Na ciągłym pochylaniu się nad nimi. Rozwiązywanie typowych problemów wytrzymałościowych materiałów

Zagięcie to rodzaj odkształcenia, w którym wygięta jest oś podłużna belki. Belki proste pracujące na gięcie nazywane są belkami. Zagięcie proste to zagięcie, w którym siły zewnętrzne działające na belkę leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie sił) przechodzącej przez oś podłużną belki i główną środkową oś bezwładności przekroju.

Zakręt nazywa się czysty, jeśli w dowolnym przekroju belki występuje tylko jeden moment zginający.

Zginanie, w którym moment zginający i siła poprzeczna działają jednocześnie w przekroju belki, nazywa się poprzecznym. Linia przecięcia płaszczyzny siły i płaszczyzny przekroju nazywana jest linią siły.

Współczynniki siły wewnętrznej przy zginaniu belki.

Przy płaskim zginaniu poprzecznym w przekrojach belki powstają dwa wewnętrzne współczynniki siły: siła poprzeczna Q i moment zginający M. Do ich wyznaczenia wykorzystywana jest metoda przekroju (patrz wykład 1). Siła poprzeczna Q w przekroju belki jest równa algebraicznej sumie rzutów na płaszczyznę przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju.

Reguła znaku dla sił ścinających Q:

Moment zginający M w przekroju belki jest równy algebraicznej sumie momentów wokół środka ciężkości tego przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju.

Reguła znakowania momentów zginających M:

Zależności różniczkowe Żurawskiego.

Pomiędzy intensywnością q obciążenia rozłożonego, wyrażeniami na siłę poprzeczną Q i momentem zginającym M ustala się zależności różnicowe:

Na podstawie tych zależności można wyróżnić następujące ogólne schematy wykresów sił poprzecznych Q i momentów zginających M:

Osobliwości wykresów współczynników siły wewnętrznej przy zginaniu.

1. Na odcinku belki, gdzie nie występuje obciążenie rozłożone, przedstawiono wykres Q linia prosta , równoległa do podstawy diagramu, a diagram M jest nachyloną linią prostą (ryc. a).

2. W sekcji, w której przykładana jest siła skupiona, na wykresie Q powinno być skok , równa wartości tej siły, a na wykresie M - moment przełomowy (rys. a).

3. W sekcji, w której przykładany jest moment skupiony, wartość Q nie zmienia się, a wykres M ma skok , równy wartości tego momentu, (ryc. 26, b).

4. Na odcinku belki z rozłożonym obciążeniem o natężeniu q wykres Q zmienia się zgodnie z prawem liniowym, a wykres M - zgodnie z parabolicznym, i wypukłość paraboli skierowana jest w kierunku rozłożonego obciążenia (rys. c, d).

5. Jeżeli w obrębie charakterystycznego odcinka wykresu Q przecina podstawę wykresu, to w odcinku, w którym Q = 0, moment zginający ma wartość ekstremalną M max lub M min (rys. d).

Normalne naprężenia zginające.

Określone wzorem:

Moment wytrzymałości przekroju na zginanie to wartość:

Niebezpieczna sekcja podczas gięcia wywoływany jest przekrój belki, w którym występuje maksymalne naprężenie normalne.

Naprężenia styczne przy zginaniu bezpośrednim.

Zdeterminowany przez Formuła Żurawskiego dla naprężeń ścinających przy bezpośrednim zginaniu belek:

gdzie S ots - moment statyczny poprzecznej powierzchni odciętej warstwy włókien podłużnych względem linii neutralnej.

Obliczenia wytrzymałości na zginanie.

1. Na obliczenia weryfikacyjne określane jest maksymalne naprężenie obliczeniowe, które porównuje się z naprężeniem dopuszczalnym:

2. Na obliczenia projektowe doboru przekroju belki dokonuje się z warunku:

3. Przy określaniu dopuszczalnego obciążenia dopuszczalny moment zginający określany jest z warunku:

Ruchy zginające.

Pod działaniem obciążenia zginającego oś belki jest zginana. W tym przypadku następuje rozciąganie włókien na wypukłych i ściskanie - na wklęsłych częściach belki. Ponadto występuje pionowy ruch środków ciężkości przekrojów i ich obrót względem osi neutralnej. Aby scharakteryzować odkształcenie podczas zginania, stosuje się następujące pojęcia:

Ugięcie belki Y- przemieszczenie środka ciężkości przekroju belki w kierunku prostopadłym do jego osi.

Odchylenie jest uważane za dodatnie, jeśli środek ciężkości przesuwa się do góry. Wielkość ugięcia zmienia się na długości belki, tj. y=y(z)

Kąt obrotu sekcji- kąt θ, o który każda sekcja jest obracana w stosunku do swojej pierwotnej pozycji. Kąt obrotu jest uważany za dodatni, gdy sekcja jest obracana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wartość kąta obrotu zmienia się na długości belki, będąc funkcją θ = θ (z).

Najpopularniejszym sposobem określania przemieszczeń jest metoda mora oraz Reguła Vereshchagin za.

Metoda Mohra.

Procedura wyznaczania przemieszczeń metodą Mohra:

1. „Układ pomocniczy” jest budowany i obciążony pojedynczym obciążeniem w punkcie, w którym ma być określone przemieszczenie. W przypadku określenia przemieszczenia liniowego przyłożona jest siła jednostkowa w jego kierunku; przy wyznaczaniu przemieszczeń kątowych przyłożony jest moment jednostkowy.

2. Dla każdej sekcji układu rejestrowane są wyrażenia momentów zginających M f od przyłożonego obciążenia i M 1 - od pojedynczego obciążenia.

3. Całki Mohra są obliczane i sumowane we wszystkich sekcjach układu, co daje pożądane przemieszczenie:

4. Jeżeli obliczone przemieszczenie ma znak dodatni, oznacza to, że jego kierunek pokrywa się z kierunkiem siły jednostkowej. Znak minus wskazuje, że rzeczywiste przemieszczenie jest przeciwne do kierunku siły jednostkowej.

Reguła Vereshchagin'a.

W przypadku, gdy wykres momentów zginających od danego obciążenia ma dowolny, a od pojedynczego obciążenia - zarys prostoliniowy, wygodnie jest zastosować metodę graficzno-analityczną lub regułę Vereshchagin'a.

gdzie A f jest obszarem wykresu momentu zginającego M f od danego obciążenia; y c jest rzędną wykresu od pojedynczego obciążenia pod środkiem ciężkości wykresu M f ; EI x — sztywność przekroju przekroju belki. Obliczenia według tego wzoru wykonuje się w odcinkach, na każdym z których wykres prostoliniowy musi być bez pęknięć. Wartość (A f *y c) jest uważana za dodatnią, jeśli oba wykresy znajdują się po tej samej stronie belki, ujemną, jeśli znajdują się po przeciwnych stronach. Dodatni wynik mnożenia wykresów oznacza, że ​​kierunek ruchu pokrywa się z kierunkiem siły jednostkowej (lub momentu). Skomplikowany wykres M f należy podzielić na proste figury (stosuje się tzw. „epure layering”), dla których łatwo jest wyznaczyć rzędną środka ciężkości. W tym przypadku obszar każdej figury jest mnożony przez rzędną pod jej środkiem ciężkości.

schylać się zwany deformacją pręta, której towarzyszy zmiana krzywizny jego osi. Pręt, który się zgina, nazywa się Belka.

W zależności od sposobu przyłożenia obciążenia i sposobu mocowania pręta mogą wystąpić różne rodzaje gięcia.

Jeżeli pod działaniem obciążenia w przekroju pręta powstaje tylko moment zginający, wówczas nazywa się zgięcie czysty.

Jeżeli w przekrojach obok momentów zginających powstają również siły poprzeczne, to nazywamy zginanie poprzeczny.

Jeżeli siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych osi centralnych przekroju poprzecznego pręta, zgięcie nazywamy jedyny lub mieszkanie. W tym przypadku obciążenie i oś odkształcalna leżą w tej samej płaszczyźnie (rys. 1).

Ryż. jeden

Aby belka mogła przejąć ładunek w płaszczyźnie, należy ją zamocować za pomocą podpór: zawiasowo-ruchomych, zawiasowo zamocowanych, osadzonych.

Belka musi być geometrycznie niezmienna, a najmniejsza liczba połączeń to 3. Przykład układu zmiennego geometrycznie pokazano na rys. 2a. Przykładem układów geometrycznie niezmiennych jest ryc. 2b,c.

a b c)

W podporach powstają reakcje, które wyznaczane są z warunków równowagi statyki. Reakcjami w podporach są obciążenia zewnętrzne.

Wewnętrzne siły zginające

Pręt obciążony siłami prostopadłymi do osi podłużnej belki poddaje się zginaniu płaskiemu (rys. 3). W przekrojach występują dwie siły wewnętrzne: siła ścinająca Q y i moment zginający Mz.

Siły wewnętrzne są określane metodą przekroju. Na odległość x Z punktu ALE przez płaszczyznę prostopadłą do osi X pręt jest cięty na dwie sekcje. Jedna z części belki jest odrzucana. Współdziałanie części belki zostaje zastąpione przez siły wewnętrzne: moment zginający Mz i siła poprzeczna Q y(rys. 4).

Wysiłki domowe Mz oraz Q y do przekroju wyznaczane są z warunków równowagi.

Dla części sporządzono równanie równowagi Z:

∑tak = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Następnie Q y = R A – P1.

Wniosek. Siła poprzeczna w dowolnym przekroju belki jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych leżących po jednej stronie narysowanego przekroju. Siła poprzeczna jest uważana za dodatnią, jeśli obraca pręt zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół punktu przekroju.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Następnie Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Definicja reakcji R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ ja = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Wykreślanie na pierwszej sekcji 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Wykreślanie na drugiej sekcji 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Podczas budowania Mz dodatnie współrzędne zostaną wykreślone w kierunku rozciągniętych włókien.

Sprawdzanie działek

1. Na działce Q y nieciągłości mogą występować tylko w miejscach, w których działają siły zewnętrzne, a wielkość skoku musi odpowiadać ich wielkości.

+ = = P

2. Na działce Mz nieciągłości powstają w miejscach przyłożenia momentów skupionych, a wielkość skoku jest równa ich wielkości.

Zależności różnicowe międzyM, Qorazq

Pomiędzy momentem zginającym, siłą poprzeczną a intensywnością rozłożonego obciążenia ustala się następujące zależności:

q = , Q y =

gdzie q jest intensywnością rozłożonego obciążenia,

Sprawdzanie wytrzymałości belek na zginanie

Do oceny wytrzymałości pręta na zginanie i doboru przekroju belki stosuje się warunki wytrzymałościowe dla naprężeń normalnych.

Moment zginający to wypadkowy moment normalnych sił wewnętrznych rozłożonych na przekroju.

s = × tak,

gdzie s jest naprężeniem normalnym w dowolnym punkcie przekroju,

tak to odległość od środka ciężkości przekroju do punktu,

Mz- moment zginający działający w przekroju,

J z jest osiowym momentem bezwładności pręta.

Aby zapewnić wytrzymałość, obliczane są maksymalne naprężenia występujące w punktach przekroju najbardziej oddalonych od środka ciężkości tak = ymax

s max = × ymax,

= Wz i s max = .

Wówczas warunek wytrzymałościowy dla naprężeń normalnych ma postać:

s max = ≤ [s],

gdzie [s] jest dopuszczalnym naprężeniem rozciągającym.

prosty zakręt- jest to rodzaj odkształcenia, w którym w przekrojach pręta powstają dwa czynniki siły wewnętrznej: moment zginający i siła poprzeczna.

czysty zakręt- jest to szczególny przypadek zginania bezpośredniego, w którym w przekrojach pręta występuje tylko moment zginający, a siła poprzeczna wynosi zero.

Przykład czystego zagięcia — wykres płyta CD na pręcie AB. Moment zginający jest wartość Rocznie para sił zewnętrznych powodujących zginanie. Od równowagi części pręta po lewej stronie przekroju mni z tego wynika, że ​​siły wewnętrzne rozłożone na tym odcinku są statycznie równoważne momentowi M, równy i przeciwny do momentu zginającego Rocznie.

Aby znaleźć rozkład tych sił wewnętrznych w przekroju, należy wziąć pod uwagę odkształcenie pręta.

W najprostszym przypadku pręt ma wzdłużną płaszczyznę symetrii i jest poddawany działaniu zewnętrznych zginających par sił znajdujących się w tej płaszczyźnie. Wtedy zakręt nastąpi w tej samej płaszczyźnie.

oś pręta nn 1 to linia przechodząca przez środki ciężkości jej przekrojów.

Niech przekrój pręta będzie prostokątem. Narysuj dwie pionowe linie na jego twarzach mm oraz pp. Po zgięciu linie te pozostają proste i obracają się tak, że pozostają prostopadłe do podłużnych włókien pręta.

Kolejna teoria gięcia opiera się na założeniu, że nie tylko linie mm oraz pp, ale cały płaski przekrój pręta pozostaje płaski po zgięciu i normalny do podłużnych włókien pręta. Dlatego podczas gięcia przekroje mm oraz pp obracać się względem siebie wokół osi prostopadłych do płaszczyzny gięcia (płaszczyzny rysowania). W tym przypadku włókna podłużne po stronie wypukłej podlegają naprężeniu, a włókna po stronie wklęsłej ulegają ściśnięciu.

neutralna powierzchnia to powierzchnia, która nie ulega deformacji podczas gięcia. (Teraz znajduje się prostopadle do rysunku, zdeformowana oś pręta) nn 1 należy do tej powierzchni).

Neutralna oś przekroju- jest to przecięcie neutralnej powierzchni z dowolnym o dowolnym przekroju (teraz również usytuowane prostopadle do rysunku).

Niech dowolny włókno będzie w pewnej odległości tak z neutralnej powierzchni. ρ jest promieniem krzywizny zakrzywionej osi. Kropka O jest środkiem krzywizny. Narysujmy linię n 1 s 1 równoległy mm.ss 1 to bezwzględne wydłużenie włókna.

Względne rozszerzenie εx włókna

Wynika, że deformacja włókien podłużnych proporcjonalna do odległości tak od neutralnej powierzchni i odwrotnie proporcjonalna do promienia krzywizny ρ .

Wydłużeniu wzdłużnemu włókien po stronie wypukłej pręta towarzyszy zwężenie boczne i podłużne skrócenie strony wklęsłej - przedłużenie boczne, jak w przypadku prostego rozciągania i kurczenia. Z tego powodu zmienia się wygląd wszystkich przekrojów, pionowe boki prostokąta stają się pochylone. Odkształcenie boczne z:

μ - Współczynnik Poissona.

W wyniku tego zniekształcenia wszystkie proste linie przekroju równoległe do osi z, są wygięte tak, aby pozostały normalne do boków przekroju. Promień krzywizny tej krzywej R będzie więcej niż ρ w taki sam sposób jak ε x jest większe w wartości bezwzględnej niż ε z i otrzymujemy

Te odkształcenia włókien podłużnych odpowiadają naprężeniom

Napięcie w każdym włóknie jest proporcjonalne do jego odległości od osi neutralnej. n 1 n 2. Położenie osi neutralnej i promień krzywizny ρ są dwie niewiadome w równaniu na σ x - można wyznaczyć z warunku, że siły rozłożone w dowolnym przekroju tworzą parę sił równoważącą moment zewnętrzny M.

Wszystko powyższe jest również prawdziwe, jeśli pręt nie ma podłużnej płaszczyzny symetrii, w której działa moment zginający, o ile moment zginający działa w płaszczyźnie osiowej, która zawiera jedną z dwóch główne osie Przekrój. Te samoloty nazywają się główne płaszczyzny gięcia.

Gdy istnieje płaszczyzna symetrii i moment zginający działa w tej płaszczyźnie, to w niej następuje ugięcie. Momenty sił wewnętrznych wokół osi z zrównoważyć moment zewnętrzny M. Momenty wysiłku względem osi tak są wzajemnie niszczone.

Proste zgięcie poprzeczne występuje, gdy wszystkie obciążenia są przykładane prostopadle do osi pręta, leżą w tej samej płaszczyźnie, a ponadto płaszczyzna ich działania pokrywa się z jedną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju. Bezpośrednie zginanie poprzeczne odnosi się do prostej formy oporu i jest płaski stan naprężenia, tj. dwa główne naprężenia różnią się od zera. Przy tego typu deformacji powstają siły wewnętrzne: siła poprzeczna i moment zginający. Szczególnym przypadkiem bezpośredniego zgięcia poprzecznego jest czysty zakręt, przy takim oporze są sekcje ładunku, w których zanika siła poprzeczna, a moment zginający jest niezerowy. W przekrojach prętów z bezpośrednim zginaniem poprzecznym powstają naprężenia normalne i ścinające. Naprężenia są funkcją siły wewnętrznej, w tym przypadku naprężenia normalne są funkcją momentu zginającego, a naprężenia styczne są funkcją siły poprzecznej. W przypadku bezpośredniego zginania poprzecznego wprowadzono kilka hipotez:

1) Przekroje belki, płaskie przed deformacją, pozostają płaskie i prostopadłe do warstwy neutralnej po deformacji (hipoteza płaskich przekrojów lub hipoteza J. Bernoulliego). Ta hipoteza obowiązuje dla czystego zginania i jest łamana, gdy pojawia się siła ścinająca, naprężenia ścinające i odkształcenie kątowe.

2) Nie ma wzajemnego nacisku pomiędzy warstwami podłużnymi (hipoteza o braku nacisku włókien). Z tej hipotezy wynika, że ​​włókna podłużne podlegają jednoosiowemu rozciąganiu lub ściskaniu, dlatego przy czystym zginaniu obowiązuje prawo Hooke'a.

Pręt poddawany zginaniu nazywa się Belka. Podczas gięcia jedna część włókien jest rozciągana, druga część jest ściskana. Warstwa włókien pomiędzy rozciągniętymi i sprasowanymi włóknami nazywa się warstwa neutralna, przechodzi przez środek ciężkości sekcji. Nazywa się linia jego przecięcia z przekrojem belki Oś neutralna. Na podstawie wprowadzonych hipotez dla zginania czystego otrzymuje się wzór na wyznaczanie naprężeń normalnych, który jest również wykorzystywany do bezpośredniego zginania poprzecznego. Naprężenie normalne można znaleźć za pomocą zależności liniowej (1), w której stosunek momentu zginającego do osiowego momentu bezwładności (
) w danej sekcji jest wartością stałą, a odległość ( tak) wzdłuż osi rzędnych od środka ciężkości przekroju do punktu, w którym wyznaczane jest naprężenie, zmienia się od 0 do
.

. (1)

Aby określić naprężenie ścinające podczas zginania w 1856 r. Rosyjski inżynier-konstruktor mostów D.I. Żurawski uzyskał zależność

. (2)

Naprężenie ścinające w danym przekroju nie zależy od stosunku siły poprzecznej do osiowego momentu bezwładności (
), ponieważ wartość ta nie zmienia się w obrębie jednego przekroju, ale zależy od stosunku momentu statycznego obszaru odcinanej części do szerokości przekroju na poziomie odcinanej części (
).

W bezpośrednim zginaniu poprzecznym występują ruchy: ugięcia (v ) i kąty obrotu (Θ ) . Do ich wyznaczenia wykorzystuje się równania metody parametrów początkowych (3), które uzyskuje się całkując równanie różniczkowe wygiętej osi belki (
).

Tutaj v 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 – parametry początkowe, x – odległość od początku współrzędnych do odcinka, w którym określone jest przemieszczenie , a to odległość od początku współrzędnych do miejsca zastosowania lub początku obciążenia.

Obliczenia wytrzymałości i sztywności przeprowadza się z wykorzystaniem warunków wytrzymałości i sztywności. Wykorzystując te warunki można rozwiązać problemy weryfikacyjne (wykonać weryfikację spełnienia warunku), określić wielkość przekroju lub wybrać dopuszczalną wartość parametru obciążenia. Istnieje kilka warunków wytrzymałościowych, niektóre z nich podano poniżej. Stan wytrzymałości dla normalnych naprężeń wygląda jak:

, (4)

tutaj
– moduł przekroju względem osi z, R jest nośnością obliczeniową dla naprężeń normalnych.

Warunek wytrzymałości na naprężenia ścinające wygląda jak:

, (5)

tutaj notacja jest taka sama jak we wzorze Żurawskiego i R s - projektowa wytrzymałość na ścinanie lub projektowa wytrzymałość na ścinanie.

Warunek wytrzymałości zgodnie z hipotezą trzeciej siły lub hipotezę największych naprężeń ścinających można zapisać w postaci:

. (6)

Warunki sztywności można napisać dla ugięcia (v ) oraz kąty obrotu (Θ ) :

gdzie obowiązują wartości przemieszczeń w nawiasach kwadratowych.

Przykład wykonania zadania indywidualnego nr 4 (termin 2-8 tygodni)

Przy bezpośrednim czystym zginaniu w przekroju pręta istnieje tylko jeden czynnik siły - moment zginający M x(rys. 1). Jak Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, następnie M x=const i czyste zginanie bezpośrednie może być zrealizowane, gdy pręt jest obciążony parami sił przyłożonych w końcowych odcinkach pręta. Od momentu zginającego M x z definicji jest równa sumie momentów sił wewnętrznych wokół osi Oh wiąże się to z naprężeniami normalnymi przez równanie statyki wynikające z tej definicji

Sformułujmy założenia teorii czystego bezpośredniego zginania pręta pryzmatycznego. W tym celu analizujemy odkształcenia modelu pręta wykonanego z materiału o niskim module, na którego powierzchni bocznej nałożona jest siatka rys podłużnych i poprzecznych (rys. 2). Ponieważ zagrożenia poprzeczne, gdy pręt jest zginany parami sił przyłożonych w odcinkach końcowych, pozostają proste i prostopadłe do zakrzywionych zagrożeń wzdłużnych, pozwala to stwierdzić, że hipotezy dotyczące przekroju płaskiego, co, jak pokazuje rozwiązanie tego problemu metodami teorii sprężystości, przestaje być hipotezą, stając się faktem ścisłym - prawo odcinków płaskich. Mierząc zmianę odległości między zagrożeniami podłużnymi, dochodzimy do wniosku o słuszności hipotezy o braku nacisku włókien podłużnych.

Ortogonalność rys podłużnych i poprzecznych przed i po odkształceniu (jako odzwierciedlenie działania prawa płaskich odcinków) wskazuje również na brak przesunięć, naprężeń ścinających w przekroju poprzecznym i podłużnym pręta.

Rys.1. Związek między wysiłkiem wewnętrznym a stresem

Rys.2. Model czystego gięcia

Tak więc czyste bezpośrednie zginanie pręta pryzmatycznego jest zredukowane do jednoosiowego rozciągania lub ściskania włókien podłużnych przez naprężenia (wskaźnik G pominięte później). W tym przypadku część włókien znajduje się w strefie rozciągania (na rys. 2 są to włókna dolne), a część w strefie ściskania (włókna górne). Strefy te są oddzielone warstwą neutralną (p-p), nie zmieniając swojej długości, naprężenia w których są równe zeru. Biorąc pod uwagę sformułowane powyżej przesłanki i zakładając, że materiał pręta jest liniowo sprężysty, czyli prawo Hooke'a w tym przypadku ma postać: , wyprowadzamy wzory na krzywiznę warstwy neutralnej (-promień krzywizny) i naprężenia normalne. Najpierw zauważamy, że stałość przekroju pręta pryzmatycznego i momentu zginającego (M x = const), zapewnia stałość promienia krzywizny warstwy neutralnej na całej długości pręta (rys. 3, a), warstwa neutralna (n—n) opisany łukiem koła.

Rozważ pryzmatyczny pręt w warunkach bezpośredniego czystego gięcia (ryc. 3, a) o przekroju symetrycznym względem osi pionowej Jednostka organizacyjna. Warunek ten nie wpłynie na wynik końcowy (aby możliwe było proste zgięcie, koincydencja osi Och z główna oś bezwładności przekroju poprzecznego, która jest osią symetrii). Oś Wół załóż neutralną warstwę, pozycja kogo nie wiadomo z góry.

a) schemat obliczeniowy, b) odkształcenia i naprężenia

Rys.3. Fragment czystego zagięcia belki

Rozważ element wycięty z pręta o długości dz, który jest pokazany na skali o proporcjach zniekształconych dla zachowania przejrzystości na ryc. 3, b. Ponieważ interesujące są odkształcenia elementu, określone przez względne przemieszczenie jego punktów, jeden z końcowych odcinków elementu można uznać za stały. Ze względu na małość zakładamy, że punkty przekroju, obrócone o ten kąt, poruszają się nie po łukach, ale po odpowiednich stycznych.

Obliczmy odkształcenie względne włókna podłużnego AB, oddzielona od warstwy neutralnej przez w:

Z podobieństwa trójkątów C00 1 oraz 0 1 BB 1 wynika z tego

Odkształcenie podłużne okazało się liniową funkcją odległości od warstwy neutralnej, co jest bezpośrednią konsekwencją prawa przekrojów płaskich

Ta formuła nie nadaje się do praktycznego zastosowania, ponieważ zawiera dwie niewiadome: krzywiznę warstwy neutralnej i położenie osi neutralnej Oh, od którego liczona jest współrzędna tak. Aby określić te niewiadome, posługujemy się równaniami równowagi statyki. Pierwsza wyraża wymóg, aby siła wzdłużna była równa zero

Podstawiając wyrażenie (2) do tego równania

i biorąc to pod uwagę, otrzymujemy to

Całką po lewej stronie tego równania jest moment statyczny przekroju poprzecznego pręta wokół osi neutralnej Oh, który może być równy zero tylko w stosunku do osi środkowej. Dlatego oś neutralna Oh przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Drugie równanie równowagi statycznej polega na powiązaniu naprężeń normalnych z momentem zginającym (który można łatwo wyrazić w postaci sił zewnętrznych i dlatego jest uważany za daną wartość). Podstawienie wyrażenia for do równania wiązki. napięcie, otrzymujemy:

i biorąc to pod uwagę gdzie Jx jest głównym centralnym momentem bezwładności wokół osi Oh, dla krzywizny warstwy neutralnej otrzymujemy wzór

Rys.4. Rozkład naprężeń normalnych

który został po raz pierwszy uzyskany przez S. Coulomba w 1773 roku. Aby dopasować znaki momentu zginającego M x a naprężenia normalne, znak minus jest umieszczony po prawej stronie wzoru (5), ponieważ at Mx >0 normalne naprężenia w tak>0 okazują się kurczliwe. Jednak w praktycznych obliczeniach wygodniej jest, bez trzymania się formalnej zasady znaków, określić naprężenia modulo i umieścić znak zgodnie z ich znaczeniem. Naprężenia normalne w czystym zginaniu pręta pryzmatycznego są funkcją liniową współrzędnej w i osiągnąć najwyższe wartości we włóknach najbardziej oddalonych od osi neutralnej (rys. 4), tj.

Tutaj wprowadza się charakterystykę geometryczną, która ma wymiar m 3 i nazywa się moment oporu przy zginaniu. Ponieważ dla danego M x Napięcie max? im mniej tym więcej szer. x , moment oporu to charakterystyka geometryczna wytrzymałości na zginanie poprzeczne. Podajmy przykłady obliczania momentów oporu dla najprostszych postaci przekrojów. Dla przekroju prostokątnego (ryc. 5, a) mamy J x \u003d bh 3 / 12, y maks = godz./2 oraz W x = J x /y maks = bh 2/6. Podobnie dla koła (ryc. 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) dostajemy Wx =d3/32, dla przekroju kołowego pierścienia (rys. 5, w), Który