"soluzione di equazioni razionali frazionarie". Equazioni razionali

Il minimo comune denominatore è usato per semplificare data equazione. Questo metodo viene utilizzato quando non è possibile scrivere l'equazione data con un'espressione razionale su ciascun lato dell'equazione (e utilizzare il metodo della moltiplicazione incrociata). Questo metodo viene utilizzato quando viene fornita un'equazione razionale con 3 o più frazioni (nel caso di due frazioni, è meglio la moltiplicazione incrociata).

Trova il minimo comune denominatore delle frazioni (o minimo comune multiplo). NOZ è numero più piccolo, che è equamente divisibile per ogni denominatore.

• A volte NOZ è un numero ovvio. Ad esempio, se viene data l'equazione: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, allora è ovvio che il minimo comune multiplo dei numeri 3, 2 e 6 sarà 6.
• Se il NOD non è ovvio, annota i multipli del denominatore massimo e trova tra loro uno che sia anche multiplo degli altri denominatori. Spesso puoi trovare il NOD semplicemente moltiplicando due denominatori insieme. Ad esempio, se viene data l'equazione x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, allora NOZ = 8*9 = 72.
• Se uno o più denominatori contengono una variabile, il processo è un po' più complicato (ma non impossibile). In questo caso, il NOZ è un'espressione (contenente una variabile) che è divisibile per ogni denominatore. Ad esempio, nell'equazione 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), perché questa espressione è divisibile per ogni denominatore: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Moltiplica sia il numeratore che il denominatore di ciascuna frazione per un numero uguale al risultato della divisione dei NOZ per il corrispondente denominatore di ciascuna frazione. Poiché stai moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero, stai effettivamente moltiplicando una frazione per 1 (ad esempio, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).

• Quindi nel nostro esempio, moltiplica x/3 per 2/2 per ottenere 2x/6 e moltiplica 1/2 per 3/3 per ottenere 3/6 (3x + 1/6 non deve essere moltiplicato perché il denominatore è 6).
• Procedi allo stesso modo quando la variabile è al denominatore. Nel nostro secondo esempio NOZ = 3x(x-1), quindi 5/(x-1) volte (3x)/(3x) è 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x volte 3(x-1)/3(x-1) per ottenere 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) moltiplica per (x-1)/(x-1) e ottieni 2(x-1)/3x(x-1).

Trova x. Ora che hai ridotto le frazioni a un denominatore comune, puoi eliminare il denominatore. Per fare ciò, moltiplica ogni lato dell'equazione per un denominatore comune. Quindi risolvi l'equazione risultante, ovvero trova "x". Per fare ciò, isola la variabile su un lato dell'equazione.

• Nel nostro esempio: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puoi aggiungere 2 frazioni con stesso denominatore, quindi scrivi l'equazione come: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per 6 ed elimina i denominatori: 2x+3 = 3x +1. Risolvi e ottieni x = 2.
• Nel nostro secondo esempio (con una variabile al denominatore), l'equazione appare (dopo la riduzione a un denominatore comune): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per NOZ, elimini il denominatore e ottieni: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, oppure 15x = x - 5 Risolvi e ottieni: x = -5/14.

In poche parole, queste sono equazioni in cui ce n'è almeno una con una variabile al denominatore.

Per esempio:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Esempio non frazionario equazioni razionali:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Come si risolvono le equazioni razionali frazionarie?

La cosa principale da ricordare sulle equazioni razionali frazionarie è che devi scriverci dentro. E dopo aver trovato le radici, assicurati di verificarne l'ammissibilità. In caso contrario, potrebbero apparire radici estranee e l'intera soluzione sarà considerata errata.

Algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria:

Scrivi e "risolvi" l'ODZ.

Moltiplica ogni termine nell'equazione per un denominatore comune e riduci le frazioni risultanti. I denominatori scompariranno.

Scrivi l'equazione senza aprire le parentesi.

Risolvi l'equazione risultante.

Controlla le radici trovate con ODZ.

Scrivi in ​​risposta le radici che hanno superato il test nel passaggio 7.

Non memorizzare l'algoritmo, 3-5 equazioni risolte - e sarà ricordato da solo.

Esempio . Risolvi l'equazione razionale frazionaria \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Decisione:

Risposta: \(3\).

Esempio . Trova le radici dell'equazione razionale frazionaria \(=0\)

Decisione:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cpunto 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Scriviamo e "risolviamo" ODZ. Espandi \(x^2+7x+10\) nella formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Fortunatamente \(x_1\) e \(x_2\) abbiamo già trovato.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ovviamente, il denominatore comune delle frazioni: \((x+2)(x+5)\). Moltiplichiamo l'intera equazione per essa.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Riduciamo le frazioni
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Apertura delle parentesi
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Diamo termini simili
\(2x^2+9x-5=0\)		Trovare le radici dell'equazione
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una delle radici non rientra nell'ODZ, quindi in risposta scriviamo solo la seconda radice.

Risposta: \(\frac(1)(2)\).

Obiettivi della lezione:

Esercitazione:

• formazione del concetto di equazioni razionali frazionarie;
• considerare vari modi per risolvere equazioni razionali frazionarie;
• considerare un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie, inclusa la condizione che la frazione sia uguale a zero;
• insegnare la soluzione di equazioni razionali frazionarie secondo l'algoritmo;
• controllare il livello di assimilazione dell'argomento conducendo un lavoro di prova.

Sviluppando:

• sviluppo della capacità di operare correttamente con le conoscenze acquisite, di pensare in modo logico;
• sviluppo delle capacità intellettive e delle operazioni mentali - analisi, sintesi, confronto e generalizzazione;
• sviluppo dell'iniziativa, capacità di prendere decisioni, di non fermarsi qui;
• sviluppo pensiero critico;
• sviluppo delle capacità di ricerca.

Nutrire:

• educazione interesse cognitivo al soggetto;
• educazione all'indipendenza nella risoluzione dei problemi educativi;
• educazione alla volontà e alla perseveranza per raggiungere i risultati finali.

Tipo di lezione: lezione - spiegazione del nuovo materiale.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo.

Ciao ragazzi! Le equazioni sono scritte sulla lavagna, guardale attentamente. Riesci a risolvere tutte queste equazioni? Quali non lo sono e perché?

Le equazioni in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali frazionarie sono chiamate equazioni razionali frazionarie. Cosa pensi che studieremo oggi nella lezione? Formulare l'argomento della lezione. Quindi, apriamo i quaderni e annotiamo l'argomento della lezione "Soluzione di equazioni razionali frazionarie".

2. Attualizzazione della conoscenza. Indagine frontale, lavoro orale con la classe.

E ora ripeteremo il principale materiale teorico che dobbiamo studiare nuovo argomento. Per favore, rispondi alle seguenti domande:

1. Che cos'è un'equazione? ( Uguaglianza con una o più variabili.)
2. Come si chiama l'equazione n. 1? ( Lineare.) Metodo per la risoluzione di equazioni lineari. ( Sposta tutto con l'incognita sul lato sinistro dell'equazione, tutti i numeri a destra. Porta termini simili. Trova il moltiplicatore sconosciuto).
3. Come si chiama l'equazione 3? ( Quadrato.) Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche. ( Selezione del quadrato pieno, mediante formule, utilizzando il teorema di Vieta e le sue conseguenze.)
4. Che cos'è una proporzione? ( Uguaglianza di due relazioni.) La proprietà principale della proporzione. ( Se la proporzione è vera, allora il prodotto dei suoi termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.)
5. Quali proprietà vengono utilizzate per risolvere le equazioni? ( 1. Se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otteniamo un'equazione equivalente a quella data. 2. Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si otterrà un'equazione equivalente al dato.)
6. Quando una frazione è uguale a zero? ( La frazione è zero quando il numeratore zero, e il denominatore non è uguale a zero.)

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Risolvi l'equazione n. 2 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 10.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere usando la proprietà di base della proporzione? (n. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Risolvi l'equazione n. 4 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 1,5.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore? (n. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Risposta: 3;4.

Ora prova a risolvere l'equazione n. 7 in uno dei modi.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Risposta: 0;5;-2.			Risposta: 5;-2.

Spiega perché è successo? Perché ci sono tre radici in un caso e due nell'altro? Quali numeri sono le radici di questa equazione razionale frazionaria?

Finora gli studenti non hanno incontrato il concetto di radice estranea, è davvero molto difficile per loro capire perché questo sia accaduto. Se nessuno nella classe può dare una chiara spiegazione di questa situazione, l'insegnante pone le domande principali.

• In che modo le equazioni n. 2 e 4 differiscono dalle equazioni n. 5,6,7? ( Nelle equazioni n. 2 e 4 al denominatore del numero, n. 5-7 - espressioni con una variabile.)
• Qual è la radice dell'equazione? ( Il valore della variabile a cui l'equazione diventa una vera uguaglianza.)
• Come scoprire se un numero è la radice di un'equazione? ( Fai un controllo.)

Quando fanno un test, alcuni studenti notano che devono dividere per zero. Concludono che i numeri 0 e 5 non sono le radici di questa equazione. Sorge la domanda: esiste un modo per risolvere le equazioni razionali frazionarie che elimini questo errore? Sì, questo metodo si basa sulla condizione che la frazione sia uguale a zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Se x=5, allora x(x-5)=0, quindi 5 è una radice estranea.

Se x=-2, allora x(x-5)≠0.

Risposta: -2.

Proviamo a formulare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie in questo modo. I bambini stessi formulano l'algoritmo.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie:

1. Sposta tutto a sinistra.
2. Porta le frazioni a un denominatore comune.
3. Componi un sistema: una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore non è zero.
4. Risolvi l'equazione.
5. Controllare la disuguaglianza per escludere le radici estranee.
6. Scrivi la risposta.

Discussione: come formalizzare la soluzione se si utilizza la proprietà di base della proporzione e la moltiplicazione di entrambi i membri dell'equazione per un denominatore comune. (Integrare la soluzione: escludere dalle sue radici quelle che azzerano il denominatore comune).

4. Comprensione primaria di nuovo materiale.

Lavoro in coppia. Gli studenti scelgono come risolvere l'equazione da soli, a seconda del tipo di equazione. Compiti dal libro di testo "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: n. 600 (b, c, i); N. 601(a, e, g). L'insegnante controlla l'esecuzione del compito, risponde alle domande che sono sorte e fornisce assistenza agli studenti con scarso rendimento. Autotest: le risposte sono scritte alla lavagna.

b) 2 è una radice estranea. Risposta: 3.

c) 2 è una radice estranea. Risposta: 1.5.

a) Risposta: -12.5.

g) Risposta: 1; 1.5.

5. Dichiarazione dei compiti.

1. Leggi l'elemento 25 del libro di testo, analizza gli esempi 1-3.
2. Impara l'algoritmo per risolvere le equazioni razionali frazionarie.
3. Risolvi nei quaderni n. 600 (a, d, e); N. 601 (g, h).
4. Prova a risolvere #696(a) (opzionale).

6. Adempimento del compito di controllo sull'argomento studiato.

Il lavoro viene eseguito su fogli.

Esempio di lavoro:

A) Quale delle equazioni è razionale frazionaria?

B) Una frazione è zero quando il numeratore è ______________________ e il denominatore è _______________________.

D) Il numero -3 è la radice dell'equazione #6?

D) Risolvi l'equazione n. 7.

Criteri di valutazione delle attività:

• "5" viene assegnato se lo studente ha completato correttamente più del 90% del compito.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" viene assegnato a uno studente che ha completato meno del 50% del compito.
• Il voto 2 non viene inserito nel diario, il 3 è facoltativo.

7. Riflessione.

Sui volantini con lavoro indipendente, metti:

• 1 - se la lezione è stata interessante e comprensibile per te;
• 2 - interessante, ma non chiaro;
• 3 - non interessante, ma comprensibile;
• 4 - non interessante, non chiaro.

8. Riassumendo la lezione.

Quindi, oggi nella lezione abbiamo familiarizzato con le equazioni razionali frazionarie, abbiamo imparato come risolvere queste equazioni diversi modi, hanno testato le loro conoscenze con l'aiuto della formazione lavoro indipendente. Imparerai i risultati del lavoro indipendente nella prossima lezione, a casa avrai l'opportunità di consolidare le conoscenze acquisite.

Quale metodo per risolvere le equazioni razionali frazionarie, secondo te, è più facile, più accessibile, più razionale? Indipendentemente dal metodo di risoluzione delle equazioni razionali frazionarie, cosa non dovrebbe essere dimenticato? Qual è l'"astuzia" delle equazioni razionali frazionarie?

Grazie a tutti, la lezione è finita.

Conosciamo le equazioni razionali razionali e frazionarie, diamo la loro definizione, forniamo esempi e analizziamo anche i tipi più comuni di problemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Equazione razionale: definizione ed esempi

La conoscenza delle espressioni razionali inizia nell'ottavo anno della scuola. In questo momento, nelle lezioni di algebra, gli studenti stanno iniziando sempre più a svolgere compiti con equazioni che contengono espressioni razionali nelle tue note Rinfreschiamo la nostra memoria di quello che è.

Definizione 1

equazione razionaleè un'equazione in cui entrambe le parti contengono espressioni razionali.

In vari manuali è possibile trovare un'altra dicitura.

Definizione 2

equazione razionale- questa è un'equazione, il record del lato sinistro della quale contiene un'espressione razionale e quello destro contiene zero.

Le definizioni che abbiamo dato per le equazioni razionali sono equivalenti, poiché significano la stessa cosa. La correttezza delle nostre parole è confermata dal fatto che per qualsiasi espressione razionale P e Q equazioni P=Q e P-Q = 0 saranno espressioni equivalenti.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1

Equazioni razionali:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - un (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Le equazioni razionali, proprio come le equazioni di altri tipi, possono contenere un numero qualsiasi di variabili da 1 a diverse. Per cominciare, considereremo semplici esempi, in cui le equazioni conterranno una sola variabile. E poi iniziamo a complicare gradualmente il compito.

Le equazioni razionali sono divise in due grandi gruppi: intero e frazionario. Vediamo quali equazioni si applicheranno a ciascuno dei gruppi.

Definizione 3

Un'equazione razionale sarà un numero intero se il record delle sue parti sinistra e destra contiene intere espressioni razionali.

Definizione 4

Un'equazione razionale sarà frazionaria se una o entrambe le sue parti contengono una frazione.

Le equazioni frazionarie contengono necessariamente la divisione per una variabile, oppure la variabile è presente nel denominatore. Non esiste una tale divisione nella scrittura di equazioni intere.

Esempio 2

3 x + 2 = 0 e (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5 sono intere equazioni razionali. Qui entrambe le parti dell'equazione sono rappresentate da espressioni intere.

1 x - 1 = x 3 e x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5 sono equazioni frazionate razionali.

Intere equazioni razionali includono equazioni lineari e quadratiche.

Risolvere intere equazioni

La soluzione di tali equazioni si riduce solitamente alla loro trasformazione in equazioni algebriche equivalenti. Ciò può essere ottenuto eseguendo trasformazioni equivalenti delle equazioni secondo il seguente algoritmo:

• prima otteniamo zero sul lato destro dell'equazione, per questo è necessario trasferire l'espressione che si trova sul lato destro dell'equazione al suo lato sinistro e cambiarne il segno;
• quindi trasformiamo l'espressione sul lato sinistro dell'equazione in un polinomio vista standard.

Dobbiamo ottenere un'equazione algebrica. Questa equazione sarà equivalente rispetto all'equazione originale. I casi facili ci permettono di risolvere il problema riducendo l'intera equazione ad una lineare o quadratica. Nel caso generale, risolviamo un'equazione algebrica di grado n.

Esempio 3

È necessario trovare le radici dell'intera equazione 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Decisione

Trasformiamo l'espressione originale per ottenere un'equazione algebrica equivalente. Per fare ciò, trasferiremo l'espressione contenuta nel lato destro dell'equazione sul lato sinistro e cambieremo il segno nell'opposto. Di conseguenza, otteniamo: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Ora trasformeremo l'espressione che si trova sul lato sinistro in un polinomio della forma standard ed eseguiremo azioni necessarie con questo polinomio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Siamo riusciti a ridurre la soluzione dell'equazione originale alla soluzione di un'equazione quadratica della forma x 2 - 5 x - 6 = 0. Il discriminante di questa equazione è positivo: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ciò significa che ci saranno due vere radici. Troviamoli usando la formula delle radici dell'equazione quadratica:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 o x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 oppure x 2 = - 1

Verifichiamo la correttezza delle radici dell'equazione che abbiamo trovato nel corso della soluzione. Per questo numero, che abbiamo ricevuto, sostituiamo nell'equazione originale: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 e 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Nel primo caso 63 = 63 , nel secondo 0 = 0 . Radici x=6 e x = - 1 sono infatti le radici dell'equazione data nella condizione di esempio.

Risposta: 6 , − 1 .

Diamo un'occhiata a cosa significa "potenza dell'intera equazione". Ci imbatteremo spesso in questo termine nei casi in cui dobbiamo rappresentare un'intera equazione sotto forma di un'equazione algebrica. Definiamo il concetto.

Definizione 5

Grado di un'equazione interaè il grado di un'equazione algebrica equivalente all'intera equazione originale.

Se osservi le equazioni dell'esempio sopra, puoi stabilire: il grado dell'intera equazione è il secondo.

Se il nostro corso fosse limitato alla risoluzione di equazioni di secondo grado, allora la considerazione dell'argomento potrebbe essere completata qui. Ma non tutto è così semplice. Risolvere equazioni di terzo grado è irto di difficoltà. E per le equazioni superiori al quarto grado, non esiste affatto formule generali radici. A questo proposito, la soluzione di intere equazioni di terzo, quarto e altri gradi richiede l'uso di una serie di altre tecniche e metodi.

L'approccio più comunemente usato per risolvere intere equazioni razionali è basato sul metodo della fattorizzazione. L'algoritmo delle azioni in questo caso è il seguente:

• trasferiamo l'espressione dal lato destro al lato sinistro in modo che zero rimanga sul lato destro del record;
• rappresentiamo l'espressione sul lato sinistro come un prodotto di fattori, quindi passiamo a un insieme di diverse equazioni più semplici.

Esempio 4

Trova la soluzione dell'equazione (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Decisione

Trasferiamo l'espressione dal lato destro del record al lato sinistro con il segno opposto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertire il lato sinistro in un polinomio della forma standard non è pratico perché questo ci darà un'equazione algebrica di quarto grado: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. La facilità di trasformazione non giustifica tutte le difficoltà nel risolvere un'equazione del genere.

È molto più facile andare dall'altra parte: eliminiamo il fattore comune x 2 - 10 x + 13 . Si arriva così ad un'equazione della forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Ora sostituiamo l'equazione risultante con un insieme di due equazioni quadratiche x 2 - 10 x + 13 = 0 e x 2 - 2 x - 1 = 0 e trova le loro radici attraverso il discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Risposta: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Allo stesso modo, possiamo usare il metodo di introduzione di una nuova variabile. Questo metodo permette di passare a equazioni equivalenti con potenze inferiori a quelle dell'intera equazione originale.

Esempio 5

L'equazione ha radici? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Decisione

Se ora proviamo a ridurre un'intera equazione razionale ad una algebrica, otterremo un'equazione di grado 4, che non ha radici razionali. Pertanto, sarà più facile per noi andare dall'altra parte: introdurre una nuova variabile y, che sostituirà l'espressione nell'equazione x 2 + 3 x.

Ora lavoreremo con l'intera equazione (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). Trasferiamo il lato destro dell'equazione sul lato sinistro con il segno opposto ed eseguiamo le trasformazioni necessarie. Noi abbiamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Troviamo le radici dell'equazione quadratica: y = - 1 e y = - 3.

Ora facciamo la sostituzione inversa. Otteniamo due equazioni x 2 + 3 x = - 1 e x 2 + 3 x = - 3 . Riscriviamoli come x 2 + 3 x + 1 = 0 e x 2 + 3 x + 3 = 0. Usiamo la formula delle radici dell'equazione quadratica per trovare le radici della prima equazione ottenuta: - 3 ± 5 2 . Il discriminante della seconda equazione è negativo. Ciò significa che la seconda equazione non ha radici reali.

Risposta:- 3 ± 5 2

Le equazioni intere di grado elevato si imbattono in problemi abbastanza spesso. Non c'è bisogno di aver paura di loro. Devi essere pronto ad applicare un metodo non standard per risolverli, comprese una serie di trasformazioni artificiali.

Soluzione di equazioni frazionate razionali

Iniziamo la nostra considerazione di questo sottoargomento con un algoritmo per la risoluzione di equazioni frazionarie razionali della forma p (x) q (x) = 0 , dove p(x) e q(x) sono espressioni razionali intere. La soluzione di altre equazioni frazionarie razionali può sempre essere ridotta alla soluzione di equazioni della forma indicata.

Il metodo più comunemente usato per risolvere le equazioni p (x) q (x) = 0 si basa sulla seguente affermazione: frazione numerica tu v, dove vè un numero diverso da zero, uguale a zero solo nei casi in cui il numeratore della frazione è uguale a zero. Seguendo la logica dell'affermazione precedente, possiamo asserire che la soluzione dell'equazione p (x) q (x) = 0 può essere ridotta al soddisfacimento di due condizioni: p(x)=0 e q(x) ≠ 0. Su questo, viene costruito un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie della forma p (x) q (x) = 0:

• troviamo la soluzione dell'intera equazione razionale p(x)=0;
• controlliamo se la condizione è soddisfatta per le radici trovate durante la soluzione q(x) ≠ 0.

Se questa condizione è soddisfatta, allora la radice trovata, altrimenti la radice non è una soluzione al problema.

Esempio 6

Trova le radici dell'equazione 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Decisione

Si tratta di un'equazione razionale frazionaria della forma p (x) q (x) = 0 , in cui p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Iniziamo a risolvere l'equazione lineare 3 x - 2 = 0. La radice di questa equazione sarà x = 2 3.

Controlliamo la radice trovata, se soddisfa la condizione 5 x 2 - 2 ≠ 0. Per fare ciò, sostituisci un valore numerico nell'espressione. Otteniamo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

La condizione è soddisfatta. Significa che x = 2 3è la radice dell'equazione originale.

Risposta: 2 3 .

Esiste un'altra opzione per risolvere le equazioni razionali frazionarie p (x) q (x) = 0 . Ricordiamo che questa equazione è equivalente all'intera equazione p(x)=0 sull'intervallo di valori ammissibili della variabile x dell'equazione originale. Questo ci permette di utilizzare il seguente algoritmo per risolvere le equazioni p(x) q(x) = 0:

• risolvere l'equazione p(x)=0;
• trova l'intervallo di valori accettabili per la variabile x;
• prendiamo le radici che si trovano nella regione dei valori ammissibili della variabile x come radici desiderate dell'equazione razionale frazionaria originale.

Esempio 7

Risolvi l'equazione x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Decisione

Per iniziare, decidiamo equazione quadrata x 2 - 2 x - 11 = 0. Per calcolare le sue radici, utilizziamo la formula della radice per un secondo coefficiente pari. Noi abbiamo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, e x = 1 ± 2 3 .

Ora possiamo trovare l'ODV di x per l'equazione originale. Questi sono tutti numeri per cui x 2 + 3 x ≠ 0. È lo stesso di x (x + 3) ≠ 0, da cui x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Verifichiamo ora se le radici x = 1 ± 2 3 ottenute al primo stadio della soluzione rientrano nell'intervallo di valori accettabili della variabile x . Vediamo cosa entra. Ciò significa che l'equazione razionale frazionaria originale ha due radici x = 1 ± 2 3 .

Risposta: x = 1 ± 2 3

Il secondo metodo di soluzione descritto più facile del primo nei casi in cui è facile trovare l'area dei valori ammissibili della variabile x, e le radici dell'equazione p(x)=0 irrazionale. Ad esempio, 7 ± 4 26 9 . Le radici possono essere razionali, ma con un grande numeratore o denominatore. Per esempio, 127 1101 e − 31 59 . Ciò consente di risparmiare tempo per controllare la condizione. q(x) ≠ 0: è molto più facile escludere le radici che non si adattano, secondo l'ODZ.

Quando le radici dell'equazione p(x)=0 sono numeri interi, è più opportuno utilizzare il primo degli algoritmi descritti per risolvere equazioni della forma p (x) q (x) = 0 . Trovare più velocemente le radici di un'intera equazione p(x)=0 e quindi verificare se la condizione è soddisfatta per loro q(x) ≠ 0, e non trovare l'ODZ, quindi risolvere l'equazione p(x)=0 su questo ODZ. Ciò è dovuto al fatto che in questi casi è solitamente più facile effettuare un controllo che trovare l'ODZ.

Esempio 8

Trova le radici dell'equazione (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Decisione

Iniziamo considerando l'intera equazione (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 e trovarne le radici. Per fare ciò, applichiamo il metodo di risoluzione delle equazioni attraverso la fattorizzazione. Si scopre che l'equazione originale è equivalente a un insieme di quattro equazioni 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, di cui tre sono lineari e uno è quadrato. Troviamo le radici: dalla prima equazione x = 1 2, dal secondo x=6, dal terzo - x \u003d 7, x \u003d - 2, dal quarto - x = - 1.

Controlliamo le radici ottenute. È difficile per noi determinare l'ODZ in questo caso, poiché per questo dovremo risolvere un'equazione algebrica di quinto grado. Sarà più facile verificare la condizione in base alla quale il denominatore della frazione, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, non deve svanire.

A sua volta, sostituisci le radici al posto della variabile x nell'espressione x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 e calcolarne il valore:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

La verifica effettuata permette di stabilire che le radici dell'equazione razionale frazionaria originaria sono 1 2 , 6 e − 2 .

Risposta: 1 2 , 6 , - 2

Esempio 9

Trova le radici dell'equazione razionale frazionaria 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Decisione

Cominciamo con l'equazione (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Troviamo le sue radici. È più facile per noi rappresentare questa equazione come una combinazione di equazioni quadratiche e lineari 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 e x - 2 = 0.

Usiamo la formula delle radici di un'equazione quadratica per trovare le radici. Otteniamo due radici x = 7 ± 69 10 dalla prima equazione e dalla seconda x=2.

Sostituire il valore delle radici nell'equazione originale per verificare le condizioni sarà abbastanza difficile per noi. Sarà più facile determinare il LPV della variabile x . In questo caso, il DPV della variabile x è tutti i numeri, ad eccezione di quelli per i quali la condizione è soddisfatta x 2 + 5 x - 14 = 0. Otteniamo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Ora controlliamo se le radici che abbiamo trovato appartengono all'intervallo di valori accettabili per la variabile x.

Le radici x = 7 ± 69 10 - appartengono, quindi, sono le radici dell'equazione originale e x=2- non appartiene, quindi, è una radice estranea.

Risposta: x = 7 ± 69 10 .

Esaminiamo separatamente i casi in cui il numeratore di un'equazione razionale frazionaria della forma p (x) q (x) = 0 contiene un numero. In questi casi, se il numeratore contiene un numero diverso da zero, l'equazione non avrà radici. Se questo numero è uguale a zero, la radice dell'equazione sarà un qualsiasi numero dall'ODZ.

Esempio 10

Risolvi l'equazione razionale frazionaria - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Decisione

Questa equazione non avrà radici, poiché il numeratore della frazione dal lato sinistro dell'equazione contiene un numero diverso da zero. Ciò significa che per qualsiasi valore di x il valore della frazione data nella condizione del problema non sarà uguale a zero.

Risposta: senza radici.

Esempio 11

Risolvi l'equazione 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Decisione

Poiché il numeratore della frazione è zero, la soluzione dell'equazione sarà qualsiasi valore di x dalla variabile ODZ x.

Ora definiamo l'ODZ. Includerà tutti i valori x per i quali x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluzioni di equazioni x 4 + 5 x 3 = 0 sono 0 e − 5 , poiché questa equazione è equivalente all'equazione x 3 (x + 5) = 0, e, a sua volta, è equivalente all'insieme di due equazioni x 3 = 0 e x + 5 = 0 dove queste radici sono visibili. Arriviamo alla conclusione che l'intervallo desiderato di valori accettabili è qualsiasi x , eccetto x=0 e x = -5.

Si scopre che l'equazione razionale frazionaria 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ha un numero infinito di soluzioni, che sono numeri qualsiasi tranne zero e - 5.

Risposta: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Ora parliamo di equazioni razionali frazionarie di forma arbitraria e metodi per risolverle. Si possono scrivere come r(x) = s(x), dove r(x) e s(x) sono espressioni razionali e almeno una di esse è frazionaria. La soluzione di tali equazioni si riduce alla soluzione di equazioni della forma p (x) q (x) = 0 .

Sappiamo già che possiamo ottenere un'equazione equivalente trasferendo l'espressione dal lato destro dell'equazione al lato sinistro con il segno opposto. Ciò significa che l'equazione r(x) = s(x)è equivalente all'equazione r (x) - s (x) = 0. Abbiamo anche già discusso di come convertire un'espressione razionale in una frazione razionale. Grazie a questo, possiamo facilmente trasformare l'equazione r (x) - s (x) = 0 nella sua identica frazione razionale della forma p (x) q (x) .

Quindi passiamo dall'equazione razionale frazionaria originale r(x) = s(x) a un'equazione della forma p (x) q (x) = 0 , che abbiamo già imparato a risolvere.

Va notato che quando si effettuano transizioni da r (x) - s (x) = 0 a p (x) q (x) = 0 e poi a p(x)=0 potremmo non tenere conto dell'ampliamento dell'intervallo di valori validi della variabile x .

È abbastanza realistico che l'equazione originale r(x) = s(x) ed equazione p(x)=0 a seguito delle trasformazioni, cesseranno di essere equivalenti. Quindi la soluzione dell'equazione p(x)=0 può darci radici che ci saranno estranee r(x) = s(x). Al riguardo, in ogni caso è necessario effettuare un controllo con una qualsiasi delle modalità sopra descritte.

Per facilitare lo studio dell'argomento, abbiamo generalizzato tutte le informazioni in un algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria della forma r(x) = s(x):

• trasferiamo l'espressione dal lato destro con il segno opposto e otteniamo zero a destra;
• trasformiamo l'espressione originale in una frazione razionale p (x) q (x) eseguendo in sequenza azioni con frazioni e polinomi;
• risolvere l'equazione p(x)=0;
• riveliamo radici estranee verificando la loro appartenenza all'ODZ o sostituendo nell'equazione originale.

Visivamente, la catena di azioni sarà simile a questa:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → dropout r o n d e r o o n s

Esempio 12

Risolvi l'equazione razionale frazionaria x x + 1 = 1 x + 1 .

Decisione

Passiamo all'equazione x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Trasformiamo l'espressione razionale frazionaria sul lato sinistro dell'equazione nella forma p (x) q (x) .

Per questo dobbiamo portare frazioni razionali a un denominatore comune e semplificare l'espressione:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Per trovare le radici dell'equazione - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, dobbiamo risolvere l'equazione − 2 x − 1 = 0. Otteniamo una radice x = - 1 2.

Resta a noi eseguire il controllo con uno qualsiasi dei metodi. Consideriamoli entrambi.

Sostituisci il valore risultante nell'equazione originale. Otteniamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Siamo giunti alla corretta uguaglianza numerica − 1 = − 1 . Significa che x = - 1 2è la radice dell'equazione originale.

Ora controlleremo attraverso l'ODZ. Definiamo l'intervallo di valori accettabili per la variabile x. Questo sarà l'intero insieme di numeri, ad eccezione di − 1 e 0 (quando x = − 1 e x = 0, i denominatori delle frazioni svaniscono). La radice che abbiamo x = - 1 2 appartiene all'ODZ. Ciò significa che è la radice dell'equazione originale.

Risposta: − 1 2 .

Esempio 13

Trova le radici dell'equazione x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Decisione

Abbiamo a che fare con un'equazione razionale frazionaria. Pertanto, agiremo secondo l'algoritmo.

Spostiamo l'espressione da destra a sinistra con il segno opposto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Eseguiamo le trasformazioni necessarie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Veniamo all'equazione x=0. La radice di questa equazione è zero.

Controlliamo se questa radice è straniera per l'equazione originale. Sostituisci il valore nell'equazione originale: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Come puoi vedere, l'equazione risultante non ha senso. Ciò significa che 0 è una radice estranea e l'equazione razionale frazionaria originale non ha radici.

Risposta: senza radici.

Se non abbiamo incluso nell'algoritmo altre trasformazioni equivalenti, ciò non significa affatto che non possano essere utilizzate. L'algoritmo è universale, ma è progettato per aiutare, non per limitare.

Esempio 14

Risolvi l'equazione 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Decisione

Il modo più semplice è risolvere l'equazione razionale frazionaria data secondo l'algoritmo. ma c'è un altro modo. Consideriamolo.

Sottrai dalle parti destra e sinistra 7, otteniamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Da ciò possiamo concludere che l'espressione al denominatore del lato sinistro dovrebbe essere uguale al numero reciproco del numero dal lato destro, cioè 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Sottrai da entrambe le parti 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Per analogia 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, da dove 1 5 - x 2 \u003d 1 3 e inoltre 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Verifichiamo per stabilire se le radici trovate sono le radici dell'equazione originale.

Risposta: x = ± 2

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Abbiamo introdotto l'equazione sopra nel § 7. Innanzitutto, ricordiamo cos'è un'espressione razionale. Questo è - espressione algebrica, composto dai numeri e dalla variabile x utilizzando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed esponenziazione con un esponente naturale.

Se r(x) è un'espressione razionale, allora l'equazione r(x) = 0 è chiamata equazione razionale.

Tuttavia, in pratica è più conveniente usarne un po' di più interpretazione ampia termine "equazione razionale": è un'equazione della forma h(x) = q(x), dove h(x) e q(x) sono espressioni razionali.

Finora non abbiamo potuto risolvere nessuna equazione razionale, ma solo una che, a seguito di varie trasformazioni e ragionamenti, si è ridotta a equazione lineare. Ora le nostre possibilità sono molto maggiori: saremo in grado di risolvere un'equazione razionale, che si riduce non solo a lineare
mu, ma anche all'equazione quadratica.

Ricorda come abbiamo risolto le equazioni razionali in precedenza e prova a formulare un algoritmo di soluzione.

Esempio 1 risolvere l'equazione

Decisione. Riscriviamo l'equazione nella forma

In questo caso, come al solito, utilizziamo il fatto che le uguaglianze A \u003d B e A - B \u003d 0 esprimono la stessa relazione tra A e B. Ciò ci ha permesso di trasferire il termine sul lato sinistro dell'equazione con il segno opposto.

Eseguiamo le trasformazioni del lato sinistro dell'equazione. abbiamo

Richiama le condizioni di uguaglianza frazioni zero: se, e solo se, sono soddisfatte contemporaneamente due relazioni:

1) il numeratore della frazione è zero (a = 0); 2) il denominatore della frazione è diverso da zero).
Uguagliando a zero il numeratore della frazione sul lato sinistro dell'equazione (1), otteniamo

Resta da verificare il soddisfacimento della seconda condizione sopra richiamata. Il rapporto significa per l'equazione (1) che . I valori x 1 = 2 e x 2 = 0,6 soddisfano le relazioni indicate e quindi servono come radici dell'equazione (1), e allo stesso tempo radici dell'equazione data.

1) Trasformiamo l'equazione nella forma

2) Eseguiamo le trasformazioni del lato sinistro di questa equazione:

(cambiato contemporaneamente i segni nel numeratore e
frazioni).
Così, data equazione prende la forma

3) Risolvi l'equazione x 2 - 6x + 8 = 0. Trova

4) Per i valori trovati, verificare la condizione . Il numero 4 soddisfa questa condizione, ma il numero 2 no. Quindi 4 è la radice dell'equazione data e 2 è una radice estranea.
Risposta: 4.

2. Soluzione di equazioni razionali introducendo una nuova variabile

Il metodo per introdurre una nuova variabile ti è familiare, l'abbiamo usato più di una volta. Mostriamo con esempi come viene utilizzato nella risoluzione di equazioni razionali.

Esempio 3 Risolvi l'equazione x 4 + x 2 - 20 = 0.

Decisione. Introduciamo una nuova variabile y \u003d x 2. Poiché x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, l'equazione data può essere riscritta nella forma

y 2 + y - 20 = 0.

Questa è un'equazione quadratica, le cui radici troveremo usando il noto formule; otteniamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ma y \u003d x 2, il che significa che il problema è stato ridotto alla risoluzione di due equazioni:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Dalla prima equazione troviamo che la seconda equazione non ha radici.
Risposta: .
Un'equazione della forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 è chiamata equazione biquadratica ("bi" - due, cioè, per così dire, un'equazione "due volte al quadrato"). L'equazione appena risolta era esattamente biquadratica. Qualsiasi equazione biquadratica viene risolta allo stesso modo dell'equazione dell'esempio 3: viene introdotta una nuova variabile y \u003d x 2, l'equazione quadratica risultante viene risolta rispetto alla variabile y e quindi restituita alla variabile x.

Esempio 4 risolvere l'equazione

Decisione. Si noti che la stessa espressione x 2 + 3x ricorre due volte qui. Quindi, ha senso introdurre una nuova variabile y = x 2 + Zx. Questo ci permetterà di riscrivere l'equazione in una forma più semplice e gradevole (che, appunto, è lo scopo di introdurre un nuovo variabile- e la registrazione è più facile
, e la struttura dell'equazione diventa più chiara):

E ora useremo l'algoritmo per risolvere un'equazione razionale.

1) Spostiamo tutti i termini dell'equazione in una parte:

= 0
2) Trasformiamo il lato sinistro dell'equazione

Quindi, abbiamo trasformato l'equazione data nella forma

3) Dall'equazione - 7y 2 + 29y -4 = 0 troviamo (abbiamo già risolto un bel po' di equazioni quadratiche, quindi probabilmente non vale la pena dare sempre calcoli dettagliati nel libro di testo).

4) Controlliamo le radici trovate usando la condizione 5 (y - 3) (y + 1). Entrambe le radici soddisfano questa condizione.
Quindi, l'equazione quadratica per la nuova variabile y è risolta:
Poiché y \u003d x 2 + Zx e y, come abbiamo stabilito, assume due valori: 4 e, - dobbiamo ancora risolvere due equazioni: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Le radici della prima equazione sono i numeri 1 e - 4, le radici della seconda equazione sono i numeri

Negli esempi considerati, il metodo di introduzione di una nuova variabile era, come amano dire i matematici, adeguato alla situazione, cioè le corrispondeva bene. Come mai? Sì, perché la stessa espressione è stata chiaramente incontrata più volte nel record dell'equazione ed era ragionevole designare questa espressione con una nuova lettera. Ma non è sempre così, a volte una nuova variabile "appare" solo nel processo di trasformazioni. Questo è esattamente ciò che accadrà nel prossimo esempio.

Esempio 5 risolvere l'equazione
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decisione. abbiamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Quindi l'equazione data può essere riscritta come

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Ora è "apparsa" una nuova variabile: y = x 2 - Zx.

Con il suo aiuto, l'equazione può essere riscritta nella forma y (y + 2) \u003d 24 e poi y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Le radici di questa equazione sono i numeri 4 e -6.

Tornando alla variabile originale x, otteniamo due equazioni x 2 - Zx \u003d 4 e x 2 - Zx \u003d - 6. Dalla prima equazione troviamo x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; la seconda equazione non ha radici.

Risposta: 4, - 1.

Contenuto della lezione riassunto della lezione supporto cornice lezione presentazione metodi accelerativi tecnologie interattive Pratica compiti ed esercizi autoesame workshop, corsi di formazione, casi, missioni compiti a casa discussione domande domande retoriche degli studenti Illustrazioni audio, video clip e multimediali fotografie, immagini grafiche, tavole, schemi umorismo, aneddoti, barzellette, parabole a fumetti, proverbi, cruciverba, citazioni Componenti aggiuntivi riassunti articoli chip per presepi curiosi libri di testo glossario di base e aggiuntivo di termini altro Miglioramento di libri di testo e lezionicorreggere gli errori nel libro di testo aggiornare un frammento nel libro di testo elementi di innovazione nella lezione sostituendo conoscenze obsolete con nuove Solo per insegnanti lezioni perfette piano del calendario per un anno linee guida programmi di discussione Lezioni integrate