Kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą, jei žinoma. Aritmetinė progresija

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(penki\); \(8\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga žymima maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Užduočių sprendimas aritmetine progresija

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka, kad būtų išspręsta beveik bet kokia aritmetinės progresijos problema (įskaitant OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
Sprendimas:

	Mums pateikiami pirmieji sekos elementai ir žinome, kad tai aritmetinė progresija. Tai yra, kiekvienas elementas skiriasi nuo gretimo tuo pačiu skaičiumi. Sužinokite, kuris iš jų, atimdamas ankstesnįjį iš kito elemento: \(d=49-62=-13\).
	Dabar galime atkurti savo progresą į norimą (pirmąjį neigiamą) elementą.
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

	Norėdami rasti \(x\), turime žinoti, kiek kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio, kitaip tariant, progresijos skirtumą. Raskime jį iš dviejų žinomų gretimų elementų: \(d=12,5-10=2,5\).
	O dabar be problemų randame tai, ko ieškome: \(x=5+2.5=7.5\).
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

	Turime rasti pirmųjų šešių progresijos narių sumą. Bet mes nežinome jų reikšmių, mums duotas tik pirmasis elementas. Todėl pirmiausia paeiliui apskaičiuojame reikšmes, naudodami mums pateiktą: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ir apskaičiavę šešis mums reikalingus elementus, randame jų sumą.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Prašoma suma rasta.

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).

Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).

Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Norėdami apskaičiuoti pirmųjų dvidešimt penkių elementų sumą, turime žinoti pirmojo ir dvidešimt penktojo narių reikšmes. Mūsų progresija pateikiama pagal n-ojo nario formulę, priklausomai nuo jo skaičiaus (žr. išsamią informaciją). Apskaičiuokime pirmąjį elementą pakeisdami \(n\) vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1–0,6=2,8\)		Dabar suraskime dvidešimt penktą terminą, vietoj \(n\) pakeisdami dvidešimt penkis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25–0,6=84,4\)		Na, o dabar be problemų suskaičiuojame reikiamą sumą.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(keturiolika\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Pabaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek mąstyti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Užduotis labai panaši į ankstesnę. Pradedame spręsti tuo pačiu būdu: pirmiausia randame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Dabar sumos formulėje pakeistume \(d\) ... ir čia iškyla nedidelis niuansas – mes nežinome \(n\). Kitaip tariant, mes nežinome, kiek terminų reikės pridėti. Kaip sužinoti? Pagalvokim. Nustosime pridėti elementų, kai pasieksime pirmąjį teigiamą elementą. Tai yra, jūs turite sužinoti šio elemento numerį. Kaip? Užsirašykime bet kurio aritmetinės progresijos elemento apskaičiavimo formulę: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsų atveju.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Turime, kad \(a_n\) būtų didesnis už nulį. Išsiaiškinkime, dėl ko \(n\) tai atsitiks.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Abi nelygybės puses padalijame iš \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Perkeliame minus vienas, nepamirštant pakeisti ženklų
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Skaičiuojama...
\(n>65 333…\)		…ir paaiškėja, kad pirmasis teigiamas elementas turės skaičių \(66\). Atitinkamai, paskutinis neigiamas turi \(n=65\). Tik tuo atveju, patikrinkime.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Taigi, turime pridėti pirmuosius \(65\) elementus.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šioje užduotyje taip pat reikia rasti elementų sumą, bet pradedant ne nuo pirmojo, o nuo \(26\)-osios. Mes neturime tam formulės. Kaip apsispręsti? Lengva – norėdami gauti sumą nuo \(26\)-osios iki \(42\)-osios, pirmiausia turite rasti sumą nuo \(1\)-osios iki \(42\)-osios, o tada iš jos atimti sumą iš nuo pirmo iki \ (25 \) th (žr. paveikslėlį).
	Mūsų progresijai \(a_1=-33\) ir skirtumui \(d=4\) (juk prie ankstesnio elemento pridedame keturis, kad rastume kitą). Žinodami tai, randame pirmųjų \(42\)-uh elementų sumą.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Dabar pirmųjų \(25\)-ųjų elementų suma.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ir galiausiai apskaičiuojame atsakymą.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau juos galite lengvai rasti.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius yra didesnis (arba mažesnis) už ankstesnįjį tuo pačiu dydžiu.

Ši tema dažnai būna sunki ir nesuprantama. Raidžių indeksai, n-tas progresijos narys, progresijos skirtumas - visa tai kažkaip painu, taip ... Išsiaiškinkime aritmetinės progresijos reikšmę ir viskas tuoj išsispręs.)

Aritmetinės progresijos samprata.

Aritmetinė progresija yra labai paprasta ir aiški sąvoka. Abejoti? Veltui.) Pažiūrėkite patys.

Parašysiu nebaigtą skaičių seką:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Ar galite pratęsti šią eilutę? Kokie skaičiai bus toliau, po penkių? Visi... uh..., trumpai tariant, visi supras, kad skaičiai 6, 7, 8, 9 ir t.t. eis toliau.

Apsunkinkime užduotį. Pateikiu nebaigtą skaičių seką:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Galite pagauti modelį, išplėsti seriją ir pavadinti septintoji eilės numeris?

Jei supratote, kad šis skaičius yra 20 - sveikinu jus! Jūs ne tik jautėte pagrindiniai aritmetinės progresijos taškai, bet ir sėkmingai panaudojo juos versle! Jei nesuprantate, skaitykite toliau.

Dabar išverskime pagrindinius pojūčių dalykus į matematiką.)

Pirmas esminis punktas.

Aritmetinė progresija susijusi su skaičių serijomis. Iš pradžių tai kelia painiavą. Mes įpratę spręsti lygtis, sudaryti grafikus ir visa tai... Ir tada pratęsti seriją, rasti serijos numerį ...

Viskas gerai. Tiesiog progresijos – pirmoji pažintis su nauja matematikos šaka. Skyrius vadinasi „Serija“ ir veikia su skaičių ir posakių serijomis. Pripraskite.)

Antras esminis punktas.

Aritmetinėje progresijoje bet kuris skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.

Pirmajame pavyzdyje šis skirtumas yra vienas. Kad ir kokį skaičių imtumėte, jis bus vienu daugiau nei ankstesnis. Antroje – trys. Bet kuris skaičius yra tris kartus didesnis nei ankstesnis. Tiesą sakant, būtent šis momentas suteikia mums galimybę pagauti modelį ir apskaičiuoti tolesnius skaičius.

Trečias esminis punktas.

Ši akimirka nėra stulbinanti, taip... Bet labai, labai svarbi. Štai jis: kiekvienas progresijos skaičius yra savo vietoje. Yra pirmas numeris, yra septintas, yra keturiasdešimt penktas ir t.t. Jei supainiosite juos atsitiktinai, modelis išnyks. Aritmetinė progresija taip pat išnyks. Tai tik skaičių serija.

Štai ir visa esmė.

Žinoma, naujoje temoje atsiranda naujų terminų ir užrašų. Jie turi žinoti. Priešingu atveju nesuprasite užduoties. Pavyzdžiui, turite nuspręsti, pavyzdžiui:

Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos (a n) narius, jei a 2 = 5, d = -2,5.

Ar tai įkvepia?) Raidės, kai kurios rodyklės... O užduotis, beje, negalėjo būti lengvesnė. Jums tereikia suprasti terminų ir žymėjimo reikšmę. Dabar mes įsisavinsime šį reikalą ir grįšime prie užduoties.

Terminai ir pavadinimai.

Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.

Ši vertė vadinama . Panagrinėkime šią koncepciją išsamiau.

Aritmetinės progresijos skirtumas.

Aritmetinės progresijos skirtumas yra suma, kuria bet koks progresijos skaičius daugiau ankstesnįjį.

Vienas svarbus punktas. Prašome atkreipti dėmesį į žodį "daugiau". Matematiškai tai reiškia, kad gaunamas kiekvienas progresijos skaičius pridedant aritmetinės progresijos skirtumas nuo ankstesnio skaičiaus.

Norėdami apskaičiuoti, tarkime antra eilutės numeriai, būtina Pirmas numerį papildytišis aritmetinės progresijos skirtumas. Skaičiavimui penktoji– skirtumas būtinas papildytiį ketvirta na ir t.t.

Aritmetinės progresijos skirtumas gal būt teigiamas tada kiekvienas serijos skaičius pasirodys tikras daugiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama didėja. Pavyzdžiui:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Čia yra kiekvienas skaičius pridedant teigiamas skaičius, +5 prieš ankstesnįjį.

Skirtumas gali būti neigiamas tada kiekvienas serijos skaičius bus mažiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama (jūs nepatikėsite!) mažėja.

Pavyzdžiui:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Čia taip pat gaunamas kiekvienas skaičius pridedantį ankstesnį, bet jau neigiamą skaičių, -5.

Beje, dirbant su progresija labai naudinga iš karto nustatyti jos pobūdį – ar ji didėja, ar mažėja. Tai labai padeda orientuotis priimant sprendimą, aptikti savo klaidas ir jas ištaisyti, kol dar nevėlu.

Aritmetinės progresijos skirtumas paprastai žymimas raide d.

Kaip rasti d? Labai paprasta. Būtina atimti iš bet kurio serijos skaičiaus ankstesnis numerį. Atimti. Beje, atimties rezultatas vadinamas „skirtumu“.)

Apibrėžkime, pvz. d didėjančiai aritmetinei progresijai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Paimame bet kokį norimos eilutės skaičių, pavyzdžiui, 11. Iš jo atimame ankstesnis numeris tie. 8:

Tai yra teisingas atsakymas. Šiai aritmetinei progresijai skirtumas yra trys.

Galite tiesiog paimti bet koks progresavimo skaičius, nes tam tikrai progresijai d-visada taip pat. Bent kažkur eilės pradžioje, bent jau viduryje, bent jau bet kur. Negalite imti tik pirmojo numerio. Vien dėl to, kad pats pirmasis numeris jokio ankstesnio.)

Beje, tai žinant d=3, rasti septintą šios progresijos skaičių labai paprasta. Prie penkto skaičiaus pridedame 3 – gauname šeštą, bus 17. Prie šešto skaičiaus pridedame tris, gauname septintą skaičių – dvidešimt.

Apibrėžkime d mažėjančiai aritmetinei progresijai:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Primenu, kad, nepaisant požymių, nustatyti d reikia iš bet kurio skaičiaus atimti ankstesnį. Mes pasirenkame bet kokį progresijos skaičių, pavyzdžiui -7. Ankstesnis jo numeris yra -2. Tada:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti bet koks skaičius: sveikasis, trupmeninis, neracionalus, bet koks.

Kiti terminai ir pavadinimai.

Kiekvienas serijos numeris vadinamas aritmetinės progresijos narys.

Kiekvienas progreso narys turi savo numerį. Skaičiai yra griežtai tvarkingi, be jokių gudrybių. Pirma, antra, trečia, ketvirta ir kt. Pavyzdžiui, progresijoje 2, 5, 8, 11, 14, ... du yra pirmasis narys, penki yra antrasis, vienuolika yra ketvirtas, gerai, jūs suprantate...) Prašau aiškiai suprasti - patys skaičiai gali būti visiškai bet koks, visas, trupmeninis, neigiamas, bet koks, bet numeracija- griežtai tvarka!

Kaip parašyti progresą bendra forma? Jokiu problemu! Kiekvienas serijos skaičius parašytas kaip raidė. Aritmetinei progresijai žymėti, kaip taisyklė, naudojama raidė a. Nario numeris rodomas indeksu apačioje dešinėje. Nariai rašomi atskiriami kableliais (arba kabliataškiais), pavyzdžiui:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 yra pirmasis numeris a 3- trečia ir kt. Nieko sudėtingo. Šią seriją galite trumpai parašyti taip: (a n).

Yra progresijos baigtinis ir begalinis.

galutinis progresija turi ribotą narių skaičių. Penki, trisdešimt aštuoni, nesvarbu. Bet tai yra baigtinis skaičius.

Begalinis progresija – turi begalinį narių skaičių, kaip galite spėti.)

Galite parašyti galutinę tokios serijos eigą, visus narius ir tašką pabaigoje:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Arba taip, jei narių daug:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Trumpame įraše turėsite papildomai nurodyti narių skaičių. Pavyzdžiui (dvidešimties narių), taip:

(a n), n = 20

Begalinę eigą galima atpažinti iš elipsės eilutės pabaigoje, kaip šios pamokos pavyzdžiuose.

Dabar jau galite spręsti užduotis. Užduotys paprastos, skirtos tik aritmetinės progresijos prasmės supratimui.

Aritmetinės progresijos užduočių pavyzdžiai.

Pažvelkime atidžiau į aukščiau pateiktą užduotį:

1. Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos narius (a n), jei a 2 = 5, d = -2,5.

Užduotį verčiame į suprantamą kalbą. Duota begalinė aritmetinė progresija. Žinomas antrasis šios progresijos skaičius: a 2 = 5.Žinomas progresavimo skirtumas: d = -2,5. Turime rasti pirmą, trečią, ketvirtą, penktą ir šeštą šios pažangos narius.

Aiškumo dėlei parašysiu seriją pagal problemos būklę. Pirmieji šeši nariai, kai antrasis narys yra penki:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...

a 3 = a 2 + d

Mes pakeičiame išraišką a 2 = 5 Ir d=-2,5. Nepamirškite minuso!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trečias terminas yra mažesnis nei antrasis. Viskas logiška. Jei skaičius didesnis nei ankstesnis neigiamas vertės, todėl pats skaičius bus mažesnis nei ankstesnis. Progresas mažėja. Gerai, atsižvelkime į tai.) Mes svarstome ketvirtąjį savo serijos narį:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Taigi, buvo apskaičiuoti terminai nuo trečio iki šešto. Taip atsirado serija:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Belieka surasti pirmąjį terminą a 1 pagal gerai žinomą antrąjį. Tai žingsnis kita kryptimi, į kairę.) Vadinasi, aritmetinės progresijos skirtumas d neturėtų būti pridėta a 2, bet Atimti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Tai viskas. Atsakymas į užduotį:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Prabėgdamas pažymiu, kad šią užduotį išsprendėme pasikartojantis būdu. Šis baisus žodis reiškia tik progreso nario paiešką pagal ankstesnį (greta esantį) skaičių. Kiti būdai dirbti su progresu bus aptarti vėliau.

Iš šios paprastos užduoties galima padaryti vieną svarbią išvadą.

Prisiminti:

Jei žinome bent vieną aritmetinės progresijos narį ir skirtumą, galime rasti bet kurį šios progresijos narį.

Prisiminti? Ši paprasta išvada leidžia išspręsti daugumą šios temos mokyklos kurso problemų. Visos užduotys sukasi aplink tris pagrindinius parametrus: aritmetinės progresijos narys, progresijos skirtumas, progresijos nario skaičius. Viskas.

Žinoma, visa ankstesnė algebra neatšaukiama.) Prie progresijos pridedamos nelygybės, lygtys ir kiti dalykai. Bet pagal progresą– viskas sukasi aplink tris parametrus.

Pavyzdžiui, apsvarstykite keletą populiarių užduočių šia tema.

2. Parašykite galutinę aritmetinę progresiją kaip eilutę, jei n=5, d=0,4 ir a 1=3,6.

Čia viskas paprasta. Viskas jau duota. Reikia atsiminti, kaip skaičiuojami aritmetinės progresijos nariai, skaičiuojami ir užrašomi. Patartina užduoties sąlygose nepraleisti žodžių: „galutinis“ ir „ n=5". Kad neskaičiuotumėte tol, kol visiškai pamėlynuosite.) Šioje eigoje yra tik 5 (penki) nariai:

a 2 \u003d a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Belieka surašyti atsakymą:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kita užduotis:

3. Nustatykite, ar skaičius 7 bus aritmetinės progresijos narys (a n), jei a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kas žino? Kaip ką nors apibrėžti?

Kaip-kaip... Taip, užrašykite progresą serijos forma ir pažiūrėkite, bus septynetas ar ne! Mes tikime:

a 2 \u003d a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Dabar aiškiai matyti, kad mūsų vos septyni praslydo pro nuo 6,5 iki 7,7! Septyni nepateko į mūsų skaičių seką, todėl septynetas nebus nurodytos progresijos narys.

Atsakymas: ne.

Ir čia yra užduotis, pagrįsta tikra GIA versija:

4. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:

...; 15; X; devyni; 6; ...

Čia yra serija be pabaigos ir pradžios. Nėra narių numerių, jokio skirtumo d. Viskas gerai. Norėdami išspręsti problemą, pakanka suprasti aritmetinės progresijos reikšmę. Pažiūrėkime ir pažiūrėkime, ką galime atrasti iš šios linijos? Kokie yra trijų pagrindinių parametrai?

Narių numeriai? Čia nėra nei vieno numerio.

Bet yra trys skaičiai ir – dėmesio! - žodis "iš eilės" būklės. Tai reiškia, kad skaičiai yra griežtai tvarkingi, be tarpų. Ar yra du šioje eilutėje? kaimyninisžinomi skaičiai? Taip aš turiu! Tai yra 9 ir 6. Taigi galime apskaičiuoti aritmetinės progresijos skirtumą! Iš šešių atimame ankstesnis numeris, t.y. devyni:

Liko tuščių vietų. Koks skaičius bus ankstesnis x? penkiolika. Taigi x galima lengvai rasti paprastu pridėjimu. Prie 15 pridėkite aritmetinės progresijos skirtumą:

Tai viskas. Atsakymas: x=12

Toliau nurodytas problemas sprendžiame patys. Pastaba: šie galvosūkiai nėra skirti formulėms. Tik tam, kad suprastume aritmetinės progresijos reikšmę.) Tiesiog užrašome skaičių-raidžių eilę, žiūrime ir galvojame.

5. Raskite pirmąjį teigiamą aritmetinės progresijos narį, jei a 5 = -3; d = 1,1.

6. Yra žinoma, kad skaičius 5,5 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nustatykite šio nario skaičių n.

7. Yra žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Raskite 3.

8. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x.

9. Traukinys pradėjo judėti iš stoties, palaipsniui didindamas greitį 30 metrų per minutę. Koks bus traukinio greitis po penkių minučių? Atsakymą pateikite km/val.

10. Žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 5; a 6 = -5. Raskite 1.

Atsakymai (netvarkingai): 7,7; 7,5; 9,5; devyni; 0,3; 4.

Viskas pavyko? Nuostabu! Tolesnėse pamokose galite išmokti aritmetinės progresijos aukštesniu lygiu.

Ar ne viskas pavyko? Jokiu problemu. Specialiame 555 skyriuje visos šios problemos suskirstytos į dalis.) Ir, žinoma, aprašyta paprasta praktinė technika, kuri iš karto aiškiai, aiškiai, kaip ant delno, išryškina tokių užduočių sprendimą!

Beje, galvosūkyje apie traukinį yra dvi problemos, dėl kurių žmonės dažnai suklumpa. Vienas – tik progresuojant, o antrasis – bendras visoms matematikos ir fizikos užduotims. Tai matmenų vertimas iš vieno į kitą. Tai parodo, kaip šios problemos turi būti sprendžiamos.

Šioje pamokoje nagrinėjome elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir pagrindinius jos parametrus. To pakanka beveik visoms šios temos problemoms išspręsti. Papildyti dį skaičius, parašyk seriją, viskas bus nuspręsta.

Pirštų sprendimas puikiai tinka labai trumpoms serijos dalims, kaip parodyta šios pamokos pavyzdžiuose. Jei serija ilgesnė, skaičiavimai tampa sunkesni. Pavyzdžiui, jei klausimo 9 užduotyje, pakeiskite "penkios minutės" ant "trisdešimt penkios minutės" problema taps daug blogesnė.)

Taip pat yra užduočių, kurios yra paprastos iš esmės, bet visiškai absurdiškos skaičiavimo požiūriu, pavyzdžiui:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Ir ką, pridėsime 1/6 daug daug kartų?! Ar įmanoma nusižudyti!?

Galite.) Jei nežinote paprastos formulės, pagal kurią per minutę galite išspręsti tokias užduotis. Ši formulė bus kitoje pamokoje. Ir ta problema ten išspręsta. Per minutę.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Taip, taip: aritmetinė progresija tau ne žaislas :)

Na, draugai, jei jūs skaitote šį tekstą, tai vidinis gaubto įrodymas man sako, kad jūs vis dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet jūs tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iškart kibsiu į reikalus.

Norėdami pradėti, pora pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kas bendro tarp šių rinkinių? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tik iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp gretimų skaičių jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju apskritai yra šaknys. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tuo tarpu $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. Tokiu atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir neišsigąskite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos tiesiog vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.

Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar sukeisti numerių.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei rašote kažką panašaus į (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau yra begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad nemažai skaičių eina toliau. Pavyzdžiui, be galo daug. :)

Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
2. mažėja, jei, atvirkščiai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.

Be to, yra taip vadinamos „stacionarios“ sekos – jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:

1. Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
2. Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $d=0$ — šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau nurodytoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti iš dešinėje esančio skaičiaus, o iš skaičiaus kairėje. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.

Progresavimo ir pasikartojimo formulės nariai

Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]

Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie nurodomi tokiu būdu skaičiaus pagalba: pirmasis narys, antrasis narys ir pan.

Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progreso nariai yra susieti pagal formulę:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį laikotarpį ir skirtumą $d$. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galima rasti bet kokį skaičių, tik žinant ankstesnįjį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokį skaičiavimą iki pirmojo termino ir skirtumo:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir rešebnikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.

Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.

Užduotis numeris 1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: (8; 3; -2)

Tai viskas! Atkreipkite dėmesį, kad mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $n=1$ negalėjo būti pakeistas – mes jau žinome pirmąjį terminą. Tačiau pakeitę vienetą įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.

Užduotis numeris 2. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra –40, o septynioliktasis – –50.

Sprendimas. Problemos sąlygą rašome įprastomis sąlygomis:

\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]

Sistemos ženklą dedu, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar atkreipiame dėmesį, kad atėmę pirmąją lygtį iš antrosios lygties (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gausime štai ką:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip tik taip, mes nustatėme progresavimo skirtumą! Belieka rastą skaičių pakeisti bet kurioje sistemos lygtyje. Pavyzdžiui, pirmajame:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrąjį ir trečiąjį terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]

Pasiruošę! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į keistą progresijos savybę, kurią aptikome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vienas iš kito, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Paprasta, bet labai naudinga savybė, kurią tikrai turėtumėte žinoti – jos pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresavimo problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:

Užduotis numeris 3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.

Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]

Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kur turime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: 20.4

Tai viskas! Nereikėjo sudaryti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo nuspręsta vos per porą eilučių.

Dabar panagrinėkime kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso narių paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o jos pirmasis terminas yra neigiamas, tai anksčiau ar vėliau jame atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.

Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma rasti šį momentą „ant kaktos“, nuosekliai rūšiuojant elementus. Dažnai uždaviniai yra suplanuoti taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.

Užduotis numeris 4. Kiek neigiamų narių aritmetinėje progresijoje -38,5; -35,8; …?

Sprendimas. Taigi $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kurių iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti: kiek laiko (t. y. iki kokio natūraliojo skaičiaus $n$) išsaugomas terminų negatyvumas:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinę eilutę reikia paaiškinti. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mums tiks tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16.

Užduotis numeris 5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą pirmuoju ir skirtumu, naudodami standartinę formulę:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar tęsiame analogiją su ankstesne problema. Sužinome, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]

Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje užduotyje viskas buvo sumažinta iki griežtos nelygybės, todėl variantas $n=55$ mums netiks.

Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išmokime dar vieną labai naudingą aritmetinės progresijos savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių. :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Apsvarstykite kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:

Aritmetinės progresijos nariai skaičių tiesėje

Aš konkrečiai atkreipiau dėmesį į savavališkus narius $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne bet kokius $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Nes taisyklė, kurią dabar jums pasakysiu, galioja bet kokiems „segmentams“.

O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime rekursinę formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems nariams:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]

Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]

Na ir kas? Tačiau faktas, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau paveikslėlis gerai iliustruoja prasmę

Progresijos nariai guli tokiu pat atstumu nuo centro

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $((a)_(n))$, jei žinomi gretimi skaičiai:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to, mes galime nukrypti nuo mūsų $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais — ir vis tiek formulė bus teisinga:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktikoje daugelis užduočių yra specialiai „paaštrintos“ aritmetinio vidurkio vartojimui. Pažiūrėk:

Užduotis numeris 6. Raskite visas $x$ reikšmes taip, kad skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ būtų nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).

Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:

\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Rezultatas yra klasikinė kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.

Atsakymas: -3; 2.

Užduotis numeris 7. Raskite $$ reikšmes tokias, kad skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudarytų aritmetinę progresiją (ta tvarka).

Sprendimas. Vėlgi, vidurinį terminą išreiškiame gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:

\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Kita kvadratinė lygtis. Ir vėl dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą gaunate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabus triukas, leidžiantis patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Tarkime, 6 uždavinyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turėtų sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $x=-3$:

\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]

Gavome skaičius -54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:

\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]

Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema išspręsta teisingai. Norintys antrąją užduotį gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisingai.

Apskritai, spręsdami paskutines problemas, aptikome dar vieną įdomų faktą, kurį taip pat reikia atsiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra pirmojo ir paskutinio vidurkis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos būklę. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „konstrukciją“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.

Elementų grupavimas ir suma

Vėl grįžkime prie skaičių eilutės. Atkreipiame dėmesį į keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. verti daug kitų narių:

Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementai

Pabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – $((a)_(k))$ ir $ d$. Tai labai paprasta:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, jei laikysime pradžią du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, o tada pradedame žingsniuoti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, norėdami tolti), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Geriausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:

Tos pačios įtraukos suteikia vienodas sumas

Šio fakto supratimas leis mums išspręsti iš esmės aukštesnio sudėtingumo problemas nei tos, kurias svarstėme aukščiau. Pavyzdžiui, šie:

Užduotis numeris 8. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]

Taigi, mes nežinome progresijos $d$ skirtumo. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]

Tiems, kurie yra bake: aš išėmiau bendrą koeficientą 11 iš antrojo laikiklio. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei atidarysime skliaustus, gausime:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]

Kaip matote, koeficientas su didžiausiu terminu yra 11 - tai teigiamas skaičius, todėl mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:

kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė

Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti pagal standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų atkreipkite dėmesį, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]

Todėl skliausteliuose neskubėjau atversti: originalioje formoje šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kas suteikia mums atrastą skaičių? Su juo reikalinga prekė įgauna mažiausią reikšmę (beje, mes neskaičiavome $((y)_(\min ))$ - to iš mūsų nereikalaujama). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą. :)

Atsakymas: -36

Užduotis numeris 9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Tiesą sakant, turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkite kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos "viduris" – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei šiuo metu negalime gauti $y$ iš skaičių $x$ ir $z$, tai su progresijos galais situacija yra kitokia. Prisiminkite aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$ ką tik rasta. Štai kodėl

Ginčiuodami panašiai, randame likusį skaičių:

Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Užrašykite juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Užduotis numeris 10. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su nurodytais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinoma, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar sunkesnė užduotis, kuri vis dėlto sprendžiama taip pat, kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl tikslumui darome prielaidą, kad įvedus bus lygiai $n$ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Šiuo atveju norima aritmetinė progresija gali būti pavaizduota taip:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42, stovinčių kraštuose vienu žingsniu vienas kito link. , ty. į sekos centrą. Ir tai reiškia, kad

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tada aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]

Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka tik surasti likusius narius:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, jau 9 žingsniu pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstinės užduotys su progresais

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, kaip paprasti: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip gestas. Nepaisant to, būtent tokios užduotys kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

Užduotis numeris 11. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį. Kiek dalių brigada pagamino lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, nudažytas pagal mėnesį, bus didėjanti aritmetinė progresija. Ir:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]

Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Todėl lapkričio mėnesį bus pagamintos 202 dalys.

Užduotis numeris 12. Įrišimo dirbtuvės sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?

Sprendimas. Visi vienodi:

$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$

Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.

Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galime drąsiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progresavimo sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.

Daugelis yra girdėję apie aritmetinę progresiją, bet ne visi gerai žino, kas tai yra. Šiame straipsnyje pateiksime atitinkamą apibrėžimą, taip pat apsvarstysime klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą, ir pateiksime keletą pavyzdžių.

Matematinis apibrėžimas

Taigi, jei kalbame apie aritmetinę ar algebrinę progresiją (šios sąvokos apibrėžia tą patį), tai reiškia, kad yra tam tikra skaičių serija, kuri tenkina šį dėsnį: kas du gretimi eilutės skaičiai skiriasi ta pačia reikšme. Matematiškai tai parašyta taip:

Čia n reiškia elemento a n skaičių sekoje, o skaičius d – progresijos skirtumą (jo pavadinimas išplaukia iš pateiktos formulės).

Ką reiškia žinoti skirtumą d? Apie tai, kokiu atstumu vienas nuo kito yra gretimi skaičiai. Tačiau d žinojimas yra būtina, bet nepakankama sąlyga visai progresijai nustatyti (atstatyti). Turite žinoti dar vieną skaičių, kuris gali būti absoliučiai bet koks nagrinėjamos serijos elementas, pavyzdžiui, 4, a10, tačiau paprastai naudojamas pirmasis skaičius, tai yra 1.

Progresijos elementų nustatymo formulės

Apskritai aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka, kad būtų galima pereiti prie konkrečių problemų sprendimo. Nepaisant to, prieš pateikiant aritmetinę progresiją ir reikės rasti jos skirtumą, pateikiame keletą naudingų formulių, taip palengvinančių tolesnį uždavinių sprendimo procesą.

Nesunku parodyti, kad bet kurį sekos elementą su skaičiumi n galima rasti taip:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Tikrai kiekvienas gali patikrinti šią formulę paprastu išvardinimu: jei pakeičiame n = 1, tada gauname pirmąjį elementą, jei pakeisime n = 2, tada išraiška pateikia pirmojo skaičiaus ir skirtumo sumą ir pan.

Daugelio uždavinių sąlygos sudarytos taip, kad žinomai skaičių porai, kurios skaičiai taip pat pateikti sekoje, reikia atkurti visą skaičių eilutę (rasti skirtumą ir pirmąjį elementą). Dabar šią problemą išspręsime bendrai.

Taigi, tarkime, kad turime du elementus su skaičiais n ir m. Naudodami aukščiau gautą formulę, galime sudaryti dviejų lygčių sistemą:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Nežinomiems dydžiams rasti naudojame gerai žinomą paprastą tokios sistemos sprendimo būdą: poromis atimame kairę ir dešinę dalis, o lygybė lieka galioti. Mes turime:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Taigi, mes pašalinome vieną nežinomą (a 1). Dabar galime parašyti galutinę išraišką, skirtą d nustatyti:

d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m

Gavome labai paprastą formulę: norint apskaičiuoti skirtumą d pagal uždavinio sąlygas, tereikia paimti skirtumų tarp pačių elementų ir jų eilės numerių santykį. Atkreiptinas dėmesys į vieną svarbų dalyką: skirtumai paimami tarp „vyresniųjų“ ir „jaunesnių“ narių, tai yra n> m („vyresnysis“ – reiškia, stovint toliau nuo sekos pradžios, jos absoliuti reikšmė gali būti arba daugiau ar mažiau „jaunesnis“ elementas).

Progresijos skirtumo d išraiška turi būti pakeista į bet kurią iš lygčių uždavinio sprendimo pradžioje, kad būtų gauta pirmojo nario reikšmė.

Mūsų kompiuterinių technologijų raidos amžiuje daugelis moksleivių savo užduočių sprendimus bando rasti internete, todėl dažnai iškyla tokio pobūdžio klausimų: raskite aritmetinės progresijos skirtumą internete. Esant tokiai užklausai, paieškos sistema parodys daugybę tinklalapių, į kuriuos nuėjus reikės įvesti iš sąlygos žinomus duomenis (tai gali būti arba du progresijos nariai, arba kai kurių iš jų suma) ir iš karto gauti atsakymą. Nepaisant to, toks požiūris į problemos sprendimą yra neproduktyvus mokinio tobulėjimo ir jam skirtos užduoties esmės supratimo požiūriu.

Sprendimas nenaudojant formulių

Išspręskime pirmąją problemą, tuo tarpu nenaudosime nė vienos iš aukščiau pateiktų formulių. Tegu pateikiami eilutės elementai: a6 = 3, a9 = 18. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą.

Žinomi elementai yra arti vienas kito iš eilės. Kiek kartų skirtumas d turi būti pridėtas prie mažiausio, kad būtų gautas didžiausias? Tris kartus (pirmą kartą pridėjus d gauname 7 elementą, antrą kartą - aštuntą, galiausiai, trečią kartą - devintą). Kokį skaičių reikia tris kartus pridėti prie trijų, kad gautume 18? Tai yra skaičius penki. Tikrai:

Taigi nežinomas skirtumas yra d = 5.

Žinoma, sprendimas gali būti atliktas naudojant atitinkamą formulę, tačiau tai nebuvo padaryta tyčia. Išsamus problemos sprendimo paaiškinimas turėtų tapti aiškiu ir ryškiu pavyzdžiu, kas yra aritmetinė progresija.

Užduotis panaši į ankstesnę

Dabar išspręskime panašią problemą, bet pakeiskime įvesties duomenis. Taigi, turėtumėte rasti, jei a3 = 2, a9 = 19.

Žinoma, galite vėl griebtis sprendimo metodo „ant kaktos“. Bet kadangi pateikiami serijos elementai, kurie yra gana toli vienas nuo kito, toks būdas tampa nelabai patogus. Tačiau naudodami gautą formulę greitai gausime atsakymą:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Čia mes suapvalinome galutinį skaičių. Kiek šis apvalinimas sukėlė klaidą, galima įvertinti patikrinus rezultatą:

a 9 = 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Šis rezultatas nuo sąlygoje pateiktos vertės skiriasi tik 0,1%. Todėl naudotą apvalinimą iki šimtųjų galima laikyti geru pasirinkimu.

Nario formulės taikymo užduotys

Panagrinėkime klasikinį nežinomojo d nustatymo problemos pavyzdį: raskite aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 12, a5 = 40.

Kai pateikiami du nežinomos algebrinės sekos skaičiai, o vienas iš jų yra elementas a 1 , tada ilgai galvoti nereikia, o iš karto taikyti a n nario formulę. Šiuo atveju turime:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Tikslų skaičių gavome dalindami, todėl nėra prasmės tikrinti apskaičiuoto rezultato tikslumą, kaip buvo padaryta ankstesnėje pastraipoje.

Išspręskime kitą panašų uždavinį: turėtume rasti aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 16, a8 = 37.

Mes naudojame panašų požiūrį į ankstesnį ir gauname:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ką dar turėtumėte žinoti apie aritmetinę progresiją

Be nežinomo skirtumo ar atskirų elementų radimo problemų, dažnai reikia išspręsti pirmųjų sekos narių sumos uždavinius. Šių problemų svarstymas nepatenka į straipsnio temą, tačiau, kad informacija būtų išsamesnė, pateikiame bendrą n serijos skaičių sumos formulę:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Tema "Aritmetinė progresija" nagrinėjama bendrame algebros kurse mokyklose 9 klasėje. Ši tema yra svarbi tolesniam nuodugniam skaičių eilučių matematikos tyrimui. Šiame straipsnyje susipažinsime su aritmetine progresija, jos skirtumu, taip pat su tipinėmis užduotimis, su kuriomis gali susidurti moksleiviai.

Algebrinės progresijos samprata

Skaitinė progresija yra skaičių seka, kurioje kiekvienas paskesnis elementas gali būti gaunamas iš ankstesnio, jei taikomas koks nors matematinis dėsnis. Yra du paprasti progresijos tipai: geometrinė ir aritmetinė, kuri dar vadinama algebrine. Pakalbėkime apie tai išsamiau.

Įsivaizduokite kokį nors racionalųjį skaičių, pažymėkite jį simboliu a 1 , kur indeksas rodo jo eilės skaičių nagrinėjamoje serijoje. Prie 1 pridėkime kitą skaičių, pažymėkime jį d. Tada antrasis serijos elementas gali būti atspindėtas taip: a 2 = a 1 + d. Dabar vėl pridėkite d, gausime: a 3 = a 2 + d. Tęsdami šį matematinį veiksmą, galite gauti visą skaičių eilę, kuri bus vadinama aritmetine progresija.

Kaip galima suprasti iš aukščiau, norėdami rasti n-ąjį šios sekos elementą, turite naudoti formulę: a n = a 1 + (n-1) * d. Iš tiesų, išraiškoje pakeitus n=1, gauname a 1 = a 1, jei n = 2, tai formulė reiškia: a 2 = a 1 + 1*d ir t.t.

Pavyzdžiui, jei aritmetinės progresijos skirtumas yra 5, o a 1 = 1, tai reiškia, kad nagrinėjamo tipo skaičių serija yra tokia: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kaip jūs matote, kiekvienas jo narys yra 5 daugiau nei ankstesnis .

Aritmetinės progresijos skirtumo formulės

Iš aukščiau pateikto nagrinėjamos skaičių sekos apibrėžimo matyti, kad norint ją nustatyti, reikia žinoti du skaičius: a 1 ir d. Pastarasis vadinamas šios progresijos skirtumu. Tai vienareikšmiškai lemia visos serijos elgesį. Iš tiesų, jei d yra teigiamas, tada skaičių eilutė nuolat didės, priešingai, neigiamo d atveju skaičiai eilutėje didės tik modulo, o jų absoliuti reikšmė mažės didėjant skaičiui n.

Kuo skiriasi aritmetinė progresija? Apsvarstykite dvi pagrindines formules, kurios naudojamos šiai vertei apskaičiuoti:

1. d = a n+1 -a n , ši formulė tiesiogiai išplaukia iš nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimo.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ši išraiška gaunama išreiškiant d pagal formulę, pateiktą ankstesnėje straipsnio pastraipoje. Atkreipkite dėmesį, kad ši išraiška tampa neapibrėžta (0/0), jei n=1. Taip yra dėl to, kad norint nustatyti jos skirtumą, būtina žinoti bent 2 serijos elementus.

Šios dvi pagrindinės formulės naudojamos bet kuriai progresijos skirtumo nustatymo problemai išspręsti. Tačiau yra ir kita formulė, apie kurią taip pat reikia žinoti.

Pirmųjų elementų suma

Formulę, kuria remiantis istoriniais įrodymais galima nustatyti bet kokio algebrinės progresijos narių skaičių, pirmą kartą gavo XVIII amžiaus matematikos „princas“ Carlas Gaussas. Vokiečių mokslininkas, dar mokydamasis kaimo mokyklos pradinėse klasėse, pastebėjo, kad norint sudėti natūraliuosius skaičius eilutėje nuo 1 iki 100, pirmiausia reikia susumuoti pirmąjį ir paskutinį elementą (gautoji reikšmė bus lygi iki priešpaskutinio ir antrojo, priešpaskutinio ir trečiojo elementų sumos ir pan.), tada šis skaičius turėtų būti padaugintas iš šių sumų skaičiaus, tai yra, iš 50.

Formulė, atspindinti nurodytą rezultatą konkrečiame pavyzdyje, gali būti apibendrinta į savavališką atvejį. Tai atrodys taip: S n = n/2*(a n + a 1). Atkreipkite dėmesį, kad norint rasti nurodytą reikšmę, nereikia žinoti skirtumo d, jei žinomi du progresijos nariai (a n ir a 1).

1 pavyzdys. Nustatykite skirtumą, žinodami du a1 ir an eilučių narius

Straipsnyje parodysime, kaip taikyti aukščiau nurodytas formules. Pateiksime paprastą pavyzdį: aritmetinės progresijos skirtumas nežinomas, reikia nustatyti, kam jis bus lygus, jei 13 \u003d -5,6 ir 1 \u003d -12,1.

Kadangi žinome dviejų skaitinės sekos elementų reikšmes, o vienas iš jų yra pirmasis skaičius, skirtumui d nustatyti galime naudoti formulę Nr. Turime: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Išraiškoje naudojome reikšmę n=13, nes narys su šiuo eilės numeriu yra žinomas.

Gautas skirtumas rodo, kad progresija didėja, nepaisant to, kad problemos sąlygoje pateikti elementai turi neigiamą reikšmę. Matyti, kad a 13 >a 1 , nors |a 13 |<|a 1 |.

2 pavyzdys. Teigiamos progresijos sąlygos 1 pavyzdyje

Panaudokime ankstesniame pavyzdyje gautą rezultatą, kad išspręstume naują problemą. Jis formuluojamas taip: nuo kokio eilinio skaičiaus progresijos elementai 1 pavyzdyje pradeda įgauti teigiamas reikšmes?

Kaip parodyta, progresija, kai a 1 = -12,1 ir d = 0,54167, didėja, todėl nuo tam tikro skaičiaus skaičiai įgis tik teigiamas reikšmes. Norint nustatyti šį skaičių n, reikia išspręsti paprastą nelygybę, kuri matematiškai užrašoma taip: a n>0 arba, naudodami atitinkamą formulę, perrašome nelygybę: a 1 + (n-1)*d>0. Reikia rasti nežinomąjį n, išreikškime jį: n>-1*a 1 /d + 1. Dabar belieka pakeisti žinomas skirtumo reikšmes ir pirmąjį sekos narį. Gauname: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 arba n>23.338. Kadangi n gali turėti tik sveikąsias reikšmes, iš gautos nelygybės išplaukia, kad bet kurie eilutės nariai, kurių skaičius didesnis nei 23, bus teigiami.

Patikrinkime savo atsakymą naudodami aukščiau pateiktą formulę, kad apskaičiuotume 23 ir 24 šios aritmetinės progresijos elementus. Turime: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (neigiamas skaičius); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (teigiama reikšmė). Taigi gautas rezultatas teisingas: pradedant nuo n=24, visi skaičių eilutės nariai bus didesni už nulį.

3 pavyzdys. Kiek rąstų tilps?

Čia yra viena įdomi problema: kirtimo metu buvo nuspręsta pjautus rąstus sukrauti vieną ant kito, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Kiek rąstų galima sukrauti tokiu būdu žinant, kad iš viso tilps 10 eilių?

Tokiu būdu lankstydami rąstus galima pastebėti vieną įdomų dalyką: kiekvienoje paskesnėje eilutėje bus vienu rąstu mažiau nei ankstesnėje, tai yra algebrinė progresija, kurios skirtumas yra d=1. Darant prielaidą, kad rąstų skaičius kiekvienoje eilutėje yra šios progresijos narys, taip pat atsižvelgiant į tai, kad a 1 = 1 (tik vienas rąstas tilps pačiame viršuje), rasime skaičių a 10 . Turime: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Tai yra, 10-oje eilėje, kuri guli ant žemės, bus 10 rąstų.

Bendrą šios „piramidinės“ konstrukcijos kiekį galima gauti naudojant Gauso formulę. Gauname: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 rąstus.