Geometrinių progresijų sumos formulė. Geometrinė progresija

Pamokos tikslas: supažindinti mokinius su naujos rūšies seka – be galo mažėjančia geometrine progresija.
Užduotys:
pradinės skaitmeninės sekos ribos idėjos formulavimas;
supažindinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis, naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;
mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus, apibendrinimas, ugdymas;
aktyvumo ugdymas, savitarpio pagalba, kolektyvizmas, domėjimasis dalyku.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Susijusi pamoka „Be galo mažėjanti geometrinė progresija“ (algebra, 10 klasė)

Pamokos tikslas: supažindinantis mokinius su naujos rūšies seka – be galo mažėjančia geometrine progresija.

Užduotys:

pradinės skaitmeninės sekos ribos idėjos formulavimas; supažindinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis, naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;

mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus, apibendrinimas, ugdymas;

aktyvumo ugdymas, savitarpio pagalba, kolektyvizmas, domėjimasis dalyku.

Įranga: kompiuterių klasė, projektorius, ekranas.

Pamokos tipas: Pamoka – naujos temos įsisavinimas.

Per užsiėmimus

I. Org. momentas. Pranešimas apie pamokos temą ir tikslą.

II. Mokinių žinių atnaujinimas.

9 klasėje mokėsi aritmetinės ir geometrinės progresijos.

Klausimai

1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas.

(Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys,

Pradedant nuo antrojo, jis yra lygus ankstesniam terminui, pridedamas tuo pačiu skaičiumi).

2. Formulė n -tasis aritmetinės progresijos narys

3. Pirmojo sumos formulė n aritmetinės progresijos nariai.

( arba )

4. Geometrinės progresijos apibrėžimas.

(Geometrinė progresija yra skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, seka,

Kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš

tą patį numerį).

5. Formulė n geometrinės progresijos narys

6. Pirmojo sumos formulė n geometrinės progresijos nariai.

7. Kokias formules dar žinai?

(, kur ; ;

; , )

Užduotys

1. Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 - 4n. Raskite 10. (-33)

2. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 4. (4)

3. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 17. (-35)

4. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite S 17 . (-187)

5. Geometrinei progresijairasti penktą terminą.

6. Geometrinei progresijai rasti n-tąjį terminą.

7. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 4 . (4)

8. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 1 ir q .

9. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite S 5 . (62)

III. Naujos temos tyrinėjimas(demonstracinis pristatymas).

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Nubrėžkime kitą kvadratą, kurio kraštinė yra pusė pirmojo kvadrato, tada dar vieną, kurio kraštinė yra pusė antrojo, tada kitą ir t. Kiekvieną kartą naujo kvadrato kraštinė yra pusė ankstesnės.

Dėl to gavome kvadratų kraštinių sekąformuojant geometrinę progresiją su vardikliu.

Ir, kas labai svarbu, kuo daugiau statysime tokių aikščių, tuo mažesnė bus aikštės pusė. Pavyzdžiui ,

Tie. didėjant skaičiui n, progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Remiantis šia figūra, galima apsvarstyti dar vieną seką.

Pavyzdžiui, kvadratų sričių seka:

Ir vėl, jei n didėja neribotą laiką, tada plotas savavališkai artėja prie nulio.

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 1 cm. Sukurkime kitą trikampį, kurio viršūnės yra 1-ojo trikampio kraštinių vidurio taškuose, pagal trikampio vidurio linijos teoremą - 2-ojo kraštinė lygi pusei pirmojo kraštinės, 3-iojo kraštinė yra pusė trikampio kraštinės. 2-oji ir kt. Vėl gauname trikampių kraštinių ilgių seką.

Prie .

Jei nagrinėsime geometrinę progresiją su neigiamu vardikliu.

Tada vėl didėjant skaičiui n progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Atkreipkime dėmesį į šių sekų vardiklius. Visur vardikliai buvo mažesni nei 1 modulis.

Galime daryti išvadą: geometrinė progresija be galo mažės, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už 1.

Darbas priekyje.

Apibrėžimas:

Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną..

Apibrėžimo pagalba galima išspręsti klausimą, ar geometrinė progresija be galo mažėja, ar ne.

Užduotis

Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę:

Sprendimas:

Raskime q.

; ; ; .

ši geometrinė progresija be galo mažėja.

b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Padalinkite jį per pusę, vieną iš pusių vėl per pusę ir pan. visų gautų stačiakampių plotai sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją:

Visų tokiu būdu gautų stačiakampių plotų suma bus lygi 1 kvadrato plotui ir lygi 1.

Tačiau kairėje šios lygybės pusėje yra begalinio skaičiaus terminų suma.

Apsvarstykite pirmųjų n narių sumą.

Pagal geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę lygi.

Jei n tada didėja neribotą laiką

arba . Todėl t.y. .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumayra sekos riba S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Pavyzdžiui, dėl progresavimo,

mes turime

Nes

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumagalima rasti naudojant formulę.

III. Apmąstymas ir konsolidacija(užduočių atlikimas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Apibendrinant.

Kokią seką sutikote šiandien?

Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją.

Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja?

Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę.

V. Namų darbai.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Mokėti nuosekliai mąstyti, įtikinamai vertinti ir paneigti klaidingas išvadas turėtų kiekvienas: ir fizikas, ir poetas, ir traktorininkas, ir chemikas. E.Kolmanas Matematikoje reikėtų prisiminti ne formules, o mąstymo procesus. VP Ermakovas Lengviau rasti apskritimo kvadratą nei pergudrauti matematiką. Augustas de Morganas Koks mokslas gali būti kilnesnis, žavingesnis, naudingesnis žmonijai nei matematika? Franklinas

Be galo mažėjanti geometrinė progresija 10 klasė

aš. Aritmetinė ir geometrinė progresija. Klausimai 1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus. 2. Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė. 3. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė. 4. Geometrinės progresijos apibrėžimas. Geometrinė progresija – tai ne nulis skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus 5. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė. 6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė.

II. Aritmetinė progresija. Užduotys Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 – 4 n Raskite 10 . (-33) 2. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 4. (4) 3. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 17. (-35) 4. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite S 17 . (-187)

II. Geometrinė progresija. Užduotys 5. Geometrinei progresijai raskite penktąjį narį 6. Geometrinei progresijai raskite n-tąjį narį. 7. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 4 . (4) 8. Geometrine progresija b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 1 ir q . 9. Geometrinėje progresijoje b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite S 5 . (62)

apibrėžimas: Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną.

Uždavinys №1 Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę: Sprendimas: a) ši geometrinė progresija yra be galo mažėjanti. b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra sekos S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … riba. Pavyzdžiui, progresijai turime Kadangi be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą galima rasti pagal formulę

Užduočių atlikimas Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, kurios pirmasis narys yra 3, antrasis 0,3. 2. Nr.13; Nr.14; vadovėlis, p.138 3. Nr.15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr.19; Nr. 20.

Kokią seką sutikote šiandien? Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja? Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę. Klausimai

Garsus lenkų matematikas Hugo Steinghausas juokaudamas tvirtina, kad egzistuoja dėsnis, kuris suformuluotas taip: matematikas tai padarys geriau. Būtent, jei patikėsite dviem žmonėms, iš kurių vienas yra matematikas, atlikti bet kokį darbą, kurio jie nemoka, rezultatas visada bus toks: matematikas tai padarys geriau. Hugo Steinghaus 1887 01 14–1972 02 25

Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu, tai yra, kiekvienas narys nuo ankstesnio skiriasi q kartų. (Manysime, kad q ≠ 1, kitu atveju viskas per daug nereikšminga). Nesunku pastebėti, kad n-ojo geometrinės progresijos nario bendroji formulė yra b n = b 1 q n – 1 ; terminai su skaičiais b n ir b m skiriasi q n – m kartų.

Jau senovės Egipte jie žinojo ne tik aritmetinę, bet ir geometrinę progresiją. Štai, pavyzdžiui, užduotis iš Rhindo papiruso: „Septyni veidai turi septynias kates; kiekviena katė suėda septynias peles, kiekviena pelė suėda septynias kukurūzų varpas, kiekviena varpa gali užauginti septynis mačius miežių. Kokie yra šios serijos skaičiai ir jų suma?

Ryžiai. 1. Senovės Egipto geometrinės progresijos problema

Ši užduotis buvo kartojama daug kartų su skirtingais variantais tarp kitų tautų kitu metu. Pavyzdžiui, rašytame XIII a. Leonardo iš Pizos (Fibonačio) „Abako knyga“ turi problemą, kai pakeliui į Romą pasirodo 7 senos moterys (akivaizdu, kad piligrimai), kurių kiekviena turi po 7 mulus, kurių kiekvienas turi po 7 maišus. yra 7 kepalai, kurių kiekvienas turi 7 peilius, kurių kiekvienas yra 7 apvalkaluose. Problema klausia, kiek elementų yra.

Geometrinės progresijos S n = b 1 pirmųjų n narių suma (q n - 1) / (q - 1) . Šią formulę galima įrodyti, pavyzdžiui, taip: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Sudėkime skaičių b 1 q n prie S n ir gaukime:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq .

Iš čia S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), ir gauname reikiamą formulę.

Jau ant vienos iš Senovės Babilono molinių lentelių, datuojamų VI a. pr. Kr e., yra suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Tiesa, kaip ir daugeliu kitų atvejų, mes nežinome, kur šis faktas buvo žinomas babiloniečiams .

Spartus geometrinės progresijos augimas daugelyje kultūrų, ypač Indijoje, ne kartą naudojamas kaip aiškus visatos begalybės simbolis. Gerai žinomoje legendoje apie šachmatų atsiradimą valdovas suteikia galimybę jų išradėjui pačiam pasirinkti atlygį ir prašo tokio kiekio kviečių grūdų, kiek bus padėtas ant pirmos šachmatų lentos langelio. , dvi antroje, keturios trečioje, aštuonios ketvirtoje ir kt., kiekvieną kartą skaičius padvigubinamas. Vladyka manė, kad tai daugiausiai keli maišai, bet apsiskaičiavo. Nesunku pastebėti, kad už visus 64 šachmatų lentos langelius išradėjas turėjo gauti (2 64 - 1) grūdelį, kuris išreiškiamas 20 skaitmenų skaičiumi; net jei būtų apsėtas visas Žemės paviršius, surinkti reikiamą grūdų skaičių prireiktų mažiausiai 8 metų. Ši legenda kartais interpretuojama kaip nuoroda į beveik neribotas šachmatų žaidime slypinčias galimybes.

Tai, kad šis skaičius iš tikrųjų yra 20 skaitmenų, nesunku pastebėti:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (tikslesnis skaičiavimas duoda 1,84 10 19). Bet įdomu, ar galite sužinoti, kokiu skaitmeniu baigiasi šis skaičius?

Geometrinė progresija didėja, jei vardiklio absoliuti reikšmė yra didesnė nei 1, arba mažėja, jei ji mažesnė už vieną. Pastaruoju atveju skaičius q n gali tapti savavališkai mažas esant pakankamai dideliam n. Nors didėjantis eksponentas netikėtai greitai didėja, mažėjantis eksponentas taip pat greitai mažėja.

Kuo didesnis n, tuo mažesnis skaičius qn skiriasi nuo nulio ir tuo geometrinės progresijos S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) n narių suma artimesnė skaičiui S \u003d b 1 / (1–q) . (Taip samprotavo, pavyzdžiui, F. Viet). Skaičius S vadinamas be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma. Tačiau daugelį amžių matematikams nebuvo pakankamai aiškus klausimas, ką reiškia VISOS geometrinės progresijos sumavimas su begaliniu terminų skaičiumi.

Mažėjanti geometrinė progresija matoma, pavyzdžiui, Zenono aporijose „Kandimas“ ir „Achilas ir vėžlys“. Pirmuoju atveju aiškiai parodyta, kad visas kelias (tarkime, kad ilgis 1) yra begalinio skaičiaus atkarpų 1/2, 1/4, 1/8 ir tt suma. Taip, žinoma, yra idėjų apie baigtinę sumą begalinės geometrinės progresijos požiūriu. Ir vis dėlto – kaip tai gali būti?

Ryžiai. 2. Progresavimas su koeficientu 1/2

Aporijoje apie Achilą situacija kiek sudėtingesnė, nes čia progresijos vardiklis lygus ne 1/2, o kažkokiam kitam skaičiui. Tegu, pavyzdžiui, Achilas bėga greičiu v, vėžlys juda greičiu u, o pradinis atstumas tarp jų yra l. Achilas nubėgs šį atstumą per laiką l / v , vėžlys per tą laiką judės atstumą lu / v. Kai Achilas bėgs per šią atkarpą, atstumas tarp jo ir vėžlio taps lygus l (u / v) 2 ir tt Pasirodo, kad pasivyti vėžlį reiškia rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą su pirmuoju. terminas l ir vardiklis u / v. Ši suma - atkarpa, kurią Achilas galiausiai nubėgs iki susitikimo su vėžliu taško - yra lygi l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Tačiau vėlgi, kaip šis rezultatas turėtų būti interpretuojamas ir kodėl jis apskritai turi prasmę, ilgą laiką nebuvo labai aišku.

Ryžiai. 3. Geometrinė progresija su koeficientu 2/3

Geometrinės progresijos sumą panaudojo Archimedas, nustatydamas parabolės atkarpos plotą. Tegul duotoji parabolės atkarpa yra ribojama styga AB ir parabolės taško D liestinė lygiagreti AB . Tegu C yra AB vidurio taškas, E – AC, F – CB vidurio taškas. Per taškus A, E, F, B nubrėžkite lygiagrečias DC linijas; tegul taške D nubrėžta liestinė, šios tiesės susikerta taškuose K , L , M , N . Taip pat nubrėžkime segmentus AD ir DB. Tegul tiesė EL kerta tiesę AD taške G, o parabolė – taške H; tiesė FM kerta tiesę DB taške Q, o parabolę taške R. Pagal bendrąją kūginių pjūvių teoriją DC yra parabolės (tai yra atkarpos, lygiagrečios jos ašiai) skersmuo; ji ir liestinė taške D gali tarnauti kaip koordinačių ašys x ir y, kuriose parabolės lygtis parašyta kaip y 2 \u003d 2px (x yra atstumas nuo D iki bet kurio tam tikro skersmens taško, y yra a ilgis atkarpa, lygiagreti duotajai tangentei nuo šio skersmens taško iki tam tikro taško pačioje parabolėje).

Pagal parabolės lygtį DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , o kadangi DK = 2DL , tai KA = 4LH . Kadangi KA = 2LG , LH = HG . Parabolės atkarpos ADB plotas lygus trikampio ΔADB plotui ir atkarpų AHD ir DRB plotams kartu. Savo ruožtu AHD segmento plotas panašiai lygus trikampio AHD plotui ir likusiems segmentams AH ir HD, su kiekvienu iš jų galima atlikti tą pačią operaciją - padalinti į trikampį (Δ) ir du likę segmentai () ir tt:

Trikampio ΔAHD plotas lygus pusei trikampio ΔALD ploto (jie turi bendrą pagrindą AD, o aukščiai skiriasi 2 kartus), o tai, savo ruožtu, yra lygi pusei trikampio ΔALD ploto. trikampis ΔAKD, taigi ir pusė trikampio ΔACD ploto. Taigi, trikampio ΔAHD plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔACD ploto. Taip pat trikampio ΔDRB plotas lygus ketvirtadaliui trikampio ΔDFB ploto. Taigi, trikampių ∆AHD ir ∆DRB plotai, paimti kartu, yra lygūs ketvirtadaliui trikampio ∆ADB ploto. Kartodami šią operaciją, kaip taikyta atkarpoms AH , HD , DR ir RB, iš jų taip pat bus parinkti trikampiai, kurių plotas kartu bus 4 kartus mažesnis už trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotą, paimti kartu, taigi 16 kartų mažiau nei trikampio plotas ΔADB . Ir tt:

Taigi Archimedas įrodė, kad „kiekviena atkarpa, esanti tarp tiesės ir parabolės, yra keturi trečdaliai trikampio, turinčio tą patį pagrindą ir vienodą aukštį“.

Geometrinė progresija ne mažiau svarbus matematikoje nei aritmetikoje. Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina progresavimo augimo ar mažėjimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti

Norint visiškai priskirti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir monotoniškai didėja kada. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus

Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę

Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę

Panagrinėkime klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausio suprantamo.

1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.

Sprendimas: Formoje įrašome uždavinio sąlygą

Skaičiavimams naudojame n-ojo geometrinės progresijos nario formulę

Remdamiesi juo, randame nežinomus progresijos narius

Kaip matote, geometrinės progresijos terminus apskaičiuoti nėra sunku. Pati progresija atrodys taip

2 pavyzdys. Pateikiami pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir septintą narį.

Sprendimas: apskaičiuojame geometrinės progresijos vardiklį pagal jo apibrėžimą

Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę

Ši užduotis išspręsta.

3 pavyzdys. Geometrinę progresiją pateikia du jos nariai . Raskite dešimtąjį progresijos narį.

Sprendimas:

Pateiktas reikšmes užrašykime per formules

Pagal taisykles reiktų rasti vardiklį, o tada ieškoti norimos reikšmės, bet dešimtam kadencijai turime

Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos kadenciją padaliname iš kitos, kaip rezultatas, gauname

Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą

Taigi, tokioms problemoms greitai, paprastų transformacijų pagalba galite rasti tinkamą sprendimą.

4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis

Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.

Sprendimas:

Pateiktus duomenis užrašome lygčių sistemos forma

Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios

Raskite pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties

Apskaičiuokite šiuos penkis terminus, kad surastumėte geometrinės progresijos sumą

Panagrinėkime seriją.

7 28 112 448 1792...

Visiškai aišku, kad bet kurio jo elemento vertė yra lygiai keturis kartus didesnė nei ankstesnio. Taigi ši serija yra progresas.

Geometrinė progresija – tai begalinė skaičių seka, kurios pagrindinė ypatybė yra ta, kad kitas skaičius gaunamas iš ankstesnio, padauginus iš kokio nors konkretaus skaičiaus. Tai išreiškiama tokia formule.

a z +1 =a z q, kur z yra pasirinkto elemento skaičius.

Atitinkamai, z ∈ N.

Laikotarpis, kai mokykloje mokomasi geometrinės progresijos, yra 9 klasė. Pavyzdžiai padės suprasti sąvoką:

0.25 0.125 0.0625...

Remiantis šia formule, progreso vardiklį galima rasti taip:

Nei q, nei b z negali būti lygus nuliui. Be to, kiekvienas progresavimo elementas neturėtų būti lygus nuliui.

Atitinkamai, norėdami sužinoti kitą serijos skaičių, turite padauginti paskutinį iš q.

Norėdami nurodyti šią eigą, turite nurodyti pirmąjį jo elementą ir vardiklį. Po to galima rasti bet kurį iš vėlesnių terminų ir jų sumą.

Veislės

Priklausomai nuo q ir a 1, ši progresija skirstoma į keletą tipų:

• Jei ir a 1, ir q yra didesni už vieną, tai tokia seka yra geometrinė progresija, didėjanti su kiekvienu sekančiu elementu. Tokio pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 =3, q=2 – abu parametrai yra didesni už vieną.

Tada skaitinę seką galima parašyti taip:

3 6 12 24 48 ...

• Jei |q| mažiau nei vienas, tai yra, daugyba iš jo yra lygi dalybai, tada progresija su panašiomis sąlygomis yra mažėjanti geometrinė progresija. Tokio pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 = 6, q = 1/3 – a 1 yra didesnis už vieną, q yra mažesnis.

Tada skaitinę seką galima parašyti taip:

6 2 2/3 ... - bet kuris elementas yra 3 kartus didesnis nei po jo einantis elementas.

• Ženklas-kintamasis. Jei q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Pavyzdys: a 1 = -3 , q = -2 - abu parametrai yra mažesni už nulį.

Tada seką galima parašyti taip:

3, 6, -12, 24,...

Formulės

Norint patogiai naudoti geometrines progresijas, yra daug formulių:

• z-tojo nario formulė. Leidžia apskaičiuoti elementą pagal tam tikrą skaičių neskaičiuojant ankstesnių skaičių.

Pavyzdys:q = 3, a 1 = 4. Reikia apskaičiuoti ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Pirmųjų elementų, kurių skaičius yra, suma z. Leidžia apskaičiuoti visų sekos elementų sumą ikia zimtinai.

Nuo (1-q) yra vardiklyje, tada (1 - q)≠ 0, taigi q nėra lygus 1.

Pastaba: jei q = 1, progresija būtų be galo pasikartojančio skaičiaus serija.

Geometrinės progresijos suma, pavyzdžiai:a 1 = 2, q= -2. Apskaičiuokite S 5 .

Sprendimas:S 5 = 22 - skaičiavimas pagal formulę.

• Suma, jei |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Pavyzdys:a 1 = 2 , q= 0,5. Raskite sumą.

Sprendimas:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Kai kurios savybės:

• būdinga savybė. Jei tokia sąlyga atlikta bet kokiamz, tada duotoji skaičių serija yra geometrinė progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Be to, bet kurio geometrinės progresijos skaičiaus kvadratas randamas pridedant bet kurių kitų dviejų skaičių kvadratus tam tikroje eilutėje, jei jie yra vienodu atstumu nuo šio elemento.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kurtyra atstumas tarp šių skaičių.

• Elementaiskiriasi qkartą.
• Progresijos elementų logaritmai taip pat sudaro progresiją, bet jau aritmetinę, tai yra, kiekvienas iš jų yra didesnis už ankstesnį tam tikru skaičiumi.

Kai kurių klasikinių problemų pavyzdžiai

Norint geriau suprasti, kas yra geometrinė progresija, gali padėti pavyzdžiai su sprendimu 9 klasei.

• Sąlygos:a 1 = 3, a 3 = 48. Rastiq.

Sprendimas: kiekvienas paskesnis elementas yra didesnis nei ankstesnisq kartą.Vienus elementus būtina išreikšti per kitus, naudojant vardiklį.

Vadinasi,a 3 = q 2 · a 1

Keičiantq= 4

• Sąlygos:a 2 = 6, a 3 = 12. Apskaičiuokite S 6 .

Sprendimas:Norėdami tai padaryti, pakanka rasti q, pirmąjį elementą, ir pakeisti jį į formulę.

a 3 = q· a 2 , Vadinasi,q= 2

a 2 = q a 1,Štai kodėl a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Raskite ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas: tam pakanka ketvirtąjį elementą išreikšti per pirmąjį ir per vardiklį.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Taikymo pavyzdys:

• Banko klientas įnešė 10 000 rublių indėlį, pagal kurį kiekvienais metais klientas prie pagrindinės sumos pridės 6% jo. Kiek pinigų bus sąskaitoje po 4 metų?

Sprendimas: pradinė suma yra 10 tūkstančių rublių. Taigi, praėjus metams po investicijos, sąskaitoje bus suma lygi 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Atitinkamai, suma sąskaitoje po kitų metų bus išreikšta taip:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Tai yra, kiekvienais metais suma didėja 1,06 karto. Tai reiškia, kad norint rasti lėšų sumą sąskaitoje po 4 metų, pakanka rasti ketvirtąjį progresijos elementą, kurį suteikia pirmasis elementas lygus 10 tūkst., o vardiklis lygus 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Sumos apskaičiavimo užduočių pavyzdžiai:

Įvairiose problemose naudojama geometrinė progresija. Sumos nustatymo pavyzdys gali būti pateiktas taip:

a 1 = 4, q= 2, apskaičiuokiteS5.

Sprendimas: visi skaičiavimui reikalingi duomenys yra žinomi, tereikia juos pakeisti formulėje.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Apskaičiuokite pirmųjų šešių elementų sumą.

Sprendimas:

Geom. progresija, kiekvienas kitas elementas yra q kartų didesnis už ankstesnį, tai yra, norint apskaičiuoti sumą, reikia žinoti elementąa 1 ir vardiklisq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Panašiai mes turime rastia 1 , žinanta 2 Irq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Dabar apsvarstykite begalinės geometrinės progresijos sumavimo klausimą. Duotosios begalinės progresijos dalinę sumą vadinkime jos pirmųjų narių suma. Dalinę sumą pažymėkite simboliu

Kiekvienam begaliniam progresui

galima sudaryti (taip pat begalinę) jos dalinių sumų seką

Tegul seka su neribotu padidėjimu turi ribą

Šiuo atveju skaičius S, t.y., dalinių progresijos sumų riba, vadinamas begalinės progresijos suma. Įrodysime, kad begalinė mažėjanti geometrinė progresija visada turi sumą, ir išvesime šios sumos formulę (taip pat galime parodyti, kad begalinė progresija neturi sumos, neegzistuoja).

Dalinės sumos išraišką rašome kaip progresijos narių sumą pagal formulę (91.1) ir laikome dalinės sumos ribą ties

Iš 89 punkto teoremos žinoma, kad mažėjančiai progresijai ; todėl taikydami skirtumo ribos teoremą randame

(čia taip pat naudojama taisyklė: pastovus koeficientas išimamas iš ribos ženklo). Egzistavimas įrodytas, o kartu gaunama be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulė:

Lygybę (92.1) taip pat galima parašyti kaip

Čia gali atrodyti paradoksalu, kad begalinės terminų aibės sumai priskiriama tiksliai apibrėžta baigtinė reikšmė.

Šiai situacijai paaiškinti galima pateikti aiškią iliustraciją. Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi vienetui (72 pav.). Padalinkime šį kvadratą horizontalia linija į dvi lygias dalis, o viršutinę dalį pritaikykime apatinei, kad susidarytų stačiakampis su kraštinėmis 2 ir . Po to dešiniąją šio stačiakampio pusę vėl padalijame per pusę horizontalia linija ir pritvirtiname viršutinę dalį prie apatinės (kaip parodyta 72 pav.). Tęsdami šį procesą, originalų kvadratą, kurio plotas lygus 1, nuolat transformuojame į vienodo dydžio figūrėles (įgauname laiptų formą su retėjančiomis pakopomis).

Be galo tęsiant šį procesą, visas kvadrato plotas suskaidomas į begalinį skaičių narių – stačiakampių, kurių bazės lygus 1, plotus ir aukščius. Stačiakampių plotai tiesiog sudaro begalinę mažėjančią progresiją, jos suma

y., kaip ir tikėtasi, yra lygus aikštės plotui.

Pavyzdys. Raskite šių begalinių progresijų sumas:

Sprendimas, a) Pastebime, kad ši progresija Todėl pagal (92.2) formulę randame

b) Čia tai reiškia, kad pagal tą pačią formulę (92.2) turime

c) Mes nustatome, kad ši progresija Todėl ši progresija neturi sumos.

5 skyriuje parodytas be galo mažėjančios progresijos narių sumos formulės taikymas periodinės dešimtainės trupmenos pavertimui į paprastąją trupmeną.

Pratimai

1. Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra 3/5, o pirmųjų keturių jos narių suma yra 13/27. Raskite pirmąjį progresijos narį ir vardiklį.

2. Raskite keturis skaičius, kurie sudaro kintamą geometrinę progresiją, kurioje antrasis narys yra mažesnis už pirmąjį 35, o trečiasis yra didesnis už ketvirtą 560.

3. Rodyti kas, jei seka

sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją, tada seką

bet kuriai formai be galo mažėjanti geometrinė progresija. Ar šis teiginys galioja

Išveskite geometrinės progresijos narių sandaugos formulę.