Klasyczna definicja prawdopodobieństwa rozwiąże egzamin. Teoria prawdopodobieństwa na egzaminie z matematyki

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to stosunek liczby wyników korzystnych dla $A$ do liczby wszystkich jednakowo możliwych wyników

$P(A)=(m)/(n)$, gdzie $n$ to całkowita liczba możliwych wyników, a $m$ to liczba wyników faworyzujących $A$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba z segmentu $$

Firma taksówkarska dostępna 50 $ samochody. 35$ z nich jest czarnych, reszta żółtych. Znajdź prawdopodobieństwo, że samochód przyjedzie na przypadkowe połączenie żółty kolor.

Znajdź liczbę żółtych samochodów:

W sumie są samochody 50$, czyli jeden z pięćdziesięciu przyjdzie na wezwanie. Jest 15$ żółtych samochodów, więc prawdopodobieństwo przybycia żółtego samochodu wynosi 15$/(50)=(3)/(10)=0,3$

Odpowiedź: 0,3 $

Wydarzenia przeciwne

Mówi się, że dwa zdarzenia są przeciwstawne, jeśli ten test są niezgodne i jeden z nich na pewno się wydarzy. Prawdopodobieństwo przeciwnych zdarzeń sumuje się do 1. Zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$ jest zapisywane w $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia $A$ i $B$ nazywane są niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich nie zależy od tego, czy drugie zdarzenie wystąpiło, czy nie. W przeciwnym razie zdarzenia nazywane są zależnymi.

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe iloczynowi tych prawdopodobieństw:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Iwan Iwanowicz kupił dwa różne losy na loterię. Prawdopodobieństwo wygranej pierwszego kupon, wynosi 0,15 USD. Prawdopodobieństwo wygrania drugiego losu na loterię wynosi 0,12. Iwan Iwanowicz bierze udział w obu losowaniach. Zakładając, że remisy odbywają się niezależnie od siebie, znajdź prawdopodobieństwo, że Iwan Iwanowicz wygra w obu remisach.

Prawdopodobieństwo $P(A)$ - wygrywa pierwszy los.

Prawdopodobieństwo $P(B)$ - wygrywa drugi los.

Zdarzenia $A$ i $B$ są zdarzeniami niezależnymi. Oznacza to, że aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń, musisz znaleźć iloczyn prawdopodobieństw

$P(A B)=P(A) P(B)$

P=0.15 0.12=0.018$

Odpowiedź: 0,018 USD

Niezgodne zdarzenia

Mówi się, że dwa zdarzenia $A$ i $B$ są niezgodne, jeśli nie ma wyników faworyzujących zarówno zdarzenie $A$, jak i zdarzenie $B$. (Wydarzenia, które nie mogą się odbyć w tym samym czasie)

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Na egzaminie z algebry uczeń otrzymuje jedno pytanie ze wszystkich egzaminów. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie na ten temat ” Równania kwadratowe”, wynosi 0,3 USD. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie na ten temat ” Równania irracjonalne”, wynosi 0,18 USD. Nie ma pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

Zdarzenia te nazywane są niezgodnymi, ponieważ uczeń otrzyma pytanie ALBO na temat „Równania czworokątne”, LUB na temat „Równania niewymierne”. Tematy nie mogą być złapane w tym samym czasie. Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Odpowiedź: 0,48 USD

Wspólne wydarzenia

Uważa się, że dwa zdarzenia są połączone, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego w tej samej próbie. W przeciwnym razie zdarzenia są nazywane niezgodnymi.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo ich iloczynu:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

W holu kina znajdują się dwa identyczne ekspresy do kawy. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie zabraknie kawy do końca dnia wynosi 0,6$. Prawdopodobieństwo, że w obu maszynach zabraknie kawy wynosi 0,32$. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej w jednym z automatów skończy się kawa do końca dnia.

Oznaczmy zdarzenia, niech:

$A$ = kawa skończy się w pierwszym ekspresie,

$B$ = kawa skończy się w drugiej maszynie.

$A B =$ kawa wyczerpie się w obu automatach,

Kawa $A + B =$ wyczerpie się w co najmniej jednym automacie.

Zgodnie z konwencją $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = 0,32 USD.

Zdarzenia $A$ i $B$ są wspólne, prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88 $

Przedstawione do tej pory w otwartym banku zadań USE w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednej formule, która jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.

Formułę najłatwiej zrozumieć za pomocą przykładów.
Przykład 1 W koszu znajduje się 9 czerwonych kulek i 3 niebieskie. Kulki różnią się tylko kolorem. Na chybił trafił (bez patrzenia) otrzymujemy jeden z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób piłka będzie niebieska?

Komentarz. W problemach prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja pociągania piłki), co może mieć inny wynik- wynik. Należy zauważyć, że wynik można oglądać na różne sposoby. Efektem jest także „wyciągnęliśmy piłkę”. Rezultatem jest „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę”. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. We wzorze na obliczenie prawdopodobieństwa brane są pod uwagę wyniki elementarne.

Decyzja. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wyboru niebieskiej kuli.
Wydarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Całkowita liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które mogliśmy wylosować)
Liczba wyników korzystnych dla zdarzenia A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba niebieskich kulek)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wyboru czerwonej piłki.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12=3/4=0,75

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia zawsze mieści się w zakresie od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście od oceny matematycznej do konwersacyjnej odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzeń, które nie mogą mieć miejsca, wynosi zero - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej piłki z kosza. (Liczba pozytywnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 jeśli liczone według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 ma zdarzenia, które na pewno się wydarzą, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana piłka będzie czerwona lub niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba pozytywnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi, który ilustruje definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne UŻYWAJ zadań zgodnie z teorią prawdopodobieństwa są rozwiązywane przez zastosowanie tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i nienauczone, bilety zawierające i niezawierające pytania na określony temat (prototypy), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompy ogrodowe (prototypy). , ) - zasada pozostaje taka sama.

Nieco różnią się w sformułowaniu problemu teorii WYKORZYSTANIE prawdopodobieństw, gdzie musisz obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym dniu. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić, co jest wynikiem elementarnym, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 mówców, trzeciego dnia - 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprawozdanie prof. M. padnie trzeciego dnia, jeśli kolejność sprawozdań jest ustalana w drodze losowania?

Jaki jest tutaj podstawowy wynik? - Przypisanie raportu profesora do jednego ze wszystkich możliwych numerów seryjnych wystąpienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport prof. M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 podstawowych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okazuje się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Tutaj losowanie to ustalenie przypadkowej korespondencji między ludźmi a zamówionymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowanie rozważano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w dane miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych ludzi kto mógłby losowo dostać się do? podane miejsce. 5+8+3=16 osób.
Pozytywne wyniki - Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Są zadania dotyczące monet () i kości (), które są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy reszki?
Wyniki 2 - orły lub ogony. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - ogony, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 Co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu przypadkach wypadnie na głowę?
Najważniejsze jest ustalenie, jakie podstawowe wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzuceniu dwóch monet może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wyszło
2) PO - pierwszy raz reszka, drugi raz orła
3) OP - pierwszy raz orła, drugi raz reszka
4) OO - heads up za każdym razem
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki, z których tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą wylądują na reszek?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo zdobycia jednego ogona: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeśli jednym rzutem monety opcje mamy 2 wyniki, to dla dwóch rzutów wyniki wyniosą 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), dla trzech rzutów 2 2 2=2 3 =8, dla czterech: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … dla N rzutów jest 2·2·...·2=2 N możliwych wyników.

Możesz więc obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Całkowita liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy ogony)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kości. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc dla dwóch rzutów: 6 6=36, dla trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej?

Łączne wyniki: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuci 10? (w zaokrągleniu do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwojga, zgodnie z powyższą regułą, 6,6=36.
Jakie wyniki będą korzystne, aby w sumie wypadło 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne rodzaje problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.

V-6-2014 (wszystkie 56 prototypów z banku USE)

Umieć budować i odkrywać najprostsze modele matematyczne(teoria prawdopodobieństwa)

1. W losowym eksperymencie rzuca się dwiema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania łącznie 8 punktów. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Decyzja: Liczba wyników, w których wypadnie 8 punktów w wyniku rzutu kostką, wynosi 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Każda z kostek może wypadać na sześć sposobów, więc łączna liczba wyników wynosi 6 6 = 36. Zatem prawdopodobieństwo wypadnięcia łącznie 8 punktów wynosi 5: 36=0,138…=0,14

2. W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki wypadną dokładnie raz. Rozwiązanie: Istnieją 4 możliwe wyniki eksperymentu: orło-orzeł, orło-ogon, reszka-orzeł, reszka-ogon. W dwóch przypadkach orzeł pojawia się dokładnie raz: orzeł-ogon i orzeł-orzeł. Dlatego prawdopodobieństwo, że orła wypadnie dokładnie 1 raz, wynosi 2: 4 = 0,5.

3. W mistrzostwach w gimnastyce bierze udział 20 sportowców: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. O kolejności występów zawodniczek decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że zawodnik, który startuje jako pierwszy, pochodzi z Chin. Rozwiązanie: Uczestniczy w mistrzostwachsportowcy z Chin. Wtedy prawdopodobieństwo, że zawodnik, który wystąpi jako pierwszy, będzie pochodził z Chin wynosi 5:20 = 0,25

4. Średnio na 1000 sprzedanych pomp ogrodowych 5 przecieka. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna losowo wybrana pompa nie przecieka. Rozwiązanie: Średnio na 1000 sprzedanych pomp ogrodowych 1000-5 = 995 nie przecieka. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że jedna z pomp wybranych losowo do kontroli nie przecieka wynosi 995: 1000 = 0,995

5. Fabryka produkuje torby. Średnio na 100 toreb jakościowych przypada osiem toreb z ukrytymi wadami. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Zgodnie z warunkiem na każde 100 + 8 = 108 toreb przypada 100 toreb jakościowych. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości, wynosi 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. W zawodach pchnięcia kulą bierze udział 4 sportowców z Finlandii, 7 sportowców z Danii, 9 sportowców ze Szwecji i 5 sportowców z Norwegii. Kolejność, w jakiej zawodnicy rywalizują, ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni zawodnik, który weźmie udział w rywalizacji, pochodzi ze Szwecji.. Rozwiązanie : Łącznie w zawodach bierze udział 4 + 7 + 9 + 5 = 25 sportowców. Zatem prawdopodobieństwo, że zawodnik, który startuje jako ostatni, będzie pochodził ze Szwecji, wynosi 9:25 = 0,36

7. Konferencja naukowa odbędzie się za 5 dni. W sumie planowanych jest 75 raportów - pierwsze trzy dni po 17 raportów, reszta jest rozdzielona równo między czwartym a piątym dniem. O kolejności raportów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raport prof. M. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji? Rozwiązanie: W ciągu pierwszych trzech dni odczytanych zostanie 51 raportów, na ostatnie dwa dni zaplanowano 24 raporty. Dlatego na ostatni dzień zaplanowano 12 raportów. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że referat prof. M. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji wynosi 12:75 = 0,16

8. Konkurs wykonawców trwa 5 dni. W sumie ogłoszono 80 występów – po jednym z każdego kraju. Pierwszego dnia odbywa się 8 spektakli, reszta jest rozdzielona równo pomiędzy pozostałe dni. O kolejności występów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że występ reprezentanta Rosji odbędzie się trzeciego dnia zawodów? Rozwiązanie: Zaplanowany na trzeci dzieńprzemówienia. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że występ reprezentanta z Rosji zostanie zaplanowany na trzeci dzień zawodów wynosi 18: 80 = 0,225

9. Na seminarium przybyło 3 naukowców z Norwegii, 3 z Rosji i 4 z Hiszpanii. O kolejności raportów decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że ósmy będzie raportem naukowca z Rosji. Rozwiązanie: W sumie w seminarium bierze udział 3 + 3 + 4 = 10 naukowców, co oznacza, że prawdopodobieństwo, że naukowiec mówiący ósmym będzie z Rosji wynosi 3:10 = 0,3.

10. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy mistrzostw badmintona uczestnicy są losowo dzieleni na pary w drodze losowania. Łącznie w mistrzostwach bierze udział 26 badmintonistów, w tym 10 zawodników z Rosji, w tym Rusłan Orłow. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Rusłan Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji? Rozwiązanie: W pierwszej rundzie Rusłan Orłow może grać z 26 − 1 = 25 badmintonistami, z czego 10 − 1 = 9 z Rosji. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Rusłan Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji wynosi 9:25 = 0,36

11. W kolekcji biletów na biologię znajduje się tylko 55 biletów, 11 z nich zawiera pytanie dotyczące botaniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma pytanie z botaniki w losowo wybranym bilecie egzaminacyjnym. Rozwiązanie: 11: 55 = 0,2

12. W mistrzostwach w nurkowaniu rywalizuje 25 zawodników, w tym 8 skoczków z Rosji i 9 skoczków z Paragwaju. O kolejności występów decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że szósty skoczek będzie z Paragwaju.

13. Dwie fabryki produkują to samo szkło do reflektorów samochodowych. Pierwsza fabryka produkuje 30% tych okularów, druga - 70%. Pierwsza fabryka produkuje 3% wadliwych okularów, a druga - 4%. Znajdź prawdopodobieństwo, że szklanka przypadkowo kupiona w sklepie będzie uszkodzona.

Decyzja. Konwertuj %% na ułamki.

Wydarzenie A - „Zakupione okulary z pierwszej fabryki”. P(A)=0,3

Wydarzenie B - „Zakup okularów z drugiej fabryki”. P(B)=0,7

Zdarzenie X - „Okna są uszkodzone”.

P(A i X) = 0,3*0,03=0,009

P(B i X) = 0,7*0,04=0,028 Zgodnie ze wzorem całkowitego prawdopodobieństwa: P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Jeśli arcymistrz A. gra białymi, wygrywa arcymistrza B. z prawdopodobieństwem 0,52. Jeśli A. gra czarnymi, to A. bije B. z prawdopodobieństwem 0,3. Arcymistrzowie A. i B. rozgrywają dwie partie, aw drugiej zmieniają kolor pionków. Znajdź prawdopodobieństwo, że A. wygra oba razy. Decyzja: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Wasia, Pietia, Kola i Łyosza rzucają losy - kto powinien rozpocząć grę. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya rozpocznie grę.

Rozwiązanie: Losowy eksperyment - rzucanie losów.
W tym eksperymencie elementarnym wydarzeniem jest uczestnik, który wygrywa los.
Podajemy możliwe zdarzenia elementarne:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Będzie ich 4, tj. N=4. Wiele wskazuje na to, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe.
Zdarzeniu A= (Petya wygrał los) sprzyja tylko jedno zdarzenie podstawowe (Petya). Dlatego N(A)=1.
Wtedy P(A)=0,25 Odpowiedź: 0,25.

16. W Mistrzostwach Świata bierze udział 16 drużyn. W drodze losowania muszą zostać podzieleni na cztery grupy po cztery zespoły każda. W pudełku pomieszane są karty o numerach grup: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Kapitanowie drużyn losują po jednej karcie na raz . Jakie jest prawdopodobieństwo, że rosyjska drużyna znajdzie się w drugiej grupie? Decyzja: W sumie jest 16 wyników. z numerem 2 będzie 4. Czyli 4: 16=0,25

17. Na egzaminie z geometrii student otrzymuje jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z okręgiem wpisanym, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie równoległoboczne wynosi 0,15. Nie ma pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

= (pytanie na temat „Wpisany okrąg”),
= (pytanie na temat „Równoległobok”).
Wydarzenia oraz są niezgodne, ponieważ pod warunkiem nie ma na liście pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie.
Wydarzenie= (pytanie na jeden z tych dwóch tematów) to ich związek:.
Stosujemy wzór na dodawanie prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń:
.

18.B centrum handlowe dwa identyczne automaty sprzedają kawę. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie zabraknie kawy do końca dnia wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo, że w obu maszynach zabraknie kawy wynosi 0,12. Znajdź prawdopodobieństwo, że do końca dnia w obu automatach pozostanie kawa.

Zdefiniujmy wydarzenia
= (kawa skończy się w pierwszym ekspresie),
= (kawa kończy się w drugim ekspresie).
Zgodnie z zadaniem oraz .
Korzystając ze wzoru na dodawanie prawdopodobieństw, znajdujemy prawdopodobieństwo zdarzenia
oraz = (kawa skończy się w co najmniej jednym ekspresie):

.
Dlatego prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia (kawa pozostanie w obu ekspresach) jest równe
.

19. Biathlonista strzela do tarczy pięć razy. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że biathlonista trafi w cele pierwsze trzy razy i nie trafi w dwa ostatnie. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

W zadaniu tym zakłada się, że wynik każdego kolejnego strzału nie zależy od poprzednich. Dlatego zdarzenia „uderzyły w pierwszy strzał”, „uderzyły w drugi strzał” itp. niezależny.
Prawdopodobieństwo każdego trafienia wynosi. Więc prawdopodobieństwo każdego chybienia wynosi. Używamy wzoru na pomnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. Otrzymujemy, że sekwencja
= (trafienie, trafienie, trafienie, pudło, pudło) ma prawdopodobieństwo
=
= . Odpowiedź: .

20. W sklepie są dwa automaty płatnicze. Każdy z nich może być wadliwy z prawdopodobieństwem 0,05, niezależnie od drugiego automatu. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden automat jest sprawny.

Ten problem zakłada również niezależność działania automatów.
Znajdź prawdopodobieństwo przeciwnego zdarzenia
= (obie maszyny są uszkodzone).
W tym celu korzystamy ze wzoru na pomnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
.
Więc prawdopodobieństwo zdarzenia= (przynajmniej jeden automat działa) jest równe. Odpowiedź: .

21. Pomieszczenie oświetla latarnia z dwoma lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna lampa nie wypali się w ciągu roku. Rozwiązanie: Oba się wypalą (zdarzenia są niezależne i korzystamy ze wzoru na iloczyn prawdopodobieństw) z prawdopodobieństwem p1=0,3⋅0,3=0,09
Zdarzenie przeciwne(NIE oba się wypali = co najmniej JEDEN się nie wypali)
nastąpi z prawdopodobieństwem p=1-p1=1-0,09=0,91
ODPOWIEDŹ: 0,91

22. Prawdopodobieństwo, że nowe Czajnik elektryczny będzie służyć więcej niż rok, jest równy 0,97. Prawdopodobieństwo, że potrwa to dłużej niż dwa lata, wynosi 0,89. Znajdź prawdopodobieństwo, że trwa krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.

Decyzja.

Niech A = „czajnik wytrzyma więcej niż rok, ale krócej niż dwa lata”, B = „czajnik wytrzyma więcej niż dwa lata”, a następnie A + B = „czajnik wytrzyma dłużej niż rok”.

Zdarzenia A i B są połączone, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu. Prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń, polegającego na tym, że czajnik ulegnie awarii za dokładnie dwa lata - dokładnie tego samego dnia, godziny i sekundy - jest równe zeru. Następnie:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

stąd korzystając z danych z warunku otrzymujemy 0,97 = P(A) + 0,89.

Zatem dla pożądanego prawdopodobieństwa mamy: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Zakupy Agrofirm jajka kurze w dwóch gospodarstwach domowych. 40% jaj z pierwszej fermy to jaja najwyższej kategorii, a z drugiej - 20% jaj najwyższej kategorii. W sumie 35% jaj otrzymuje najwyższą kategorię. Znajdź prawdopodobieństwo, że jajko zakupione na tej farmie będzie pochodziło z pierwszej farmy. Decyzja: Wpuść pierwsze gospodarstwo rolne, które kupuje firma rolnicza jajka, w tym jaja najwyższej kategorii, aw drugiej fermie - jajka, w tym jajka najwyższej kategorii. W sumie więc agroforma kupuje jajka, w tym jajka najwyższej kategorii. Według warunku 35% jaj ma najwyższą kategorię, a następnie:

Dlatego prawdopodobieństwo, że zakupione jajo będzie pochodziło z pierwszej fermy jest równe =0,75

24. Na klawiaturze telefonu jest 10 numerów, od 0 do 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo naciśnięty numer będzie parzysty?

25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna od 10 do 19 jest podzielna przez trzy?

26. Kowboj Jan uderza muchę na ścianie z prawdopodobieństwem 0,9, jeśli strzela z rewolweru strzałowego. Jeśli John wystrzeli z niewystrzelonego rewolweru, trafi w muchę z prawdopodobieństwem 0,2. Na stole leży 10 rewolwerów, z których tylko 4 są zestrzelone. Kowboj John widzi muchę na ścianie, przypadkowo chwyta pierwszy napotkany rewolwer i strzela do muchy. Znajdź prawdopodobieństwo chybienia Jana. Rozwiązanie: Jan trafi muchę, jeśli złapie rewolwer z celownikiem i uderzy z niego, lub jeśli złapie niewystrzelony rewolwer i uderzy z niego. Zgodnie z formułą prawdopodobieństwa warunkowego prawdopodobieństwa tych zdarzeń wynoszą odpowiednio 0,4 0,9 = 0,36 i 0,6 0,2 = 0,12. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,36 + 0,12 = 0,48. Wydarzenie, za którym tęskni John, jest odwrotne. Jego prawdopodobieństwo wynosi 1 − 0,48 = 0,52.

27. W grupie turystów jest 5 osób. Z pomocą losowania wybierają dwie osoby, które muszą udać się do wioski po jedzenie. Turysta A. chciałby iść do sklepu, ale poddaje się losowaniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A trafi do sklepu? Decyzja: W sumie jest pięciu turystów, dwóch z nich jest wybieranych losowo. Prawdopodobieństwo wybrania wynosi 2:5 = 0,4. Odpowiedź: 0,4.

28.Zanim zaczniesz mecz piłki nożnej Sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna rozpocznie mecz. Drużyna Fizyków rozgrywa trzy mecze z różnymi zespołami. Znajdź prawdopodobieństwo, że w tych grach „Fizyk” wygra los dokładnie dwa razy. Rozwiązanie: Oznaczmy przez "1" stronę monety, która odpowiada za wygranie losu przez "Fizyka", druga strona monety będzie oznaczona przez "0". Następnie są trzy korzystne kombinacje: 110, 101, 011, a w sumie są 2 kombinacje 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Zatem pożądane prawdopodobieństwo to:

29. Dwukrotnie rzuca się kostką. Ile elementarnych wyników doświadczenia sprzyja zdarzeniu „A = suma punktów równa się 5”? Rozwiązanie: Suma punktów może wynosić 5 w czterech przypadkach: „3+2”, „2+3”, „1+4”, „4+1”. Odpowiedź: 4.

30. W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik OR nadejdzie (głównie za pierwszym razem, ogon za drugim). Decyzja: Istnieją cztery możliwe wyniki: orła-orzeł, orł-ogon, ogon-orzeł, ogon-ogon. Korzystny jest jeden: głowa-ogona. Dlatego pożądane prawdopodobieństwo wynosi 1: 4 = 0,25. Odpowiedź: 0,25.

31. Na festiwalu rockowym występują zespoły – po jednej z każdego z deklarowanych krajów. O kolejności wykonania decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zespół z Danii wystąpi po zespole ze Szwecji i po zespole z Norwegii? Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Decyzja: Łączna liczba zespołów występujących na festiwalu nie ma znaczenia dla odpowiedzi na pytanie. Nieważne ile ich jest, dla wskazanych krajów jest 6 sposobów względne położenie wśród prelegentów (D - Dania, S - Szwecja, N - Norwegia):

L...S...N..., ...D...N...Sz..., ...Sz...N...L..., ...Sz. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Dania dwukrotnie wyprzedza Szwecję i Norwegię. Dlatego prawdopodobieństwo losowego rozmieszczenia grup w ten sposób jest równe Odpowiedź: 0,33.

32. Podczas strzelania z artylerii system automatyczny oddaje strzał do celu. Jeśli cel nie zostanie zniszczony, system odpala ponownie. Strzały są powtarzane aż do zniszczenia celu. Prawdopodobieństwo zniszczenia określonego celu pierwszym strzałem wynosi 0,4, a każdym kolejnym strzałem 0,6. Ile strzałów będzie potrzebnych, aby zapewnić, że prawdopodobieństwo zniszczenia celu wynosi co najmniej 0,98? Decyzja: Możesz rozwiązać problem „działaniami”, obliczając prawdopodobieństwo przetrwania po serii kolejnych nietrafień: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Ostatnie prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,02, więc wystarczy pięć strzałów w cel.

33. Aby przejść do następnej rundy rozgrywek, drużyna piłkarska musi zdobyć co najmniej 4 punkty w dwóch meczach. W przypadku wygranej drużyny otrzymuje 3 punkty, w przypadku remisu - 1 punkt, w przypadku przegranej - 0 punktów. Znajdź prawdopodobieństwo, że drużyna będzie mogła awansować do następnej rundy zawodów. Weź pod uwagę, że w każdej grze prawdopodobieństwo wygranej i przegranej jest takie samo i wynosi 0,4. Decyzja : Drużyna może zdobyć co najmniej 4 punkty w dwóch meczach na trzy sposoby: 3+1, 1+3, 3+3. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Każde z tych wydarzeń jest wypadkową dwóch niezależnych wydarzeń – wyniku w pierwszej i drugiej grze. Stąd mamy:

34. W pewnym mieście na 5000 urodzonych dzieci 2512 to chłopcy. Znajdź częstotliwość urodzeń dziewcząt w tym mieście. Zaokrąglij wynik do tysięcznych. Decyzja: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Na pokładzie samolotu znajduje się 12 miejsc siedzących przy wyjściach awaryjnych oraz 18 miejsc za przegrodami oddzielającymi kabiny. Pozostałe miejsca są niewygodne dla pasażera wysoki. Pasażer V. jest wysoki. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy odprawie, przy losowym wyborze miejsca, pasażer B. dostanie wygodne miejsce, jeśli w samolocie jest 300 miejsc. Decyzja : W samolocie dogodnych dla pasażera V. jest 12 + 18 = 30 miejsc, aw samolocie jest 300 miejsc. Zatem prawdopodobieństwo, że pasażer B. zajmie wygodne miejsce wynosi 30: 300 = 0,1 Odpowiedź: 0,1.

36. Na olimpiadzie na uczelni uczestnicy siedzą w trzech salach. W pierwszych dwóch, po 120 osób każda, reszta trafia do sali rezerwowej w innym budynku. Licząc okazało się, że w sumie było 250 uczestników. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał Olimpiadę w wolnym pokoju. Decyzja: W sumie na widownię rezerwową wysłano 250 − 120 − 120 = 10 osób. Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał Olimpiadę w wolnym pokoju wynosi 10:250 = 0,04. Odpowiedź: 0,04.

37. W klasie jest 26 osób, w tym dwóch bliźniaków - Andrey i Sergey. Klasa jest losowo podzielona na dwie grupy po 13 osób. Znajdź prawdopodobieństwo, że Andrey i Sergey będą w tej samej grupie. Decyzja: Niech jeden z bliźniaków będzie w jakiejś grupie. Wraz z nim w grupie znajdzie się 12 osób z 25 pozostałych kolegów z klasy. Prawdopodobieństwo, że drugi bliźniak znajdzie się wśród tych 12 osób, wynosi 12:25 = 0,48.

38. W firmie taksówkarskiej jest 50 samochodów; 27 z nich jest czarnych z żółtymi napisami po bokach, pozostałe są żółte z czarnymi napisami. Znajdź prawdopodobieństwo, że żółty samochód z czarnymi napisami przyjedzie na przypadkowe wezwanie. Rozwiązanie: 23:50=0,46

39. W grupie turystów jest 30 osób. Zostają zrzuceni helikopterem w kilku krokach do odległego obszaru, 6 osób na lot. Kolejność, w jakiej helikopter transportuje turystów, jest losowa. Znajdź prawdopodobieństwo, że turysta P. wykona pierwszy lot helikopterem. Decyzja: Na pierwszy lot jest 6 miejsc, w sumie 30. Wtedy prawdopodobieństwo, że turysta P. poleci na pierwszy lot helikopterem wynosi: 6:30 = 0,2

40. Prawdopodobieństwo naprawy nowego odtwarzacza DVD w ciągu roku wynosi 0,045. W pewnym mieście na 1000 odtwarzaczy DVD sprzedanych w ciągu roku do warsztatu gwarancyjnego trafiło 51 sztuk. Czym różni się częstotliwość zdarzenia „naprawa gwarancyjna” od jej prawdopodobieństwa w tym mieście? Rozwiązanie: Częstotliwość (względna częstotliwość) zdarzenia „naprawa gwarancyjna” wynosi 51: 1000 = 0,051. Różni się od przewidywanego prawdopodobieństwa o 0,006.

41. Przy produkcji łożysk o średnicy 67 mm prawdopodobieństwo, że średnica będzie się różnić od podanej o nie więcej niż 0,01 mm, wynosi 0,965. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowe łożysko będzie miało średnicę mniejszą niż 66,99 mm lub większą niż 67,01 mm. Decyzja. Zgodnie z warunkami średnica łożyska będzie mieściła się w zakresie od 66,99 do 67,01 mm z prawdopodobieństwem 0,965. Dlatego pożądane prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia wynosi 1 − 0,965 = 0,035.

42. Prawdopodobieństwo, że uczeń O. poprawnie rozwiąże więcej niż 11 zadań na teście z biologii wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że O. poprawnie rozwiąże więcej niż 10 zadań, wynosi 0,74. Znajdź prawdopodobieństwo, że O. poprawnie rozwiąże dokładnie 11 zadań. Decyzja: Rozważ zdarzenia A = „uczeń rozwiąże 11 zadań” i B = „uczeń rozwiąże więcej niż 11 zadań”. Ich sumą jest zdarzenie A + B = „uczeń rozwiąże więcej niż 10 zadań”. Zdarzenia A i B są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A + B) = P(A) + P(B). Następnie korzystając z danych problemu otrzymujemy: 0,74 = P(A) + 0,67, skąd P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07 Odpowiedź: 0,07.

43. Aby dostać się do Instytutu na specjalność „Lingwistyka”, kandydat musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby wejść na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych. Prawdopodobieństwo, że kandydat Z. otrzyma co najmniej 70 punktów z matematyki wynosi 0,6, w języku rosyjskim - 0,8, w język obcy- 0,7, a na naukach społecznych - 0,5 Ustal prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł studiować co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności. Rozwiązanie: Aby choć gdzieś się dostać, Z. musi zaliczyć zarówno język rosyjski, jak i matematykę na co najmniej 70 punktów, a do tego zdać język obcy lub nauki społeczne na co najmniej 70 punktów. Zostawiać A , B , C i D - są to wydarzenia, w których Z. zalicza odpowiednio matematykę, rusycystykę, obcy i nauki społeczne z co najmniej 70 punktami. Potem od

Dla prawdopodobieństwa przybycia mamy:

44. W fabryce naczyń ceramicznych 10% produkowanych talerzy ma wadę. Podczas kontroli jakości produktu wykrywane jest 80% wadliwych płyt. Pozostałe płyty są na sprzedaż. Znajdź prawdopodobieństwo, że płyta wybrana losowo w momencie zakupu nie ma wad. Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej setnej części. Decyzja : Niech fabryka wyprodukujetalerze. Do sprzedaży trafią wszystkie wysokiej jakości talerze oraz 20% niewykrytych wadliwych talerzy:talerze. Ponieważ te wysokiej jakości, prawdopodobieństwo zakupu tabliczki jakości wynosi 0,9p:0,92p=0,978 Odpowiedź: 0,978.

45. W sklepie jest trzech sprzedawców. Każdy z nich jest zajęty klientem z prawdopodobieństwem 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w losowym momencie wszyscy trzej sprzedawcy będą jednocześnie zajęci (załóżmy, że klienci wchodzą niezależnie od siebie). Decyzja : Prawdopodobieństwo powstania niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Dlatego prawdopodobieństwo, że wszyscy trzej sprzedawcy są zajęci, wynosi

46. Na podstawie opinii klientów Iwan Iwanowicz ocenił niezawodność dwóch sklepów internetowych. Prawdopodobieństwo, że pożądany produkt dostawa ze sklepu A wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że ten produkt zostanie dostarczony ze sklepu B wynosi 0,9. Iwan Iwanowicz zamówił towar od razu w obu sklepach. Zakładając, że sklepy internetowe działają niezależnie od siebie, ustal prawdopodobieństwo, że żaden ze sklepów nie dostarczy towaru. Decyzja: Prawdopodobieństwo, że pierwszy sklep nie dostarczy towaru wynosi 1 − 0,9 = 0,1. Prawdopodobieństwo, że drugi sklep nie dostarczy towaru wynosi 1 − 0,8 = 0,2. Ponieważ zdarzenia te są niezależne, prawdopodobieństwo ich produktu (oba sklepy nie dostarczą towaru) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,1 0,2 = 0,02

47. Codziennie z centrum dzielnicy do wsi kursuje autobus. Prawdopodobieństwo, że w poniedziałek w autobusie będzie mniej niż 20 pasażerów wynosi 0,94. Prawdopodobieństwo, że będzie mniej niż 15 pasażerów, wynosi 0,56. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba pasażerów będzie wynosić od 15 do 19. Rozwiązanie: Rozważ zdarzenia A = „w autobusie jest mniej niż 15 pasażerów” i B = „w autobusie jest od 15 do 19 pasażerów”. Ich suma to zdarzenie A + B = "mniej niż 20 pasażerów w autobusie". Zdarzenia A i B są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A + B) = P(A) + P(B). Następnie korzystając z danych problemu otrzymujemy: 0,94 = 0,56 + P(B), skąd P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Odpowiedź: 0,38.

48. Przed rozpoczęciem meczu siatkówki kapitanowie drużyn losują uczciwie, aby ustalić, która drużyna rozpocznie mecz piłki nożnej. Zespół Statora na zmianę gra z zespołami Rotor, Motor i Starter. Znajdź prawdopodobieństwo, że Stator rozpocznie tylko pierwszą i ostatnią grę. Decyzja. Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństwa iloczynu trzech zdarzeń: „Stator” rozpoczyna pierwszą grę, nie rozpoczyna drugiej gry, rozpoczyna trzecią grę. Prawdopodobieństwo powstania niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Prawdopodobieństwo każdego z nich jest równe 0,5, stąd znajdujemy: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Odpowiedź: 0,125.

49. W Krainie Bajek są dwa rodzaje pogody: dobra i doskonała, a pogoda, która ustaliła się rano, pozostaje niezmienna przez cały dzień. Wiadomo, że z prawdopodobieństwem 0,8 jutro pogoda będzie taka sama jak dzisiaj. Dziś jest 3 lipca, pogoda w Krainie Bajek jest ładna. Sprawdź prawdopodobieństwo, że 6 lipca w Magicland będzie wspaniała pogoda. Decyzja. W przypadku pogody 4, 5 i 6 lipca są 4 opcje: XXO, XOO, OXO, LLC (tutaj X to dobra pogoda, O to doskonała pogoda). Znajdźmy prawdopodobieństwa takiej pogody: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Wszyscy pacjenci z podejrzeniem zapalenia wątroby otrzymują badanie krwi. Jeśli analiza wykaże zapalenie wątroby, wówczas wywoływany jest wynik analizy pozytywny . U pacjentów z zapaleniem wątroby analiza daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,9. Jeśli pacjent nie ma zapalenia wątroby, test może dać fałszywie dodatni wynik z prawdopodobieństwem 0,01. Wiadomo, że 5% pacjentów przyjętych z podejrzeniem zapalenia wątroby faktycznie ma zapalenie wątroby. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik badania pacjenta przyjętego do kliniki z podejrzeniem zapalenia wątroby będzie pozytywny. Decyzja . Analiza pacjenta może być pozytywna z dwóch powodów: A) pacjent ma zapalenie wątroby, jego analiza jest prawidłowa; B) pacjent nie ma zapalenia wątroby, jego analiza jest fałszywa. Są to zdarzenia niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Mamy: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. W kieszeni Miszy były cztery słodycze - Grillage, Wiewiórka, Krowa i Jaskółka oraz klucze do mieszkania. Wyjmując klucze, Misha przypadkowo wypuścił jeden cukierek z kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo zgubienia cukierka Grillage.

52.Zegarki mechaniczne z dwunastogodzinną tarczą w pewnym momencie zepsuł się i przestał chodzić. Znajdź prawdopodobieństwo, że wskazówka godzinowa zamarł, osiągając 10 znak, ale nie osiągając 1 godziny. Rozwiązanie: 3: 12=0,25

53. Prawdopodobieństwo uszkodzenia akumulatora wynosi 0,06. Klient w sklepie wybiera losowo opakowanie zawierające dwie takie baterie. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie baterie są dobre. Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że bateria jest dobra wynosi 0,94. Prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń (obie baterie będą dobre) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,94 0,94 \u003d 0,8836 Odpowiedź: 0,8836.

54. Linia automatyczna wytwarza baterie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia gotowej baterii wynosi 0,02. Każdy akumulator przed zapakowaniem przechodzi przez system kontroli. Prawdopodobieństwo, że system odrzuci złą baterię wynosi 0,99. Prawdopodobieństwo, że system omyłkowo odrzuci dobry akumulator wynosi 0,01. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana wyprodukowana bateria zostanie odrzucona przez system sterowania. Decyzja. Sytuacja, w której bateria zostanie odrzucona może być wynikiem następujących zdarzeń: A = bateria jest naprawdę zła i została odrzucona sprawiedliwie, lub B = bateria jest dobra, ale odrzucona przez pomyłkę. Są to zdarzenia niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Mamy:

55. Rysunek przedstawia labirynt. Pająk czołga się do labiryntu w punkcie „Wejście”. Pająk nie może się odwrócić i czołgać z powrotem, dlatego na każdym rozwidleniu pająk wybiera jedną ze ścieżek, którymi jeszcze nie pełzał. Zakładając, że wybór dalszej ścieżki jest czysto losowy, ustal z jakim prawdopodobieństwem pająk dotrze do wyjścia.

Decyzja.

Na każdym z czterech oznaczonych rozwidlenia pająk może wybrać ścieżkę prowadzącą do wyjścia D lub inną ścieżkę z prawdopodobieństwem 0,5. Są to zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo ich iloczynu (pająk osiąga wyjście D) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Dlatego prawdopodobieństwo dojścia do wyjścia D wynosi (0,5) 4 = 0,0625.

Zaplanuj warsztaty dla nauczycieli matematyki instytucji edukacyjnej miasta Tuła na temat „Rozwiązywanie zadań USE w matematyce z działów: kombinatoryka, teoria prawdopodobieństwa. Metody nauczania"

Spędzanie czasu: 12 00 ; 15 00

Lokalizacja: MBOU "Liceum nr 1", pok. nr 8

I. Rozwiązywanie problemów dla prawdopodobieństwa

1. Rozwiązywanie problemów z klasyczną definicją prawdopodobieństwa

Jako nauczyciele wiemy już, że główne rodzaje zadań w USE w teorii prawdopodobieństwa oparte są na klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przypomnij sobie, co nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia?

Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby wyników korzystnych dla danego zdarzenia do Łączna wyniki.

W naszym naukowo-metodologicznym stowarzyszeniu nauczycieli matematyki m.in ogólny schemat rozwiązywanie problemów dla prawdopodobieństwa. Chciałbym wam na to zwrócić uwagę. Przy okazji podzieliliśmy się naszym doświadczeniem zawodowym, a w materiałach, które zwróciliśmy na Państwa uwagę do wspólnej dyskusji na temat rozwiązywania problemów, podaliśmy ten schemat. Jednak chcę to wyrazić.

Naszym zdaniem ten schemat pomaga w szybkim logicznym odłożeniu wszystkiego na półki, a potem zadanie może być znacznie łatwiejsze zarówno dla nauczyciela, jak i uczniów.

Tak więc chcę szczegółowo przeanalizować problem poniższej treści.

Chciałem z Wami porozmawiać, aby wyjaśnić chłopakom metodologię przekazywania takiego rozwiązania, podczas której chłopaki zrozumieliby to typowe zadanie, a później sami zrozumieliby te zadania.

Czym jest eksperyment losowy w tym problemie? Teraz musimy wyizolować elementarne zdarzenie w tym eksperymencie. Czym jest to podstawowe wydarzenie? Wymieńmy je.

Masz pytania?

Drodzy koledzy, wy też oczywiście rozważaliście problemy z prawdopodobieństwem gry w kości. Myślę, że musimy to zdemontować, ponieważ są pewne niuanse. Przeanalizujmy ten problem według schematu, który ci zaproponowaliśmy. Ponieważ na każdej ścianie sześcianu jest liczba od 1 do 6, zdarzenia elementarne to liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6. Stwierdziliśmy, że całkowita liczba zdarzeń elementarnych wynosi 6. Określmy, które wydarzenia elementarne sprzyjają wydarzeniu. Tylko dwa zdarzenia sprzyjają temu zdarzeniu - 5 i 6 (bo wynika z warunku, że wypadnie 5 i 6 punktów).

Wyjaśnij, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe. Jakie będą pytania dotyczące zadania?

Jak rozumiesz, że moneta jest symetryczna? Powiedzmy sobie wprost, czasem pewne zwroty powodują nieporozumienia. Zrozummy ten problem koncepcyjnie. Zajmijmy się tobą w tym eksperymencie, który jest opisany, jakie mogą być podstawowe wyniki. Czy możesz sobie wyobrazić, gdzie jest głowa, gdzie jest ogon? Jakie są opcje opadowe? Czy są inne wydarzenia? Jaka jest łączna liczba wydarzeń? Zgodnie z problemem wiadomo, że głowy wypadły dokładnie raz. Więc to wydarzenieelementarne zdarzenia z tych czterech faworytów OR i RO, to nie może się już zdarzyć dwa razy. Używamy wzoru, za pomocą którego znajduje się prawdopodobieństwo zdarzenia. Przypomnij sobie, że odpowiedzi w części B muszą być liczbą całkowitą lub dziesiętną.

Pokaż na tablicy interaktywnej. Czytamy zadanie. Jaki jest podstawowy wynik tego doświadczenia? Wyjaśnij, że para jest uporządkowana - to znaczy, że liczba spadła na pierwszej kości, a na drugiej. W każdym zadaniu są chwile, kiedy trzeba wybrać racjonalne metody, formy i przedstawić rozwiązanie w postaci tabel, diagramów itp. W tym problemie wygodnie jest użyć takiego stołu. już ci daję rozwiązanie pod klucz, ale w trakcie rozwiązywania okazuje się, że w tym problemie racjonalne jest zastosowanie rozwiązania w postaci tabeli. Wyjaśnij, co oznacza tabela. Rozumiesz, dlaczego kolumny mówią 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Narysujmy kwadrat. Linie odpowiadają wynikom pierwszego rzutu - jest ich sześć, ponieważ kostka ma sześć ścian. Podobnie jak kolumny. W każdej komórce zapisujemy sumę odrzuconych punktów. Pokaż wypełnioną tabelę. Pokolorujmy komórki, w których suma jest równa ośmiu (tak jak jest to wymagane w warunku).

Uważam, że kolejny problem, po przeanalizowaniu poprzednich, można dać chłopakom do samodzielnego rozwiązania.

W poniższych problemach nie ma potrzeby zapisywania wszystkich elementarnych wyników. Wystarczy policzyć ich liczbę.

(Bez rozwiązania) Dałem chłopakom do samodzielnego rozwiązania tego problemu. Algorytm rozwiązywania problemu

1. Określ, czym jest eksperyment losowy, a co zdarzenie losowe.

2. Znajdź całkowitą liczbę zdarzeń elementarnych.

3. Znajdujemy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu określonym w stanie problemu.

4. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystając ze wzoru.

Uczniom można zadać pytanie, jeśli do sprzedaży trafiło 1000 baterii, a wśród nich 6 jest niesprawnych, to wybrana bateria jest określana jako? Co to jest w naszym zadaniu? Następnie zadaję pytanie o znalezienie tego, co jest tutaj używane jako liczbai proponuję go znaleźćnumer. Wtedy pytam, co to za wydarzenie? Ile akumulatorów sprzyja dokończeniu imprezy? Następnie, korzystając ze wzoru, obliczamy to prawdopodobieństwo.

Tutaj można zaproponować dzieciom drugie rozwiązanie. Porozmawiajmy, jaka może być ta metoda?

1. Jakie wydarzenie można teraz wziąć pod uwagę?

2. Jak znaleźć prawdopodobieństwo danego zdarzenia?

Dzieci muszą być poinformowane o tych formułach. Są następni

Zadanie ósme można zaproponować dzieciom samodzielnie, ponieważ jest ono podobne do zadania szóstego. Może być im oferowana jako niezależna praca lub na karcie na planszy.

Ten problem można rozwiązać w związku z trwającą właśnie olimpiadą. Pomimo tego, że w zadaniach uczestniczą różne wydarzenia, zadania są typowe.

2. Najprostsze zasady i wzory obliczania prawdopodobieństw (zdarzenia przeciwne, suma zdarzeń, iloczyn zdarzeń)

To jest zadanie od UŻYJ kolekcji. Umieszczamy rozwiązanie na tablicy. Jakie pytania powinniśmy postawić uczniom, aby przeanalizować ten problem.

1. Ile było karabinów maszynowych? Raz dwa automaty, to są już dwa zdarzenia. Pytam dzieci, jakie będzie wydarzenie? Jakie będzie drugie wydarzenie?

2. to prawdopodobieństwo zdarzenia. Nie musimy go obliczać, ponieważ jest podany w warunku. W zależności od stanu problemu, prawdopodobieństwo, że „kawy zabraknie w obu ekspresach” wynosi 0,12. Było wydarzenie A, było wydarzenie B. I pojawia się nowe wydarzenie? Zadaję dzieciom pytanie - co? To wydarzenie, kiedy w obu automatach zabraknie kawy. W tym przypadku w teorii prawdopodobieństwa jest to nowe zdarzenie, które nazywa się przecięciem dwóch zdarzeń A i B i jest w ten sposób oznaczone.

Użyjmy wzoru dodawania prawdopodobieństwa. Wzór jest następujący

Dajemy Ci to w materiale referencyjnym, a chłopaki mogą podać tę formułę. Pozwala znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Zapytano nas o prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, którego prawdopodobieństwo określa wzór.

Zadanie 13 posługuje się pojęciem iloczynu zdarzeń, którego wzór na znalezienie prawdopodobieństwa podany jest w Dodatku.

3. Zadania do zastosowania drzewa możliwych opcji

W zależności od stanu problemu łatwo jest sporządzić diagram i znaleźć wskazane prawdopodobieństwa.

Z jaką pomocą materiał teoretyczny Czy pracowałeś z uczniami przy rozwiązywaniu tego typu problemów? Czy korzystałeś z drzewa możliwości, czy też stosowałeś inne metody rozwiązywania takich problemów? Czy podałeś pojęcie wykresów? W piątej lub szóstej klasie chłopaki mają takie problemy, których analiza daje pojęcie wykresów.

Chciałbym Cię zapytać, czy Ty i Twoi uczniowie rozważaliście wykorzystanie drzewa możliwości przy rozwiązywaniu problemów prawdopodobieństwa? Faktem jest, że nie tylko USE ma takie zadania, ale pojawiły się raczej złożone zadania, które teraz rozwiążemy.

Porozmawiajmy z wami o metodologii rozwiązywania takich problemów - jeśli pokrywa się z moją metodologią, jak wyjaśniam chłopakom, to będzie mi łatwiej z wami pracować, jeśli nie, to pomogę wam uporać się z tym problemem.

Omówmy wydarzenia. Jakie zdarzenia w problemie 17 można zidentyfikować?

Podczas konstruowania drzewa na płaszczyźnie wyznaczany jest punkt, który nazywa się korzeniem drzewa. Następnie zaczynamy rozważać wydarzeniaoraz. Skonstruujemy odcinek (w teorii prawdopodobieństwa nazywamy go gałęzią). Warunek mówi, że pierwsza fabryka produkuje 30% telefony komórkowe ta marka (co? ta, którą produkują), więc in ten moment Pytam studentów, jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza fabryka będzie produkowała telefony tej marki, te które sami produkują? Ponieważ zdarzeniem jest wydanie telefonu w pierwszej fabryce, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 30% lub 0,3. Pozostałe telefony produkowane są w drugiej fabryce - budujemy drugi segment, a prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,7.

Uczniom zadaje się pytanie - jaki typ telefonu może wyprodukować pierwsza fabryka? Z wadą lub bez. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę ma wadę? Zgodnie z warunkiem mówi się, że jest równe 0,01. Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę nie będzie miał wady? Ponieważ to zdarzenie jest przeciwne do danego, jego prawdopodobieństwo jest równe.

Wymagane jest ustalenie prawdopodobieństwa, że telefon jest uszkodzony. Może pochodzić z pierwszej fabryki lub z drugiej. Następnie korzystamy ze wzoru na dodawanie prawdopodobieństw i otrzymujemy, że całe prawdopodobieństwo jest sumą prawdopodobieństw, że telefon jest wadliwy z pierwszej fabryki, a telefon z drugiej fabryki. Prawdopodobieństwo, że telefon ma wadę i został wyprodukowany w pierwszej fabryce, określa wzór na iloczyn prawdopodobieństw podany w załączniku.

4. Jeden z najbardziej wymagające zadania z banku USE dla prawdopodobieństwa

Przeanalizujmy na przykład nr 320199 z Banku Zadań FIPI. To jedno z najtrudniejszych zadań w B6.

Aby dostać się do instytutu na specjalność „Lingwistyka”, kandydat Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby wejść na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych.

Prawdopodobieństwo, że kandydat Z. uzyska co najmniej 70 punktów z matematyki wynosi 0,6, z języka rosyjskiego 0,8, z języka obcego 0,7, a z nauk społecznych 0,5.

Znajdź prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wejść na co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności.

Zauważ, że problem nie dotyczy tego, czy kandydat o nazwisku Z. będzie studiował jednocześnie językoznawstwo i handel i otrzyma dwa dyplomy. Tutaj musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wejść na przynajmniej jedną z tych dwóch specjalności - czyli zyska wymagana ilość zwrotnica.

Aby zapisać się na co najmniej jedną z dwóch specjalności, Z. musi zdobyć co najmniej 70 punktów z matematyki. I po rosyjsku. A jednak - nauki społeczne lub zagraniczne.

Prawdopodobieństwo zdobycia dla niego 70 punktów z matematyki wynosi 0,6.

Prawdopodobieństwo zdobycia punktów w matematyce i rosyjskim jest równe.

Zajmijmy się studiami zagranicznymi i społecznymi. Opcje są dla nas odpowiednie, gdy kandydat zdobył punkty z nauk społecznych, w języku obcym lub w obu. Opcja nie jest odpowiednia, gdy nie zdobywał punktów ani za język, ani za „społeczeństwo”. Oznacza to, że prawdopodobieństwo zaliczenia studiów społecznych lub zagranicznych jest równe co najmniej 70 punktom. W efekcie prawdopodobieństwo zaliczenia matematyki, rusycystyki, nauk społecznych lub obcego jest równe

To jest odpowiedź.

II . Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych

1. Liczba kombinacji i silni

Przeanalizujmy pokrótce materiał teoretyczny.

Wyrażenien ! brzmi „en-factorial” i oznacza iloczyn wszystkich liczby naturalne od 1 don włącznie:n ! = 1 2 3 ...n .

Ponadto w matematyce z definicji uważa się, że 0! = 1. Takie wyrażenie jest rzadkie, ale nadal występuje w problemach teorii prawdopodobieństwa.

Definicja

Niech będą przedmioty (ołówki, słodycze, cokolwiek), z których trzeba wybrać dokładnie różne przedmioty. Wtedy liczba opcji takiego wyboru nazywa sięliczba kombinacji z żywiołów. Liczba ta jest wskazywana i obliczana zgodnie ze specjalną formułą.

Przeznaczenie

Co daje nam ta formuła? W rzeczywistości bez tego nie da się rozwiązać prawie żadnego poważnego zadania.

Dla lepszego zrozumienia przeanalizujmy kilka prostych problemów kombinatorycznych:

Zadanie

Barman posiada 6 odmian zielonej herbaty. Na ceremonię parzenia herbaty musisz się zgłosić Zielona herbata dokładnie 3 różne odmiany. Na ile sposobów barman może zrealizować zamówienie?

Decyzja

Tutaj wszystko jest proste: jestn = 6 odmian do wyboruk = 3 odmiany. Liczbę kombinacji można znaleźć według wzoru:

Odpowiedź

Zastąp w formule. Nie możemy rozwiązać wszystkich problemów, ale typowe zadania pisaliśmy, przedstawiamy je twojej uwadze.

Zadanie

W grupie 20 studentów należy wybrać 2 przedstawicieli, którzy wystąpią na konferencji. Na ile sposobów można to zrobić?

Decyzja

Znowu wszystko, co mamyn = 20 uczniów, ale trzeba wybieraćk = 2 uczniów. Znalezienie liczby kombinacji:

Należy pamiętać, że czynniki zawarte w różnych silniach są zaznaczone na czerwono. Te mnożniki można bezboleśnie zmniejszyć, a tym samym znacznie zmniejszyć łączną liczbę obliczeń.

Odpowiedź

190

Zadanie

Do magazynu sprowadzono 17 serwerów z różnymi wadami, które kosztują 2 razy taniej niż zwykłe serwery. Dyrektor kupił dla szkoły 14 takich serwerów, a zaoszczędzone pieniądze w wysokości 200 tys. rubli wydał na zakup innego sprzętu. Na ile sposobów reżyser może wybrać uszkodzone serwery?

Decyzja

W zadaniu jest sporo dodatkowych danych, co może być mylące. Bardzo ważne fakty: jest wszystkon = 17 serwerów, a reżyser potrzebujek = 14 serwerów. Liczymy ilość kombinacji:

Kolor czerwony ponownie wskazuje mnożniki, które są redukowane. W sumie wyszło 680 kombinacji. Generalnie reżyser ma w czym wybierać.

Odpowiedź

680

To zadanie jest kapryśne, ponieważ w tym zadaniu są dodatkowe dane. Wprawiają w zakłopotanie wielu uczniów Dobra decyzja. Łącznie było 17 serwerów, a reżyser musiał wybrać 14. Podstawiając do formuły, otrzymujemy 680 kombinacji.

2. Prawo mnożenia

Definicja

prawo mnożenia w kombinatoryce: mnoży się liczbę kombinacji (sposobów, kombinacji) w niezależnych zestawach.

Innymi słowy, niech będzieA sposoby wykonania jednej akcji iB sposoby wykonania innej akcji. Ścieżka również te działania są niezależne, tj. nie są w żaden sposób powiązane. Następnie możesz znaleźć liczbę sposobów wykonania pierwszej i drugiej akcji według formuły:C = A · B .

Zadanie

Petya ma 4 monety po 1 rublu i 2 monety po 10 rubli. Petya, nie patrząc, wyjął z kieszeni 1 monetę o nominale 1 rubla i kolejną 1 monetę o nominale 10 rubli, aby kupić długopis za 11 rubli. Na ile sposobów może wybrać te monety?

Decyzja

Więc pierwsza Petya dostajek = 1 moneta odn = 4 dostępne monety o nominale 1 rubla. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 4 1 = ... = 4.

Potem Petya znów sięga do kieszeni i wyciągak = 1 moneta odn = 2 dostępne monety o nominale 10 rubli. Tutaj liczba kombinacji wynosiC 2 1 = ... = 2.

Ponieważ te działania są niezależne, całkowita liczba opcji wynosiC = 4 2 = 8.

Odpowiedź

Zadanie

W koszu jest 8 białych i 12 czarnych bil. Na ile sposobów można wyciągnąć z tego kosza 2 białe i 2 czarne bile?

Decyzja

Razem w koszykun = 8 białych kulek do wyboruk = 2 piłki. To może być zrobioneC 8 2 = ... = 28 różnych sposobów.

Ponadto koszyk zawieran = 12 czarnych kulek do ponownego wyboruk = 2 piłki. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 12 2 = ... = 66.

Ponieważ wybór bili białej i wybór bili czarnej są zdarzeniami niezależnymi, łączna liczba kombinacji jest obliczana zgodnie z prawem mnożenia:C = 28 66 = 1848. Jak widać, opcji może być sporo.

Odpowiedź

1848

Prawo mnożenia pokazuje, na ile sposobów można wykonać złożoną czynność, która składa się z dwóch lub więcej prostych - pod warunkiem, że wszystkie są niezależne.

3. Prawo dodawania

Jeśli prawo mnożenia działa na „odosobnionych” zdarzeniach, które nie są od siebie zależne, to w prawie dodawania jest odwrotnie. Zajmuje się wzajemnie wykluczającymi się wydarzeniami, które nigdy nie mają miejsca w tym samym czasie.

Na przykład „Piotr wyjął z kieszeni 1 monetę” i „Piotr nie wyjął z kieszeni ani jednej monety” to wydarzenia wzajemnie się wykluczające, ponieważ nie można wyjąć jednej monety bez wyjęcia żadnej.

Podobnie zdarzenia „Losowo wybrana piłka – biała” i „Losowo wybrana piłka – czarna” również wzajemnie się wykluczają.

Definicja

Prawo dodawania w kombinatoryce: czy można wykonać dwie wzajemnie wykluczające się czynnościA orazB sposoby, odpowiednio, te zdarzenia można łączyć. Spowoduje to wygenerowanie nowego zdarzenia, które można wykonaćX = A + B sposoby.

Innymi słowy, przy łączeniu wzajemnie wykluczających się akcji (zdarzeń, opcji) sumuje się liczbę ich kombinacji.

Można powiedzieć, że prawo dodawania jest logicznym „LUB” w kombinatoryce, gdy odpowiada nam dowolna z wzajemnie wykluczających się opcji. Odwrotnie, prawo mnożenia to logiczne „AND”, w którym interesuje nas jednoczesne wykonanie zarówno pierwszego, jak i drugiego działania.

Zadanie

W koszu jest 9 bil czarnych i 7 bil czerwonych. Chłopiec wyciąga 2 kulki tego samego koloru. Na ile sposobów może to zrobić?

Decyzja

Jeśli kule są tego samego koloru, jest kilka opcji: obie są czarne lub czerwone. Oczywiście te opcje wykluczają się wzajemnie.

W pierwszym przypadku chłopiec musi wybraćk = 2 czarne kule zn = 9 dostępnych. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 9 2 = ... = 36.

Podobnie w drugim przypadku wybieramyk = 2 czerwone kule zn = 7 możliwych. Liczba sposobów toC 7 2 = ... = 21.

Pozostaje znaleźć całkowitą liczbę sposobów. Ponieważ warianty z czarnymi i czerwonymi kulkami wzajemnie się wykluczają, zgodnie z prawem dodawania mamy:X = 36 + 21 = 57.

Odpowiedź57

Zadanie

Na straganie można kupić 15 róż i 18 tulipanów. Uczeń klasy 9 chce kupić koledze z klasy 3 kwiaty, a wszystkie kwiaty muszą być takie same. Na ile sposobów może zrobić taki bukiet?

Decyzja

Zgodnie z warunkiem wszystkie kwiaty muszą być takie same. Kupimy więc albo 3 róże, albo 3 tulipany. Tak czy siak,k = 3.

W przypadku róż będziesz miał do wyborun = 15 opcji, więc liczba kombinacji wynosiC 15 3 = ... = 455. Dla tulipanówn = 18, a liczba kombinacji -C 18 3 = ... = 816.

Ponieważ róże i tulipany to wzajemnie wykluczające się opcje, pracujemy zgodnie z prawem dodawania. Uzyskaj całkowitą liczbę opcjiX = 455 + 816 = 1271. To jest odpowiedź.

Odpowiedź

1271

Dodatkowe warunki i ograniczenia

Bardzo często w tekście problemu pojawiają się dodatkowe warunki, które nakładają znaczne ograniczenia na interesujące nas kombinacje. Porównaj dwa zdania:

Jest zestaw 5 pisaków różne kolory. Na ile sposobów można wybrać uchwyty 3-suwowe?

W zestawie 5 pisaków w różnych kolorach. Na ile sposobów można wybrać uchwyty 3 skoków, jeśli jeden z nich musi być czerwony?

W pierwszym przypadku mamy prawo brać dowolne kolory, które nam się podobają – nie ma żadnych dodatkowych ograniczeń. W drugim przypadku wszystko jest bardziej skomplikowane, ponieważ musimy wybrać czerwony uchwyt (przyjmuje się, że jest w oryginalnym zestawie).

Oczywiście wszelkie ograniczenia drastycznie zmniejszają całkowitą liczbę opcji. Jak więc znaleźć liczbę kombinacji w tym przypadku? Tylko pamiętaj następna zasada:

Niech będzie zestawn elementy do wyboruk elementy. Wraz z wprowadzeniem dodatkowych ograniczeń na numern orazk zmniejszyć o tę samą kwotę.

Innymi słowy, jeśli musisz wybrać 3 z 5 pisaków, a jeden z nich musi być czerwony, to będziesz musiał wybrać spośródn = 5 − 1 = 4 elementy wgk = 3 − 1 = 2 elementy. Tak więc zamiastC 5 3 trzeba wziąć pod uwagęC 4 2 .

Zobaczmy teraz, jak działa ta reguła konkretne przykłady:

Zadanie

W grupie 20 studentów, w tym 2 doskonałych, należy wybrać 4 osoby do udziału w konferencji. Na ile sposobów można wybrać te cztery osoby, jeśli znakomici studenci muszą dostać się na konferencję?

Decyzja

Więc jest grupan = 20 uczniów. Ale po prostu musisz wybraćk = 4 z nich. Gdyby nie było dodatkowych ograniczeń, to liczba opcji była równa liczbie kombinacjiC 20 4 .

Jednak dostaliśmy dodatkowy warunek: 2 wyróżnienia muszą być wśród tych czterech. Zatem zgodnie z powyższą zasadą zmniejszamy liczbyn orazk o 2. Mamy:

Odpowiedź

153

Zadanie

Petya ma w kieszeni 8 monet, z czego 6 to monety rubelowe, a 2 to monety 10 rubelowe. Petya wkłada jakieś trzy monety do innej kieszeni. Na ile sposobów Petya może to zrobić, jeśli wiadomo, że obie 10-rublówki trafiły do innej kieszeni?

Decyzja

Więc tam jestn = 8 monet. Petya zmienia sięk = 3 monety, z czego 2 to dziesięć rubli. Okazuje się, że z 3 monet, które zostaną przelane, 2 są już ustalone, więc liczbyn orazk należy zmniejszyć o 2. Mamy:

Odpowiedź

III . Rozwiązywanie problemów łączonych z wykorzystaniem formuł kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

Zadanie

Petya miał w kieszeni 4 ruble i 2 2 ruble. Petya, nie patrząc, włożył jakieś trzy monety do innej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie dwurublowe monety znajdują się w tej samej kieszeni.

Decyzja

Załóżmy, że obie dwurublowe monety naprawdę znalazły się w tej samej kieszeni, wtedy możliwe są 2 opcje: albo Petya nie przesunął ich wcale, albo przesunął obie naraz.

W pierwszym przypadku, gdy nie przeniesiono monet dwurublowych, należałoby przekazać monety 3 rublowe. Ponieważ w sumie są 4 takie monety, liczba sposobów na zrobienie tego jest równa liczbie kombinacji 4 na 3:C 4 3 .

W drugim przypadku, gdy obie monety dwurublowe zostały przeniesione, trzeba będzie przenieść jeszcze jedną monetę rubelową. Musi być wybrany spośród 4 istniejących, a liczba sposobów na to jest równa liczbie kombinacji od 4 do 1:C 4 1 .

Teraz znajdźmy całkowitą liczbę sposobów przesuwania monet. Ponieważ w sumie jest 4 + 2 = 6 monet, a należy wybrać tylko 3 z nich, łączna liczba opcji jest równa liczbie kombinacji od 6 do 3:C 6 3 .

Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwo:

Odpowiedź

0,4

Pokaż na tablicy interaktywnej. Zwróć uwagę na to, że w zależności od stanu problemu, Petya, nie patrząc, włożył trzy monety do jednej kieszeni. Odpowiadając na to pytanie, możemy założyć, że w jednej kieszeni rzeczywiście pozostały dwie dwurublowe monety. Zapoznaj się ze wzorem dodawania prawdopodobieństw. Pokaż ponownie formułę.

Zadanie

Petya miał w kieszeni 2 monety po 5 rubli i 4 monety po 10 rubli. Petya, nie patrząc, włożył jakieś 3 monety do innej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że monety pięciorublowe znajdują się teraz w różnych kieszeniach.

Decyzja

Aby monety pięciorublowe leżały w różnych kieszeniach, musisz przesunąć tylko jedną z nich. Liczba sposobów, aby to zrobić, jest równa liczbie kombinacji 2 na 1:C 2 1 .

Ponieważ Petya przekazał łącznie 3 monety, będzie musiał przesłać 2 kolejne monety po 10 rubli każda. Petya ma 4 takie monety, więc ilość sposobów jest równa ilości kombinacji od 4 do 2:C 4 2 .

Pozostaje dowiedzieć się, ile jest opcji, aby przesunąć 3 monety z 6 dostępnych. Ta liczba, podobnie jak w poprzednim zadaniu, jest równa liczbie kombinacji od 6 do 3:C 6 3 .

Znalezienie prawdopodobieństwa:

W ostatnim kroku pomnożyliśmy liczbę sposobów wyboru monet dwurublowych i liczbę sposobów wyboru monet dziesięciorublowych, ponieważ zdarzenia te są niezależne.

Odpowiedź

0,6

Tak więc problemy z monetami mają swoją własną formułę prawdopodobieństwa. Jest tak prosty i ważny, że można go sformułować jako twierdzenie.

Twierdzenie

Niech moneta zostanie rzuconan raz. Wtedy prawdopodobieństwo, że głowy wylądują dokładniek czasy można znaleźć za pomocą wzoru:

GdzieC n k - liczba kombinacjin elementy wedługk , który jest obliczany według wzoru:

Tak więc, aby rozwiązać problem z monetami, potrzebne są dwie liczby: liczba rzutów i liczba głów. Najczęściej te liczby podawane są bezpośrednio w tekście zadania. Co więcej, nie ma znaczenia, co dokładnie liczyć: ogony czy orły. Odpowiedź będzie taka sama.

Na pierwszy rzut oka twierdzenie wydaje się zbyt kłopotliwe. Ale warto trochę poćwiczyć - i nie chcesz już wracać do standardowego algorytmu opisanego powyżej.

Moneta jest rzucana cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki wypadną dokładnie trzy razy.

Decyzja

Zgodnie ze stanem problemu łączna liczba rzutów wynosiłan = 4. Wymagana liczba głowic:k = 3. Zastępcan orazk do formuły:

Z takim samym sukcesem możesz policzyć liczbę ogonów:k = 4 − 3 = 1. Odpowiedź będzie taka sama.

Odpowiedź

0,25

Zadanie [ zeszyt ćwiczeń„USE 2012 w matematyce. Zadania B6»]

Moneta jest rzucana trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie z ogona.

Decyzja

Ponowne wypisywanie liczbn orazk . Ponieważ moneta jest rzucana 3 razy,n = 3. A ponieważ nie powinno być ogonów,k = 0. Pozostaje podstawić liczbyn orazk do formuły:

Przypomnę, że 0! = 1 z definicji. WięcC 3 0 = 1.

Odpowiedź

0,125

Zadanie [ Wersja próbna UŻYJ w matematyce 2012. Irkuck]

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana 4 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że orła wypadnie więcej razy niż reszka.

Decyzja

Aby było więcej orzełków niż ogonów, muszą wypadać 3 razy (wtedy będzie 1 ogon) lub 4 (wtedy w ogóle nie będzie ogonów). Znajdźmy prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń.

Zostawiaćp 1 - prawdopodobieństwo, że głowy wypadną 3 razy. Następnien = 4, k = 3. Mamy:

Teraz znajdźmyp 2 - prawdopodobieństwo, że głowy wypadną wszystkie 4 razy. W tym przypadkun = 4, k = 4. Mamy:

Aby uzyskać odpowiedź, pozostaje dodać prawdopodobieństwap 1 orazp 2 . Pamiętaj: prawdopodobieństwa możesz dodawać tylko dla zdarzeń wzajemnie wykluczających się. Mamy:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odpowiedź

0,3125

Aby zaoszczędzić Twój czas podczas przygotowań z chłopakami do Unified State Exam i GIA, przedstawiliśmy rozwiązania wielu innych zadań, które możesz wybrać i rozwiązać z chłopakami.

Materiały GIA, Unified State Examination z różnych lat, podręczniki i strony.

IV. Materiał referencyjny

Teorię prawdopodobieństwa na egzaminie z matematyki można przedstawić jak w postaci proste zadania na klasycznej definicji prawdopodobieństwa iw postaci dość złożonych, na zastosowaniu odpowiednich twierdzeń.

W tej części rozważamy problemy, dla których wystarczy posłużyć się definicją prawdopodobieństwa. Czasem zastosujemy tutaj również wzór na obliczenie prawdopodobieństwa odwrotnego zdarzenia. Chociaż można tutaj zrezygnować z tej formuły, nadal będzie ona potrzebna przy rozwiązywaniu następujących problemów.

Część teoretyczna

Zdarzenie losowe to zdarzenie, które może wystąpić lub nie (nie można przewidzieć z góry) podczas obserwacji lub testu.

Niech podczas testu (rzucanie monetą lub kostką, ciągnięcie) karta egzaminacyjna itp.) możliwe są równie możliwe wyniki. Na przykład podczas rzucania monetą liczba wszystkich wyników wynosi 2, ponieważ nie może być innych wyników poza stratą „ogonów” lub „orłów”. Rzucając kostką, możliwe jest 6 wyników, ponieważ na górnej ściance kości może pojawić się dowolna z liczb od 1 do 6. Niech również jakieś zdarzenie A będzie faworyzowane przez wyniki.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych wyników (jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Piszemy

Na przykład niech zdarzenie A polega na uzyskaniu nieparzystej liczby punktów na rzucie kostką. W sumie możliwych jest 6 wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 na górnej ściance kości. Jednocześnie wyniki z wypadającymi 1, 3, 5 są korzystne dla zdarzenia A. Tak więc, .

Zauważ, że podwójna nierówność zawsze obowiązuje, więc prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A leży w przedziale, czyli . Jeśli twoja odpowiedź ma prawdopodobieństwo większe niż jeden, to gdzieś popełniłeś błąd i musisz ponownie sprawdzić rozwiązanie.

Wydarzenia A i B nazywają się naprzeciwko wzajemnie, jeśli jakikolwiek wynik jest korzystny dla dokładnie jednego z nich.

Na przykład, kiedy rzuca się kostką, zdarzenie „rzuca się liczba nieparzysta” jest przeciwieństwem zdarzenia „wyrzucono liczbę parzystą”.

Oznaczono zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. Z definicji przeciwstawnych zdarzeń wynika to
, znaczy,
.

Problemy z wybieraniem obiektów ze zbioru

Zadanie 1. W Mistrzostwach Świata biorą udział 24 drużyny. W drodze losowania muszą zostać podzieleni na cztery grupy po sześć drużyn każda. W pudełku znajdują się mieszane karty z numerami grup:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapitanowie drużyn dobierają po jednej karcie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rosyjska drużyna znajdzie się w trzeciej grupie?

Łączna liczba wyników jest równa liczbie kart - jest ich 24. Jest 6 korzystnych wyników (ponieważ liczba 3 jest zapisana na sześciu kartach). Pożądane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,25.

Zadanie 2. W urnie znajduje się 14 czerwonych, 9 żółtych i 7 zielonych kulek. Z urny losowana jest jedna kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta piłka jest żółta?

Całkowita liczba wyników jest równa liczbie kul: 14 + 9 + 7 = 30. Liczba wyników korzystnych dla tego zdarzenia wynosi 9. Pożądane prawdopodobieństwo jest równe .

Zadanie 3. Na klawiaturze telefonu jest 10 cyfr, od 0 do 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wciśnięty numer będzie parzysty i większy niż 5?

Wynikiem tutaj jest naciśnięcie określonego klawisza, więc w sumie jest 10 równie możliwych wyników. Wskazanemu zdarzeniu sprzyjają wyniki, czyli naciśnięcie klawisza 6 lub 8. Są dwa takie wyniki. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,2.

Zadanie 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna od 4 do 23 jest podzielna przez 3?

W przedziale od 4 do 23 jest 23 - 4 + 1 = 20 liczb naturalnych, co oznacza, że w sumie jest 20 możliwych wyników. W tym segmencie następujące liczby są wielokrotnościami trzech: 6, 9, 12, 15, 18, 21. W sumie jest 6 takich liczb, więc 6 wyników sprzyja danemu wydarzeniu. Pożądane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,3.

Zadanie 5. Z 20 biletów oferowanych na egzaminie uczeń może odpowiedzieć tylko 17. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń nie będzie w stanie odpowiedzieć na losowo wybrany bilet?

Pierwsza droga.

Ponieważ uczeń może odebrać 17 biletów, nie może odebrać 3 biletów. Prawdopodobieństwo otrzymania jednego z tych biletów z definicji wynosi .

Drugi sposób.

Oznacz wydarzenie jako „uczeń może odebrać bilet”. Następnie . Prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia wynosi =1 - 0,85 = 0,15.

Odpowiedź: 0,15.

Zadanie 6. W mistrzostwach rytmiczna gimnastyka Uczestniczy 20 sportowców: 6 z Rosji, 5 z Niemiec, reszta z Francji. O kolejności występów zawodniczek decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że siódmy zawodnik pochodzi z Francji.

W sumie jest 20 sportowców, wszyscy mają równe szanse na siódme miejsce. W związku z tym istnieje 20 równie prawdopodobnych wyników. Z Francji 20 - 6 - 5 = 9 sportowców, więc jest 9 pozytywnych wyników dla tego wydarzenia. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,45.

Zadanie 7. Konferencja naukowa odbędzie się za 5 dni. W sumie zaplanowano 50 raportów - pierwsze trzy dni po 12 raportów, reszta jest rozdzielona równo między czwartym a piątym dniem. O kolejności raportów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raport prof. N. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji?

Najpierw sprawdźmy, ile raportów zaplanowano na ostatni dzień. Raporty są zaplanowane na pierwsze trzy dni. Nadal jest 50 - 36 = 14 raportów, które są rozdzielone równomiernie na pozostałe dwa dni, więc raporty są zaplanowane na ostatni dzień.

Jako wynik będziemy brać pod uwagę numer seryjny raportu Profesora N. Takich jednakowo możliwych wyników jest 50. Jest 7 wyników, które sprzyjają wskazanemu zdarzeniu (ostatnie 7 numerów na liście doniesień). Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,14.

Zadanie 8. Na pokładzie samolotu znajduje się 10 miejsc przy wyjściach awaryjnych oraz 15 miejsc za przegrodami oddzielającymi kabiny. Pozostałe siedzenia są niewygodne dla wysokich pasażerów. Pasażer K. jest wysoki. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy odprawie, przy losowym wyborze miejsca, pasażer K. dostanie wygodne miejsce, jeśli w samolocie jest 200 miejsc.

Wynikiem tego problemu jest wybór lokalizacji. W sumie jest 200 równie możliwych wyników. Wyróżnij wydarzenie „wybrane miejsce jest dogodne” 15 + 10 = 25 wyników. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,125.

Zadanie 9. Spośród 1000 fabrycznie zmontowanych młynków do kawy 7 sztuk jest uszkodzonych. Ekspert sprawdza jeden losowo wybrany młynek do kawy z tych 1000. Ustal prawdopodobieństwo, że sprawdzany młynek do kawy jest uszkodzony.

Przy losowym wyborze młynka możliwe jest 1000 wyników, zdarzenie A „wybrany młynek jest uszkodzony” jest korzystne dla 7 wyników. Z definicji prawdopodobieństwa.

Odpowiedź: 0,007.

Zadanie 10. Zakład produkuje lodówki. Średnio na 100 lodówek wysokiej jakości przypada 15 lodówek z ukrytymi wadami. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona lodówka będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

To zadanie jest podobne do poprzedniego. Jednak sformułowanie „na 100 wysokiej jakości lodówek jest 15 z wadami” mówi nam, że wadliwe 15 sztuk nie są uwzględnione w jakości 100. Zatem łączna liczba wyników to 100 + 15 = 115 (równe całkowitej liczbie lodówek), korzystne wyniki to 100. Wymagane prawdopodobieństwo to . Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest użyć dzielenia przez róg. Otrzymujemy 0,869… czyli 0,87.

Odpowiedź: 0,87.

Zadanie 11. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy tenisowych mistrzostw uczestnicy są losowo dzieleni na pary w drodze losowania. Łącznie w mistrzostwach bierze udział 16 tenisistów, w tym 7 zawodników z Rosji, w tym Maxim Zaitsev. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Maxim Zaitsev zagra z dowolnym tenisistą z Rosji.

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, musisz uważnie przeczytać warunek i zrozumieć, jaki jest wynik, a jaki jest korzystny (na przykład bezmyślne zastosowanie formuły prawdopodobieństwa prowadzi do błędnej odpowiedzi).

Tutaj wynikiem jest rywal Maxima Zajcewa. Ponieważ w sumie jest 16 tenisistów, a Maxim nie może grać ze sobą, jest 16 - 1 = 15 równie prawdopodobnych wyników. Pozytywny wynik to rywal z Rosji. Takich korzystnych wyników jest 7 - 1 = 6 (z Rosjan wykluczamy samego Maxima). Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,4.

Zadanie 12. W sekcji piłkarskiej biorą udział 33 osoby, w tym dwaj bracia – Anton i Dmitry. Uczestnicy sekcji są losowo podzieleni na trzy zespoły po 11 osób. Znajdź prawdopodobieństwo, że Anton i Dmitry będą w tej samej drużynie.

Stwórzmy zespoły, umieszczając kolejno graczy na pustych miejscach, zaczynając od Antona i Dmitrija. Najpierw umieśćmy Antona na losowo wybranym miejscu z 33 wolnych miejsc.Teraz Dmitrija stawiamy na pustym miejscu (wybierzemy dla niego wybór miejsca). Łącznie są 32 wolne miejsca (jedno zostało już zajęte przez Antona), więc w sumie są 32 możliwe wyniki. Pozostało 10 wolnych miejsc w tej samej drużynie z Antonem, więc wydarzenie „Anton i Dmitry w tej samej drużynie” jest faworyzowane przez 10 wyników. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi .

Odpowiedź: 0,3125.

Zadanie 13. Mechaniczny zegarek z dwunastogodzinną tarczą w pewnym momencie zepsuł się i przestał działać. Znajdź prawdopodobieństwo, że wskazówka godzinowa zostanie zamrożona, gdy osiągnie 11, ale nie osiągnie drugiej.

Tradycyjnie tarczę można podzielić na 12 sektorów znajdujących się pomiędzy znakami sąsiednich numerów (pomiędzy 12 a 1, 1 a 2, 2 a 3, ..., 11 i 12). Za wynik uznamy zatrzymanie wskazówki godzinowej w jednym ze wskazanych sektorów. W sumie istnieje 12 równie możliwych wyników. Wydarzeniu temu sprzyjają trzy wyniki (sektory od 11 do 12, 12 do 1, 1 i 2). Pożądane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,25.

Podsumować

Po zapoznaniu się z materiałem dotyczącym rozwiązywania prostych problemów w rachunku prawdopodobieństwa polecam wykonanie zadań do samodzielnego rozwiązania, które publikujemy na nasz kanał Telegram. Poprawność ich wykonania możesz również sprawdzić wpisując swoje odpowiedzi w proponowanym formularzu.