Suma funkcji parzystych i nieparzystych. Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzyste są jedną z jego głównych właściwości, a parzystość zajmuje imponującą część szkolnego kursu matematyki. To w dużej mierze determinuje charakter zachowania funkcji i znacznie ułatwia budowę odpowiedniego wykresu.

Zdefiniujmy parzystość funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, badana funkcja jest brana pod uwagę nawet wtedy, gdy dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej (x) znajdującej się w jej dziedzinie definicji, odpowiadające im wartości y (funkcji) są równe.

Podajmy bardziej rygorystyczną definicję. Rozważmy pewną funkcję f (x), która jest zdefiniowana w dziedzinie D. Będzie to nawet wtedy, gdy dla dowolnego punktu x znajdującego się w dziedzinie definicji:

• -x (przeciwna kropka) również leży w podanym zakresie,

• f(-x) = f(x).

Z powyższej definicji wynika warunek konieczny dla dziedziny definicji takiej funkcji, a mianowicie symetria względem punktu O, który jest początkiem współrzędnych, gdyż jeśli jakiś punkt b należy do dziedziny definicji funkcji nawet funkcji, to odpowiedni punkt - b również leży w tej domenie. Z powyższego wynika zatem wniosek: funkcja parzysta ma postać symetryczną względem osi rzędnych (Oy).

Jak w praktyce wyznaczyć parzystość funkcji?

Niech zostanie podana wzorem h(x)=11^x+11^(-x). Idąc za algorytmem wynikającym bezpośrednio z definicji, badamy przede wszystkim jej dziedzinę definicji. Oczywiście jest on zdefiniowany dla wszystkich wartości argumentu, czyli spełniony jest pierwszy warunek.

Następnym krokiem jest zastąpienie argumentu (x) jego przeciwną wartością (-x).
Otrzymujemy:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ponieważ dodawanie spełnia prawo przemienności (przemieszczenia), jest oczywiste, że h(-x) = h(x) i dana zależność funkcjonalna jest parzysta.

Sprawdźmy równość funkcji h(x)=11^x-11^(-x). Zgodnie z tym samym algorytmem otrzymujemy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Usuwając minus, w rezultacie mamy
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stąd h(x) jest nieparzyste.

Przy okazji należy przypomnieć, że istnieją funkcje, których nie da się sklasyfikować według tych kryteriów, nie nazywa się ich ani parzystymi, ani nieparzystymi.

Nawet funkcje mają szereg interesujących właściwości:

• w wyniku dodania podobnych funkcji uzyskuje się parzystą;
• w wyniku odjęcia takich funkcji uzyskuje się parzystą;
• parzysty, także parzysty;
• w wyniku pomnożenia dwóch takich funkcji otrzymuje się jedną parzystą;
• w wyniku mnożenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymuje się nieparzystą;
• w wyniku dzielenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymuje się nieparzystą;
• pochodna takiej funkcji jest nieparzysta;
• Jeśli podniesiemy do kwadratu funkcję nieparzystą, otrzymamy funkcję parzystą.

Parzystość funkcji może być wykorzystana do rozwiązywania równań.

Aby rozwiązać równanie takie jak g(x) = 0, gdzie lewa strona równania jest funkcją parzystą, wystarczy znaleźć jego rozwiązanie dla nieujemnych wartości zmiennej. Otrzymane pierwiastki równania należy połączyć z liczbami przeciwstawnymi. Jeden z nich podlega weryfikacji.

To samo z powodzeniem stosuje się do rozwiązywania niestandardowych problemów z parametrem.

Na przykład, czy istnieje jakaś wartość parametru a, która spowodowałaby, że równanie 2x^6-x^4-ax^2=1 miałoby trzy pierwiastki?

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że zmienna wchodzi do równania w potęgach parzystych, to jasne jest, że zastąpienie x przez - x podane równanie się nie zmieni. Wynika z tego, że jeśli pierwiastkiem jest pewna liczba, to jest nią również liczba przeciwna. Wniosek jest oczywisty: pierwiastki równania, inne niż zero, są zawarte w zbiorze jego rozwiązań w „parach”.

Oczywiste jest, że sama liczba 0 nie jest równa, to znaczy liczba pierwiastków takiego równania może być tylko parzysta i oczywiście dla dowolnej wartości parametru nie może mieć trzech pierwiastków.

Ale liczba pierwiastków równania 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 może być nieparzysta i dla dowolnej wartości parametru. Rzeczywiście łatwo jest sprawdzić, czy zbiór korzeni podane równanie zawiera rozwiązania w „parach”. Sprawdźmy, czy 0 jest korzeniem. Podstawiając go do równania, otrzymujemy 2=2. Tak więc oprócz „sparowanego” 0 jest również pierwiastkiem, co świadczy o ich liczbie nieparzystej.

Funkcja nazywana jest parzystą (nieparzystą) jeśli dla dowolnego i równości

.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi
.

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

Przykład 6.2. Sprawdź funkcje parzyste lub nieparzyste

1)
; 2)
; 3)
.

Rozwiązanie.

1) Funkcja jest zdefiniowana za pomocą
. Znajdźmy
.

Tych.
. Więc ta funkcja jest parzysta.

2) Funkcja jest zdefiniowana dla

Tych.
. Tak więc ta funkcja jest dziwna.

3) funkcja jest określona dla , tj. dla

,
. Dlatego funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nazwijmy to funkcją ogólną.

3. Badanie funkcji dla monotoniczności.

Funkcjonować
nazywamy zwiększaniem (malaniem) na pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale każda większa wartość argumentu odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji.

Funkcje narastające (malejące) na pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi.

Jeśli funkcja
różniczkowalna na przedziale
i ma dodatnią (ujemną) pochodną
, to funkcja
wzrasta (spada) w tym przedziale.

Przykład 6.3. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji

1)
; 3)
.

Rozwiązanie.

1) Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Znajdźmy pochodną.

Pochodna wynosi zero, jeśli
I
. Dziedzina definicji - oś liczbowa podzielona przez punkty
,
na interwały. Wyznaczmy znak pochodnej w każdym przedziale.

W przedziale
pochodna jest ujemna, funkcja maleje na tym przedziale.

W przedziale
pochodna jest dodatnia, zatem funkcja rośnie na tym przedziale.

2) Ta funkcja jest zdefiniowana, jeśli
lub

.

W każdym przedziale wyznaczamy znak trójmianu kwadratowego.

Zatem zakres funkcji

Znajdźmy pochodną
,
, Jeśli
, tj.
, ale
. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach
.

W przedziale
pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na przedziale
. W przedziale
pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie na przedziale
.

4. Badanie funkcji ekstremum.

Kropka
nazywa się maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji
, jeśli jest takie sąsiedztwo punktu to dla wszystkich
ta okolica zaspokaja nierówności

.

Punkty maksimum i minimum funkcji nazywane są punktami ekstremami.

Jeśli funkcja
w punkcie ma ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru lub nie istnieje (warunek konieczny istnienia ekstremum).

Punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje, nazywamy krytycznymi.

5. Warunki dostateczne dla istnienia ekstremum.

Zasada nr 1. Jeśli podczas przejścia (od lewej do prawej) przez punkt krytyczny pochodna
zmienia znak z „+” na „-”, a następnie w punkcie funkcjonować
ma maksimum; jeśli od „-” do „+”, to minimum; Jeśli
nie zmienia znaku, to nie ma ekstremum.

Zasada 2. Niech w punkcie
pierwsza pochodna funkcji
zero
, a druga pochodna istnieje i jest niezerowa. Jeśli
, następnie to maksymalny punkt, jeśli
, następnie jest minimalnym punktem funkcji.

Przykład 6.4 . Poznaj maksymalne i minimalne funkcje:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Rozwiązanie.

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale
.

Znajdźmy pochodną
i rozwiąż równanie
, tj.
.stąd
są punktami krytycznymi.

Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach ,
.

Przejeżdżając przez punkty
I
pochodna zmienia znak z „–” na „+”, a więc zgodnie z regułą 1
są minimalne punkty.

Przejeżdżając przez punkt
pochodna zmienia znak z "+" na "-", więc
jest punktem maksymalnym.

,
.

2) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale
. Znajdźmy pochodną
.

Rozwiązując równanie
, znajdować
I
są punktami krytycznymi. Jeśli mianownik
, tj.
, to pochodna nie istnieje. Więc,
jest trzecim punktem krytycznym. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach.

Dlatego funkcja ma minimum w punkcie
, maksymalnie w punktach
I
.

3) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła, jeśli
, tj. w
.

Znajdźmy pochodną

.

Znajdźmy punkty krytyczne:

Okolice punktów
nie należą do dziedziny definicji, więc nie są ekstremami. Przyjrzyjmy się więc krytycznym punktom
I
.

4) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale
. Korzystamy z reguły 2. Znajdź pochodną
.

Znajdźmy punkty krytyczne:

Znajdźmy drugą pochodną
i określ jego znak w punktach

W punktach
funkcja ma minimum.

W punktach
funkcja ma maksimum.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele:

• uformować pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, nauczyć umiejętności wyznaczania i wykorzystywania tych właściwości, gdy badanie funkcji, kreślenie;
• rozwijać twórczą aktywność uczniów, logiczne myślenie, umiejętność porównywania, uogólniania;
• pielęgnować pracowitość, kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .

Sprzęt: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, materiały informacyjne.

Formy pracy: frontalny i grupowy z elementami działalności poszukiwawczej i badawczej.

Źródła informacji:

1. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Książka zadań.
3. Algebra klasa 9. Zadania do nauki i rozwoju uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Moment organizacyjny

Ustalanie celów i zadań lekcji.

2. Sprawdzanie pracy domowej

nr 10.17 (Księga problemów 9. klasa A.G. Mordkovich).

ale) w = F(x), F(x) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(x) = 0 dla x ~ 0,4
4. F(x) >0 w x > 0,4 ; F(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcja wzrasta wraz z x € [– 2; + ∞)
6. Funkcja ograniczona od dołu.
7. w wynajem = - 3, w naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.

(Czy użyłeś algorytmu eksploracji cech?) Ślizgać się.

2. Sprawdźmy tabelę, o którą zostałeś poproszony na slajdzie.

Wypełnij tabelę
	Domena	Zera funkcji	Przedziały stałości		Współrzędne punktów przecięcia grafu z Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizacja wiedzy

– Podano funkcje.
– Określ domenę definicji dla każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Dla której z podanych funkcji w domenie definicji są równości? F(– x) = F(x), F(– x) = – F(x)? (umieść dane w tabeli) Ślizgać się

		F(1) i F(– 1)	F(2) i F(– 2)	wykresy	F(– x) = –F(x)	F(– x) = F(x)
1. F(x) =
2. F(x) = x 3
3. F(x) = | x |
4.F(x) = 2x – 3
5. F(x) =	x ≠ 0
6. F(x)=	x > –1		i nieokreślone.

4. nowy materiał

– Występy ta praca, chłopaki, ujawniliśmy jeszcze jedną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż reszta - jest to funkcja parzysta i nieparzysta. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczenie się wyznaczania funkcji parzystych i nieparzystych, poznanie znaczenia tej właściwości w badaniu funkcji i kreśleniu.
Znajdźmy więc definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Ślizgać się

Pok. jeden Funkcjonować w = F (x) zdefiniowany na zbiorze X nazywa się nawet, jeśli dla dowolnej wartości xЄ X w toku równość f (–x) = f (x). Daj przykłady.

Pok. 2 Funkcjonować y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości x X równość f(–х)= –f(х) jest spełniona. Daj przykłady.

Gdzie spotkaliśmy się z terminami „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Czemu? Które są dziwne? Czemu?
Dla dowolnej funkcji formy w= x n, gdzie n jest liczbą całkowitą, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta dla n jest nieparzyste, a funkcja jest parzysta dla n- nawet.
– Zobacz funkcje w= i w = 2x– 3 nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, bo równości nie są spełnione F(– x) = – F(x), F(– x) = F(x)

Badanie kwestii, czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta, nazywa się badaniem funkcji parzystości.Ślizgać się

Definicje 1 i 2 dotyczyły wartości funkcji przy x i - x, stąd zakłada się, że funkcja jest również zdefiniowana przy wartości x i w - x.

ODA 3. Jeśli zestaw liczb wraz z każdym ze swoich elementów x zawiera przeciwny element -x, to zbiór x nazywa się zbiorem symetrycznym.

Przykłady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są niesymetryczne.

- Czy nawet funkcje mają dziedzinę definicji - zbiór symetryczny? Dziwne?
- Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Tak więc, jeśli funkcja w = F(x) jest parzyste lub nieparzyste, to jego domeną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Ale czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeśli dziedzina funkcji jest zbiorem symetrycznym, to jest parzysta czy nieparzysta?
- A więc obecność symetrycznego zbioru dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak więc zbadać funkcję parzystości? Spróbujmy napisać algorytm.

Ślizgać się

Algorytm do badania funkcji na parzystość

1. Określ, czy dziedzina funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.

2. Napisz wyrażenie dla F(–x).

3. Porównaj F(–x).I F(x):

• Jeśli F(–x).= F(x), to funkcja jest parzysta;
• Jeśli F(–x).= – F(x), to funkcja jest nieparzysta;
• Jeśli F(–x) ≠ F(x) I F(–x) ≠ –F(x), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Przykłady:

Zbadaj funkcję parzystości a) w= x 5 +; b) w= ; w) w= .

Rozwiązanie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcja h(x)= x 5 + nieparzysty.

b) y =,

w = F(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

w) F(x) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcja 2

1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

ale); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Sprawdź funkcję pod kątem parzystości:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na ryc. kreślony w = F(x), dla wszystkich x, spełniający warunek x? 0.
Wykreśl funkcję w = F(x), Jeśli w = F(x) jest funkcją parzystą.

3. Na ryc. kreślony w = F(x), dla wszystkich x spełniających x? 0.
Wykreśl funkcję w = F(x), Jeśli w = F(x) jest funkcją nieparzystą.

Wzajemna kontrola ślizgać się.

6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;

Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.

*** (Przypisanie opcji USE).

1. Nieparzysta funkcja y \u003d f (x) jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x, wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Znajdź wartość funkcji h( x) = w x = 3.

7. Podsumowując

Konwersja wykresu.

Słowny opis funkcji.

Graficzny sposób.

Graficzny sposób określania funkcji jest najbardziej ilustracyjny i jest często stosowany w inżynierii. W Analiza matematyczna jako ilustrację posłużono się graficznym sposobem ustawiania funkcji.

Wykres funkcji f jest zbiorem wszystkich punktów (x; y) na płaszczyźnie współrzędnych, gdzie y=f(x), a x „przebiega” przez całą dziedzinę danej funkcji.

Podzbiór płaszczyzny współrzędnych jest wykresem jakiejś funkcji, jeśli ma co najwyżej jeden wspólny punkt z dowolną linią równoległą do osi Oy.

Przykład. Czy liczby poniżej wykresów funkcji?

korzyść zadanie graficzne jest jego widoczność. Możesz od razu zobaczyć, jak funkcja się zachowuje, gdzie rośnie, gdzie maleje. Z wykresu możesz od razu znaleźć kilka ważnych cech funkcji.

Ogólnie analityczne sposoby graficzne przypisania funkcji idą w parze. Praca z formułą pomaga zbudować wykres. A wykres często sugeruje rozwiązania, których nie zauważysz w formule.

Prawie każdy uczeń zna trzy sposoby definiowania funkcji, które właśnie omówiliśmy.

Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: „Czy istnieją inne sposoby definiowania funkcji?”

Jest taki sposób.

Funkcję można dość jednoznacznie zdefiniować słowami.

Na przykład funkcję y=2x można zdefiniować za pomocą następującego opisu słownego: każdej rzeczywistej wartości argumentu x przypisywana jest jej podwojona wartość. Reguła ustawiona, funkcja ustawiona.

Ponadto możliwe jest ustne określenie funkcji, co jest niezwykle trudne, jeśli nie niemożliwe, do określenia za pomocą formuły.

Na przykład: każda wartość argumentu naturalnego x jest powiązana z sumą cyfr, które składają się na wartość x. Na przykład, jeśli x=3, to y=3. Jeśli x=257, to y=2+5+7=14. Itp. Trudno to zapisać w formule. Ale stół jest łatwy do wykonania.

Metoda opisu słownego jest dość rzadko stosowaną metodą. Ale czasami tak się dzieje.

Jeśli istnieje prawo zależności jeden do jednego między x i y, to istnieje funkcja. Jakie prawo, w jakiej formie jest wyrażone – wzorem, tabliczką, wykresem, słowami – nie zmienia istoty sprawy.

Rozważmy funkcje, których dziedziny definicji są symetryczne względem początku współrzędnych, tj. dla kazdego x numer poza zakresem (- x) również należy do dziedziny definicji. Wśród tych funkcji są parzyste i nieparzyste.

Definicja. Funkcja f nazywa się nawet, jeśli w ogóle x poza jego domeną

Przykład. Rozważ funkcję

Ona jest równa. Sprawdźmy to.

Dla kazdego x równouprawnienia

Tym samym oba warunki są dla nas spełnione, co oznacza, że ​​funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.

Definicja. Funkcja f nazywa się dziwne, jeśli w ogóle x poza jego domeną

Przykład. Rozważ funkcję

Ona jest dziwna. Sprawdźmy to.

Domeną definicji jest cała oś liczbowa, co oznacza, że ​​jest symetryczna względem punktu (0; 0).

Dla kazdego x równouprawnienia

Tym samym oba warunki są dla nas spełnione, co oznacza, że ​​funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.

Wykresy pokazane na pierwszej i trzeciej figurze są symetryczne względem osi y, a wykresy pokazane na drugiej i czwartej figurze są symetryczne względem początku.

Które z funkcji, których wykresy są pokazane na rysunkach, są parzyste, a które nieparzyste?

Funkcjonować to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja - zależność zmienna w ze zmiennej x, jeśli każda wartość x pasuje do jednej wartości w. zmienny x nazywana zmienną niezależną lub argumentem. zmienny w zwana zmienną zależną. Wszystkie wartości zmiennej niezależnej (zmienna x) tworzą dziedzinę funkcji. Wszystkie wartości jakie przyjmuje zmienna zależna (zmienna tak), tworzą zakres funkcji.

Wykres funkcji nazywają zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji, czyli wartościom zmienne są wykreślane wzdłuż osi odciętej x, a wartości zmiennej są wykreślane wzdłuż osi y tak. Aby wykreślić funkcję, musisz znać jej właściwości. Główne właściwości funkcji zostaną omówione poniżej!

Aby wykreślić wykres funkcji, zalecamy skorzystanie z naszego programu - Graphing Functions Online. Jeśli masz jakieś pytania podczas studiowania materiału na tej stronie, zawsze możesz je zadać na naszym forum. Również na forum otrzymasz pomoc w rozwiązywaniu problemów z matematyki, chemii, geometrii, rachunku prawdopodobieństwa i wielu innych przedmiotów!

Podstawowe własności funkcji.

1) Zakres funkcji i zakres funkcji.

Zakres funkcji to zbiór wszystkich poprawnych poprawnych wartości argumentu x(zmienny x) dla której funkcja y = f(x) zdefiniowane.
Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych także funkcja akceptuje.

W elementarnej matematyce funkcje są badane tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.

2) Funkcja zera.

Wartości x, w którym y=0, nazywa się funkcja zera. Są to odcięte punkty przecięcia wykresu funkcji z osią x.

3) Przedziały stałości znaku funkcji.

Przedziały stałości znaku funkcji są właśnie takimi przedziałami wartości x, na którym wartości funkcji tak nazywa się albo tylko pozytywnym, albo tylko negatywnym przedziały stałości znaku funkcji.

4) Monotoniczność funkcji.

Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.

Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) - funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji.

5) Funkcje parzyste (nieparzyste).

Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego x f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.

Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego x z dziedziny definicji równość f(-x) = - f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

Nawet funkcja
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0), czyli jeśli punkt a należy do dziedziny definicji, to punkt -a również należy do dziedziny definicji.
2) Dla dowolnej wartości x f(-x)=f(x)
3) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.

nieparzysta funkcja ma następujące właściwości:
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0).
2) dla dowolnej wartości x, która należy do dziedziny definicji równości f(-x)=-f(x)
3) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (0; 0).

Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólny widok nie są ani parzyste, ani dziwne.

6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.

Funkcja jest nazywana ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że ​​|f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x . Jeśli nie ma takiej liczby, funkcja jest nieograniczona.

7) Okresowość funkcji.

Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że ​​dla dowolnego x z dziedziny funkcji f(x+T) = f(x). Taki najmniejsza liczba nazywa się okresem funkcji. Wszystko funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).

Funkcjonować F nazywa się okresowym, jeśli istnieje liczba taka, że ​​dla any x z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji.

Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy dodatni okres.

Wartości funkcji okresowej są powtarzane po odstępie równym okresowi. Jest to używane podczas kreślenia wykresów.