Najmniejsza wspólna wielokrotność liczby 2. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, ale dla dwóch lub więcej liczb

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność?

Należy znaleźć każdy czynnik każdej z dwóch liczb, dla których znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność, a następnie pomnożyć przez siebie czynniki, które pokrywały się z pierwszą i drugą liczbą. Rezultatem produktu będzie pożądana wielokrotność.

Na przykład mamy liczby 3 i 5 i musimy znaleźć LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Nas trzeba pomnożyć i trzy i pięć dla wszystkich numerów począwszy od 1 2 3 ... i tak dalej, aż zobaczymy ten sam numer tu i tam.

Mnożymy trzy i otrzymujemy: 3, 6, 9, 12, 15

Pomnóż pięć i uzyskaj: 5, 10, 15

Metoda rozkładu na czynniki pierwsze jest najbardziej klasyczną metodą znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) wielu liczb. Ta metoda jest jasno i prosto zademonstrowana na poniższym filmie:

Dodawanie, mnożenie, dzielenie, redukowanie do wspólnego mianownika i inne działania arytmetyczne bardzo ekscytujące zajęcie, szczególnie podziwiane są przykłady zajmujące cały arkusz.

Znajdź więc wspólną wielokrotność dwóch liczb, która będzie najmniejszą liczbą podzielną przez dwie liczby. Chcę zauważyć, że w przyszłości nie trzeba uciekać się do formuł, aby znaleźć to, czego szukasz, jeśli możesz liczyć w swoim umyśle (i można to wytrenować), wtedy same liczby wyskakują w twojej głowie, a następnie frakcje klikają jak orzechy.

Na początek dowiemy się, że możemy pomnożyć dwie liczby względem siebie, a następnie zmniejszyć tę liczbę i podzielić naprzemiennie przez te dwie liczby, tak aby znaleźć najmniejszą wielokrotność.

Na przykład dwie liczby 15 i 6. Mnożymy i otrzymujemy 90. To jest oczywiste więcej numeru. Co więcej, 15 jest podzielne przez 3, a 6 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​dzielimy również 90 przez 3. Otrzymujemy 30. Próbujemy podzielić 30 przez 15 równa się 2. A 30 dzieli 6 równa się 5. Ponieważ 2 jest granicą, okazuje się, że najmniejszą wielokrotnością liczb 15 i 6 będzie 30.

Przy większej liczbie numerów będzie to trochę trudniejsze. ale jeśli wiesz, które liczby dają resztę zerową przy dzieleniu lub mnożeniu, to w zasadzie nie ma dużych trudności.

• Jak znaleźć NOC

  Oto film, który pokaże Ci dwa sposoby na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Ćwicząc przy użyciu pierwszej z proponowanych metod, możesz lepiej zrozumieć, jaka jest najmniejsza wspólna wielokrotność.

Oto inny sposób na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności. Rzućmy okiem na ilustrujący przykład.

Konieczne jest znalezienie LCM trzech liczb naraz: 16, 20 i 28.

• Każdą liczbę reprezentujemy jako iloczyn jej czynników pierwszych:
• Zapisujemy potęgi wszystkich czynników pierwszych:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Wybieramy wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) o największych stopniach, mnożymy je i znajdujemy LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM (16, 20, 28) = 560.

Tak więc w wyniku obliczeń uzyskano liczbę 560. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli jest podzielna przez każdą z trzech liczb bez reszty.

Najmniejsza wspólna wielokrotność to liczba, którą można podzielić przez kilka podanych liczb bez reszty. Aby obliczyć taką liczbę, musisz wziąć każdą liczbę i rozłożyć ją na proste czynniki. Te pasujące liczby są usuwane. Pozostawia wszystkich pojedynczo, pomnóż ich kolejno między sobą i uzyskaj pożądaną - najmniejszą wspólną wielokrotność.

NOC, lub najmniejsza wspólna wielokrotność, jest najmniejszy Liczba naturalna dwie lub więcej liczb podzielnych przez każdą z podanych liczb bez reszty.

Oto przykład, jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 30 i 42.

• Pierwszym krokiem jest rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze.

Dla 30 to 2 x 3 x 5.

Dla 42 to 2 x 3 x 7. Ponieważ 2 i 3 są rozwinięciem liczby 30, wykreślamy je.

• Wypisujemy czynniki, które są zawarte w rozszerzeniu liczby 30. To jest 2 x 3 x 5.
• Teraz musisz je pomnożyć przez brakujący czynnik, który mamy przy rozłożeniu 42, a to jest 7. Otrzymujemy 2 x 3 x 5 x 7.
• Znajdujemy to, co jest równe 2 x 3 x 5 x 7 i otrzymujemy 210.

W rezultacie otrzymujemy, że LCM liczb 30 i 42 wynosi 210.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz wykonać kilka prostych kroków w kolejności. Rozważ to na przykładzie dwóch liczb: 8 i 12

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze: 8=2*2*2 i 12=3*2*2
2. Zmniejszamy te same mnożniki dla jednej z liczb. W naszym przypadku, dopasowanie 2 * 2, zmniejszamy je o liczbę 12, wtedy 12 będzie miało jeden czynnik: 3.
3. Znajdź iloczyn wszystkich pozostałych czynników: 2*2*2*3=24

Sprawdzając, upewniamy się, że 24 jest podzielne przez 8 i 12 i jest to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez każdą z tych liczb. Oto jesteśmy znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność.

Spróbuję wyjaśnić na przykładzie liczb 6 i 8. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest liczba, którą można podzielić przez te liczby (w naszym przypadku 6 i 8) i nie będzie żadnej reszty.

Tak więc zaczynamy mnożyć najpierw 6 przez 1, 2, 3 itd., a 8 przez 1, 2, 3 itd.

Największa liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się Największy wspólny dzielnik te liczby. Oznacz GCD(a, b).

Rozważ znalezienie NWD na przykładzie dwóch liczb naturalnych 18 i 60:

1 Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Usuń z rozwinięcia pierwszej liczby wszystkie czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby, otrzymujemy 2×3×3 .

3 Po wykreśleniu mnożymy pozostałe czynniki pierwsze i otrzymujemy największy wspólny dzielnik liczb: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Zwróć uwagę, że nie ma znaczenia od pierwszej czy drugiej liczby skreślamy czynniki, wynik będzie taki sam:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 oraz 432

Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Usuń z pierwszej liczby, której czynniki nie znajdują się w drugiej i trzeciej liczbie, otrzymujemy:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

W wyniku GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Znajdowanie GCD za pomocą algorytmu Euklidesa

Drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika za pomocą Algorytm Euklidesa. Algorytm Euklidesa jest najbardziej efektywny sposób odkrycie GCD, używając go musisz ciągle znajdować resztę z dzielenia liczb i zastosować powtarzająca się formuła.

Powtarzająca się formuła dla GCD, gcd(a, b)=gcd(b, mod b), gdzie mod b to reszta z dzielenia a przez b.

Algorytm Euklidesa

Przykład Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 7920 oraz 594

Znajdźmy GCD( 7920 , 594 ) korzystając z algorytmu Euclid, obliczymy resztę z dzielenia za pomocą kalkulatora.

NWD( 7920 , 594 )

NWD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

NWD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

NWD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

W rezultacie otrzymujemy GCD( 7920 , 594 ) = 198

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Znajdowanie wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania ułamków różne mianowniki trzeba wiedzieć i umieć obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność(NOC).

Wielokrotność liczby „a” to liczba, która sama jest podzielna przez liczbę „a” bez reszty.

Liczby będące wielokrotnościami 8 (czyli te liczby zostaną podzielone przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32 ...

Wielokrotność 9: 18, 27, 36, 45…

Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Dzielniki - liczba skończona.

Wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych to liczba podzielna przez obie te liczby..

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.

Jak znaleźć NOC

LCM można znaleźć i napisać na dwa sposoby.

Pierwszy sposób na znalezienie LCM

Ta metoda jest zwykle używana do małych liczb.

1. Piszemy wielokrotności dla każdej liczby w wierszu, aż pojawi się wielokrotność, która jest taka sama dla obu liczb.
2. Wielokrotność liczby „a” jest oznaczona dużą literą „K”.

Przykład. Znajdź LCM 6 i 8.

Drugi sposób na znalezienie LCM

Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.

Liczba identycznych czynników w rozwinięciach liczb może być różna.

W rozwinięciu mniejszej liczby (mniejszych liczb) podkreśl czynniki, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby (w naszym przykładzie jest to 2) i dodaj te czynniki do rozwinięcia większej liczby.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Zapisz wynikową pracę w odpowiedzi.
Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120

Możesz również sformalizować znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) w następujący sposób. Znajdźmy LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Jak widać z rozwinięcia liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględnione w rozwinięciu 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jeden 2 z rozwinięcia liczby 16 do LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48

Szczególne przypadki znajdowania NOCs

Jeżeli jedna z liczb jest podzielna równomiernie przez pozostałe, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa tej liczbie.

Na przykład LCM(60, 15) = 60
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.

Na naszej stronie możesz również skorzystać ze specjalnego kalkulatora, aby znaleźć najmniej wspólną wielokrotność online, aby sprawdzić swoje obliczenia.

Jeśli liczba naturalna jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie, nazywa się ją liczbą pierwszą.

Każda liczba naturalna jest zawsze podzielna przez 1 i samą siebie.

Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą. To jedyna parzysta liczba pierwsza, reszta liczb pierwszych jest nieparzysta.

Istnieje wiele liczb pierwszych, a pierwszą z nich jest liczba 2. Nie ma jednak ostatniej liczby pierwszej. W sekcji „Do nauki” możesz pobrać tabelę liczb pierwszych do 997.

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

• liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
• 36 jest podzielne przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielnikami liczby.

Dzielnikiem liczby naturalnej a jest taka liczba naturalna, która dzieli daną liczbę „a” bez reszty.

Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywana jest liczbą złożoną.

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.

Wspólnym dzielnikiem dwóch danych liczb „a” i „b” jest liczba, przez którą dzielone są obie liczby „a” i „b” bez reszty.

Największy wspólny dzielnik(gcd) z dwóch podanych liczb "a" i "b" to Największa liczba, przez którą obie liczby „a” i „b” są podzielne bez reszty.

W skrócie, największy wspólny dzielnik liczb „a” i „b” jest zapisany w następujący sposób::

Przykład: gcd (12; 36) = 12 .

Dzielniki liczb w rekordzie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.

Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Takie liczby nazywają się liczby względnie pierwsze.

Liczby względnie pierwsze to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Ich GCD to 1.

Jak znaleźć największy wspólny dzielnik

Aby znaleźć gcd dwóch lub więcej liczb naturalnych, potrzebujesz:

• rozłożyć dzielniki liczb na czynniki pierwsze;

Obliczenia są wygodnie pisane za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisz dywidendę, po prawej - dzielnik. Dalej w lewej kolumnie wpisujemy wartości prywatne.

Wyjaśnijmy od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.

Podkreśl te same czynniki pierwsze w obu liczbach.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Znajdujemy iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisujemy odpowiedź;
NPK (28; 64) = 2 2 = 4

Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4

Możesz ustawić lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak zrobiono powyżej) lub „w linii”.

Pierwszy sposób na napisanie GCD

Znajdź GCD 48 i 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Drugi sposób pisania GCD

Napiszmy teraz rozwiązanie wyszukiwania GCD w linii. Znajdź GCD 10 i 15.

Na naszej stronie informacyjnej możesz również znaleźć największy wspólny dzielnik online, korzystając z programu pomocniczego, aby sprawdzić swoje obliczenia.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności, metody, przykłady znajdowania LCM.

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - Least Common Multiple, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), oraz Specjalna uwaga Przyjrzyjmy się przykładom. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech i jeszcze liczb, a także zwróć uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Użyjmy powiązania LCM z GCD, które wyraża się wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Co to jest LCM(68, 34)?

Ponieważ 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210 , czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441,700)=44100.

Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k , najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Najpierw znajdujemy m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9 ). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, określamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140,9)=1, skąd LCM(140,9)=1409: GCD(140,9)=140 9:1=1 260. Czyli m 2 =1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.

Pozostaje znaleźć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , stąd LCM(3 780, 250)= 3 780 250: gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

LCM(140,9,54,250)=94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. Jednocześnie należy przestrzegać następna zasada. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby są dodawane do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Najpierw dokonujemy dekompozycji tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z jej rozkładem na czynniki pierwsze) oraz 143=1113.

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7) należy dodać brakujące czynniki z rozkładu drugiej liczby 6 . Rozszerzenie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .

Dlatego LCM(84,6,48,7,143)=48048.

LCM(84,6,48,7,143)=48048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Czasami zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb, wśród których jedna, kilka lub wszystkie liczby są ujemne. W takich przypadkach wszystkie liczby ujemne należy zastąpić ich liczbami przeciwstawnymi, po czym należy znaleźć LCM liczb dodatnich. W ten sposób można znaleźć LCM liczb ujemnych. Na przykład LCM(54, -34)=LCM(54, 34) i LCM(-622, -46, -54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Możemy to zrobić, ponieważ zbiór wielokrotności a jest taki sam jak zbiór wielokrotności −a (a i −a są liczbami przeciwstawnymi). Rzeczywiście, niech b będzie pewną wielokrotnością a , wtedy b jest podzielne przez a , a pojęcie podzielności zakłada istnienie takiej liczby całkowitej q , że b=a q . Ale równość b=(−a)·(−q) również będzie prawdziwa, co na mocy tego samego pojęcia podzielności oznacza, że ​​b jest podzielne przez −a , czyli b jest wielokrotnością −a . Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli b jest pewną wielokrotnością −a , to b jest również wielokrotnością a .

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych -145 i -45.

Zamieńmy liczby ujemne -145 i -45 na ich przeciwne liczby 145 i 45 . Mamy LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Po wyznaczeniu gcd(145, 45)=5 (np. za pomocą algorytmu Euclid) obliczamy LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność ujemnych liczb całkowitych -145 i -45 wynosi 1,305 .

www.cleversstudents.ru

Kontynuujemy naukę dywizji. W tej lekcji przyjrzymy się takim pojęciom, jak: GCD oraz NOC.

GCD jest największym wspólnym dzielnikiem.

NOC jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Temat jest dość nudny, ale trzeba go zrozumieć. Bez zrozumienia tego tematu nie będziesz w stanie efektywnie pracować z ułamkami, które są prawdziwą przeszkodą w matematyce.

Największy wspólny dzielnik

Definicja. Największy wspólny dzielnik liczb a oraz b a oraz b podzielone bez reszty.

Aby dobrze zrozumieć tę definicję, podstawiamy zamiast zmiennych a oraz b na przykład dowolne dwie liczby zamiast zmiennej a zastąp liczbę 12, a zamiast zmiennej b numer 9. Teraz spróbujmy przeczytać tę definicję:

Największy wspólny dzielnik liczb 12 oraz 9 to największa liczba, o jaką 12 oraz 9 podzielone bez reszty.

Z definicji jasno wynika, że ​​mówimy o wspólnym dzielniku liczb 12 i 9, a ten dzielnik jest największym ze wszystkich istniejących dzielników. Trzeba znaleźć ten największy wspólny dzielnik (gcd).

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, stosuje się trzy metody. Pierwsza metoda jest dość czasochłonna, ale pozwala dobrze zrozumieć istotę tematu i odczuć całe jego znaczenie.

Druga i trzecia metoda są dość proste i umożliwiają szybkie znalezienie GCD. Rozważymy wszystkie trzy metody. A co zastosować w praktyce – Ty wybierasz.

Pierwszym sposobem jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników dwóch liczb i wybranie największej z nich. Rozważmy tę metodę w następującym przykładzie: znajdź największy wspólny dzielnik liczb 12 i 9.

Najpierw znajdujemy wszystkie możliwe dzielniki liczby 12. W tym celu dzielimy 12 na wszystkie dzielniki w zakresie od 1 do 12. Jeśli dzielnik pozwala nam podzielić 12 bez reszty, to podświetlimy to na niebiesko i zrób odpowiednie wyjaśnienie w nawiasach.

12: 1 = 12
(12 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 12)

12: 2 = 6
(12 podzielone przez 2 bez reszty, więc 2 jest dzielnikiem 12)

12: 3 = 4
(12 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 12)

12: 4 = 3
(12 podzielone przez 4 bez reszty, więc 4 jest dzielnikiem 12)

12:5 = 2 (2 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 12)

12: 6 = 2
(12 podzielone przez 6 bez reszty, więc 6 jest dzielnikiem 12)

12: 7 = 1 (5 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 12)

12: 8 = 1 (4 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 12)

12:9 = 1 (3 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 9 bez reszty, więc 9 nie jest dzielnikiem 12)

12: 10 = 1 (2 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 10 bez reszty, więc 10 nie jest dzielnikiem 12)

12:11 = 1 (1 pozostało)
(12 nie jest dzielone przez 11 bez reszty, więc 11 nie jest dzielnikiem 12)

12: 12 = 1
(12 podzielone przez 12 bez reszty, więc 12 jest dzielnikiem 12)

Teraz znajdźmy dzielniki liczby 9. Aby to zrobić, sprawdź wszystkie dzielniki od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 9)

9: 2 = 4 (1 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 2 bez reszty, więc 2 nie jest dzielnikiem 9)

9: 3 = 3
(9 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 9)

9: 4 = 2 (1 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 4 bez reszty, więc 4 nie jest dzielnikiem 9)

9:5 = 1 (4 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 9)

9: 6 = 1 (3 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 6 bez reszty, więc 6 nie jest dzielnikiem 9)

9:7 = 1 (2 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 9)

9:8 = 1 (1 pozostało)
(9 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 9)

9: 9 = 1
(9 podzielone przez 9 bez reszty, więc 9 jest dzielnikiem 9)

Zapisz teraz dzielniki obu liczb. Liczby podświetlone na niebiesko to dzielniki. Wypiszmy je:

Po wypisaniu dzielników możesz od razu określić, który z nich jest największy i najczęstszy.

Z definicji największym wspólnym dzielnikiem 12 i 9 jest liczba, przez którą 12 i 9 są podzielne równomiernie. Największym i wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba 3

Zarówno liczba 12, jak i 9 są podzielne przez 3 bez reszty:

Więc gcd (12 i 9) = 3

Drugi sposób na znalezienie GCD

Rozważmy teraz drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. istota Ta metoda jest rozłożenie obu liczb na czynniki pierwsze i pomnożenie wspólnych.

Przykład 1. Znajdź NWD liczb 24 i 18

Najpierw podzielmy obie liczby na czynniki pierwsze:

Teraz mnożymy ich wspólne czynniki. Aby się nie pomylić, można podkreślić wspólne czynniki.

Patrzymy na rozkład liczby 24. Pierwszym czynnikiem jest 2. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on również tam jest. Podkreślamy obie dwójki:

Ponownie przyjrzymy się rozkładowi liczby 24. Drugim jej czynnikiem jest również 2. Szukamy tego samego czynnika w rozkładzie liczby 18 i widzimy, że nie ma go tam po raz drugi. Wtedy niczego nie podkreślamy.

Kolejnych dwóch w rozszerzeniu liczby 24 brakuje również w rozszerzeniu liczby 18.

Przechodzimy do ostatniego czynnika w dekompozycji liczby 24. To jest czynnik 3. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy obie trójki:

Tak więc wspólne dzielniki liczb 24 i 18 to dzielniki 2 i 3. Aby uzyskać NWD, należy pomnożyć te czynniki:

Więc gcd (24 i 18) = 6

Trzeci sposób na znalezienie GCD

Rozważmy teraz trzeci sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na tym, że liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika rozkłada się na czynniki pierwsze. Następnie z rozkładu pierwszej liczby usuwane są czynniki, które nie są objęte rozkładem drugiej liczby. Pozostałe liczby w pierwszym rozszerzeniu są mnożone i otrzymują GCD.

Na przykład znajdźmy w ten sposób NWD dla liczb 28 i 16. Przede wszystkim rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:

Mamy dwa rozszerzenia: i

Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje siedmiu. Usuniemy go z pierwszego rozszerzenia:

Teraz mnożymy pozostałe czynniki i otrzymujemy GCD:

Liczba 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 28 i 16. Obie te liczby są podzielne przez 4 bez reszty:

Przykład 2 Znajdź NWD liczb 100 i 40

Wyciąganie liczby 100

Wyciąganie liczby 40

Mamy dwa rozszerzenia:

Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje jednej piątki (jest tylko jedna piątka). Usuwamy go z pierwszego rozkładu

Pomnóż pozostałe liczby:

Otrzymaliśmy odpowiedź 20. Zatem liczba 20 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 100 i 40. Te dwie liczby są podzielne przez 20 bez reszty:

NPK (100 i 40) = 20.

Przykład 3 Znajdź gcd liczb 72 i 128

Wyciąganie liczby 72

Wyciąganie liczby 128

2×2×2×2×2×2×2

Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje dwóch trojaczków (nie ma ich wcale). Usuwamy je z pierwszego rozkładu:

Otrzymaliśmy odpowiedź 8. Tak więc liczba 8 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 128. Te dwie liczby są podzielne przez 8 bez reszty:

NPK (72 i 128) = 8

Znajdowanie GCD dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb.

Na przykład znajdźmy NWD dla liczb 18, 24 i 36

Faktoring liczby 18

Faktoring liczby 24

Faktoring liczby 36

Mamy trzy dodatki:

Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich trzech liczbach:

Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 18, 24 i 36 to czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18, 24 i 36. Te trzy liczby są podzielne przez 6 bez reszty:

NPK (18, 24 i 36) = 6

Przykład 2 Znajdź gcd dla liczb 12, 24, 36 i 42

Rozłóżmy każdą liczbę na czynniki. Następnie znajdujemy iloczyn wspólnych czynników tych liczb.

Faktoring liczby 12

Faktoring liczby 42

Mamy cztery dodatki:

Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich czterech liczbach:

Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 12, 24, 36 i 42 to czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 24, 36 i 42. Liczby te są podzielne przez 6 bez reszty:

gcd(12, 24, 36 i 42) = 6

Z poprzedniej lekcji wiemy, że jeśli jakaś liczba jest dzielona przez drugą bez reszty, nazywa się to wielokrotnością tej liczby.

Okazuje się, że wielokrotność może być wspólna dla kilku liczb. A teraz interesuje nas wielokrotność dwóch liczb, przy czym powinna ona być jak najmniejsza.

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb a oraz b- a oraz b a i numer b.

Definicja zawiera dwie zmienne a oraz b. Zastąpmy te zmienne dowolnymi dwiema liczbami. Na przykład zamiast zmiennej a zastąp liczbę 9, a zamiast zmiennej b podstawmy liczbę 12. Teraz spróbujmy przeczytać definicję:

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 9 oraz 12 - Ten najmniejsza liczba, który jest wielokrotnością 9 oraz 12 . Innymi słowy, jest to tak mała liczba, która jest podzielna bez reszty przez liczbę 9 i na numer 12 .

Z definicji jasno wynika, że ​​LCM jest najmniejszą liczbą podzielną bez reszty przez 9 i 12. Ten LCM jest wymagany do znalezienia.

Istnieją dwa sposoby na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Pierwszy sposób polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie spośród tych wielokrotności wybrać taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i mała. Zastosujmy tę metodę.

Przede wszystkim znajdźmy pierwsze wielokrotności liczby 9. Aby znaleźć wielokrotności liczby 9, musisz kolejno pomnożyć tę dziewiątkę przez liczby od 1 do 9. Otrzymane odpowiedzi będą wielokrotnościami liczby 9. Czyli , zaczynajmy. Wielokrotności zostaną podświetlone na czerwono:

Teraz znajdujemy wielokrotności liczby 12. Aby to zrobić, pomnożymy 12 przez wszystkie liczby od 1 do 12.

Rozważ rozwiązanie następującego problemu. Krok chłopca wynosi 75 cm, a krok dziewczynki 60 cm Należy znaleźć najmniejszą odległość, w której oboje wykonają całkowitą liczbę kroków.

Decyzja. Cała ścieżka, którą przejdą faceci, musi być podzielna przez 60 i 70 bez reszty, ponieważ każdy z nich musi wykonać całkowitą liczbę kroków. Innymi słowy, odpowiedź musi być wielokrotnością 75 i 60.

Najpierw wypiszemy wszystkie wielokrotności dla liczby 75. Otrzymujemy:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz wypiszmy liczby, które będą wielokrotnością 60. Otrzymujemy:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz znajdujemy liczby znajdujące się w obu rzędach.

• Wspólne wielokrotności liczb to liczby, 300, 600 itd.

Najmniejsza z nich to liczba 300. W tym przypadku będzie ona nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Wracając do stanu problemu, najmniejsza odległość, przy której chłopaki wykonają całkowitą liczbę kroków, wyniesie 300 cm, chłopiec przejdzie tą drogą w 4 krokach, a dziewczynka będzie musiała zrobić 5 kroków.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

• Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych a i b jest najmniejszą liczbą naturalną będącą wielokrotnością liczby a i b.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, nie jest konieczne zapisywanie wszystkich wielokrotności tych liczb w jednym rzędzie.

Możesz użyć następującej metody.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność

Najpierw musisz rozłożyć te liczby na czynniki pierwsze.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapiszmy teraz wszystkie czynniki, które są w rozwinięciu pierwszej liczby (2,2,3,5) i dodajmy do niej wszystkie brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby (5).

W rezultacie otrzymujemy szereg liczb pierwszych: 2,2,3,5,5. Iloczyn tych liczb będzie najmniej wspólnym czynnikiem dla tych liczb. 2*2*3*5*5 = 300.

Ogólny schemat znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności

• 1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze.
• 2. Zapisz czynniki pierwsze, które są częścią jednego z nich.
• 3. Dodaj do tych czynników wszystkie te, które są w rozkładzie reszty, ale nie w wybranym.
• 4. Znajdź iloczyn wszystkich wypisanych czynników.

Ta metoda jest uniwersalna. Można go użyć do znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności dowolnej liczby liczb naturalnych.

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i NOC

Znajdź GCD i NOC

Znaleziono GCD i NOC: 6433

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wprowadzania
• W przypadku wpisania błędnych znaków pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
• naciśnij przycisk "Znajdź GCD i NOC"

Jak wpisywać cyfry

• Liczby są wprowadzane oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
• Długość wprowadzanych liczb nie jest ograniczona, więc znalezienie gcd i lcm długich liczb nie będzie trudne

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny dzielnik kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest w skrócie GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skrócona jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty, możesz użyć niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Decyzja: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, musisz obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, możesz powtórzyć ten sam proces ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Decyzja: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez trzy.

3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Decyzja: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Decyzja: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb?

Jak znaleźć NWD dwóch liczb

Bardzo w prosty sposób obliczenie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybraniu największej z nich.

Rozważ tę metodę na przykładzie znalezienia GCD(28, 36) :

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie GCD tych liczb. Po prostu rozważmy to.

Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez poprzednio znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych numerów 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) jest już znane jako 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć GCD kilku liczb, możesz użyć następującej relacji: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LKM(a, b, c) = LKM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozliczmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
3. Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12,32,36) = 96 36/12 = 288.

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NCM(a, b) . Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Decyzja.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Wykorzystajmy zależność między LCM a NWD wyrażoną wzorem LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630.

Odpowiedź:

LCM(126,70)=630.

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Decyzja.

Jak 68 jest podzielne przez 34 , a następnie gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LKM(68, 34)=68 34: LKM(68, 34)= 68 34:34=68.

Odpowiedź:

LCM(68,34)=68.

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib : jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Decyzja.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiedź:

LCM(441,700)=44100.

Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozkładu liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Decyzja.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84,648)=4 536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k , najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Decyzja.

W tym przykładzie 1 =140 , 2 =9 , 3 =54 , 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, określamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LKM(140, 9)=140 9: LKM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Czyli m 2 =1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.

Pozostawiony do znalezienia m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

Odpowiedź:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby są dodawane do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Decyzja.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozszerzenie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .