Wykres funkcji pierwiastka sześciennego. Funkcja potęgowa i pierwiastki - definicja, właściwości i wzory

Chłopaki, nadal badamy funkcje władzy. Tematem dzisiejszej lekcji będzie funkcja - pierwiastek sześcienny x. Co to jest pierwiastek sześcienny? Liczba y jest nazywana pierwiastkiem sześciennym z x (pierwiastek trzeciego stopnia), jeśli równość jest spełniona Oznacz:, gdzie x jest liczbą pierwiastkową, 3 jest wykładnikiem.

Jak widać, pierwiastek sześcienny można również wyodrębnić z liczb ujemnych. Okazuje się, że nasz pierwiastek istnieje dla wszystkich liczb. Trzeci pierwiastek liczby ujemnej jest równy liczbie ujemnej. Podniesiony do nieparzystej potęgi znak zostaje zachowany, trzecia potęga jest nieparzysta. Sprawdźmy równość: Niech. Oba wyrażenia podnosimy do trzeciej potęgi Wtedy lub W notacji pierwiastków uzyskujemy pożądaną tożsamość.

Chłopaki, wykreślmy teraz naszą funkcję. 1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych. 2) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ Następnie rozważamy naszą funkcję w x 0, po czym odzwierciedlamy wykres względem początku. 3) Funkcja rośnie przy x 0. Dla naszej funkcji większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, co oznacza wzrost. 4) Funkcja nie jest ograniczona od góry. W rzeczywistości z czegokolwiek duża liczba możemy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia i możemy przesuwać się w nieskończoność, znajdując coraz większe wartości argumentu. 5) Dla x 0 najmniejszą wartością jest 0. Ta właściwość jest oczywista.

Zbudujmy nasz wykres funkcji na całej dziedzinie definicji. Pamiętaj, że nasza funkcja jest dziwna. Właściwości funkcji: 1) D(y)=(-;+) 2) nieparzysta funkcja. 3) Zwiększa o (-;+) 4) Nieograniczony. 5) Nie ma wartości minimalnej ani maksymalnej. 6) Funkcja jest ciągła na całej linii rzeczywistej. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Wypukły w dół o (-; 0), wypukły w górę o (0; +).

Przykład. Narysuj wykres funkcji i przeczytaj ją. Rozwiązanie. Zbudujmy dwa wykresy funkcji na tej samej płaszczyźnie współrzędnych, biorąc pod uwagę nasze warunki. Przy x-1 budujemy wykres pierwiastka sześciennego, przy x-1 wykres funkcji liniowej. 1) D(y)=(-;+) 2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. 3) Zmniejsza o (-;-1), wzrasta o (-1;+) 4) Nieograniczona od góry, ograniczona od dołu. pięć) Największa wartość nie. Najniższa wartość równa się minus jeden. 6) Funkcja jest ciągła na całej linii rzeczywistej. 7) E(y)= (-1;+)

Zamiast wstępu

Wykorzystanie na lekcjach nowoczesnych technologii (CSE) i pomocy dydaktycznych (tablicy multimedialnej) pomaga nauczycielowi zaplanować i przeprowadzić efektywne lekcje, stworzyć uczniom warunki do zrozumienia, zapamiętywania i ćwiczenia umiejętności.

Lekcja okazuje się dynamiczna i interesująca, jeśli podczas lekcji połączysz różne formy nauki.

We współczesnej dydaktyce istnieją cztery ogólne: formy organizacyjne uczenie się:

indywidualnie pośredniczone;
łaźnia parowa;
Grupa;

zbiorowe (w parach o wymiennym składzie). (Dyachenko V.K. Nowoczesna dydaktyka. - M .: Edukacja narodowa, 2005).

Na tradycyjnej lekcji z reguły wykorzystuje się tylko trzy pierwsze wymienione powyżej formy organizacyjne edukacji. forma zbiorowa nauczanie (praca w parach zmianowych) praktycznie nie jest wykorzystywane przez nauczyciela. Jednak ta organizacyjna forma uczenia się umożliwia zespołowi przeszkolenie każdego z osobna do aktywnego udziału w szkoleniu innych. Kolektywna forma edukacji jest wiodącą w technologii CSR.

Jedną z najczęstszych metod technologii kolektywnego sposobu uczenia się jest metoda „szkolenia wzajemnego”.

Ta „magiczna” technika jest dobra na każdym przedmiocie i na każdej lekcji. Celem jest szkolenie.

Trening jest spadkobiercą samokontroli, pomaga uczniowi nawiązać kontakt z przedmiotem studiów, ułatwiając odnalezienie właściwych kroków-działań. Poprzez trening w przyswajaniu, utrwalaniu, przegrupowywaniu, powtórce, stosowaniu wiedzy następuje rozwój zdolności poznawczych człowieka. (Yanovitskaya E.V. Jak uczyć i uczyć się w klasie, abyś chciał się uczyć. Informator. - Petersburg: Projekty edukacyjne, M.: Wydawnictwo A.M. Kusznir, 2009.-s.14;131)

Pomoże ci szybko powtórzyć dowolną regułę, zapamiętać odpowiedzi na badane pytania i skonsolidować niezbędne umiejętności. Optymalny czas pracy według metody to 5-10 minut. Z reguły praca nad kartami szkoleniowymi odbywa się podczas liczenia ustnego, czyli na początku lekcji, ale według uznania nauczyciela można ją przeprowadzić na dowolnym etapie lekcji, w zależności od jej celów i Struktura. W karcie szkoleniowej może znajdować się od 5 do 10 prostych przykładów (pytań, zadań). Każdy uczeń w klasie otrzymuje kartę. Karty są różne dla wszystkich lub różne dla wszystkich w „skonsolidowanym składzie” (dzieci siedzące w tym samym rzędzie). Oddział skonsolidowany (grupa) to tymczasowa współpraca uczniów tworzonych w celu wykonania określonego zadania edukacyjnego. (Yalovets T.V. Technologia zbiorowej metody nauczania w rozwoju zawodowym nauczyciela: Podręcznik edukacyjny i metodologiczny. - Nowokuźnieck: Wydawnictwo IPK, 2005. - P. 122)

Projekt lekcji na ten temat „Funkcja y=, jej właściwości i wykres”

W projekcie lekcji, której tematem jest: „ Funkcja y=, jej właściwości i wykres” Przedstawiono zastosowanie techniki wzajemnego treningu w połączeniu z wykorzystaniem tradycyjnych i multimedialnych pomocy dydaktycznych.

Temat lekcji: „ Funkcja y=, jego właściwości i wykres”

Cele:

przygotowanie do pracy kontrolnej;
sprawdzenie znajomości wszystkich własności funkcji oraz umiejętności kreślenia wykresów funkcji i odczytywania ich własności.

Zadania: poziom przedmiotu:

poziom nadprzedmiotowy:

nauczyć się analizować informacje graficzne;
rozwijać umiejętność prowadzenia dialogu;
rozwijać umiejętność i umiejętność pracy z tablicą interaktywną na przykładzie pracy z wykresami.

Struktura lekcji	Czas
1. Wprowadzanie informacji nauczyciela (ITI)	5 minut.
2. Aktualizacja wiedzy podstawowej: praca w parach zmianowych zgodnie z metodyką *“Szkolenie wzajemne”*	8 min.
3. Zapoznanie się z tematem „Funkcja y=, jej właściwości i wykres”: prezentacja nauczyciela	8 min.
4. Konsolidacja nowo przestudiowanego i już przekazanego materiału na temat „Funkcja”: za pomocą tablicy interaktywnej	15 minut.
5. Samokontrola : w formie testu	7 min.
6. Podsumowując, zapis pracy domowej.	2 minuty.

Przyjrzyjmy się bliżej zawartości każdego etapu.

1. Wprowadzanie informacji nauczyciela (ITI) obejmuje Organizowanie czasu; nagłośnienie tematu, celu i planu lekcji; pokazanie próbki pracy w parach według metody wzajemnego treningu.

Zademonstrowanie przez uczniów próbki pracy w parach na tym etapie lekcji wskazane jest powtórzenie algorytmu pracy techniką, której potrzebujemy, ponieważ. na kolejnym etapie lekcji planowana jest na nim praca całego zespołu klasowego. Jednocześnie możesz nazwać błędy w pracy zgodnie z algorytmem (jeśli istnieje), a także ocenić pracę tych uczniów.

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy odbywa się w parach w składzie zmianowym według metody wzajemnego treningu.

Algorytm metodyki obejmuje indywidualne, parowe (pary statyczne) i zbiorowe (pary o składzie zmianowym) formy organizacyjne szkolenia.

Indywidualnie: każdy, kto otrzyma kartę, zapoznaje się z jej treścią (odczytuje pytania i odpowiedzi na odwrocie karty).

pierwszy(w roli „praktykanta”) odczytuje zadanie i odpowiada na pytania z karty partnera;
druga(w roli „trenera”) – sprawdza poprawność odpowiedzi na odwrocie karty;
podobnie pracować nad inną kartą, zmieniając role;
zrób znak na pojedynczym arkuszu i zmień karty;
przejdź do nowej pary.

Kolektyw:

w nowej parze pracują jak w pierwszej; przejście na nową parę itp.

Liczba przejść zależy od czasu wyznaczonego przez nauczyciela na ten etap lekcja, od pracowitości i szybkości zrozumienia każdego ucznia i od partnerów we współpracy.

Po pracy w parach uczniowie dokonują ocen na wykresówkach, nauczyciel dokonuje ilościowej i jakościowej analizy pracy.

Lista może wyglądać tak:

Iwanow Petya 7 klasa „b”

data	Numer karty	Liczba błędów	Z kim pracowałeś
20.12.09	№7	0	Sidorow K.
	№3	2	Pietrowa M.
	№2	1	Samojłowa Z.

3. Zapoznanie się z tematem „Funkcja y =, jej właściwości i wykres” dokonywane jest przez nauczyciela w formie prezentacji z wykorzystaniem multimedialnych narzędzi do nauki (Załącznik 4). Z jednej strony jest to opcja wizualizacji zrozumiała dla współczesnych studentów, z drugiej zaś oszczędza czas na wyjaśnianie nowego materiału.

4. Konsolidacja nowo przestudiowanego i już przekazanego materiału na temat „Funkcja ” zorganizowana w dwóch wersjach, z wykorzystaniem tradycyjnych pomocy dydaktycznych (tablica, podręcznik) oraz innowacyjnej (tablica interaktywna).

Najpierw proponuje się kilka zadań z podręcznika, aby skonsolidować nowo przestudiowany materiał. Wykorzystywany jest podręcznik używany do nauczania. Praca prowadzona jest równolegle z całą klasą. W tym przypadku jeden uczeń wykonuje zadanie „a” – na tradycyjnej tablicy; drugie to zadanie „b” na tablicy interaktywnej, pozostali uczniowie zapisują rozwiązania tych samych zadań w zeszycie i porównują swoje rozwiązanie z rozwiązaniem przedstawionym na tablicach. Następnie nauczyciel ocenia pracę uczniów przy tablicy.

Następnie, w celu szybszego utrwalenia badanego materiału na temat „Funkcja”, proponuje się pracę frontalną z tablicą interaktywną, którą można zorganizować w następujący sposób:

zadanie i harmonogram pojawiają się na tablicy interaktywnej;
uczeń, który chce odpowiedzieć, podchodzi do tablicy, wykonuje niezbędne konstrukcje i wyraża odpowiedź;
na tablicy pojawia się nowe zadanie i nowy harmonogram;
Inny student wychodzi, aby odpowiedzieć.

W ten sposób w krótkim czasie można rozwiązać dość dużo zadań, ocenić odpowiedzi uczniów. Niektóre interesujące zadania (podobne do zadań z nadchodzącej) praca kontrolna), można zapisać w zeszycie.

5. Na etapie samokontroli studentom proponuje się test, po którym następuje samokontrola (Załącznik 3).

Literatura

Dyachenko, V.K. Dydaktyka współczesna [Tekst] / V.K. Dyachenko - M .: Edukacja publiczna, 2005.
Yalovets, TV Technologia zbiorowej metody nauczania w rozwoju zawodowym nauczyciela: Podręcznik edukacyjny i metodyczny [Tekst] / T.V. Jałowiec. - Nowokuźnieck: Wydawnictwo IPC, 2005.
Janowicka, E.V. Jak uczyć i uczyć się w klasie tak, abyś chciał się uczyć. Informator [Tekst] / E.V. Yanovitskaya. - Petersburg: Projekty edukacyjne, M.: Wydawnictwo A.M. Kusznir, 2009.

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcje mocy. Pierwiastek sześcienny. Właściwości pierwiastka sześciennego”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 9
Kompleks edukacyjny 1C: „Problemy algebraiczne z parametrami, stopnie 9-11” Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.0”

Definicja funkcji potęgowej - pierwiastek sześcienny

Chłopaki, nadal badamy funkcje władzy. Dzisiaj porozmawiamy o funkcji x pierwiastka sześciennego.
Co to jest pierwiastek sześcienny?
Liczba y jest nazywana pierwiastkiem sześciennym z x (pierwiastek trzeciego stopnia), jeśli $y^3=x$ jest prawdziwe.
Są one oznaczone jako $\sqrt(x)$, gdzie x jest liczbą pierwiastkową, a 3 jest wykładnikiem.
$\sqrt(27)=3$; 3 ^ 3 = 27 $.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Jak widać, pierwiastek sześcienny można również wyodrębnić z liczb ujemnych. Okazuje się, że nasz pierwiastek istnieje dla wszystkich liczb.
Trzeci pierwiastek liczby ujemnej jest równy liczbie ujemnej. Podniesiony do nieparzystej potęgi znak zostaje zachowany, trzecia potęga jest nieparzysta.

Sprawdźmy równość: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Niech $\sqrt((-x))=a$ i $\sqrt(x)=b$. Podnieśmy oba wyrażenia do potęgi trzeciej. $–x=a^3$ i $x=b^3$. Następnie $a^3=-b^3$ lub $a=-b$. W notacji pierwiastków uzyskujemy pożądaną tożsamość.

Właściwości pierwiastków sześciennych

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Udowodnijmy drugą właściwość. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Odkryliśmy, że liczba $\sqrt(\frac(a)(b))$ w kostce jest równa $\frac(a)(b)$, a następnie jest równa $\sqrt(\frac(a) (b))$, które i trzeba było udowodnić.

Chłopaki, narysujmy nasz wykres funkcji.
1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2) Funkcja jest dziwna, ponieważ $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Następnie rozważmy naszą funkcję dla $x≥0$, a następnie odzwierciedlmy wykres względem początku.
3) Funkcja rośnie dla $х≥0$. Dla naszej funkcji większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, co oznacza zwiększenie.
4) Funkcja nie jest ograniczona od góry. W rzeczywistości z dowolnie dużej liczby można obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia i możemy przesuwać się w górę do nieskończoności, znajdując coraz większe wartości argumentu.
5) Dla $x≥0$ najmniejszą wartością jest 0. Ta własność jest oczywista.
Zbudujmy wykres funkcji punktami dla x≥0.

Zbudujmy nasz wykres funkcji na całej dziedzinie definicji. Pamiętaj, że nasza funkcja jest dziwna.

Właściwości funkcji:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcja nieparzysta.
3) Zwiększa się o (-∞;+∞).
4) Nieograniczony.
5) Nie ma wartości minimalnej ani maksymalnej.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Wypukły w dół o (-∞;0), wypukły w górę o (0;+∞).

Przykłady rozwiązywania funkcji potęgowych

Przykłady
1. Rozwiąż równanie $\sqrt(x)=x$.
Rozwiązanie. Zbudujmy dwa wykresy na tej samej płaszczyźnie współrzędnych $y=\sqrt(x)$ i $y=x$.

Jak widać, nasze wykresy przecinają się w trzech punktach.
Odpowiedź: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Zbuduj wykres funkcji. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Rozwiązanie. Nasz wykres otrzymujemy z wykresu funkcji $y=\sqrt(x)$, przesuwając równolegle dwie jednostki w prawo i trzy jednostki w dół.

3. Zbuduj wykres funkcji i odczytaj go. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Rozwiązanie. Zbudujmy dwa wykresy funkcji na tej samej płaszczyźnie współrzędnych, biorąc pod uwagę nasze warunki. Dla $х≥-1$ budujemy wykres pierwiastka sześciennego, dla $х≤-1$ wykres funkcji liniowej.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
3) Zmniejsza się o (-∞;-1), wzrasta o (-1;+∞).
4) Nieograniczony od góry, ograniczony od dołu.
5) Nie ma maksymalnej wartości. Najmniejsza wartość to minus jeden.
6) Funkcja jest ciągła na całej linii rzeczywistej.
7) E(y)= (-1;+∞).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Rozwiąż równanie $\sqrt(x)=2-x$.
2. Wykreśl funkcję $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Zbuduj wykres funkcji i odczytaj go. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Podano główne właściwości funkcji potęgowej, w tym wzory i właściwości pierwiastków. Przedstawiono pochodną, całkę, rozwinięcie w szereg potęgowy oraz przedstawienie funkcji potęgowej za pomocą liczb zespolonych.

Definicja

Definicja
Funkcja zasilania z wykładnikiem p jest funkcją f (x) = xp, którego wartość w punkcie x jest równa wartości funkcja wykładnicza o podstawie x na p.
Ponadto f (0) = 0 p = 0 dla p > 0 .

Dla naturalnych wartości wykładnika funkcja potęgowa jest iloczynem n liczb równych x :
.
Jest zdefiniowany dla wszystkich prawdziwych.

Dla dodatnich wartości wymiernych wykładnika funkcja potęgowa jest iloczynem n pierwiastków stopnia m od liczby x:
.
Dla nieparzystego m jest ono zdefiniowane dla wszystkich rzeczywistych x . Dla parzystego m funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla nieujemnej .

W przypadku ujemnych funkcja potęgowa jest określona wzorem:
.
Dlatego nie jest zdefiniowany w punkcie .

Dla niewymiernych wartości wykładnika p funkcję wykładniczą określa wzór:
,
gdzie a jest dowolną liczbą dodatnią, a nie równy jeden: .
Dla , jest zdefiniowany dla .
Dla , funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla .

Ciągłość. Funkcja potęgowa jest ciągła w swojej dziedzinie definicji.

Własności i wzory funkcji potęgowej dla x ≥ 0

Tutaj rozważamy właściwości funkcji potęgowej dla nie wartości ujemne argument x . Jak wspomniano powyżej, dla niektórych wartości wykładnika p funkcja wykładnicza jest również definiowana dla ujemnych wartości x . W takim przypadku jego właściwości można uzyskać z właściwości w , używając parzystości lub parzystości. Przypadki te zostały szczegółowo omówione i zilustrowane na stronie „”.

Funkcja potęgowa, y = x p , z wykładnikiem p ma następujące własności:
(1.1) zdefiniowany i ciągły na planie
w ,
w ;
(1.2) ma wiele znaczeń
w ,
w ;
(1.3) ściśle wzrasta o ,
ściśle maleje w ;
(1.4) w ;
w ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dowód właściwości znajduje się na stronie " Funkcja mocy (dowód ciągłości i właściwości) »

Korzenie - definicja, wzory, właściwości

Definicja
Pierwiastek x do potęgi n jest liczbą, której podniesienie do potęgi n daje x:
.
Tutaj n = 2, 3, 4, ... - Liczba naturalna, większa niż jeden.

Można również powiedzieć, że pierwiastek liczby x stopnia n jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) równania
.
Zauważ, że funkcja jest odwrotnością funkcji.

Pierwiastek kwadratowy z x jest pierwiastkiem stopnia 2: .

pierwiastek sześcienny od numeru x jest pierwiastkiem stopnia 3: .

Nawet stopień

Dla parzystych potęg n = 2 mln, pierwiastek jest zdefiniowany dla x ≥ 0 . Często używany wzór jest ważny zarówno dla dodatniego, jak i ujemnego x :
.
Dla pierwiastka kwadratowego:
.

Istotna jest tu kolejność wykonywania operacji – tzn. najpierw wykonuje się podniesienie do kwadratu, w wyniku czego otrzymuje się liczbę nieujemną, a następnie wyciąga się z niej pierwiastek (z liczby nieujemnej można wydobyć Pierwiastek kwadratowy). Gdybyśmy zmienili kolejność: , to dla ujemnego x pierwiastek byłby niezdefiniowany, a wraz z nim całe wyrażenie byłoby niezdefiniowane.

nieparzysty stopień

Dla potęg nieparzystych pierwiastek jest zdefiniowany dla wszystkich x:
;
.

Właściwości i formuły korzeni

Pierwiastek x jest funkcją potęgową:
.
Dla x ≥ 0 obowiązują następujące formuły:
;
;
, ;
.

Wzory te można również zastosować do ujemnych wartości zmiennych. Trzeba tylko zadbać o to, by radykalne wyrażanie równych sił nie było negatywne.

Wartości prywatne

Korzeń 0 to 0: .
Pierwiastek 1 to 1: .
Pierwiastek kwadratowy z 0 to 0: .
Pierwiastek kwadratowy z 1 to 1: .

Przykład. Korzeń z korzeni

Rozważmy przykład pierwiastka kwadratowego z pierwiastków:
.
Przekształć wewnętrzny pierwiastek kwadratowy, korzystając z powyższych wzorów:
.
Teraz przekształćmy pierwotny korzeń:
.
Więc,
.

y = x p dla różnych wartości wykładnika p .

Oto wykresy funkcji dla nieujemnych wartości argumentu x. Wykresy funkcji potęgowej zdefiniowanej dla ujemnych wartości x podane są na stronie " Funkcja potęgowa, jej właściwości i wykresy »

Funkcja odwrotna

Odwrotnością funkcji potęgowej z wykładnikiem p jest funkcja potęgowa z wykładnikiem 1/p .

Jeśli następnie .

Pochodna funkcji potęgowej

Pochodna n-tego rzędu:
;

Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka funkcji potęgowej

P≠- 1 ;
.

Rozszerzenie serii mocy

Na - 1 < x < 1 następuje następujący rozkład:

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Rozważmy funkcję zmiennej zespolonej z :
F (z) = z t.
Wyrażamy zmienną zespoloną z w postaci modułu r i argumentu φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Liczbę zespoloną t reprezentujemy jako części rzeczywiste i urojone:
t = p + i q .
Mamy:

Ponadto bierzemy pod uwagę, że argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany:
,

Rozważ przypadek, gdy q = 0 , czyli wykładnik prawdziwy numer, t = p . Następnie
.

Jeśli p jest liczbą całkowitą, to kp jest również liczbą całkowitą. Następnie ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych:
.
Tj funkcja wykładnicza z wykładnikiem całkowitym, dla danego z, ma tylko jedną wartość i dlatego jest jednowartościowy.

Jeśli p jest niewymierne, to iloczyny kp nie dają liczby całkowitej dla żadnego k. Ponieważ k przebiega przez nieskończoną serię wartości k = 0, 1, 2, 3, ..., to funkcja z p ma nieskończenie wiele wartości. Ilekroć argument z jest zwiększany 2 π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji.

Jeśli p jest wymierne, to można je przedstawić jako:
, gdzie m, n są liczbami całkowitymi bez wspólnych dzielników. Następnie
.
Pierwsze n wartości, dla k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dany różne znaczenia kp :
.
Jednak kolejne wartości dają wartości, które różnią się od poprzednich o liczbę całkowitą. Na przykład dla k = k 0+n mamy:
.
Funkcje trygonometryczne, których argumenty różnią się wielokrotnością 2 π, mają równe wartości. Dlatego przy dalszym wzroście k otrzymujemy te same wartości z p jak dla k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Zatem funkcja wykładnicza z racjonalny wskaźnik stopień jest wielowartościowy i ma n wartości (gałęzi). Ilekroć argument z jest zwiększany 2 π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji. Po n takich turach wracamy do pierwszej gałęzi, od której rozpoczęło się odliczanie.

W szczególności pierwiastek stopnia n ma n wartości. Jako przykład rozważmy n-ty pierwiastek rzeczywistej liczby dodatniej z = x. W tym przypadku φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Tak więc dla pierwiastka kwadratowego n = 2 ,
.
Nawet dla k, (- 1 ) k = 1. Dla nieparzystego k, (- 1 ) k = - 1.
Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy ma dwa znaczenia: + i -.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.