez każdy mianownik: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
  • Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez liczbę równą wynikowi dzielenia NOZ przez odpowiedni mianownik każdego ułamka. Ponieważ mnożysz zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę, skutecznie mnożysz ułamek przez 1 (na przykład 2/2 = 1 lub 3/3 = 1).

    • Tak więc w naszym przykładzie pomnóż x/3 przez 2/2, aby uzyskać 2x/6, i pomnóż 1/2 przez 3/3, aby uzyskać 3/6 (3x + 1/6 nie musi być pomnożone, ponieważ mianownik to 6).
    • Postępuj podobnie, gdy zmienna jest w mianowniku. W naszym drugim przykładzie NOZ = 3x(x-1), więc 5/(x-1) razy (3x)/(3x) to 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x razy 3(x-1)/3(x-1) aby otrzymać 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnóż przez (x-1)/(x-1) i otrzymasz 2(x-1)/3x(x-1).
  • Znajdź x. Teraz, gdy zredukowałeś ułamki do wspólnego mianownika, możesz pozbyć się mianownika. Aby to zrobić, pomnóż każdą stronę równania przez wspólny mianownik. Następnie rozwiąż powstałe równanie, czyli znajdź „x”. Aby to zrobić, wyizoluj zmienną po jednej stronie równania.

    • W naszym przykładzie: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Możesz dodać 2 ułamki za pomocą ten sam mianownik, więc zapisz równanie jako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnóż obie strony równania przez 6 i pozbądź się mianowników: 2x+3 = 3x +1. Rozwiąż i uzyskaj x = 2.
    • W naszym drugim przykładzie (ze zmienną w mianowniku) równanie wygląda następująco (po redukcji do wspólnego mianownika): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Mnożąc obie strony równania przez NOZ, pozbywasz się mianownika i otrzymujesz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) lub 15x = 3x - 3 + 2x -2, lub 15x = x - 5 Rozwiąż i uzyskaj: x = -5/14.
  • Mówiąc najprościej, są to równania, w których występuje co najmniej jedno ze zmienną w mianowniku.

    Na przykład:

    \(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
    \(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
    \(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


    Przykład nie frakcyjny równania racjonalne:

    \(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
    \(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

    Jak rozwiązywane są ułamkowe równania wymierne?

    Najważniejszą rzeczą do zapamiętania o ułamkowych równaniach wymiernych jest to, że musisz w nich pisać. A po znalezieniu korzeni koniecznie sprawdź je pod kątem dopuszczalności. W przeciwnym razie mogą pojawić się obce korzenie, a całe rozwiązanie zostanie uznane za nieprawidłowe.


    Algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego:

      Napisz i "rozwiąż" ODZ.

      Pomnóż każdy wyraz w równaniu przez wspólny mianownik i zmniejsz otrzymane ułamki. Znikną mianowniki.

      Napisz równanie bez otwierania nawiasów.

      Rozwiąż otrzymane równanie.

      Sprawdź znalezione korzenie za pomocą ODZ.

      Zapisz w odpowiedzi pierwiastki, które pomyślnie przeszły test w kroku 7.

    Nie zapamiętuj algorytmu, 3-5 rozwiązanych równań - i zostanie zapamiętany sam.


    Przykład . Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

    Rozwiązanie:

    Odpowiedź: \(3\).


    Przykład . Znajdź pierwiastki ułamkowego równania wymiernego \(=0\)

    Rozwiązanie:

    \(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

    ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
    \(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
    \(x^2+7x+10≠0\)
    \(D=49-4 \cdot 10=9\)
    \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
    \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

    Zapisujemy i "rozwiązujemy" ODZ.

    Rozwiń \(x^2+7x+10\) do wzoru: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
    Na szczęście \(x_1\) i \(x_2\) już znaleźliśmy.

    \(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

    Oczywiście wspólny mianownik ułamków to \((x+2)(x+5)\). Przez to mnożymy całe równanie.

    \(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
    \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

    Redukujemy ułamki

    \(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

    Otwieranie nawiasów

    \(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)


    Dajemy podobne warunki

    \(2x^2+9x-5=0\)


    Znajdowanie pierwiastków równania

    \(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


    Jeden z korzeni nie mieści się pod ODZ, więc w odpowiedzi zapisujemy tylko drugi korzeń.

    Odpowiedź: \(\frac(1)(2)\).

    Cele Lekcji:

    Instruktaż:

    • tworzenie pojęcia ułamkowych równań wymiernych;
    • rozważyć różne sposoby rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych;
    • rozważ algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, w tym warunek, że ułamek jest równy zero;
    • uczyć rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych zgodnie z algorytmem;
    • sprawdzenie poziomu przyswojenia tematu poprzez wykonanie pracy testowej.

    Rozwijanie:

    • rozwijanie umiejętności poprawnego operowania na zdobytej wiedzy, logicznego myślenia;
    • rozwój umiejętności intelektualnych i operacji umysłowych – analiza, synteza, porównanie i uogólnienie;
    • rozwój inicjatywy, umiejętność podejmowania decyzji, nie poprzestania na tym;
    • rozwój krytyczne myślenie;
    • rozwój umiejętności badawczych.

    Pielęgnacja:

    • wychowanie zainteresowanie poznawcze do tematu;
    • wychowanie do samodzielności w rozwiązywaniu problemów wychowawczych;
    • wykształcenie woli i wytrwałości w osiąganiu ostatecznych rezultatów.

    Rodzaj lekcji: lekcja - wyjaśnienie nowego materiału.

    Podczas zajęć

    1. Moment organizacyjny.

    Cześć chłopaki! Równania są napisane na tablicy, przyjrzyj się im uważnie. Czy potrafisz rozwiązać wszystkie te równania? Które nie są i dlaczego?

    Równania, w których lewa i prawa strona są ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi, nazywane są ułamkowymi równaniami wymiernymi. Jak myślisz, co będziemy dzisiaj studiować na lekcji? Sformułuj temat lekcji. Otwieramy więc zeszyty i zapisujemy temat lekcji „Rozwiązanie ułamkowych równań wymiernych”.

    2. Aktualizacja wiedzy. Badanie czołowe, praca ustna z klasą.

    A teraz powtórzymy główny materiał teoretyczny, który musimy przestudiować nowy temat. Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:

    1. Co to jest równanie? ( Równość ze zmienną lub zmiennymi.)
    2. Jak nazywa się równanie nr 1? ( Liniowy.) Metoda rozwiązywania równań liniowych. ( Przenieś wszystko z niewiadomą na lewą stronę równania, wszystkie liczby na prawo. Przynieś podobne warunki. Znajdź nieznany mnożnik).
    3. Jak nazywa się równanie 3? ( Kwadrat.) Metody rozwiązywania równań kwadratowych. ( Wybór pełnego kwadratu za pomocą wzorów, z wykorzystaniem twierdzenia Vieta i jego konsekwencji.)
    4. Czym jest proporcja? ( Równość dwóch relacji.) Główna właściwość proporcji. ( Jeśli proporcja jest prawdziwa, to iloczyn jej wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.)
    5. Jakie właściwości są używane do rozwiązywania równań? ( 1. Jeśli w równaniu przenosimy wyraz z jednej części na drugą, zmieniając jego znak, to otrzymujemy równanie równoważne danemu. 2. Jeżeli obie części równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę niezerową, to otrzymamy równanie równoważne podanemu.)
    6. Kiedy ułamek jest równy zero? ( Ułamek wynosi zero, gdy licznik zero, a mianownik nie jest równy zero.)

    3. Wyjaśnienie nowego materiału.

    Rozwiąż równanie nr 2 w zeszytach i na tablicy.

    Odpowiedź: 10.

    Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać za pomocą podstawowej własności proporcji? (Nr 5).

    (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

    x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

    x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

    Rozwiąż równanie nr 4 w zeszytach i na tablicy.

    Odpowiedź: 1,5.

    Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać, mnożąc obie strony równania przez mianownik? (Numer 6).

    x 2 -7x+12 = 0

    D=1>0, x1=3, x2=4.

    Odpowiedź: 3;4.

    Teraz spróbuj rozwiązać równanie #7 na jeden ze sposobów.

    (x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

    (x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

    x 2 -2x-5=x+5

    x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

    x 2 -2x-5-x-5=0

    x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

    x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

    x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49

    x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

    x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

    Odpowiedź: 0;5;-2.

    Odpowiedź: 5;-2.

    Wyjaśnij, dlaczego tak się stało? Dlaczego w jednym przypadku są trzy pierwiastki, a w drugim dwa? Jakie liczby są pierwiastkami tego ułamkowego równania wymiernego?

    Do tej pory uczniowie z koncepcją obcego korzenia się nie spotkali, naprawdę bardzo trudno jest im zrozumieć, dlaczego tak się stało. Jeśli nikt w klasie nie potrafi jasno wyjaśnić tej sytuacji, to nauczyciel zadaje pytania prowadzące.

    • Czym różnią się równania nr 2 i 4 od równania nr 5,6,7? ( W równaniach nr 2 i 4 w mianowniku liczby nr 5-7 - wyrażenia ze zmienną.)
    • Jaki jest pierwiastek równania? ( Wartość zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwą równością.)
    • Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem równania? ( Sprawdź.)

    Niektórzy uczniowie podczas testu zauważają, że muszą dzielić przez zero. Dochodzą do wniosku, że liczby 0 i 5 nie są pierwiastkami tego równania. Powstaje pytanie: czy istnieje sposób rozwiązania ułamkowych równań wymiernych, który eliminuje ten błąd? Tak, ta metoda opiera się na warunku, że ułamek jest równy zero.

    x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

    Jeśli x=5, to x(x-5)=0, więc 5 jest pierwiastkiem obcym.

    Jeśli x=-2, to x(x-5)≠0.

    Odpowiedź: -2.

    Spróbujmy w ten sposób sformułować algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych. Dzieci same formułują algorytm.

    Algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych:

    1. Przesuń wszystko w lewo.
    2. Doprowadź ułamki do wspólnego mianownika.
    3. Stwórz system: ułamek to zero, gdy licznik wynosi zero, a mianownik nie jest zerem.
    4. Rozwiązać równanie.
    5. Sprawdź nierówności, aby wykluczyć obce korzenie.
    6. Zapisz odpowiedź.

    Dyskusja: jak sformułować rozwiązanie przy wykorzystaniu podstawowej własności proporcji i pomnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik. (Uzupełnij rozwiązanie: wyklucz z jego pierwiastków te, które zamieniają wspólny mianownik na zero).

    4. Podstawowe rozumienie nowego materiału.

    Pracuj w parach. Uczniowie samodzielnie wybierają sposób rozwiązania równania, w zależności od rodzaju równania. Zadania z podręcznika „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600 (b, c, i); nr 601 (a, e, g). Nauczyciel kontroluje wykonanie zadania, odpowiada na pojawiające się pytania i udziela pomocy słabo wypadającym uczniom. Autotest: Odpowiedzi są zapisane na tablicy.

    b) 2 to obcy korzeń. Odpowiedź:3.

    c) 2 to obcy korzeń. Odpowiedź: 1.5.

    a) Odpowiedź: -12,5.

    g) Odpowiedź: 1;1.5.

    5. Zestawienie pracy domowej.

    1. Przeczytaj punkt 25 z podręcznika, przeanalizuj przykłady 1-3.
    2. Poznaj algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych.
    3. Rozwiąż w zeszytach nr 600 (a, d, e); nr 601 (g, h).
    4. Spróbuj rozwiązać #696(a) (opcjonalnie).

    6. Wykonanie zadania kontrolnego na badany temat.

    Praca odbywa się na arkuszach.

    Przykład pracy:

    A) Które z równań są wymierne ułamkowe?

    B) Ułamek to zero, gdy licznik to ______________________, a mianownik to _______________________.

    P) Czy liczba -3 jest pierwiastkiem równania #6?

    D) Rozwiąż równanie nr 7.

    Kryteria oceny zadań:

    • „5” jest przyznawane, jeśli uczeń wykonał poprawnie ponad 90% zadania.
    • „4” - 75% -89%
    • „3” - 50% -74%
    • „2” otrzymuje uczeń, który wykonał mniej niż 50% zadania.
    • Ocena 2 nie jest umieszczana w dzienniku, 3 jest opcjonalna.

    7. Odbicie.

    Na ulotkach z samodzielną pracą umieść:

    • 1 - jeśli lekcja była dla Ciebie interesująca i zrozumiała;
    • 2 - ciekawe, ale niejasne;
    • 3 - niezbyt interesujące, ale zrozumiałe;
    • 4 - nieciekawe, niejasne.

    8. Podsumowanie lekcji.

    Tak więc dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z ułamkowymi równaniami wymiernymi, dowiedzieliśmy się, jak je rozwiązywać różne sposoby, sprawdzili swoją wiedzę za pomocą szkolenia niezależna praca. Efekty samodzielnej pracy poznasz na kolejnej lekcji, w domu będziesz miał okazję utrwalić zdobytą wiedzę.

    Jaka metoda rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, Twoim zdaniem, jest łatwiejsza, bardziej dostępna, bardziej racjonalna? Bez względu na metodę rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, o czym nie należy zapominać? Jaka jest „przebiegłość” ułamkowych równań wymiernych?

    Dziękuję wszystkim, lekcja się skończyła.

    Zapoznajmy się z racjonalnymi i ułamkowymi równaniami wymiernymi, podajmy ich definicję, podajmy przykłady, a także przeanalizujmy najczęstsze typy problemów.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Równanie wymierne: definicja i przykłady

    Znajomość wyrażeń wymiernych rozpoczyna się w 8 klasie szkoły. W tej chwili na lekcjach algebry uczniowie coraz częściej zaczynają rozwiązywać zadania z równaniami, które zawierają: wyrażenia wymierne w twoich notatkach. Odświeżmy naszą pamięć o tym, co to jest.

    Definicja 1

    równanie racjonalne to równanie, w którym obie strony zawierają wyrażenia wymierne.

    W różnych podręcznikach można znaleźć inne sformułowania.

    Definicja 2

    równanie racjonalne- jest to równanie, którego zapis lewej strony zawiera wyrażenie wymierne, a prawa zawiera zero.

    Definicje, które podaliśmy dla równań wymiernych są równoważne, ponieważ oznaczają to samo. Poprawność naszych słów potwierdza fakt, że dla wszelkich wyrażeń wymiernych P I Q równania P=Q I P − Q = 0 będą wyrażeniami równoważnymi.

    Przejdźmy teraz do przykładów.

    Przykład 1

    Równania wymierne:

    x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

    Równania wymierne, podobnie jak równania innych typów, mogą zawierać dowolną liczbę zmiennych od 1 do kilku. Na początek rozważymy proste przykłady, w którym równania będą zawierały tylko jedną zmienną. A potem zaczynamy stopniowo komplikować zadanie.

    Równania wymierne dzielą się na dwie duże grupy: całkowite i ułamkowe. Zobaczmy, które równania będą miały zastosowanie do każdej z grup.

    Definicja 3

    Równanie wymierne będzie liczbą całkowitą, jeśli zapis jego lewej i prawej części zawiera całe wyrażenia wymierne.

    Definicja 4

    Równanie wymierne będzie ułamkowe, jeśli jedna lub obie jego części zawierają ułamek.

    Równania ułamkowo racjonalne z konieczności zawierają dzielenie przez zmienną lub zmienna występuje w mianowniku. W pisaniu równań całkowitych nie ma takiego podziału.

    Przykład 2

    3 x + 2 = 0 I (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 są całymi równaniami racjonalnymi. Tutaj obie części równania są reprezentowane przez wyrażenia całkowite.

    1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 są równaniami ułamkowo racjonalnymi.

    Całe równania wymierne obejmują równania liniowe i kwadratowe.

    Rozwiązywanie równań całkowitych

    Rozwiązanie takich równań zwykle sprowadza się do ich przekształcenia w równoważne równania algebraiczne. Można to osiągnąć przeprowadzając równoważne przekształcenia równań zgodnie z następującym algorytmem:

    • najpierw otrzymujemy zero po prawej stronie równania, w tym celu należy przenieść wyrażenie znajdujące się po prawej stronie równania na jego lewą stronę i zmienić znak;
    • następnie przekształcamy wyrażenie po lewej stronie równania na wielomian standardowy widok.

    Musimy otrzymać równanie algebraiczne. To równanie będzie równoważne z pierwotnym równaniem. Proste przypadki pozwalają nam rozwiązać problem, sprowadzając całe równanie do równania liniowego lub kwadratowego. W ogólnym przypadku rozwiązujemy równanie algebraiczne stopnia n.

    Przykład 3

    Konieczne jest znalezienie pierwiastków całego równania 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

    Rozwiązanie

    Przekształćmy oryginalne wyrażenie, aby otrzymać równoważne mu równanie algebraiczne. W tym celu przeniesiemy wyrażenie zawarte po prawej stronie równania na lewą stronę i zmienimy znak na przeciwny. W rezultacie otrzymujemy: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

    Teraz przekształcimy wyrażenie znajdujące się po lewej stronie w wielomian postaci standardowej i wykonamy niezbędne działania z tym wielomianem:

    3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

    Udało nam się zredukować rozwiązanie pierwotnego równania do rozwiązania równania kwadratowego postaci x 2 − 5 x − 6 = 0. Wyróżnik tego równania jest dodatni: D = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49 . Oznacza to, że będą dwa prawdziwe korzenie. Znajdźmy je za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

    x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

    x 1 \u003d 5 + 7 2 lub x 2 \u003d 5 - 7 2,

    x 1 = 6 lub x 2 = - 1

    Sprawdźmy poprawność pierwiastków równania, które znaleźliśmy w trakcie rozwiązania. Dla tej liczby, którą otrzymaliśmy, podstawiamy do pierwotnego równania: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 I 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. W pierwszym przypadku 63 = 63 , w sekundę 0 = 0 . Korzenie x=6 I x = − 1 są rzeczywiście pierwiastkami równania podanego w przykładowym warunku.

    Odpowiedź: 6 , − 1 .

    Przyjrzyjmy się, co oznacza „moc całego równania”. Często natkniemy się na ten termin w przypadkach, gdy musimy przedstawić całe równanie w postaci równania algebraicznego. Zdefiniujmy pojęcie.

    Definicja 5

    Stopień równania całkowitoliczbowego jest stopniem równania algebraicznego równoważnego oryginalnemu całemu równaniu.

    Jeśli spojrzysz na równania z powyższego przykładu, możesz ustalić: stopień tego całego równania jest drugi.

    Gdyby nasz kurs ograniczał się do rozwiązywania równań drugiego stopnia, to rozważanie tego tematu można by tutaj zakończyć. Ale wszystko nie jest takie proste. Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia jest najeżone trudnościami. A dla równań powyżej czwartego stopnia w ogóle nie istnieje ogólne formuły korzenie. W związku z tym rozwiązanie całych równań trzeciego, czwartego i innych stopni wymaga od nas zastosowania szeregu innych technik i metod.

    Najczęściej stosowane podejście do rozwiązywania całych równań wymiernych opiera się na metodzie faktoryzacji. Algorytm działań w tym przypadku wygląda następująco:

    • przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą tak, aby po prawej stronie rekordu pozostało zero;
    • przedstawiamy wyrażenie po lewej stronie jako iloczyn czynników, a następnie przechodzimy do zbioru kilku prostszych równań.
    Przykład 4

    Znajdź rozwiązanie równania (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

    Rozwiązanie

    Przenosimy wyrażenie z prawej strony rekordu na lewą stronę z przeciwnym znakiem: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Zamiana lewej strony na wielomian postaci standardowej jest niepraktyczna, ponieważ da nam to równanie algebraiczne czwartego stopnia: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Łatwość transformacji nie usprawiedliwia wszystkich trudności z rozwiązaniem takiego równania.

    Dużo łatwiej jest iść w drugą stronę: usuwamy czynnik wspólny x 2 – 10 x + 13 . W ten sposób dochodzimy do równania postaci (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz zastępujemy powstałe równanie zestawem dwóch równań kwadratowych x 2 − 10 x + 13 = 0 I x 2 − 2 x − 1 = 0 i znajdź ich korzenie poprzez dyskryminację: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    Odpowiedź: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    Podobnie możemy wykorzystać metodę wprowadzenia nowej zmiennej. Ta metoda pozwala nam przejść do równoważnych równań o potęgach niższych niż w pierwotnym całym równaniu.

    Przykład 5

    Czy równanie ma pierwiastki? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

    Rozwiązanie

    Jeśli teraz spróbujemy zredukować całe równanie wymierne do równania algebraicznego, otrzymamy równanie stopnia 4, które nie ma wymiernych pierwiastków. Dlatego łatwiej będzie nam pójść w drugą stronę: wprowadzić nową zmienną y, która zastąpi wyrażenie w równaniu x 2 + 3 x.

    Teraz będziemy pracować z całym równaniem (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Przenosimy prawą stronę równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem i przeprowadzamy niezbędne przekształcenia. Otrzymujemy: r 2 + 4 r + 3 = 0. Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: y = − 1 I y = − 3.

    Teraz zróbmy odwrotne podstawienie. Otrzymujemy dwa równania x 2 + 3 x = − 1 I x 2 + 3 x = - 3 . Zapiszmy je jako x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Posługujemy się wzorem na pierwiastki równania kwadratowego, aby znaleźć pierwiastki pierwszego otrzymanego równania: - 3 ± 5 2 . Dyskryminator drugiego równania jest ujemny. Oznacza to, że drugie równanie nie ma prawdziwych pierwiastków.

    Odpowiedź:- 3 ± 5 2

    Równania całkowitoliczbowe o wysokim stopniu często napotykają problemy. Nie trzeba się ich bać. Trzeba być przygotowanym na zastosowanie niestandardowej metody ich rozwiązywania, w tym szeregu sztucznych przekształceń.

    Rozwiązanie równań ułamkowo wymiernych

    Rozważanie tego podtematu rozpoczynamy od algorytmu rozwiązywania równań ułamkowo wymiernych postaci p (x) q (x) = 0 , gdzie p(x) I q(x) są całkowitymi wyrażeniami wymiernymi. Rozwiązanie innych równań ułamkowo racjonalnych zawsze można sprowadzić do rozwiązania równań o wskazanej postaci.

    Najczęściej stosowana metoda rozwiązywania równań p (x) q (x) = 0 opiera się na następującym zdaniu: ułamek liczbowy ty jesteś, gdzie v jest liczbą różną od zera, równą zero tylko w przypadkach, gdy licznik ułamka jest równy zero. Idąc za logiką powyższego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że rozwiązanie równania p(x)q(x)=0 można sprowadzić do spełnienia dwóch warunków: p(x)=0 I q(x) ≠ 0. Na tym budowany jest algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych postaci p (x) q (x) = 0:

    • znajdujemy rozwiązanie całego równania wymiernego p(x)=0;
    • sprawdzamy, czy warunek jest spełniony dla korzeni znalezionych podczas rozwiązania q(x) ≠ 0.

    Jeśli ten warunek jest spełniony, to znaleziony root, jeśli nie, to root nie jest rozwiązaniem problemu.

    Przykład 6

    Znajdź pierwiastki równania 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

    Rozwiązanie

    Mamy do czynienia z ułamkowym równaniem wymiernym postaci p (x) q (x) = 0 , w którym p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Zacznijmy rozwiązywać równanie liniowe 3 x - 2 = 0. Podstawą tego równania będzie x = 2 3.

    Sprawdźmy znaleziony korzeń, czy spełnia warunek 5 x 2 - 2 ≠ 0. Aby to zrobić, wstaw do wyrażenia wartość liczbową. Otrzymujemy: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

    Warunek jest spełniony. To znaczy, że x = 2 3 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

    Odpowiedź: 2 3 .

    Istnieje inna opcja rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych p (x) q (x) = 0 . Przypomnij sobie, że to równanie jest równoważne całemu równaniu p(x)=0 w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x pierwotnego równania. Pozwala nam to zastosować następujący algorytm do rozwiązywania równań p(x) q(x) = 0:

    • Rozwiązać równanie p(x)=0;
    • znajdź zakres dopuszczalnych wartości dla zmiennej x ;
    • bierzemy pierwiastki leżące w obszarze dopuszczalnych wartości zmiennej x jako pożądane pierwiastki pierwotnego ułamkowego równania wymiernego.
    Przykład 7

    Rozwiąż równanie x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

    Rozwiązanie

    Na początek zdecydujmy równanie kwadratowe x 2 − 2 x − 11 = 0. Aby obliczyć jego pierwiastki, używamy wzoru na pierwiastek dla parzystego drugiego współczynnika. dostajemy D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 oraz x = 1 ± 2 3 .

    Teraz możemy znaleźć ODV x dla oryginalnego równania. To są wszystkie liczby, dla których x 2 + 3 x 0. To to samo co x (x + 3) ≠ 0, skąd x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

    Sprawdźmy teraz, czy pierwiastki x = 1 ± 2 3 uzyskane w pierwszym etapie rozwiązania mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x . Widzimy, co wchodzi. Oznacza to, że pierwotne ułamkowe równanie wymierne ma dwa pierwiastki x = 1 ± 2 3 .

    Odpowiedź: x = 1 ± 2 3

    Druga opisana metoda rozwiązania łatwiejsze niż pierwsze w przypadkach, w których łatwo jest znaleźć pole dopuszczalnych wartości zmiennej x oraz pierwiastki równania p(x)=0 irracjonalny. Na przykład 7 ± 4 26 9 . Korzenie mogą być racjonalne, ale z dużym licznikiem lub mianownikiem. Na przykład, 127 1101 I − 31 59 . Oszczędza to czas na sprawdzenie stanu. q(x) ≠ 0: o wiele łatwiej jest wykluczyć korzenie, które nie pasują, według ODZ.

    Kiedy pierwiastki równania p(x)=0 są liczbami całkowitymi, bardziej celowe jest zastosowanie pierwszego z opisanych algorytmów do rozwiązywania równań postaci p (x) q (x) = 0 . Szybsze znajdowanie pierwiastków całego równania p(x)=0, a następnie sprawdź, czy warunek jest dla nich spełniony q(x) ≠ 0, a nie znaleźć ODZ, a następnie rozwiązać równanie p(x)=0 na tej ODZ. Wynika to z faktu, że w takich przypadkach zwykle łatwiej jest dokonać czeku niż znaleźć ODZ.

    Przykład 8

    Znajdź pierwiastki równania (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

    Rozwiązanie

    Zaczynamy od rozważenia całego równania (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 i odnalezienie swoich korzeni. Aby to zrobić, stosujemy metodę rozwiązywania równań przez faktoryzację. Okazuje się, że pierwotne równanie jest równoważne zestawowi czterech równań 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z których trzy są liniowe i jeden jest kwadratowy. Znajdujemy pierwiastki: z pierwszego równania x = 1 2, od drugiego x=6, od trzeciego - x \u003d 7, x \u003d - 2, od czwartego - x = − 1.

    Sprawdźmy uzyskane korzenie. W tym przypadku trudno jest nam określić ODZ, ponieważ w tym celu będziemy musieli rozwiązać równanie algebraiczne piątego stopnia. Łatwiej będzie sprawdzić warunek, zgodnie z którym mianownik ułamka znajdującego się po lewej stronie równania nie powinien zniknąć.

    Z kolei podstawiamy pierwiastki w miejsce zmiennej x w wyrażeniu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i obliczyć jego wartość:

    1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

    6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

    7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

    (− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

    (− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

    Przeprowadzona weryfikacja pozwala ustalić, że pierwiastkami pierwotnego ułamkowego równania wymiernego są 1 2 , 6 i − 2 .

    Odpowiedź: 1 2 , 6 , - 2

    Przykład 9

    Znajdź pierwiastki ułamkowego równania wymiernego 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

    Rozwiązanie

    Zacznijmy od równania (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Znajdźmy jego korzenie. Łatwiej jest nam przedstawić to równanie jako kombinację równań kwadratowych i liniowych 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 I x − 2 = 0.

    Używamy wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, aby znaleźć pierwiastki. Z pierwszego równania i z drugiego otrzymujemy dwa pierwiastki x = 7 ± 69 10 x=2.

    Podstawienie wartości pierwiastków do pierwotnego równania w celu sprawdzenia warunków będzie dla nas dość trudne. Łatwiej będzie określić LPV zmiennej x . W tym przypadku DPV zmiennej x to wszystkie liczby, z wyjątkiem tych, dla których warunek jest spełniony x 2 + 5 x − 14 = 0. Otrzymujemy: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

    Sprawdźmy teraz, czy znalezione pierwiastki należą do zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x.

    Pierwiastki x = 7 ± 69 10 - należą, dlatego są pierwiastkami pierwotnego równania, a x=2- nie należy, dlatego jest obcym korzeniem.

    Odpowiedź: x = 7 ± 69 10 .

    Rozpatrzmy osobno przypadki, w których licznik ułamkowego równania wymiernego postaci p (x) q (x) = 0 zawiera liczbę. W takich przypadkach, jeśli licznik zawiera liczbę inną niż zero, równanie nie będzie miało pierwiastków. Jeśli ta liczba jest równa zero, to pierwiastkiem równania będzie dowolna liczba z ODZ.

    Przykład 10

    Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

    Rozwiązanie

    To równanie nie będzie miało pierwiastków, ponieważ licznik ułamka z lewej strony równania zawiera liczbę niezerową. Oznacza to, że dla dowolnych wartości x wartość ułamka podanego w warunku problemu nie będzie równa zeru.

    Odpowiedź: bez korzeni.

    Przykład 11

    Rozwiąż równanie 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

    Rozwiązanie

    Ponieważ licznik ułamka wynosi zero, rozwiązaniem równania będzie dowolna wartość x ze zmiennej x ODZ.

    Teraz zdefiniujmy ODZ. Będzie zawierał wszystkie wartości x, dla których x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rozwiązania równań x 4 + 5 x 3 = 0 0 I − 5 , ponieważ to równanie jest równoważne równaniu x 3 (x + 5) = 0, a to z kolei jest równoważne układowi dwóch równań x 3 = 0 i x + 5 = 0 gdzie te korzenie są widoczne. Dochodzimy do wniosku, że pożądany zakres dopuszczalnych wartości to dowolny x , z wyjątkiem x=0 I x = -5.

    Okazuje się, że ułamkowe równanie wymierne 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ma nieskończoną liczbę rozwiązań, które są dowolnymi liczbami oprócz zera i - 5.

    Odpowiedź: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

    Porozmawiajmy teraz o ułamkowych równaniach wymiernych o dowolnej formie i metodach ich rozwiązywania. Można je zapisać jako r(x) = s(x), gdzie r(x) I s(x) są wyrażeniami wymiernymi, a przynajmniej jedno z nich jest ułamkowe. Rozwiązanie takich równań sprowadza się do rozwiązania równań postaci p (x) q (x) = 0 .

    Wiemy już, że możemy uzyskać równanie równoważne, przenosząc wyrażenie z prawej strony równania na lewą z przeciwnym znakiem. Oznacza to, że równanie r(x) = s(x) jest odpowiednikiem równania r(x) − s(x) = 0. Omówiliśmy już również, jak zamienić wyrażenie wymierne na ułamek wymierny. Dzięki temu możemy łatwo przekształcić równanie r(x) − s(x) = 0 w identyczny ułamek wymierny postaci p (x) q (x) .

    Więc przechodzimy od pierwotnego ułamkowego równania wymiernego r(x) = s(x) do równania postaci p (x) q (x) = 0 , które już nauczyliśmy się rozwiązywać.

    Należy zauważyć, że podczas dokonywania przejść z r(x) − s(x) = 0 do p (x) q (x) = 0 a następnie do p(x)=0 nie możemy brać pod uwagę rozszerzenia zakresu poprawnych wartości zmiennej x .

    To całkiem realistyczne, że oryginalne równanie r(x) = s(x) i równanie p(x)=0 w wyniku przekształceń przestaną być równoważne. Następnie rozwiązanie równania p(x)=0 może dać nam korzenie, które będą dla nas obce r(x) = s(x). W związku z tym w każdym przypadku konieczne jest przeprowadzenie kontroli dowolną z opisanych powyżej metod.

    Aby ułatwić ci studiowanie tematu, uogólniliśmy wszystkie informacje w algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego postaci r(x) = s(x):

    • przenosimy wyrażenie z prawej strony z przeciwnym znakiem i otrzymujemy zero po prawej;
    • przekształcamy oryginalne wyrażenie w ułamek wymierny p (x) q (x) poprzez sekwencyjne wykonywanie działań z ułamkami i wielomianami;
    • Rozwiązać równanie p(x)=0;
    • ujawniamy obce pierwiastki, sprawdzając ich przynależność do ODZ lub zastępując pierwotne równanie.

    Wizualnie łańcuch działań będzie wyglądał tak:

    r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → przerwanie r o n d e r o n s

    Przykład 12

    Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne x x + 1 = 1 x + 1 .

    Rozwiązanie

    Przejdźmy do równania x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Przekształćmy ułamkowe wyrażenie wymierne po lewej stronie równania do postaci p (x) q (x) .

    Do tego musimy przynieść ułamki wymierne do wspólnego mianownika i uprościć wyrażenie:

    xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

    Aby znaleźć pierwiastki równania - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musimy rozwiązać równanie − 2 x − 1 = 0. Mamy jeden korzeń x = - 1 2.

    Pozostaje nam przeprowadzić kontrolę dowolną z metod. Rozważmy je oba.

    Podstaw wynikową wartość do oryginalnego równania. Otrzymujemy - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Doszliśmy do prawidłowej równości liczbowej − 1 = − 1 . To znaczy, że x = − 1 2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

    Teraz sprawdzimy przez ODZ. Określmy obszar dopuszczalnych wartości dla zmiennej x . Będzie to cały zestaw liczb, z wyjątkiem − 1 i 0 (gdy x = − 1 i x = 0, mianowniki ułamków znikają). Mamy korzeń x = − 1 2 należy do ODZ. Oznacza to, że jest to pierwiastek pierwotnego równania.

    Odpowiedź: − 1 2 .

    Przykład 13

    Znajdź pierwiastki równania x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

    Rozwiązanie

    Mamy do czynienia z ułamkowym równaniem racjonalnym. Dlatego będziemy działać zgodnie z algorytmem.

    Przenieśmy wyrażenie z prawej strony na lewą z przeciwnym znakiem: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

    Przeprowadźmy niezbędne przekształcenia: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

    Dochodzimy do równania x=0. Pierwiastek tego równania to zero.

    Sprawdźmy, czy ten pierwiastek jest obcy dla oryginalnego równania. Podstaw wartość w pierwotnym równaniu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Jak widać, wynikowe równanie nie ma sensu. Oznacza to, że 0 jest pierwiastkiem obcym, a pierwotne ułamkowe równanie wymierne nie ma pierwiastków.

    Odpowiedź: bez korzeni.

    Jeśli w algorytmie nie uwzględniliśmy innych równoważnych przekształceń, nie oznacza to wcale, że nie można ich użyć. Algorytm jest uniwersalny, ale ma pomagać, a nie ograniczać.

    Przykład 14

    Rozwiąż równanie 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

    Rozwiązanie

    Najłatwiej jest rozwiązać podane ułamkowe równanie wymierne zgodnie z algorytmem. Ale jest inny sposób. Rozważmy to.

    Odejmij od prawej i lewej części 7, otrzymujemy: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

    Z tego możemy wywnioskować, że wyrażenie w mianowniku lewej strony powinno być równe liczbie odwrotności liczby z prawej strony, czyli 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

    Odejmij od obu części 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Przez analogię 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, skąd 1 5 - x 2 \u003d 1 3, a dalej 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

    Sprawdźmy, czy znalezione pierwiastki są pierwiastkami pierwotnego równania.

    Odpowiedź: x = ± 2

    Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

    Powyższe równanie wprowadziliśmy w § 7. Najpierw przypomnimy sobie, czym jest wyrażenie wymierne. Ten - wyrażenie algebraiczne, złożony z liczb i zmiennej x z wykorzystaniem operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania z wykładnikiem naturalnym.

    Jeśli r(x) jest wyrażeniem wymiernym, to równanie r(x) = 0 nazywamy równaniem wymiernym.

    Jednak w praktyce wygodniej jest używać nieco więcej szeroka interpretacja termin „równanie wymierne”: jest to równanie postaci h(x) = q(x), gdzie h(x) i q(x) są wyrażeniami wymiernymi.

    Do tej pory nie mogliśmy rozwiązać żadnego równania racjonalnego, a jedynie takie, które w wyniku różnych przekształceń i rozumowań zostało zredukowane do równanie liniowe. Teraz nasze możliwości są znacznie większe: będziemy w stanie rozwiązać równanie wymierne, które sprowadza się nie tylko do liniowego
    mu, ale także do równania kwadratowego.

    Przypomnij sobie, jak rozwiązywaliśmy wcześniej równania wymierne i spróbuj sformułować algorytm rozwiązania.

    Przykład 1 Rozwiązać równanie

    Rozwiązanie. Przepisujemy równanie w postaci

    W tym przypadku, jak zwykle, używamy faktu, że równości A \u003d B i A - B \u003d 0 wyrażają tę samą zależność między A i B. To pozwoliło nam przenieść termin na lewą stronę równania za pomocą przeciwny znak.

    Wykonajmy przekształcenia lewej strony równania. Mamy


    Przypomnij sobie warunki równości ułamki zero: wtedy i tylko wtedy, gdy dwie relacje są jednocześnie spełnione:

    1) licznik ułamka wynosi zero (a = 0); 2) mianownik ułamka jest różny od zera).
    Przyrównując do zera licznik ułamka po lewej stronie równania (1), otrzymujemy

    Pozostaje sprawdzić spełnienie drugiego warunku, o którym mowa powyżej. Stosunek oznacza dla równania (1), że . Wartości x 1 = 2 i x 2 = 0,6 spełniają wskazane zależności i dlatego służą jako pierwiastki równania (1), a jednocześnie pierwiastki danego równania.

    1) Przekształćmy równanie do postaci

    2) Wykonajmy przekształcenia lewej strony tego równania:

    (jednocześnie zmieniono znaki w liczniku i
    frakcje).
    W ten sposób, podane równanie przybiera formę

    3) Rozwiąż równanie x 2 - 6x + 8 = 0. Znajdź

    4) Dla znalezionych wartości sprawdź warunek . Cyfra 4 spełnia ten warunek, ale cyfra 2 nie. Więc 4 jest pierwiastkiem danego równania, a 2 jest pierwiastkiem obcym.
    Odpowiedź: 4.

    2. Rozwiązanie równań wymiernych przez wprowadzenie nowej zmiennej

    Sposób wprowadzenia nowej zmiennej jest Ci znany, korzystaliśmy z niej niejednokrotnie. Pokażmy na przykładach, jak jest używany do rozwiązywania równań wymiernych.

    Przykład 3 Rozwiąż równanie x 4 + x 2 - 20 = 0.

    Rozwiązanie. Wprowadzamy nową zmienną y \u003d x 2. Ponieważ x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, to dane równanie można przepisać w postaci

    r 2 + r - 20 = 0.

    Jest to równanie kwadratowe, którego pierwiastki znajdziemy za pomocą znanego formuły; otrzymujemy y 1 = 4, y 2 = - 5.
    Ale y \u003d x 2, co oznacza, że ​​problem został zredukowany do rozwiązania dwóch równań:
    x2=4; x 2 \u003d -5.

    Z pierwszego równania dowiadujemy się, że drugie równanie nie ma pierwiastków.
    Odpowiedź: .
    Równanie postaci ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 nazywa się równaniem dwukwadratowym („bi” - dwa, tj. Niejako równanie „dwukrotnie kwadratowe”). Właśnie rozwiązane równanie było dokładnie dwukwadratowe. Każde równanie dwukwadratowe rozwiązuje się w taki sam sposób, jak równanie z przykładu 3: wprowadza się nową zmienną y \u003d x 2, powstałe równanie kwadratowe jest rozwiązywane w odniesieniu do zmiennej y, a następnie zwracane do zmiennej x.

    Przykład 4 Rozwiązać równanie

    Rozwiązanie. Zauważ, że to samo wyrażenie x 2 + 3x występuje tutaj dwukrotnie. Dlatego sensowne jest wprowadzenie nowej zmiennej y = x 2 + Zx. Pozwoli nam to przepisać równanie w prostszej i przyjemniejszej postaci (co w rzeczywistości jest celem wprowadzenia nowego zmienny- a nagrywanie jest łatwiejsze
    , a struktura równania staje się jaśniejsza):

    A teraz użyjemy algorytmu do rozwiązania równania wymiernego.

    1) Przenieśmy wszystkie wyrazy równania do jednej części:

    = 0
    2) Przekształćmy lewą stronę równania

    Tak więc przekształciliśmy dane równanie w postać


    3) Z równania - 7y 2 + 29y -4 = 0 znajdujemy (rozwiązaliśmy już całkiem sporo równań kwadratowych, więc chyba nie warto zawsze podawać w podręczniku szczegółowych obliczeń).

    4) Sprawdźmy znalezione pierwiastki za pomocą warunku 5 (y - 3) (y + 1). Warunek ten spełniają oba korzenie.
    Zatem równanie kwadratowe dla nowej zmiennej y jest rozwiązane:
    Ponieważ y \u003d x 2 + Zx, a y, jak ustaliliśmy, przyjmuje dwie wartości: 4 i - nadal musimy rozwiązać dwa równania: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pierwiastkami pierwszego równania są liczby 1 i - 4, pierwiastkami drugiego równania są liczby

    W rozważanych przykładach sposób wprowadzenia nowej zmiennej był, jak lubią mawiać matematycy, adekwatny do sytuacji, czyli dobrze z nią korespondował. Czemu? Tak, ponieważ to samo wyrażenie wyraźnie pojawiało się w zapisie równania kilka razy i rozsądne było oznaczenie tego wyrażenia nową literą. Ale nie zawsze tak jest, czasami nowa zmienna „pojawia się” dopiero w procesie przekształceń. Dokładnie tak będzie w następnym przykładzie.

    Przykład 5 Rozwiązać równanie
    x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
    Rozwiązanie. Mamy
    x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
    (x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

    Zatem podane równanie można przepisać jako

    (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

    Teraz "pojawiła się" nowa zmienna: y = x 2 - Zx.

    Za jego pomocą równanie można przepisać w postaci y (y + 2) \u003d 24, a następnie y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Pierwiastkami tego równania są liczby 4 i -6.

    Wracając do pierwotnej zmiennej x, otrzymujemy dwa równania x 2 - Zx \u003d 4 i x 2 - Zx \u003d - 6. Z pierwszego równania znajdujemy x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; drugie równanie nie ma pierwiastków.

    Odpowiedź: 4, - 1.

    Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje
    Ładowanie...Ładowanie...