Formuła odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Jak odjąć ułamki o różnych mianownikach

Następną czynnością, którą można wykonać ze zwykłymi ułamkami, jest odejmowanie. W ramach tego materiału zastanowimy się, jak poprawnie obliczyć różnicę między ułamkami o tych samych i różnych mianownikach, jak odjąć ułamek od liczby naturalnej i odwrotnie. Wszystkie przykłady zostaną zilustrowane zadaniami. Wyjaśnijmy z góry, że będziemy analizować tylko przypadki, w których różnica ułamków daje liczbę dodatnią.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak znaleźć różnicę między ułamkami o tym samym mianowniku

Zacznijmy od razu od ilustrującego przykładu: powiedzmy, że mamy jabłko podzielone na osiem części. Zostawmy pięć części na talerzu i weźmy dwie. Tę akcję można zapisać w ten sposób:

Mamy 3 ósme, ponieważ 5 − 2 = 3 . Okazuje się, że 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Na tym prostym przykładzie zobaczyliśmy dokładnie, jak działa reguła odejmowania dla ułamków o tych samych mianownikach. Sformułujmy to.

Definicja 1

Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik jednego od licznika drugiego, a mianownik pozostawić bez zmian. Ta reguła może być zapisana jako a b - c b = a - c b .

Użyjemy tej formuły w dalszej części.

Weźmy konkretne przykłady.

Przykład 1

Odejmij od ułamka 24 15 ułamek wspólny 17 15 .

Rozwiązanie

Widzimy, że te ułamki mają te same mianowniki. Więc wszystko, co musimy zrobić, to odjąć 17 od 24. Otrzymujemy 7 i dodajemy do niego mianownik, otrzymujemy 7 15 .

Nasze obliczenia można zapisać w następujący sposób: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Jeśli to konieczne, możesz zmniejszyć ułamek złożony lub oddzielić całą część od niewłaściwej, aby wygodniej było policzyć.

Przykład 2

Znajdź różnicę 37 12 - 15 12 .

Rozwiązanie

Użyjmy wzoru opisanego powyżej i obliczmy: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Łatwo zauważyć, że licznik i mianownik można podzielić przez 2 (mówiliśmy o tym już wcześniej, analizując znaki podzielności). Zmniejszając odpowiedź, otrzymujemy 11 6 . Jest to ułamek niewłaściwy, z którego wybierzemy całą część: 11 6 \u003d 1 5 6.

Jak znaleźć różnicę między ułamkami o różnych mianownikach

Taką matematyczną operację można sprowadzić do tego, co już opisaliśmy powyżej. Aby to zrobić, po prostu sprowadź żądane ułamki do tego samego mianownika. Sformułujmy definicję:

Definicja 2

Aby znaleźć różnicę między ułamkami, które mają różne mianowniki, musisz doprowadzić je do tego samego mianownika i znaleźć różnicę między licznikami.

Spójrzmy na przykład, jak to się robi.

Przykład 3

Odejmij 1 15 od 2 9 .

Rozwiązanie

Mianowniki są różne i trzeba je zredukować do najmniejszej wspólnej wartości. W tym przypadku LCM wynosi 45. Dla pierwszej frakcji wymagany jest dodatkowy współczynnik 5, a dla drugiej - 3.

Obliczmy: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Otrzymaliśmy dwa ułamki o tym samym mianowniku i teraz możemy łatwo znaleźć ich różnicę za pomocą opisanego wcześniej algorytmu: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Krótki zapis rozwiązania wygląda następująco: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Nie zaniedbuj redukcji wyniku lub wyboru całej części, jeśli to konieczne. W tym przykładzie nie musimy tego robić.

Przykład 4

Znajdź różnicę 19 9 - 7 36 .

Rozwiązanie

Doprowadzamy ułamki wskazane w warunku do najniższego wspólnego mianownika 36 i otrzymujemy odpowiednio 769 i 736.

Rozważamy odpowiedź: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Wynik można zmniejszyć o 3 do 23 12 . Licznik jest większy niż mianownik, co oznacza, że możemy wyodrębnić całą część. Ostateczna odpowiedź to 1 11 12 .

Podsumowanie całego rozwiązania to 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Jak odjąć liczbę naturalną od wspólnego ułamka?

Takie działanie można również łatwo sprowadzić do prostego odejmowania zwykłych ułamków. Można to zrobić, przedstawiając liczbę naturalną jako ułamek. Pokażmy przykład.

Przykład 5

Znajdź różnicę 83 21 - 3 .

Rozwiązanie

3 to to samo co 3 1 . Następnie możesz obliczyć w ten sposób: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Jeśli w warunku konieczne jest odjęcie liczby całkowitej od ułamka niewłaściwego, wygodniej jest najpierw wyodrębnić z niej liczbę całkowitą, zapisując ją jako liczbę mieszaną. Wtedy poprzedni przykład można rozwiązać inaczej.

Z ułamka 83 21, gdy wybierzesz część całkowitą, otrzymasz 83 21 \u003d 3 20 21.

Teraz po prostu odejmij od tego 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Jak odjąć ułamek od liczby naturalnej

Ta czynność przebiega podobnie jak poprzednia: przepisujemy liczbę naturalną jako ułamek, doprowadzamy obie do wspólnego mianownika i znajdujemy różnicę. Zilustrujmy to przykładem.

Przykład 6

Znajdź różnicę: 7 - 5 3 .

Rozwiązanie

Zróbmy 7 ułamkiem 7 1 . Odejmujemy i przekształcamy wynik końcowy, wyciągając z niego część całkowitą: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Jest inny sposób na wykonanie obliczeń. Ma pewne zalety, które można wykorzystać w przypadkach, gdy liczniki i mianowniki ułamków w zadaniu są dużymi liczbami.

Definicja 3

Jeśli ułamek, który ma zostać odjęty, jest poprawny, to liczbę naturalną, od której odejmujemy, musi być reprezentowana jako suma dwóch liczb, z których jedna jest równa 1. Następnie musisz odjąć żądaną frakcję od jedności i uzyskać odpowiedź.

Przykład 7

Oblicz różnicę 1 065 - 13 62 .

Rozwiązanie

Odejmowany ułamek jest poprawny, ponieważ jego licznik jest mniejszy niż mianownik. Dlatego musimy odjąć jeden od 1065 i odjąć od niego pożądany ułamek: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Teraz musimy znaleźć odpowiedź. Korzystając z właściwości odejmowania, wynikowe wyrażenie można zapisać jako 1064 + 1 - 13 62 . Obliczmy różnicę w nawiasach. Aby to zrobić, reprezentujemy jednostkę jako ułamek 1 1 .

Okazuje się, że 1–13 62 \u003d 1 1–13 62 \u003d 62 62–13 62 \u003d 49 62.

Teraz przypomnijmy sobie o 1064 i sformułujmy odpowiedź: 1064 49 62 .

Staramy się udowodnić, że jest to mniej wygodne. Oto obliczenia, które otrzymalibyśmy:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Odpowiedź jest taka sama, ale obliczenia są oczywiście bardziej kłopotliwe.

Rozważyliśmy przypadek, w którym musisz odjąć poprawny ułamek. Jeśli jest błędna, zastępujemy ją liczbą mieszaną i odejmujemy według znanych zasad.

Przykład 8

Oblicz różnicę 644 - 73 5 .

Rozwiązanie

Druga frakcja jest niewłaściwa i należy od niej oddzielić całą część.

Teraz obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Właściwości odejmowania podczas pracy z ułamkami

Właściwości, jakie posiada odejmowanie liczb naturalnych, dotyczą również przypadków odejmowania ułamków zwykłych. Zobaczmy, jak z nich korzystać podczas rozwiązywania przykładów.

Przykład 9

Znajdź różnicę 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Rozwiązanie

Podobne przykłady już rozwiązaliśmy, analizując odejmowanie sumy od liczby, więc działamy według znanego już algorytmu. Najpierw obliczamy różnicę 25 4 - 3 2, a następnie odejmujemy od niej ostatni ułamek:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Przekształćmy odpowiedź, wyodrębniając z niej część całkowitą. Wynik to 3 11 12.

Krótkie podsumowanie całego rozwiązania:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Jeśli wyrażenie zawiera zarówno ułamki zwykłe, jak i liczby naturalne, podczas obliczania zaleca się pogrupowanie ich według typów.

Przykład 10

Znajdź różnicę 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Rozwiązanie

Znając podstawowe własności odejmowania i dodawania możemy pogrupować liczby w następujący sposób: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Uzupełnijmy obliczenia: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyrażenia ułamkowe są trudne do zrozumienia dla dziecka. Większość ludzi ma trudności z . Podczas studiowania tematu „dodawanie ułamków z liczbami całkowitymi” dziecko popada w osłupienie, przez co trudno jest rozwiązać zadanie. W wielu przykładach przed wykonaniem akcji należy wykonać szereg obliczeń. Na przykład przekształć ułamki lub przekształć ułamek niewłaściwy w prawidłowy.

Wyjaśnij dziecku wyraźnie. Weź trzy jabłka, z których dwa będą całe, a trzecie pokrojone na 4 części. Oddziel jeden plasterek od pokrojonego jabłka, a pozostałe trzy ułóż obok dwóch całych owoców. Dostajemy ¼ jabłek z jednej strony i 2 ¾ z drugiej. Jeśli je połączymy, otrzymamy trzy całe jabłka. Spróbujmy zmniejszyć 2 ¾ jabłek o ¼, czyli odejmij jeszcze jeden plaster, otrzymamy 2 2/4 jabłka.

Przyjrzyjmy się bliżej akcjom z ułamkami, które zawierają liczby całkowite:

Najpierw przypomnijmy zasadę obliczania dla wyrażeń ułamkowych o wspólnym mianowniku:

Na pierwszy rzut oka wszystko jest łatwe i proste. Ale dotyczy to tylko wyrażeń, które nie wymagają konwersji.

Jak znaleźć wartość wyrażenia, w którym mianowniki są różne?

W niektórych zadaniach konieczne jest znalezienie wartości wyrażenia, w którym mianowniki są różne. Rozważ konkretny przypadek:
3 2/7+6 1/3

Znajdź wartość tego wyrażenia, w tym celu znajdujemy wspólny mianownik dla dwóch ułamków.

Dla liczb 7 i 3 jest to 21. Pozostawiamy części całkowite bez zmian i zmniejszamy części ułamkowe do 21, w tym celu mnożymy pierwszy ułamek przez 3, drugi przez 7, otrzymujemy:
21.06.2011 nie zapominaj, że przebudowie nie podlegają całe części. W efekcie otrzymujemy dwa ułamki z jednym mianownikiem i obliczamy ich sumę:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Co jeśli wynikiem dodawania jest ułamek niewłaściwy, który ma już część całkowitą:
2 1/3+3 2/3
W tym przypadku dodajemy części całkowite i części ułamkowe, otrzymujemy:
5 3/3, jak wiesz, 3/3 to jeden, więc 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Po znalezieniu sumy wszystko jest jasne, przeanalizujmy odejmowanie:

Ze wszystkiego, co zostało powiedziane, wynika zasada operacji na liczbach mieszanych, która brzmi tak:

Jeśli konieczne jest odjęcie liczby całkowitej od wyrażenia ułamkowego, nie trzeba przedstawiać drugiej liczby jako ułamka, wystarczy operować tylko na częściach całkowitych.

Spróbujmy samodzielnie obliczyć wartość wyrażeń:

Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi pod literą „m”:

4 5/11-2 8/11, licznik pierwszego ułamka jest mniejszy od drugiego. Aby to zrobić, bierzemy jedną liczbę całkowitą z pierwszego ułamka, otrzymujemy,
3 5/11+11/11=3 całe 16/11, odejmij drugi od pierwszego ułamka:
3 16/11-2 8/11=1 cały 8/11

Zachowaj ostrożność podczas wykonywania zadania, nie zapomnij zamienić ułamków niewłaściwych na mieszane, podkreślając całą część. Aby to zrobić, należy podzielić wartość licznika przez wartość mianownika, wtedy to, co się stało, zajmuje miejsce części całkowitej, reszta będzie licznikiem, na przykład:

19/4=4 ¾, sprawdź: 4*4+3=19, w mianowniku 4 pozostaje bez zmian.

Podsumować:

Przed przystąpieniem do zadania związanego z ułamkami należy przeanalizować, jaki to rodzaj wyrażenia, jakie przekształcenia należy wykonać na ułamku, aby rozwiązanie było poprawne. Poszukaj bardziej racjonalnych rozwiązań. Nie idź twardą drogą. Zaplanuj wszystkie działania, zdecyduj najpierw w wersji roboczej, a następnie przenieś do szkolnego zeszytu.

Aby uniknąć zamieszania podczas rozwiązywania wyrażeń ułamkowych, konieczne jest przestrzeganie zasady sekwencji. Zdecyduj wszystko ostrożnie, bez pośpiechu.

Notatka! Zanim napiszesz ostateczną odpowiedź, sprawdź, czy możesz zmniejszyć otrzymany ułamek.

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach przykłady:

Odejmowanie właściwego ułamka od jedności.

Jeśli konieczne jest odjęcie od jednostki ułamka poprawnego, jednostka jest przeliczana na postać ułamka niewłaściwego, jej mianownik jest równy mianownikowi odejmowanego ułamka.

Przykład odejmowania właściwego ułamka od jednego:

Mianownik ułamka do odjęcia = 7 , czyli reprezentujemy jednostkę jako ułamek niewłaściwy 7/7 i odejmujemy zgodnie z zasadą odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.

Odejmowanie właściwego ułamka od liczby całkowitej.

Zasady odejmowania ułamków - popraw od liczby całkowitej (Liczba naturalna):

Podane ułamki, które zawierają część całkowitą, tłumaczymy na ułamki niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nie ma znaczenia, czy mają różne mianowniki), które rozpatrujemy według podanych wyżej reguł;
Następnie obliczamy różnicę otrzymanych ułamków. W rezultacie prawie znajdziemy odpowiedź;
Wykonujemy przekształcenie odwrotne, czyli pozbywamy się ułamka niewłaściwego - wybieramy część całkowitą w ułamku.

Odejmij właściwy ułamek od liczby całkowitej: liczbę naturalną reprezentujemy jako liczbę mieszaną. Tych. bierzemy jednostkę w liczbie naturalnej i przekładamy ją na postać ułamka niewłaściwego, mianownik jest taki sam jak ułamka odejmowanego.

Przykład odejmowania przez ułamki:

W przykładzie zastąpiliśmy jednostkę ułamkiem niewłaściwym 7/7 i zamiast 3 zapisaliśmy liczbę mieszaną i odjęliśmy ułamek od części ułamkowej.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Lub, ujmując to inaczej, odejmowanie różnych ułamków.

Zasada odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić te ułamki do najniższego wspólnego mianownika (LCD), a dopiero potem odjąć, jak w przypadku ułamków o tych samych mianownikach.

Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność) liczby naturalne będące mianownikami danych ułamków.

Uwaga! Jeśli w końcowym ułamku licznik i mianownik mają wspólne czynniki, to ułamek musi zostać zmniejszony. Ułamek niewłaściwy najlepiej przedstawiać jako ułamek mieszany. Pozostawienie wyniku odejmowania bez zmniejszania ułamka tam, gdzie to możliwe, jest niedokończonym rozwiązaniem tego przykładu!

Procedura odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

znajdź LCM dla wszystkich mianowników;
umieść dodatkowe mnożniki dla wszystkich ułamków;
pomnóż wszystkie liczniki przez dodatkowy czynnik;
wynikowe iloczyny zapisujemy w liczniku, podpisując wspólny mianownik pod wszystkimi ułamkami;
odejmij liczniki ułamków, podpisując wspólny mianownik pod różnicą.

W ten sam sposób dodawanie i odejmowanie ułamków odbywa się w obecności liter w liczniku.

Odejmowanie ułamków, przykłady:

Odejmowanie ułamków mieszanych.

Na odejmowanie ułamków mieszanych (liczb) osobno część całkowita jest odejmowana od części całkowitej, a część ułamkowa jest odejmowana od części ułamkowej.

Pierwsza opcja to odjęcie ułamków mieszanych.

Jeśli części ułamkowe to samo mianowniki i licznik części ułamkowej odjemnika (odejmujemy od niego) ≥ licznik części ułamkowej odjemnika (odejmujemy).

Na przykład:

Drugą opcją jest odjęcie ułamków mieszanych.

Kiedy części ułamkowe inny; różny mianowniki. Na początek redukujemy części ułamkowe do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy część całkowitą od liczby całkowitej, a część ułamkową od ułamka.

Na przykład:

Trzecią opcją jest odjęcie ułamków mieszanych.

Część ułamkowa odjemnej jest mniejsza niż część ułamkowa odjemnika.

Przykład:

Dlatego części ułamkowe mają różne mianowniki, co oznacza, że podobnie jak w przypadku drugiej opcji, najpierw doprowadzamy zwykłe ułamki do wspólnego mianownika.

Licznik części ułamkowej odjemnika jest mniejszy niż licznik części ułamkowej odjemnika.3 < 14. Tak więc bierzemy jednostkę z części całkowitej i sprowadzamy tę jednostkę do postaci ułamka niewłaściwego o tym samym mianowniku i liczniku = 18.

W liczniku z prawej strony wpisujemy sumę liczników, następnie otwieramy nawiasy w liczniku z prawej strony, czyli mnożymy wszystko i podajemy podobne. Nie otwieramy nawiasów w mianowniku. Zwyczajowo pozostawia się produkt w mianownikach. Otrzymujemy:

W tej lekcji rozważymy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować wspólne ułamki o tych samych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym regułom. Umiejętność pracy z ułamkami o tym samym mianowniku jest jednym z fundamentów nauki zasad pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie bardziej złożonego tematu - dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey z jednym na ciebie - mi-know-on-te-la-mi (jest to co-pa-yes-et z analogicznym prawem kciuka dla zwykłego-ale-ven-nyh-dr-bay): To jest dla dodania lub ty-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey z jednym do ciebie-mi-znam-mnie-na-te-la-mi jest konieczne -ho-di-mo z -stano z-od-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum z liczby-li-te-lei, a znak-me-on-tel wyjdź bez iz-me- nie-nie.

Przeanalizujemy to prawo-vi-lo zarówno na przykładzie zwykłych-ale-żylnych-uderzeń, jak i na przykładzie al-geb-ra-i-che-drobey.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę-czy-oni-czy-czy-grać-pokonać i zostawmy bez zmian znak-me-on-tel. Następnie dzielimy numer-li-tel i znak-me-on-tel na proste mnożniki i tak-kra-tim. Chodźmy po to: .

Uwaga: błąd standardowy, uruchomię coś podczas rozwiązywania w dobrym przykładzie, dla -key-cha-et-sya w następującym-du-u-sch-tak-tak-by-tak-she-tion : . Jest to poważny błąd, ponieważ logowanie przez telefon pozostaje takie samo, jak w oryginalnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie

Ta za-da-cha nie jest niczym od-czy-cha-et-sya od poprzedniego:.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłego-ale-vein-nyh dro-bay per-rey-dem do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, dodanie al-geb-ra-i-che-dro-bey jest niczym z-is-cha-is-sya z zhe-niya zwykle-ale-vein-nyh dro-bay. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama:.

Przykład 4. Czcisz ułamki:.

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey from-czy-cha-et-sya z komplikacji tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Dlatego .

Przykład 5. Czcisz ułamki:.

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość:.

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, ktoś-raj jest w re-zul-ta-te dodatek lub ty-chi-ta-nia, możliwe jest współpiękne niya. Ponadto nie należy zapominać o ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Przykład 7. Uprość:.

Rozwiązanie: .

W której . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ sów out-of-hot-drow-bay-pa-yes-et z ODZ całkowitego wycie, to nie można tego wskazać (w końcu ułamek, w lu-chen-naya w od-ve-tych, również nie będzie istnieć ze współ-z-vet-stu-u-s-wiedząc-che-no-yah-re-men-nyh). Ale jeśli ODZ jest źródłem działającego dro-bay i od-ve-co-co-tak-et, to ODZ wskazuje na potrzebę-ho-di-mo.

Przykład 8. Uprość:.

Rozwiązanie: . W tym samym czasie y (ODZ wychodzącej hali pociągowej nie pokrywa się z ODZ re-zul-ta-ta).

Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków o różnych mianownikach

Aby przechowywać i ty-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions z różnymi-wiemy-mnie-na-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu od zwykłego- ale-ven-ny-mi dro-bya-mi i ponownie-nie-ponowne-semitowanie go na ułamki al-geb-ra-i-che.

Ras – spójrz na najprostszy przykład zwykłych strzałów żylnych.

Przykład 1. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o prawej-vi-lo-slo-drow-bay. W przypadku ułamków na-cha-la konieczne jest dodanie-ve-sti do wspólnego znaku-me-to-te-lu. W roli ogólnego znaku-me-on-te-la dla zwykłych bitów-ale-draw-beat, you-stu-pa-et najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) źródło znaków-me-on-the-lei.

Definicja

Najmniejsza liczba od szyi do tural, czyjś rój jest jednocześnie rozświetlana na liczby i.

Aby znaleźć NOC, musisz przełożyć „know-me-on-the-czy” na proste mnożniki, a następnie zdecydować się na przyjęcie wszystkiego za – jest ich wiele, wiele, niektóre z nich są zawarte w różnicy między obydwoma podpisuje-mnie-na-lei.

; . Wtedy LCM liczb powinien zawierać dwie dwójki i dwie trójki:.

Po znalezieniu ogólnego znaku-na-te-la konieczne jest, aby każdy z dro-bay znalazł dodatkowy multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, w odlaniu wspólnego znaku-me- on-tel na znak-me-on-tel co-od-rep-to-th-th-th ułamek).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez mnożnik semi-chen-ny do połowy-no-tel-ny. Ułamki z tym samym-na-że-znasz-mnie-na-te-la-mi, magazynami i kimś, na kim jesteśmy - omówione na poprzednich lekcjach.

By-lu-cha-jedz: .

Odpowiedź:.

Ras-look-rim teraz fałda al-geb-ra-i-che-dro-bey z różnymi znakami-mnie-na-te-la-mi. Śpij-cha-la, patrzymy na ułamki, wiedz-mnie-czy-niektóre z nich to-la-yut-sya liczba-la-mi.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki:.

Rozwiązanie:

Al-go-rytm re-she-niya ab-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen previous-du-sche-mu p-me-ru. Łatwo jest wziąć wspólny mianownik na dane ułamki: i dodać do pełnych mnożników dla każdego z nich.

Odpowiedź:.

Więc sfor-mu-li-ru-em al-go-rytm komplikacji i ty-chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-beaty z różnymi-my-znamy-mnie-na-te-la-mi:

1. Znajdź najmniejsze wspólne urządzenie typu „sign-me-on-tel”.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdej frakcji ciągnienia).

3. Zrób-pomnóż-żywe liczby-czy-to-czy-na-ko-ot-vet-stu-u-s-up-do-pół-nie-tel-nye-pomnożyć-tych.

4. Dodaj do życia lub uhonoruj ułamki, użyj prawego wi-la-mi foldu i ty-chi-ta-niya z ciągiem jeden-to-znasz-mnie-na- te-la-mi.

Ras-look-rim teraz jest przykładem z dro-bya-mi, w znam-mnie-na-le-jest-jest-jest-jest-buk-ven-nye ty-ra-tak samo - cji.

Ułamki to zwykłe liczby, można je również dodawać i odejmować. Ale ze względu na to, że mają mianownik, wymagane są tutaj bardziej złożone reguły niż w przypadku liczb całkowitych.

Rozważ najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki o tych samych mianownikach. Następnie:

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, dodaj ich liczniki i pozostaw mianownik bez zmian.

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.

W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:

Jak widać, nic skomplikowanego: wystarczy dodać lub odjąć liczniki - i tyle.

Ale nawet w tak prostych czynnościach ludzie popełniają błędy. Najczęściej zapominają, że mianownik się nie zmienia. Na przykład podczas ich dodawania zaczynają również się sumować, a to jest zasadniczo błędne.

Pozbycie się złego nawyku dodawania mianowników jest dość proste. Spróbuj zrobić to samo podczas odejmowania. W rezultacie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.

Dlatego pamiętaj raz na zawsze: przy dodawaniu i odejmowaniu mianownik się nie zmienia!

Ponadto wiele osób popełnia błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Jest zamieszanie ze znakami: gdzie umieścić minus, a gdzie - plus.

Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:

Plus razy minus daje minus;
Dwa negatywy dają odpowiedź twierdzącą.

Przeanalizujmy to wszystko na konkretnych przykładach:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

W pierwszym przypadku wszystko jest proste, aw drugim do liczników ułamków dodamy minusy:

Co jeśli mianowniki są różne?

Nie można bezpośrednio dodawać ułamków o różnych mianownikach. Przynajmniej ta metoda jest mi nieznana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać, aby mianowniki stały się takie same.

Istnieje wiele sposobów konwersji ułamków. Trzy z nich omówiono w lekcji „ Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Rzućmy okiem na kilka przykładów:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

W pierwszym przypadku ułamki doprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim poszukamy LCM. Zauważ, że 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozszerzeniach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Co jeśli ułamek ma część całkowitą?

Mogę cię zadowolić: różne mianowniki ułamków nie są największym złem. Znacznie więcej błędów pojawia się, gdy cała część jest wyróżniona w częściach ułamkowych.

Oczywiście dla takich ułamków istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania, ale są one dość skomplikowane i wymagają długich badań. Lepiej skorzystaj z prostego diagramu poniżej:

Przekształć wszystkie ułamki zawierające część całkowitą na nieprawidłowe. Otrzymujemy normalne wyrażenia (nawet jeśli mają różne mianowniki), które są obliczane zgodnie z omówionymi powyżej regułami;
Właściwie oblicz sumę lub różnicę otrzymanych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
Jeśli to wszystko, co było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, czyli pozbywamy się ułamka niewłaściwego, podkreślając w nim część całkowitą.

Zasady przełączania na ułamki niewłaściwe i wyróżniania części całkowitej zostały szczegółowo opisane w lekcji „Co to jest ułamek liczbowy”. Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje przekonwertować wszystkie ułamki na ułamki niewłaściwe i policzyć. Mamy:

Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.

Mała uwaga do ostatnich dwóch przykładów, w których odejmowane są ułamki z podświetloną częścią całkowitą. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że odejmuje się cały ułamek, a nie tylko jego część.

Przeczytaj ponownie to zdanie, spójrz na przykłady i zastanów się nad tym. To tutaj początkujący popełniają wiele błędów. Lubią dawać takie zadania w pracy kontrolnej. Spotkasz ich również wielokrotnie w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.

Podsumowanie: Ogólny schemat obliczeń

Podsumowując, podam ogólny algorytm, który pomoże Ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:

Jeśli część całkowita jest podświetlona w jednym lub więcej ułamkach, przekształć te ułamki na niewłaściwe;
Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika w dowolny dogodny dla ciebie sposób (chyba że zrobili to kompilatorzy problemów);
Dodaj lub odejmij otrzymane liczby zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach;
Jeśli to możliwe, zmniejsz wynik. Jeśli ułamek okazał się niepoprawny, wybierz całą część.

Pamiętaj, że lepiej zaznaczyć całą część na samym końcu zadania, tuż przed napisaniem odpowiedzi.