Skaitmeninės sekos ir jų nustatymo būdai. Praktinio darbo užduotis „Skaičių sekų nurodymas įvairiais būdais, sekos narių skaičiavimas

Šioje pamokoje pradėsime progresavimo tyrimą. Čia susipažinsime su skaičių seka ir kaip ją nustatyti.

Pirmiausia primename skaitinių argumentų funkcijų apibrėžimą ir savybes bei nagrinėjame specialų funkcijos atvejį, kai x priklauso aibei. natūraliuosius skaičius. Pateikiame skaitinės sekos apibrėžimą ir pateikiame keletą pavyzdžių. Parodysime analitinį būdą, kaip seką nurodyti naudojant jos n-ojo nario formulę, ir apsvarstysime kelis sekos apibūdinimo ir nustatymo pavyzdžius. Tada apsvarstykite žodinį ir pasikartojantį sekos priskyrimą.

Tema: progresas

Pamoka: Skaitmeninė seka ir kaip jį nustatyti

1. Kartojimas

Skaitmeninė seka, kaip matysime, tai ypatingas funkcijos atvejis, todėl prisiminkime funkcijos apibrėžimą.

Funkcija yra dėsnis, pagal kurį kiekvienai galiojančiai argumento reikšmei priskiriama unikali funkcijos reikšmė.

Čia yra žinomų funkcijų pavyzdžiai.

Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas

Leidžiamos visos reikšmės, išskyrus 0. Šios funkcijos grafikas yra hiperbolė (žr. 1 pav.).

2.. Leidžiamos visos reikšmės, .

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikas

Tvarkaraštis kvadratinė funkcija- parabolė, taip pat pažymėti būdingi taškai (žr. 2 pav.).

3..

Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas

Leidžiamos visos x reikšmės. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė (žr. 3 pav.).

2. Skaitmeninės sekos apibrėžimas

Jei x užima tik natūralias reikšmes (), tada turime ypatingą atvejį, būtent skaitinę seką.

Prisiminkite, kad natūralieji skaičiai yra 1, 2, 3, …, n, …

Funkcija , kur , vadinama natūralaus argumento funkcija arba skaitine seka ir žymima taip: arba , arba .

Paaiškinkime, ką, pavyzdžiui, reiškia žymėjimas.

Tai funkcijos reikšmė, kai n=1, t.y.

Tai yra funkcijos reikšmė, kai n=2, t. y. ir tt...

Tai yra funkcijos reikšmė, kai argumentas yra n, t.y.

3. Pavyzdžių sekos

1. yra bendrojo termino formulė. Mes nustatome skirtingas n reikšmes, gauname skirtingas y reikšmes - sekos narius.

Kai n=1; , kai n=2 ir pan., .

Skaičiai yra tam tikros sekos nariai ir taškai guli ant hiperbolės – funkcijos grafiko (žr. 4 pav.).

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas

Jei n=1, tai ; jei n=2, tai ; jei n = 3, tada ir tt

Skaičiai yra tam tikros sekos nariai, o taškai guli ant parabolės – funkcijos grafiko (žr. 5 pav.).

Ryžiai. 5. Funkcijų grafikas

Ryžiai. 6. Funkcijų grafikas

Jei n=1, tai ; jei n = 2, tada ; jei n = 3, tada ir tt

Skaičiai yra tam tikros sekos nariai, o taškai yra tiesėje – funkcijos grafike (žr. 6 pav.).

4. Analitinis sekos patikslinimo metodas

Yra trys būdai nurodyti sekas: analitinė, žodinė ir pasikartojanti. Apsvarstykime kiekvieną iš jų išsamiai.

Seka pateikiama analitiškai, jei pateikiama jos n-ojo nario formulė.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1. Raskite kelis sekos narius, kuriuos pateikia n-tojo nario formulė: (analitinis sekos patikslinimo būdas).

Sprendimas. Jei n=1, tai ; jei n=2, tai ; jei n = 3, tada ir tt

Tam tikrai sekai randame ir .

.

.

2. Apsvarstykite seką, pateiktą n-ojo nario formule: (analitinis sekos patikslinimo būdas).

Raskime keletą šios sekos narių.

Jei n=1, tai ; jei n = 2, tada ; jei n = 3, tada ir tt

Apskritai nesunku suprasti, kad šios sekos nariai yra tie skaičiai, kuriuos padalijus iš 4, lieka 1.

bet. Nurodytai sekai raskite .

Sprendimas: . Atsakymas:.

b. Pateikiami du skaičiai: 821, 1282. Ar šie skaičiai yra duotosios sekos nariai?

Kad skaičius 821 būtų sekos narys, būtina, kad lygybė: arba . Paskutinė lygybė yra n lygtis. Jeigu sprendimas duota lygtis yra natūralusis skaičius, tada atsakymas yra taip.

Šiuo atveju tai yra. .

Atsakymas: taip, 821 yra nurodytos sekos narys.

Pereikime prie antrojo numerio. Panašūs samprotavimai veda mus prie lygties sprendimo: .

Atsakymas: kadangi n nėra natūralusis skaičius, skaičius 1282 nėra duotosios sekos narys.

Analitiškai seką apibrėžiančios formulės gali būti labai įvairios: paprastos, sudėtingos ir tt Reikalavimas joms yra tas pats: kiekviena n reikšmė turi atitikti vieną skaičių.

3. Duota: seka pateikiama tokia formule.

Raskite pirmuosius tris sekos narius.

, , .

Atsakymas: , , .

4. Ar skaičiai yra sekos nariai?

bet. , t.y. . Išspręsdami šią lygtį, gauname, kad . Tai natūralus skaičius.

Atsakymas: pirmasis duotas skaičius yra šios sekos narys, būtent penktasis narys.

b. , t.y. . Išspręsdami šią lygtį, gauname, kad . Tai natūralus skaičius.

Atsakymas: antrasis skaičius taip pat yra šios sekos narys, būtent devyniasdešimt devintasis narys.

5. Verbalinis sekos nustatymo būdas

Mes svarstėme analitinį skaitinės sekos apibūdinimo būdą. Tai patogu, įprasta, bet ne vienintelė.

Kitas būdas yra žodinis sekos priskyrimas.

Seka, kiekvienas jos narys, galimybė apskaičiuoti kiekvieną jos narį gali būti nurodyta žodžiais, nebūtinai formulėmis.

1 pavyzdys Pirminių skaičių seka.

Prisiminkite, kad pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis tiksliai du skirtingus daliklius: 1 ir patį skaičių. Pirminiai skaičiai yra 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ir kt.

Jų yra begalė. Euklidas taip pat įrodė, kad šių skaičių seka yra begalinė, tai yra, nėra didžiausio pirminio skaičiaus. Pateikta seka, kiekvienas terminas gali būti skaičiuojamas, varginantis, bet gali būti paskaičiuotas. Ši seka pateikiama žodžiu. Deja, formulių nėra.

2 pavyzdys Apsvarstykite skaičių = 1,41421…

Tai neracionalus skaičius, jo dešimtainis žymėjimas numato begalinį skaičių skaitmenų. Panagrinėkime skaičiaus dešimtainių aproksimacijų seką pagal trūkumą: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ir tt

Šios sekos narių yra be galo daug, kiekvieną iš jų galima apskaičiuoti. Šios sekos neįmanoma nustatyti pagal formulę, todėl aprašome ją žodžiu.

6. Rekursyvus būdas nurodyti seką

Mes apsvarstėme du būdus, kaip nurodyti skaitinę seką:

1. Analitinis metodas, kai pateikiama n-ojo nario formulė.

2. Žodinis eilės priskyrimas.

Ir, galiausiai, yra pasikartojanti seka, kai pateikiamos taisyklės, kaip skaičiuoti n-ąjį narį iš ankstesnių terminų.

Apsvarstykite

1 pavyzdys Fibonačio seka (XIII a.).

Istorijos nuoroda:

Leonardo iš Pizos (apie 1170 m., Pizoje - apie 1250 m.) - pirmasis didelis matematikas viduramžių Europa. Jis geriausiai žinomas Fibonacci slapyvardžiu.

Daug ką sužinojo, jis išdėstė savo puikioje Abako knygoje (Liber abaci, 1202; iki šių dienų išliko tik papildytas 1228 m. rankraštis). Šioje knygoje yra beveik visa to meto aritmetinė ir algebrinė informacija, pateikta išskirtinai išsamiai ir giliai. „Abako knyga“ smarkiai pakyla virš Europos aritmetinės ir algebrinės XII-XIV amžių literatūros. metodų įvairovė ir stiprumas, užduočių gausa, pristatymo įrodymai. Vėlesni matematikai iš jo plačiai sėmėsi problemų ir jų sprendimo būdų. Pagal pirmąją knygą daugelis Europos matematikų kartų studijavo Indijos pozicinių skaičių sistemą.

Pateikiami pirmieji du terminai, o kiekvienas paskesnis terminas yra dviejų ankstesnių terminų suma

vienas; vienas; 2; 3; penki; 8; 13; 21; 34; 55; ... yra keli pirmieji Fibonačio sekos nariai.

Ši seka pateikiama rekursyviai, n-asis narys priklauso nuo dviejų ankstesnių.

2 pavyzdys

Šioje sekoje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis už ankstesnį 2. Tokia seka vadinama aritmetine progresija.

Skaičiai 1, 3, 5, 7... yra keli pirmieji šios sekos nariai.

Pateiksime dar vieną pasikartojančios sekos priskyrimo pavyzdį.

3 pavyzdys

Seka pateikiama taip:

Kiekvienas paskesnis šios sekos narys gaunamas ankstesnįjį padauginus iš to paties skaičiaus q. Tokia seka turi ypatingą pavadinimą – geometrinę progresiją. Aritmetinės ir geometrinės progresijos bus mūsų studijų objektai kitose pamokose.

Raskime kai kuriuos nurodytos sekos narius, kai b=2 ir q=3.

Skaičiai 2; 6; aštuoniolika; 54; 162 ... yra keli pirmieji šios sekos nariai.

Įdomu tai, kad šią seką galima nurodyti ir analitiškai, t.y., galite pasirinkti formulę. Šiuo atveju formulė bus tokia.

Iš tiesų: jei n=1, tai ; jei n=2, tai ; jei n = 3, tada ir tt

Taigi teigiame, kad ta pati seka gali būti pateikta ir analitiškai, ir pakartotinai.

7. Pamokos santrauka

Taigi, mes apsvarstėme, kas yra skaitinė seka ir kaip ją nustatyti.

Kitoje pamokoje susipažinsime su skaitinių sekų savybėmis.

1. Makarychev Yu. N. ir kt.Algebra 9 klasė (vadovėlis vidurinei mokyklai).-M.: Išsilavinimas, 1992 m.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra 9 klasei su gilinimu. studijuoti matematika.-M.: Mnemozina, 2003 m.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Papildomi skyriai prie mokyklinio algebros vadovėlio 9.-M .: Švietimas, 2002 m.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebros uždavinių rinkinys 8-9 klasėms ( pamoka mokyklų ir klasių mokiniams su gilinimu. studijuoti matematika).-M.: Išsilavinimas, 1996 m.

5. Mordkovich A. G. Algebra 9 klasė, vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9 klasė, užduočių knygelė švietimo įstaigoms. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazeris G. I. Matematikos istorija mokykloje. 7-8 klasės (vadovas mokytojams).-M.: Švietimas, 1983 m.

1. Kolegijos skyrius. ru matematikoje.

2. Gamtos mokslų portalas.

3. Eksponentinis. ru Mokomoji matematinė svetainė.

1. Nr. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. ir kt. Algebra 9 klasė).

2. Nr. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebros uždavinių rinkinys 8-9 klasėms).

Algebra. 9 klasė
32 pamoka
Data:_____________
Mokytojas: Gorbenko Alena Sergeevna
Tema: Skaičių seka, jos nustatymo būdai ir savybės
Pamokos tipas: kombinuotas
Pamokos tikslas: pateikti skaitinės sekos sampratą ir apibrėžimą, apsvarstyti būdus
skaitinių sekų priskyrimai
Užduotys:
Edukacinis: supažindinti studentus su skaitinės sekos ir nario samprata
skaitinė seka; susipažinti su analitiniais, žodiniais, pasikartojančiais ir
grafiniai skaitinės sekos nustatymo būdai; apsvarstykite skaičių tipus
sekos; pasirengimas EAEA;
Ugdomas: lavinamas matematinis raštingumas, mąstymas, skaičiavimo technikos, gebėjimai
palyginimai renkantis formulę; ugdyti susidomėjimą matematika;
Išsilavinimas: savarankiškos veiklos įgūdžių ugdymas; aiškumas ir
organizuotumas darbe; suteikti kiekvienam mokiniui sėkmės;
Įranga: mokyklinės prekės, lenta, kreida, vadovėlis, dalomoji medžiaga.
Per užsiėmimus
aš. Laiko organizavimas
 Abipusis pasisveikinimas;
 Pravaikštų taisymas;
 Pamokos temos paskelbimas;
 Mokinių kėlimas pamokos tikslų ir uždavinių.
Seka yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka gali
sudaryti iš skaičių, taškų, funkcijų, vektorių ir kt.
Šiandien pamokoje susipažinsime su „skaitinės sekos“ sąvoka, išsiaiškinsime ką
gali būti sekų, susipažinkime su garsiosiomis sekomis.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas.
Ar žinote funkcijas, apibrėžtas visoje skaičių eilutėje arba jos ištisinėje
III.
intervalai:
tiesinė funkcija y \u003d kx + v,
kvadratinė funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Pasiruošimas naujų žinių suvokimui
tiesioginis proporcingumas y \u003d kx,
atvirkštinis proporcingumas y \u003d k / x,
kubinė funkcija y = x3,
,
Tačiau yra funkcijų, apibrėžtų kituose rinkiniuose.
Pavyzdys. Daugelis šeimų turi paprotį, savotišką ritualą: per vaiko gimtadienį
tėvai jį atveda durų rėmas ir iškilmingai švęsti ant jo gimtadienio žmogaus augimą.
Vaikas auga, o bėgant metams ant staktos atsiranda ištisos kopėčios ženklų. Trys, penki, du: tai yra
augimo seka iš metų į metus. Tačiau yra ir kita seka, būtent
jos nariai kruopščiai užrašyti prie serifų. Tai augimo verčių seka.
Abi sekos yra susijusios viena su kita.
Antrasis gaunamas iš pirmojo pridedant.
Augimas yra visų ankstesnių metų pelno suma.
Apsvarstykite dar keletą klausimų.
Užduotis 1. Sandėlyje yra 500 tonų anglies, kasdien atvežama po 30 t. Kiek bus anglies
sandėlyje per 1 dieną? 2 diena? 3 diena? 4 diena? 5 diena?
(Mokinių atsakymai rašomi lentoje: 500, 530, 560, 590, 620).
2 užduotis. Intensyvaus augimo laikotarpiu žmogus vidutiniškai paauga 5 cm per metus. Dabar augimas
studentas S. yra 180 cm. Kokio ūgio jis bus 2026 m.? (2m 30 cm). Bet taip neturi būti
gal būt. Kodėl?
3 užduotis. Kiekvieną dieną kiekvienas gripu sergantis žmogus gali užkrėsti dar 4 žmones.
Po kiek dienų susirgs visi mūsų mokyklos mokiniai (300 žmonių)? (po 4 dienų).
Tai yra funkcijų, apibrėžtų natūraliųjų skaičių aibėje – skaitinių – pavyzdžiai
sekos.
Pamokos tikslas: rasti būdų, kaip rasti bet kurį sekos narį.
Pamokos tikslai: sužinokite, kas yra skaitinė seka ir kaip
sekos.
IV. Naujos medžiagos mokymasis
Apibrėžimas: skaitinė seka yra funkcija, apibrėžta rinkinyje
Natūralūs skaičiai (sekos sudaro tokius gamtos elementus, kurie
gali būti sunumeruoti).
Skaičių sekos samprata atsirado ir vystėsi dar gerokai prieš sukuriant doktriną apie
funkcijas. Čia yra begalinių skaičių sekų, žinomų anksčiau, pavyzdžiai
antikvariniai daiktai:
1, 2, 3, 4, 5, : natūraliųjų skaičių seka;
2, 4, 6, 8, 10, : lyginių skaičių seka;
1, 3, 5, 7, 9, : nelyginių skaičių seka;
1, 4, 9, 16, 25, : natūraliųjų skaičių kvadratų seka;
2, 3, 5, 7, 11, : pirminių skaičių seka;
,
1,
Kiekvienos iš šių serijų narių skaičius yra begalinis; pirmos penkios sekos
, : natūraliųjų skaičių atvirkštinių skaičių seka.
,
monotoniškai didėja, pastaroji monotoniškai mažėja.

Pavadinimas: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,: sekos nario eilės numeris.
(yn) seka, yn-tasis sekos narys.
(an) seka, n-asis sekos narys.
an1 yra ankstesnis sekos narys,
+1 paskesnis sekos narys.
Sekos yra baigtinės ir begalinės, didėjančios ir mažėjančios.
Užduotys mokiniams: Užrašykite pirmus 5 sekos narius:
Nuo pirmojo natūraliojo skaičiaus padidinkite 3.
Nuo 10 padidinkite 2 kartus ir sumažinkite 1.
Nuo skaičiaus 6 pakaitomis padidinkite 2 ir padidinkite 2 kartus.
Šios skaičių eilutės taip pat vadinamos skaičių sekomis.
Sekos nustatymo metodai:
žodinis būdas.
Sekos taisyklės aprašomos žodžiais, be formulių arba
kai tarp sekos elementų nėra dėsningumų.
1 pavyzdys. Pirminių skaičių seka: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2 pavyzdys. Savavališka skaičių rinkinys: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
3 pavyzdys. Lyginių skaičių 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analitiniu būdu.
Bet kuris n-asis sekos elementas gali būti nustatytas naudojant formulę.
1 pavyzdys. Lyginių skaičių seka: y = 2n.
2 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių kvadrato seka: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
3 pavyzdys. Stacionari seka: y = C; C, C, C, ..., C, ...
ypatinga byla: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4 pavyzdys. Seka y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekursyvus būdas.
Nurodyta taisyklė, leidžianti apskaičiuoti n-ąjį sekos elementą if
žinomi ankstesni jo elementai.
1 pavyzdys. Aritmetinė progresija: a1=a, an+1=an+d, kur a ir d yra duotus skaičius, d
aritmetinės progresijos skirtumas. Tegu a1=5, d=0,7, tada aritmetinė progresija
atrodys taip: 5; 5,7; 6,4; 7.1; 7,8; 8,5; ...
2 pavyzdys. Geometrinė progresija: b1= b, bn+1= bnq, kur b ir q yra pateikti skaičiai, b
0,
0; q yra vardiklis geometrinė progresija. Tegul b1=23, q=½, tada geometrinė
q
progresija atrodys taip: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ...
4) Grafinis būdas. Skaitmeninė seka
pateikta grafiku, kuris yra
atskirti taškai. Šių taškų abscisės yra natūralios
skaičiai: n=1; 2; 3; 4; ... Ordinatės – narių vertybės
sekos: a1; a2; a3; a4;…
Pavyzdys: Užrašykite visus penkis skaičių sekos narius,
pateikta grafiniu būdu.
Sprendimas.
Kiekvienas šios koordinačių plokštumos taškas turi
koordinates (n; an). Užrašykite pažymėtų taškų koordinates
kylanti abscisė n.
Gauname: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Todėl a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Atsakymas: 3; vienas; 4; 6; 7.
V. Pirminis tiriamos medžiagos konsolidavimas
1 pavyzdys. Parašykite galimą n-ojo sekos elemento formulę (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Sprendimas.
a) Tai yra seka nelyginiai skaičiai. Analitiškai ši seka gali būti
nustatyta formule y = 2n+1.
b) Tai yra skaitinė seka, kurioje kitas elementas yra didesnis nei ankstesnis
4. Analitiškai šią seką galima pateikti formule y = 4n.
2 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius dešimt kartotinės sekos elementų: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, jei n = 3, 4, 5, 6, ... .
Sprendimas.
Kiekvienas paskesnis šios sekos elementas yra lygus ankstesnių dviejų sumai
elementai.
y1 = 1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Apibendrinant pamoką. Atspindys
1. Kas tau sekėsi atlikti užduotį?
2. Ar darbas buvo koordinuotas?
3. Kas, jūsų nuomone, nepasiteisino?

Skaitinė seka yra ypatingas skaitinės funkcijos atvejis, todėl sekoms taip pat atsižvelgiama į daugybę funkcijų savybių.

1. Apibrėžimas . Pasekmė ( y n} vadinamas didėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis už ankstesnį:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Apibrėžimas. Seka ( y n} vadinamas mažėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis už ankstesnį:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Didėjančias ir mažėjančias sekas vienija bendras terminas – monotoninės sekos.

Pavyzdžiui: y 1 = 1; y n= n 2… yra didėjanti seka. y 1 = 1; yra mažėjanti seka. y 1 = 1; – ši seka yra nedidėjanti, nemažėjanti.

4. Apibrėžimas. Seka vadinama periodine, jei egzistuoja natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.

5. Seka vadinama apribota iš apačios, jei visi jos nariai yra bent koks nors skaičius.

6. Sakoma, kad seka yra apribota iš viršaus, jei visi jos nariai yra ne daugiau kaip koks nors skaičius.

7. Seka vadinama apribota, jei ji apribota ir aukščiau, ir apačioje, t.y. yra teigiamas skaičius, kad visi nurodytos sekos nariai neviršytų šio skaičiaus absoliučia reikšme. (Tačiau ribojimas iš abiejų pusių nebūtinai reiškia, kad jis yra baigtinis.)

8. Seka gali turėti tik vieną ribą.

9. Bet kuri nemažėjanti seka, apribota aukščiau, turi ribą (lim).

10. Bet kuri toliau apribota nedidėjanti seka turi ribą.

Sekos riba yra taškas (skaičius), šalia kurio yra dauguma sekos narių, jie labai arti prie šios ribos, bet nepasiekia.

Geometriniai ir aritmetinė progresija yra ypatingi sekos atvejai.

Sekos nustatymo metodai:

Galima nustatyti sekas Skirtingi keliai, tarp kurių ypač svarbūs trys: analitinis, aprašomasis ir pasikartojantis.

1. Seka pateikiama analitiškai, jei pateikiama jos n-ojo nario formulė:

Pavyzdys. yn \u003d 2n - 1 - nelyginių skaičių seka: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Aprašomasis skaitinės sekos nustatymo būdas yra paaiškinimas, iš kokių elementų seka sudaryta.

1 pavyzdys. "Visi sekos nariai yra lygūs 1." Tai reiškia, Mes kalbame apie stacionarią seką 1, 1, 1, …, 1, ….

2 pavyzdys. "Seka susideda iš visų pirminių skaičių didėjimo tvarka." Taigi, pateikiama seka 2, 3, 5, 7, 11, …. Naudodami šį sekos nustatymo metodą šis pavyzdys sunku atsakyti, kam lygus, tarkime, 1000-asis sekos elementas.

3. Pasikartojantis sekos apibūdinimo būdas yra tai, kad nurodoma taisyklė, leidžianti apskaičiuoti n-ąjį sekos narį, jei žinomi ankstesni jos nariai. Rekursyvaus metodo pavadinimas kilęs iš Lotyniškas žodis recurrere – sugrįžti. Dažniausiai tokiais atvejais nurodoma formulė, leidžianti išreikšti n-ąjį sekos narį ankstesniųjų atžvilgiu ir nurodomi 1–2 pradiniai sekos nariai.

1 pavyzdys. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, jei n = 2, 3, 4,….

Čia y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Matyti, kad šiame pavyzdyje gautą seką galima nurodyti ir analitiškai: yn = 4n – 1.

2 pavyzdys y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 jei n = 3, 4,….

Čia: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šiame pavyzdyje sudaryta seka yra specialiai ištirta matematikoje, nes ji turi seriją įdomių savybių ir programas. Ji vadinama Fibonačio seka – pagal italų matematiką XIII a. Fibonačio seką rekursyviai apibrėžti labai lengva, bet analitiškai labai sunku. n Fibonačio skaičius išreiškiamas eilės skaičiumi pagal šią formulę.

Iš pirmo žvilgsnio formulė n Fibonačio skaičius atrodo neįtikėtinas, nes formulėje, nurodančioje natūraliųjų skaičių seką, yra kvadratinės šaknys, bet jūs galite patikrinti „rankiniu būdu“ šios formulės galiojimą pirmiesiems keliems n.

Fibonačio istorija:

Fibonacci (Leonardas Pizietis), m. 1175–1250

italų matematikas. Gimė Pizoje, vėlyvaisiais viduramžiais tapo pirmuoju didžiuoju Europos matematiku. Į matematiką jį atvedė praktinis poreikis nustatyti verslo kontaktai. Jis išleido savo knygas apie aritmetiką, algebrą ir kitas matematines disciplinas. Iš musulmonų matematikų jis sužinojo apie Indijoje išrastą ir arabų pasaulyje jau priimtą skaičių sistemą ir įsitikino jos pranašumu (šie skaičiai buvo šiuolaikinių arabiškų skaitmenų pirmtakai).

Leonardo iš Pizos, žinomas kaip Fibonacci, buvo pirmasis iš didžiųjų Europos vėlyvųjų viduramžių matematikų. Gimęs Pizoje turtingoje pirklio šeimoje, į matematiką įstojo vien dėl praktinio poreikio užmegzti verslo ryšius. Jaunystėje Leonardo daug keliavo, lydėdamas tėvą į verslo keliones. Pavyzdžiui, žinome apie jo ilgą viešnagę Bizantijoje ir Sicilijoje. Tokių kelionių metu jis daug bendraudavo su vietos mokslininkais.

Skaičių seka, kuri šiandien vadinama jo vardu, išaugo iš triušių problemos, kurią Fibonacci išdėstė savo knygoje „Liber abacci“, parašyta 1202 m.:

Vyras įmetė porą triušių į aptvarą, iš visų pusių apsuptą siena. Kiek porų triušių ši pora gali atsivesti per metus, jei žinoma, kad kiekvieną mėnesį, pradedant nuo antrojo, kiekviena triušių pora užaugina po vieną porą?

Galite įsitikinti, kad porų skaičius per ateinančius dvylika mėnesių bus atitinkamai 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Kitaip tariant, triušių porų skaičius sukuria seriją, kurios kiekvienas terminas yra ankstesnių dviejų suma. Jis žinomas kaip Fibonačio serija, o patys skaičiai yra Fibonačio skaičiai. Pasirodo, ši seka turi daug matematiškai įdomių savybių. Štai pavyzdys: galite padalyti liniją į du segmentus, kad santykis tarp didesnio ir mažesnio segmento būtų proporcingas visos linijos ir didesnio segmento santykiui. Šis proporcingumo koeficientas, maždaug lygus 1,618, yra žinomas kaip aukso pjūvis. Renesanso laikais buvo manoma, kad ši proporcija, stebima architektūrinėse struktūrose, labiausiai džiugina akį. Jei iš Fibonačio serijos paimsite iš eilės poras ir padalinsite daugiau nuo kiekvienos poros iki mažesnės, jūsų rezultatas palaipsniui priartės prie aukso pjūvio.

Nuo tada, kai Fibonacci atrado savo seką, buvo rasta net gamtos reiškinių, kuriuose ši seka, atrodo, vaidina svarbų vaidmenį. Vienas iš jų yra filotaksis (lapų išdėstymas) - taisyklė, pagal kurią, pavyzdžiui, sėklos yra saulėgrąžų žiedyne. Saulėgrąžų sėklos yra išdėstytos dviem spiralėmis. Skaičiai, nurodantys sėklų skaičių kiekvienoje spiralėje, yra nuostabios matematinės sekos nariai. Sėklos yra išdėstytos dviem spiralių eilėmis, iš kurių viena eina pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš. O koks sėklų skaičius kiekvienu atveju? 34 ir 55.

1 užduotis:

Parašykite pirmuosius penkis sekos narius.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

ir n \u003d 2 n + 1/2 n

2 užduotis:

Parašykite natūraliųjų skaičių sekos, kuri yra 3 kartotiniai, bendrojo nario formulę.

Atsakymas: 0,3,6,9,12,15,.... 3n ir n = 3n

3 užduotis:

Parašykite natūraliųjų skaičių sekos, kurią padalijus iš 4, bendrojo nario formulę sudaro 1.

Atsakymas: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 ir n = 4n+1

Nr. 19. Funkcija.

Funkcija (rodymas, operatorius, transformacija) – matematinė sąvoka, atspindinti aibių elementų santykį. Galima sakyti, kad funkcija yra „dėsnis“, pagal kurį kiekvienam vienos aibės elementui (vadinama apibrėžimo sritimi) priskiriamas koks nors kitos aibės elementas (vadinamas reikšmių sritimi).

Funkcija yra vieno priklausomybė kintamasis iš kito. Kitaip tariant, kiekių santykis.

Matematinė funkcijos samprata išreiškia intuityvią idėją, kaip vienas dydis visiškai lemia kito dydžio vertę. Taigi kintamojo x reikšmė vienareikšmiškai apsprendžia reiškinio reikšmę, o mėnesio reikšmė vienareikšmiškai – sekančio mėnesio reikšmę, ir bet kurį žmogų galima palyginti su kitu žmogumi – jo tėvu. Panašiai kai kurie iš anksto numatyti algoritmai, atsižvelgiant į skirtingus įvesties duomenis, sukuria tam tikrus išvesties duomenis.

Dažnai terminas „funkcija“ reiškia skaitinę funkciją; tai yra funkcija, kuri vienus skaičius suderina su kitais. Šios funkcijos yra patogiai pavaizduotos paveiksluose grafikų pavidalu.

Galima pateikti kitą apibrėžimą. Funkcija yra specifinė veiksmas per kintamąjį.

Tai reiškia, kad paimame reikšmę , atliekame su ja tam tikrus veiksmus (pavyzdžiui, paverčiame kvadratu arba apskaičiuojame logaritmą) – ir gauname reikšmę .

Pateikiame dar vieną funkcijos apibrėžimą – tą, kuris dažniausiai randamas vadovėliuose.

Funkcija yra dviejų aibių atitikimas, kai kiekvienas pirmosios aibės elementas atitinka vieną ir tik vieną antrojo rinkinio elementą.

Pavyzdžiui, kiekvieno funkcija tikras numeris atitinka dvigubai didesnį skaičių nei .

Kai kurių F. elementų aibė, pakeista x, vadinama jos apibrėžimo sritimi, o kai kurių F. elementų aibė y – jos reikšmių diapazonu.

Terminų istorija:

Terminą „funkcija“ (šiek tiek siauresne prasme) pirmasis pavartojo Leibnicas (1692). Savo ruožtu Johanas Bernoulli laiške tam pačiam Leibnicui šį terminą vartojo tam tikra prasme, artimesne šiuolaikinei. Iš pradžių funkcijos sąvoka nesiskyrė nuo analitinės reprezentacijos sąvokos. Vėliau atsirado funkcijos apibrėžimas, kurį pateikė Euleris (1751), vėliau - Lacroix (1806) - beveik m. moderni forma. Galiausiai, bendras funkcijos apibrėžimas (in moderni forma, bet skaitinėms funkcijoms) pateikė Lobačevskis (1834) ir Dirichlet (1837). KAM pabaigos XIX amžiuje funkcijos samprata peraugo skaitinių sistemų rėmus. Pirmosios tai padarė vektorinės funkcijos, Frege'as netrukus pristatė logines funkcijas (1879 m.), o po aibių teorijos atsiradimo Dedekindas (1887) ir Peano (1911) suformulavo šiuolaikinį universalų apibrėžimą.

Nr. 20. Funkcijos nustatymo būdai.

Yra 4 būdai apibrėžti funkciją:

1. lentelės Gana įprasta, yra nustatyti atskirų lentelę

argumentų reikšmės ir jas atitinkančios funkcijų reikšmės. Šis funkcijos apibrėžimo metodas naudojamas, kai funkcijos sritis yra diskreti baigtinė aibė.

Patogu, kai f yra baigtinė aibė, bet kai f yra begalinė, nurodomos tik pasirinktos poros (x, y).

Naudojant funkcijos apibrėžimo lentelės metodą, galima apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmes, kurių nėra lentelėje, atitinkančias tarpines argumento reikšmes. Norėdami tai padaryti, naudokite interpoliacijos metodą.

Privalumai: tikslumas, greitis, lengva rasti verčių lentelėje norimą vertę funkcijas. Funkcijų nurodymo lentelės būdo pranašumai yra tai, kad jis leidžia iš karto nustatyti tam tikras konkrečias reikšmes be papildomų matavimų ar skaičiavimų.

trūkumai: neužbaigtumas, neaiškumas. Kai kuriais atvejais lentelė neapibrėžia funkcijos iki galo, o tik kai kurioms argumento reikšmėms ir nepateikia vaizdinio funkcijos pasikeitimo pobūdžio, atsižvelgiant į argumento pasikeitimą.

2. analitinis(formulės). Dažniausiai įstatymą, nustatantį ryšį tarp

argumentas ir funkcija, nurodomi formulėmis. Toks funkcijos apibrėžimo būdas vadinamas analitiniu. Tai svarbiausia MA (matematinei analizei), nes MA metodai (diferencialinis, integralinis skaičiavimas) siūlo tokį nustatymo būdą. Tą pačią funkciją galima pateikti skirtingomis formulėmis: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Kartais į įvairios dalys iš jo sričių, apibrėžtą funkciją galima pateikti įvairiomis formulėmis f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Dažnai naudojant šį funkcijos apibrėžimo būdą apibrėžimo apimtis nenurodoma, tada apibrėžimo sritis suprantama kaip gamtos zona apibrėžimai, t.y. visų x reikšmių rinkinys, kurio funkcija įgyja tikrąją reikšmę.

Šis metodas leidžia kiekvienai argumento x skaitinei reikšmei tiksliai arba tam tikru tikslumu rasti atitinkamą funkcijos y skaitinę reikšmę.

Ypatingas analitinio funkcijos apibrėžimo būdo atvejis yra funkcijos apibrėžimas lygtimi, kurios formos F(x,y)=0 (1) Jei ši lygtis turi savybę, kad ∀ x∈D atitinka tik y, toks F(x,y)=0, tada sakome, kad D lygtis (1) netiesiogiai apibrėžia funkciją. Kitas konkretus funkcijos apibrėžimo atvejis yra parametrinis, su kiekviena pora ( x,y)∈f nustatyti naudojant porą funkcijų x=ϕ( t),y=ψ( t) kur t∈M.

Pateikiamas skaitinės sekos apibrėžimas. Nagrinėjami be galo didėjančių, konvergencinių ir besiskiriančių sekų pavyzdžiai. Nagrinėjama seka, kurioje yra visi racionalieji skaičiai.

Apibrėžimas .
Skaitmeninė seka (x n) vadinamas dėsniu (taisykle), pagal kurį kiekvienam natūraliajam skaičiui n = 1, 2, 3, . . . priskiriamas koks nors skaičius x n.
Elementas x n vadinamas n-asis narys arba sekos elementas.

Seka žymima kaip n-asis narys, įterptas į riestinius skliaustus: . Taip pat galima sekantį užrašą: . Jie aiškiai teigia, kad indeksas n priklauso natūraliųjų skaičių aibei ir kad pati seka turi begalinį narių skaičių. Štai keletas sekų pavyzdžių:
, , .

Kitaip tariant, skaitinė seka yra funkcija, kurios sritis yra natūraliųjų skaičių aibė. Elementų skaičius sekoje yra begalinis. Tarp elementų taip pat gali būti narių, turinčių tos pačios vertybės. Taip pat seka gali būti laikoma sunumeruota skaičių rinkiniu, susidedančiu iš begalinio skaičiaus narių.

Mus daugiausia domins klausimas – kaip sekas elgiasi, kai n linkusi į begalybę: . Ši medžiaga pateikiama skyriuje Sekos riba – pagrindinės teoremos ir savybės. Ir čia pažvelgsime į keletą sekų pavyzdžių.

Sekos pavyzdžiai

Be galo didėjančių sekų pavyzdžiai

Panagrinėkime seką. Bendras šios sekos terminas yra . Parašykime keletą pirmųjų terminų:
.
Matyti, kad augant skaičiui n, elementai neribotai didėja link teigiamų reikšmių. Galime sakyti, kad ši seka linkusi: ties .

Dabar apsvarstykite seką su bendru terminu . Štai keletas pirmųjų jos narių:
.
Didėjant skaičiui n, šios sekos elementų absoliuti reikšmė didėja neribotą laiką, bet neturi pastovaus ženklo. Tai yra, ši seka linkusi: ties .

Sekų, konverguojančių į baigtinį skaičių, pavyzdžiai

Panagrinėkime seką. Jo bendras narys Pirmosios sąlygos yra tokios:
.
Matyti, kad augant skaičiui n šios sekos elementai artėja prie savo ribinės vertės a = 0 : prie . Taigi kiekvienas paskesnis terminas yra arčiau nulio nei ankstesnis. Tam tikra prasme galime manyti, kad yra apytikslė skaičiaus a reikšmė = 0 su klaida. Aišku, kad didėjant n ši paklaida linkusi į nulį, tai yra, pasirinkus n, paklaida gali būti savavališkai maža. Be to, esant bet kuriai klaidai ε > 0 galima nurodyti tokį skaičių N , kad visų elementų, kurių skaičiai yra didesni už N : , skaičiaus nuokrypis nuo ribinės vertės a neviršytų paklaidos ε : .

Toliau apsvarstykite seką. Jo bendras narys Štai keletas pirmųjų jos narių:
.
Šioje sekoje poriniai numeriai yra lygūs nuliui. Nariai su nelyginiu n yra . Todėl, augant n, jų reikšmės artėja prie ribinės vertės a = 0 . Tai taip pat išplaukia iš to, kad
.
Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, galime nurodyti savavališkai mažą paklaidą ε > 0 , kuriam galima rasti tokį skaičių N, kad elementai, kurių skaičiai yra didesni nei N, nukryps nuo ribinės vertės a = 0 verte, neviršijančia nurodytos paklaidos. Todėl ši seka konverguoja į reikšmę a = 0 : prie .

Skirtingų sekų pavyzdžiai

Apsvarstykite seką su šiuo bendru terminu:

Štai jos pirmieji nariai:


.
Galima pastebėti, kad terminai su lyginiais skaičiais:
,
priartėti prie vertės a 1 = 0 . Nariai su nelyginiais skaičiais:
,
priartėti prie vertės a 2 = 2 . Pati seka, n augant, nesiartina į jokią reikšmę.

Seka su terminais, paskirstytais intervale (0;1)

Dabar apsvarstykite įdomesnę seką. Paimkite atkarpą skaičių eilutėje. Padalinkime per pusę. Gauname du segmentus. Leisti būti
.
Kiekvienas segmentas vėl padalintas į pusę. Gauname keturis segmentus. Leisti būti
.
Dar kartą padalinkite kiekvieną segmentą per pusę. Paimkime


.
ir kt.

Dėl to gauname seką, kurios elementai yra paskirstyti atvirame intervale (0; 1) . Kad ir kokį tašką paimtume iš uždaro intervalo , visada galime rasti sekos narius, kurie yra savavališkai arti šio taško arba sutampa su juo.

Tada iš pradinės sekos galima išskirti poseką, kuri susilies į savavališką intervalo tašką . Tai yra, augant skaičiui n, posekos nariai vis labiau artėja prie iš anksto pasirinkto taško.

Pavyzdžiui, taškui a = 0 galite pasirinkti sekančią seką:
.
= 0 .

Dėl a taško = 1 pasirinkite sekančią seką:
.
Šios posekos nariai susilieja į reikšmę a = 1 .

Kadangi yra posekių, kurios susilieja skirtingos reikšmės, tada pati pradinė seka nekonverguoja į jokį skaičių.

Seka, kurioje yra visi racionalieji skaičiai

Dabar sukurkime seką, kurioje yra visi racionalūs skaičiai. Be to, kiekvienas racionalus skaičius bus įtrauktas į tokią seką be galo daug kartų.

Racionalusis skaičius r gali būti pavaizduotas taip:
,
kur yra sveikas skaičius; - natūralus.
Kiekvienam natūraliam skaičiui n turime priskirti skaičių porą p ir q, kad bet kuri p ir q pora būtų įtraukta į mūsų seką.

Norėdami tai padaryti, plokštumoje nubrėžkite p ir q ašis. Nubrėžiame tinklelio linijas per sveikųjų skaičių p ir q reikšmes. Tada kiekvienas šio tinklelio mazgas atitiks racionalus skaičius. Visą racionaliųjų skaičių rinkinį pavaizduos mazgų rinkinys. Turime rasti būdą, kaip sunumeruoti visus mazgus, kad nepraleistume nė vieno mazgo. Tai padaryti nesunku, jei sunumeruosime mazgus pagal kvadratus, kurių centrai yra taške (0; 0) (žr. paveikslėlį). Šiuo atveju apatinės kvadratų dalys su q < 1 mums nereikia. Todėl jie nėra parodyti paveikslėlyje.

Taigi, pirmojo kvadrato viršutinėje pusėje turime:
.
Toliau numeruojame viršutinė dalis kitas kvadratas:

.
Sunumeruojame kito kvadrato viršutinę dalį:

.
ir kt.

Tokiu būdu gauname seką, kurioje yra visi racionalūs skaičiai. Galima pastebėti, kad bet kuris racionalusis skaičius šioje sekoje pasirodo begalę kartų. Iš tiesų, kartu su mazgu, ši seka taip pat apims mazgus , kur yra natūralusis skaičius. Tačiau visi šie mazgai atitinka tą patį racionalųjį skaičių.

Tada iš mūsų sukurtos sekos galime pasirinkti poseką (turinčią begalinį elementų skaičių), kurios visi elementai yra lygūs iš anksto nustatytam racionaliam skaičiui. Kadangi mūsų sukurta seka turi posekių, kurios susilieja skirtingi skaičiai, tada seka nekonverguoja į jokį skaičių.

Išvada

Čia pateikėme tikslų skaitinės sekos apibrėžimą. Taip pat palietėme intuityviomis idėjomis pagrįsto jos konvergencijos klausimą. Tikslus konvergencijos apibrėžimas aptariamas puslapyje Sekos ribos nustatymas. Susijusios savybės ir teoremos aprašytos puslapyje

32 pamoka Data ____________

Algebra

Klasė: 9 "B"

Tema: „Skaičių seka ir jos nustatymo būdai“.

Pamokos tikslas: mokiniai turėtų žinoti, kas yra skaičių seka; skaitinės sekos nustatymo būdai; mokėti atskirti skirtingus skaitinių sekų nurodymo būdus.

Didaktinė medžiaga: dalomoji medžiaga, informaciniai užrašai.

Techninės priemonės mokymasis: pristatymas tema „Skaičių sekos“.

Per užsiėmimus.

1. Organizacinis momentas.

2. Pamokos tikslų išsikėlimas.

Šiandien pamokoje jūs, vaikinai, išmoksite:

Kas yra seka?

Kokių rūšių sekos yra?

Kaip nurodoma skaičių seka?

Sužinokite, kaip parašyti seką naudojant formulę ir daugybę jos elementų.

Išmokite rasti sekos narius.

3. Darbas su studijuojama medžiaga.

3.1. Parengiamasis etapas.

Vaikinai, patikrinkime savo logikos įgūdžius. Pavardinu keletą žodžių, o jūs turėtumėte tęsti:

-Pirmadienis Antradienis,…..

- Sausis Vasaris Kovas…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (klasių sąrašas);

–10,11,12,…99;

Iš vaikinų atsakymų daroma išvada, kad aukščiau pateiktos užduotys yra sekos, tai yra kažkokios sutvarkytos skaičių ar sąvokų serijos, kai kiekvienas skaičius ar sąvoka yra griežtai savo vietoje, o jei nariai sukeisti, seka. bus pažeistas (antradienis, ketvirtadienis, pirmadienis yra tik savaitės dienų sąrašas). Taigi, pamokos tema yra skaitinė seka.

3.1. Naujos medžiagos paaiškinimas. (Demonstracinė medžiaga)

Analizuodami mokinių atsakymus, apibrėžkite skaičių seką ir parodykite, kaip nustatyti skaičių sekas.

(Darbas su vadovėliu p. 66 - 67)

1 apibrėžimas. Funkcija y = f(x), xN vadinama natūralaus argumento arba skaitinės sekos funkcija ir žymima: y = f(n) arba y 1 , y 2 , y 3 , ..., yn , ... arba (yn).

Šiuo atveju nepriklausomas kintamasis yra natūralusis skaičius.

Dažniausiai sekos bus žymimos taip: ( bet n), (b n), (iš n) ir kt.

2 apibrėžimas. Sekos nariai.

Elementai, sudarantys seką, vadinami sekos nariais.

Naujos sąvokos: ankstesnis ir paskesnis sekos narys,

bet 1 …bet P. (1-asis ir n-asis sekos narys)

Skaitmeninės sekos nustatymo metodai.

analitiniu būdu.

Bet koks n-asis elementas sekas galima nustatyti naudojant formulę. (demonstracinė versija)

Išanalizuoti pavyzdžius

1 pavyzdys Lyginių skaičių seka: y = 2n.

2 pavyzdys Natūraliųjų skaičių kvadrato seka: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .

3 pavyzdys Stacionari seka: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Ypatingas atvejis: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

4 pavyzdys. Seka y = 2 n ;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ....

žodinis būdas.

Sekos nustatymo taisyklės aprašomos žodžiais, nenurodant formulių arba kai tarp sekos elementų nėra raštų.

1 pavyzdys. Skaičių aproksimacijosπ.

2 pavyzdys Pirminių skaičių seka: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

3 pavyzdys Skaičių seka, dalijama iš 5.

2 pavyzdys Atsitiktinė skaičių rinkinys: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

3 pavyzdys Lyginių skaičių 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... seka.

rekursyvus būdas.

Pasikartojantis metodas susideda iš taisyklės, leidžiančios apskaičiuoti n-ąjį sekos narį, jei nurodyti keli pirmieji jos nariai (bent vienas pirmasis narys), nurodymas ir formulė, leidžianti apskaičiuoti kitą jos narį iš ankstesnių narių. Terminas pasikartojantis kilęs iš lotyniško žodžio pasikartojantis , tai reiškia grįžk . Skaičiuodami sekos narius pagal šią taisyklę, mes tarsi visą laiką grįžtame atgal, kitą narį skaičiuodami pagal ankstesnįjį. Šio metodo ypatybė yra ta, kad norėdami nustatyti, pavyzdžiui, 100-ąjį sekos narį, pirmiausia turite nustatyti visus ankstesnius 99 narius.

Pavyzdys 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Tegul a 1 =5, tada seka atrodys taip: 5; 5,7; 6,4; 7.1; 7,8; 8,5; ...

2 pavyzdys b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Tegu b 1 =23, tada seka atrodys taip: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ...

3 pavyzdys Fibonačio seka. Ši seka lengvai apibrėžiama rekursyviai: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, jei n = 3, 4, 5, 6, ... . Tai atrodys taip:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (Pšios sekos narys yra lygus dviejų ankstesnių terminų sumai)

Sunku analitiškai apibrėžti Fibonačio seką, bet tai įmanoma. Formulė, pagal kurią nustatomas bet kuris šios sekos elementas, atrodo taip:

Papildoma informacija:

Italų pirklys Leonardo iš Pizos (1180–1240), geriau žinomas Fibonačio slapyvardžiu, buvo svarbus viduramžių matematikas. Šios sekos pagalba Fibonacci nustatė skaičių φ (phi); φ = 1,618033989.

Grafinis būdas

Sekos nariai gali būti pavaizduoti kaip taškai koordinačių plokštumoje. Norėdami tai padaryti, skaičius brėžiamas išilgai horizontalios ašies, o atitinkamo sekos nario reikšmė – išilgai vertikalios ašies.

Norėdami konsoliduoti priskyrimo metodus, prašau pateikti keletą sekų pavyzdžių, kurie nurodomi žodžiu, analitiškai arba pasikartojančiu būdu.

Skaičių sekų rūšys

(Toliau išvardytose sekose yra parengti sekų tipai).

Darbas su vadovėliu p.69-70

1) Didėjantis – jei kiekvienas terminas mažesnis už kitą, t.y. a n a n +1.

2) Mažėjantis – jei kiekvienas narys didesnis už kitą, t.y. a n a n +1 .

3) Begalinis.

4) Galutinis.

5) Pakaitomis.

6) Pastovus (stacionarus).

Didėjanti arba mažėjanti seka vadinama monotoniška.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Darbas su vadovėliu: darykite tai žodžiu Nr. 150, 159 p. 71, 72

3.2. Naujos medžiagos konsolidavimas. Problemų sprendimas.

Žinioms įtvirtinti pavyzdžiai parenkami priklausomai nuo mokinių pasirengimo lygio.

1 pavyzdys Parašykite galimą n-ojo sekos elemento formulę (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Sprendimas.

a) Tai nelyginių skaičių seka. Analitiškai šią seką galima pateikti pagal formulę y = 2n+1.

b) Tai skaitinė seka, kurios sekantis elementas yra 4 daugiau nei ankstesnis. Analitiškai šią seką galima nurodyti formule y = 4n.

2 pavyzdys. Išrašykite pirmuosius dešimt kartotinės sekos elementų: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, jei n = 3, 4, 5, 6, ... .

Sprendimas.

Kiekvienas paskesnis šios sekos elementas yra lygus dviejų ankstesnių elementų sumai.

3 pavyzdys Seka (y n) pateikiama pakartotinai: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Nurodykite šią seką analitiškai.

Sprendimas.

Raskite kelis pirmuosius sekos elementus.

y 3 = 5y 2 -6y 1 = 10-6 = 4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 = 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 = 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Gauname seką: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... kuri gali būti pavaizduota kaip

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; penki; 6; 7... .

Analizuodami seką, gauname tokį dėsningumą: y = 2 n -1 .

4 pavyzdys Duota seka y n =24n+36-5n 2 .

a) Kiek joje yra teigiamų terminų?

b) Raskite didžiausią sekos elementą.

c) Ar šioje sekoje yra mažiausias elementas?

Ši skaitinė seka yra y = -5x 2 +24x+36 formos funkcija, kur x

a) Raskite funkcijos, kuriai -5x 2 +24x+360, reikšmes. Išspręskime lygtį -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 = -1,2.

Parabolės y \u003d -5x 2 +24x + 36 simetrijos ašies lygtį galima rasti pagal formulę x \u003d, gauname: x \u003d 2.4.

Nelygybė -5x 2 +24x+360 galioja -1.2 Šiame intervale yra penki natūralieji skaičiai (1, 2, 3, 4, 5). Taigi duotoje sekoje penki teigiamų elementų sekos.

b) Atrankos metodu nustatomas didžiausias sekos elementas ir jis lygus y 2 =64.

c) Nėra mažiausio elemento.

3.4.Savarankiško darbo užduotys