Ir aukso pjūvis. Aukso pjūvis – matematika – sakralinė geometrija – mokslas – straipsnių katalogas – pasaulio rožė
Kiekvienas žmogus, susidūręs su objektų geometrija erdvėje, yra gerai susipažinęs su aukso pjūvio metodu. Jis naudojamas meno, interjero dizaino ir architektūros srityse. Dar praėjusį šimtmetį aukso pjūvis pasirodė toks populiarus, kad dabar daugelis mistinės pasaulio vizijos šalininkų jam suteikė kitą pavadinimą – universalioji harmonikos taisyklė. Šio metodo ypatybes verta apsvarstyti išsamiau. Tai padės išsiaiškinti, kodėl jį domina kelios veiklos sritys iš karto – menas, architektūra, dizainas.
Universalios proporcijos esmė
Aukso pjūvio principas yra tik skaičių priklausomybė. Tačiau daugelis yra linkę į tai, priskirdami šiam reiškiniui tam tikrų mistinių galių. Priežastis slypi neįprastose taisyklės savybėse:
- Daugelio gyvų objektų liemens ir galūnių proporcijos yra artimos aukso pjūvio požymiams.
- Priklausomybės 1,62 arba 0,63 nustato dydžio santykius tik gyvoms būtybėms. Su negyvąja gamta susiję objektai labai retai atitinka harmoninės taisyklės prasmę.
- Auksinės gyvų būtybių kūno sandaros proporcijos yra esminė daugelio biologinių rūšių išlikimo sąlyga.
Aukso pjūvį galima rasti įvairių gyvūnų kūnų struktūroje, medžių kamienuose ir krūmų šaknyse. Šio principo universalumo šalininkai bando įrodyti, kad jo reikšmė gyvybiškai svarbi gyvojo pasaulio atstovams.
Aukso pjūvio metodą galite paaiškinti naudodami vištienos kiaušinio atvaizdą. Segmentų santykis nuo apvalkalo taškų, vienodai nutolusių nuo svorio centro, yra lygus auksiniam pjūviui. Svarbiausias paukščių išlikimo rodiklis yra kiaušinio forma, o ne lukšto stiprumas.
Svarbu! Aukso pjūvis apskaičiuojamas remiantis daugelio gyvų objektų matavimais.
Aukso pjūvio kilmė
Senovės Graikijos matematikai žinojo apie visuotinę taisyklę. Jį naudojo Pitagoras ir Euklidas. Garsiajame architektūros šedevre – Cheopso piramidėje pagrindinės dalies matmenų ir šonų ilgio santykis, taip pat bareljefai ir dekoratyvinės detalės atitinka harmonikos taisyklę.
Aukso pjūvio metodą perėmė ne tik architektai, bet ir menininkai. Harmoninės proporcijos paslaptis buvo laikoma viena didžiausių paslapčių.
Pirmasis universalią geometrinę proporciją dokumentavo pranciškonų vienuolis Luca Pacioli. Jo matematikos gebėjimai buvo puikūs. Aukso pjūvis sulaukė plataus pripažinimo po Zeising rezultatų paskelbimo apie aukso pjūvį. Jis tyrinėjo žmogaus kūno proporcijas, senovines skulptūras, augalus.
Kaip buvo apskaičiuotas aukso pjūvis?
Norint suprasti, kas yra auksinis pjūvis, padės paaiškinimas, pagrįstas segmentų ilgiu. Pavyzdžiui, didelio viduje yra keletas mažų. Tada mažų segmentų ilgiai yra susieti su bendru didelio segmento ilgiu kaip 0,62. Toks apibrėžimas padeda išsiaiškinti, į kiek dalių galima padalyti tam tikrą eilutę, kad ji atitiktų harmonikos taisyklę. Kitas šio metodo privalumas yra tai, kad galite sužinoti, koks turėtų būti didžiausio segmento ir viso objekto ilgio santykis. Šis santykis yra 1,62.
Tokie duomenys gali būti pavaizduoti kaip išmatuotų objektų proporcijos. Iš pradžių jie buvo ieškomi, atrenkami empiriškai. Tačiau dabar žinomi tikslūs santykiai, tad pagal juos pastatyti objektą nebus sunku. Aukso pjūvis randamas šiais būdais:
- Sukurkite statųjį trikampį. Padalinkite vieną iš jo kraštų ir nubrėžkite statmenus slenkančiais lankais. Atliekant skaičiavimus, iš vieno segmento galo reikia pastatyti statmeną, lygų ½ jo ilgio. Tada baigiamas stačiakampis trikampis. Jei ant hipotenuzos pažymėsite tašką, kuris parodys statmenos atkarpos ilgį, spindulys, lygus likusiai linijos daliai, perpjauna pagrindą į dvi dalis. Gautos linijos bus susietos viena su kita pagal aukso pjūvį.
- Universalios geometrinės vertės taip pat gaunamos kitu būdu - kuriant Durer pentagramą. Ji yra žvaigždė, padėta ratu. Jame yra 4 segmentai, kurių ilgiai atitinka aukso pjūvio taisyklę.
- Architektūroje harmoninė proporcija naudojama modifikuota forma. Norėdami tai padaryti, stačiakampis trikampis turėtų būti padalintas išilgai hipotenuzės.
Svarbu! Palyginti su klasikine aukso pjūvio metodo koncepcija, architekto variantas turi 44:56 santykį.
Jei tradicinėje grafikos harmoninės taisyklės interpretacijoje ji buvo skaičiuojama 37:63, tai architektūrinėms konstrukcijoms dažniau buvo naudojama 44:56. Taip yra dėl būtinybės statyti daugiaaukščius pastatus.
Aukso pjūvio paslaptis
Jeigu gyvų daiktų atveju aukso pjūvis, pasireiškiantis žmonių ir gyvūnų kūno proporcijomis, gali būti paaiškinamas būtinybe prisitaikyti prie aplinkos, tai optimalių proporcijų taisyklės panaudojimas XII a. statyti namus buvo nauja.
Partenonas, išsaugotas nuo senovės Graikijos laikų, buvo pastatytas aukso pjūvio metodu. Daugelis viduramžių didikų pilių buvo sukurtos su harmonikos taisyklę atitinkančiais parametrais.
Aukso pjūvis architektūroje
Daugybė senovės pastatų, išlikusių iki šių dienų, patvirtina, kad viduramžių architektai buvo susipažinę su harmonikos taisykle. Labai aiškiai matomas siekis išlaikyti darnią proporciją statant bažnyčias, reikšmingus visuomeninius pastatus, karališkųjų asmenų rezidencijas.
Pavyzdžiui, Dievo Motinos katedra buvo pastatyta taip, kad daugelis jos skyrių atitiktų aukso pjūvio taisyklę. Čia galite rasti daugybę XVIII amžiaus architektūros kūrinių, kurie buvo pastatyti pagal šią taisyklę. Taisyklę taikė ir daugelis rusų architektų. Tarp jų buvo ir M.Kazakovas, kūręs dvarų ir gyvenamųjų pastatų projektus. Jis suprojektavo Senato pastatą ir Golicino ligoninę.
Natūralu, kad namai su tokiu dalių santykiu buvo statomi dar prieš atrandant aukso pjūvio taisyklę. Pavyzdžiui, tarp tokių pastatų yra Nerlio Užtarimo bažnyčia. Pastato grožis tampa dar paslaptingesnis, turint omenyje, kad Užtarimo bažnyčios pastatas iškilo XVIII a. Tačiau modernią išvaizdą pastatas įgavo po restauracijos.
Raštuose apie aukso pjūvį minima, kad architektūroje objektų suvokimas priklauso nuo to, kas stebi. Proporcijos, suformuotos naudojant auksinę pjūvį, suteikia laisviausią konstrukcijos dalių santykį viena kitos atžvilgiu.
Įspūdingas daugelio pastatų, atitinkančių visuotinę taisyklę, atstovas yra Partenonas, architektūros paminklas, pastatytas V amžiuje prieš Kristų. e. Partenonas yra išdėstytas aštuoniomis kolonomis mažesniuose fasaduose ir septyniolika didesniuose. Šventykla buvo pastatyta iš kilnaus marmuro. Dėl šios priežasties dažų naudojimas yra ribotas. Pastato aukštis atitinka jo ilgį 0,618. Jei Partenoną padalinsite pagal aukso pjūvio proporcijas, gausite tam tikras fasado briaunas.
Visas šias konstrukcijas vienija vienas bruožas – formų derinio harmonija ir puiki konstrukcijos kokybė. Taip yra dėl harmoninės taisyklės naudojimo.
Aukso pjūvio svarba žmogui
Senovinių pastatų ir viduramžių namų architektūra yra gana įdomi šiuolaikiniams dizaineriams. Taip yra dėl šių priežasčių:
- Dėl originalaus namų dizaino galite išvengti erzinančių klišių. Kiekvienas toks pastatas yra architektūros šedevras.
- Masinis taisyklės taikymas puošiant skulptūras ir statulas.
- Dėl harmoningų proporcijų laikymosi akį patraukia svarbesnės detalės.
Svarbu! Kurdami pastato projektą ir kurdami išorinį vaizdą, viduramžių architektai naudojo universalias proporcijas, pagrįstas žmogaus suvokimo dėsniais.
Šiandien psichologai priėjo prie išvados, kad aukso pjūvio principas yra ne kas kita, kaip žmogaus reakcija į tam tikrą dydžių ir formų santykį. Vieno eksperimento metu grupės tiriamųjų buvo paprašyta sulankstyti popieriaus lapą taip, kad jo šonai būtų optimalių proporcijų. 85 rezultatuose iš 100 žmonės sulenkė lapą beveik tiksliai pagal harmonikos taisyklę.
Šiuolaikinių mokslininkų teigimu, aukso pjūvio rodikliai labiau priklauso psichologijos sričiai, nei apibūdina fizinio pasaulio dėsnius. Tai paaiškina, kodėl juo taip domisi apgavikai. Tačiau statydamas objektus pagal šią taisyklę žmogus juos suvokia patogiau.
Auksinio pjūvio naudojimas projektuojant
Privačių namų statyboje vis dažniau taikomi universalios proporcijos naudojimo principai. Ypatingas dėmesys skiriamas optimalių konstrukcijos proporcijų laikymuisi. Daug dėmesio skiriama teisingam dėmesio paskirstymui namo viduje.
Šiuolaikinis aukso pjūvio aiškinimas nebereikalauja tik geometrijos ir formos taisyklių. Šiandien harmoninių proporcijų principas paklūsta ne tik fasado detalių matmenims, patalpų plotui ar frontonų ilgiui, bet ir interjerui kuriant naudojamą spalvų paletę.
Daug lengviau sukurti harmoningą struktūrą moduliniu pagrindu. Daugelis skyrių ir patalpų šiuo atveju atliekami kaip atskiri blokai. Jie sukurti griežtai laikantis harmonikos taisyklės. Pastatyti pastatą kaip atskirų modulių rinkinį yra daug lengviau nei sukurti vieną dėžę.
Daugelis firmų, užsiimančių kaimo namų statyba, kurdamos projektą vadovaujasi harmonikos taisykle. Tai leidžia klientams susidaryti įspūdį, kad pastato konstrukcija buvo detaliai parengta. Tokie namai dažniausiai apibūdinami kaip harmoningiausi ir patogiausi naudoti. Pasirinkę optimalų patalpų plotą, gyventojai psichologiškai jaučiasi ramūs.
Jei namas buvo pastatytas neatsižvelgiant į harmonines proporcijas, galite sukurti išdėstymą, kuris bus artimas 1: 1,61 pagal sienų dydžių santykį. Tam kambariuose įrengiamos papildomos pertvaros arba pertvarkomi baldai.
Taip pat keičiami durų ir langų matmenys, kad angos plotis būtų 1,61 karto mažesnis už aukščio reikšmę.
Sunkiau pasirinkti spalvas. Tokiu atveju galite stebėti supaprastintą aukso pjūvio vertę - 2/3. Pagrindinės spalvos fonas turėtų užimti 60% kambario erdvės. Atspalvis užima 30% patalpos. Likęs paviršiaus plotas nudažytas tonais arti vienas kito, pagerinant pasirinktos spalvos suvokimą.
Patalpų vidinės sienos skaidomos horizontalia juosta. Jis yra 70 cm nuo grindų. Baldų aukštis turi derėti su sienų aukščiu. Ši taisyklė galioja ir ilgių paskirstymui. Pavyzdžiui, sofos matmenys turėtų būti bent 2/3 sienos ilgio. Tam tikrą vertę turėtų turėti ir kambario plotas, kurį užima baldai. Tai reiškia, kad bendras viso kambario plotas yra 1:1,61.
Auksinį pjūvį sunku pritaikyti praktiškai, nes yra tik vienas skaičius. Štai kodėl. Projektuoju harmoningus pastatus, naudoju Fibonačio skaičių serijas. Tai suteikia įvairių pastato detalių formų ir proporcijų pasirinkimų. Fibonačio skaičių serija taip pat vadinama auksine. Visos reikšmės griežtai atitinka tam tikrą matematinę priklausomybę.
Be Fibonacci serijos, šiuolaikinėje architektūroje naudojamas ir kitas projektavimo būdas – prancūzų architekto Le Corbusier nustatytas principas. Renkantis šį metodą, pradinis matavimo vienetas yra namo savininko ūgis. Pagal šį rodiklį apskaičiuojami pastato ir vidaus matmenys. Tokio požiūrio dėka namai ne tik harmoningi, bet ir įgauna individualumo.
Bet koks interjeras įgaus išsamesnę išvaizdą, jei jame naudosite karnizus. Naudodami universalias proporcijas galite apskaičiuoti jo dydį. Optimalūs rodikliai yra 22,5, 14 ir 8,5 cm Karnizai turi būti montuojami pagal aukso pjūvio taisykles. Mažoji dekoratyvinio elemento pusė turėtų būti susijusi su didesne puse, kaip ir su abiejų pusių jungtimis. Jei didžioji pusė yra lygi 14 cm, tada mažoji turėtų būti 8,5 cm.
Padalindami sienų paviršius gipso veidrodžių pagalba galite suteikti kambariui jaukumo. Jei siena skaidoma borteliu, iš likusios didesnės sienos dalies reikia atimti karnizo juostos aukštį. Norint sukurti optimalaus ilgio veidrodį, tokiu pat atstumu reikia atsitraukti nuo bordiūro ir karnizo.
Išvada
Namai, pastatyti pagal aukso pjūvio principą, tikrai pasirodo labai patogūs. Tačiau tokių pastatų statybos kaina yra gana didelė, nes dėl netipinių dydžių statybinių medžiagų kaina padidėja 70%. Šis požiūris nėra visiškai naujas, nes dauguma praėjusio amžiaus namų buvo sukurti pagal savininkų parametrus.
Dėl aukso pjūvio metodo naudojimo statybose ir projektavime pastatai yra ne tik patogūs, bet ir patvarūs. Jie atrodo harmoningai ir patraukliai. Interjeras taip pat dekoruotas pagal universalią proporciją. Tai leidžia protingai išnaudoti erdvę.
Tokiose patalpose žmogus jaučiasi kuo patogiau. Namą aukso pjūvio principu galite pasistatyti patys. Svarbiausia apskaičiuoti konstrukcijos elementų apkrovas ir pasirinkti tinkamas medžiagas.
Auksinio pjūvio metodas naudojamas interjero dizaine, patalpoje įdedant tam tikrų dydžių dekoratyvinius elementus. Tai leidžia suteikti kambariui jaukumo. Spalviniai sprendimai taip pat parenkami laikantis universalių harmoninių proporcijų.
AUKSINIS SANTYKIS
1. Įvadas 2 . Auksinis santykis – harmoninga proporcija
3
. Antrasis aukso pjūvis
4 . Zo lotoso trikampis (pentagrama)
5
.
Aukso pjūvio istorija
6
. Auksinis santykis ir simetrija 7. Fibonačio 8 serija . Apibendrintas aukso pjūvis
9
. Formavimosi gamtoje principai
1
0
. Žmogaus kūnas ir aukso pjūvis
1
1
. Auksinis santykis skulptūroje
1
2
. Aukso pjūvis architektūroje
1
3
. Aukso pjūvis muzikoje
1
4
. Auksinis santykis poezijoje
1
5
. Aukso pjūvis šriftuose ir namų apyvokos daiktuose
1
6
. Optimalūs fiziniai aplinkos parametrai
1
7
. Aukso pjūvis tapyboje
1
8
.
Auksinis santykis ir vaizdo suvokimas
19.
Auksinis santykis nuotraukose
2
0
. Auksinis santykis ir erdvė 2 1 . 2 išvada 2 . Bibliografija
ĮVADAS
Nuo seniausių laikų žmones nerimavo klausimas, ar tokie sunkiai suvokiami dalykai kaip grožis ir harmonija yra matematiškai skaičiuojami..
Žinoma, visi grožio dėsniai negali būti sutalpinti į kelias formules, tačiau studijuodami matematiką galime atrasti kai kuriuos grožio terminus.- aukso pjūvis.
Mūsų užduotis yra išsiaiškinti, kas yra aukso pjūvis, ir nustatyti, kur žmonija rado aukso panaudojimą. skyrių. Tikriausiai atkreipei dėmesį į tai, kad supančios tikrovės objektus ir reiškinius traktuojame skirtingai. Netvarka, beformiškumas, neproporcingumas mūsų suvokiami kaip negražūs ir sukelia atstumiantį įspūdį. O objektai ir reiškiniai, kuriems būdingas saikas, tikslingumas ir harmonija, suvokiami kaip gražūs ir sukelia susižavėjimo, džiaugsmo, nudžiuginimo jausmą.
Žmogus savo veikloje nuolat susiduria su objektais, kurių pagrindas yra aukso pjūvis.Yra dalykų, kurių negalima paaiškinti. Taigi jūs ateini prie tuščio suolo ir atsisėdi ant jo. Kur tu sėdėsi – viduryje? O gal iš pačio krašto? Ne, greičiausiai ne vienas ar kitas. Sėdėsite taip, kad vienos suoliuko dalies ir kitos dalies santykis jūsų kūno atžvilgiu būtų maždaug 1,62. Paprastas dalykas, absoliučiai instinktyvus... Atsisėdęs ant suoliuko susikūrei „auksinį pjūvį“. Aukso pjūvis buvo žinomas senovės Egipte ir Babilone, Indijoje ir Kinijoje. Didysis Pitagoras sukūrė slaptą mokyklą, kurioje buvo tiriama mistinė „aukso pjūvio“ esmė. Euklidas jį pritaikė, kurdamas savo geometriją, o Fidias – savo nemirtingas skulptūras. Platonas sakė, kad visata yra išdėstyta pagal „aukso pjūvį“. Ir Aristotelis rado „aukso pjūvio“ atitikimą etikos dėsniui. Aukščiausią „aukso pjūvio“ harmoniją skelbs Leonardo da Vinci ir Mikelandželas, nes grožis ir „aukso pjūvis“ yra vienas ir tas pats. O krikščionys mistikai ant savo vienuolynų sienų pieš „aukso pjūvio“ pentagramas, pabėgdami nuo Velnio. Tuo pačiu metu mokslininkai - iš Pacho l o prieš Einšteiną – jie ieškos, bet niekada neras tikslios prasmės. Begalinė serija po kablelio – 1.6180339887... Keistas, paslaptingas, nepaaiškinamas dalykas: ši dieviška proporcija mistiškai lydi viską, kas gyva. Negyva gamta nežino, kas yra „aukso pjūvis“. Bet jūs tikrai pamatysite šią proporciją jūros kriauklių vingiuose ir gėlių pavidalu, ir vabalų pavidalu, ir gražiame žmogaus kūne. Viskas, kas gyva ir kas gražu – viskas paklūsta dieviškajam įstatymui, kurio pavadinimas yra „aukso pjūvis“. Taigi, kas yra „aukso pjūvis“?.. Koks yra šis idealus, dieviškas derinys? Gal tai grožio dėsnis? O gal tai vis dar yra mistinė paslaptis? Mokslinis reiškinys ar etinis principas? Atsakymas vis dar nežinomas. Tiksliau – ne, tai žinoma. „Aukso pjūvis“ yra ir tas, ir kitas, ir trečias. Tik ne atskirai, o tuo pačiu... Ir tai yra jo tikroji paslaptis, didžioji jo paslaptis.
Tikriausiai sunku rasti patikimą matą objektyviam paties grožio įvertinimui, o vien logika čia nepadės. Tačiau čia padės patirtis tų, kuriems grožio paieškos buvo pati gyvenimo prasmė, kurie tai padarė savo profesija. Visų pirma, tai meno žmonės, kaip mes juos vadiname: menininkai, architektai, skulptoriai, muzikantai, rašytojai. Bet tai ir tiksliųjų mokslų žmonės, – pirmiausia matematikai.
Akimi labiau nei kitais jutimo organais pasitikėdamas žmogus pirmiausia išmoko pagal formą atskirti jį supančius objektus. Susidomėjimą daikto forma gali lemti gyvybinė būtinybė arba formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos pojūčio atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingų dydžių dalys yra tam tikrame santykyje viena su kita ir su visuma.Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.
AUKSO SKYRIUS – HARMONINĖ PROPORCIJA
Matematikoje proporcija yra dviejų santykių lygybė: a: b = c: d.
Linijos atkarpa AB gali būti padalinta į dvi dalis šiais būdais:
--
į dvi lygias dalis - AB: AC = AB: BC;
--
į dvi nelygias dalis bet kokiu santykiu (tokios dalys nesudaro proporcijų);
--
taigi, kai AB: AC = AC: BC.
Paskutinis yra auksinis skyrius.
Auksinė pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra susijęs su didesniu, kaip didesnis yra su viskuo
a: b = b: c arba c: b = b: a.
Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos atkarpos padalijimu aukso pjūviu naudojant kompasą ir liniuotę.
Iš taško B atkuriamas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas C tiese sujungtas su tašku A. Gautoje tiesėje nubrėžta atkarpa BC, kuri baigiasi tašku D. Atkarpa AD perkeliama į tiesę AB. Gautas taškas E padalija atkarpą AB aukso pjūvio santykiu.
Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami begaline trupmena AE \u003d 0,618 ..., jei AB imamas kaip vienetas, BE \u003d 0,382 ... Praktiniais tikslais apytikslės vertės yra 0,62 ir 0,38 dažnai naudojamas. Jei atkarpą AB imame kaip 100 dalių, tai didžiausia atkarpos dalis yra 62, o mažesnė – 38 dalys.
Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi: x2 – x – 1 = 0. Šios lygties sprendimas:
 |
ANTRAS AUKSO SKYRIUS Bulgarijos žurnalas „Tėvynė“ paskelbė Tsvetan Tsekov-Karandash straipsnį „Apie antrąjį auksinį pjūvį“, kuris išplaukia iš pagrindinės dalies ir pateikia kitą santykį 44:56. Ši proporcija randama architektūroje. Padalijimas atliekamas taip. Atkarpa AB yra padalinta proporcingai aukso pjūviui. Iš taško C atkuriamas statmenas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuris tiese sujungtas su tašku A. Statusis kampas ACD yra padalintas į pusę. Nuo taško C iki susikirtimo su tiese AD nubrėžiama linija. Taškas E dalija atkarpą AD santykiu 56:44. Paveikslėlyje parodyta antrosios auksinės dalies linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp auksinės pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos. AUKSINIS TRIKAMPIS Norėdami rasti didėjančios ir mažėjančios eilučių auksinio santykio segmentus, galite naudoti pentagramą. Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Diureris. Tegul O yra apskritimo centras, A yra apskritimo taškas, o E yra atkarpos OA vidurio taškas. Statmenas spinduliui OA, pakeltas taške O, kertasi su apskritimu taške D. Kompasu pažymėkite skersmenyje atkarpą CE = ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Apskritime atidedame DC segmentus ir gauname penkis taškus už taisyklingo penkiakampio nubrėžimą. Penkiakampio kampus sujungiame per vieną įstrižainę ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu. Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jo šonai viršuje sudaro 36° kampą, o šone padėtas pagrindas jį padalija proporcingai aukso pjūviui. Nubrėžkite tiesę AB. Iš taško A tris kartus atidedame ant jo savavališko dydžio atkarpą O, per gautą tašką P nubrėžiame statmeną tiesei AB, statmeną į dešinę ir kairę taško P atidedame atkarpas O. taškai d ir d1 yra sujungti tiesiomis linijomis su tašku A. Atkarpą dd1 įdedame į tiesę Ad1, gaudami tašką C. Tiesę Ad1 ji padalino proporcingai aukso pjūviui. Linijos Ad1 ir dd1 naudojamos „auksiniam“ stačiakampiui sukurti. AUKSO SKYRIAUS ISTORIJA
Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką į mokslą įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas. Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų Cheopso piramidės proporcijos, šventyklos, namų apyvokos daiktai ir papuošimai iš Tutanchamono kapo rodo, kad Egipto meistrai jas kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant savo vardo kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos auksinio padalijimo proporcijos. Graikai buvo įgudę geometrai. Net aritmetikos jų vaikai buvo mokomi geometrinių figūrų pagalba. Pitagoro kvadratas ir šio kvadrato įstrižainė buvo pagrindas statyti dinamiškus stačiakampius. Platonas taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Pitagorietis Timėjas Platono to paties pavadinimo dialoge sako: „Neįmanoma, kad du dalykai būtų tobulai susiję be trečiojo, nes tarp jų turi atsirasti daiktas, kuris juos laikytų kartu. Geriausia tai padaryti pagal proporciją, nes jei trys skaičiai turi savybę, kad vidutinis yra mažesnis, kaip didesnis yra vidurkis, ir atvirkščiai, mažesnis yra vidutinis, nes vidurkis yra didesnis, tada paskutinis ir pirmasis bus vidurinis, ir vidurys pirmas ir paskutinis. kadangi jis bus tas pats, tai sudarys visumą." Platonas kuria žemiškąjį pasaulį naudodamas dviejų tipų trikampius: lygiašonius ir nelygiašonius. Gražiausiu stačiakampiu trikampiu jis laiko tą, kurio hipotenuzė yra du kartus mažiausia iš kojelių (toks stačiakampis yra pusė lygiakraštės, pagrindinė babiloniečių figūra, jo santykis yra 1:3 1/2 , kuris nuo aukso pjūvio skiriasi maždaug 1/25 ir Thymerding vadinamas „aukso pjūvio varžovu“). Trikampių pagalba Platonas sukuria keturias taisyklingas daugiakampes, susiejančias jas su keturiomis žemiškomis stichijomis (žeme, vandeniu, oru ir ugnimi). Ir tik paskutinis iš penkių esamų taisyklingų daugiakampių – dodekaedras, kurio visi dvylika veidų yra taisyklingi penkiakampiai, pretenduoja į simbolinį dangiškojo pasaulio atvaizdą.
Ikozaedras ir dodekaedras Garbė atrasti dodekaedrą (arba, kaip buvo manoma, pačią Visatą, šią keturių elementų kvintesenciją, kurią atitinkamai simbolizuoja tetraedras, oktaedras, ikosaedras ir kubas) priklauso Hipasui, kuris vėliau žuvo laivo katastrofoje. Ši figūra tikrai atspindi daugybę auksinės pjūvio santykių, todėl pastarajam buvo paskirtas pagrindinis vaidmuo dangiškame pasaulyje, kurio vėliau primygtinai reikalavo nepilnametis brolis Luca Pacioli. Senovės graikų Partenono šventyklos fasade yra auksinės proporcijos. Jo kasinėjimų metu buvo rasti kompasai, kuriais naudojosi senovės pasaulio architektai ir skulptoriai. Pompėjos kompasas (muziejus Neapolyje) taip pat turi auksinio padalijimo proporcijas. Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido „Pradžioje“. 2-ojoje „Pradžių“ knygoje pateikta auksinės padalos geometrinė konstrukcija. Auksinį skirstymą po Euklido tyrinėjo Hipsiklis (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kiti, kurie viduramžių Europoje su auksine dalyba susipažino iš Euklido „Pradžių“ arabiškų vertimų. Vertimą komentavo vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.). Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos, laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai. Viduramžiais pentagrama buvo demonizuota (kaip ir daug kas senovės pagonybėje buvo laikoma dieviška) ir rado prieglobstį okultiniuose moksluose. Tačiau Renesansas vėl iškelia į dienos šviesą ir pentagramą, ir aukso pjūvį. Taigi žmogaus kūno sandarą apibūdinanti schema plačiai paplito tuo humanizmo tvirtinimo laikotarpiu: Leonardo da Vinci taip pat ne kartą griebėsi tokio paveikslo, iš esmės atkartodamas pentagramą. Jo aiškinimas: žmogaus kūnas turi dievišką tobulumą, nes jam būdingos proporcijos yra tokios pačios kaip ir pagrindinėje dangaus figūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias matematikas Italijoje tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.
Luca Pacioli puikiai suvokė mokslo svarbą menui. 1496 m. Moro kunigaikščio kvietimu atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Moro teisme Milane. 1509 m. Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Apie dieviškąją proporciją“ (De divina proporcija, 1497, išleista Venecijoje 1509 m.) su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tokia proporcija yra tik viena, o unikalumas yra aukščiausia Dievo savybė. Ji įkūnija šventąją trejybę. Ši proporcija negali būti išreikšta prieinamu skaičiumi, lieka paslėpta ir slapta, o pačių matematikų vadinama neracionalia (todėl Dievo negalima nei apibrėžti, nei paaiškinti žodžiais). Dievas niekada nesikeičia ir reprezentuoja viską visame kame ir viską kiekvienoje savo dalyje, todėl aukso pjūvis bet kokiam tęstiniam ir apibrėžtam kiekiui (nepriklausomai nuo to, didelis ar mažas) yra vienodas, negali būti keičiamas ar kitaip suvokiamas protu. Dievas pašaukė būti dangiškąją dorybę, kitaip vadinamą penktąja substancija, su jos pagalba dar keturis paprastus kūnus (keturis elementus – žemę, vandenį, orą, ugnį) ir jų pagrindu pakvietė būti visus kitus gamtos daiktus; taigi mūsų šventoji proporcija, pasak Platono Timėjuje, pačiam dangui suteikia formalią būtį, nes ji priskiriama kūno formai, vadinamai dodekaedru, kuris negali būti pastatytas be aukso pjūvio. Tai yra Pacioli argumentai.
Leonardo da Vinci taip pat daug dėmesio skyrė auksinio padalinio tyrimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo aukso padalijimas. Todėl šiam skyriui jis suteikė aukso pjūvio pavadinimą. Taigi jis vis dar yra populiariausias. Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Dureris rašo. "Reikia, kad tas, kuris žino, kaip to išmokyti kitus, kuriems to reikia. Taip ir užsimaniau." Sprendžiant iš vieno Diurerio laiškų, jis susitiko su Luca Pacioli viešėdamas Italijoje. Albrechtas Diureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Diureris savo santykių sistemoje svarbią vietą skyrė aukso pjūviui. Žmogaus ūgį auksinėmis proporcijomis dalija diržo linija, taip pat linija, nubrėžta per nuleistų rankų vidurinių pirštų galiukus, apatinė veido dalis - prie burnos ir kt. Žinomas proporcinis kompasas Dürer. Puikus XVI amžiaus astronomas Johannesas Kepleris aukso pjūvį pavadino vienu iš geometrijos lobių. Jis pirmasis atkreipia dėmesį į aukso pjūvio reikšmę botanikai (augalų augimui ir struktūrai). Kepleris pavadino auksinį pjūvį besitęsiančiu. „Jis yra išdėstytas taip, – rašė jis, – kad du jaunesni šios begalinės proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, sudaro kitą kadenciją, ir ta pati proporcija išlieka iki begalybės“. Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija). Jei savavališko ilgio tiesėje atidedame atkarpą m, tada atidedame atkarpą M. Remdamiesi šiais dviem atkarpomis, sudarome didėjančios ir mažėjančios eilučių auksinės proporcijos segmentų skalę Vėlesniais šimtmečiais aukso pjūvio taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „vaiką išmetė su vandeniu“. Aukso pjūvis vėl buvo „atrastas“ XIX amžiaus viduryje. 1855 metais vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetinis tyrimas“. Su Zeisingu tiksliai tai, kas atsitiko, turėjo nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie jo proporcijų doktriną paskelbė „matematine estetika“. Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir artėja prie auksinio pjūvio šiek tiek arčiau nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8:5. = 1,6. Naujagimiui ši proporcija yra 1:1, sulaukus 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – vyro. Aukso pjūvio proporcijos pasireiškia ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos, plaštakos ir pirštų ilgio ir kt. Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė Apollo Belvedere proporcijas. Buvo tiriamos graikiškos vazos, įvairių epochų architektūrinės struktūros, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas apibrėžė aukso pjūvį, parodė, kaip jis išreiškiamas linijų atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gautos figūros, išreiškiančios segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jos sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ir kita kryptimi. Kita jo knyga vadinosi „Auksinis padalijimas kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knygelė, beveik brošiūra, apibrėžianti Zeisingo kūrybą. Autorius prisiglaudė po inicialais Yu.F.V. Šiame leidime neminimas nė vienas paveikslas. XIX pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno ir architektūros kūriniuose. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai, aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt. AUKSINIS SANTYKIS IR SIMETRIJOS Auksinis pjūvis negali būti nagrinėjamas pats savaime, atskirai, be ryšio su simetrija. Didysis rusų kristalografas G.V. Wulffas (1863...1925) aukso pjūvį laikė viena iš simetrijos apraiškų. Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai.Pagal šiuolaikines sampratas auksinė padalija yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinė ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina poilsį, pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą, augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai, vienodi dydžiai. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, ir ji išreiškiama didėjančios arba mažėjančios serijos aukso pjūvio reikšmėmis. FIBONŲ EILĖ AF H IR
Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo Fibonačio vardu, vardas netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su arabiškais skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abakų knyga“ (Skaičiavimo lenta), kuriame buvo surinktos visos tuo metu žinomos problemos. Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonačio serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 ir tt, o gretimų serijos skaičių santykis artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu F. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – suteikia nenutrūkstamą tiesios linijos atkarpos padalijimą auksiniu pjūviu, jį didinant arba sumažinant iki begalybės, kai mažesnė atkarpa yra susijusi su didesniu kaip didesnis yra viskam. Kaip parodyta toliau esančiame paveikslėlyje, kiekvieno piršto sąnario ilgis yra susijęs su kito piršto ilgiu F proporcijoje. Toks pat ryšys matomas visuose rankų ir kojų pirštuose. Šis ryšys kažkaip neįprastas, nes vienas pirštas ilgesnis už kitą be jokio matomo rašto, bet tai neatsitiktinai – kaip ir viskas žmogaus kūne neatsitiktinai. Atstumai ant pirštų, pažymėti nuo A iki B iki C iki D iki E, yra susiję vienas su kitu santykiu F, kaip ir pirštų falangos nuo F iki G iki H.
Pažvelkite į šį varlės skeletą ir sužinokite, kaip kiekvienas kaulas atitinka F proporcijos modelį, kaip ir žmogaus kūne.
GENERALINIS AUKSO SANTYKIS Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu. Matiyasevičius, naudodamas Fibonačio skaičius, išsprendžia 10- Yu Hilberto problema. Yra daugybė kibernetinių problemų sprendimo būdų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą. Vienas iš šios srities laimėjimų – apibendrintų Fibonačio skaičių ir apibendrintų aukso santykio atradimas. Jo atrasta Fibonačio serija (1, 1, 2, 3, 5, 8) ir „dvejetainė“ svorių serija 1, 2, 4, 8 iš pirmo žvilgsnio visiškai skiriasi. Bet jų konstravimo algoritmai yra labai panašūs vienas į kitą: pirmuoju atveju kiekvienas skaičius yra ankstesnio skaičiaus suma su savimi 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., antrame - tai dviejų ankstesnių skaičių suma 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ar tai įmanoma rasti bendrą matematinę formulę, iš kurios "dvejetainės" serijos ir Fibonačio serijos? O gal ši formulė suteiks mums naujų skaičių rinkinių su naujomis unikaliomis savybėmis? Išties, nustatykime skaitinį parametrą S, kuris gali turėti bet kokias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5... atskirtas nuo ankstesnio S žingsniais. Jei n-ąjį šios serijos narį pažymėsime? S (n), tada gauname bendrą formulę? S(n) = ? S (n - 1) + ? S (n – S – 1). Akivaizdu, kad kai S = 0, iš šios formulės gausime "dvejetainę" eilutę, kai S = 1 - Fibonačio eilutę, kai S = 2, 3, 4. naujas skaičių eilutes, kurios vadinamos S-Fibonačio skaičiais. Apskritai auksinė S proporcija yra teigiama auksinės S pjūvio lygties x šaknis S+1 – x S – 1 = 0. Nesunku parodyti, kad esant S = 0, gaunamas atkarpos padalijimas per pusę, o esant S = 1 - pažįstamas klasikinis auksinis pjūvis. Gretimų Fibonačio S skaičių santykiai sutampa su auksinėmis S proporcijomis absoliučiu matematiniu tikslumu! Matematikai tokiais atvejais sako, kad auksiniai S pjūviai yra skaitiniai Fibonačio S skaičių invariantai. Faktus, patvirtinančius auksinių S pjūvių egzistavimą gamtoje, pateikia baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei pradinių komponentų savitieji svoriai yra susiję vienas su kitu. viena iš auksinių S proporcijų. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksinės S pjūviai yra savaime besiorganizuojančių sistemų skaitiniai invariantai. Patvirtinta eksperimentiškai, ši hipotezė gali turėti esminės reikšmės plėtojant sinergiją – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose. Naudojant auksinius S proporcijų kodus, bet koks tikrasis skaičius gali būti išreikštas kaip auksinių S proporcijų laipsnių suma su sveikųjų skaičių koeficientais. Esminis skirtumas tarp šio skaičių kodavimo būdo yra tas, kad naujų kodų, kurie yra auksinės S proporcijos, pagrindai pasirodo esantys neracionalūs skaičiai, kai S > 0. Taigi naujosios skaičių sistemos su neracionaliais pagrindais tarsi „apvertė aukštyn kojomis“ istoriškai nusistovėjusią racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių santykių hierarchiją. Faktas yra tas, kad iš pradžių buvo „atrasta“ natūralieji skaičiai; tada jų santykiai yra racionalieji skaičiai. Ir tik vėliau – pitagoriečiams atradus nepalyginamus segmentus – atsirado neracionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainėje, kvinarinėje, dvejetainėje ir kitose klasikinėse pozicinių skaičių sistemose natūralieji skaičiai – 10, 5, 2 – buvo pasirinkti kaip tam tikras pagrindinis principas, iš kurio buvo naudojami visi kiti natūralieji skaičiai, taip pat racionalieji ir iracionalieji skaičiai. pastatytas pagal tam tikras taisykles. Savotiška alternatyva esamiems numeravimo metodams yra nauja, neracionali sistema, kaip pagrindinis principas, kurios pradžia pasirenkama kaip iracionalusis skaičius (kuris, kaip prisimename, yra aukso pjūvio lygties šaknis); per jį jau išreiškiami kiti realieji skaičiai. Tokioje skaičių sistemoje bet koks natūralusis skaičius visada pavaizduojamas kaip baigtinis skaičius – o ne begalinis, kaip manyta anksčiau! - bet kurios auksinės S proporcijos laipsnių sumos. Tai yra viena iš priežasčių, kodėl „neracionali“ aritmetika, turinti nuostabų matematinį paprastumą ir eleganciją, atrodo, sugėrė geriausias klasikinės dvejetainės ir „Fibonačio“ aritmetikos savybes. FORMAVIMO GAMTOJE PRINCIPAI Viskas, kas įgavo kažkokį pavidalą, formavosi, augo, stengėsi užimti vietą erdvėje ir išsaugoti save. Šis siekis įgyvendinamas daugiausia dviem variantais – augant aukštyn arba plintant žemės paviršiumi ir besisukant spirale. Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek prastesnį ilgį nei gyvatės ilgis. Mažas dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiralės gamtoje labai paplitusios. Auksinio pjūvio koncepcija bus neišsami, jei nekalbant apie spiralę. Archimedo dėmesį patraukė spirale susisukusio kiauto forma. Jis jį ištyrė ir išvedė spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama inžinerijoje. Net Gėtė pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Spiralinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai.
Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad lapų išdėstyme ant šakos (filotaksės), saulėgrąžų sėklose, kankorėžiuose pasireiškia Fibonačio serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis. Voras sukasi savo tinklą spirale. Uraganas sklinda spirale. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė yra susukta į dvigubą spiralę. Gėtė spiralę pavadino „gyvenimo kreive“. Zo Auksinė spiralė glaudžiai susijusi su ciklais. Šiuolaikinis chaoso mokslas tiria paprastas ciklines grįžtamojo ryšio operacijas ir jų generuojamas fraktalines formas, kurios anksčiau nebuvo žinomos. 6 paveiksle pavaizduota garsioji Mandelbroto serija – puslapis iš begalybės atskirų raštų žodyno, vadinamo Juliano serija. Kai kurie mokslininkai Mandelbroto seriją sieja su genetiniu ląstelių branduolių kodu. Nuolat didėjantis sekcijų skaičius atskleidžia nuostabius fraktalus savo meniniu sudėtingumu. Ir čia taip pat yra logaritminės spiralės! Tai dar svarbiau, nes tiek Mandelbroto, tiek Juliano serijos nėra žmogaus proto išradimai. Jie kyla iš Platono prototipų srities. Kaip sakė gydytojas R. Penrose'as, „jie yra kaip Everesto kalnas.“ Spiralė glaudžiai susijusi su ciklais. Šiuolaikinis chaoso mokslas tiria paprastas ciklines grįžtamojo ryšio operacijas ir jų generuojamas fraktalines operacijas.
Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo šaka. Štai pirmasis lapas.
 |
| Ryžiai. . Cikorija |
Drieže iš pirmo žvilgsnio užfiksuojamos mūsų akiai malonios proporcijos - jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.
 |
| Ryžiai. . gyvas driežas |
Tokios paukščių kiaušinių formos nėra atsitiktinės, nes dabar nustatyta, kad aukso pjūvio santykiu apibūdinama kiaušinių forma atitinka didesnes kiaušinio lukšto stiprumo charakteristikas.
 |
| Ryžiai. . paukščio kiaušinis |
Tačiau snaigės, kurios taip pat yra vandens kristalai, yra gana prieinamos mūsų akims.
Visos išskirtinio grožio figūrėlės, formuojančios snaiges, visos ašys, apskritimai ir geometrinės figūros snaigėse taip pat visada be išimties yra pastatytos pagal tobulą aiškią aukso pjūvio formulę.
Mikrokosme visur vyrauja trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas sudarytas iš 252 vienetai baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 baltymų ląstelių vienetų penkiakampės prizmės pavidalu, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.
 |
| Adeno virusas |
Klugo komentaras dar kartą primena itin akivaizdžią tiesą: net ir mikroskopinio organizmo, kurį mokslininkai priskiria prie „primityviausios gyvybės formos“, šiuo atveju viruso, struktūroje yra aiškus planas ir pagrįstas projektas. buvo įgyvendinta 16. Šis projektas savo tobulumu ir tikslumu nepalyginamas su pažangiausiais žmonių sukurtais architektūriniais projektais. Pavyzdžiui, genialaus architekto Buckminsterio Fullerio sukurti projektai. Trimačiai dodekaedro ir ikosaedro modeliai taip pat yra vienaląsčių jūrinių mikroorganizmų radioląsčių (spindulių), kurių skeletas pagamintas iš silicio dioksido, skeletų struktūroje. Radiolariai formuoja savo kūną labai išskirtinio, neįprasto grožio. Jų forma yra taisyklingo dodekaedro. Be to, iš kiekvieno jo kampo išauga pseudopailgėjimas-galūnė ir kitos neįprastos formos-ataugos. Didysis Gėtė, poetas, gamtininkas ir menininkas (tapė ir tapė akvarele), svajojo sukurti vieningą organinių kūnų formos, formavimosi ir virsmo doktriną. Būtent jis į mokslinę vartoseną įvedė terminą morfologija. Pierre'as Curie mūsų amžiaus pradžioje suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją. „Auksinės“ simetrijos raštai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosmoso sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, yra atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu. ŽMOGAUS KŪNAS IR AUKSO SKYRIUS Visi žmogaus kaulai yra proporcingi aukso pjūviui.
Įvairių mūsų kūno dalių proporcijos sudaro skaičių, labai artimą auksiniam pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, laikoma, kad žmogaus išvaizda ar kūnas yra idealiai sukonstruoti.
Jei bambos tašką imtume kaip žmogaus kūno centrą, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.
Atstumas nuo peties lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618
Atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo peties lygio iki viršugalvio yra 1:1,618
Atstumas nuo bambos taško iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618
Atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galo iki šnervių yra 1:1,618
Tiesą sakant, tikslus aukso pjūvio buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus akiai.
Atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki viršugalvio yra 1:1,618
Veido aukštis / veido plotis
Lūpų jungties su nosies pagrindu centras / nosies ilgis.
Veido aukštis / atstumas nuo smakro galo iki lūpų jungties centro taško
Burnos plotis / nosies plotis
Nosies plotis / atstumas tarp šnervių
Vyzdžių atstumas / Antakių atstumas Pakanka tik dabar priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti į smilių, ir jame iškart rasite aukso pjūvio formulę.
Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių. Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu suteikia aukso pjūvį (išskyrus nykštį).
Be to, santykis tarp vidurinio ir mažojo piršto taip pat yraaukso pjūvisŽmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Ant kiekvienos rankos yra 5 pirštai, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalanginius nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai.
Taip pat reikėtų pažymėti, kad daugumos žmonių atstumas tarp išskleistų rankų galų yra lygus aukščiui. Auksinio pjūvio tiesos yra mumyse ir mumyse erdvė
Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinėje) yra trumpesnis.
Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose.
Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgio santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.
Žmogaus vidinėje ausyje yra organas Kochlea („Sraigė“), kuri atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją. Ši kaulą primenanti struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat sukurta sraigės pavidalu, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73? 43". Kraujospūdis kinta plakant širdžiai. Didžiausią vertę jis pasiekia kairiajame širdies skilvelyje jo susitraukimo (sistolės) metu. Arterijose širdies skilvelių sistolės metu jaunam, sveikam žmogui kraujospūdis pasiekia maksimalią vertę, lygią 115-125 mm Hg. Širdies raumens atsipalaidavimo (diastolės) momentu slėgis sumažėja iki 70-80 mm Hg. Maksimalaus (sistolinio) ir mažiausio (diastolinio) slėgio santykis yra vidutiniškai 1,6, tai yra artimas auksiniam pjūviui.Jei vidutinį kraujospūdį aortoje imsime kaip vienetą, tai sistolinis kraujospūdis aortoje yra 0,382, o diastolinis - 0,618, tai yra, jų santykis atitinka auksinį pjūvį. Tai reiškia, kad širdies darbas, susijęs su laiko ciklais ir kraujospūdžio pokyčiais, optimizuojamas pagal tą patį principą – aukso pjūvio dėsnį.
DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai susipynusių spiralių. Kiekviena iš šių spiralių yra 34 angstremų ilgio ir 21 angstremo pločio. (1 angstremas yra šimta milijoninė centimetro dalis). DNR molekulės spiralės sekcijos struktūra
Taigi 21 ir 34 yra skaičiai, einantys vienas po kito Fibonačio skaičių sekoje, tai yra, DNR molekulės logaritminės spiralės ilgio ir pločio santykis turi aukso pjūvio formulę 1: 1,618.
|
AUKSO SKYRIUS SKULPTŪROJE
Skulptūriniai statiniai, paminklai statomi reikšmingiems įvykiams įamžinti, palikuonių atmintyje išsaugoti įžymių žmonių vardus, jų žygdarbius ir poelgius. Yra žinoma, kad net senovėje skulptūros pagrindas buvo proporcijų teorija. Žmogaus kūno dalių santykis buvo siejamas su aukso pjūvio formule. „Aukso pjūvio" proporcijos sukuria grožio harmonijos įspūdį, todėl skulptoriai jas panaudojo savo darbuose. Skulptoriai tvirtina, kad juosmuo padalija tobulą žmogaus kūną „aukso pjūvio“ atžvilgiu. Pavyzdžiui, garsioji Apolono Belvederio statula susideda iš dalių, padalintų aukso proporcijomis.Didysis senovės graikų skulptorius Fidijas savo darbuose dažnai naudojo „aukso pjūvį“. Žymiausi iš jų buvo Olimpiečio Dzeuso (kuri buvo laikoma vienu iš pasaulio stebuklų) ir Atėnės Partenos statula.  Apolono Belvederio statulos auksinė proporcija yra žinoma: pavaizduoto asmens ūgis aukso pjūvyje yra padalintas iš bambos linijos.  |
AUKSO SKYRIUS ARCHITEKTŪROJE
Knygose apie „aukso pjūvį“ galima rasti pastabą, kad architektūroje, kaip ir tapyboje, viskas priklauso nuo stebėtojo pozicijos ir, jei atrodo, kad kai kurios pastato proporcijos vienoje pusėje sudaro „aukso pjūvį“, tada iš kitų taškų matymo jie atrodys kitaip. „Auksinė dalis“ suteikia ramiausią tam tikro ilgio dydžių santykį.
Vienas gražiausių senovės graikų architektūros kūrinių – Partenonas (V a. pr. Kr.).
  Paveiksluose pavaizduota daugybė modelių, susijusių su aukso pjūviu. Pastato proporcijas galima išreikšti įvairiais laipsniais skaičiaus Ф = 0,618 ... Partenonas turi 8 stulpelius trumpose pusėse ir 17 ilgose. atbrailos yra pagamintos tik iš Pentile marmuro kvadratų. Medžiagos, iš kurios buvo pastatyta šventykla, taurumas leido apriboti graikų architektūroje įprasto kolorito naudojimą, jis tik pabrėžia detales ir suformuoja spalvotą (mėlyną ir raudoną) skulptūros foną. Pastato aukščio ir ilgio santykis yra 0,618. Jeigu Partenoną padalinsime pagal „aukso pjūvį“, gausime tam tikrus fasado iškilimus. Partenono grindų plane taip pat galite pamatyti „auksinius stačiakampius“:  Aukso pjūvį galime pamatyti Dievo Motinos katedros (Notre Dame de Paris) pastate ir Cheopso piramidėje:   Ne tik Egipto piramidės buvo pastatytos laikantis tobulų aukso pjūvio proporcijų; toks pat reiškinys aptinkamas ir Meksikos piramidėse. Ilgą laiką buvo manoma, kad Senovės Rusijos architektai viską statė „iš akies“, be jokių ypatingų matematinių skaičiavimų. Tačiau naujausi tyrimai parodė, kad rusų architektai gerai išmanė matematines proporcijas – tai įrodo senovinių šventyklų geometrijos analizė. Žymus rusų architektas M. Kazakovas savo kūryboje plačiai panaudojo „aukso pjūvį“. Jo talentas buvo daugialypis, tačiau labiau jis atsiskleidė daugelyje baigtų gyvenamųjų pastatų ir dvarų projektų. Pavyzdžiui, „aukso pjūvį“ galima rasti Kremliaus Senato pastato architektūroje. Pagal M.Kazakovo projektą Maskvoje buvo pastatyta Golicino ligoninė, kuri šiuo metu vadinama Pirmąja klinikine ligonine, pavadinta N.I. Pirogovas (Leninskio prospektas, g.  Petrovskio rūmai Maskvoje. Pastatytas pagal M.F. projektą. Kazakovas.  Kitas Maskvos architektūros šedevras – Paškovo namas – vienas tobuliausių V. Baženovo architektūros kūrinių.  Nuostabi V. Baženovo kūryba tvirtai įsiliejo į šiuolaikinės Maskvos centro ansamblį, jį praturtino. Išorinė namo išvaizda išliko beveik nepakitusi iki šių dienų, nepaisant to, kad 1812 m. jis smarkiai apdegė. Restauravimo metu pastatas įgavo masyvesnių formų. Neišsaugotas ir vidinis pastato išplanavimas, apie kurį įsivaizduoti leidžia tik apatinio aukšto brėžinys. Šiandien daugelis architekto teiginių nusipelno dėmesio. Apie savo mėgstamą meną V. Baženovas sakė: „Architektūra turi tris pagrindinius dalykus: pastato grožį, ramybę ir tvirtumą... Norint tai pasiekti, orientyras yra proporcijos, perspektyvos, mechanikos ar apskritai fizikos žinios, o visi jie turi bendrą lyderį, yra priežastis“. |
Bet kuris muzikos kūrinys turi laiko tęsinį ir yra padalintas į tam tikrus „estetinius etapus“ į atskiras dalis, kurios patraukia dėmesį ir palengvina suvokimą kaip visumą. Šie etapai gali būti dinamiški ir intonaciniai muzikos kūrinio kulminacijos taškai. Atskiri muzikos kūrinio laiko intervalai, sujungti „klimatiniu įvykiu“, paprastai yra auksinio santykio santykiu.
Dar 1925 m. menotyrininkas L. Sabanejevas, išanalizavęs 1770 42 autorių muzikos kūrinių, parodė, kad didžiąją daugumą iškilių kūrinių galima nesunkiai suskirstyti į dalis pagal temą, intonaciją ar modalinę sistemą, kurios yra susijusios su kiekvienu. kitas aukso pjūvis. Be to, kuo talentingesnis kompozitorius, tuo daugiau aukso pjūvių buvo jo kūriniuose. Anot Sabanejevo, aukso pjūvis sukuria ypatingos muzikinės kompozicijos harmonijos įspūdį. Šį rezultatą Sabanejevas patvirtino visuose 27 Šopeno etiuduose. Juose jis rado 178 aukso pjūvius. Kartu paaiškėjo, kad pagal trukmę aukso pjūvio atžvilgiu skirstomos ne tik didelės etiudų dalys, bet ir viduje esančių etiudų dalys dažnai skirstomos tokiu pačiu santykiu.
Kompozitorius ir mokslininkas M.A.Marutajevas suskaičiavo taktų skaičių garsiojoje sonatoje „Appassionata“ ir rado nemažai įdomių skaitinių santykių. Visų pirma, kūrime - centriniame sonatos struktūriniame vienete, kuriame intensyviai plėtojamos temos ir vienas kitą keičia klavišai - yra dvi pagrindinės dalys. Pirmasis turi 43,25, antrasis - 26,75. Santykis 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 suteikia auksinį pjūvį.
Daugiausiai kūrinių, kuriuose yra aukso pjūvis, turi Arenskis (95%), Bethovenas (97%), Haydnas (97%), Mocartas (91%), Šopenas (92%), Schubertas (91%).
Jei muzika yra harmoninga garsų tvarka, tai poezija yra harmoninga kalbos tvarka. Aiškus ritmas, taisyklinga kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, tvarkingas eilėraščių dimensiškumas, emocinis turtingumas paverčia poeziją muzikos kūrinių seserimi. Aukso pjūvis poezijoje pirmiausia pasireiškia kaip tam tikro eilėraščio momento (kulminacijos, semantinio posūkio, pagrindinės kūrinio idėjos) buvimas eilutėje, priskiriamoje bendro eilėraščio eilučių skaičiaus skyrimo taškui. aukso pjūviu. Taigi, jei eilėraštyje yra 100 eilučių, pirmasis aukso pjūvio taškas patenka į 62-ą eilutę (62%), antrasis - į 38-ą (38%) ir t. Aleksandro Sergejevičiaus Puškino darbai, įskaitant „Eugenijus Oneginas“, yra geriausias aukso pjūvio atitikimas! Šotos Rustaveli ir M.Yu darbai. Lermontovas taip pat yra pastatytas aukso pjūvio principu.
Stradivarius rašė, kad padedamas
aukso pjūvis, jis nustatė vietas f -formos išpjovos ant jų garsiųjų smuikų korpusų. AUKSO SKYRIUS POEZIJOJE Puškino poezija Poetinių kūrinių studijos iš šių pozicijų tik prasideda. Ir jums reikia pradėti nuo A. S. Puškino poezijos. Juk jo darbai – iškiliausių rusų kultūros kūrybos pavyzdys, aukščiausio lygio harmonijos pavyzdys. A.S.Puškino poezija pradėsime aukso proporcijos – harmonijos ir grožio mato – paieškas. Daug poetinių kūrinių struktūros ši meno forma yra susijusi su muzika. Aiškus ritmas, taisyklinga kirčiuotų ir nekirčiuotų skiemenų kaita, tvarkingas eilėraščių dimensiškumas, emocinis turtingumas paverčia poeziją muzikos kūrinių seserimi. Kiekvienas posmas turi savo muzikinę formą – savo ritmą ir melodiją. Galima tikėtis, kad eilėraščių struktūroje atsiras kai kurie muzikos kūrinių bruožai, muzikinės harmonijos raštai, taigi ir aukso pjūvis. Pradėkime nuo eilėraščio dydžio, tai yra, eilučių skaičiaus jame. Atrodytų, šis eilėraščio parametras gali keistis savavališkai. Tačiau paaiškėjo, kad taip nėra. Pavyzdžiui, A.S. eilėraščių analizė. Puškinas šiuo požiūriu parodė, kad eilėraščių dydžiai pasiskirstę labai netolygiai; paaiškėjo, kad Puškinas aiškiai teikia pirmenybę 5, 8, 13, 21 ir 34 eilučių dydžiams (Fibonačio skaičiai).
Daugelis tyrinėtojų pastebėjo, kad eilėraščiai yra tarsi muzikos kūriniai; jie taip pat turi kulminacinius taškus, kurie skirsto eilėraštį proporcingai aukso pjūviui. Apsvarstykite, pavyzdžiui, A.S. eilėraštį. Puškinas „Batsiuvys“: Kartą batsiuvys ieškojo nuotraukos
Ir jis atkreipė dėmesį į batų klaidą;
Iš karto paėmęs teptuką, menininkas pasitaisė,
Štai, žvalus, batsiuvys tęsė:
„Manau, veidas šiek tiek kreivas...
Ar ta krūtinė ne per nuoga?
Čia Apellesas nekantriai nutraukė:
— Teisėk, mano drauge, ne aukščiau už bagažinės!
Turiu galvoje draugą:
Nežinau, kokia tai tema.
Jis buvo žinovas, nors ir griežtas neverbališkai,
Bet velnias neša jį teisti šviesą:
Išbandykite, kad įvertintumėte batus!
Garsioji Lermontovo poema „Borodino“ yra padalinta į dvi dalis: įžangą, skirtą pasakotojui ir užimančią tik vieną posmą („Pasakyk man, dėde, tai ne be reikalo...“), ir pagrindinę dalį, reprezentuojančią savarankišką visumą, kuri yra padalinta į dvi lygiavertes dalis. Pirmajame iš jų su didėjančia įtampa aprašomas mūšio laukimas, antrajame - pats mūšis poemos pabaigoje palaipsniui mažėjant įtampai. Riba tarp šių dalių yra kūrinio kulminacija ir patenka būtent į tašką, kai jį reikia padalyti iš aukso pjūvio. Pagrindinę eilėraščio dalį sudaro 13 septynių eilučių, tai yra 91 eilutė. Padalinę jį iš aukso pjūvio (91:1,618 = 56,238), įsitikiname, kad padalijimo taškas yra 57 eilutės pradžioje, kur yra trumpa frazė: „Na, tai buvo diena!“. Būtent ši frazė reprezentuoja „sujaudinto lūkesčio kulminacinį tašką“, užbaigiantį pirmąją eilėraščio dalį (mūšio laukimą) ir atidarantį antrąją dalį (mūšio aprašymą). Taigi aukso pjūvis poezijoje vaidina labai reikšmingą vaidmenį, išryškindamas eilėraščio kulminaciją. Šotos Rustaveli poezija Daugelis Šotos Rustaveli poemos „Riteris panteros odoje“ tyrinėtojų pastebi išskirtinę jo eilėraščio harmoniją ir melodingumą. Šios gruzinų mokslininko akademiko G.V. eilėraščio savybės. Tsereteli tai sieja su sąmoningu poetės aukso pjūvio naudojimu tiek formuojant eilėraščio formą, tiek statant eilėraščius. Rustaveli eilėraštį sudaro 1587 posmai, kurių kiekviena susideda iš keturių eilučių. Kiekviena eilutė susideda iš 16 skiemenų ir yra padalinta į dvi lygias dalis po 8 skiemenis kiekvienoje pusės eilutėje. Visos pusės eilutės yra suskirstytos į du dviejų tipų segmentus: A - pusiau eilutė su lygiais atkarpomis ir lyginiu skiemenų skaičiumi (4 + 4); B - pusiau linija su asimetriškai padalinta į dvi nelygias dalis (5 + 3 arba 3 + 5). Taigi, B pusės eilutėje santykiai yra 3:5:8, o tai yra auksinio pjūvio apytikslis rodiklis.
Nustatyta, kad iš 1587 Rustavelio eilėraščio posmų daugiau nei pusė (863) yra sukonstruoti aukso pjūvio principu. Mūsų laikais gimė nauja meno rūšis – kinas, sugėręs veiksmo, tapybos, muzikos dramaturgiją. Aukso pjūvio apraiškų ieškoti išskirtiniuose kinematografijos darbuose yra teisėta. Pirmasis tai padarė pasaulinio kino šedevro „Laivas Potiomkinas“ kūrėjas, kino režisierius Sergejus Eizenšteinas. Kuriant šį paveikslą jam pavyko įkūnyti pagrindinį harmonijos principą – aukso pjūvį. Kaip pažymi pats Eizenšteinas, raudona vėliava ant maištaujančio mūšio laivo stiebo (filmo apogėjaus taškas) plevėsuoja aukso pjūvio taške, skaičiuojant nuo filmo pabaigos. AUKSINIS SANTYKIS Šriftuose IR BUITINĖS DARBUOSE Ypatingą senovės Graikijos vaizduojamojo meno rūšį reikėtų pabrėžti visų rūšių indų gamyba ir dažymas. Elegantiškos formos auksinės pjūvio proporcijos lengvai atspėjamos.
Tapydami ir skulptūruodami šventyklas, ant namų apyvokos daiktų, senovės egiptiečiai dažniausiai vaizdavo dievus ir faraonus. Buvo nustatyti stovinčio žmogaus vaizdinio kanonai einančio, sėdinčio ir kt. Menininkai privalėjo įsiminti atskiras vaizdų formas ir schemas iš lentelių ir pavyzdžių. Senovės graikų menininkai specialiai keliavo į Egiptą, norėdami išmokti naudotis kanonu. OPTIMALUSI IŠORĖS APLINKOS FIZINIAI PARAMETRAI Garso garsumas.
Yra žinoma, kad didžiausias skausmą sukeliančio garso stiprumas yra 130 decibelų.
Jei šį intervalą padalintume iš aukso santykio 1,618, gautume 80 decibelų, būdingų žmogaus riksmo garsumui.
Jei dabar 80 decibelų padalintume iš aukso pjūvio, gautume 50 decibelų, o tai atitinka žmogaus kalbos garsumą.
Galiausiai, jei 50 decibelų padalintume iš auksinio santykio kvadrato 2,618, gautume 20 decibelų, o tai atitinka žmogaus šnabždesį.
Taigi visi būdingi garso stiprumo parametrai yra tarpusavyje susiję per auksinį pjūvį.
Oro drėgnumas. Esant 18-20® temperatūrai, optimalus laikomas 40-60% drėgmės diapazonas.
Optimalaus drėgnumo diapazono ribas galima gauti, jei 100% absoliučią drėgmę padalijus du kartus iš aukso santykio: 100 / 2,618 = 38,2% (apatinė riba); 100/1,618 = 61,8 % (viršutinė riba).
Oro slėgis. Esant 0,5 MPa oro slėgiui, žmogus patiria nemalonius pojūčius, pablogėja jo fizinė ir psichologinė veikla. Esant 0,3 - 0,35 MPa slėgiui, leidžiamas tik trumpalaikis veikimas, o esant 0,2 MPa slėgiui - ne ilgiau kaip 8 minutes.
Visi šie būdingi parametrai yra tarpusavyje susiję aukso pjūviu: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.
Lauko oro temperatūra. Lauko oro temperatūros ribiniai parametrai, kurių ribose galimas normalus žmogaus egzistavimas (ir, svarbiausia, kilmė), yra temperatūros diapazonas nuo 0 iki + (57-58) ® С. Akivaizdu, kad dėl pirmosios ribos aiškinti nereikia.
Nurodytą teigiamų temperatūrų diapazoną padalijame iš aukso pjūvio. Tai suteikia mums dvi ribas:
Abi ribos yra žmogaus organizmui būdingos temperatūros: pirmoji atitinka temperatūrą Antroji riba atitinka maksimalią įmanomą lauko temperatūrą žmogaus organizmui.AUKSO SKYRIUS TAPYBOSJE
Dar Renesanso laikais menininkai atrado, kad bet koks paveikslas turi tam tikrus taškus, kurie nevalingai patraukia mūsų dėmesį, vadinamuosius vizualinius centrus. Šiuo atveju nesvarbu, kokio formato paveikslėlis – horizontalus ar vertikalus. Tokių taškų yra tik keturi ir jie yra 3/8 ir 5/8 atstumu nuo atitinkamų plokštumos kraštų.
Šis atradimas tarp to meto menininkų buvo vadinamas paveikslo „auksine dalimi“. Žvelgiant į tapybos „aukso pjūvio“ pavyzdžius, negalima nesustoti dėmesio į Leonardo da Vinci kūrybą. Jo tapatybė yra viena iš istorijos paslapčių. Pats Leonardo da Vinci sakė: „Tegul niekas, kas nėra matematikas, nedrįsta skaityti mano darbų“.
Jis išgarsėjo kaip nepralenkiamas menininkas, puikus mokslininkas, genijus, numatęs daugybę išradimų, kurie nebuvo įgyvendinti iki XX a.
Neabejotina, kad Leonardo da Vinci buvo puikus menininkas, tai jau pripažino jo amžininkai, tačiau jo asmenybė ir veikla liks apgaubta paslapčių, nes paliko palikuonims ne nuoseklų savo idėjų pristatymą, o tik daugybę ranka rašytų eskizų, užrašų. kurie sako „tiek visi pasaulyje“.
Rašė iš dešinės į kairę neįskaitoma rašysena ir kaire ranka. Tai yra žinomiausias veidrodinio rašymo pavyzdys.
Monnos Lizos (Gioconda) portretas jau daugelį metų traukė tyrinėtojų dėmesį, kurie išsiaiškino, kad piešinio kompozicija paremta auksiniais trikampiais, kurie yra taisyklingo žvaigždės penkiakampio dalys. Yra daug versijų apie šio portreto istoriją. Štai vienas iš jų.
Kartą Leonardo da Vinci gavo bankininko Francesco de le Giocondo užsakymą nutapyti jaunos moters, bankininko žmonos Monnos Lizos, portretą. Moteris nebuvo graži, tačiau ją traukė išvaizdos paprastumas ir natūralumas. Leonardo sutiko nutapyti portretą. Jo modelis buvo liūdnas ir liūdnas, tačiau Leonardo jai papasakojo pasaką, kurią išgirdusi ji tapo gyva ir įdomi.
PASAKA
Kažkada gyveno vienas vargšas, jis turėjo keturis sūnus: tris protingus ir vieną iš jų tai ir anas. Ir tada tėvą atėjo mirtis. Prieš išsiskirdamas su savo gyvenimu, jis pasikvietė savo vaikus ir pasakė: "Mano sūnūs, aš greitai mirsiu. Kai tik mane palaidosite, užrakinkite trobelę ir eikite į pasaulio galus, kad sukurtumėte savo laimę. Tegul kiekvienas iš jūsų ko nors išmoksta, kad galėtų pamaitinti save“. Tėvas mirė, o sūnūs pasklido po pasaulį, sutikdami po trejų metų grįžti į savo gimtosios giraitės laukymę. Atėjo pirmasis brolis, kuris išmoko dailidė, nukirto medį ir išpjovė, padarė iš jo moterį, šiek tiek pavaikščiojo ir laukia. Antrasis brolis grįžo, pamatė medinę moterį ir, būdamas siuvėjas, per minutę aprengė: kaip įgudęs amatininkas, pasiuvo jai gražius šilkinius drabužius. Trečiasis sūnus moterį papuošė auksu ir brangakmeniais – juk buvo juvelyras. Pagaliau atvyko ketvirtas brolis. Jis nemokėjo staliaus ir siūti, mokėjo tik klausytis, ką kalba žemė, medžiai, žolės, žvėrys ir paukščiai, žinojo dangaus kūnų eigą, taip pat mokėjo dainuoti nuostabias dainas. Jis dainavo dainą, kuri verkė už krūmų pasislėpusius brolius. Šia daina jis atgaivino moterį, ji šypsojosi ir atsiduso. Broliai puolė prie jos ir kiekvienas šaukė tą patį: „Tu turi būti mano žmona“. Bet moteris atsakė: „Tu sukūrei mane – būk mano tėvas, aprengei mane ir papuošei – būk mano broliai.
O tu, kuris įkvėpei man sielą ir išmokei džiaugtis gyvenimu, man reikia tavęs vienos visam gyvenimui".
Baigęs pasakojimą, Leonardo pažvelgė į Monną Lizą, jos veidas nušvito šviesa, akys spindėjo. Tada, tarsi pabudusi iš sapno, ji atsiduso, perbraukė ranka per veidą ir be žodžio nuėjo į savo vietą, susidėjo rankas ir užėmė įprastą laikyseną. Bet poelgis padarytas – menininkas pažadino abejingą statulą; Palaimos šypsena, lėtai dingstanti nuo jos veido, liko jos burnos kampučiuose ir virpėjo, suteikdama jos veidui nuostabią, paslaptingą ir šiek tiek gudrią išraišką, kaip žmogaus, kuris sužinojo paslaptį ir, atidžiai ją saugodamas, negali. sulaikyti jo triumfą. Leonardo dirbo tylėdamas, bijodamas praleisti šią akimirką, šį saulės spindulį, kuris apšvietė jo nuobodų modelį...
Sunku pastebėti, kas buvo pastebėta šiame meno šedevre, tačiau visi kalbėjo apie Leonardo gilias žinias apie žmogaus kūno sandarą, kurių dėka jam pavyko pagauti šią, tarytum, paslaptingą šypseną. Kalbėjosi apie atskirų paveikslo dalių išraiškingumą ir apie peizažą – precedento neturintį portreto palydovą. Kalbėjosi apie išraiškos natūralumą, pozos paprastumą, rankų grožį. Menininkas padarė kažką neregėto: paveiksle vaizduojamas oras, jis apgaubia figūrą skaidria migla. Nepaisant sėkmės, Leonardo buvo niūri, situacija Florencijoje menininkui atrodė skausminga, jis susiruošė keliauti. Priminimai apie potvynį jam nepadėjo.
|
Aukso pjūvis I. I. Šiškino paveiksle „Pušynas“ Šiame garsiame I. I. Šiškino paveiksle aukso pjūvio motyvai aiškiai matomi. Ryškiai apšviesta pušis (stovi pirmame plane) skirsto paveikslo ilgį pagal aukso pjūvį. Pušies dešinėje yra saulės apšviesta kalva. Jis padalija dešinę paveikslo pusę horizontaliai pagal aukso pjūvį. Į kairę nuo pagrindinės pušies yra daug pušų - jei norite, galite sėkmingai tęsti paveikslėlio skaidymą pagal aukso pjūvį ir toliau. |
|
Ryškių vertikalių ir horizontalių buvimas paveiksle, padalijantis jį aukso pjūvio atžvilgiu, suteikia jam pusiausvyros ir ramybės pobūdį, atsižvelgiant į menininko ketinimą. Kai menininko intencija kitokia, jei, tarkime, jis kuria paveikslą su sparčiai besivystančiu veiksmu, tokia geometrinė kompozicijos schema (vyraujant vertikalioms ir horizontalioms) tampa nepriimtina.
 |
|
 V. I. Surikovas. Bojaras Morozova. Jos vaidmuo priskirtas vidurinei paveikslo daliai. Jį riboja paveikslo siužeto didžiausio pakilimo ir žemiausio kritimo taškas. 1) Tai Morozovos rankos pakilimas su kryžiaus dviem pirštais ženklu aukščiausiu tašku. 2) Tai bejėgiškai ištiesta ranka tai pačiai bajorei, bet šį kartą tai senos moters ranka - vargšės klajoklis, ranka, iš kurios kartu su paskutine išsigelbėjimo viltimi išslysta rogių galas. . O kaip su „aukščiausiu tašku“? Iš pirmo žvilgsnio turime atrodantį prieštaravimą: juk atkarpa A1B1, kuri yra 0,618 ... nuo dešiniojo paveikslo krašto, nepraeina per ranką, net ne per bajorės galvą ar akį, o pasirodo kažkur prieš bajoraitės burną! |
|
| Monos Lizos portretas traukia tuo, kad paveikslo kompozicija pastatyta ant „auksinių trikampių“ (tiksliau, ant trikampių, kurie yra taisyklingo žvaigždės formos penkiakampio gabalėliai). | |
Nėra poetiškesnio paveikslo už Sandro Botticelli paveikslą, o didysis Sandro neturi garsesnio paveikslo už jo „Venerą“. Botticelli jo Venera yra gamtoje vyraujančios universalios „aukso pjūvio“ harmonijos idėjos įkūnijimas.
 Tuo mus įtikina proporcinga Veneros analizė.  Rafaelis "Atėnų mokykla" Rafaelis nebuvo matematikas, bet, kaip ir daugelis to laikmečio menininkų, turėjo nemažai geometrijos žinių. Garsiojoje freskoje „Atėnų mokykla“, kurios mokslo šventykloje įsikūrusi didžiųjų antikos filosofų draugija, mūsų dėmesį patraukia didžiausio senovės graikų matematiko Euklido grupė, analizuojanti sudėtingą piešinį. Išradingas dviejų trikampių derinys taip pat sukurtas pagal aukso pjūvį: jis gali būti įrašytas į stačiakampį, kurio kraštinių santykis yra 5/8. Šį piešinį stebėtinai lengva įterpti į viršutinę architektūros dalį. Viršutinis trikampio kampas remiasi į arkos kertinį akmenį arčiausiai žiūrovo esančioje srityje, apatinis - į nykstančią perspektyvų tašką, o šoninė dalis rodo erdvinio tarpo tarp dviejų arkų dalių proporcijas. . Auksinė spiralė Rafaelio filme „Nekaltųjų žudynės“ |
|
Priešingai nei aukso pjūvis, dinamikos pojūtis, jaudulys bene ryškiausiai pasireiškia kitoje paprastoje geometrinėje figūroje – spiralėje. Daugiafigūrė kompozicija, Rafaelio sukurta 1509 - 1510 m., kai garsusis tapytojas kūrė savo freskas Vatikane, tiesiog išsiskiria siužeto dinamiškumu ir dramatiškumu. Rafaelis savo idėjos taip ir neįgyvendino, tačiau jo eskizą išgraviravo nežinomas italų grafikas Marcantinio Raimondi, pagal šį eskizą sukūręs graviūrą „Nekaltųjų žudynės“.
Jei Rafaelio parengiamajame eskize mintyse nubrėžiamos linijos, einančios iš semantinio kompozicijos centro – taško, kur kario pirštai susiglaudė aplink vaiko kulkšnį, – išilgai vaiko figūrų, moters, prisiglaudusios jį prie savęs, kario su pakeltą kardą, o tada išilgai tos pačios grupės figūrų dešiniosiose eskizo dalyse (paveiksle šios linijos nubrėžtos raudonai), o tada šias kreivės dalis sujunkite punktyrine linija, tada išvedama auksinė spiralė. gautas labai dideliu tikslumu. Tai galima patikrinti išmatuojant spirale nupjautų atkarpų ilgių santykį tiesiose linijose, einančiose per kreivės pradžią.
 |
|
AUKSINIS SANTYKIS IR VAIZDO SUVOKIMAS
Žmogaus vizualinio analizatoriaus gebėjimas atskirti pagal aukso pjūvio algoritmą pastatytus objektus kaip gražius, patrauklius ir harmoningus žinomas jau seniai. Auksinis pjūvis suteikia tobuliausios vieningos visumos pojūtį. Daugelio knygų formatas atitinka aukso pjūvį. Jis pasirenkamas langams, paveikslams ir vokams, antspaudams, vizitinėms kortelėms. Žmogus gali nieko nežinoti apie skaičių Ф, bet objektų struktūroje, kaip ir įvykių sekoje, jis nesąmoningai randa aukso pjūvio elementų.
Buvo atlikti tyrimai, kurių metu tiriamųjų buvo prašoma atrinkti ir nukopijuoti įvairių proporcijų stačiakampius. Galima buvo pasirinkti iš trijų stačiakampių: kvadrato (40:40 mm), „auksinio pjūvio“ stačiakampio, kurio kraštinių santykis yra 1:1,62 (31:50 mm) ir stačiakampio, kurio pailgos proporcijos yra 1:2,31 (26: 60 mm).
 Renkantis įprastos būklės stačiakampius, 1/2 atvejų pirmenybė teikiama kvadratui. Dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia auksiniam pjūviui ir atmeta pailgą stačiakampį. Priešingai, kairysis pusrutulis traukiasi į pailgas proporcijas ir atmeta auksinį pjūvį. Kopijuojant šiuos stačiakampius buvo pastebėta: Kai buvo aktyvus dešinysis pusrutulis, proporcijos kopijose buvo išlaikytos tiksliausiai. Kai kairysis pusrutulis buvo aktyvus, visų stačiakampių proporcijos buvo iškraipytos, stačiakampiai ištempti (kvadratas buvo nubraižytas kaip stačiakampis, kurio kraštinių santykis yra 1:1,2; ištempto stačiakampio proporcijos smarkiai padidėjo ir pasiekė 1:2,8). ). Stipriausiai iškraipytos „auksinio“ stačiakampio proporcijos; jo proporcijos kopijose tapo stačiakampio proporcijomis 1:2,08. Piešiant savo piešinius vyrauja aukso pjūviui artimos proporcijos ir pailgos. Vidutiniškai proporcijos yra 1:2, o dešinysis pusrutulis pirmenybę teikia aukso pjūvio proporcijoms, kairysis pusrutulis nutolsta nuo aukso pjūvio proporcijų ir ištempia raštą. Dabar nubrėžkite keletą stačiakampių, išmatuokite jų kraštines ir raskite kraštinių santykį. Kurį pusrutulį turite? |
|
Aukso pjūvio naudojimo fotografijoje pavyzdys yra pagrindinių kadro komponentų vieta taškuose, kurie yra 3/8 ir 5/8 nuo kadro kraštų. Tai galima iliustruoti tokiu pavyzdžiu.
Čia yra katės nuotrauka, kuri yra savavališkoje kadro vietoje.
Dabar sąlyginai padalinkime rėmą į segmentus, proporcingai 1,62 viso ilgio iš kiekvienos rėmo pusės. Segmentų sankirtoje bus pagrindiniai „vizualiniai centrai“, kuriuose verta dėti būtinus pagrindinius vaizdo elementus. Perkelkime savo katę į „vizualinių centrų“ taškus. AUKSINIS SANTYKIS IR ERDVĖ Iš astronomijos istorijos žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Ticijus, naudodamas šią seriją, atstumuose tarp Saulės sistemos planetų rado dėsningumą ir tvarką.
Tačiau vienas atvejis, kuris atrodė prieštaraujantis įstatymui: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Tikslus šios dangaus dalies stebėjimas leido atrasti asteroido juostą. Tai atsitiko po Ticijaus mirties XIX amžiaus pradžioje. Fibonacci serija yra plačiai naudojama: jos pagalba jie reprezentuoja gyvų būtybių architektoniką ir žmogaus sukurtas struktūras bei Galaktikų struktūrą. Šie faktai liudija skaičių serijos nepriklausomumą nuo jos pasireiškimo sąlygų, o tai yra vienas iš jos universalumo požymių.
Dvi galaktikos auksinės spiralės yra suderinamos su Dovydo žvaigžde. Atkreipkite dėmesį į žvaigždes, kylančias iš galaktikos balta spirale. Lygiai 180® iš vienos spiralės ateina kita išsiskleidžianti spiralė. ... Ilgą laiką astronomai tiesiog tikėjo, kad viskas, kas yra, yra tai, ką mes matome; jei kažkas matoma, vadinasi, tai egzistuoja. Jie arba visai nepastebėjo nematomos Realybės dalies, arba nemanė jos svarbia. Tačiau nematomoji mūsų tikrovės pusė iš tikrųjų yra daug didesnė už matomąją ir tikriausiai svarbesnė. ... Kitaip tariant, matoma Realybės dalis yra daug mažiau nei vienas procentas visumos – beveik nieko. Tiesą sakant, mūsų tikrieji namai yra nematoma visata... Visatoje visos žmonijai žinomos galaktikos ir visi jose esantys kūnai egzistuoja spiralės pavidalu, atitinkančios aukso pjūvio formulę. Mūsų galaktikos spiralėje yra aukso pjūvis
IŠVADA Gamta, suprantama kaip visas pasaulis savo formų įvairove, susideda tarsi iš dviejų dalių: gyvosios ir negyvosios. Negyvosios gamtos kūriniai pasižymi dideliu stabilumu, mažu kintamumu, sprendžiant iš žmogaus gyvenimo masto. Žmogus gimsta, gyvena, sensta, miršta, bet granito kalnai išlieka tie patys ir planetos sukasi aplink Saulę taip, kaip Pitagoro laikais. Gyvosios gamtos pasaulis mums atrodo visiškai kitoks – mobilus, permainingas ir stebėtinai įvairus. Gyvenimas mums parodo fantastišką kūrybinių derinių įvairovės ir originalumo karnavalą! Negyvosios gamtos pasaulis – tai visų pirma simetrijos pasaulis, suteikiantis jo kūrybai stabilumo ir grožio. Gamtos pasaulis – tai visų pirma harmonijos pasaulis, kuriame veikia „aukso pjūvio dėsnis“. Šiuolaikiniame pasaulyje mokslas yra ypač svarbus dėl didėjančio žmogaus poveikio gamtai. Svarbūs uždaviniai šiuo metu yra naujų žmogaus ir gamtos sambūvio būdų paieška, filosofinių, socialinių, ekonominių, švietimo ir kitų visuomenei kylančių problemų tyrimas. Šiame darbe buvo nagrinėjama „aukso pjūvio“ savybių įtaka gyvajai ir negyvajai gamtai, istorinei žmonijos ir visos planetos istorijos raidos eigai. Analizuojant visa tai, kas pasakyta, galima dar kartą stebėtis pasaulio pažinimo proceso didybe, vis naujų jo modelių atradimu ir daryti išvadą: aukso pjūvio principas yra aukščiausia struktūrinio ir funkcinis jos visumos ir jos dalių tobulumas mene, moksle, technikoje ir gamtoje. Galima tikėtis, kad įvairių gamtos sistemų vystymosi dėsniai, augimo dėsniai nėra labai įvairūs ir atsekami pačiomis įvairiausiomis dariniais. Tai yra gamtos vienybės pasireiškimas. Tokios vienybės idėja, pagrįsta tų pačių modelių pasireiškimu nevienalyčiuose gamtos reiškiniuose, išlaikė savo aktualumą nuo Pitagoro iki šių dienų. th. 51
Visatoje vis dar yra daug neatskleistų paslapčių, kai kurias iš jų mokslininkams jau pavyko nustatyti ir aprašyti. Fibonačio skaičiai ir aukso pjūvis sudaro pagrindą išnarplioti mus supantį pasaulį, formuoti jo formą ir optimalų žmogaus vizualinį suvokimą, kurio pagalba jis gali pajusti grožį ir harmoniją.
aukso pjūvis
Aukso pjūvio dydžio nustatymo principu grindžiamas viso pasaulio ir jo dalių tobulumas savo sandara ir funkcijomis, jo pasireiškimas matomas gamtoje, mene ir technikoje. Auksinio pjūvio doktrina buvo įkurta senovės mokslininkų tyrinėjant skaičių prigimtį.
Jis pagrįstas segmentų padalijimo proporcijų ir santykių teorija, kurią sukūrė senovės filosofas ir matematikas Pitagoras. Jis įrodė, kad dalijant atkarpą į dvi dalis: X (mažesnę) ir Y (didesnę), didesnio ir mažesnio santykis bus lygus jų sumos (viso atkarpos) santykiui:
Rezultatas yra lygtis: x 2 - x - 1 = 0, kuri išspręsta kaip x=(1±√5)/2.
Jei laikysime santykį 1/x, tada jis lygus 1,618…
Įrodymai, kad senovės mąstytojai naudojo aukso pjūvį, pateikiami Euklido knygoje „Pradžia“, parašyta dar III amžiuje. Kr., kurie naudojo šią taisyklę statydami reguliarius 5 kampus. Tarp pitagoriečių ši figūra laikoma šventa, nes ji yra ir simetriška, ir asimetriška. Pentagrama simbolizavo gyvybę ir sveikatą.
Fibonačio skaičiai
1202 m. buvo išleista garsioji italų matematiko Leonardo iš Pizos, vėliau žinomo kaip Fibonačio, knyga Liber abaci. Joje mokslininkas pirmą kartą pateikia skaičių šabloną, kurio serijoje kiekvienas skaičius yra suma. iš 2 ankstesnių skaitmenų. Fibonačio seka yra tokia:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ir kt.
Mokslininkas taip pat nurodė keletą modelių:
- Bet kuris skaičius iš serijos, padalytas iš kito, bus lygus reikšmei, kuri yra 0,618. Be to, pirmieji Fibonačio skaičiai tokio skaičiaus neduoda, bet judant nuo sekos pradžios šis santykis bus vis tikslesnis.
- Jei skaičių iš serijos padalinsite iš ankstesnio, rezultatas bus 1,618.
- Vienas skaičius, padalytas iš kito, parodys vertę, siekiančią 0,382.
Aukso pjūvio, Fibonačio skaičiaus (0,618) jungties ir raštų pritaikymo galima rasti ne tik matematikoje, bet ir gamtoje, istorijoje, architektūroje ir statyboje bei daugelyje kitų mokslų.
Archimedo spiralė ir auksinis stačiakampis
Gamtoje labai paplitusias spirales tyrinėjo Archimedas, kuris netgi išvedė jos lygtį. Spiralės forma pagrįsta aukso pjūvio dėsniais. Kai jis nesusuktas, gaunamas ilgis, kuriam galima pritaikyti proporcijas ir Fibonačio skaičius, žingsnio padidėjimas vyksta tolygiai.
Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio paralelę taip pat galima pamatyti sukūrus „auksinį stačiakampį“, kurio kraštinės yra proporcingos 1,618:1. Jis statomas perkeliant nuo didesnio stačiakampio prie mažesnių, kad kraštinių ilgiai būtų lygūs skaičiams iš eilės. Jo konstrukcija gali būti atliekama atvirkštine tvarka, pradedant nuo kvadrato "1". Sujungus šio stačiakampio kampus su linijomis jų susikirtimo centre, gaunama Fibonačio arba logaritminė spiralė.
Auksinių proporcijų naudojimo istorija
Daugelis senovės Egipto architektūros paminklų buvo pastatyti naudojant aukso proporcijas: garsiosios Cheopso piramidės ir kt., Senovės Graikijos architektai plačiai taikė statydami architektūros objektus, tokius kaip šventyklos, amfiteatrai, stadionai. Pavyzdžiui, tokios proporcijos buvo naudojamos statant senovinę Partenono šventyklą (Atėnai) ir kitus objektus, tapusius antikinės architektūros šedevrais, demonstruojančiais matematiniu dėsningumu grįstą harmoniją.
Vėlesniais amžiais susidomėjimas aukso pjūviu atslūgo, o raštai buvo pamiršti, bet vėl atsinaujino Renesanso epochoje kartu su pranciškonų vienuolio L. Pacioli di Borgo knyga „Dieviškoji proporcija“ (1509). Jame buvo Leonardo da Vinci iliustracijų, kurios pataisė naują pavadinimą „auksinė pjūvis“. Taip pat buvo moksliškai įrodyta 12 aukso pjūvio savybių, o autorius kalbėjo apie tai, kaip jis pasireiškia gamtoje, mene ir pavadino tai „pasaulio ir gamtos kūrimo principu“.
Vitruvijaus žmogus Leonardo
Piešinyje, kuriuo Leonardo da Vinci iliustravo Vitruvijaus knygą 1492 m., pavaizduota žmogaus figūra 2 pozicijomis su ištiestomis rankomis į šonus. Figūra įrašyta į apskritimą ir kvadratą. Šis piešinys laikomas kanoninėmis žmogaus kūno (vyro) proporcijomis, kurias aprašė Leonardo, remdamasis jų studijomis romėnų architekto Vitruvijaus traktatuose.
Kūno centras, kaip vienodu atstumu nuo rankų ir kojų galo, yra bamba, rankų ilgis lygus žmogaus ūgiui, didžiausias pečių plotis = 1/8 ūgio, atstumas nuo krūtinės viršaus iki plaukų = 1/7, nuo krūtinės viršaus iki galvos viršaus = 1/6 ir kt.
Nuo tada piešinys naudojamas kaip simbolis, rodantis žmogaus kūno vidinę simetriją.
Terminą „auksinis santykis“ Leonardo vartojo proporcingiems žmogaus figūros santykiams apibūdinti. Pavyzdžiui, atstumas nuo juosmens iki pėdų yra susijęs su tuo pačiu atstumu nuo bambos iki viršugalvio, kaip ir ūgis iki pirmojo ilgio (nuo juosmens žemyn). Šis skaičiavimas atliekamas panašiai kaip segmentų santykis skaičiuojant auksinį pjūvį ir linkęs į 1,618.
Visas šias harmoningas proporcijas menininkai dažnai naudoja kurdami gražius ir įspūdingus kūrinius.
Aukso pjūvio tyrinėjimai XVI–XIX a
Naudojant aukso pjūvį ir Fibonačio skaičius, tiriamasis darbas proporcijų klausimu tęsiasi jau ne vieną šimtmetį. Lygiagrečiai su Leonardo da Vinci, vokiečių menininkas Albrechtas Düreris taip pat kūrė teisingų žmogaus kūno proporcijų teoriją. Tam jis netgi sukūrė specialų kompasą.
XVI amžiuje Fibonačio skaičiaus ir aukso pjūvio ryšio klausimas buvo skirtas astronomo I. Keplerio darbui, kuris pirmasis pritaikė šias taisykles botanikai.
Naujas „atradimas“ aukso pjūvio laukė XIX a. su vokiečių mokslininko profesoriaus Zeisigo publikacija „Estetinis tyrimas“. Jis iškėlė šias proporcijas iki absoliučios ir paskelbė, kad jos yra universalios visiems gamtos reiškiniams. Jis atliko daugybės žmonių, tiksliau, jų kūno proporcijų (apie 2 tūkst.) tyrimus, dėl kurių buvo padarytos išvados apie statistiškai patvirtintus įvairių kūno dalių santykių modelius: pečių, dilbių ilgį. , rankos, pirštai ir kt.
Taip pat buvo tiriami meno objektai (vazos, architektūrinės konstrukcijos), muzikiniai tonai, dydžiai rašant eilėraščius – Zeisigas visa tai rodė per segmentų ir skaičių ilgius, įvedė ir terminą „matematinė estetika“. Gavus rezultatus paaiškėjo, kad gaunama Fibonačio serija.
Fibonačio skaičius ir aukso pjūvis gamtoje
Augalų ir gyvūnų pasaulyje pastebima tendencija formuotis simetrijos forma, kuri stebima augimo ir judėjimo kryptimi. Padalijimas į simetriškas dalis, kuriose stebimos auksinės proporcijos, yra būdingas daugeliui augalų ir gyvūnų.
Mus supančią gamtą galima apibūdinti naudojant Fibonačio skaičius, pavyzdžiui:
- bet kokių augalų lapų ar šakų išsidėstymas, taip pat atstumai yra susiję su duotų skaičių 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ir pan.
- saulėgrąžų sėklos (žvynai ant spurgų, ananasų ląstelės), išdėstytos dviem eilėmis susuktomis spiralėmis įvairiomis kryptimis;
- uodegos ilgio ir viso driežo kūno santykis;
- kiaušinio forma, jei per plačią jo dalį sąlyginai nubrėžiate liniją;
- žmogaus rankos pirštų dydžio santykis.
Ir, žinoma, įdomiausios formos yra spirale besisukantys sraigių kiautai, raštai tinkle, vėjo judėjimas uragano viduje, dviguba spiralė DNR ir galaktikų struktūra – visa tai apima Fibonačio skaičių seką. .
Aukso pjūvio panaudojimas mene
Tyrėjai, ieškantys aukso pjūvio panaudojimo dailėje pavyzdžių, detaliai nagrinėja įvairius architektūros objektus ir paveikslus. Žinomi įžymūs skulptūros kūriniai, kurių kūrėjai laikėsi aukso proporcijų – Olimpiečio Dzeuso, Apolono Belvederio ir
Vienas iš Leonardo da Vinci kūrinių – „Monos Lizos portretas“ – daugelį metų buvo mokslininkų tyrinėjimų objektas. Jie nustatė, kad kūrinio kompoziciją sudaro tik „auksiniai trikampiai“, sujungti į taisyklingą penkiakampę žvaigždę. Visi da Vinčio darbai liudija, kokios gilios buvo jo žinios apie žmogaus kūno sandarą ir proporcijas, kurių dėka jis sugebėjo pagauti neįtikėtinai paslaptingą Monos Lizos šypseną.
Aukso pjūvis architektūroje
Kaip pavyzdį mokslininkai tyrinėjo architektūros šedevrus, sukurtus pagal „aukso pjūvio“ taisykles: Egipto piramides, Panteoną, Partenoną, Paryžiaus Dievo Motinos katedrą, Šv.Vazilijaus katedrą ir kt.
Partenonas, vienas gražiausių Senovės Graikijos (V a. pr. Kr.) statinių, turi 8 kolonas ir 17 iš skirtingų pusių, jo aukščio ir šonų ilgio santykis yra 0,618. Jo fasadų iškyšos padarytos pagal „auksinį pjūvį“ (nuotrauka žemiau).
Vienas iš mokslininkų, išradusių ir sėkmingai pritaikiusių modulinės architektūros objektų proporcijų sistemos (vadinamojo „moduliatoriaus“) tobulinimą, buvo prancūzų architektas Le Corbusier. Modulis yra pagrįstas matavimo sistema, susijusia su sąlyginiu padalijimu į žmogaus kūno dalis.
Rusų architektas M.Kazakovas, Maskvoje pastatęs keletą gyvenamųjų pastatų, taip pat Senato pastatus Kremliuje ir Golicino ligoninę (dabar 1-oji klinika, pavadinta N. N. Pirogovo vardu), buvo vienas iš architektų, naudojusių įstatymus m. projektavimas ir konstrukcija apie aukso pjūvį.
Proporcijų taikymas projektuojant
Mados dizaine visi mados dizaineriai kuria naujus įvaizdžius ir modelius, atsižvelgdami į žmogaus kūno proporcijas ir aukso pjūvio taisykles, nors iš prigimties ne visi žmonės turi idealias proporcijas.
Planuojant kraštovaizdžio dizainą ir kuriant tūrines parko kompozicijas naudojant augalus (medžius ir krūmus), fontanus ir mažosios architektūros objektus, galima pritaikyti ir „dieviškų proporcijų“ raštus. Juk parko kompozicija turėtų būti orientuota į įspūdžio kūrimą lankytojui, kuris galės laisvai jame naršyti ir rasti kompozicinį centrą.
Visi parko elementai yra tokiomis proporcijomis, kad, pasitelkę geometrinę struktūrą, tarpusavio išdėstymą, apšvietimą ir šviesą, suteikia žmogui harmonijos ir tobulumo įspūdį.
Aukso pjūvio taikymas kibernetikoje ir technologijose
Aukso pjūvio ir Fibonačio skaičių raštai taip pat pasireiškia energijos perėjimais, procesuose, vykstančiuose su elementariomis dalelėmis, kurios sudaro cheminius junginius, erdvėse, DNR genų struktūroje.
Panašūs procesai vyksta ir žmogaus organizme, pasireiškiantys jo gyvenimo bioritmais, organų, pavyzdžiui, smegenų ar regėjimo, veikimu.
Šiuolaikinėje kibernetikoje ir informatikoje plačiai naudojami auksinių proporcijų algoritmai ir raštai. Viena iš paprastų užduočių, kurią duoda išspręsti pradedantieji programuotojai, yra parašyti formulę ir programavimo kalbomis nustatyti Fibonačio skaičių sumą iki tam tikro skaičiaus.
Šiuolaikiniai aukso pjūvio teorijos tyrimai
Nuo XX amžiaus vidurio labai išaugo susidomėjimas aukso proporcijų dėsnių problemomis ir įtaka žmogaus gyvenimui, ir daugelio įvairių profesijų mokslininkų: matematikų, etnoso tyrinėtojų, biologų, filosofų, medicinos darbuotojų, ekonomistų, muzikantų susidomėjimas. ir kt.
Nuo 1970-ųjų JAV leidžiamas The Fibonacci Quarterly, kur publikuojami darbai šia tema. Spaudoje pasirodo kūrinių, kuriuose apibendrintos aukso pjūvio taisyklės ir Fibonačio serijos naudojamos įvairiose žinių šakose. Pavyzdžiui, informacijos kodavimui, cheminiams tyrimams, biologiniams ir kt.
Visa tai patvirtina senovės ir šiuolaikinių mokslininkų išvadas, kad aukso pjūvis yra daugiašališkai susijęs su esminiais mokslo klausimais ir pasireiškia daugelio mus supančio pasaulio kūrinių ir reiškinių simetrija.
Net senovės Egipte tai buvo žinoma aukso pjūvis, Leonardo da Vinci ir Euklidas tyrinėjo jo savybes.Vaizdinis žmogaus suvokimas yra išdėstytas taip, kad jis savo forma išskiria visus jį supančius objektus. Jo susidomėjimą objektu ar jo forma kartais lemia būtinybė, arba šį susidomėjimą gali sukelti objekto grožis. Jei pačiame formos konstrukcijos pagrinde naudojamas derinys aukso pjūvis ir simetrijos dėsniai, tai yra geriausias derinys vizualiniam harmoniją ir grožį jaučiančio žmogaus suvokimui. Visa visuma susideda iš dalių, didelių ir mažų, ir šios skirtingo dydžio dalys turi tam tikrą ryšį tiek viena su kita, tiek su visuma. O aukščiausia funkcinio ir struktūrinio tobulumo apraiška gamtoje, moksle, mene, architektūroje ir technikoje yra Principas aukso pjūvis. Sąvoka aukso pjūvisį mokslą įtrauktas senovės graikų matematikas ir filosofas (VI a. pr. Kr.) Pitagoras. Tačiau pačios žinios apie aukso pjūvis jis pasiskolino iš senovės egiptiečių. Visų šventyklų pastatų, Cheopso piramidžių, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir kapų dekoracijų proporcijos rodo, kad aukso pjūvis buvo aktyviai naudojamas senovės meistrų ilgai prieš Pitagorą. Kaip pavyzdys: bareljefas iš Seti I šventyklos Abydos ir Ramzio bareljefas naudoja principą aukso pjūvis figūrų proporcijose. Tai išsiaiškino architektas Le Corbusier. Ant medinės lentos, atkeltos iš architekto Khesiro kapo, pavaizduotas reljefo piešinys, kuriame matomas pats architektas, rankose laikantis matavimo priemones, kurios pavaizduotos principus fiksuojančioje pozicijoje. aukso pjūvis. Žinojo principus aukso pjūvis ir Platonas (427...347 m. pr. Kr.). Timo dialogas yra to įrodymas, nes jis skirtas klausimams auksinis skyrius, estetinės ir matematinės Pitagoro mokyklos pažiūros. Principai aukso pjūvis senovės graikų architektų naudojo Partenono šventyklos fasade. Kompasai, kuriuos savo darbuose naudojo senovės architektai ir senovės pasaulio skulptoriai, buvo aptikti kasinėjant Partenono šventyklą.
Partenonas, Akropolis, Atėnai Pompėjoje (muziejus Neapolyje) proporcijomis auksinis skyrius taip pat yra.Senovės literatūroje, kuri atėjo pas mus, principas aukso pjūvis pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. Knygos „Pradžia“ antroje dalyje pateiktas geometrinis principas aukso pjūvis. Euklido pasekėjai buvo Pappas (III a. po Kr.), Hypsicles (II a. pr. Kr.) ir kt. Į viduramžių Europą su principu aukso pjūvis Susipažinome per Euklido „Pradžių“ vertimus iš arabų kalbos. Principai aukso pjūvis buvo žinomi tik siauram iniciatorių ratui, jie buvo pavydžiai saugomi, laikomi griežtoje paslaptyje. Atėjo renesansas ir domėjimasis principais aukso pjūvis daugėja tarp mokslininkų ir menininkų, nes šis principas taikomas moksle, architektūroje ir mene. Ir Leonardo Da Vinci pradėjo naudoti šiuos principus savo darbuose, dar daugiau, jis pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, kuri jį aplenkė ir išleido knygą “. Dieviškoji proporcija“, po kurios Leonardo paliko, darbas nėra baigtas. Pasak mokslo istorikų ir amžininkų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, puikus italų matematikas, gyvenęs tarp Galilėjaus ir Fibonačio. Būdamas tapytojo Piero della Francesca mokinys, Luca Pacioli parašė dvi knygas „Apie tapybos perspektyvą“, vienos iš jų pavadinimas. Daugelis jį laiko aprašomosios geometrijos kūrėju. Luca Pacioli, Moro hercogo kvietimu, atvyko į Milaną 1496 m. ir ten skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu dirbo Moro teisme. 1509 m. Venecijoje išleista Luca Pacioli „Dieviškoji proporcija“ tapo entuziastingu himnu. aukso pjūvis, su gražiai išpiltomis iliustracijomis, yra pagrindo manyti, kad iliustracijas padarė pats Leonardo da Vinci. Vienuolis Luca Pacioli, kaip viena iš dorybių aukso pjūvis pabrėžė jos „dieviškąją esmę“. Suprasdamas mokslinę ir meninę aukso pjūvio vertę, Leonardo da Vinci skyrė daug laiko jo tyrinėjimui. Atlikdamas stereometrinio kūno, susidedančio iš penkiakampių, atkarpą, jis gavo stačiakampius, kurių kraštinių santykiai atitinka aukso pjūvis. Ir davė jam pavadinimą aukso pjūvis“. Kuris vis dar laikosi. Albrechtas Diureris, taip pat studijuojantis aukso pjūvis Europoje, susitinka su vienuoliu Luca Pacioli. Johanesas Kepleris, didžiausias to meto astronomas, pirmasis atkreipė dėmesį į svarbą aukso pjūvis botanikai pavadinus ją geometrijos lobiu. Jis pavadino auksinį pjūvį savaime besitęsiančiu. „Taip išdėstyta, – sakė jis, – dviejų begalinės proporcijos jaunesniųjų terminų suma duoda trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, duoda kitą terminą. , ir ta pati proporcija išlieka neribotą laiką.
Auksinis trikampis:: auksinis santykis ir auksinis santykis:: auksinis stačiakampis:: auksinė spiralė
Auksinis trikampis
Norėdami rasti mažėjančios ir didėjančios eilučių auksinio santykio segmentus, naudosime pentagramą.
Ryžiai. 5. Taisyklingo penkiakampio ir penkiakampio konstravimas
Norint sukurti pentagramą, reikia nubrėžti taisyklingą penkiakampį pagal vokiečių tapytojo ir grafiko Albrechto Dürerio sukurtą konstravimo metodą. Jei O yra apskritimo centras, A yra apskritimo taškas, o E yra atkarpos OA vidurio taškas. Statmenas spinduliui OA, pakeltas taške O, kerta apskritimą taške D. Kompasu pažymėkite atkarpą ant skersmens CE = ED. Tada į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis lygus DC. Apskritime atidedame DC segmentus ir gauname penkis taškus už taisyklingo penkiakampio nubrėžimą. Tada per vieną kampą sujungiame penkiakampio kampus su įstrižainėmis ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.
Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jo šonai viršuje sudaro 36° kampą, o šone padėtas pagrindas jį padalija proporcingai aukso pjūviui. Nubrėžkite tiesę AB. Iš taško A tris kartus atidedame ant jo savavališko dydžio atkarpą O, per gautą tašką P nubrėžiame statmeną tiesei AB, statmeną į dešinę ir kairę taško P atidedame atkarpas O. taškai d ir d1 yra sujungti tiesiomis linijomis su tašku A. Atkarpą dd1 įdedame į tiesę Ad1, gaudami tašką C. Tiesę Ad1 ji padalino proporcingai aukso pjūviui. Linijos Ad1 ir dd1 naudojamos „auksiniam“ stačiakampiui sukurti.
Ryžiai. 6. Statyti auksinį
trikampis
Auksinis santykis ir auksinis santykis
Matematikoje ir mene du dydžiai yra aukso pjūviu, jei santykis tarp šių dydžių sumos ir didesnio yra toks pat kaip santykis tarp didesnio ir mažesnio. 
Išreikšta algebriškai: 
Auksinis pjūvis dažnai žymimas graikiška raide phi (? arba?). aukso pjūvio figūra iliustruoja geometrinius ryšius, kurie apibrėžia šią konstantą. Auksinis pjūvis yra neracionali matematinė konstanta, maždaug 1,6180339887.
auksinis stačiakampis
Auksinis stačiakampis yra stačiakampis, kurio kraštinių ilgiai yra aukso pjūviu, 1:?
(vienas prie interneto), y., 1: arba maždaug 1:1,618. Auksinį stačiakampį galima statyti tik su liniuote 
ir apskritimas: 1. Sukonstruokite paprastą kvadratą 2. Nubrėžkite liniją nuo vienos kvadrato pusės vidurio iki priešingo kampo 3. Naudokite šią liniją kaip spindulį, kad nubrėžtumėte lanką, kuris apibrėžia stačiakampio aukštį 4. Užbaikite auksinį stačiakampį
auksinė spiralė
Geometrijoje auksinė spiralė yra logaritminė spiralė, kurios augimo faktorius b yra susijęs su?
, aukso pjūvis. Visų pirma, auksinė spiralė tampa platesnė (toliau nuo tos vietos, kur ji prasidėjo). ?
už kiekvieną ketvirčio apsisukimą. 
Iš eilės auksinio stačiakampio padalijimo į kvadratus taškai guli logaritminė spiralė, kartais vadinama auksine spirale.
Auksinė dalis architektūroje ir mene.
Daugelis architektų ir menininkų savo darbus atliko pagal aukso pjūvio proporcijas, ypač auksinio stačiakampio pavidalu, kuriame didesnės ir mažesnės kraštinės santykis turi aukso pjūvio proporcijas, manydami, kad šis santykis. būtų estetiška. [Šaltinis: Wikipedia.org ]
Štai keletas pavyzdžių:
Partenonas, Akropolis, Atėnai . Ši senovinė šventykla beveik tiksliai telpa į auksinį stačiakampį.
Leonardo da Vinci „Vitruvian Man“. šioje figūroje galite nubrėžti daug stačiakampių linijų. Tada yra trys skirtingi auksinių stačiakampių rinkiniai: Kiekvienas rinkinys skirtas galvos, liemens ir kojų sričiai. Leonardo da Vinci piešinys „Vitruvian Man“ kartais painiojamas su „auksinio stačiakampio“ principais, tačiau taip nėra. Vitruvijaus žmogaus konstrukcija paremta nubrėžiant apskritimą, kurio skersmuo lygus kvadrato įstrižai, perkeliant jį aukštyn, kad jis liestų kvadrato pagrindą, ir nubrėžiant galutinį apskritimą tarp kvadrato pagrindo ir vidurio taško tarp kvadrato pagrindo. kvadrato centro ir apskritimo centro plotas: Išsamus geometrinės konstrukcijos paaiškinimas >>
Aukso pjūvis gamtoje.
Adolfas Zeisingas, kurio pagrindiniai interesai buvo matematika ir filosofija, atrado aukso pjūvį šakų išdėstyme išilgai augalo stiebo ir gyslose lapuose. Jis išplėtė savo studijas nuo augalų iki gyvūnų, tyrinėdamas gyvūnų skeletus ir jų gyslų bei nervų šakas, cheminių junginių proporcijas ir kristalų geometriją, iki aukso pjūvio panaudojimo vaizduojamajame mene. Šiuose reiškiniuose jis pamatė, kad aukso pjūvis visur naudojamas kaip universalus įstatymas, Zeisingas rašė 1854 m.: Aukso pjūvis yra universalus dėsnis, kuriame yra pagrindinis principas, formuojantis grožio ir išbaigtumo troškimą tokiose srityse kaip gamta ir menas, kuris, kaip svarbiausias dvasinis idealas, persmelkia visas struktūras, formas ir proporcijas, nesvarbu, ar tai būtų kosminė. arba fizinis asmuo, organinis ar neorganinis, akustinis ar optinis, tačiau aukso pjūvio principas tobuliausiai įgyvendinamas žmogaus pavidalu.
Pavyzdžiai:
Nautilus apvalkalo pjūvis atskleidžia auksinį spiralinės konstrukcijos principą.
Mocartas savo sonatas padalijo į dvi dalis, kurių ilgiai atspindi aukso pjūvis, nors daug diskutuojama, ar jis tai padarė sąmoningai. Modernesniais laikais vengrų kompozitorius Béla Bartók ir prancūzų architektas Le Corbusier kryptingai į savo kūrybą įtraukė aukso pjūvį. Net šiandien aukso pjūvis visur mus supa dirbtiniais objektais. Pažvelkite į beveik bet kurį krikščionišką kryžių, vertikalaus ir horizontalaus santykis yra aukso pjūvis. Norėdami rasti auksinį stačiakampį, pažiūrėkite į savo piniginę ir ten rasite kredito korteles. Nepaisant daugybės įrodymų, pateiktų per šimtmečius sukurtuose meno kūriniuose, šiuo metu psichologai diskutuoja apie tai, ar žmonės tikrai suvokia aukso proporcijas, ypač auksinį stačiakampį, gražesnę už kitas formas. 1995 m. žurnalo straipsnyje profesorius Christopheris Greenas iš Jorko universiteto Toronte aptaria daugybę per daugelį metų atliktų eksperimentų, kurie neparodė jokios pirmenybės auksinio stačiakampio formai, tačiau pažymi, kad keletas kitų pateikė įrodymų, kad tokia pirmenybė. neegzistuoja.. Tačiau, nepaisant mokslo, aukso pjūvis išlaiko savo paslaptį, iš dalies todėl, kad jis taip gerai veikia daugelyje netikėtų gamtos vietų. Spiralė 
Nautilus moliuskų kriauklės yra stebėtinai arti aukso pjūvis, o daugumos bičių krūtinės ir pilvo ilgio santykis yra beveik aukso pjūvis. Netgi labiausiai paplitusių žmogaus DNR formų skerspjūviai puikiai telpa į auksinį dešimtį. aukso pjūvis o jo giminaičiai taip pat atsiranda daugelyje netikėtų matematikos kontekstų ir toliau kelia matematinių bendruomenių susidomėjimą. Daktaras Stevenas Marquardtas, buvęs plastikos chirurgas, panaudojo šią paslaptingą proporciją aukso pjūvis, savo darbe, kuris ilgą laiką buvo atsakingas už grožį ir harmoniją, pasigaminti kaukę, kurią laikė gražiausia žmogaus veido forma, kokia tik gali būti. 
Kaukė tobulas žmogaus veidas
Egipto karalienė Nefertitė (1400 m. pr. Kr.)
Jėzaus veidas yra kopija iš Turino drobulės ir pataisytas pagal daktaro Stepheno Marquardto kaukę.
„Vidutinis“ (susintetintas) įžymybės veidas. Su aukso pjūvio proporcijomis.
Naudota svetainės medžiaga: http://blog.world-mysteries.com/
Visuotinai pripažįstama, kad aukso padalijimo sąvoką į mokslą įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas (VI a. pr. Kr.). Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir Tutanchamono kapo dekoracijų proporcijos rodo, kad Egipto meistrai jas kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant savo vardo kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos auksinio padalijimo proporcijos.
Graikai buvo įgudę geometrai. Net aritmetikos jų vaikai buvo mokomi geometrinių figūrų pagalba. Pitagoro kvadratas ir šio kvadrato įstrižainė buvo pagrindas statyti dinamiškus stačiakampius.
Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timejus“ skirtas matematinėms ir estetinėms Pitagoro mokyklos pažiūroms, ypač aukso padalijimo klausimams.
Iki mūsų atėjusioje antikinėje literatūroje auksinis padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido „Pradžioje“. 2-ojoje „Pradžių“ knygoje pateikta auksinės padalos geometrinė konstrukcija. Po Euklido aukso padalijimo tyrinėjimu užsiėmė Hypsicles (II a. pr. Kr.), Papas (III a. po Kr.) ir kiti.Navara (III a.). Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos, laikomos griežtoje paslaptyje, jas žinojo tik iniciatoriai.
Renesanso laikais mokslininkų ir menininkų susidomėjimas auksine dalyba išaugo dėl jos panaudojimo geometrijoje ir mene, ypač architektūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias matematikas Italijoje tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Francesca mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.
Luca Pacioli puikiai suvokė mokslo svarbą menui. 1509 m. Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Dieviškoji proporcija“ su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tarp daugelio aukso pjūvio privalumų vienuolis Luca Pacioli nepabūgo įvardinti jo „dieviškosios esmės“ kaip Dievo Sūnaus, Dievo Tėvo ir Dievo Šventosios Dvasios dieviškosios trejybės išraiškos (buvo suprasta, kad mažoji segmentas yra Dievo Sūnaus personifikacija, didesnis segmentas yra Dievo Tėvo personifikacija, o visas segmentas - šventosios dvasios dievas).
Leonardo da Vinci taip pat daug dėmesio skyrė auksinio padalinio tyrimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo aukso padalijimas. Todėl šiam skyriui jis suteikė aukso pjūvio pavadinimą. Ir taip tęsiasi iki šiol.
Tuo pačiu metu šiaurės Europoje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis pateikia įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas projektą. Dureris rašo. „Būtina, kad tas, kuris ką nors žino, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“. Albrechtas Diureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Svarbią vietą savo proporcijų sistemoje jis skyrė aukso pjūviui. Žinomas proporcinis kompasas Dürer.
Puikus XVI amžiaus astronomas Johannesas Kepleris aukso pjūvį pavadino vienu iš geometrijos lobių. Jis pirmasis atkreipia dėmesį į aukso pjūvio reikšmę botanikai (augalų augimui ir struktūrai). Kepleris auksinį pjūvį pavadino besitęsiančiu: „Jis yra išdėstytas taip, – rašė jis, – kad du jaunesni šios begalinės proporcijos nariai sudaro trečiąjį terminą, o bet kurios dvi paskutinės dalys, sudėjus kartu, duoda kitą. terminas, ir ta pati proporcija išlieka iki begalybės“.
Auksinio pjūvio segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjanti serija).
Vėlesniais šimtmečiais aukso pjūvio taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „išmetė ir vaiką kartu su vandeniu. “ Aukso pjūvis vėl buvo „atrastas“ XIX amžiaus viduryje. 1855 metais vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetinis tyrimas“. Zeisingas aukso pjūvį laiko nesusijęs su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie jo proporcijų doktriną paskelbė „matematine estetika“.
Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė Apollo Belvedere proporcijas. Buvo tiriamos graikiškos vazos, įvairių epochų architektūrinės struktūros, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas apibrėžė aukso pjūvį, parodė, kaip jis išreiškiamas linijų atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gautos figūros, išreiškiančios segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jos sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ir kita kryptimi. Kita jo knyga vadinosi „Auksinis padalijimas kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knyga, kurioje buvo aprašytas šis Zeisingo darbas.
XIX pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno ir architektūros kūriniuose. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai, aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.
Mokslas meno neįsisavino, tačiau tais istoriniais laikotarpiais, kai matematika ir menas susiliejo, tai davė impulsą abiejų raidai.
Auksinio pjūvio samprata
Išsiaiškinkime, kas bendro tarp senovės Egipto piramidžių, Leonardo da Vinčio paveikslo „Mona Liza“, saulėgrąžos, sraigės, snaigės, galaktikos ir žmogaus pirštų?
Matematikoje proporcija (lot. proportio) yra dviejų santykių lygybė: a: b = c: d.
Auksinė pjūvis yra toks proporcingas segmento padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne.
Atkarpą AB tašku C galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:
- į dvi lygias dalis - AB: AC = AB: BC;
- į dvi nelygias dalis bet kokiu santykiu (tokios dalys nesudaro proporcijų);
- kraštutiniu ir vidutiniu santykiu tokiu būdu, kad AB: AC \u003d AC: BC.
Paskutinis yra auksinis skyrius.
Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos atkarpos padalijimu aukso pjūviu naudojant kompasą ir liniuotę. BC = 1/2 AB; CD = BC
Iš taško B atkuriamas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas C tiese sujungtas su tašku A. Gautoje tiesėje nubrėžta atkarpa BC, kuri baigiasi tašku D. Atkarpa AD perkeliama į tiesę AB. Gautas taškas E padalija atkarpą AB aukso pjūvio santykiu.
Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami kaip begalinė neracionali trupmena, jei AB imamas kaip vienetas, tada AE \u003d 0,618 ..., BE \u003d 0,382 ... Praktiniais tikslais apytikslės reikšmės yra 0,62 ir 0,38 dažnai naudojami. Jei atkarpą AB imame kaip 100 dalių, tai didžiausia atkarpos dalis yra 62, o mažesnė – 38 dalys.
Antrosios auksinės dalies statyba. Padalijimas atliekamas taip. Atkarpa AB yra padalinta proporcingai aukso pjūviui. Iš taško C atkuriamas statmenas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuris tiese sujungtas su tašku A. Statusis kampas ACD yra padalintas į pusę. Nuo taško C iki susikirtimo su tiese AD nubrėžiama linija. Taškas E dalija atkarpą AD santykiu 56:44.
Antrosios auksinės stačiakampio dalies linija yra viduryje tarp auksinės pjūvio linijos ir stačiakampio vidurinės linijos.
Pentagrama
Norėdami rasti didėjančios ir mažėjančios eilučių auksinio santykio segmentus, galite naudoti pentagramą.
Taisyklingo penkiakampio ir pentagramos konstrukcija.
Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Diureris (1471...1528). Tegul O yra apskritimo centras, A yra apskritimo taškas, o E yra atkarpos OA vidurio taškas. Statmenas spinduliui OA, pakeltas taške O, kertasi su apskritimu taške D. Kompasu pažymėkite skersmenyje atkarpą CE = ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Apskritime atidedame DC segmentus ir gauname penkis taškus už taisyklingo penkiakampio nubrėžimą. Penkiakampio kampus sujungiame per vieną įstrižainę ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus aukso pjūviu. Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas yra auksinis trikampis. Jos šonai viršūnėje sudaro 36° kampą, o šoninėje pusėje padėtas pagrindas jį dalija aukso pjūviu.
Fibonačio serija
Italų matematiko vienuolio Leonardo iš Pizos, geriau žinomo kaip Fibonacci (Bonačio sūnus), vardas yra netiesiogiai susijęs su aukso pjūvio istorija. Jis daug keliavo po Rytus, supažindino Europą su indiškais (arabiškais) skaitmenimis. 1202 metais buvo išleistas jo matematinis veikalas „Abako knyga“ (skaičiavimo lenta), kuriame surinktos visos tuo metu žinomos problemos. Viena iš užduočių buvo tokia: „Kiek porų triušių per vienerius metus gims iš vienos poros“. Apmąstydamas šią temą, Fibonacci sukūrė tokias skaičių serijas: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ir kt.
Ši serija žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus ankstesnių dviejų sumai, o gretimų serijos skaičių santykis artėja prie auksinio padalijimo santykio. Be to, po 13-ojo skaičiaus sekoje šis padalijimo rezultatas tampa pastovus iki serijos begalybės. Būtent šis pastovus padalijimo skaičius viduramžiais buvo vadinamas dieviškuoju santykiu, o šiandien jis vadinamas aukso pjūviu, aukso viduriu arba aukso proporcija. Algebroje šis skaičius žymimas graikiška raide φ (phi).
Taigi aukso pjūvis yra 1:1,618
Taigi, 21:34 = 0,617 ir 34:55 = 0,618. Šis santykis žymimas simboliu φ. Šis santykis – 0,618: 0,382 – suteikia nenutrūkstamą tiesios linijos atkarpos padalijimą aukso pjūviu.
Fibonačio serija galėjo likti tik matematiniu įvykiu, jei ne tai, kad visi auksinio padalijimo tyrinėtojai augalų ir gyvūnų pasaulyje, jau nekalbant apie meną, visada atėjo į šią seriją kaip auksinio padalijimo dėsnio aritmetinę išraišką. . Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yra elegantiškų būdų, kaip išspręsti daugybę kibernetinių problemų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.
auksinis stačiakampis ir auksinė spiralė
Geometrijoje auksiniu pradėtas vadinti stačiakampis su auksiniu kraštinių santykiu. Jo ilgosios pusės yra susijusios su trumposiomis - santykiu 1,168: 1.
Auksinis stačiakampis taip pat turi daug nuostabių savybių. Iš auksinio stačiakampio nupjaudami kvadratą, kurio kraštinė lygi mažesnei stačiakampio kraštinei, vėl gauname mažesnį auksinį stačiakampį. Šis procesas gali būti tęsiamas iki begalybės. Pjaudami kvadratus gausime vis mažesnius auksinius stačiakampius. Be to, jie bus išdėstyti logaritminėje spiralėje, kuri yra svarbi gamtos objektų matematiniuose modeliuose. Spiralės polius yra pradinio stačiakampio ir pirmojo nupjauto vertikalės įstrižainių sankirtoje. Be to, ant šių įstrižainių yra visų vėlesnių mažėjančių auksinių stačiakampių įstrižainės. Žinoma, yra ir auksinis trikampis.
Taip pat rekomenduojame
Perjungimo maitinimo šaltinis: remontas ir tobulinimas
Nuotolinis šviesos valdymas
Plaukimo pamokos ikimokyklinio amžiaus vaikams
Pastabos meistrui – namų buitinė signalizacija
Atmega8 laikrodžio sraigtas
Įrenginių ir relių taikymo pavyzdžiai, kaip teisingai pasirinkti ir prijungti relę Mikrovaldiklio ir relių paprastos perjungimo grandinės
Įkeliama...