Kintamoji riba. Sekos riba

FUNKCIJOS IR RIBOS IX

§ 201. Konstantos ir kintamieji. Funkcijos koncepcija

Su funkcijos sąvoka jau esame susidūrę ne kartą. I dalyje apžvelgėme tiesinę, kvadratinę, galią ir trigonometrinės funkcijos. Ankstesnis skyrius buvo skirtas eksponentinių ir logaritminių funkcijų tyrimui. Dabar mes turime padaryti bendra apžvalga ką jau žinome apie funkcijas ir apsvarstykite keletą naujų klausimų.

Stebint įvairius procesus, galima pastebėti, kad juose dalyvaujantys kiekiai elgiasi skirtingai: vieni kinta, kiti išlieka pastovūs. Jei, pavyzdžiui, trikampyje ABC viršūnė B perkeliama išilgai tiesės MN lygiagrečiai pagrindui AC (263 pav.), tai kampų A, B ir C reikšmės nuolat keisis, ir jų suma – aukštis h ir trikampio plotas išliks nepakitęs.

Kitas pavyzdys. Jei kokios nors dujos suspaudžiamos esant pastoviai temperatūrai, tada jų tūris ( V) ir slėgis ( R) pasikeis: sumažės tūris ir padidės slėgis. Šių dydžių sandauga, kaip nustatyta Boyle-Mariotte įstatymu, išliks pastovi:

Vp=c ,

kur su yra kažkoks pastovus.

Visi dydžiai gali būti suskirstyti į konstantas ir kintamuosius.

Bet kuriame procese dalyvaujantys kintamieji paprastai nesikeičia vienas nuo kito nepriklausomai, o glaudžiai susiję vienas su kitu. Pavyzdžiui, suspaudžiant dujas (esant pastoviai temperatūrai), pasikeičia jų tūris, o tai, savo ruožtu, sukelia dujų slėgio pokyčius. Pasikeitus cilindro pagrindo spinduliui, pasikeičia šio pagrindo plotas; pastarasis lemia cilindro tūrio pasikeitimą ir tt Viena iš sklandžių to ar kito proceso matematinio tyrimo užduočių yra nustatyti, kaip kai kurių kintamųjų pasikeitimas įtakoja kitų kintamųjų pokytį.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių. Aukščiau minėtas Boilio dėsnis – Mariotė sako, kad esant pastoviai temperatūrai dujų tūris V kinta atvirkščiai slėgiui R : V = c / p . Jei slėgis yra žinomas, tada pagal šią formulę galima apskaičiuoti dujų tūrį. Panašiai ir formulė S = π r 2 leidžia nustatyti apskritimo S plotą, jei žinomas jo spindulys r . Pagal formulę β = π / 2 - α rasti smailųjį kampą taisyklingas trikampis, jei žinomas kitas šio trikampio smailusis kampas ir kt.

Lyginant du kintamuosius, patogu vieną iš jų laikyti kaip nepriklausomas kintamasis, o kitas kaip priklausomas kintamoji vertė. Pavyzdžiui, apskritimo spindulys r natūralu jį laikyti nepriklausomu kintamuoju ir apskritimo plotu S = π r 2 - priklausomas kintamasis. Panašiai ir dujų slėgis R gali būti laikomas nepriklausomu kintamuoju; tada jo tūris V = c / p bus priklausomas kintamasis.

Kuris iš dviejų kintamųjų turėtų būti pasirinktas kaip priklausomas, o kuris kaip nepriklausomas? Šis klausimas sprendžiamas įvairiais būdais, priklausomai nuo tikslo. Jei, pavyzdžiui, domimės, ką lemia dujų slėgio pokytis esant pastoviai temperatūrai, tai natūralu, kad pjovimas yra nepriklausomas kintamasis, o tūris – priklausomas kintamasis. Šiuo atveju priklausomasis kintamasis V bus išreikštas nepriklausomu kintamuoju R pagal formulę: V = c / p . Jei norime išsiaiškinti dujų suspaudimo pasekmes, tūrį geriau laikyti nepriklausomu kintamuoju, o slėgį – priklausomu kintamuoju. Tada priklausomas kintamasis R bus išreikštas nepriklausomu kintamuoju V formule R = c / V . Bet kuriuo iš šių atvejų du dydžiai yra susiję vienas su kitu, kad kiekvienas galima vertė vienas iš jų atitinka tiksliai apibrėžtą kito vertę.

Jei kiekviena vieno kintamojo reikšmė X tam tikru būdu suderintas su tiksliai apibrėžta kito dydžio verte adresu, tada sakome, kad funkcija duota.

vertė adresu tuo pat metu jie skambina priklausomas kintamasis arba funkcija, ir vertę X - nepriklausomas kintamasis arba argumentas.

Išreikšti ką adresu turi argumentavimo funkciją X , paprastai naudokite užrašą: adresu = f (X ), y = g (x ) , adresu = φ (X ) ir tt (skaitoma: y yra lygus ef iš x, y yra tas pats iš x, y lygus phi iš x ir tt). Raidės pasirinkimas funkcijai nurodyti ( f,g φ ) yra, žinoma, neesminis. Svarbu yra kiekių santykis X ir adresu išreiškia šį laišką.

Vertė, kurią užima funkcija f (X ) adresu x = a , pažymėta f (a ). Jei pvz. f (X ) = x 2 + 1, tada

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (a + 1) = (a + 1) 2 + 1 = a 2 + 2a + 2;

f (2a ) = (2a ) 2 + 1 = 4a 2 + 1

Pratimai

1515. Suspaudžiamos 2 atmosferų slėgio dujos. Kaip tai keičiasi: a) dujų svoris; b) jo tūris; c) jo spaudimas?

1516. Elektros grandine teka srovė. Reostato pagalba keičiame grandinės varžą. Ar tai keičia: a) srovės stiprumą grandinėje; b) įtampa?

1517. Trikampio ABC viršūnė B juda išilgai apskritimo, kurio skersmuo sutampa su šio trikampio pagrindu AC. Kurie dydžiai šiame procese išlieka pastovūs, o kurie keičiasi?

1518.

Surasti) f (0); b) f (a 2); in) f ( 1 / a ); G) f (nuodėmė a ).

1519. Ekspresas f (2a ) per f (a ) funkcijoms:

a) f (X ) = nuodėmė X ; b) f (X ) = tg X ;

Iš įvairių kintamųjų elgesio būdų svarbiausias yra tas, kuriame kintamasis linkęs į tam tikrą ribą. Šiuo atveju kintamojo paimtos reikšmės X, savavališkai priartėti prie kurio nors pastovaus skaičiaus a-šio kintamojo riba. Sakoma, kad kintamasis linkęs, neribotai artėja prie pastovaus skaičiaus a(iki jūsų ribos). Pateiksime atitinkamą apibrėžimą išsamiau.

Kintamasis x linkęs į ribą a (a - pastovus skaičius), jei absoliuti reikšmė skirtumas tarp x ir a tampa savavališkai mažas keičiant kintamąjį.

Tą patį apibrėžimą galima pasakyti ir kitais žodžiais.

Apibrėžimas.Vadinamas pastovus skaičius akintamoji ribax jei - keičiant kintamąjį x, skirtumo tarp x ir a absoliuti reikšmė tampa savavališkai maža.

Faktas, kad numeris a, yra kintamojo riba, rašoma taip:

( - pirmos žodžio limes raidės - riba) arba X-> a

Paaiškinkime, ką reikėtų suprasti žodžiais „vertė tampa savavališkai maža“, kurie yra ribos apibrėžime. Paimkime savavališką teigiamą skaičių , tada, jei, pradedant nuo tam tikro kintamojo pasikeitimo momento X, vertybės taps ir taps mažesnės .

Kintamasis linkęs į ribą, jei yra teigiamas . pradedant nuo tam tikro kintamojo pasikeitimo momento, nelygybė išsipildo .

Ribos apibrėžimas turi paprastą geometrinę reikšmę: nelygybę reiškia, kad jis yra taško kaimynystėje, t.y. intervale (26 pav.). Taigi ribos apibrėžimas in geometrine forma: skaičius yra kintamojo riba, jei bet kuriam (savavališkai mažas)- taško kaimynystė galima nurodyti tokį kintamojo pasikeitimo momentą, nuo kurio prasideda visos jo reikšmės
patenka į nurodytą -taško a kaimynystę.

Būtina įsivaizduoti artėjimo prie dinamikos ribos procesą. paėmė šiek tiek - punkto kaimynystė a; pradedant tam tikru pasikeitimo momentu , visos vertybės patenka į šią kaimynystę. Dabar pažiūrėkime arčiau - punkto kaimynystė a; pradedant nuo tam tikro (tolimesnio, palyginti su pirmuoju) pasikeitimo momentu , visos jo vertybės pateks į - punkto kaimynystė a ir tt (1 pav.).

Įvedę kintamojo ribos apibrėžimą, bandėme jį išsamiai aptarti ir iššifruoti. Tačiau šiame apibrėžime liko neatskleista viena labai reikšminga detalė; ką reikėtų suprasti žodžiais „pradedant nuo tam tikro kintamojo pasikeitimo momento“? Tai aišku, kai kintamojo keitimo procesas vyksta laike: pradedant nuo tam tikro momento (laiko). Tačiau ne visada susiduriame su kintamaisiais, kurie laikui bėgant keičiasi. Kaip būti tokiais atvejais? Išeitis – iššifruoti šią vietą bendrame kintamojo ribos apibrėžime kiekvienam kintamųjų tipui konkrečiu būdu: savaip sekoms, savaip funkcijoms ir pan.

Sekos riba. Visų pirma, būtina prisiminti sekos apibrėžimą: jei visos reikšmės paimtos iš kintamojo X, gali būti sunumeruoti naudojant įvairius natūraliuosius skaičius x ), x 2 ,... x n,..., o reikšmė su didesniu skaičiumi imama po reikšmės su mažesniu skaičiumi, tada sakome, kad kintamasis X eina per reikšmių seką x x, x 2,... x p...; arba tiesiog kad yra seka (skaičių seka).

Apibrėžimas. Skaitmeninė seka vadinama tikroji natūralaus argumento funkcija, t.y. funkcija, kuriai = N ir ER.

Jis žymimas simboliu , kur , arba trumpai, . Skaičius, priklausantis nuo n, vadinamas n – sekos narys. Išdėstę sekos reikšmes skaitine tvarka, gauname, kad seką galima identifikuoti su skaičiuojamu rinkiniu realūs skaičiai, t.y.

Pavyzdžiai:

a) Seka yra pastovi ir susideda iš vienodų skaičių (vienetų): ;

b) . Jai

G) .

Sekų atveju teiginys, esantis bendrame kintamojo ribos apibrėžime „pradeda tam tikru pakeitimo momentu " turėtų reikšti - "pradedant nuo kokio nors skaičiaus", nes terminai su didesniais skaičiais seka (pagal sekos apibrėžimą) narį su mažesniu skaičiumi. Taigi gauname tokį sekos ribos apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičius a paskambino riba sekos, jei bet kuriam skaičiui yra toks skaičius, kad visi skaičiai, kuriems tenkinama nelygybė .

Tinkamas paskyrimas

Nelygybę taip pat galima parašyti kaip arba . Šiuose įrašuose pabrėžiama, kad vertė x n savavališkai mažai skiriasi nuo a , kai nario skaičius didėja neribotai. Geometriškai sekos ribos apibrėžimas reiškia: už savavališkai maža -numerio kaimynystė a yra toks skaičius N, kad visi sekos nariai yra didesni nei N, skaičiai patenka į šią apylinkę, už kaimynystės yra tik baigtinis sekos pradinių narių skaičius (2 pav.). Tai visi arba kai kurie nariai .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Skaičius mūsų apibrėžime priklauso nuo : N= N(). Kaip minėta anksčiau, ribos apibrėžimas turėtų būti suprantamas vystant, dinamikoje, judėjime: jei imtume kitą, mažesnę reikšmę , pavyzdžiui, paprastai yra kitas skaičius N x > N, tokia, kad nelygybė , patenkintas visais.

Ribos apibrėžimą rašysime naudodamiesi loginiais simboliais (kiekiniais rodikliais). Sekos ribos apibrėžimas naudojant kvantorius atrodo taip.

Kintamieji ir konstantos nėra labai lengvi

Mokyklinė matematika visada įtikinėjo ir įtikinėja, kad kintamųjų ir konstantų klausimas sprendžiamas labai paprastai. Kintamieji yra reikšmės, kurias gali priimti tam tikros užduoties sąlygomis įvairios reikšmės. Vertės, kurios nekeičia savo verčių konkrečios problemos sąlygomis, laikomos pastoviomis.

Kartu papildomai pranešama, kad dydžių skirstymas į kintamuosius ir konstantas yra gana savavališkas ir priklauso nuo problemos sprendimo procesą lydinčių aplinkybių. Vienas ir tas pats dydis, kuris tam tikromis sąlygomis buvo laikomas pastoviu, kitomis sąlygomis turėtų būti laikomas kintamuoju. Klasikinis pavyzdys: laikoma, kad laidininko varža yra pastovi, kol nebūsime priversti atsižvelgti į jo varžos vertės priklausomybę nuo aplinkos temperatūros.

Tačiau, kaip rodo praktika, viso to, kas išdėstyta pirmiau, norint teisingai išspręsti tam tikrą problemą, nepakanka.

Kas yra vertybė, intuityviai kiekvienam aišku. Paaiškinkime šią sąvoką.

Bendruoju atveju problemos sprendimo proceso turinys yra dydžių transformacija. Kartu reikia suprasti, kad bendrąja filosofine prasme reikšmė, vaizduojanti problemos sprendimo rezultatą, jau yra jos formuluotėje numanoma forma. Norint aiškiai pateikti šį rezultatą, reikia tik teisingai sukonstruoti problemos verčių transformavimo procesą.

Apibrėžimas

Verte vadinsime bet kokį matematinį objektą, kuris neša (arba gali nešti) informaciją apie tam tikrą reikšmę.

Kiekių vaizdavimo forma gali būti skirtinga. Pavyzdžiui, reikšmę, kurios skaitinė reikšmė lygi realiajai, galima pavaizduoti dešimtaine konstanta 1,0, funkcija Cos(0) ir aritmetine išraiška 25,0 - 15,0 - 9,0.

Kiekių reikšmės gali būti keičiamos. Taigi, atlikus veiksmą x = 1,0, reikšmė kintamojo x pavidalu yra tikrojo vieneto vertės nešėja. Tokiu atveju prarandama ankstesnė kintamojo x reikšmė. Pateikti pavyzdžiai jau rodo kiek kitokiu požiūriu, kad kiekiai gali būti kintami ir pastovūs.

Apibrėžimas

Kintamieji turi savybę, kad jų reikšmės gali būti pakeistos dėl tam tikrų veiksmų. O tai reiškia, kad „kintamosios vertės“ sąvoka atspindi pasikeitimo galimybę, bet ne faktą.

Pastoviąja reikšme (konstanta) reikėtų laikyti tokią, kurios reikšmė, skirtingai nei kintamojo, iš esmės negali būti keičiama.

Pavyzdžiui, konstantos reikšmė išraiškos 12+3 formoje yra 15 ir jos keisti negalima. Šiuo atveju būtina fiksuoti ženklų, su kuriais atvaizduojama reikšmė, reikšmę. Priešingu atveju, jei, pavyzdžiui, šios išraiškos ženklus laikysime skaičiais skaičių sistemoje su 5 baze, tada jo reikšmė bus lygi 10.

Apibrėžimas

Taigi matematiniuose tekstuose reikšmių, tai yra dydžių, nešėjai yra kintamieji, konstantos, funkcijų (arba tiesiog funkcijų) iškvietimai, taip pat išraiškos.

Kintamųjų ypatybės

Simboliai, susiję su tam tikras vertybes, matematikoje vadinami kintamaisiais (terminas vartojamas kaip daiktavardis).

Pavyzdžiui, kintamojo x+1 reikšmė priklauso nuo reikšmės, susietos su simboliu x. Čia žymėjimas x naudojamas kaip kintamasis. Keisdami kintamojo x reikšmę, tuo pakeičiame kintamojo x+1 reikšmę.

Taigi, kintamųjų reikšmės priklauso nuo kintamųjų, kurie yra jų dalis, verčių. Išskirtinė savybė kintamasis yra tai, kad konkreti jo reikšmė turėtų būti tiesiog jam priskirta (priskirta).

Matematinis požiūris, nustatantis galimybę apskaičiuoti kintamųjų reikšmes, šiame kontekste pasirodo neteisingas. Matematikoje galima įvertinti tik išraiškų reikšmes.

Pagrindinė sąlyga norint naudoti kintamąjį matematiniuose tekstuose galutine forma yra tokia: norint nurodyti kintamąjį, pakanka nurodyti jo pavadinimą.

Konstantų ypatybės

Matematiniuose tekstuose gali būti naudojamos dviejų tipų konstantos: žetoninės konstantos ir vardinės konstantos.

Beje, programuotojai kalbomis aukštas lygis, naudokite jį gana formaliais (teisiniais) pagrindais.

Pastovių žetonų pagalba pastovių reikšmių reikšmės nurodomos tiesiogiai, neatliekant jokių operacijų. Pavyzdžiui, norint gauti pastovios reikšmės 12+3 reikšmę, kuri yra išraiška, reikia pridėti du konstantos žetonus 12 ir 3.

Apibrėžimas

Pavadinta konstanta yra žymėjimas, susietas su konkrečia reikšme, nurodyta kaip žetono konstanta.

Šis metodas plačiai naudojamas gamtos mokslai fizikinių, cheminių, matematinių ir kitų formulių įrašymo patogumui. Pavyzdžiui: g = 9,81523 – pagreitis laisvas kritimas Maskvos platumoje; π = 3,1415926 yra skaičius $π$.

Be kompaktiško posakių žymėjimo, įvardintos konstantos suteikia aiškumo ir reikšmingo patogumo dirbant su matematiniais tekstais.

Įvardyta konstanta savo vertę įgyja dėl preliminariosios sutarties.

Svarbi bet kurios įvardintos konstantos savybė yra ta, kad nerekomenduojama keisti jos reikšmės kokiame nors matematiniame tekste.

Išraiškos

Išraiškos yra sudedamosios dalys didžioji dauguma matematinių tekstų. Išraiškų pagalba nurodoma tvarka, kuria apskaičiuojamos naujos reikšmės remiantis kitomis anksčiau žinomomis reikšmėmis.

Bendruoju atveju operandai, operacijos ženklai ir koreguojantys apvalūs (kvadratiniai, garbanoti) skliaustai naudojami kaip išraiškų dalis.

Apibrėžimas

Operandai yra Dažnas vardas objektai, kurių reikšmės naudojamos atliekant operacijas. Operandai gali būti kintamieji, konstantos ir funkcijos. Beje, šis terminas labai populiarus tarp programuotojų. Skliausteliuose esantis išraiškos fragmentas traktuojamas kaip atskiras sudėtinis operandas.

Operacijos ženklas simbolizuoja tiksliai apibrėžtą veiksmų rinkinį, kuris turi būti atliktas su atitinkamais operandais. Valdymo skliausteliuose nustatoma norima operacijų tvarka, kuri gali skirtis nuo tos, kurią suteikia operacijų pirmenybė.

Paprasčiausias išraiškos atvejis yra vienas operandas. Šioje išraiškoje operacijos ženklų nėra.

Operando funkcija turi savo ypatybes. Paprastai toks operandas yra funkcijos pavadinimas (arba ženklas), po kurio skliausteliuose pateikiamas jos argumentų sąrašas. Šiuo atveju skliaustai yra neatskiriama funkcijų dalis ir netaikomi reguliuojančioms. Atkreipkite dėmesį, kad daugeliu atvejų funkcijų operandai apsieina be skliaustų (pavyzdžiui, 5! yra sveikojo skaičiaus 5 faktorialo apskaičiavimas).

Matematinės operacijos

Pagrindiniai bruožai matematines operacijas yra:

operacijos ženklai gali būti nurodomi naudojant specialiuosius simbolius, taip pat naudojant specialiai numatytus žodžius;
operacijos gali būti unarinės (atliekamos vienu operandu) ir dvejetainės (atliekamos dviem operandais);
operacijos turi keturis prioriteto lygius, kurie nustato išraiškos vertinimo tvarką.

Sudėtingos išraiškos, apimančios operacijų grandinę, kai nėra valdymo skliaustų, vertinimo taisyklės yra šios:

pirma, apskaičiuojamos visų funkcijų reikšmės;
tada operacijos atliekamos po vieną jų prioriteto mažėjimo tvarka;
vienodo prioriteto operacijos atliekamos eilės tvarka iš kairės į dešinę.

Kai yra skliaustų, reiškinyje yra sudėtinių operandų, kurių reikšmės turi būti įvertintos pirmiausia.

Kai kurios matematinių išraiškų rašymo ypatybės:

nerekomenduojama praleisti operacijos ženklų, nors daugeliu atvejų galima praleisti daugybos ženklą;
skliausteliuose pageidautina nurodyti funkcijos argumentus;
nuoseklus dviejų ar daugiau dvejetainių operacijų ženklų rodymas yra nepriimtinas; formaliai leidžiama naudoti kelis vienanarių operacijų ženklus iš eilės, įskaitant kartu su dvejetainiu.

Kintamųjų pavyzdžiai: oro temperatūra, funkcijos parametras ir daug daugiau.

Kintamasis apibūdinamas tik reikšmių rinkiniu, kurį jis gali priimti. Kintamasis žymimas simboliu, bendru kiekvienai jo reikšmei.

Matematikos kintamieji

Matematikoje kintamasis gali būti ir realus fizinis dydis, ir koks nors abstraktus dydis, kuris neatspindi realaus pasaulio procesų.

Dekartas manė, kad kintamųjų reikšmės visada yra neneigiamos, o neigiamas reikšmes išreiškė ženklu, atspindėtą minuso ženklu prieš kintamąjį. Jei koeficiento ženklas buvo nežinomas, Dekartas įdėjo elipsę. Olandų matematikas Johannas Hudde'as jau 1657 m. leido pažodiniams kintamiesiems įgauti bet kokio ženklo reikšmes.

Kintamieji programuojant

Programavime kintamasis yra duomenis identifikuojantis identifikatorius. Paprastai tai yra pavadinimas, slepiantis atminties sritį, į kurią galima patalpinti kitoje atminties srityje saugomus duomenis. Kintamasis gali turėti tam tikro tipo reikšmes, kurias jis gali užimti. Programavime kintamieji paprastai žymimi vienu ar keliais žodžiais ar simboliais, tokiais kaip „laikas“, „x“, „

Kintamieji ir konstantos

kiekiai, kurie tiriamame klausime įgyja skirtingas vertes arba atitinkamai išlaiko tą pačią vertę. Pavyzdžiui, tiriant kūno kritimą, pastarojo atstumas nuo žemės ir kritimo greitis yra kintami dydžiai, o pagreitis (jei nepaisysime oro pasipriešinimo) yra pastovi reikšmė. Elementarioji matematika visus tirtus dydžius laikė konstantomis. Kintamojo dydžio samprata matematikoje atsirado XVII a. veikiamas gamtos mokslų reikalavimų, kurie iškėlė į pirmą planą judėjimo – procesų, o ne tik būsenų, tyrinėjimą. Ši sąvoka netilpo į antikos ir viduramžių matematikos išplėtotas formas, o jos išraiškai reikalavo naujų formų. Tokios naujos formos buvo pažodinė algebra ir analitinė geometrija R. Descartes a. Dekarto algebros raidėse, kurios gali turėti savavališkas skaitines reikšmes, kintamieji rado savo simbolinę išraišką. „Matematikos lūžis buvo Dekarto kintamasis. Dėl to judesys, taigi ir dialektika, pateko į matematiką, todėl diferencialinis ir integralinis skaičiavimas iškart tapo būtinas...“ (Engelsas F., žr. Marx K. ir Engels F., Soch., 2nd ed., Vol. 20, p. 573). Šiuo laikotarpiu ir iki XIX amžiaus vidurio. vyrauja mechaninis požiūris į kintamuosius. Aiškiausiai juos išreiškė I. Niutonas, kintamuosius pavadinęs „fluents“, tai yra dabartiniais, ir laikė juos „...ne kaip susidedančiais iš itin mažų dalių, o tokiais, kuriuos apibūdino nenutrūkstamas judėjimas“ („Matematiniai darbai“). , M., 1937, p. 167). Šios nuomonės pasirodė labai vaisingos ir ypač leido Newtonui imtis visiškai naujo požiūrio į kreivinių figūrų sričių paiešką. Niutonas pirmasis įvertino kreivinės trapecijos plotą ( ABNM ant ryžių. ) ne kaip pastovią reikšmę (apskaičiuojama susumavus begalines jos dalis), o kaip kintamąjį, gaunamą judant kreivės ordinatei ( NM); nustatant, kad nagrinėjamo ploto kitimo greitis proporcingas ordinatėms Nm, taip jis sumažino plotų skaičiavimo problemą iki kintamojo nustatymo iš problemos žinomas greitis jos pokyčiai. Greitumo sąvokos įvedimo į matematiką teisėtumas buvo pagrįstas XIX amžiaus pradžioje. teorija , kuris tiksliai apibrėžė greitį kaip išvestinę (žr. Darinį). Tačiau per XIX a pamažu ryškėja aukščiau aprašyto požiūrio į kintamuosius apribojimai. Matematinė analizė vis labiau tampa bendra funkcijų teorija, kurios plėtojimas neįmanomas be tikslios pagrindinių jos sąvokų esmės ir apimties analizės. Pasirodo, net nuolatinės funkcijos samprata iš tikrųjų yra daug sudėtingesnė nei vaizdiniai vaizdai, dėl kurių ji atsirado. Atrandamos ištisinės funkcijos, kurios jokiame taške neturi išvestinės; suprasti tokią funkciją kaip judėjimo rezultatą reikštų bet kuriuo momentu prisiimti judėjimą be greičio. Nenutrūkstamų funkcijų, taip pat funkcijų, apibrėžtų daug sudėtingesnės struktūros rinkiniuose nei intervalas ar kelių intervalų sąjunga, tyrimas tampa vis svarbesnis. Niutono kintamojo interpretacija tampa nepakankama ir daugeliu atvejų nenaudinga.

Kita vertus, matematika kintamaisiais ima laikyti ne tik dydžius, bet ir vis įvairesnes bei platesnes kitų savo objektų klases. Tuo remiantis, antroje XIX a. ir XX a kuriama aibių teorija, topologija ir matematinė logika. Apie tai, kiek išsiplėtė XX a. kintamojo sampratą liudija tai, kad matematinė logika atsižvelgia ne tik į kintamuosius, kurie eina per savavališkus objektų rinkinius, bet ir į kintamuosius, kurių reikšmės yra teiginiai, predikatai (santykiai tarp objektų) ir kt. (žr. Kintamąjį).

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „Kintamosios ir pastovios reikšmės“ kituose žodynuose:

Matematikoje dydžiai, kurie tiriamame klausime įgyja skirtingas reikšmes arba išlaiko tą pačią reikšmę. Skirtumas tarp kintamojo ir konstantos yra santykinis: dydis, kuris yra pastovus tam tikroje medžiagoje, gali būti kintamas ... Didelis enciklopedinis žodynas

- (matematika), kiekiai, kurie tiriamame klausime įgyja skirtingas reikšmes arba išlaiko tą pačią vertę. Skirtumas tarp kintamojo ir konstantos yra santykinis: dydis, kuris yra pastovus tam tikroje medžiagoje, gali būti kintamas ... ... enciklopedinis žodynas

Žr. Pastovus, kintamasis. Filosofinė enciklopedija. 5 x t. M .: Sovietų enciklopedija. Redagavo F. V. Konstantinovas. 1960 1970... Filosofinė enciklopedija

- (Mat.), kiekiai, į rugius tirtame nopross imti dekomp. vertybes arba išlaikyti tą pačią vertę. Skirtumas tarp kintamojo ir konstantos yra santykinis: dydis, kuris yra pastovus vienoje medžiagoje, gali būti kintamas kitoje ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

I Kintamos žvaigždės P. z. žvaigždės, kurių tariamasis ryškumas svyruoja. Daugelis P. z. yra nestacionarios žvaigždės; tokių žvaigždžių ryškumo kintamumas yra susijęs su jų temperatūros ir spindulio pasikeitimu, medžiagos nutekėjimu, ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Žr. Kintamieji ir konstantos, Konstanta. * * * PASTOVIOJI VERTĖ, žr. Kintamieji ir konstantos (žr. KINTAMIEJI IR KONSTANTOS), Konstanta (žr. KONSTANTĄ) … enciklopedinis žodynas